WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«ИНС Т ИТ У Т ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ И ФВ Э 82-104 ОТФ М.Л.Некрасов, В,Е.Рочев ИНФРАКРАСНЫЕ АСИМПТОТИКИ ФУНКЦИЙ ГРИНА В ( К Э Д ) 3 Серпухов 1982 М.Л.Некрасов, В.Е.Рочев ИНФРАКРАСНЫЕ ...»

ИНС Т ИТ У Т ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

И ФВ Э 82-104

ОТФ

М.Л.Некрасов, В,Е.Рочев

ИНФРАКРАСНЫЕ АСИМПТОТИКИ ФУНКЦИЙ ГРИНА В ( К Э Д ) 3

Серпухов 1982

М.Л.Некрасов, В.Е.Рочев

ИНФРАКРАСНЫЕ АСИМПТОТИКИ ФУНКЦИЙ ГРИНА В (КЭД) 3

Направлено в 'Nuclear P h y s i c s "

M-24

Некрасов M A, Рочав В.Е.

Инфракрасные асшогготна фушсцжй Гржна в (КЭД)о. Серпухов, 1882.

15 стр. с р а с (ИФВЭ ОТФ 82-104).

Бжблвогр. 11.

В безмассовоа спинорноа трехмерной •леитродинамихе найдены асимптотики двухточечных функция Грана в области р / * 2 « 1. Инфракрасное поведение фермнонного пропагатора const р получено аз аналжэ а засова калибровочного преобразования фермаовного пропагатора. Предложено обобщение метода функций Грина / 4 " 6 / на случай безмассовоа теории, при ломота которого получен тот же результат для ферMWOHHoro пропагатора н вычислена инфракрасная асимптотика (~1/к) фотонного цюпагатора.

Abstract Hekrasov M.L., Rochev V.K.

Infrared Aaymptotics of Green F u n c t i o n s i n QED 3. Serpukhov, 1 9 8 2.

p. 15. (IHH 8 2 - 1 0 4 ).

Refs. 11.

The asymptotlcs of two-point Green functions at р/с 1 are obtained in Baseless threedimensional spinor electrodynamics. The infrared behaviour of the fermlon propagator const p is obtained from an analysis of the gauge transformation law of the fermion propagator.



Generalisation of the Green function method in the infrared region^ 4 5 / is proposed for the massless theory. By this method the above result tor the fermion propogator is confirmed and the infrared asymptotlcs (~l/k) of the photon propagator is found.

Институт физики высоких энергий, 1 9 8 2.

1. ВВЕДЕНИЕ Изучение ранних стадий эволюции Вселенной, а также других задач, связанных с поведением материи при сверхвысоких температурах, естественным образом приводит к проблеме определения инфракрасных асимптотик функций Грина в трехмерных калибровочных теориях. Это обусловлено тем, что инфракрасное поведение температурных функций Грина при температурах выше критической определяется инфракрасной структурой соответствующей трехмерной теории^". Трехмерные калибровочные теории, кроме того, представляют и значительный самостоятельный теоретический интерес как модели, промежуточные между четырехмерной теорией и точно решаемыми двумерными моделями.

Эти обстоятельства стимулировали в последнее время интерес к изучению калибровочных теорий в трехмерном пространстве-времени, в частности, инфракрасного поведения функций Грина. Поскольку трехмерные калибровочные теории являются сверхперенормируемыми, то инфракрасное поведение в этих моделях обладает рядом особенностей. Наличие размерной констодты связи приводит к усилению инфракрасных особенностей в каждом последующем порядке теории возмущений по сравнению с предыдущим. С другой стороны, та же размерная константа связи служит своеобразным инфракрасным регулятором, позволяющим, в принципе, построить модифицированную теорию возмущений, свободную от инфракрасных расходимостей'2,3/. Однако вопрос о поведении функции Грина в собственно инфракрасной области, т.е. при малых внешних импульсах, остается открытым, так как областью теории возмущений в данном случае является область 6 / p « 1 ( е - константа связи).

В настоящей работе изучается поведение двухточечных функций Грина безмассовой трехмерной электродинамики в области малых внешних импульсов, т.е. при е 2 / р » 1. Ввиду того, что массовый член для фермиона в (КЭД)з нарушает как пространственную, так и временную четности', динамического возникновения массы фермиона в этой теории, по всей видимости, не происходит. Это дает нам основание считать область малых импульсов инфракрасной областью для данной теории.

Поскольку разложение функций Грина в области р /е « 1 есть, в сущности, разложение по обратным степеням константы связи, к любым выводам, основанным на обычной теории возмущений, в данном случае следует относиться с осторожностью. Это же обстоятельство затрудняет строгое обоснование всех полученных результатов, и, по-видимому, лишь точное решение может дать окончательный ответ в этой области.

Тем не менее, как показано в разделе II, главный член асимптотики фермионного пропагатора при р/« 2 -0 в (КЭД)д можно определить на основе простых соображений, связанных с калибровочным преобразованием функций Грива. Вычисления, проведенные в третьем разделе, подтверждают правильность этих соображений и позволяют, кроме того, определить инфракрасную асимптотику фотонного пропагатора. Для проведения этих вычислений использован метод функций Грина, который успешно применялся в (КЭД)^и некоторых других моделях^*i6/# g третьем разделе предлагается обобщение этого метода для случая безмассовой теории. Вычисленный этим методом в области малых импульсов фермионный пропагатор оказывается не зависящим от продольной части фотонного пропагатора. Условия согласования калибровочного преобразования фермионного пропагатора со свойством калибровочной независимости приближения позволяют однозначно определить инфракрасную асимптотику фотонного пропагатора и инфракрасное поведение спинорно— го пропагатора. В четвертом разделе приведена схема вычислений, свободная от ультрафиолетовых расходимостей, отсутствующих в безмассовой /2/ (кэд) 3 II. КАЛИБРОВОЧНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

И ИНФРАКРАСНАЯ АСИМПТОТИКА СПИНОРНОГО ПРОПАГАТОРА

Чтобы найти поведение спинорного пропагатора 5(р ) в области малых р (р / # 2 « 1), можно воспользоваться качественными соображениями, основанными на законе калибровочного преобразования пропагатора или в импульсном представлении В формулах (1) и (2) S a. a + a. - спинорный пропагатор в ковариантной a (a +а 1 )-калибровке.

Функцию F a (X) можно определить стандартным методом'. В случае (КЭД) 3 F a ( x ) e c r b где в - константа связи. Поскольку F a ( х )t определенная формулой (3), не является обычной обобщенной функцией умеренного роста, то определение ее.

Фурье-образа требует известной осторожности. Фурье-образ F a (х) вычислен в приложении и равен Fe(p) = i « ( p - a 2 e 4 / ( 8 f f ) 2 ) - 2 (4) (В справедливости формулы (4) легче всего убедиться, если в ней совершать обратное Фурье-преобразование).

Формулы калибровочного преобразования функций Грина как и тождество Уорда, являясь следствием общего динамического принципа калибровочной инвариантности теории, могут нести некоторую конкретную информацию о функциях Грина. В случае (КЭД) она проявляется в том, что из формулы калибровочного преобразования спинорного пропагатора следует его инфракрасное поведение при р/е - 0.

„ Пусть в некоторой калибровке а пропагатор S a ( p ) обладает следующим поведением в области малых р :

* а (Р)~Р(Р 2 Л (5) Тогда после калибровочного преобразования о о о где д х = «i ' / ( 8 " ) '. ' F, - гипергеометрическая функция. Из формулы (6) следует, что при р2-0 Const p\, (7) К+ар)' Подчеркнем, что инфракрасное поведение S a + a (р) в формуле (7) не зависит ни от калибровки, ни от параметра /3» вся зависимость от калибровочного параметра а1 и от затравочного показателя степени /8 сосредоточена в независящем от р 2 нормировочном коэффициенте. Это свойство преобразования степени является исключительным свойством (КЭД)з« (В (КЭД)4 степенная функция калибровочным преобразованием переводится в степень, зависящую как от калибровочного параметра а, так и от показателя исходной степени j8).

Этот результат нетрудно обобщить. Предположим, что спинорный пропагатор 5 a ( р ) в некоторой калибровке а представим в виде разложения по степеням р (в виде ряда по степеням р2 или в более общем случае в виде интеграла типа Меллина^-Бернса от степеней р 2 ). Результат при этом останется тот же: функция S a + a (р) при р2-» 0 ведет себя согласно формуле (7).

Конечно, это рассуждение предполагает сэиуг^мость разложения и возможность почленного перехода к асимптотике при р -*0. Кроме того, мы не можем априори исключить возможность того, что сумма констант, получившихся в разложении в результате предельного перехода, не равна нулю (можно построить соответствующий контрпример). Изложение нижеследующих разделов, основанное на конкретном модельном вычислении, показывает, что в действительности реализуется случай, описываемый формулой (7), т.е. асимптотика фермионного пропагатора 5 ( р ) в области малых импульсов р / * 2 « 1 есть const p.





В заключение раздела отметим важное для дальнейшего рассмотрения обстоятельство: функция const p является калибоовочно инвариантной величиной, что легко видеть из сопоставления формул ( 5 ) и ( 6 ) в случае / 3 = 0 в то время как ни одна другая степень импульса не является калибровочно инвариантной величиной.

Ш. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНФРАКРАСНОЙ АСИМПТОТИКИ

ФЕРМИОННОГО ПРОПАГАТОРА МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА

–  –  –

где D c - свободный фотонный пропагатор; det(|d — n» + *A) _ фермионный д е терминант; S(xy|A) — фермионный пропагатор во внешнем классическом поле А обозначения выбраны в соответствии с монографией' 7 7 ).

(все Чтобы получить главный член асимптотического разложения фермионного пропагатора S, 8 ( x y ) (S(p)- S,,(p) при р / е 2 - 0 ), нужно в формуле ( 8 ) »

соответствующим образом эффективно учесть фермионный детерминант и S (ху|А). Исследования (КЭД)^ и точно решаемой модели Швингера (безмассовой (КЭД2г см. ниже) дают рецепт такого учета. Для S(xy|A) он сводится к тому, что в формуле ( 8 ) следует оставить ту часть S(xy|A), которая получается в пределе мягких фотонов. Эффективный учет фермионного детерминанта осуществляется следующей заменой в формуле ( 8 ) :

–  –  –

(а - калибровочный параметр). Формулу (21) можно получить различными методами/4-8/, (В работах/^/ методом низкоэнергетической теоремы к главному члену были получены два поправочных члена).

В случае безмассовой теории вкладом фермионных петель, очевидно, пренебречь нельзя. В* качестве примера рассмотрим модель Швингера, в которой фермионный детерминант есть где П^„= g w i / - d(ldvd~2. 2 Полный фотонный пропагатор соответственно равен d~ (в поперечной калибровке)

•V«r - к и его инфракрасная асимптотика есть

Если фермионный детерминант учесть по формуле ( 9 ), в которой D a s определено соотношением (22), a S(xyj'A) учесть по формуле (19), то формула (8) даст правильное инфракрасное поведение спинорного пропагатора в модели Швингера:

(23) k * Таким образом, формула (20) правильно описывает инфракрасное поведение фермионного пропагатора как в (КЭД)ф так и в безмассовой ( К Э Д ^.

Отметим, что безмассовая (КЭД)2| как и (КЭД)з, является сверхперенормируемой теорией с размерной константой связи, и, следовательно, инфракрасное поведение в обеих этих моделях в рамках теории возмущений весьма схоже: так же, как и в (КЭД)з в модели Швингера происходит усиление инфракрасных особенностей в каждом последующем порядке теории возмущений по сравнению с предыдущими. В связи с этим естественно предположить, что при правильном выборе асимптотики фотонного пропагатора формула (20) описывает асимптотическое поведение фермионного пропагатора при малых р 2 также и в безмассовой (КЭД)зПредположим для поперечной части фотонного пропагатора в (КЭД)з степенной анзатц, т.е. возьмем D a s в виде

–  –  –

Из формулы (28), видно, ч т о $ а 8 ( р ) согласно заключительному замечанию предыдущего раздела будет калибровочно независимой величиной, если А Таким образом, инфракрасное поведение спинорного пропагатора дается формулой (7), а инфракрасная асимптотика фотонного пропагатора согласно формуле (24) равна

–  –  –

гдеп(Л / * 4 ) ~ 1/А. Асимптотику при р -»0 в формуле (30) можно получить, если представить e x p ( i r p 2 ) в виде ряда по степеням »"р2. В результате SaJ[p) представляется в виде ряда по степеням р / е 2 с конечным радиусом сходимости, не зависящим JOT обрезания. Первый член этого ряда определяет инфракрасное поведение S a e ( р ), и оно имеет вид Такое поведение $ а я (р) при р2-*0 согласно результатам предыдущего раздела не совместимо с требованием калибровочной независимости S a s ( p ).

Отметим, что формула (30) в случае А = 1 была получена в работе^° / ' м е тодом Дельборго-Веста без учета вклада фермионных петель. Как показывает наше рассмотрение, такое предположение является некорректным и формула (30) не дает правильного описания фермионного пропагатора в области малых р 2.

Случай А = 1/2 +п,. п = 0,^1, 2,... можно рассмотреть идентичным методом. Инфракрасное поведение S a s (p ) в этом случае также описывается формулой (31).

В случае, еслиА/=-1/2, 0, 1/2 + n, S a a (p) удобно представить в виде интеграла Меллина-Бернса:

–  –  –

В заключение данного раздела отметим, что полностью аналогичную картину для инфракрасного поведения %е( р) можно получить в ( К Э Д ^ если вместо формулы (22) для D a s ( k) рассмотреть

–  –  –

Этот случай, соответствующий правильному инфракрасному поведению фотонного пропагатора, так яда, как случай Л = -1/2 в (КЭД)д, выделен тем, что инфракрасное поведение S a s (p) оказывается степенным и зависит от нормировочного параметра о в выражении для D a s ( k ).

1У. УЛЬТРАФИОЛЕТОВО КОНЕЧНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ

ИНФРАКРАСНОЙ АСИМПТОТИКИ СПИНОРНОГО ПРОПАГАТОРА

Рассмотренная в предыдущем разделе схема вычисления инфракрасной асимптотики спинорного пропагатора обладает тем недостатком, что она содержит ультрафиолетовые расходимости, в то время как безмассовая (КЭД)_— ультрафиолетово конечная теория'*". Происхождение ультрафиолетовых расхо— димостей связано с тем, что функция D a s ( k ), определенная соотношением (29), медленно убывает при больших к 2. Вследствие этого при подстановке выражения (29) в формулу (20) D es flaeT ультрафиолетовые расходимости при интегрировании ее по ^ и г 2.

Рассмотренную схему можно подправить, если в формулу (20) вместо инфракрасной асимптотики фотонного пропагатора D a s подставить функцию Dj, где vP k v f (к) =. (35) L 2п v Функция D^ (k) правильно описывает как инфракрасное, так и ультрафиолетовое поведение фотонного пропагатора'*).

_ Покажем, что при подстановке выражения (35) в формулу (20) получится _ инфракрасно и ультрафиолетово конечное выражение для 5 а в ( р ). Двойной интеграл по fj и г 2 от D ^ элементарными преобразованиями приводится к виду

–  –  –

Интеграл по к в формуле (36) сходится как в инфракрасной, так и в ультрафиолетовой области.

Опуская выкладки, приведем окончательно^ выражение 5,щ(р) в евклидовой метрике:

–  –  –

У. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Вышеприведенный анализ показывает, что после надлежащей модификации метод функций Грина может быть с успехом применен для описания инфракрасной области в теории с сильными инфракрасными сингулярностями (в данном случае в безмассовой трехмерной электродинамике). При этом, однако, необходимо в полной мере использовать специфику модели, которая в данном случае заключается в свойствах калибровочных преобразований в (КЭД)з и в калибровочной независимости фермионного пропагатора в приближении мягких фотонов.

Полученные результаты, конечно, не позволяют сделать каких-либо конкретных выводов о поведении температурных функций Грина при сверхвысоких температурах, так как для этого необходим учет неабелевого характера реальной теории/1', т.е. описание инфракрасного поведения функций Грина в трехмерной хромодинамике. Известно, что наличие неабелевой внутренней симметрии может радикально изменить инфракрасное поведение функций Грина даже в моделях без самодействия калибровочного поля/Ю/. Однако полученные результаты вселяют определенный оптимизм и надежду на то, что инфракрасные сингулярности сверхлеренормируемых калибровочных теорий не являются непреодолимым препятствием для изучения этих теорий.

В заключение отметим то любопытное обстоятельство, что наш результат (7) о поведении фермнонного пропагатора в области p^^ocl согласуется с результатом суммирования главных логарифмов по константе связи для (КЭД)з, иолученным в работе' *' (формула (12)). Это совпадение неожиданно, так как область применимости всех результатов работь/**'' не включает в себя, вообще говоря, область импульсов, малых по сравнению с константой свези, а метод вычисление в корне отличен от нашего.

Авторы признательны Б.А.Арбузову, А.И.Алексееву, В.А.Байкову, Э.Э.Боосу и А.В.Куликову за полезные обсуждения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Weinberg S. Understanding the Fundamental Constituents of Matter ed. A. Zichichi, Plenum, N.Y., 1978, p. 1.

Linde A.D. Rep.Progr.Phys., 1979, _42, 389; Phys. L e t t., 1980, 96B, 288-292.

Cross D.J., P i s a r s k i R.D., Yaffe L.G. Rev. Hod. Phys., 1981, 53, 1, 43-80.

2. Jackiw R., Templeton S. Phys. Rev., 1981, 23D, 2291-2304.

3. Appelquist Т., P i s a r s k i R.D.. Phys. Rev., 1981, 23D, 2305-2317.

4. Фрадкин Е.С. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике. - Труды ФИАН, М., 1965, т. 29, 7-138.

5. Барбашов Б.М. ЖЭТФ, 1965, 48, вып. 2, 607-621.

6. Попов В.Н. Континуальные интегралы в квантовой теории поля и статистической физике. М.: 'Атомиздат*, 1976.

7. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей.

М.: Наука, 1976, с. 3 6 7 - 3 6 8.

8. Журавлев В.И., Соловьев Л.Д. ЖЭТФ, 1967, 52, вып. 3, 703-705.

Jackiw A., Soloviev L.D. Phys. Rev., 1968, 173, 1485-1497.

Пронько Г.П., Соловьев Л.Д. - ТМФ, 1974,,19, вып. 2, 172-185.

9. Cornwall J.M., Phys. Rev., 1980, 22D, 1452-1468.

10. Popov V.N., W T.T. Phys. L e t t., 1979, 85B, u 335-398.

11. Templeton S. Phys. L e t t., 1983, 103B, 134-138.

–  –  –

Приведем вычисление Фурье-образа функции калибровочного преобразования фермионного пропагатора. Отметим, что при положительном ° определение Фурье-образа функции F a ( x ) является нетривиальной задачей, поскольку при а 0 в евклидовой метрике F f l экспоненциально растет при большом х 2.

Поэтому мы ограничимся определением Фурье-образа калибровочной функции только при отрицательном а, и, таким образом, все рассуждения в тексте, опирающиеся на явный вид F Q В импульсном пространстве, строго говоря, справедливы лишь в этом случае.

Фурье-образ функции F ( х ) согласно формуле (3) в евклидовой метрике есть

Приа0 вторую экспоненту в формуле (П.1) можно представить в виде интеграла Меллина-Бернса:

где у0. Подставляя формулу (П.

2) в (П.1) и снимая интегрирование по углам, получаем

–  –  –

М.Л.Некрасов, В.Е.Рочев.

Инфракрасные асимптотики функций Грина в (КЭД)зРедактор Н.В.Ежела. Технический редактор Л.П.Тимкина Корректср Т.Д.Галкина.

Подписано к печати 03.06.82. Т-12053. Формат 70x100/16.

Офсетная печать. Индекс 3624. Цена 18 коп.

Заказ 1710. 1,19 уч.-иэд.л. Тираж 2 6 0.

Институт физики высоких энергий, 142284, Серпухов,

Похожие работы:

«РОССЕЛЬХОЗНАДЗОР ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЦЕНТР ЭПИЗООТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ В СТРАНАХ МИРА №89 30.04.15 Официальная информация: МЭБ Коста-Рика: болезнь Ньюкасла Польша: африканская чума свиней Комментарий ИАЦ: Кумулятивная эпизоотическая ситуация по АЧС на территории Польши на 30.04.2015 г. Канада:...»

«№113 Науково-технічний бюлетень ІТ НААН Ключевые слова: бык, баланопостит, "Прозон", "ОКО", тепловизор, постоцитограма. BALANOPOSTHITIS METHODS OF DIAGNOSIS AND TREATMENT OF BULLS WITH NONSPECIFIC V. Koshevoy, S. Naumenko, Kharkov St...»

«БОГОСЛОВСКИЕ ТРУДЫ, XI ПУБЛИКАЦИИ В ПОХВАЛУ ПРЕПОДОБНОМУ СЕРГИЮ, ИГУМЕНУ РАДОНЕЖСКОМУ, ВСЕЯ РОССИИ ЧУДОТВОРЦУ (В связи с 550-летием прославления, 1422—1972) Славится Русская земля своими святыми угодниками, и среди них особое место занимает Преподобный Сергий, поднявший духовную жизнь Руси...»

«Администрация Волоколамского муниципального района Московской области ПРАВИЛА ЗЕМЛЕПОЛЬЗОВАНИЯ И ЗАСТРОЙКИ ТЕРРИТОРИИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СЕЛЬСКОЕ ПОСЕЛЕНИЕ ЧИСМЕНСКОЕ ВОЛОКОЛАМСКОГО МУНИЦИПАЛЬН...»

«Маргарита Борисовна Нерода Декоративные кролики Издательство: Вече, 2008 г. ISBN 978-5-9533-3115-9 Введение Интерес к кроликам не только как к источнику ценного меха и мяса, но и как к домашним питомцам возник не вчера. В сельскохозяйственных журналах – таких, к...»

«Программа комплексного развития коммунальной инфраструктуры Чукмарлинского сельского поселения Сармановского муниципального района РТ ДО 2025 ГОДА с. Чукмарлы Утверждена постановлением Чукмарлинского сельского посел...»

«О.В. Новоселова Тверская государственная сельскохозяйственная академия, г. Тверь ФУНКЦИОНАЛЬНО-СЕМАНТИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ КОММУНИКАТИВНОЙ СПРАВЕДЛИВОСТИ / НЕСПРАВЕДЛИВОСТИ МЕНАСИВНЫХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ FUNCTIONAL AND SEMA...»

«ПРОЕКТ УТВЕРЖДАЮ Глава муниципального образования – Борисовское сельское поселение Александро-Невского муниципального района Рязанской области /Т.В.Сельянова/ М.П. СХЕМА ТЕПЛОСНАБЖЕНИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ – БОРИСОВСКОЕ СЕЛЬСКОЕ ПОСЕЛЕНИЕ АЛЕКСАНДРО-НЕВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА РЯЗАНСКОЙ ОБЛАСТИ Нормативные материалы, использованные при...»

«1. Цели освоения дисциплины Целью дисциплины "Энергосбережение в электротехнологиях" является формирование у обучаемых навыков по характерным электротехнологиям, применяемых при пр...»

«ОБОСНОВАНИЕ РЕЖИМА КАПЕЛЬНОГО ОРОШЕНИЯ И МИНЕРАЛЬНОГО ПИТАНИЯ ЛУКА В УСЛОВИЯХ НЕПАЛА А.В. Шуравилин, Б.Б. Бимала Кафедра почвоведения и земледелия Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, 8/2, Москва, Россия, 117198 В статье представлены результаты исследований по влиян...»








 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.