WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:     | 1 ||

«Бидерман В.И. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Хабаровск 2011 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное ...»

-- [ Страница 2 ] --

является интегралом от верхней ступенчатой функции Hп (x). Каждой последовательности разбиений п1, п2,..., пm,... отрезка [a; b] соответствуют последовательности нижних ступенчатых функций hп1 (x), hп2 (x),..., hпm (x),... и верхних ступенчатых функций Hп1 (x), Hп2 (x),..., Hпm (x),... Если при этом каждое разбиение пm+1 является измельчением разбиения пm, то, как следует из свойств разбиений, последовательность нижних ступенчатых функций {hпm (x)} является неубывающей, а последовательность верхних ступенчатых функций {Hпm (x)} невозрастающей. Допустим, что последовательность разбиений {пm } выбрана таким образом, что для диаметров разбиений верно равенство

–  –  –

Следовательно, I = lim I(hпm (x)) = lim I(Hпm (x)) = I.

m m Из последнего равенства, согласно критерия существования интеграла Римана, следует, что функция f (x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b].

В силу этого из теоремы 5.1 вытекает, что функция f (x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] тогда и только тогда, когда она почти всюду является пределом некоторой возрастающей последовательности ступенчатых функций {hn (x)} таких, что каждая из hn (x) f (x) и одновременно является пределом некоторой убывающей последовательности ступенчатых функций {Hn (x)} таких, что каждая из Hn (x) f (x). При этом b

–  –  –

Тогда последовательность ступенчатых функций hn (x)+kn (x) f (x)+g(x) почти всюду и I(hn + kn ) = I(hn ) + I(kn ) C1 + C2. Поэтому функция f (x) + g(x) D+, что и нужно было доказать.



Лемма 6.3.

Если функция f (x) D+, а неотрицательное действительное число, то произведение f (x) является функцией из класса D+.

Доказательство данной леммы аналогично доказательству леммы 6.2.

Лемма 6.4.

Если функции f (x) и g(x) принадлежат классу D+, то функции

min(f (x), g(x)) и max(f (x), g(x))

тоже являются функциями класса D+.

Это вытекает из определения рассматриваемых функций.

Замечание 6.2. Обратите внимание, что в классе D+ невозможно вычитание функций и умножение их на отрицательные числа, так как последовательности ступенчатых функций, соответствующие функциям данного класса, должны быть Здесь n = 1, 2,..., C1, C2 произвольные константы.

возрастающими. Например, если вместе с функцией f (x) класс D+ как следствие содержит и е положительную часть f + (x) = max(f (x), 0), то отрицательную е часть f (x) = max(0, f (x)) не содержит. А так как функция

–  –  –

то и она не определена в классе D+.

Прежде чем дать определение интеграла от функции f (x) из класса D+, докажем следующую лемму.

Лемма 6.5.

Пусть последовательности ступенчатых функций {hm (x)} и {kn (x)} имеют ограниченные в совокупности интегралы и, монотонно возрастая, почти всюду сходятся к функциям f (x) и g(x) из класса D+

–  –  –

убеждаемся в истинности доказываемого неравенства.

См. решение упражения 3.1. этой главы.

Определение 6.2. Пусть f (x) функция из класса D+, а {hn (x)} связанная с е определением последовательность ступенчатых функций.

е Интегралом от функции f (x) в классе D+ называется предел

–  –  –

Покажем корректность данного определения. Для этого нам нужно доказать, что предел в правой части равенства существует и не зависит от выбора последовательности {hn (x)}. Из определения класса D+ следует, что числовая последовательность {I(hn )} ограничена. А из леммы 4.3 о монотонности последовательности интегралов от ступенчатых функций вытекает, что она не убывает. Поэтому данный предел существует.





Покажем, что данное определение однозначно. Пусть функции f (x) и g(x) принадлежат D+ и почти всюду f (x) = g(x). Тогда в силу леммы 6.5 I(f ) I(g).

Но так как функции f (x) и g(x) равноправны, то верно и другое неравенство I(g) I(f ). И поэтому I(f ) = I(g). А это и означает, что данное определение интеграла от функции f (x) D+ однозначно.

Следствие 6.1. Если f (x) D+, g(x) D+ и при этом f (x) g(x), то I(f ) I(g).

Замечание 6.3. Любая функция f (x), интегрируемая на отрезке [a; b] по Риману, принадлежит классу D+, а е интеграл Римана, как предел нижних е сумм Дарбу, совпадает с определнным выше интегралом I(f ), как пределом е последовательности интегралов от ступенчатых функций hn (x), соответствующих тем же нижним суммам Дарбу.

Но определение 6.2 более широкое определение, чем определение интеграла Римана. Например, уже упомянутая в §2 этой главы функция Дирихле, равная 0 при иррациональных x [0; 1] и 1 при рациональных x [0; 1], не интегрируема по Риману. Но так как она на [0; 1] почти всюду равна нулю, то интеграл от нее + в классе D существует и равен нулю.

§ 7. Свойства интеграла в классе функций D+ Используя предельный переход, мы можем некоторые свойства интегралов от ступенчатых функций распространить на интегралы от функций класса D+.

Лемма 7.1.

Если функции f (x) и g(x) принадлежат классу D+, то

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно лемме 6.2 сумма функций f (x) + g(x) является функцией класса D+. Поэтому последовательность сумм ступенчатых функций, соответствующих функциям f (x) и g(x), почти всюду

–  –  –

Построив линейное пространство ступенчатых функций и класс функций D+, мы проделали первую часть работы по построению более широкого класса функций, в котором будут определены все естественные для функций операции. И именно для функций этого класса мы построим интеграл, который является нашей целью.

Определение 8.1. Функция (x), определнная на отрезке [a; b], называется е суммируемой (или интегрируемой) по Риссу функцией, если е можно предстае вить в виде разности (x) = f (x) g(x) двух функций из класса D+. Обозначим множество всех суммируемых функций через D и рассмотрим свойства суммируемых функций.

Лемма 8.1.

Сумма двух суммируемых функций является суммируемой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции 1 (x) и 2 (x) суммируемые функции.

Тогда в классе D+ существуют функции f1 (x), g1 (x), f2 (x), g2 (x) такие, что

–  –  –

А так как суммы функций f1 (x) + f2 (x) и g1 (x) + g2 (x) принадлежат D+, то функция 1 (x) + 2 (x) есть функция класса D.

Лемма 8.2.

Если функция (x) есть суммируемая функция, а произвольное действительное число, то их произведение функция (x) тоже является суммируемой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим два случая:

1. Пусть 0. Тогда из того, что (x) D, следует, что существуют f (x) D+ и g(x) D+ такие, что (x) = f (x) g(x). Из леммы 6.3 вытекает, что f (x) D+ и g(x) D+. А так как

–  –  –

следует, что и в этом случае (x) D.

Рисс Фридьеш (Riesz Frigyes)(1880 – 1956) венгерский математик, один из основателей теории топологических пространств.

См. комментарии в конце главы.

Из лемм 8.1 и 8.

2 получаем, что любые линейные комбинации функций из класса D сами являются функциями класса D. Поэтому имеет место следующее Следствие 8.1. Класс функций D является линейным пространством.

Лемма 8.3.

Если функция (x) есть суммируемая функция, то и модуль этой функции |(x)| тоже является суммируемой функцией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что (x) = f (x) g(x), где f (x) D+ и g(x) D+. Если (x) 0, то f (x) g(x), поэтому max(f (x), g(x)) = f (x), а min(f (x), g(x)) = g(x). Откуда следует, что |(x)| = (x) = f (x) g(x) = max(f (x), g(x)) min(f (x), g(x)).

Если же (x) 0, то f (x) g(x), следовательно, max(f (x), g(x)) = g(x), а min(f (x), g(x)) = f (x). Раскрывая модуль, получаем |(x)| = (x) = g(x) f (x) = max(f (x), g(x)) min(f (x), g(x)).

Таким образом, |(x)| = max(f (x), g(x)) min(f (x), g(x)).

Из леммы 6.4 следует, что и max(f (x), g(x)), и min(f (x), g(x)) в данном случае являются функциями класса D+.

И поэтому |(x)| D.

Лемма 8.4.

Если функция (x) есть суммируемая функция, то е положи-е + тельная (x) и отрицательная (x) части есть суммируемые функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично теоретическому упражнению 3.1 из этой главы попробуем определить положительную + (x) и отрицательную (x) части суммируемой функции (x) как линейные комбинации самой функции и е е модуля.

1. Допустим, что (x) 0. Тогда если (x) = f (x) g(x) (здесь f (x) D+ и g(x) D+ ), то f (x) g(x) 0 и поэтому + (x) = max((x), 0) = max(f (x) g(x), 0) = f (x) g(x) = (x), а (x) = max(0, (x)) = max(0, g(x) f (x)) = 0.

Что же касается модуля |(x)|, то в данном случае |(x)| = (x).

2. В том случае, когда (x) 0, получаем, что + (x) = max((x), 0) = max(f (x) g(x), 0) = 0, а (x) = max(0, (x)) = max(0, (f (x) g(x))) = g(x) f (x) = (x).

А модуль |(x)| = (x). Рассматривая полученные в первом и втором случаях соотношения, заметим, что их объединяет следующая система уравнений (x) = + (x) (x), |(x)| = + (x) + (x).

Решая данную систему относительно + (x) и (x), находим + (x) = ((x) + |(x)|), (x) = (|(x)| (x)).

Следовательно, на основании следствия 8.1 и леммы 8.4 можно утверждать, что положительная + (x) и отрицательная (x) части функции (x) являются суммируемыми функциями.

Лемма 8.5.

Если функции 1 (x) и 2 (x) являются суммируемыми функциями, то их max(1 (x), 2 (x)) и min(1 (x), 2 (x)) тоже суммируемые функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из доказательства леммы 3.5 данной главы следует, что рассматриваемые функции max(1 (x), 2 (x)) и min(1 (x), 2 (x)) можно представить в виде линейных комбинаций суммируемых функций max(1 (x), 2 (x)) = (1 (x) + 2 (x) + |1 (x) 2 (x)|);

min(1 (x), 2 (x)) = (1 (x) + 2 (x) |1 (x) 2 (x)|).

А это, в силу следствия 8.1, и означает, что они являются суммируемыми функциями.

§ 9. Интеграл в классе суммируемых функций Введм понятие интеграла в классе D. Пусть функция (x) является суммие руемой и имеет разложение

–  –  –

Тогда f (x) g(x) = f1 (x) g1 (x), а значит, f (x) + g1 (x) = f1 (x) + g(x). Откуда, в силу единственности интеграла в классе D+, следует, что I(f + g1 ) = I(f1 + g).

А из свойства линейности интеграла в классе D+ вытекает, что

–  –  –

Поэтому I(f ) I(g) = I(f1 ) I(g1 ), что и требовалось доказать.

Рассмотрим свойства, которыми обладает интеграл Даниэля.

Лемма 9.2 (С в о й с т в о а д д и т и в н о с т и).

Если функции 1 (x) и 2 (x) суммируемые функции, то

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что 1 (x) = f1 (x) g1 (x), а 2 (x) = f2 (x) g2 (x), где функции f1 (x), g1 (x), f2 (x), g2 (x) принадлежат классу D+. Тогда из свойств функций в этом классе следует, что

–  –  –

В силу аддитивности интеграла в классе D+ из последнего равенства вытекает, что I(1 +2 ) = I(f1 )+I(f2 )I(g1 +g2 ) = (I(f1 )I(g1 ))+(I(f2 I(g2 )) = I(1 )+I(2 ).

Что и доказывает, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Лемма 9.3 (С в о й с т в о о д н о р о д н о с т и).

Постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла Даниэля, то есть, если произвольное действительное число, то

–  –  –

как суммы двух функций из D+ сами принадлежат D+. Точно также это верно и для функций gn (x). Из условия леммы вытекает, что при любом n функции gn (x) = g(x) hn (x) 0 и при любом 0 можно найти номер N = N () такой, что для всех n N будет иметь место неравенство I(gn ).

Замечание 9.1. Обратите внимание, что в случае неотрицательности суммируемой функции (x), функции

fn (x) = f (x) hn (x) f (x) g(x) = (x)

также являются неотрицательными.

Следующая теорема определяет отношение между суммируемыми функциями и функциями, интегрируемыми по Риману.

Теорема 9.1.

Для того чтобы функция f (x) была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы f (x) и f (x) одновременно принадлежали классу D+.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что функция f (x) является интегрируемой по Риману на отрезке [a; b]. Разобьм отрезок [a; b] на 2n равных е промежутков.

Рассмотрим функцию hn (x), соответствующую данному разбиению:

е значения на каждом из промежутков являются постоянными, совпадающими е с точными нижними гранями функции f (x) на этих промежутках. Заставив n, определим последовательность функций {hn (x)}. Так как каждое новое разбиение является измельчением предшествующего, то построенная последовательность является неубывающей. В силу интегрируемости f (x) является почти всюду непрерывной функцией. Поэтому {hn (x)} почти всюду к ней сходится.

При этом предел последовательности интегралов от ступенчатых функций hn (x) является интегралом от функции f (x) (как функции класса D+ ), и он же является е нижним интегралом Дарбу, то есть интегралом Римана. То есть в данном е случае оба интеграла совпадают. Точно также можно доказать, что и функция f (x) D+.

Допустим теперь обратное. Пусть функции f (x) и f (x) одновременно принадлежат классу D+. В этом случае оба интеграла Дарбу функции f (x) совпадают с интегралом от этой функции в классе D+. Поэтому f (x) оказывается интегрируемой по Риману. Что и требовалось доказать.

–  –  –

Кроме этого, (x) есть функция неотрицательная и на множестве A имеет значения бльшие, чем 1. Рассмотрим множество точек A1 = {x : (x) 0}. Из построения o последовательности {n (x)} вытекает, что A A1. Так как интеграл от неотрицательной суммируемой функции (x) равен нулю, то почти всюду (x) = 0, что следует из теоремы 10.2. Поэтому множество A1 может быть только множеством меры нуль. А значит, и его подмножество A тоже является множеством меры нуль. Что и нужно было доказать.

§ 11. Теорема Лебега и е следствия е Предельный переход под знаком интеграла, рассмотренный в следствии 10.1, был бы невозможен без условия монотонности исследуемой последовательности.

В общем же случае попытка сформулировать утверждение о том, что

–  –  –

То есть lim I(n ) = I().

n Таким образом, снятие ограничения на характер предельного перехода приводит к невозможности организовать предельный переход под знаком интеграла. Попытка заменить условие монотонности была предпринята Анри Лебегом и привела его к доказанной в 1902 году теореме о предельном переходе под знаком интеграла для сходящейся последовательности суммируемых ограниченных функций.

Теорема 11.1 (Т е о р е м а Л е б е г а). Предположим, что 0 (x) неотрицательная суммируемая функция из класса D. Если последовательность суммируемых функций {n (x)} сходится на отрезке [a; b] почти всюду к функции (x) и удовлетворяет условию

–  –  –

Обозначим это множество через D(0 ). Из свойства монотонности интеграла Даниэля (лемма 9.5) следует, что для каждой функции f (x) D(0 ) справедливо неравенство I(0 ) I(f ) I().

Докажем, что множество D(0 ) замкнуто относительно операции предельного перехода для монотонных последовательностей. Пусть {fn (x)} монотонно возрастающая (или убывающая) последовательность функций из множества D(0 ).

Если f (x) = lim fn (x), то f (x) почти всюду вместе с функциями fn (x) удовлеn творяет неравенству (). Согласно следствию 10.1 функция f (x) является суммируемой функцией. Что и доказывает замкнутость множества D(0 ) относительно операции предельного перехода.

Предположим, что {n (x)} D(0 ) произвольная последовательность, сходящаяся почти всюду на отрезке [a; b] к некоторой функции (x). Построим две монотонные последовательности {n (x)} и {n (x)} такие, чтобы для любого натурального n выполнялись условия

–  –  –

Если из совокупности функций n (x), n+1 (x),... удалить функцию n (x), то нижняя точная грань может только увеличиться, а точная верхня грань только уменьшиться. Следовательно,

–  –  –

Поэтому функции n (x) образуют убывающую последовательность, а функции n (x) возрастающую последовательность. Таким образом, мы получили две монотонные последовательности из множества D(0 ), для которых функция (x) является пределом. А значит, в силу замкнутости D(0 ) относительно операции предельного перехода можно сделать вывод о суммируемости функции (x). Одновременно мы получаем

–  –  –

то lim n (x) = lim n (x) = (x).

n n Из леммы 8.5 о суммируемости максимума и минимума суммируемых функций вытекает суммируемость функций n (x). А из определения функций n (x) следует, что |n (x)| 0 (x). Поэтому из теоремы Лебега следует, что функция (x) является суммируемой функцией. Второе утверждение леммы о том, что |I()| I(0 ), вытекает из свойства монотонности интеграла Даниэля (см. лемму 9.5).

Еще одно следствие из теоремы Лебега связано с заменой условия |n (x)| 0 (x) на более слабое ограничение2 I(|n |) C. Прежде чем его сформулировать, рассмотрим еще одну теорему о суммируемости предела последовательности неотрицательных суммируемых функций, доказанную П. Фат3 в 1906 году и известную y как Теорема 11.2 (Л е м м а Ф а т у). Пусть {n (x)} последовательность неотрицательных суммируемых функций, сходящихся почти всюду на отрезке [a; b] к функции (x). Если C некоторая неотрицательная постоянная такая, что для любого натурального n

–  –  –

n (x) = inf{n (x), n+1 (x),... }.

Такое задание функций n (x) называется срезкой функций n (x) сверху и снизу по уровням 0 (x) и 0 (x) соответственно.

Эту срезку можно также определить следующим образом:

n (x) = max{min{n (x), 0 (x)}, 0 (x)}.

Здесь C некоторая неотрицательная постоянная.

Фату Пьер (Pierre Joseph Louis Fatou, 1878-1929) французский математик. Основные работы в области теории функций.

Так как функции n (x) являются неотрицательными по условию, то n (x) 0.

Из определения n (x) следует, что

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функции |n (x)| неотрицательные, то из леммы Фату вытекает, что функция |(x)| суммируемая функция. Поэтому из следствия 11.1 видно, что (x) суммируемая функция1 и имеет место

–  –  –

Именно это и требовалось доказать.

§ 12. Функции, измеримые по Риссу Из данного в § 8 определения суммируемой функции следует существование сходящихся почти всюду последовательностей ступенчатых функций, имеющих В силу очевидности неравенства (x) |(x)|.

суммируемые пределы. Но очевидно также, что существуют и такие последовательности ступенчатых функций, которые сходятся почти всюду, но не имеют суммируемых пределов. Поэтому возникает вопрос о том месте, которое суммируемые функции занимают в мире функций.

Определение 12.1. Функция, определнная почти всюду на отрезке [a; b], е называется измеримой по Риссу, если на этом отрезке существует почти всюду сходящаяся к ней последовательность ступенчатых функций.

Из этого определения вытекает, что любая функция, которая отличается от измеримой только на множестве меры нуль, сама является измеримой функцией.

Из леммы 6.1 следует, что каждая функция из класса D+ является измеримой функцией.

Рассмотрим простейшие свойства измеримых функций.

Лемма 12.1.

Измеримые функции образуют линейное пространство.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функции f (x) и g(x) измеримые функции. Тогда почти всюду на отрезке [a; b] существуют две последовательности ступенчатых функций {hn (x)} и {khn (x)} такие, что f (x) = lim hn (x), а g(x) = lim kn (x).

n n Согласно лемме 3.1 ступенчатые функции образуют линейное пространство. Поэтому функции hn (x) + kn (x) являются ступенчатыми. При этом они сходятся к функции f (x) + g(x) всюду, кроме множества меры нуль1. Следовательно, функция f (x) + g(x) является измеримой. Что и требовалось доказать.

Следствие 12.1. Каждая суммируемая функция является измеримой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как каждая функция f (x) D+ является по определению пределом возрастающей последовательности ступенчатых функций, то она является и измеримой функцией. Поэтому любая суммируемая функция как разность двух измеримых функций из класса f (x) D+ является измеримой.

Лемма 12.2.

Произведение двух измеримых функций является измеримой функцией.

Исходя из утверждения леммы 3.2, доказательство данной леммы проводится точно так же, как и доказательство предыдущей леммы.

Лемма 12.3.

Частное от деления двух измеримых функций есть функция измеримая, если функция-делитель почти всюду отлична от нуля.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность ступенчатых функций {hn (x)} сходится к измеримой функции f (x) всюду на отрезке [a; b] за исключением точек множества X, мера которого равна нулю. И, точно также, последовательность ступенчатых функций {kn (x)} сходится к измеримой функции g(x) всюду на отрезке [a; b] за исключением точек множества Y, мера которого тоже равна нулю. Заменим значения ступенчатых функций {kn (x)} в тех случаях, Данное множество является объединением двух множеств меры нуль, на которых последовательности ступенчатых функций {hn (x)} и {khn (x)} не сходятся к соответствующим измеримым функциям f (x) и g(x).

–  –  –

есть тоже измеримые функции.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем измеримость функции max{f (x), g(x)}.

Для этого покажем истинность следующего равенства:

–  –  –

Так как доказываемое равенство истинно, то функция max{f (x), g(x)} является линейной комбинацией измеримых функций. Значит и сама является измеримой функцией. Чтобы доказать измеримость функции min{f (x), g(x)}, достаточно доказать истинность следующего равенства

–  –  –

Поэтому и min{f (x), g(x)} является измеримой функцией.

Из следствия 12.1 мы знаем, что каждая суммируемая функция является измеримой. Но для того чтобы последовательность суммируемых функций сходилась к измеримой функции, она должна удовлетворять следующей лемме.

Лемма 12.7.

Если возрастающая последовательность суммируемых функций {n (x)} сходится почти всюду к функции (x), то функция (x) является измеримой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства леммы воспользуемся идеей, примененной при доказательстве теоремы 7.1 этой главы. Допустим, что функции n (x) D+. При каждом n существует последовательность ступенчатых функций {hnk (x)} такая, что при k hnk (x) n (x).

Предположим, что

–  –  –

Функции полученной последовательности {fn (x)} являются суммируемыми функциями и принадлежат классу D(). Следовательно, они почти всюду сходятся к функции f (x). Поэтому из теоремы Лебега следует, что функция f (x) суммируемая функция. Что и требовалось доказать.

Из данной теоремы вытекают два следствия.

Следствие 12.2Любая ограниченная измеримая функция является суммируемой..

Следствие 12.3. Каждая неотрицательная измеримая функция является пределом возрастающей последовательности суммируемых функций.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что f (x) неотрицательная измеримая функция. В этом случае существует последовательность неотрицательных ступенчатых функций {hn (x)} такая, что

–  –  –

то они являются суммируемыми функциями. При этом с ростом n они образуют неубывающую последовательность. Но поскольку функцию f (x) можно представить в виде <

–  –  –

то утверждение доказано.

В заключение данного введения в теорию измеримых функций рассмотрим теорему о замкнутости операции предельного перехода в классе измеримых функций.

И принадлежит классу D().

–  –  –

функций, эквивалентных нулю. D0 является подпространством в линейном пространстве D всех суммируемых функций. Рассмотрим фактор-пространство5 D/D0.

Оно является множеством классов эквивалентных суммируемых функций. И данное множество является уже линейным нормированным пространством с нормой I(||), где любая из функций класса, для которого определяется норма.

Полученное пространство классов эквивалентных суммируемых функций мы будем обозначать D1 [a; b], при этом для краткости мы по-прежнему будем его называть пространством суммируемых функций.

Рассмотрим две леммы, которые нам понадобятся далее.

Лемма 13.1.

В нормированном пространстве элементы любой фундаментальной последовательности ограничены по норме.

Доказательство этого утверждения полностью совпадает с доказательством теоремы 9.2 из второй главы.

Лемма 13.2.

Если подпоследовательность {nk } фундаментальной последовательности {n } сходится к элементу, то и сама фундаментальная последовательность сходится к этому элементу.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Данное утверждение верно в силу следующего неравенства n n nk + nk.

С ростом n и k первое слагаемое из правой части стремится к нулю в силу фундаментальности последовательности. А для второго слагаемого стремление к нулю вытекает из условия леммы.

В 1907 году Ф. Рисс и Э. Фишер1 доказали следующую теорему о полноте пространства D1 [a; b].

Теорема 13.1. Пространство D1 [a; b] является полным нормированным пространством: любая фундаментальная по норме = I(||) последовательность функций {n (x)} имеет предел в пространстве D1 [a; b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что 1 (x), 2 (x),..., n (x),...

некоторая фундаментальная последовательность в пространстве D1 [a; b]. Выберем последовательность возрастающих индексов n1 n2... такую, чтобы при n nk выполнялись неравенства n (x) nk (x) (k = 1, 2,... ).

2k В этом случае при n = nk + 1 nk +1 (x) nk (x).

2k См. § 15 предыдущей главы.

Фишер Е. (Fischer E., 1875-1959) немецкий математик. Работы в области теории функций и функционального анализа.

–  –  –

Если заставить k, то видно, что последовательность функций {nk (x)} почти всюду имеет предел. Обозначим этот предел через (x). Из леммы 12.12 следует, что функции nk (x) являются измеримыми. Поэтому, согласно теореме 12.2, их конечный предел функция (x) является измеримой. Так как функции {nk (x)} являются членами фундаментальной последовательности, то из леммы

13.1 следует, что их нормы nk, а следовательно, и числа I(|nk |) являются ограниченными. Поэтому из следствия 11.2 теоремы Лебега вытекает, что функция |(x)| является суммируемой функцией. Следовательно, суммируемой является и измеримая функция (x). Из того же следствия имеем nk = I(|nk |) sup I(|nk np |) = sup nk np.

pk pk С ростом k в силу фундаментальности последовательности интеграл в правой части неравенства можно сделать сколь угодно малым. Поэтому последовательность функций nk (x) сходится к (x) по норме рассматриваемого пространства.

Что, в силу леммы 13.2, означает, что и последовательность {n (x)} сходится к той же самой функции. Таким образом, теорема доказана.

В заключение вспомним с чего вс начиналось: неудовлетворенность интегралом е Римана была связана с тем, что пространство C1 [a; b] непрерывных функций f (x) на отрезке [a; b] с нормой b

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пространство C1 [a; b] вложено в пространство D1 [a; b] как пространство с такой же метрикой. Покажем, что это вложение является плотным, то есть каждую функцию (x) D1 [a; b] можно представить как предел последовательности функций f (x) C1 [a; b]. Во-первых, каждая ступенчатая функция h(x) C1 [a; b]. Во-вторых, поскольку каждая функция (x) D1 [a; b] является разностью двух функций из пространства D+ [a; b], то достаточно проверить, что каждая функция g(x) D+ [a; b] является пределом по норме D1 [a; b] некоторой последовательности ступенчатых функций {hn (x)}. Пусть функция g(x) D+ [a; b]. Выберем ту последовательность ступенчатых функций hn (x), которая е определяет: hn (x) е g(x), I(hn ) I(g). Тогда

hn (x) g(x) = I(hn g) = I(hn ) I(g) 0.

Что и требовалось доказать.

§ 14. Понятие меры множества по Риссу В §12 было введено понятие функции, измеримой по Риссу. Оно позволит ввести еще несколько необходимых определений.

Определение 14.1. Множество A [a; b] называется измеримым по Риссу множеством, если его характеристическая функция A (x) является измеримой.

Определение 14.2. Если характеристическая функция A (x) является не только измеримой, но и суммируемой, то множество A называется суммируемым по Риссу множеством, а число µ(A) = I(A ) называется мерой множества A.

Если множество измеримо, но не является суммируемым, то его мера считается равной +. Неизмеримое множество не имеет меры ни конечной, ни бесконечной.

Если про подмножество суммируемого множества известно, что оно измеримо, то его характеристическая функция также измерима. А так как она ограничена сверху суммируемой функцией, поэтому и сама является суммируемой. Следовательно, измеримое подмножество суммируемого множества является суммируемым.

Любое подмножество множества меры нуль является измеримым и имеет меру нуль. Пустое множество по определению считается измеримым и суммируемым и µ = 0.

В первом параграфе данной главы уже давалось определение множества меры нуль. Логично было бы выяснить, совпадают ли новое и старое определения.

Лемма 14.1.

Для множества меры нуль определения 1.2 и 14.2 эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что множество A есть множество меры нуль в смысле определения 1.2. Тогда из леммы 1.2 следует, что интеграл от функции A (x) равен нулю. Поэтому множество A является множеством меры нуль и по определению 14.2: µA = 0.

Допустим обратное: µA = I(A ) = 0. В этом случае из следствия теоремы Беппо Леви1 вытекает, что характеристическая функция множества A отлична от нуля только на множестве меры нуль в смысле определения 1.2. Таким образом, по отношению к множеству меры нуль исследуемые определения эквивалентны.

Рассмотрим далее свойства измеримых и суммируемых множеств.

Лемма 14.2.

Объединение, пересечение и разность измеримых множеств являются измеримыми множествами.

Доказательство этой леммы вытекает из следующих равенств:

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно условию теоремы характеристическая функция An (x) множества An является измеримой. Характеристическая функция множества A

–  –  –

для любого N. Поэтому ряд () сходится.

В случае расходимости этого ряда функция A (x) не суммируема. То есть в каждом из случаев требуемое равенство выполнено. Что и доказывает данную теорему.

Следствие 14.1. Если множества A и A1 измеримы, и A1 A, то множество A \ A1 также измеримо. При этом в случае суммируемости данных множеств µ(A \ A1 ) = µ(A) µ(A1 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как множества A1 и A \ A1 не пересекаются, то согласно доказанной теореме

–  –  –

Из произвольного характера выбора x0 следует, что теорема доказана.

§ 16. О связи между измеримыми и непрерывными функциями Следует заметить, что множество функций, непрерывных на отрезке, является подмножеством множества функций, измеримых на этом отрезке. Это доказывает следующая Теорема 16.1. Функция, непрерывная на отрезке, является измеримой на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b]. В силу теоремы Кантора она является равномерно непрерывной на этом отрезке. Это означает, что для любого сколь угодно малого положительного числа можно выбрать такое число 0, что для любых точек x1 и x2, принадлежащих [a; b], из того, что |x2 x1 |, следует, что |f (x2 ) f (x1 )|. Выберем в качестве последовательность чисел n = n (n = 1, 2,... ). Обозначим через П1 разбиение отрезка [a; b] с диаметром разбиения 1 = (1 ). Пусть данное разбиение состоит из произвольных промежутков I1. Определим ступенчатую функцию h1 (x) = min f (x). В каждом из промежутков I1 построенная функция xI1 удовлетворяет неравенству |h1 (x) f (x)|.

Далее, выбрав 2 =, построим разбиение отрезка [a; b] П2, которое имеет диаметр 2 = (2 ) 1 и является измельчением разбиения 1 = (1 ). Предполагая, что разбиение П2 состоит из произвольных промежутков I2, построим ступенчатую функцию h2 (x) = min f (x), которая удовлетворяет неравенству xI2 |h2 (x) f (x)|.

Продолжая процесс, мы получим последовательность ступенчатых функций {hn (x)}, соответствующих разбиениям Пn, диаметры которых стремятся к нулю, и таких, что в каждой точке отрезка [a; b] |hn (x) f (x)|.

2n Следовательно, всюду на отрезке [a; b] существует предел

–  –  –

Так, например, произведение произвольной измеримой функции f (x) на характеристическую функцию A (x) измеримого множества A является измеримой функцией3. Срезка суммируемой функции f (x) по измеримому множеству A также является суммируемой функцией.

Предположим, что (x) произвольная функция, определнная на отрезке е [a; b]. А A (x) характеристическая функция множества A [a; b].

Определение 17.1. Функция (x) называется суммируемой (измеримой) на множестве A, если произведение A (x)(x) является суммируемым (измеримым) на A. И будем полагать, по определению b

–  –  –

Сдвигая множество E вправо, нам придется выходить за пределы отрезка [0; 1]. В этом случае выходящую за пределы отрезка часть мы будем возвращать в начало отрезка, т.е. каждый раз отображая точки отрезка во внутрь этого отрезка.

–  –  –

Точно также, как и на конечном промежутке, можно доказать, что на бесконечном промежутке пространство D1 () является полным и ступенчатые функции образуют в нм всюду плотное подмножество.

е § 19. Комментарии к третьей главе

1. Классическое изложение теории интеграла Лебега предполагает предварительное изучение элементов теории меры, что создат большие проблемы в рамках е краткого по количеству часов курса. Известно, что в 1917 году английский математик П. Даниэль1 предложил свой подход к введению интеграла Лебега, который получил название схемы Даниэля2. Схема Даниэля дат возможность введения е интеграла Лебега, не используя понятие меры. В дальнейшем этот подход нашл е отражение в работах: Рисс Ф., Скефальви-Надь Б. Лекции по функциональному е анализу, Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс, Шилов Г.

Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная, из которых и взято основное содержание этой главы. Так как в следующей главе рассказывается об определении интеграла самим А. Лебегом и об эквивалентности данных подходов, то, чтобы не сбить читателя с толку, в данной главе интеграл называется интегралом Даниэля.

2. По этой же причине измеримые функции и суммируемые функции в данной главе называются измеримыми и суммируемыми по Риссу. Так как в следующей главе речь идет об эквивалентности определений измеримости и суммируемости по Лебегу и по Риссу, то, с точки зрения изложения, есть смысл разъединить эти понятия.

3. Помимо указанных выше работ при написании данной главы были использованы:

Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу.

Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения.

Даниэль Перси (Daniell Percy John, 1889-1946) английский математик. Основные работы связаны с общей теорией интеграла. Автор схемы Даниэля.

См. введение к работе Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.

Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.

–  –  –

Следующая теорема позволит дать более конструктивное определение измеримого множества.

Теорема 1.1 (О с т р у к т у р е и з м е р и м о г о м н о ж е с т в а п о л о ж и т е л ь н о й м е р ы).

Любое измеримое множество A положительной меры отличается от объединения конечного числа отрезков на множестве меры нуль.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что 0 некоторое фиксированное число. Построим конечную систему отрезков Bn таких, что множество A будет получаться из Bn добавлением точек множества an и удалением точек множества bn, мера каждого из которых меньше.

Так как характеристическая функция A (x) множества A измерима, то существует последовательность ступенчатых функций {hn (x)} такая, что

–  –  –

Каждая из построенных функций hn (x) является характеристической функцией для некоторого множества Bn, которое представляет собой объединение конечного числа отрезков. Покажем, что множество Bn есть требуемое множество. Для этого рассмотрим функции

–  –  –

Функция (hn (x) A (x))+ является характеристической функцией множества bn тех точек, которые принадлежат множеству Bn и не принадлежат множеству A. В свою очередь, функция (hn (x) A (x)) есть характеристическая функция множества an тех точек, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству Bn. Таким образом, множество A можно получить из множества Bn, если добавить к множеству Bn точки множества an и удалить из него точки множества bn.

Нам осталось сравнить множества A и Bn количественно:

µ(bn ) + µ(an ) = I (hn (x) A (x))+ + I (hn (x) A (x)) = = I (|hn (x) A (x)|) 0.

Следовательно, теорема доказана.

Введм следующее определение. Для этого покроем произвольное множество е A на отрезке [a; b] конечной или счтной системой интервалов и найдм сумму S е е длин этих интервалов.

Определение 1.1. Точная нижняя грань всех получающихся чисел S при всевозможных покрытиях множества системами интервалов называется верхней или внешней мерой множества A и обозначается µ (A). Например, множество меры нуль по своему определению имеет и внешнюю меру нуль.

Теорема 1.2.

Для каждого измеримого множества A µ (A) = µ(A).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B есть система неперекрывающихся интервалов, покрывающая множество A. Из параграфа 14 предыдущей главы следует, что B измеримое множество. А его мера равна сумме длин входящих в него интервалов.

Так как A B, то µ(A) µ(B). Поэтому внешняя мера множества A µ (A) = inf µ(B) µ(A). () BA

–  –  –

Мы видим, что f (x) является неотрицательной измеримой и ограниченной функцией. Поэтому, согласно теореме Беппо Леви, интеграл от нее равен нулю. А это означает, что и сама f (x) почти всюду равна нулю. А так как hU (x) (1 hV (x)) hU (x) A (x) 0, то A (x) = lim hU (x).

Следовательно, A (x) есть измеримая и суммируемая функция, что эквивалентно измеримости множества A.

§ 2. Понятие меры множества по Лебегу Создатель теории меры А. Лебег сво определение измеримого множества дал, е опираясь на соотношение, полученное в теореме 1.3.

Определение 2.1. Множество A [a; b] называется множеством, измеримым по Лебегу, если верно равенство µ (A) + µ (CA) = b a.

В некоторых учебниках1 вместо данного равенства вводится понятие внутренней или нижней меры множества. Для этого предварительно определяется мера замкнутого множества F A [a; b].

Так как множества U и V определяются числом, то и функции hU (x) на самом деле представляют последовательность функций, зависящих от : hU () (x).

См., например, Натансон И. П., гл. III, § 3.

–  –  –

Ранее, в § 12 третьей главы, было введено понятие функции, измеримой по Риссу.

Теорема 3.1.

Определения функций, измеримых по Риссу и Лебегу, эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что функция (x) измерима по Риссу.

Определим с е помощью новую функцию е

–  –  –

А это означает, что полученный предел является характеристической функцией E(; c) (x) множества E(; c). Так как отношение c (x) задат функции, измеримые е по Риссу, то и их предел E(; c) (x) также является измеримой по Риссу функцией.

Поэтому множество E(; c) является измеримым по Риссу, а значит, и его дополнение также измеримо по Риссу. А так как внешняя мера каждого из этих множеств совпадает с мерой множества по Риссу1, то множество E(; c) измеримо и по Лебегу. Следовательно, функция (x) измерима по Лебегу.

Предположим обратное: функция (x) измерима по Лебегу. Это означает, что любое из множеств E(; c) измеримо. Следовательно, для любых c1 и c2 измеримыми будут и множества

–  –  –

Очевидно, что множества Ei попарно не пересекаются, а их объединение составляет [a; b].

Так как функция (x) является измеримой, то множества Ei являются измеримыми, поскольку каждое из них можно представить в виде разности измеримых множеств:

–  –  –

§ 5. Определение интеграла Лебега от неограниченной измеримой функции Если функция (x) является измеримой, но неограниченной на отрезке [a; b], то Лебег рассматривает два случая.

В первом из них предполагается, что измеримая и неограниченная функция (x) является неотрицательной. Аналогично случаям, рассмотренным в §11 и §12 третьей главы, определяется срезка функции (x) натуральным числом N

–  –  –

называется интегралом Лебега от измеримой функции (x) на отрезке [a; b].

Если измеримая функция (x) ограничена, то ограниченными являются + (x) и (x). Поэтому новое определение совпадает с определением 4.3. Если же неотрицательная измеримая функция (x) будет неограниченной, то новое определение совпадт с определением 5.1. Так как в этом случае + (x) = (x), а (x) = 0.

е Для того чтобы интеграл b (L) (x)dx a существовал и был конечен, необходимо и достаточно, чтобы функции + (x) и (x) были суммируемы по Лебегу на отрезке [a; b].

Определение 5.3. Произвольная измеримая функция (x) называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой на отрезке [a; b], если интеграл Лебега от этой функции существует и является конечным числом.

Из этого определения вытекает, что любая ограниченная измеримая функция является суммируемой. Для неотрицательной функции последнее определение совпадает с определением 5.1.

Класс функций, определнных и суммируемых по Лебегу на отрезке [a; b], е обычно обозначают L([a; b]). Докажем, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 5.1.

Классы D([a; b]) и L([a; b]) совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Это утверждение достаточно проверить для неотрицательных функций. Если функция (x) 0 и суммируема по Лебегу на [a; b], то е можно представить в виде предела возрастающей последовательности е ограниченных суммируемых по Лебегу функций N (x). Поэтому, по теореме Беппо Леви, функция (x) суммируема по Риссу и I() = lim I(N ). Таким образом, N е интеграл Даниэля совпадает с интегралом Лебега.

е Предположим обратное: пусть функция (x) 0 суммируема по Риссу. Тогда все функции N (x) ограничены и измеримы и

I(N ) I().

Так как I(N ) ограничены, то они имеют конечный предел. А это означает, что функция (x) суммируема по Лебегу. Из первой части доказательства вытекает, что е интеграл Лебега совпадает с числом I(). Таким образом, результат построе ения интеграла Лебега А. Лебегом совпадает с построением интеграла по схеме Даниэля, предложенным Ф. Риссом. Исторически за интегралом сохранилось имя его создателя А. Лебега, поэтому далее он и будет называться интеграл Лебега.

§ 6. Комментарии к четвертой главе

Содержание данной главы взято из работ:

Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.

Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная.

ДОПОЛНЕНИЯ Дополнение 1. Интегрирование функции двух переменных

–  –  –

В теории интеграла Лебега также существует аналогичная формула, найденная в 1907 году Г. Фубини1. Связанная с ней теорема получила его имя. Прежде, чем сформулировать теорему, введм следующие обозначения: обозначим через е Ix ((x; y)) интеграл от (x; y) по отрезку [a; b] и точно так же через Iy ((x; y)) интеграл от (x; y) по отрезку [c; d].

Теорема D1.1. Пусть функция (x; y) суммируемая функция в прямоугольнике D = {(x, y) : a x b; c y d}.

Тогда имеют место следующие условия:

1) рассматриваемая как функция аргумента x при фиксированном y, эта функция является суммируемой функцией по x почти при всех значениях y;

2) е интеграл Ix ((x; y)) как функция от y является суммируемой функцией е на отрезке [c; d];

3) выполняется равенство

–  –  –

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что для ступенчатых функций формула повторного интегрирования имеет место, поскольку процесс построения интегральных сумм в данном случае ни чем не отличается от такого же процесса в классическом анализе. Поэтому достаточно будет доказать существование формулы для функции из класса D+. Предположим, что {hm (x; y)} монотонно возрастающая последовательность ступенчатых функций, которая сходится к функции Фубини Гвидо (Fubini Guido, 1879-1943) итальянский математик. Его основные работы относятся к теории функций и геометрии.

(x; y) на множестве плоской полной меры A D. Построим функции

–  –  –

Функции gm (y), по крайней мере, определены при всех y, которые не соответствуют линиям разрыва {hm (x; y)}. Последовательность функций {gm (y)} монотонно возрастает при m. Также можно увидеть, что интегралы от gm (y) ограничены в совокупности. В силу их определения

–  –  –

произвольно выбранная точка того множества Ay [c; d] Допустим, что y полной меры, на котором функция g(y) определена и конечна. При этом значении

y функции hm (x; y) как функции от x образуют монотонно возрастающую последовательность:

Ix (hm (x; y)) = gm (y) g(y).

Очевидно,что интегралы от этих функций ограничены. Поэтому, в силу теоремы Беппо Леви, функции hm (x; y) почти при всех x, то есть на некотором множестве Ayx [a; b] полной меры по x, сходятся к некоторой функции 0 (x; y). А это означает, что lim Ix (hm (x; y)) = g(y) = Ix (0 (x; y)).

m В результате получаем формулу

–  –  –

Функция 0 (x; y) совпадает с функцией (x; y) во всех точках (x; y), которые одновременно принадлежат множествам A и Ayx. Это следует из того, что на первом из этих множеств

–  –  –

а на втором lim hm (x; y) = 0 (x; y).

m Следует заметить, что если hm (x; y) всюду сходится к функции (x; y), то на множестве Ayx справедливо равенство 0 (x; y) = (x; y). Поэтому утверждение доказываемой теоремы оказывается верным.

Так, например, это имеет место, когда функции hn+1 (x; y)hn (x; y) = en (x; y) являются характеристическими функциями непересекающихся прямоугольников Dn (n = 1, 2,... ). В этом случае интеграл I() является счтной суммой площае дей этих прямоугольников. Каждая из функций gm (y) = Ix (hm (x; y)) определяет сумму длин интервалов, полученных в пересечении соответствующей горизонтальной прямой с первыми m прямоугольниками. А функция g(y) = lim gm (y) m есть счтная сумма длин всех аналогичных интервалов.

е Далее нам придтся прервать доказательство теоремы, чтобы с помощью форе мулы () установить связь между множествами элементов x и элементов y на любом плоском множестве полной меры.

Лемма D1.1.

Каждое плоское множество Z полной меры пересекается почти всеми горизонтальными прямыми1 y = y0 по множеству элементов x полной линейной меры.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем положительное число. Образуем покрытие дополнения CZ множества Z системой непересекающихся прямоугольников D1, D2,..., Dn,... с общей площадью, меньшей, чем. Рассмотрим характеристические функции (x; y) этой системы прямоугольников. Из формулы () следует, что I( ) = Iy (Ix ( (x; y))) = Iy (g (y)).

Заставим стремиться к нулю. При этом предположении характеристические функции (x; y) образуют убывающую последовательность. А это означает, что и функции g (y) = Ix ( (x; y)) также образуют убывающую последовательность.

Так как I( ) 0, то и Iy (g (y)) 0. Откуда почти для всех y следует, что g (y) 0.

Обозначим множество всех y, для которых g (y) 0, через A0. Данное множество имеет полную меру. Выше, при доказательстве теоремы, было показано, что каждое значение g (y) есть сумма длин интервалов, получающихся в пересечении соответствующей горизонтальной прямой y = y0 с прямоугольниками D1, D2,..., Dn,..., покрывающими множество CZ. Из этого видно, что пересечение множества CZ с прямой y = y0 A0 может быть покрыто счтной системой е интервалов, общая длина которых может быть сколь угодно мала. Следовательно, рассмотренное пересечение имеет меру нуль. А пересечение множества Z с этой же прямой имеет полную меру. Что и требовалось доказать.

Вернмся к прерванному доказательству теоремы.

е Последовательность {hm (x; y)} сходится к функции (x; y) на множестве A плоской полной меры. На оси Oy можно найти множество Ay линейной полной меры такое, что для y0 Ay функции hm (x, y0 ) сходятся к функции (x; y0 ) на множестве Ayx линейной полной меры по x. При построении множества Ay, на котором сходится последовательность gm (y), можно заранее исключить точки множества меры нуль, не входящие в Ay. Поэтому мы можем считать, что Ay Ay. Далее мы зафиксируем y0 и рассмотрим множество точек Ay0 x, на котором То есть всеми, кроме множества элементов y меры нуль.

последовательность hm (x; y0 ) сходится к функции 0 (x; y0 ). Если исключить точки множества меры нуль, которые не входят в множество Ay0 x, то, как и выше, можно считать, что Ay0 x Ay0 x. Так как на множестве Ay0 x мы имеем

–  –  –

на множестве не следует их равенство, а также суммируемость функции (x; y) на этом множестве. Для этого должны иметь место условия следующей леммы.

Лемма D1.2.

Если на множестве A функция (x; y) измерима и неотрицательна, то из существования хотя бы одного из интегралов () следует суммируемость функции (x; y) на A и равенство

–  –  –

С ростом n функции n (x; y) монотонно возрастают и стремятся к функции (x; y). Так как для каждого n I(n ) I, то из теоремы Беппо Леви следует, что функция (x; y) суммируема. Тогда к ней применима теорема Фубини, и мы получаем требуемое равенство.

В качестве приложения теоремы рассмотрим следующее Теоретическое упражнение D1.1. Доказать, что если функции (x) и (y) суммируемы при x, y [a; b], то функция (x)(y) суммируема на квадрате A = {(x; y) : a x b; a y b} и I() = I()I().

Так как функции (x) и (y) суммируемы, то они измеримы. Поэтому их модули, а также их произведение являются измеримыми функциями. В силу независимости переменных Iy (Ix (|(x)||(y)|) = Iy (||)Ix (||). Поэтому функция |(x)(y)| суммируема на квадрате A, а значит, и (x)(y) также суммируема на A. При этом она не только суммируема, но и измерима. Из равенства ( ) следует, что I() = Iy (Ix ((x)(y))) = Iy ()Ix ().

Что и требовалось доказать.

Дополнение 2. Схема Даниэля построения интеграла Лебега Как уже отмечалось выше, рассмотренное в третьей главе построение интеграла Лебега связано с именем Даниэля. Но приведенное построение является частным случаем схемы Даниэля. Поэтому есть смысл привести кратко схему Даниэля в общем виде. При этом можно будет увидеть сжатое изложение третьей главы на примере ступенчатых функций и понять, что эти функции могут быть заменены другими, обладающими такими же свойствами.

Пусть X некоторое непустое множество. Определим на X семейство H = H(X) действительных функций h(x), x X, которые назовм элементаре ными функциями.

Предположим, что семейство H состоит из функций, удовлетворяющих следующим свойствам:

1) если функции h1 (x) и h2 (x) при любом x X являются функциями из H, то их линейная комбинация h1 (x)+h2 (x) принадлежит H при любых действительных и ;

2) если функция h(x) H при x X, то е модуль |h(x)| также принадлежит H;

е

3) функция h(x) = 1 является функцией из H при x X.

Из свойства 1) следует, что семейство H есть линейное пространство. На основании свойства 2) можно заключить, что если h(x) H при x X, то е е положительная часть h+ (x) = (|h(x)| + h(x)) и е отрицательная часть е h+ (x) = (|h(x)| h(x)) также являются функциями из H. Одновременно с ними для любых h1 (x) и h2 (x), принадлежащих H, функции max{h1 (x), h2 (x)} и min{h1 (x), h2 (x)} тоже входят в H при x X.

Предположим также, что каждой элементарной функции h(x), x X соответствует число h(x)dµ, которое обладает следующими свойствами:

X

а) для любых h1 (x) H, h2 (x) H и всех действительных и

–  –  –

Это число будем называть элементарным интегралом функции h(x) по множеству X.

При выполнении условий а) в) совокупность H можно расширить до некоторого класса функций L(X)1, определнных на X. При этом элементарный е интеграл распространяется из H на L(X), то есть для каждой функции (x) L(X) вводится интеграл (x)dµ. Расширение L(X) называется классом X интегрируемых или суммируемых по Лебегу на множестве X функций. А интеграл (x)dµ называется интегралом Лебега функции (x) по X. Рассмотрим X кратко, как строится это расширение.

Введм понятие множества меры нуль.

е Определение D2.1. Пусть множество A X. Если для каждого 0 существует монотоннно возрастающая последовательность элементарных функций

–  –  –

Для построения расширения определим вспомогательный класс функций L+ (X).

Определение D2.3.

Функция f (x), x X, принадлежит классу L+ (X), если почти всюду является пределом некоторой монотонно возрастающей на X последовательности элементарных функций {hn (x)}, интегралы от которых ограничены в совокупности:

–  –  –

С помощью функций f (x) и g(x) из класса L+ (X) можно определить и требуемый класс L(X) интегрируемых по Лебегу на X функций.

Определение D2.4. Функция (x) называется интегрируемой или суммируемой по Лебегу, если е можно представить в виде разности е

–  –  –

Можно проверить, что условия 1)–3) и а)–в), наложенные на элементарные функции и элементарный интеграл, имеют место и в этом случае. Поэтому по схеме Даниэля можно построить класс интегрируемых по Лебегу функций L([a; b]), совпадающий с построенным в третьей главе классом D([a; b]).

3. Допустим, что X является некоторым бесконечным интервалом (a; b). В этом случае в качестве совокупности H ((a; b)) элементарных функций можно выбрать класс ступенчатых функций, или класс непрерывных функций, или класс функций, интегрируемых по Риману. При этом каждая из функций выбранного класса должна быть равна нулю вне некоторого конечного интервала, своего для каждой функции2. Пример такого построения, когда в качестве элементарных функций выбраны ступенчатые функции, рассмотрен в §16 третьей главы.

В заключение заметим, что в пространстве бльшей размерности на множестве o X аналогично можно определить пространство H(X) элементарных функций подобно тому как это описано в Дополнении 1, где в качестве множества X выбран прямоугольник D, а роль элементарных функций играют ступенчатые функции3.

Дополнение 3. Примеры вычисления интеграла Лебега

–  –  –

по Лебегу. Для вычисления интеграла Лебега от f (x) рассмотрим функцию g(x) = x3, эквивалентную функции f (x) на отрезке [0; 1] (значения этих функций отличаются только на множестве меры нуль). Интеграл Лебега от g(x) cовпадает с е интегралом Римана.

е

–  –  –

Вычислить интеграл (L) f (x) dx.

Решение.

Из примера 2 следует, что мера множества D равна нулю. Поэтому интегрируемая функция f (x) на отрезке [0; 1] эквивалентна функции g(x) = 2. Следовательно,

–  –  –

Решение 2.

Так как функция f (x) измерима и ограничена, то она интегрируема по Лебегу.

Кроме этого, она почти всюду совпадает с функцией g(x) = x. Поэтому

–  –  –

Комментарии к дополнениям

1. Дополнение 1 написано с помощью работ:

Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.

Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная.

2. Содержание Дополнения 2 взято из книги Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу.

3. При составлении Дополнения 3 были использованы:

Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу.

Действительный анализ в задачах.

Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной.

Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.

Ответы к теоретическим упражнениям Глава 1 3.1 Если x [0; 1], то функция y(x) = (b a)x + a определяет взаимно однозначное отображение.

3.2 Если x [0; 1], то функция y(x) = ctg( x) определяет взаимно однозначное отображение.

3.3 Построим на интервале (0; 1) последовательность попарно различных точек x1 =, x2 =, x3 =,..., xn =,....

2 3 4 n+1 Установим следующее отображение: точку 0 отрезка отобразим в точку x1 интервала; точку 1 [0; 1] в точку x2 (0; 1); точку x1 = [0; 1] в точку x3 (0; 1); точку x2 = [0; 1] в точку x4 (0; 1). То есть каждую точку xn [0; 1] отобразим в точку xn+2 (0; 1). Все остальные точки отрезка [0; 1] отобразим в самих себя. Построенное отображение задат взаимно однозначное е соответствие (см. приведнный рисунок).

е

–  –  –

|x2 x3 | + |x3 x1 | + |y2 y3 | + |y3 y1 | = 1 (A, C) + 1 (C, B).

3.2 Так как расстояние определяется с помощью операции модуля, то первые три аксиомы проверяются точно так же, как и в предыдущем упражнении. Поэтому в проверке нуждается только аксиома 4. Предположим, что точки A, B, C имеют соответственно координаты (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ) и допустим, что

–  –  –

max{|x2 x3 |; |y2 y3 |} + max{|x3 x1 |; |y3 y1 |} = (A, C) + (C, B).

3.3 Точно так же, как и в упражнении 3.1, справедливость аксиом 1 3 следует из симметрии операций возведение в квадрат и взятие модуля. Поэтому и при n = 2 и при n 2 достаточно проверить только выполнение неравенства треугольника.

Предположим, что n = 2, а точки A, B, C имеют соответственно координаты (x1 ; y1 ), (x2 ; y2 ), (x3 ; y3 ). Нам нужно показать, что

–  –  –

которое является координатной формой векторного неравенства Коши-Буняковского:

|ab| |a| · |b|.

Здесь a = {a1 ; a2 }, а b = {b1 ; b2 }. Таким образом, в случае n = 2 расстояние e является метрикой.

Если же n 2, то выберем в пространстве Rn три точки:

–  –  –

А теперь, используя доказанное условие симметрии, поменяем во втором слагаемом правой части условия (2 ) z и y местами и получим неравенство треугольника:

–  –  –

Комментарии Решения теоретических упражнений, как и сами упражнения, были взяты из работ:

Городецкий В. В. и др. Методы решения задач по функциональному анализу.

Макаров Б. М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу.

Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.

Скворцов В. А. Примеры метрических пространств.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.

Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние?

Упражнения для самостоятельной работы

1. Можно ли на интервале (0; 1) построить функцию, имеющую в каждой точке интервала локальный максимум?

2. Существует ли непрерывная функция, определяющая взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [a; b] и всей числовой прямой?

3. Существует ли непрерывная функция, определяющая взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [a; b] и точками интервала (c; d)?

4. Существует ли непрерывная функция, определяющая взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [2; 5] и точками объединения отрезков [0; 1] и [6; 8]?

5. Существует ли функция, разрывная во всех точках отрезка [0; 1] такая, что е модуль является непрерывной функцией на этом отрезке?

е

6. Определите мощность множества всех конечных и счтных подмножеств е множества, имеющего мощность континуума.

7. Определите мощность множества точек разрыва монотонно возрастающей функции, заданной на множестве (; ).

8. Определите мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, определнных на отрезке [a; b].

е

9. Определите мощность множества всех монотонно возрастающих функций, определнных на отрезке [a; b] (включая разрывные функции).

е

10. Существует ли непрерывная функция f : R R такая, что при рациональном x значение функции f (x) иррационально, а при иррациональном x е значение е является рациональным числом?

11. Какую мощность имеет множество экстремальных значений непрерывной функции f : R R?

12. Является ли верным определение: множество называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки?

13. Докажите, что множество внутренних точек любого множества является открытым множеством.

–  –  –

Комментарии к упражнениям

Упражнения для самостоятельной работы были взяты из книг:

Избранные задачи по вещественному анализу.

Действительный анализ в задачах.

Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной.

Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу.

Библиографический список

1. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию / П. С. Александров. М.: Наука, 1977. 368 с.

2. Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного / А. Л. Брудно.

М.: Наука, 1971. 120 с.

3. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах / Н. Я. Виленкин. М.: Наука, 1965.

128 с.

4. Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ / Б. З. Вулих. М.: Наука, 1967. 416 с.

5. Методы решения задач по функциональному анализу / В. В. Городецкий [и др.]. К.: Выща шк., 1990. 479 с.

6. Действительный анализ в задачах / П. Л. Ульянов [и др.]. М.:

ФИЗМАТЛИТ, 2005. 416 c.

7. Дерр В. Я. Теория функций действительной переменной. Лекции и упражнения / В. Я. Дерр. М.: Высш.шк., 2008. 384 с.

8. Кантор Г. Труды по теории множеств / Г. Кантор. М.: Наука, 1985. 431 с.

9. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров. М.: Наука, 1989. 624 с.

10. Избранные задачи по вещественному анализу / Б. М. Макаров [и др.]. СПб.:

Невский диалект; БХВ-Петербург, 2004. 624 с.

11. Медведев Ф. А. Очерки истории теории функций действительного переменного / Ф. А. Медведев. М.: КомКнига, 2006. 248 с.

12. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.

П. Михайлов. М.: Наука, 1976. 392 с.

13. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной / И. П. Натансон.

М.: Наука, 1974. 480 с.

14. Очан Ю. С. Сборник задач по математическому анализу / Ю. С. Очан. М.:

Просвещение, 1981. 271 c.

15. Рисс Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс. М.: Мир, 1979.

587 с.

16. Скворцов В. А. Примеры метрических пространств / В. А. Скворцов. М.:

МЦНМО, 2002. 24 c.

17. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч.1. М.:

Просвещение, 1982. 208 с.

18. Хаусдорф Ф. Теория множеств / Ф. Хаусдорф. М.-Л.: ОНТИ, 1937.

304 с.

19. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс / Г. Е. Шилов.

М.: Физматгиз, 1961. 436 с.

20. Шилов Г. Е. Интеграл, мера и производная / Г. Е. Шилов. М.: Наука, 1967.

220 c.

21. Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? / Ю. А. Шрейдер. М.: Физматгиз,

1963. 76 с.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ



Pages:     | 1 ||
Похожие работы:

«Программа ОЭСР "Международная оценка образовательных достижений учащихся" 2015 ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО ТЕСТИРОВАНИЯ PISA 2015 PISA 2015 Contractors Содержание Научная грамотность – Примеры заданий предварительного исследования PISA 2015 Обзор.. 3 Станд...»

«АННОТАЦИЯ ПО ПРОЕКТУ Государственный контракт № 02.740.11.0879 от 28 июня 2010 г. Тема: "Разработка новых фотонных технологий анализа биофизических процессов в живых организмах на субклеточном, клеточном и тканевом уровнях для задач неинвазивной и минимально-инвазивной диагностики...»

«R&S®ZVH Анализатор антенн и кабелей Краткое руководство 1309.6900.15 – 04 Test & Measurement Краткое руководство ® Данное Краткое руководство описывает следующие модели и опции R&S ZVH R&S ZVH4...»

«ПРОТОКОЛ ПУБЛИЧНЫХ СЛУШАНИЙ № по рассмотрению проекта схемы теплоснабжения муниципального образования город Кировск с подведомственной территорией г. Кировск 21.05.2015 г., 16 час. Место проведения: Мурманская область, г. Кировск, пр. Ленина, д. 16 (актовый зал) Основание проведения: Постановление главы город...»

«Автономный GPS-маяк T-15 (Т-15А) Руководство по эксплуатации OOО "Транском" г. Москва 1. Краткое описание Прибор предназначен для удаленного определения местоположения автомобиля, мотоцик...»

«"УТВЕРЖДАЮ" Член Правления, Руководитель Дирекции обслуживания физических лиц ЗАО "Райффайзенбанк" Степаненко А.С. _ "13" февраля 2012 года Вступают в действие с "27" февраля 2012 года ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ОБСЛУ...»

«База нормативной документации: www.complexdoc.ru Программа производственного контроля за соблюдением санитарных правил и выполнения санитарно-противоэпидемических (профилактических) мероприятий организации* Утверждена директором филиала ОАО ТГК-4 Белгородская региональная...»

«Електротехнічні та радіотехнічні вимірювання ЕЛЕКТРОТЕХНІЧНІ ТА РАДІОТЕХНІЧНІ ВИМІРЮВАННЯ УДК 621.391 И.В. ТРОЦИШИН, Г.Ю. ШОКОТЬКО Одесская национальная академия связи имени А.С. Попова ПРОБЛЕМЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЧАСТОТЫ РАДИ...»

«Союз машиностроителей России Пресс-служба ОБЗОР СООБЩЕНИЙ СРЕДСТВ МАССОВОЙ ИНФОРМАЦИИ 26 августа 2016 года Содержание: 1. О Союзе машиностроителей России. МК \ "Зеленый щит" нуждается в защите \ "Единая Россия" обеспечит контроль застройки лесов Сообщения с аналогичным содержан...»

«Негосударственное образовательное учреждение "Открытый молодёжный университет"КОМПЛЕКСНАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА "ШКОЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" УТВЕРЖДАЮ Директор Негосударственного образовательного учреждения "Открытый молодёжный университет" И. В. Дмитриев "_"_ 2014 г. Практическое моделирование. Компью...»

«АННАЛЫ ХИРУРГИЧЕСКОЙ ГЕПАТОЛОГИИ. 2000. Т. 5. № 1. С. 65-69 Диагностика и лечение острого панкреатита А. Г. Бебуришвили, Анализированы результаты лечения 470 пациентов с тяжелым В. А. Гольбрайх, панкреонекрозом. Использован диагностически-лечебный алгоритм, В. А. Иевлев, включающий срочное...»

«29 декабря 2016 года N 34-ПК ПЕРМСКИЙ КРАЙ ЗАКОН О БЮДЖЕТЕ ПЕРМСКОГО КРАЯ НА 2017 ГОД И НА ПЛАНОВЫЙ ПЕРИОД 2018 И 2019 ГОДОВ Принят Законодательным Собранием Пермского края 15 дека...»

«Олег Шмаков Бинарный опцион – это просто "Издательские решения" Шмаков О. Бинарный опцион – это просто / О. Шмаков — "Издательские решения", 2015 ISBN 978-5-457-69178-0 Автор книги занимается торговлей бинарными опционами продолжит...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.