WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«УДК 517.977 К ОБОСНОВАНИЮ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ ДИНАМИКИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ c Е.А. Крупенников Ключевые слова: динамическая ...»

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015

УДК 517.977

К ОБОСНОВАНИЮ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РЕКОНСТРУКЦИИ

ДИНАМИКИ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ

c Е.А. Крупенников

Ключевые слова: динамическая реконструкция; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина.

Предложен метод восстановления динамики и управлений для одного класса нелинейных управляемых систем по известным неточным замерам траектории движения. Этот метод опирается на принцип максимума Понтрягина и метод регуляризации Тихонова для вспомогательных задач оптимального управления с заданной целью.

1. Вступление Задачи реконструкции динамики и управлений по истории неточных замеров траектории движения управляемых систем исследовались многими авторами. Наиболее близким к методу, обсуждаемому в данной работе, является подход, предложенный и развитый Ю.С. Осиповым и его учениками [1] и опирающийся на метод регуляризации Тихонова [2] и метод экстремального прицеливания Н.Н. Красовского [3].

Предложена модификация метода решения этих задач, изложенного в работе [4], который опирается на необходимые условия оптимальности во вспомогательной задаче оптимального управления с интегральным функционалом регуляризованной невязки [5] и метод характеристик [6] для соответствующего уравнения Беллмана.

В предлагаемой модификации изменено целевое множество во вспомогательной задаче оптимального управления. Исследуется один существенно нелинейный класс управляемых систем.



2. Постановка задачи Рассмотрим задачу реконструкции динамики и управлений для управляемых систем вида xi (t) = gi (x(t))ui (t), x(t) Rn, t [0, T ], i = 1,..., n, (1) где управления ui удовлетворяют ограничениям U i Ui, ui (t) i = 1,..., n. (2) Реконструкция производится по известной дискретной истории замеров {y (ti ) = yi Rn, t0 = 0 t1... tN = T } i = 1,..., N, базовой траектории x (t). Замеры определяют x (ti ) с абсолютной точностью.

Предполагается, что для рассматриваемых входных данных задачи реконструкции выполняются следующие условия:

П р е д п о л о ж е н и е 1. Функции gi (x), i = 1,..., n, непрерывно дифференцируемы в Rn.

П р е д п о л о ж е н и е 2. Существует такие константы i 0, i 0, i = 1,..., n и такое число a 0, что при t [0, T ] выполняются оценки 0 2 gi (x)2 i,

–  –  –

Под решением задачи динамической реконструкции по замерам {y (·)} понимается построение управлений u(t) = u (t), удовлетворяющих ограничениям (2) таких, что они и порождаемые ими траектории x(t) = x (t) системы (1) удовлетворяют условиям:

–  –  –

где малый регуляризирующий параметр.

Рассмотрим вспомогательную задачу оптимального управления о переводе траектории x(·) системы (1) из точки x(t0 ) = x0 Rn, t0 T в заданный конечный момент времени T на целевую точку y(T ) с условием минимизации функционала (4). Введем также дополнительное условие, ограничивающее скорость x(t) в конечной точке – пусть x(T ) y(T ). (5) Для построения решений вспомогательной задачи оптимального управления воспользуемся принципом максимума Понтрягина в гамильтоновой форме.

Для упрощения изложения полагаем, что ограничения на управления (2) достаточно велики, так что оптимальное управление во вспомогательной задаче не выходит на границы этих ограничений. Рассмотрим те оптимальные процессы x(t), u(t), для которых оптимальные траектории в этой задаче проходят в начальный момент времени t0 = 0 через область {x Rn : xi [yi (0), yi (0) + ], i = 1,..., n}.





Наконец, выберем среди таких оптимальных процессов тот, который будет доставлять наименьшее значение функционалу (4). Полученную траекторию и порождающее её управление будем считать решением задачи реконструкции при заданных параметрах и.

ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015 Заметим, что такое решение может быть не единственно. В таком случае в качестве решения задачи реконструкции можно взять произвольное решение из тех, что минимизируют функционал.

Введем следующее предположение относительно управлений и траекторий системы (1):

П р е д п о л о ж е н и е 3. Пусть существует такое число b, 0 b 0 (где 0 из (3)), что при 0 b фазовые характеристики x, (t) содержатся при b, 0 t [0, T ] в компакте из предположения 2. Под x, (t) подразумеваются решения характеристической системы принципа максимума Понтрягина, удовлетворяющие условию (5) при фиксированных параметрах и.

Отметим, что выполнение такого предположения в рассматриваемых примерах (в том числе и существенно нелинейных) было показано эмпирически.

4. Полученные результаты

Была доказана следующая теорема о сходимости предложенного алгоритма:

Т е о р е м а 1. При выполнении предположений 1 – 3, а также условия согласования параметров = () 2, b ( где b из предположения 3) характеристики x, (t), удовлетворяющие условию (5), а также порождающие их управления, удовлетворяют условиям lim x, (·) x (·) C = 0, lim u, (·) u (·) L2 = 0.

Полученные теоретические результаты проиллюстрированы на примере численного решения задачи динамической реконструкции макроэкономической модели [6, 7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П.,Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

2. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39, №4. С. 195–198.

3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

4. Субботина Н.Н., Токманцев Т.Б. Исследование устойчивости решения обратных задач динамики управляемых систем по отношению к возмущениям входных данных // Труды ИММ УрО РАН. 2014. Т. 20.

№ 3. С. 218-233.

5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. 393 с.

6. Субботина Н.Н., Колпакова Е.А., Токманцев Т.Б., Шагалова Л.Г Метод характеристик для уравнения Гамильтона–Якоби–Беллмана. Екатеринбург: РИО УрО РАН, 2013. 244 с.

7. Альбрехт Э.Г. Методика построения и идентификации математических моделей макроэкономических процессов // Электронный журнал Исследовано в России. 2002. №5. C. 54-86. URL:

http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/005.pdf БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 14–01–00168).

–  –  –

Krupennikov E.A. ON JUSTIFICATION OF THE SOLUTION OF A RECONSTRUCTION PROBLEM FOR A CLASS OF NON-LINEAR MODELS

A dynamic reconstruction method using known measurements is described for a class of nonlinear controlled systems. The method is based on Pontryagin’s maximum principle and Tikhonov’s regularization method for auxiliary problem of optimal control with a determined target set.

Key words: dynamic reconstruction; Pontryagin’s maximum principle; optimal control.

Крупенников Евгений Александрович, Уральский федеральный университет имени первого

Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Российская Федерация, аспирант, e-mail:

krupennikov@imm.uran.ru ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 20, вып. 5, 2015 Krupennikov Evgenii Aleksandrovich, Ural Federal University named after the rst President of

Russia B.N. Yeltsin, Ekaterinburg, the Russian Federation, Post-graduate Student, e-mail:

krupennikov@imm.uran.ru УДК 517.929

ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕАВТОНОМНОГО РАЗНОСТНОГО

УРАВНЕНИЯ С ОГРАНИЧЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

–  –  –

Ключевые слова: разностные уравнения; устойчивость; признаки устойчивости; функция Коши.

Для разностного уравнения с ограниченными запаздываниями получены новые эффективные достаточные признаки устойчивости, выраженные в терминах оценок его функции Коши.

–  –  –

где 0 a 1, bk : N0 R+, hk : N0 N0.

N bk (n) при n N0, b(n) = 0 при n N0, h(n) = max hk (n).

Положим b(n) = / k[1,N ] k=1 Обозначим H = sup h(n) и потребуем выполнения условия 0 H.

nN0 Функцию x будем доопределять начальной функцией : {n Z, n m} R, а решением уравнения (1) будем называть функцию, x : Nm R, удовлетворяющую ему при всех n Nm.

Отказ от постоянства параметров уравнения практически исключает возможность получить необходимые и достаточные признаки устойчивости и делает неприменимым хорошо разработанный аппарат исследования устойчивости автономных уравнений, основанный на опредлении расположения корней соответствующего уравнению характеристического полинома. Поэтому работы, посвященные исследованию устойчивости неавтономных разностных уравнений, опираются на принципиально иные подходы. В частности, в последние десятилетия многие авторы стали рассматривать разностное уравнение как аналог функционально-дифференциального уравнения (ФДУ) с сосредоточенными запаздываниями и применять для его изучения идеи и методы, разработанные в интенсивно развивающейся теории устойчивости ФДУ.

В работах [1–3] для разностного уравнения с запаздываниями были получены аналоги известных в теории ФДУ неулучшаемых достаточных признаков устойчивости так называемых 3/2 -теорем [4, 5]. Дальнейшие исследования показали, что разностные уравнения проявляют свою дискретную природу и константа 3/2 в признаках устойчивости



Похожие работы:

«Сатсварупа дас Госвами Пытаясь оценить личность Шрилы Прабхупады Содержание 1 ОЦЕНКА РОЛИ ШРИЛЫ ПРАБХУПАДЫ В ПАРАМПАРЕ 2 КАК МЫ МОЖЕМ УДОВЛЕТВОРИТЬ ШРИЛУ ПРАБХУПАДУ 3 ОТЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ НАСТАВЛЕНИЙ ШРИЛЫ ПРАБХУПАДЫ 4 КАК ОТНОСИТЬСЯ К...»

«www.ShyamasundaraDasa.com Ведическая астрология и трансСатурновые планеты (отрывок из статьи на стадии разработки) © 1997-2013 Шйамасундара Даса, перевод Кузнецова А. Краткий обзор. Сейчас, когда ведическая а...»

«Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Московский городской университет управления Правительства Москвы" Институт высшего профессионального образования Кафедра управления государственными и муниципальными закупками УТВЕРЖДАЮ Проректо...»

«Хабибуллина Эльмира Камилевна МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТУРЕЦКОГО ЯЗЫКА НА ЗАНЯТИЯХ ПО ЛИНГВОСТРАНОВЕДЕНИЮ В статье рассматриваются методологические аспекты преподавания турецкого языка на занятиях по лингвострановедению; проводится сопоставительный анализ программ...»

«Урок 4 Тема урока: Конкретные законы, связанные с запретом мяса и молока Изучаемые источники: Параграф 5, Тур, Бейс Йойсеф Мехабер, Рамо, Шах, Таз Параграф 6. Мехабер, Рамо Биур а-Гро, параграф 13 Шак, параграф 13. 21 Рабби Акиво Игер (параграф 14): "Некоторые говорят, что запрещено перемешивать ого...»

«нематериальные активы: теоретические и практические аспекты Аннотация В статье рассмотрены современные подходы к определению нематериальных активов, сформулировано понятие нематериа льных активов как особого вида рес урсов органи зации. Охарактеризованы особенности функ...»

«Программа потребительского кредитования Кредит "На неотложные нужды ПЛЮС" ООО "Земский банк" Настоящая программа разработана в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации, П...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.