WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 |

«Бидерман В.И. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Хабаровск 2011 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное ...»

-- [ Страница 1 ] --

Бидерман В.И.

ЭЛЕМЕНТЫ

ТЕОРИИ

ФУНКЦИЙ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО

ПЕРЕМЕННОГО

Хабаровск 2011

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тихоокеанский государственный университет

Бидерман В.И.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Утверждено издательско-библиотечным советом университета в качестве учебного пособия Хабаровск Издательство ТОГУ УДК 517.5(07) ББК 22.16 Б 597

Рецензенты:

Кафедра Высшая математика ДВУГПС (зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доц. П. В. Виноградова);

Е. А. Мясников, канд. физ.-мат. наук, доц.кафедры М и ММЭ ХГАЭП Научный редактор канд. физ.-мат. наук, доц. Е. Г. Агапова

Б597 Бидерман В. И. Элементы теории функций действительного переменного :

учеб. пособие / В. И. Бидерман. Хабаровск: Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2011.

195 с.

ISBN 9785738909313 Пособие предназначено для студентов специальности Прикладная математика и других специальностей с математическим уклоном. Первые две главы пособия могут быть использованы при чтении курсов высшей математики для студентов технических и экономических специальностей дневной формы обучения.



Рассматриваются вопросы теории бесконечных множеств, метрических и линейных нормированных пространств, теории построения интеграла Лебега по схеме Даниэля, е эквивалентности с определением Лебега, элементы теории меры. Пое собие включает подборку задач, связанных с непосредственным вычислением интеграла Лебега, и вопросы для самостоятельной работы, а также список литературы, предполагающий более углубленное знакомство с изучаемым материалом.

Ключевые слова: теория множеств, метрические и линейные нормированные пространства, интеграл Лебега УДК 517.5(07) ББК 22.16 ISBN 9785738909313 c Бидерман В.И., 2011 c Тихоокеанский государственный университет, 2011 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение........................................................................... 5 Глава 1. Элементы теории множеств........................................ 7 § 1. Понятие множества........................................................ 7 § 2. Определения алгебры множеств......................

–  –  –

ВВЕДЕНИЕ В курсе математики теория функций действительной переменной (ТФДП) как раздел занимает сво место между классическим математическим анализом и е функциональным анализом.

Точно также как и в классическом анализе, ТФДП изучает различные виды функций и функциональные ряды, операции дифференцирования и интегрирования над ними, различные предельные переходы. Отличие заключается в более высокой степени абстракции.

Если исключить из классического анализа теорию дифференциальных уравнений и теорию функций комплексного переменного, которые сегодня являются самостоятельными отраслями математического знания, то ТФДП можно было бы определить как расширенный и обобщенный математический анализ.

В то же время между функциональным анализом и ТФДП отношения развиваются примерно также, как между ней и классическим анализом.





Но если в теории функций объектом изучения является понятие функции, то в функциональном анализе его обобщения функционал и оператор. Если ТФДП начинается с теории точечных множеств в евклидовых пространствах, то функциональный анализ начинается с изучения свойств множеств в топологических, банаховых, гильбертовых и других пространствах. При этом эти пространства являются самостоятельными объектами изучения в функциональном анализе. ТФДП же использует только свойства пространств, доверяя их изучение геометрии.

С точки зрения истории теория функций действительного переменного начинается во второй половине девятнадцатого столетия. Е первой работой считается1 е работа Римана О возможности представления функции посредством тригонометрического ряда, опубликованная в 1867 году. Дальнейшее развитие ТФДП связано с именами французских математиков Э. Бореля и А. Лебега, создателей московской математической школы Д. Егорова и Н. Лузина, польского математика С. Банаха и многих других.

Ввиду ограниченности времени на изучение курса ТФДП и невозможности объять необъятное, предлагаемый курс Элементы теории функций действительного переменного предполагает своей основной целью знакомство студентов специальности Прикладная математика с элементами теории интегрирования. При этом, в отличие от классических курсов ТФДП, существенно использующих теорию меры, в пособии выбрано построение курса, предложенное венгерскими математи-ками Ф. Риссом и Б. Скефальви-Надем, которое опирается на схему английе ского математика П. Даниэля. Такой подход позволяет в рамках отведенного времени достаточно логично изложить схему построения интеграла и показать на задачах технику вычисления. Последующая глава курса устанавливает эквивалентность введения интеграла по схемам Даниэля и Лебега. Поскольку введение интеСм. работу Ф. Медведева в библиографическом списке.

грала невозможно без предварительной подготовки, то изложение курса начинается с введения в теорию бесконечных множеств и теорию метрических и нормированных пространств.

Данное учебное пособие предлагает только начальный курс введения в теорию функций действительного переменного. Есть надежда, что читающие, взобравшись на первую ступеньку, не остановятся и обратятся к списку литературы в конце пособия, рассчитанному на глубокое знакомство с ТФДП.

Являясь предметом математической культуры, теория функций действительного переменного во многом доступна начинающим. В частности, первые две главы пособия не должны вызвать затруднений в понимании у студентов младших курсов технических специальностей. А освоив их, они, возможно, попробуют одолеть и следующие.

Упражнения для самостоятельной работы, приведнные в конце пособия, даже е для тех, кто не сможет их одолеть, могут послужить толчком к поиску решения с помощью изучения указанной литературы, то есть освоения нового источника знаний, который может открыть путь к результату.

Предлагаемое учебное пособие полностью построено на содержании работ, указанных как в комментариях глав, так и в списке литературы. Естественно, что все обнаруженные в данном пособии ляпы к авторам тех работ не имеют никакого отношения.

–  –  –

Следует признать, что мы не можем сказать, что такое множество. Вс, что е мы знаем об этом объекте, является объяснением того, что это за вещь, но не определением. Сам создатель теории множеств Г. Кантор1 определял под множеством соединение в некое целое M определнных хорошо различимых предметов е m нашего созерцания или нашего мышления. Эти предметы он назвал2 элементами множества M. В первом руководстве Теория множеств его автор Ф. Хаусдорф3 ввл понятие множества так: Множество возникает путм объее е динения отдельных предметов (вещей) в одно целое. Оно есть множественность, мыслимая как единство. Вещь M особым, не подлежащим определению, образом определяет собой вещи a, b, c,... и что, обратно, эти последние также определяют

M. Это отношение между вещью M и вещами a, b, c,... будем выражать словами:

множество M состоит из вещей a, b, c,....

Свойство вещи как элемента принадлежать или не принадлежать множеству определяется некоторым характеристическим признаком.

При этом для одних множеств этот признак можно задать перечислением всех элементов множества или заданием алгоритма, позволяющего отличить его элементы за конечное, пусть даже неизвестное, число действий. Например, множество студентов группы можно задать списком в журнале преподавателя, а множество людей в городе, фамилия которых начинается на А, мы перечислить не можем, но очевидно, что оно состоит также из конечного числа элементов. Такие множества называются конечными множествами.

В то же время другие множества, такие как, например, множество натуральных чисел N или множество точек, лежащих на отрезке [a; b], подобным свойством не обладают. Эти множества называют неконечными или бесконечными множествами.

Говоря о множествах и их элементах, мы будем следовать двум правилам:

1. Относительно каждого элемента множества верно одно и только одно:

этот элемент принадлежит множеству или не принадлежит.

2. Само множество не содержит себя в качестве элемента.

Тот факт, что элемент x является элементом множества M, записывается так:

x M (x принадлежит M ).

Кантор Георг (Cantor, Georg Ferdinand Ludwig Philipp, 1845 1918) великий немецкий математик, создатель теории множеств.

Здесь и далее ссылки на литературу см. в комментариях в конце главы.

Хаусдорф Феликс (Hausdor Felix, 1868 1942) великий немецкий математик, один из основоположников современной топологии.

А то, что элемент y не содержится во множестве M, обозначается:

y M (y не принадлежит M ).

/ Например, утверждение m натуральное число можно записать: m N.

Обозначаются множества с помощью фигурных скобок. Так A = {a}, B = {a, b} есть обозначения множеств, состоящих соответственно из одного элемента a, двух элементов a и b. А выражение C = {a, b, c,... } есть обозначение множества C, состоящего из элементов a, b, c и, может быть, еще некоторых других.

Фраза множество точек декартовой плоскости, лежащих на параболе с вершиной в начале координат и ветвями вверх с помощью обозначений выглядит так:

{(x; y) R2 : y = x2 }.

Поскольку не всегда известно, содержит ли данное множество хотя бы один элемент, было введено понятие пустого множества. Так в книгах по теории вероятностей, рассказывая о невозможных событиях, рассматривают множество верблюдов, гуляющих по Северному полюсу (в предположении, что их там нет1 ). Так как пустое множество, по определению, не содержит элементов, то мы можем при рассмотрении нового множества не оговаривать каждый раз факт его существования, не исключая того, что множество может оказаться пустым. Пустое множество обозначается через.

§ 2. Определения алгебры множеств Рассмотрим отношение порядка между двумя множествами.

Определение 2.1. Если каждый элемент множества A является одновременно и элементом множества B, то множество A называется подмножеством множества B.

Обозначается это так:

AB.

При этом часто говорят, что множество A содержится в множестве B или что A включено в B.

Например, множество натуральных чисел N составляет часть множества целых чисел Z, поэтому N подмножество Z: N Z.

Из данного определения вытекают два следствия:

любое множество является подмножеством самого себя: A A;

пустое множество является подмножеством любого множества2.

Что совсем не исключает существование богатого ненавистника верблюдов, который может их туда завезти самолетом.

Множество A и пустое множество называются несобственными подмножествами множества A.

Определение 2.2. Два множества A и B называются равными, если для них одновременно имеют место включения: A B и B A.

Равенство множеств выглядит так:

A=B.

Например, если A = {1, 0, 1}, а B является множеством корней уравнения x x = 0, то A = B.

В том случае, когда A B, но A = B, отношение множеств A и B обозначается знаком A B. При этом множество A называется собственным подмножеством множества B или его правильной частью.

В дальнейшем нам понадобится знание операций над множествами. Первой из таких операций рассмотрим объединение множеств.

Определение 2.3. Пусть даны два множества A и B.

Множество элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A и B, называется объединением или суммой множеств A и B и обозначается следующим образом:

–  –  –

Из определения 2.3 вытекают достаточно очевидные следствия:

если A B, то A B = B;

A A = A.

Следующей из операций над множествами рассмотрим пересечение множеств.

Определение 2.4. Пусть даны два множества A и B.

Множество элементов, одновременно принадлежащих1 каждому из множеств A и B, называется пересечением или произведением множеств A и B и обозначается так:

–  –  –

Из определения 2.4 следует, что:

если A B, то A B = A;

A A = A.

В случае, когда множества A и B не имеют общих элементов1, то их пересечение является пустым множеством и это обозначается так:

–  –  –

Перейдем к третьей операции над множествами к операции вычитания множеств.

Определение 2.5. Допустим, что нам даны два множества A и B (из которых второе может и не содержаться в первом). Разностью множеств A и B называется множество тех элементов множества A, которые не являются элементами множества B. При этом разность множеств A и B обозначается

R = A \ B или R = A B.

Так, например, если A есть множество точек отрезка [2; 5], а B множество точек отрезка [4; 7], то разностью A \ B этих множеств является полусегмент R = [2; 4).

Все введнные понятия можно показать на одном рисунке, на котором под A е и B понимаются множества всех точек соответствующих промежутков:

Частным случаем операции вычитания множеств A и B является операция дополнения.

Говорят, что множества A и B не пересекаются.

Определение 2.6. Если множество B является подмножеством множества A, то множество всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, называется дополнением множества B до множества1 A и обозначается2 CB.

Так, если A есть множество точек отрезка [2; 5], а B множество точек отрезка [3; 4], то дополнением множества B до множества A является объединение полусегментов CB = [2; 3) (4; 5].

Приведем без доказательства3 основные свойства определнных операций:

е

1. Свойство коммутативности:

–  –  –

§ 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами.

Понятие мощности множества Как сравнивать два множества с точки зрения количества элементов в этих множествах? Конечно, если множества A и B конечны, то мы, наверно, можем пересчитать элементы в каждом из множеств и сравнить полученные в результате счта числа, хотя и не всегда, учитывая приведнные выше примеры5. А как е е быть с неконечными множествами? В них элементы пересчитать невозможно.

В том случае когда множество A не указывается, то речь идет о некотором универсальном множестве, которое является объединением всех рассматриваемых в данном случае множеств (например, множество (; ) является таким универсальным множеством для всех множеств точек, лежащих на числовой прямой).

C начальная буква слов set complement дополнение множества.

Доказательство данных свойств можно найти в книгах из библиографического списка, приведенной в конце пособия.

Читаются эти формулы соответственно так: дополнение объединения двух множеств равно пересечению их дополнений, дополнение пересечения двух множеств равно объединению их дополнений.

Ещ один из таких примеров: как пересчитать по отдельности всех девушек и всех юношей на современной е дискотеке с целью количественного сравнения этих множеств?

Попробуем отказаться от пересчта элементов каждого из сравниваемых мное жеств с помощью установления связи между элементами сравниваемых множеств.

Определение 3.1. Правило f, которое каждому элементу a из множества A ставит в соответствие элемент b множества B таким образом, что этому элементу b в множестве A соответствует только элемент a, называется взаимно однозначным соответствием между множествами A и B.

Приведм примеры такого соответствия:

е

1. Пусть множество A совпадает с множеством N натуральных чисел, а множество B является множеством целых отрицательных чисел. Тогда отображение, задаваемое правилом f (n) = n является взаимно однозначным соответствием.

2. Рассмотрим в качестве множества A множество точек оси абсцисс в координатной системе XOY. А за множество B возьмм множество точек полуокружности е

–  –  –

с центром в точке (0; 1)1.

Поставим каждой точке координатной оси в соответствие ту точку полуокружности, в которой эта полуокружность пересекается лучом, соединяющим центр полуокружности с. Данное соответствие является взаимно однозначным.

3. Примем за A и B множества из предыдущего примера. Пусть B1 множество точек x оси абсцисс, удовлетворяющих неравенству 1 x 1. Проектируя полуокружность B ортогонально на интервал B1, установим между точками B и B1 взаимно однозначное соответствие. В то же время, как следует из примера 2, такое соответствие существует между точками числовой прямой A и множеством B. Рассматривая цепочку A B, B B1, получаем взаимно однозначное соответствие между точками всей числовой прямой A и интервалом B1 = (1; 1).

Аналогично можно установить взаимно однозначное соответстие между точками числовой прямой и любым е интервалом, а следовательно, и между любыми е двумя интервалами.

4. Одним из самых наглядных примеров взаимно однозначного соответствия является знакомое каждому с детства соответствие, устанавливаемое лучом проектора, между точками кадра кинопленки и точками экрана кинотеатра.

5. Закончим перечисление примеров взаимно однозначного соответствия более сложным примером, установленным Георгом Кантором:

Заметим, что концы полуокружности, то есть точки (1; 1) и (1; 1) полуокружности не принадлежат.

–  –  –

(здесь n и n знаки цифр в десятиричной системе счисления).

Точке S(x, y) поставим в соответствие точку z из отрезка [0; 1] следующим образом:

z = 0, 1 1 2 2 3 3... n n...

При подобном соответствии разным точкам S квадрата соответствуют разные точки z отрезка. И наоборот, разным точкам z и z отрезка соответствуют различные десятичные дроби1, а, значит, и разные точки квадрата. Поэтому выбранное таким образом соответствие является взаимно однозначным.

Теоретическое упражнение 3.1. Найдите функцию, которая бы определяла взаимно однозначное соответствие между отрезком [0; 1] и отрезком [a; b].

Теоретическое упражнение 3.2. Найдите функцию, которая бы определяла взаимно однозначное соответствие между интервалом (0; 1) и всей числовой прямой.

Теоретическое упражнение 3.3. Приведите пример отображения, задающего взаимно однозначное соответствие между отрезком [0; 1] и интервалом (0; 1).

Определение 3.2. Два множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие, называются количественно эквивалентными множествами.

Количественно эквивалентные множества обычно называют эквивалентными множествами. Примером эквивалентных множеств являются два конечных множества, состоящие из одинакового числа элементов.

Так как вопрос с соответствием точек отрезка десятичным дробям решается сложнее, то данное доказательство не является достаточно строгим.

Замечание 3.1. Говорят, что эквивалентные множества имеют одинаковую мощность. То есть, под мощностью множества A понимается такое свойство этого множества, которым обладает любое множество B, эквивалентное множеству A.

В частности, для эквивалентных конечных множеств этим общим свойством будет количество элементов, из которого они состоят. В применении же к бесконечным множествам понятие мощности является только аналогом понятия количества 1.

Замечание 3.2. Из определения эквивалентных множеств следует, что два множества A и B, эквивалентные одному и тому же третьему множеству C, эквивалентны между собой.

На основании приведнных выше примеров сложно ответить на вопрос эквивае лентности множества точек отрезка [a; b] множеству точек интервала (a; b). Ответ на этот вопрос дат теорема, доказанная Ф. Бернштейном2 в 1898 году3.

е Теорема 3.1.

Если множество A эквивалентно части множества B, а множество B эквивалентно части множества A, то множества A и B эквивалентны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть B1 есть часть множества B, эквивалентная множеству A, A1 часть множества A, эквивалентная множеству B. Так как между элементами множества B и элементами множества A1 существует взаимно однозначное соответствие, то для элементов множества B1 в множестве A1 определено подмножество элементов A2, которые им отвечают в данном соответствии.

Таким образом, мы имеем цепочку включений A A1 A2, причм A2 A, так как A2 B1, а B1 A. Если мы докажем, что A A1, то е теорема будет верна (так как A1 B).

При взаимно однозначном отображении A на A2 множество A1 A переходит в некоторое множество A3 A2, множество A2 A1 переходит в некоторое множество A4 A3, множество A3 A2 переходит в некоторое множество A5 A4 и т. д. Помимо этого, множество A \ A1 переходит в A2 \ A3, множество A1 \ A2 переходит в A3 \ A4, множество A2 \ A3 переходит в A4 \ A5 и так далее.

Отсюда следует, что множества A \ A1, A2 \ A3, A4 \ A5, A6 \ A7 и т. д.

Г. Кантор называл мощность множества также кардинальным числом (см. комментарии к главе).

Бернштейн Феликс (Bernstein Felix, 1878-1956) немецкий математик. Занимался вопросами теории множеств и математической статистики.

Некоторые авторы (например, П. С. Александров) называют е теоремой Кантора - Бернштейна, другие е (И. П. Натансон) теоремой Шрдера - Бернштейна. (Шрдер Эрнст (Schroder Ernst, 1841-1902) е е немецкий математик. Специалист в области теории множеств и математической логики).

попарно эквивалентны. Объединение множеств без общих точек (A \ A1 ) (A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) · · · эквивалентно объединению (A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) (A6 \ A7 ) · · · Пусть D = A A1 A2 · · · An....

Тогда верно следующее равенство:

A = D (A \ A1 ) (A1 \ A2 ) (A2 \ A3 ) · · · В самом деле, пусть a A. Покажем, что a входит в правую часть равенства. Если a входит в каждое из множеств A1, A2,..., то a D и утверждение доказано.

Если же a не принадлежит какому-нибудь множеству из An, то пусть Ak первое из таких множеств, тогда a Ak1. А значит, a Ak1 \ Ak. Поэтому a входит в правую часть равенства. Обратно, если a входит в правую часть равенства, то a A, так как каждое из слагаемых правой части является подмножеством множества A.

Аналогичным образом доказывается следующее равенство:

A1 = D (A1 \ A2 ) (A2 \ A3 ) (A3 \ A4 ) · · ·

Оба равенства можно переписать в следующем виде:

A = [D (A1 \ A2 ) (A3 \ A4 ) · · · ] [(A \ A1 ) (A2 \ A3 ) · · · ], A1 = [D (A1 \ A2 ) (A3 \ A4 ) · · · ] [(A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) · · · ].

В правых частях обоих равенств в первых квадратных скобках стоят одни и те же множества, а во вторых квадратных скобках стоят множества, эквивалентность которых была доказана ранее. Используя это, мы можем каждой точке множества D(A1 \A2 )(A3 \A4 )· · · A поставить в соответствие эту же точку в множестве A1. Затем каждую точку a множества (A \ A1 ) (A2 \ A3 ) · · · отобразим в ту точку множества (A2 \ A3 ) (A4 \ A5 ) · · ·, которая отвечает точке a в силу установленной выше эквивалентности. Такое сопоставление точек исчерпывает все точки множеств A и A1. Поэтому между множествами A и A1 существует взаимно однозначное соответствие, что и делает утверждение теоремы истинным.

Одним из многочисленных следствий теоремы Ф. Бернштейна является следующее:

Следствие 3.1. Множества точек отрезка и интервала равномощны.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заданный отрезок [a; b] содержит интервал (a; b), который эквивалентен множеству точек заданного интервала (c; d) (смотри пример 3). В свою очередь, множество точек любого из внутренних отрезков интервала (c; d) эквивалентно множеству точек заданного отрезка [a; b]. Применяя теорему Бернштейна, получаем, что множества точек [a; b] и (c; d) равномощны.

§ 4. Счтные множества е Определение 4.1. Множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел, называется счтным множеством.

е

Из замечания 3.2. следует, что:

1. Любое множество, эквивалентное счтному множеству, само является счтным.

е е

2. Любые два счтные множества эквивалентны.

е

Можно дать другое, эквивалентное определение счтного множества:

е Определение 4.2. Множество A, все элементы которого можно занумеровать в бесконечную последовательность

–  –  –

С помощью этой последовательности построим последовательность вложенных отрезков.

Для этого разделим отрезок [0; 1] на три равные части:

1 x1 Так как точка x1 одновременно не может принадлежать всем трм отрезкам е 0;, ;, ; 1, то среди них существует такой, который не содержит x1 (ни внутри, ни на границе). Обозначим этот отрезок через 1 1. Далее разделим на три равные отрезка отрезок 1 и обозначим через 2 тот из новых отрезков, который не содержит точку x2. Продолжая процесс деления отрезков подобным образом, мы получим последовательность вложенных в друг друга отрезков 1 2 3 · · · n..., обладающих общим свойством: n xn n. Так как длины отрезков n образуют / бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, то при стремлении n к бесконечности длина отрезка n стремится к нулю. Поэтому в силу известной из курса математического анализа леммы о вложенных отрезках данная последовательность отрезков имеет общую точку. Эта точка принадлежит каждому из отрезков n и поэтому не может совпадать ни с одной из точек xn. Полученное противоречие означает, что точки отрезка [0; 1] нельзя задать с помощью последовательности. Следовательно, отрезок [0; 1] является несчтным множеством.

е

Данная теорема является основанием следующего определения:

Определение 6.1. Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0; 1], называется множеством мощности континуума2.

Так как отрезков, не содержащих x1, может быть два, то обозначим через 1 левый из них.

continuum означает непрерывное.

Теорема 6.3.

Множества точек любого отрезка [a; b], любого интервала (a; b) и числовой прямой (; ) являются множествами мощности континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как каждой точке x [0; 1] взаимно однозначно соответствует одна и только одна точка y = (ba)x+a из множества точек отрезка [a; b], то множество точек [a; b] эквивалентно множеству точек [0; 1]. Согласно следствию 3.1 множество точек интервала (a; b) эквивалентно множеству точек [a; b], а значит, эквивалентно и множеству точек отрезка [0; 1]. И, наконец, из примера 3 третьего параграфа следует, что точки интервала (a; b) находятся во взаимно однозначном соответствии с точками числовой прямой (; ). Следовательно, и числовая прямая является множеством мощности континуума.

Рассмотрим некоторые из утверждений алгебры мощностей континуальных множеств.

Теорема 6.4.

Объединение конечного числа попарно не пересекающихся множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества E1, E2,..., En являются множествами мощности континуума и не пересекаются попарно между собой. Рассмотрим полуотрезок [0; 1) и разделим его точками

a0 = 0 a1 a2 · · · an1 an = 1

на n полуотрезков [ak1 ; ak ) (k = 1, 2,..., n). Так как каждый полуотрезок [ak1 ; ak ) имеет мощность континуума, то между ним и множеством Ek можно установить взаимно однозначное соответствие. Это означает, что и между конечным объединением E = E1 E2 · · · En и между полуотрезком [0; 1), представляющим объединение полуотрезков [ak1 ; ak ), существует взаимно однозначное соответствие. Что и доказывает теорему.

Теорема 6.5.

Объединение счтного множества попарно не пересекающихся е множеств мощности континуума имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множества E1, E2,..., En,... образуют счтное множество непересекающихся попарно между собой множеств мощности е континуума. Рассмотрим на полуотрезке [0; 1) монотонно возрастающую последовательность точек

–  –  –

Теорема 7.1.

Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как числовая прямая есть множество мощности континуума, то множество действительных чисел также имеет мощность континуума. В силу теоремы 5.2 множество рациональных чисел счтно. Поэтому множесте во иррациональных чисел, полученное удалением из множества действительных чисел его рационального подмножества, согласно теореме 4.7, эквивалентно всему множеству действительных чисел, то есть является множеством мощности континуума.

Определение 7.1. Действительное число называется трансцендентным, если оно не является корнем многочлена с рациональными коэффициентами.

Теорема 7.2.

Множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в доказательстве предыдущей теоремы заменить ссылку на теорему 5.2 ссылкой на теорему 5.4, то утверждение доказывается аналогично.

В дальнейшем нам понадобятся следующие две теоремы о двоичном представлении действительных чисел.

Определение 7.2. Последовательность чисел

–  –  –

000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 длины, шестнадцать отрезков 0000, 0001,..., 1111 длины и так далее.

Таким образом, мы видим, что отрезки nго ранга получаются из деления пополам отрезков (n 1)го ранга, имеют длину n. Обозначим их через i1...in, где i1,..., in независимо друг от друга принимают значения 0 или 1. При этом i1...in1 0 и i1...in1 1 есть соответственно левая и правая половины отрезка i1...in1.

Пусть x произвольное действительное число. Если x не целое число, то оно является внутренней точкой одного и только одного отрезка [k; k + 1]. Поэтому x можно представить как x = k + x, где x (0; 1).

m Рассмотрим сначала случай, когда x = n (в этом случае x называется двоично-иррациональным числом). Тогда x принадлежит единственному отрезку первого ранга i1, единственному отрезку второго ранга i1 i2 i1, аналогично при любом n единственному отрезку n-го ранга i1...in. Следовательно, единственным образом определяется последовательность вложенных отрезков

–  –  –

состоящую из нулей и единиц, отличную от последовательностей 0, 0, 0,... 0,...

и 1, 1, 1,... 1,... Ей соответствует последовательность вложенных отрезков

–  –  –

с единственной общей точкой x. Следовательно, имеющаяся последовательность является последовательностью двоичных знаков числа x. Если же мы имеем две различные двоичные последовательности, определяющие одно и то же действительное число x (0; 1), то, согласно теореме 7.3, они имеют только один из двух видов:

i1..., in1, 0, 1, 1, 1,..., i1..., in1, 1, 0, 0, 0,..., что в итоге и доказывает теорему1.

Рассмотрим следующие примеры множеств мощности континуума.

Выше уже было показано, что множество последовательностей, состоящих из нулей и единиц, является несчтным множеством.

Теперь мы можем дать его е более точную характеристику:

Если отрезки ранга n разделить на десять частей, то доказанные теоремы составят недостающую часть строгого доказательства в примере 5 третьего параграфа.

Теорема 7.5.

Множество всех последовательностей, состоящих из нулей и единиц, имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассматриваемое множество является объединением трех множеств: множества последовательностей, содержащих бесконечное число, как нулей, так и единиц, множества последовательностей, содержащих лишь конечное число нулей и у которых все элементы, начиная с некоторого номера, являются единицами, и множества последовательностей, у которых конечное число единиц, а число нулей бесконечно.

Первое из множеств, согласно теореме 7.3, эквивалентно множеству двоичноиррациональных чисел, имеющего мощность континуума. А второе и третье множества находятся во взаимно однозначном соответствии с множеством двоичных дробей и, следовательно, счтны. Поэтому множество последовательностей из е нулей и единиц можно поставить во взаимно однозначное соответствие точкам отрезка [0; 1]. А это означает, что оно имеет мощность континуума.

Теорема 7.6.

Множество всех возрастающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность {kn } является возрастающей последовательностью натуральных чисел. Это означает, что k1 k2 · · · kn...

Мы можем поставить этой последовательности во взаимно однозначное соответствие последовательность из нулей и единиц, в которой единицы стоят на местах с номерами k1, k2, k3,..., kn,..., а нули на остальных местах. Такое сопоставление приводит к взаимно однозначному соответствию между множеством всех последовательностей из нулей и единиц и множеством возрастающих последовательностей натуральных чисел. Поэтому, согласно теореме 7.5, изучаемое множество также имеет мощность континуума.

Теорема 7.7.

Множество всех последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m1, m2, m3,..., mn · · · последовательность натуральных чисел. Каждой такой последовательности можно поставить во взаимно однозначное соответствие возрастающую последовательность натуральных чисел k1 = m1, k2 = m1 + m2,..., kn = m1 + m2 + · · · + mn,...

Так как множество возрастающих последовательностей натуральных чисел имеет мощность континуума, то и множество всех последовательностей натуральных чисел тоже имеет такую мощность.

Теорема 7.8.

Множество всех последовательностей действительных чисел r = {r1, r2, r3,..., rn, · · · } имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению, каждому действительному числу rn можно сопоставить последовательность натуральных чисел

–  –  –

Таким образом, последовательности r можно сопоставить последовательность натуральных чисел. Верно и обратное, что каждой последовательности натуральных чисел можно поставить в соответствие некоторую последовательность r. Поэтому из теоремы 7.7 следует, что множество последовательностей действительных чисел имеет мощность континуума.

Следствие 7.1. При любом натуральном n множество всех точек nмерного пространства имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждая точка n мерного пространства может быть представлена nмерным вектором-символом

r = {r1, r2, r3,..., rn },

координаты которого являются координатами точки в nмерном пространстве.

Повторив доказательство теоремы 7.8 для этого вектора, можно подтвердить истинность данного утверждения.

Следствие 7.2. Множество комплексных чисел имеет мощность континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как каждое число можно интерпретировать как точку плоскости, т.е. элемент двухмерного пространства, то, согласно следствию 7.1, комплексные числа образуют множество мощности континуума.

Теорема 7.9.

Объединение континуального множества не пересекающихся множеств мощности континуума является множеством мощности континуума.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на координатной плоскости xOy множество прямых x = c, где c произвольное действительное число. Как следует из теоремы 6.3, каждая числовая прямая является множеством мощности континуума.

Поэтому е можно сопоставить одному из данных множеств. Из этой же теоремы е следует, что рассматриваемые прямые образуют множество мощности континуума. А их объединение образует двухмерную плоскость, которую можно поставить во взаимно однозначное соответствие изучаемому объединению множеств.

Что, согласно следствию 7.1, и доказывает утверждение теоремы.

Аналогично арифметике счтных множеств обозначим мощность континуе альных множеств символом c.

С его помощью теоремы 6.4 - 6.5 и 7.9 можно представить следующими правилами :

c + c + · · · c = nc = c, c + c + c + · · · = 0 c = c, cc = c.

–  –  –

В заключение параграфа рассмотрим еще один пример континуального множества.

Теорема 7.10.

Множество C[a; b] всех непрерывных функций f (x), определнных на отрезке [a; b], имеет мощность континуума.

е Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что r1, r2,..., rn,... последовательность всех рациональных точек отрезка [a; b]. Поставим в соответствие каждой непрерывной функции f (x) последовательность действительных чисел значений функции f (x) в точках r1, r2,..., rn,... :

f (x) {f (r1 ), f (r2 ),..., f (rn ),... } = {f (rn )}.

При этом двум различным функциям f (x) и g(x) будут соответствовать различные последовательности f (rn ) и g(rn ), так как две непрерывные функции, совпадающие во всех рациональных точках, совпадают всюду1. Следовательно, множество C[a; b] всех непрерывных функций можно считать эквивалентным некоторой части множества всех последовательностей действительных чисел. Но множество последовательностей действительных чисел, согласно теореме 7.8, имеет мощность континуума и поэтому эквивалентно подмножеству множества C[a; b], состоящему из функций, являющихся постоянными во всех точках отрезка [a; b].

А значит, в силу теоремы Бернштейна, множество C[a; b] эквивалентно множеству всех последовательностей действительных чисел и имеет мощность континуума.

Если a - произвольное действительное число, то существует последовательность рациональных чисел {rn } такая, что a = lim rn. Поэтому из свойств непрерывных функций вытекает, что n f (a) = f lim rn = lim f (rn ) = lim g(rn ) = g lim rn = g(a).

n n n n § 8. О сравнении мощностей множеств В основе теории сравнения мощностей множеств лежит теорема, доказанная Г.

Кантором в 1878 году.

Теорема 8.1.

Пусть дано множество A, а множество B является множеством всех подмножеств множества A. Тогда мощность множества A меньше мощности множества B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что между множествами A и B существует взаимно однозначное соответствие, при котором каждому элементу x множества A сопоставлено некоторое подмножество Ax множества A. При этом сам элемент x может принадлежать или не принадлежать данному множеству Ax. Например, если Ax совпадает со всем множеством A, то x Ax, а если Ax пустое множество, то x Ax. Элементы первого типа назовем хорошими, а элементы второго / типа плохими. Пусть множество P содержит только плохие элементы множества A. В силу взаимно однозначного соответствия между элементами и подмножествами множества A множеству P соответствует некоторый элемент x. Возможны два варианта: x или хороший элемент, или плохой. Если x хороший элемент, то x P, но P содержит только плохие элементы, поэтому x P. Если же x плохой элемент, то x P. Но по построению / / множества P x должен ему принадлежать, поэтому и плохим элементом x не может быть. Таким образом, x не может быть ни хорошим элементом, ни плохим. Полученное противоречие означает, что предполагаемая эквивалентность множеств A и B невозможна. А так как множество A эквивалентно части множества B, состоящей из одноэлементных множеств, то множество A имеет мощность, меньшую чем множество B.

В том случае, когда множество A является конечным множеством, содержащим n элементов, множество его подмножеств B состоит из 2n элементов. Это можно объяснить следующим образом: множество B можно представить в виде множества слов длиной n символов в некотором Поле чудес, при этом каждый элемент из множества A в соответствующую ему клетку может входить или не входить. Поэтому способов формирования каждой клетки только два. Так как клеток n, то можно образовать 2 · 2 · · · · · 2 = 2n слов.

n Этот пример может служить пояснением к следующему определению.

Определение 8.1. Пусть множество A имеет мощность m, а множество всех его подмножеств B имеет мощность M, тогда полагают, что M = 2m.

Данное определение позволяет сформулировать теорему о связи мощностей счетного множества и множества мощности континуума.

Теорема 8.2.

Равенство c = 20 является истинным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через M множество всех подмножеств множества натуральных чисел N. Каждое подмножество из M взаимно однозначно соответствует некоторой последовательности из множества последовательностей натуральных чисел. Поэтому на основании теоремы 7.7 имеет мощность континуума. Следовательно, по определению 8.1, имеет место равенство c = 20.

Определение 8.1 легко позволяет построить множество, мощность которого больше, чем мощность данного множества, если подходить к этому построению формально. С качественной точки зрения неминуемо возникает вопрос о природе элементов множества большей мощности, о целесообразности его построения.

Теорема 8.3.

Множество F всех действительных функций, определнных е на отрезке = [0; 1], имеет мощность, бльшую, чем c.

о Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что множество F эквивалентно множеству точек. Тогда существует взаимно однозначное соответствие, которое каждому числу t [0; 1] сопоставляет единственным образом некоторую функцию ft (x) F.

Обозначим через G(t, x) = ft (x). Функция G(t, x) является функцией двух переменных, заданной на множестве {(t, x) : 0 t 1, 0 x 1}.

Рассмотрим функцию (x) = G(x, x) + 1. Данная функция определена на отрезке [0; 1], поэтому (x) F. Но в этом случае в соответствии функция (x) является образом некоторого числа a, т. е. (x) = fa (x), или (x) = G(a, x).

Следовательно, при всех x [0; 1] получится, что G(x, x) + 1 = G(a, x). Но тогда для x = a : G(a, a) + 1 = G(a, a), что невозможно. А это означает, что множество F не эквивалентно множеству.

Сопоставим каждому множеству D из множества всех подмножеств множества функцию 1, если x D, D (x) = 0, если x D.

/ Такая функция называется характеристической функцией множества D. Множество характеристических функций S, являясь подмножеством множества F, эквивалентно множеству всех подмножеств множества. Но из определения 8.1 следует, что множество всех подмножеств множества равна 2c, а значит, больше, чем c. Поэтому и мощность множества S больше, чем c. Следовательно, и мощность множества F больше, чем c. Что и доказывает данную теорему.

§ 9. Разбиение множества на классы В дальнейшем нам придтся встречаться с задачами о разбиении заданного е множества на попарно не пересекающиеся подмножества элементов, обладающие определнными свойствами. Эти подмножества являются элементами разбиения е рассматриваемого множества. Например, пусть A есть множество членов одной семьи, состоящей из четырех человек (мама, папа, дочь, сын). Множество A можно разбить на попарно не пересекающиеся подмножества несколькими способами, в том числе и такими: 1) по признаку пола мама и дочь объединяются в одно слагаемое, а папа и сын в другое, 2) по признаку старшинства мама и папа составляют одно слагаемое, а дочь и сын другое. Еще один пример: пусть A есть множество всех точек плоскости. Выберем на плоскости какую-нибудь прямую a и разобьм всю плоскость на прямые, параллельные прямой a. Множества точек е каждой такой прямой и являются теми подмножествами, на которые разбивается множество A.

Замечание 9.1. Если данное множество A разбито на не пересекающиеся множества, дающие в сумме множество A, то для краткости говорят о разбиении множества A на классы.

Из вышесказанного вытекают два утверждения:

Утверждение 1. Если f отображение множества X на множество Y, то f порождает разбиение множества X на классы.

Действительно, так как каждый элемент y из Y является образом для какойто группы элементов1 из множества X, то эти группы элементов и являются классами разбиения множества X. При этом образованное множество классов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством Y.

Утверждение 2. Каждое разбиение множества X на классы порождает отображение множества X на некоторое множество Y.

Это множество Y не что иное, как множество классов данного разбиения.

Отображение строится по правилу: каждому элементу множества X ставится в соответствие тот класс разбиения, которому он принадлежит.

Тот факт, что множество точек плоскости A разбито на множество прямых, параллельных выбранной прямой a, устанавливает отображение множества X на множество Y, элементами которого являются параллельные прямые: каждой точке плоскости соответствует та из параллельных прямых, на которой эта точка лежит.

Пусть дано разбиение множества A на классы. Дадим следующее Определение 9.1. Два элемента множества A называются эквивалентными по отношению к данному разбиению, если они принадлежат одному и тому же классу.

Обозначается это таким образом:

a, b A, a b.

Так в приведенных выше примерах дочь эквивалентна маме в отношении пола, но не эквивалентна в отношении старшинства. Две точки, лежащие на одной прямой, эквивалентны в отношении параллельности.

Отношениями эквивалентности являются такие известные отношения как: в теории чисел отношение равенства чисел и отношение сравнения чисел по модулю, в геометрии отношение конгруэнтности и отношение подобия, и многие другие.

Отношение эквивалентности обладает следующими свойствами, которые называются аксиомами эквивалентности:

В случае взаимно однозначного отображения, конечно, только одного элемента.

Свойство рефлексивности. Каждый элемент множества эквивалентен сам себе ( a A, a a).

Примером рефлексии может служить отношение параллельности прямых на плоскости, так как каждая прямая параллельна сама себе.

Свойство симметричности (или взаимности). Если элементы a и b эквивалентны, то эквивалентны также b и a ( a, b A из того, что a b, следует, что b a).

Например, отношение подобия является примером симметричности. Если фигура M подобна фигуре N, то и фигура N подобна фигуре M.

Свойство транзитивности (или переходности). Если элементы a и b эквивалентны и эквивалентны элементы b и c, то элементы a и c эквивалентны (то есть два элемента a и c, эквивалентные третьему b, эквивалентны между собой). В символьной форме это можно записать: a, b, c A из того, что a b и b c следует, что a c.

Указанное выше отношение подобия обладает свойством транзитивности: так для любых трх треугольников 1, 2, 3, если треугольник 1 подобен треуе гольнику 2, а треугольник 2 подобен треугольнику 3, то треугольник 1 подобен треугольнику 3.

В дальнейшем нам понадобится следующая Теорема 9.1 (Т е о р е м а о р а з б и е н и и). Каждое разбиение множества A на классы определяет между элементами множества A некоторое отношение эквивалентности. И наоборот, каждое отношение эквивалентности, установленное между элементами множества A, определяет разбиение множества A на классы попарно эквивалентных между собой элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Истинность первой части теоремы вытекает из определения 9.1. Предположим обратное: нам удалось установить некоторый признак, дающий возможность говорить о некоторых парах элементов как об эквивалентных. От этой эквивалентности требуется, чтобы она обладала свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Назовм классом (a) е данного элемента a множества A множество всех элементов из A, эквивалентных элементу a. Так как отношение является рефлексивным, то каждый элемент a содержится в своем классе, т.е. a (a). Докажем, что если два класса имеют хоть один общий элемент, то они совпадают.

Пусть классы (a) и (a ) имеют общий элемент a. Тогда по определению классов a a и a a. Следовательно, в силу симметричности a a. А так как отношение транзитивно, то a a. Допустим, что a какой-нибудь элемент класса (a ). Имеем a a a, и в силу транзитивности a a. Это означает, что a (a). Поэтому (a ) (a).

Пусть теперь a (a). Тогда a a. Но данное отношение симметрично, и поэтому a a. А так как a a, то из транзитивности данного отношения следует, что a a. Откуда вытекает, что a a. То есть a (a ). А это означает, что (a) (a ). Таким образом, два класса (a) и (a ), имеющие общий элемент, совпадают между собой.

Следствие 9.1.

Задание отношения эквивалентности на множестве A равносильно заданию для каждого элемента a A множества (a), для которого выполняются условия:

1. a A a (a);

2. a, b A (a) = (b) или (a) (b) =.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Точно также, как и при задании отношения эквивалентности на множестве A, так и при задании множеств (a) множество A разбивается на непересекающиеся между собой множества. При этом эквивалентность элементов a и b означает, что они принадлежат одному и тому же множеству.

Замечание 9.2. Определив разбиение множества на классы, можно более точно ответить на вопрос, что такое мощность множества. Под мощностью некоторого множества A можно понимать класс всех множеств, равномощных множеству A. То есть равномощность, обладая рефлексивностью, симметрией и транзитивностью, является отношением эквивалентности, определяющим разбиение множества множеств на классы с количественной точки зрения.

Замечание 9.3.

Следует заметить, что в мире отношений не вс так просто, е и существуют отношения, не являющиеся отношениями эквивалентности:

1. Так отношение пар R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)} в множестве элементов A = {1, 2, 3} является симметричным и транзитивным, но не является рефлексивным, так как (3, 3) R.

/

2. Отношение делимости на множестве натуральных чисел является рефлексивным....

(так как n N n. 1 ), транзитивным ( k, m, n, N если k. и m. то k.

.n.m.n,.n), но.

не является симметричным (например 2. а 4 не является делителем 2).

.4,

3. Отношение между точками (x, y) плоскости R2, подчиняющееся условию

x, y R2 |x y| 1,

является рефлексивным и симметричным, но не является транзитивным (из того, что для x = 1, y = 2, z = 3 истинны утверждения |x y| 1 и |y z| 1, не следует истинность неравенства |x z| 1).

§ 10. Комментарии к первой главе

1. Понятие множества Г. Кантор дал в работе К обоснованию учения о трансфинитных множествах, опубликованной в 1895 году (см. Кантор Г. Труды по теории множеств, с. 173).

2. Ф. Хаусдорф определил понятие множества в работе Теория множеств. Книга была издана в 1914 году. В СССР книга была опубликована в 1937 году под.

Обозначение a. читается как a делит b или a является делителем b.

.b редакцией и с дополнениями П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова1 (см.

Хаусдорф Ф. Теория множеств, с. 9).

3. По словам Г. Кантора, понятие мощности множества он взял у Я. Штейнера2 из его работы Лекции по синтетической геометрии конических сечений (см.

Кантор Г. Труды по теории множеств, с. 51). Сам же Кантор называл мощность множества также кардинальным числом и определял мощность множества M или кардинальное число, как то общее понятие, которое получается при помощи нашей активной мыслительной способности из M, когда мы абстрагируемся от качества его различных элементов m и от порядка их задания (см. ту же работу с.173). Определение мощности как класса эквивалентности дано Г. Фройденталем (см. Математика как педагогическая задача, ч.1, с. 108).

4. В заключение главы следует сказать, что доказательства теорем в данной главе, а также примеры, рисунки и задачи были взяты из следующих работ:

Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.

Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного.

Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах.

Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ.

Макаров Б.М. и др. Избранные задачи по вещественному анализу.

Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.

Хаусдорф Ф. Теория множеств.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.

Глава 2 Элементы теории метрических и нормированных пространств Одним из важнейших понятий в математическом анализе является понятие предельного перехода.

С его помощью определяются основные операции анализа:

дифференцирование и интегрирование.

По определению последовательность действительных чисел xn имеет пределом число x, если расстояние между xn и x, то есть модуль разности xn x, стремится к нулю при n. Из этого определения вытекает, что понятие предельного перехода основано на возможности измерять расстояние между точками действительной оси. Точно также предельный переход на плоскости и в многомерном пространстве определяется возможностью измерять расстояние между точками в Александров П. С. (1896 1982) один из основоположников математической школы современной топологии.

Колмогоров А. Н. (1903 1987) основоположник современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и ряде других областей.

Штейнер Якоб (Steiner Jacob, 1796 - 1863) немецкий математик, один из создателей проективной геометрии.

–  –  –

Пусть точка A на плоскости имеет координаты (x1, y1 ), а точка B координаты (x2, y2 ). Обозначим расстояние через 1. Его формула имеет вид 1 (A, B) = |x2 x1 | + |y2 y1 |.

Рассмотрим еще один пример из физики кондиционирования воздуха. Допустим, что мы должны в двух комнатах поддерживать определнную температуру, и с е этой целью мы измеряем е двумя термометрами. Пусть в первой комнате нам е нужно поддерживать температуру x1, а во второй комнате температуру y1.

При этом показания термометров соответственно равны x2 и y2. Нужно следить за тем, чтобы температура нигде не отклонилась от нормы. Мы можем отклонение температуры от нормы определить как некоторое расстояние между показаниями термометров. При этом на координатной плоскости выбранное расстояние определяется формулой = max(|x2 x1 |, |y2 y1 |).

§ 2. Окрестности и шары Вернмся снова в мир геометрии. С учтом евклидового расстояния e мы е е имеем три формулы расстояний на множестве точек координатной плоскости.

Поэтому мы имеем возможность описать шары или окрестности точек в смысле этих расстояний. Выясним, что будет единичным шаром с центром в нуле в смысле каждого из рассмотренных расстояний.

Определение 2.1. Единичный шар это множество точек, которые удалены от центра на расстояние, не большее, чем 1.

Если центр обозначить через O, растояние через, а точку, принадлежащую шару, через A, то формальная запись будет иметь вид:

{A : (A, O) 1}.

Для евклидова расстояния e единичный шар на плоскости будет обычным кругом радиуса 1 (см. рис. a).

С точки же зрения расстояния 1 точка A тогда и только тогда принадлежит единичному шару с центром в точке O, когда выполняется неравенство |x| + |y| 1. Все точки A координатной плоскости, удовлетворяющие такому условию, принадлежат квадрату (см. рис. б). Если же расстояние задавать с помощью, то единичный круг будет иметь форму квадрата, стороны которого параллельны осям координат (см. рис. в).

Возникает вопрос: есть ли между этими тремя формулами расстояний что-то, что их объединяет или же они представляют различные высказывания, общим для которых является только слово расстояние ?

Вернмся к формуле вычисления e между точками A(x1, y1 ) и B(x2, y2 ) на е координатной плоскости

–  –  –

Если считать, что p 1, то эта формула также определяет расстояние между точками при различных p1. Так, например, то расстояние, которое мы обозначили в предыдущем параграфе через 1, является частным случаем этой формулы при p = 1, а евклидово расстояние e в данной формуле имеет место при p = 2.

Попробуем постепенно увеличивать p от 1 до 2 и посмотрим, как будут увеличиваться единичные шары на плоскости, соответствующие этим расстояниям. На рисунке видно, что они постепенно раздуваются от ромба, т.е. от шара, который соответствует расстоянию 1, до естественного евклидова шара-круга, соответствующего расстоянию e. А дальше, когда p станет больше, чем 2, единичный шар станет заполнять большой квадрат. И при p, стремящемся к бесконечности, получится тот квадрат, который является единичным шаром для расстояния.2 Очевидно, что наличие универсальной формулы, позволяющей описать рассмотренные нами расстояния, должно предполагать и наличие универсальных свойств, которыми должны обладать правильно определнные расстояния.

е § 3. Аксиомы метрики на плоскости Так как расстояние между точками плоскости неотрицательно (в рассмотренных нами случаях числа e, 1, 0), то имеет место

Аксиома 1 ( аксиома неотрицательности):

Для любых точек плоскости X и Y (X, Y ) 0.

Далее, расстояние между точками X и Y равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Поэтому выполняется Доказательство см., например, Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа, гл. II, §1.

В литературе расстояние обозначают (если использовать обозначение p ).

Аксиома 2 ( аксиома невырожденности):

–  –  –

Заметим, что во всех рассмотренных примерах было безразлично, измерять ли расстояние от точки X до точки Y или, наоборот, от точки Y до X. Расстояние всегда оставалось неизменным. Данное свойство называется

Аксиома 3 ( аксиома симметрии):

–  –  –

И, наконец, это можно проверить с помощью вычислений (а для расстояния e известно из геометрии), имеет место

Аксиома 4 ( неравенство треугольника):

–  –  –

Определение 3.1. Расстояние, для которого выполняются сформулированные аксиомы 1 4, называется метрикой, а сами аксиомы называются аксиомами метрики.

Теоретическое упражнение 3.1. Докажите, что для расстояния 1 выполняются аксиомы метрики.

Теоретическое упражнение 3.2. Докажите, что для расстояния выполняются аксиомы метрики.

Теоретическое упражнение 3.3. Докажите, что для расстояния e аксиомы метрики выполняются не только на плоскости, но и в любом n мерном евклидовом пространстве E n с размерностью n 2.

Теоретическое упражнение 3.4. Докажите, что для любых n точек плоскости

X1, X2,..., Xn выполняется следующее неравенство:

–  –  –

Это расстояние называется хаусдорфовой метрикой в пространстве кривых1.

Замечание 4.2. Следует заметить, что кривые в данном пространстве должны содержать свои концевые точки, так как иначе может не выполняться вторая аксиома о том, что расстояние между двумя точками пространства равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Если рассмотреть кривые Г1 : y = 0, 0 x 1 и Г2 : y = 0, 0 x 1, то расстояние между ними равно нулю, а сами кривые не совпадают.

Теоретическое упражнение 4.1. Докажите, что хаусдорфова метрика удовлетворяет аксиомам метрики (1) (4).

Если выполнить упражнение 4.12, то можно убедиться, что пространство замкнутых кривых с хаусдорфовой метрикой является метрическим пространством кривых. Если же в качестве кривых Г1 и Г1 рассмотреть графики функций f1 (x) и f2 (x), определнных на некотором отрезке [a, b], то данная метрика уже будет яве ляться метрикой в пространстве функций, определнных на отрезке [a, b]. Таким е образом, пространство функций, определнных на отрезке [a, b] с расстоянием H, е является примером функционального метрического пространства.

Замечание 4.3. В определении хаусдорфовой метрики в качестве расстояния можно брать не только евклидово расстояние e. Можно также использовать 1 или.

Так как в дальнейшем нас будут интересовать функции, непрерывные на отрезке, рассмотрим два примера метрических пространств непрерывных функций.

В математическом анализе часто возникает необходимость считать непрерывные на отрезке [a, b] функции f1 (x) и f2 (x), близкими, если величина max |f1 (x) f2 (x)| достаточно мала. Эту величину можно принять за расстояние axb между функциями f1 (x) и f2 (x).

Теоретическое упражнение 4.2. Докажите, что расстояние между непрерывными на отрезке [a, b] функциями f1 (x) и f2 (x), определнное по формуле е

–  –  –

удовлетворяет аксиомам метрики (1) (4).

Символ H в значке расстояния есть первая буква фамилии Hausdorf.

Или познакомиться с его решением.

Из решения упражнения 4.21 вытекает, что любое множество M непрерывных функций, определнных на отрезке [a, b], с расстоянием, заданным данной форе мулой, является метрическим пространством. В дальнейшем это пространство мы будем обозначать C[a, b].

Теоретическое упражнение 4.3. Постройте схематический чертеж единичного шара в этой метрике.

Расстояние, определяемое данной формулой, называется равномерной метрикой. Оно показывает, насколько значения функции f1 (x) отклоняются от значений функции f2 (x) (вспомните рассмотренный выше пример из физики кондиционирования воздуха).

–  –  –

близка к функции sign(x).

Близость между графиками функций f (x) и sign(x) станет более наглядной с геометрической точки зрения, если график функции sign(x) дополнить, присоединив к нему скачок отрезок x = 0, 1 y 12. Однако эту близость графиков Или знакомства с ним.

Конечно, так рисовать график неправильно, так как он уже не является в этом случае графиком функции:

ведь каждой точке должно соответствовать только одно значение функции. Но иногда в теории функций рассматривают так определнные дополнененные графики, то есть имеющийся скачок присоединяют к е графику.

не замечает равномерная метрика. Если, например, 0 x 0, 001, то sign(x) = 1, а значение f (x) 0, 1. То есть расстояние между рассматриваемыми функциями в рассматриваемой метрике1 равно 1.

Теоретическое упражнение 4.4. Определите расстояние между графиком функции f (x) и дополненным графиком функции sign(x) в смысле хаусдорфовой метрики. Можно ли утверждать, что график функции f (x) и дополненный график функции sign(x) близки в смысле хаусдорфовой метрики?

Иногда естественно считать функции f1 (x) и f2 (x) близкими, если они близки в интегральном смысле, то есть если мала величина b

–  –  –

Теоретическое упражнение 4.5. Докажите, что расстояние между непрерывными на отрезке [a, b] функциями f1 (x) и f2 (x), определнное по этой формуле, е удовлетворяет аксиомам метрики (1) (4).

Из доказательства упражнения 4.52 вытекает, что множество M непрерывных функций, определнных на отрезке [a, b], с расстоянием, заданным данной форе мулой, является метрическим пространством. В дальнейшем это пространство мы будем обозначать C1 [a, b].

Замечание 4.4. Приведнное здесь определение метрического пространства е является классическим, отличаясь от определений многих учебных пособий только тем, что в них аксиомы неотрицательности и невырожденности ( т.е. (1) (2)) объединены в одну. Тем не менее, как задача интересно следующее

Теоретическое упражнение 4.6. Можно ли дать такое определение метрического пространства:

Произвольное множество M некоторых элементов ( точек ) x, y,...

называется метрическим пространством, если существует правило, которое для любых двух точек x и y позволяет определить действительное число (x, y), которое удовлетворяет двум аксиомам:

(1 ) x, y M (x, y) = 0 x = y ;

(2 ) x, y, z M (x, z) (x, y) + (z, y) ?

В дальнейшем нам понадобится неравенство, которое называют Равномерную метрику можно распространить и на разрывные ограниченные функции, если определить е е как (f1, f2 ) = sup |f1 (x) f2 (x)|.

x[a, b] Или его изучения.

Неравенство четырхугольника. Для любых четырх точек x, y, z, u мее е трического пространства M |(x, z) (y, u)| (x, y) + (z, u).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из аксиомы треугольника (4) следует, что (x, z) (x, y) + (y, z) (x, y) + (y, u) + (u, z).

Если из левой и правой части данного двойного неравенства вычесть (y, u), то получим (x, z) (y, u) (x, y) + (u, z). () Таким же образом с помощью аксиомы треугольника получаем неравенство (y, u) (y, x) + (x, u) (y, x) + (x, z) + (z, u).

И, вычитая из левой и правой части последнего неравенства (x, z), имеем (y, u) (x, z) (y, x) + (z, u). () В силу аксиомы симметрии (3) (x, y) = (y, x) и (u, z) = (z, u). Используя свойство модуля1, из неравенств (*) и (**) вытекает доказываемое неравенство2.

Замечание 4.5. Большое количество примеров метрических пространств можно получить с помощью следующего определения.

Пусть M = (X, ) метрическое пространство, а X1 произвольное подмножество X. Тогда X1 с функцией (x, y), определнной для любых x и y из X, е также является метрическим пространством M1 = (X1, ). M1 называется подпространством метрического пространства M. Например, если M метрическое пространство точек числовой прямой с евклидовой метрикой, то любой интервал (a, b) этой прямой является подпространством M при условии, что расстояние между его точками определяется в евклидовой метрике.

§ 5. Об эквивалентности метрических пространств В теории множеств большую роль играло понятие эквивалентности. Два множества с совершенно различными по своей природе элементами считались с точки зрения теории множеств равноправными, если между их элементами существовало взаимно однозначное соответствие. После того как установлено, например, что множество точек отрезка и множество непрерывных функций, заданных на этом отрезке, имеют одинаковую мощность, в теории множеств нет смысла считать их различными множествами.

Но метрические пространства это ведь пары, определяемые множествами и соответствующими метриками. Поэтому одной эквивалентности с точки зрения Для любого числа a верно одно и только одно из равенств: |a| = a или |a| = a.

С точки зрения геометрии неравенство утверждает, что модуль разности длин двух противоположных сторон четырхугольника не больше, чем сумма длин другой пары его противоположных сторон.

е теории множеств для равноправности пространств может не хватить, если метрики в этих пространствах будут различными. Так эквивалентные как множества метрические пространства точек отрезка [a, b] и непрерывных функций на этом отрезке неодинаковы по метрике, например, уже в том, что в первом пространстве взаимные расстояния ограничены числом ba, а во втором ничем неограничены.

Поэтому нам для того, чтобы ввести понятие эквивалентности метрических пространств, понадобятся следующие определения.

Пусть M1 = (X, 1 ) и M2 = (Y, 2 ) метрические пространства. Предположим, что между их элементами установлено отображение f, которое ставит в соответствие каждому элементу x M1 1 некоторый элемент y = f (x) M2.

Определение 5.1. Отображение f называется непрерывным в точке x0 M1, если для каждого 0 существует такое = () 0, что для всех x M1 таких, что 1 (x, x0 ), верно неравенство 2 (f (x), f (x0 )).

Если отображение f непрерывно во всех точках пространства M1, то говорят, что f непрерывно на M1 2.

Замечание 5.1. Из неравенства четырхугольника вытекает, что расстояние е (x, y) является непрерывной функцией от x и y. Действительно, допустим, что x0 и y0 две произвольные точки метрического пространства M1. Согласно неравенству четырхугольника для всех точек x и y этого пространства имеем е

–  –  –

будет верно |(x, y) (x0, y0 )|.

В том случае, когда отображение f из метрического пространства M1 в метрическое пространство M2 является взаимно однозначным, существует и обратное отображение x = f 1 (y) пространства M2 на пространство M1.

Определение 5.2. Если отображение f взаимно однозначно и взаимно непрерывно3, то оно называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом.

В буквальном смысле, конечно, x X.

Если X и Y числовые множества, а f числовая функция, определнная на множестве X, то данное е определение совпадает с определением непрерывной функции в математическом анализе. Аналогично можно определить непрерывное отображение f от нескольких переменных x1 M1, x2 M2..., xn Mn (где M1, M2..., Mn метрические пространства) со значениями в некотором метрическом пространстве M.

То есть f и f 1 непрерывные отображения.

Пространства M1 и M2 в этом случае называются гомеоморфными между собой пространствами.

Примером гомеоморфных метрических пространств могут сложить пространства M1 = (1, 1) и M2 = (, ). Гомеоморфизм между ними задатся формулой е x y = tg.

Частным случаем гомеоморфизма является изометрическое отображение метрических пространств.

Определение 5.3. Взаимно однозначное отображение f между метрическими пространствами M1 = (X, 1 ) и M2 = (Y, 2 ) называется изометрией, если для любых x1, x2 X 1 (x1, x2 ) = 2 (f (x1 ), f (x2 )).

Примером изометричного отображения может служить преобразование сдвига (или паралелльного переноса).

Пространства M1 и M2, между которыми можно установить изометрическое соответствие, называются изометричными пространствами.

Изометрия пространств M1 и M2 означает, что расстояния между их элементами определяются одинаково. Различной может быть природа элементов, что с точки зрения теории метрических пространств не играет роли.

§ 6. Сходимость в метрическом пространстве Зная как определяется расстояние между точками, мы можем определить понятие предела последовательности в метрическом пространстве.

Определение 6.1. Точка x метрического пространства M называется пределом бесконечной последовательности точек x1, x2,..., xn,... этого пространства, если

lim (xn, x) = 0. n

При этом сама последовательность точек называется сходящейся последовательностью1. Наряду с классическим значком предела для обозначения сходящейся к x последовательности xn используется обозначение xn x.2 Теорема 6.1 (Об единственности предела). Если последовательность точек в метрическом пространстве M имеет предел, то этот предел является единственным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность x1, x2,..., xn,... из метрического постранства M имеет два предела: точки x и y из этого пространства.

Тогда имеют место соотношения

–  –  –

Поэтому сходимость в C1 [a, b] равносильна стремлению к нулю последовательности соответствующих средних отклонений.

Представление о сравнении сходимости в метрических пространствах C[a, b] и C1 [a, b] дат следующая е Теорема 6.2. Если последовательность непрерывных функций сходится к пределу равномерно, то она сходится к тому же пределу и в среднем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) является пределом последовательности непрерывных функций {fn (x)} в пространстве C[a, b]. Это означает, что для любого 0 существует номер N = N () такой, что для всех n N

–  –  –

Но в то же время в точке x = 0 функции этой последовательности не стремятся к единице, так как fn (0) = n · 0 = 0.

§ 7. Открытые и замкнутые множества Ранее мы уже встречались с понятием шара, когда рассматривали примеры расстояний на координатной плоскости. Рассмотрим, что из себя представляет шар в метрическом пространстве.

Сходящаяся последовательность может даже не иметь предела ни в одной точке.

Определение 7.1. Открытым шаром в метрическом пространстве M c центром в точке x0 M и радиусом r 0 называется множество S(x0, r) всех точек x M, удовлетворяющих условию (x0, x) r. Аналогично замкнутым шаром называется множество S[x0, r] всех точек x M, удовлетворяющих условию (x0, x) r.

На числовой прямой открытым шаром является интервал (x0 r, x0 + r), а замкнутым шаром отрезок [x0 r, x0 + r].

В рассмотренных примерах единичных шаров на евклидовой плоскости с центром в точке O множества точек A, удовлетворяющих неравенствам e (O, A) 1, 1 (O, A) 1, (O, A) 1, являются открытыми шарами, а множества точек A, для которых верны неравенства e (O, A) 1, 1 (O, A) 1, (O, A) 1, замкнутыми шарами.

–  –  –

Теорема 7.1.

Объединение любого числа открытых множеств и пересечение конечного числа открытых множеств являются открытыми множествами.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U = U объединение открытых множеств U. Так как U открытое множество, то каждая его точка x0 входит в U вместе с некоторым шаром S(x0, r). Но каждое подмножество точек из U является подмножеством множества U. Поэтому любая точка из U является одновременно внутренней точкой U. Следовательно, объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть точка x0 является внутренней точкой множеств U1, U2,..., U n и входит в первое из данных множеств с шаром S(x0, r1 ), во второе с шаром S(x0, r2 ) и т. д. Выберем из всех радиусов наименьший r = min(r1, r2,..., rn ). Тогда шар S(x0, r) содержится в каждом из множеств n U1, U2,..., U n, а значит и в их пересечении Ui.

i=1 Для бесконечного числа открытых множеств пересечение не является открытым множеством, что демонстрирует следующий пример. Рассмотрим множества вида Un = x : (x, x0 ), (n = 1, 2,... ).

n Их пересечение Un содержит только те точки x, для которых (x, x0 ) = 0.

n=1 Такой точкой может быть только сама точка x0. Таким образом, данное пересечение не является открытым множеством.

Структура открытых множеств в произвольном метрическом пространстве может быть достаточно сложной. Однако в случае их расположения на прямой полное описание дате Теорема 7.2 (О с т р у к т у р е о т к р ы т ы х м н о ж е с т в на ч и сл о в о й п р я м о й). Каждое открытое множество U на числовой прямой является конечным или счтным объединением попарно непересекающихся ине тервалов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную точку x U. По определению открытого множества она входит в множество U вместе с некоторым открытым шаром, то есть с интервалом числовой прямой, содержащим эту точку x. Построим наибольший интервал, содержащий точку x и содержащийся целиком в множестве U.

Обозначим через S множество точек, лежащих правее x и не принадлежащих множеству U. Если S пустое множество, то весь луч (x, ) входит в U. Если S не пусто, то оно имеет точную нижнюю грань. Точка не принадлежит множеству U, так как у любой точки множества U есть окрестность, целиком входящая в U и не содержащая ни одной точки из S. А точка, как точная нижняя грань множества S, в любой своей окрестности содержит точки из S. Поэтому не может принадлежать U. Можно сделать вывод, что весь интервал (x, ) входит в U.

Аналогично слева от x мы можем построить интервал (, x)1, левый конец которого не входит в U 2.

Таким образом, по заданной точке x U мы построили интервал (, ), входящий в U и такой, что его концы (из которых один или оба могут быть в бесконечности) не принадлежат множеству U. Интервалы такого вида называются составляющими интервалами открытого множества U.

Докажем, что составляющие интервалы не имеют общих точек. Допустим, что два составляющих интервала (1, 1 ) и (2, 2 ) имеют общую точку x0. Тогда имеет место одно из двух неравенств: 1 2 или 2 1. Предположим, что 1

2. Тогда 1, как внутренняя точка интервала (x0, 2 ), должна принадлежать множеству U. И она же, как концевая точка интервала (x0, 1 ), не может входить в U. Поэтому составляющие интервалы не имеют общих точек. Объединение составляющих интервалов не может быть более, чем счтным множеством. Так е как каждому из интервалов можно поставить во взаимно однозначное соответствие одну рациональную точку, которая ему принадлежит. А множество рациональных точек есть счтное множество. Следовательно, теорема доказана полностью.

е Далее нам понадобится понятие предельной точки множества.

Определение 7.4. В метрическом пространстве M точка a M называется предельной точкой множества F M, если любой открытый шар с центром в точке a содержал хотя бы одну точку множества F, отличную от точки a3.

Теоретическое упражнение 7.1. Является ли следующее определение предельной точки эквивалентным определению 7.4: в метрическом пространстве M точка a M называется предельной точкой множества F M, если любой открытый шар с центром в точке a содержит бесконечно много точек множества F?

Понятие предельной точки множества можно также определить через понятие предела последовательности.

Определение 7.5. В метрическом пространстве M точка a M называется предельной точкой множества F M, если существует последовательность различных точек x1, x2,..., xn,... множества F, сходящаяся к точке a.

Предельная точка может принадлежать множеству, а может и не принадлежать ему. Так, например, если F множество рациональных чисел отрезка [0, 1], то каждая его точка является для него предельной точкой. А, например, точка a = 0 является предельной точкой множества (0, 1], хотя самому множеству не принадлежит. Если в качестве радиуса открытых шаров с центром в точке Здесь точная верхняя грань множества всех точек, лежащих левее точки x и не принадлежащих множеству U.

Возможно, что этот интервал является лучом (, x).

Или на языке символов: S(a, r) (F \ a) = для любого r 0.

a = 0 взять числа rn =, то при любом натуральном n найдется открытый шар n S(0, rn ), в котором есть точка из (0, 1], естественно, отличная от a = 0. В то же время любая точка данного полуотрезка также является его предельной точкой.

Наряду с открытыми множествами важную роль в теории метрических пространств играют множества, которые называются замкнутыми.

Определение 7.6. Множество F M, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым множеством.

Любой отрезок числовой прямой [a, b] является замкнутым множеством.

Примером замкнутого множества в любом метрическом пространстве может служить замкнутый шар S[x0, r] = {x : (x0, x) r}.

Докажем, что любая точка, не принадлежащая S[x0, r], не является для него предельной точкой. Пусть точка x1 не принадлежит шару, то есть (x0, x1 ) = r1 r.

Рассмотрим открытый шар с центром в точке x1 и радиусом (r1 r). Предположим противное: в этом шаре есть точка z S[x0, r]. Тогда, согласно неравенству треугольника, r1 = (x0, x1 ) (x0, z) + (z, x1 ) r + (r1 r) = (r1 + r).

Из этого неравенства вытекает, что r1 r, что противоречит предположению.

Следовательно, точка x1 не является для множества S[x0, r] предельной точкой, и S[x0, r] содержит все свои предельные точки.

В метрическом пространстве замкнутые и открытые множества связаны между собой следующей теоремой.

Теорема 7.3.

Для того чтобы множество U было открытым в метрическом пространстве M, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение F = M \ U было замкнуто в M.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть U открытое множество, а F его дополнение.

Любая точка a, принадлежащая U, входит в него с некоторым открытым шаром, в котором нет ни одной точки из множества F. Поэтому точка a не является предельной точкой множества F. А так как она F не принадлежит, то F cодержит все свои предельные точки и, следовательно, является замкнутым множеством.

Докажем достаточное условие теоремы. Пусть F есть замкнутое множество, его дополнение. Рассмотрим произвольную точку x0 U. Нам нужно аU доказать, что существует открытый шар S(x0, r), который полностью расположен в U.

Допустим, что такой шар не существует, то есть в любом открытом шаре с центром в точке x0 имеются точки из множества F. Но тогда из определения 7.4, следует, что точка x0 является предельной точкой множества F. А так как по условию теоремы F содержит все свои предельные точки, то точка x0 принадлежит F, будучи одновременно точкой U по предположению. Из данного противоречия следует, что шар S(x0, r) существует. Поэтому множество U является открытым.

С помощью этой теоремы, а также теоремы 7.1 мы можем исследовать основные операции над замкнутыми множествами.

Теорема 7.4.

Объединение конечного числа замкнутых множеств и пересечение любого числа замкнутых множеств являются замкнутыми множествами.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся сформулированными во втором параграфе первой главы свойствами двойственности пересечения и объединения, из которых вытекает, что N N N C CFn = Fn = Un.

n=1 n=1 n=1

–  –  –

А так как множество U является открытым, если все его слагаемые U открыты, то и множество C F есть открытое множество. Тогда из теоремы 7.3 следует, что его дополнение, то есть пересечение произвольного числа замкнутых множеств, является замкнутым множеством.

Из теоремы о структуре открытых множеств на прямой вытекает Следствие 7.1(О з а м к н у т ы х м н о ж е с т в а х на п р я м о й).

Каждое замкнутое множество на прямой получается удалением конечной или счтной совокупности интервалов без общих точек.

е Выбрасываемые интервалы, являясь составляющими интервалами открытого множества-дополнения данного замкнутого множества, называются также смежными интервалами замкнутого множества.

Самые простые из замкнутых множеств на прямой это отдельные точки, отрезки и объединения конечного числа таких множеств. В шестом параграфе первой главы мы рассматривали предложенный Г. Кантором геометрический при

–  –  –

Следуя Ф. Хаусдорфу, множество F называют канторовским множеством1.

Из теоремы 7.4 следует, что множество F замкнутое. Оно получилось из отрезка [0, 1] выбрасыванием счтного числа интервалов. Рассмотрим структуру е множества F. Очевидно, что оно содержит точки 0, 1,,,,,,,...

концы выбрасываемых интервалов. Кроме них множество F содержит и другие точки, для характеристики которых понадобится представление действительных чисел x отрезка [0, 1] в троичной системе счисления a1 a2 an + 2 + ··· + n + ···, x= где числа an могут принимать значения 0, 1, 2. Точно также, как и в теоремах о двоичном разложении2, можно доказать, что каждое действительное число x допускает не более двух представлений в троичной системе счисления. При этом множеству F принадлежат только те числа x отрезка [0, 1], которые можно записать в виде троичной дроби так, чтобы в последовательности a1, a2,..., an,... ни разу не встретилась единица. То есть каждой точке x F можно поставить в соответствие последовательность a1, a2,..., an,..., в которой an = 0 или an = 2.

Так как каждой такой последовательности можно поставить во взаимно однозначное соответствие последовательность из нулей и единиц3, то мы можем утверждать, Сам Ф. Хаусдорф назвал его канторовским трихотомическим множеством.

См. седьмой параграф первой главы.

Каждому нулю которой соответствует an = 0, а каждой единице an = 2.

что множество F является множеством мощности континуума (что следует из теоремы 7.5 первой главы). При этом удивительным является то, что сумма длин + · · · всех выброшенных интервалов равна единице!

++ § 8. Замыкание множества. Понятие плотного множества В дальнейшем нам понадобится операция замыкания множества A в метрическом пространстве M.

Определение 8.1. Присоединение к множеству A всех его предельных точек называется замыканием множества A. Полученное таким образом множество обозначается A.1 Очевидно, что для любого множества A A.

Рассмотрим несколько примеров образования замыканий множеств:

1) если A = (a, b), то присоединение к нему его концов a и b создает его замыкание A = [a, b];

2) если A множество всех рациональных точек на действительной оси, то присоединение к нему множества всех иррациональных точек этой оси порождает его замыкание A;

3) в том случае, когда A множество всех многочленов

–  –  –

Как следует из следующей теоремы, необходимое условие признака БольцаноКоши выполняется в любом метрическом пространстве.

Признак определяет свойство полноты множества действительных чисел.

У фундаментальной последовательности есть и другое название: сходящаяся в себе.

Теорема 9.1.

Любая сходящаяся в метрическом пространстве последовательность является фундаментальной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть в метрическом пространстве M последовательность {xn } сходится к точке x.

Применим неравенство треугольника к точкам этой последовательности:

(xn, xm ) (xn, x) + (x, xm ).

Так как из определения предела следует, что для любого 0 при достаточно больших n и m (xn, x) и (x, xm ), то и (xn, xm ). Что и требовалось доказать.

Так как эта теорема не является обратимой, то интерес представляют пространства, для которых из фундаментальности последовательности следует е е сходимость.

Определение 9.2. Метрическое пространство называется полным пространством, если каждая его фундаментальная последовательность сходится в этом пространстве.

Также в дальнейшем нам понадобится еще одно определение:

Определение 9.3. Множество точек метрического пространства называется ограниченным, если в пространстве есть шар, содержащий это множество.

Из этого определения вытекает Теорема 9.2. Любая фундаментальная в метрическом пространстве последовательность является ограниченной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмм 0 и найдм зависящее от него число е е N такое, что (xn, xm ) при всех n, m N. Из этого неравенства вытекает, что верным будет и такое неравенство: (xn, xN ) при n N. Рассмотрим замкнутый шар с центром в точке xN, радиус r для которого выберем из условия

r = max{, (x1, xN ), (x2, xN ),..., (xn1, xN )}.

Тогда при всех натуральных n (xn, xN ) r. То есть все xn S[xN, r]. Если заменить r на r1 r, то можно всю последовательность {xn } заключить и в открытый шар S(xN, r1 ).

Рассмотрим несколько теорем, исследующих отношение к полноте интересующих нас пространств.

Теорема 9.3.

Метрическое пространство C[a, b] является полным пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что последовательность {yn (x)} непрерывных функций из C[a, b] является фундаментальной. Поэтому при всех nиm max |yn (x) ym (x)| 0. () axb Если мы зафиксируем x, то последовательность {yn (x)} превратится в числовую последовательность из пространства R. Из условия () вытекает, что она является фундаментальной числовой последовательностью. А это значит, что в силу признака сходимости Больцано-Коши существует

–  –  –

для всех n N. Следовательно, функция y(x) является пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций {yn (x)}. Из курса математического анализа известно1, что этот предел есть непрерывная функция. Это означает, что функция y(x) непрерывная функция. Из неравенства () следует, что в пространстве C[a, b] lim (yn, y) = 0.

n В силу этого можно сделать вывод о том, что в пространстве C[a, b] любая фундаментальная последовательность является сходящейся. Следовательно, пространство C[a, b] полное.

Для доказательства следующей теоремы убедимся в истинности следующего утверждения:

Утверждение. Если последовательность функций {fn (x)} сходится в пространстве C1 [a, b] к непрерывной функции f (x), а на отрезке [c, d] [a, b] равномерно сходится к функции (x), то на отрезке [c, d] выполняется тождество f (x) (x).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

В пространстве C1 [a, b] имеют место следующие неравенства:

d b

–  –  –

Теорема 9.4.

Метрическое пространство C1 [a, b] не является полным пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим на отрезке [a, b] последовательность непрерывных функций {yn (x)} таких, что 0 yn (x) 1. Будем предполагать, что при n последовательность равномерно сходится к 0 на каждом промежутке [a, c ), а на каждом промежутке (c +, b] к 1 (здесь c фиксированная точка из интервала (a, b). Покажем, что эта последовательность является фундаментальной в пространстве C1 [a, b]. Если взять число 0, то для него можно выбрать число N = N () 0 такое, что при всех n, m N будет верно неравенство b c c+

–  –  –

|yn (x) ym (x)| dx + 2 + = 4 1.

+ c+ Если предположить, что выбранная последовательность функций {yn (x)} сходится в пространстве C1 [a, b] к некоторой непрерывной функции f (x), то в силу доказанного утверждения f (x) должна на каждом промежутке [a, c ) быть равной (x) = 0, а на каждом промежутке (c +, b] совпадать с (x) = 1. Но каким бы ни было значение f (c), функция f (x) не будет непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Следовательно, в пространстве C1 [a, b] существует фундаментальная последовательность непрерывных функций, не имеющая предела в этом пространстве. Поэтому метрическое пространство C1 [a, b] не является полным.

Большую роль в математическом анализе играет лемма о вложенных отрезках.

Е доказательство построено на свойстве полноты множества действительных е чисел. Аналогом этой леммы в метрических пространствах является Лемма о замкнутых шарах. В полном метрическом пространстве M последовательность вложенных в друг друга замкнутых шаров Fn = {x : (x, xn ) rn }, (n = 1, 2,... ), радиусы которых rn стремятся к нулю при n, имеет общую точку.2 Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим шары Fn и Fn+m. Центр второго шара xn+m лежит, вместе со всем шаром, в шаре Fn, так что (xn+m, xn ) rn. Поэтому последовательность центров вложенных шаров x1, x2,..., xn,... является фундаментальной. Так как пространство M полное, то эта последовательность имеет Оценка первого и третьего интеграла вытекает из предположения о характере функций под интегралами и второго неравенства в доказательстве вышеуказанного утверждения. Во втором интеграле подынтегральная функция ограничена единицей, поэтому величина интеграла не больше чем длина отрезка интегрирования.

В книге А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина (см. библиографический список) рассматривается теорема о вложенных шарах, из которой следует справедливость и обратного утверждения: если в метрическом пространстве последовательность вложенных шаров с радиусами, стремящимися к нулю, имеет общую точку, то пространство является полным.

предел x. В силу того, что шар Fn является замкнутым множеством1, а точки последовательности xn, xn+1... содержатся в нм, то и предел x = lim xn+m е m принадлежит шару Fn. Поскольку номер шара n является произвольным, то x0 принадлежит всем шарам Fn. Что и требовалось доказать.

В первой главе2 при доказательстве несчтности множества точек отрезка [0, 1] е мы использовали лемму о вложенных отрезках. Теперь мы можем показать, что аналогичное утверждение имеет место и для класса полных метрических пространств.

Для этого введм следующее определение:

е Определение 9.4. Точка x0 метрического пространства M называется изолированной, если существует некоторый открытый шар U = {x : (x, x0 ) r}, который не содержит ни одной точки из M, кроме самой точки x0.

Например, если M есть какое-то множество точек числовой оси (, ) с евклидовой метрикой, то точка x0 M будет изолированной, если существует интервал, содержащий точку x0 и в котором нет больше ни одной другой точки из M.

Теорема 9.5.

Любое полное метрическое пространство M без изолированных точек несчтно.

е Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Множество всех точек пространства M счтно. Тогда все его точки можно расположить в виде последое вательности x1, x2,..., xn,... Допустим, что точка y1 точка из M, отличная от точки x1. Обозначим через F1 замкнутый шар с центром в точке y1, не содержащий (ни внутри, ни на границе) точки x1. Так как y1 неизолированная точка, то внутри этого шара есть другие точки пространства M, отличные от не. Пусть y2 е внутренняя точка шара F1 и она не совпадает с x2. Обозначим через F2 замкнутый шар с центром в точке y2, который целиком содержится в шаре F1 и не содержит точку x2. Продолжая этот процесс далее, мы получим последовательность вложенных замкнутых шаров F1 F2 · · · Fn..., радиусы которых будут стремиться к нулю. При этом шар Fn не содержит точку xn. Общая точка x всех шаров Fn, существующая в силу вышедоказанной леммы, не совпадает ни с одной из точек x1, x2,..., xn,... по построению. Поэтому пространство M нельзя определить с помощью последовательности {xn }. А это и означает, что оно является несчтным.

е Замечание 9.1. Если отказаться от предположения, что в пространстве M нет изолированных точек, то данная теорема станет неверна. Например, множество точек последовательности рациональных чисел на числовой прямой, сходящейся к некоторому рациональному пределу, образует счтное замкнутое множество, е которое можно рассматривать как метрическое пространство с изолированными точками.

См. пример после определения замкнутого множества (§ 7).

См. § 6 этой главы, теорема 6.2.

§ 10. Пополнение метрического пространства В канторовской теории действительных чисел действительные числа определяются с помощью фундаментальных последовательностей рациональных чисел1.

Так как рациональные числа образуют в евклидовой метрике неполное метрическое пространство, то процесс построения Кантором множества действительных чисел можно рассматривать как процесс построения полного метрического пространства.

Хаусдорф, обобщив метод Кантора, построил процесс, позволяющий любое неполное метрическое пространство M включить в некоторое полное пространство M.2 метрическое пространство3. Полное метриОпределение 10.1. Пусть M ческое пространство M называется пополнением пространства M, если в M существует подпространство M1, которое изометрично пространству M и является плотно вложенным в M, т. е. M1 = M.

Возможность построения пополнения метрического пространства дат теорема е Хаусдорфа, опубликованная им в 1914 году.

Теорема 10.1. Любое метрическое пространство M имеет пополнение M, и это пополнение единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из M.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что любые две фундаментальные последовательности {xn } и {yn } из M, для которых выполняется условие

lim (xn, yn ) = 0, n

находятся в отношении, которое является отношением эквивалентности. Оно рефлексивно, т.к. для любой фундаментальной последовательности4 {xn } очевидно, что lim (xn, xn ) = 0. Данное отношение симметрично, т.к. также очевидно, что n lim (xn, yn ) = 0 и lim (yn, xn ) = 0. И, наконец, из того, что lim (xn, yn ) = 0 n n n и lim (yn, zn ) = 0, следует третье равенство lim (xn, zn ) = 0. То есть данное n n отношение является транзитивным.

Поэтому все фундаментальные последовательности, которые можно построить из элементов пространства M, можно разбить на классы эквивалентных последовательностей. При этом если последовательность не входит в класс, то она не может быть эквивалентна ни одной последовательности из этого класса. Из таких классов, которые мы будем обозначать X, Y..., мы и будем строить новое пространство M. Для этого нам нужно определить расстояние r между классами.

Выберем в качестве представителей классов фундаментальные последовательCм. Кантор Г. Труды по теории множеств (с. 9 и с. 83).

Ему это было легче сделать, чем Кантору, т.к. при определении новых объектов иррациональных чисел нужно было ещ определить арифметические операции над ними.

е Вообще говоря, неполное.

И не только фундаментальной.

ности {xn } в классе X и {yn } в классе Y. Пусть

–  –  –

Докажем, что данное определение расстояния корректно, т. е. докажем, что данный предел существует и не зависит от выбора представителей {xn } X и {yn } Y. В силу того, что эти последовательности являются фундаментальными, с помощью неравенства четырхугольника1 е

–  –  –

Так как последовательности {xn } и {xn }, а также {yn } и {yn } являются эквивалентными последовательностями, то из последнего неравенства вытекает, что

–  –  –

Данное равенство показывает, что определение расстояния между классами не зависит от выбора фундаментальных последовательностей в этих классах.

Далее следует проверить, что в M справедливы аксиомы метрического пространства.

Аксиома 1. r(X, Y ) 0 выполнена по построению.

Аксиома 2. r(X, Y ) = 0 X = Y.

Очевидно, что если X = Y, то r(X, Y ) = r(Y, Y ) = lim (yn, yn ) = 0.

n Предположим, что r(X, Y ) = 0. Это значит, что для любой фундаментальной последовательности {xn } X и любой фундаментальной последовательности {yn } Y имеет место равенство lim (xn, yn ) = 0. Но тогда последовательности n {xn } X и {yn } Y являются эквивалентными и поэтому класс X должен совпадать с классом Y. Таким образом, если r(X, Y ) = 0, то X = Y.

Аксиома 3. r(X, Y ) = r(Y, X) верна по построению.

См. § 4 этой главы.

Аксиома 4. r(X, Z) r(X, Y ) + r(Y, Z).

Пусть {xn }, {yn }, {zn } фиксированные фундаментальные последовательности из классов X, Y, Z соответственно.

Так как в метрическом пространстве M имеет место неравенство треугольника, то (xn, zn ) (xn, yn ) + (yn, zn ).

Используя предельный переход при n, получаем

–  –  –

Следовательно, сопоставив каждой точке x M класс x сходящихся к ней фундаментальных последовательностей, мы изометрически отобразим M в пространство M, полагая r(x, y ) = (x, y).

Множество таких классов образует пространство M1, изометричное пространству M и являющееся подпространством пространства M.

Докажем, что M1 плотно в M. Для этого выберем в M некоторый класс X.

Возьмм в качестве представителя этого класса фундаментальную последователье ность x1, x2,... xn.... Рассмотрим в M1 последовательность классов

X1, X2,... Xm... Xn...,

в которой каждый класс Xm определяется стационарной последовательностью (xm, xm,... xm..), т. е. взаимно однозначно соответствует элементу xm M.

Выберем произвольное 0 и найдем такое натуральное число N, что для всех m N и всех целых неотрицательных чисел p будет выполняться неравенство (xm, xm+p ). Тогда будет верно и неравенство r(Xm, X) = lim (xm, xn ).

n Но это означает, что класс X является пределом последовательности классов Xm. Так как классы Xm принадлежат по построению пространству M1, то из определения следует, что M1 плотно вложено в M, то есть его замыкание в M совпадает со всем M.

Далее следует показать, что M полное пространство. Пусть X1, X2,... Xn...

фундаментальная последовательность классов из M. Для каждого класса Xn найдм в пространстве M1 класс Yn такой, что r(Yn, Xn ). Представителем е n Yn является некоторая стационарная последовательность (yn, yn,... yn... ), образующий элемент которой yn M взаимно однозначно соответствует классу Yn.

Докажем, что последовательность {yn } является фундаментальной в пространстве M. Из неравенства треугольника и из предположений следует, что

–  –  –

Следовательно, любая фундаментальная последовательность {Xn } M имеет в M предел. А это и означает, что M является полным пространством.

Нам осталось доказать, что для каждого метрического пространства M с точностью до изометрии существует единственное пополнение M. Это означает, что если M и M два пополнения пространства M, то существует взаимно однозначное отображение f пространства M на M такое, что если X = f (X ) и Y = f (Y ), то r1 (X, Y ) = r2 (X, Y )1.

Отображение f определим следующим образом. Пусть X произвольный класс из M. Тогда, по определению пополнения, для последовательности {xn } расстояние в M, а r2 расстояние в M.

Здесь r1 элементов из M в изометричном M подпространстве M1 M существует последовательность {Xn }, сходящаяся к X. Аналогично для этой же последова

–  –  –

Следовательно, r1 (X, Y ) = r2 (X, Y ).

Что и требовалось доказать.

Следствие 10.1. Допустим, что данное метрическое пространство M является частью другого полного метрического пространства M. Тогда в качестве пополнения M мы можем взять замыкание M в пространстве M. Так как M замкнутое подмножество полного пространства M, то M само является полным пространством. Поскольку оно содержит внутри себя M в качестве плотного подмножества, то оно удовлетворяет данной теореме. А значит, в силу теоремы может рассматриваться как пополнение пространства M.

Так как пространство действительных чисел R содержит внутри себя пространство рациональных чисел Q и является его замыканием, то в силу данного следствия пространство R является пополнением пространства Q.

§ 11. Определение и свойства непрерывных функций в метрическом пространстве Точно так же, как и в классическом анализе, в метрических пространствах важную роль играют непрерывные функции, определение которых аналогично их определению в классическом анализе.

Определение 11.1. Функция f (x) с числовыми значениями, определннаяе на метрическом пространстве M, называется непрерывной в точке x0, если для любого 0 можно найти такое 0, что из условия (x, x0 ) следует |f (x) f (x0 )|.

Возможно и второе определение, эквивалентное первому: функция f (x) непрерывна в точке x0, если для любой последовательности {xn }, сходящейся к x0, последовательность {f (xn )} сходится к f (x0 ).

Если же функция непрерывна в каждой точке пространства M, то она называется непрерывной на M.

Примером непрерывной функции в метрическом пространстве является расстояние от точки x до заданной точки x0. Чтобы это показать, выберем положительное число. И возьмм =. Рассмотрим точки x1 и x2 такие, что (x1, x2 ). Тогда е из неравенства треугольника1 |(x1, x0 ) (x2, x0 )| (x1, x2 ) =.

Точно также, как и в классическом анализе, сумма, разность и произведение двух непрерывных функций являются непрерывными функциями. Частное двух непрерывных функций является непрерывной функцией во всех точках, где знаменатель отличен от нуля.

Установим связь между открытыми и замкнутыми множествами и непрерывностью функции.

Теорема 11.1. Функция f (x), определнная на метрическом пространстве е M, является непрерывной тогда и только тогда, когда для любого числа A множества F1 = {x : f (x) A} и F2 = {x : f (x) A} замкнуты, а множества U1 = {x : f (x) A} и U2 = {x : f (x) A} открыты.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что функция f (x) является непрерывной функцией и докажем, что множество U1 является открытым. Предположим, что точка x0 U1 и поэтому f (x0 ) A. Возьмм = A f (x0 ). Так как функция е f (x) непрерывна в точке x0, то существует такой шар S(x0, ), для всех точек которого выполняется неравенство |f (x) f (x0 )|. В пределах этого шара f (x) f (x0 ) + = A.

Его иногда называют вторым неравенством треугольника: модуль разности длин любых двух сторон треугольника не превосходит длины третьей его стороны.

–  –  –

То есть этот шар целиком входит в U2. Что и доказывает открытость множества U2. И одновременно подтверждает замкнутость множества F1.

Предположим теперь, что для любого числа A множества U1 = {x : f (x) A} и U2 = {x : f (x) A} являются открытыми. Тогда для любой точки x0 M и для любого числа 0 можно построить множества

–  –  –

которые являются открытыми в силу предположения. Так как пересечение двух открытых множеств есть множество открытое, то и пересечение выбранных множеств

–  –  –

Функция1 f (x) непрерывна на E, так как x(t)dt непрерывно зависит от x в Подобные функции, определенные на множестве функций со значениями в числовом множестве, называются функционалами.

C[0, 1] и не обращается в нуль на E. Но одновременно f (x) неограничена на E, так как интеграл x(t)dt можно сделать сколь угодно малым, если соответствующим образом подобрать x(t) из E.

Чтобы аналоги указанных теорем имели место в метрическом пространстве M, необходимо ограничить M с помощью следующих определений.

Определение 11.2. Метрическое пространство M называется компактным, если любое бесконечное подмножество M1 M содержит фундаментальную последовательность.

Так, например, любое бесконечное подмножество M1 на интервале (a, b) согласно лемме Вейерштрасса об ограниченном множестве имеет предельную точку и поэтому содержит фундаментальную последовательность. То есть интервал M = (a, b) является компактным метрическим пространством.

Но так как интервал (a, b) не является примером полного пространства, поскольку не содержит все свои предельные точки, то компактное метрическое пространство не может дать полной аналогии с отрезком. Поэтому нам понадобится еще одно ограничение.

Определение 11.3. Компактное метрическое пространство, являющееся полным пространством, называется компактом.

То есть компакт есть метрическое пространство, в котором каждое бесконечное подмножество содержит сходящуюся последовательность. Примером компакта в метрическом пространстве точек числовой оси с евклидовой метрикой является отрезок [a, b]. И поэтому имеет смысл надеется, что в метрическом пространстве, которое является компактом, будут иметь место свойства непрерывных функций, связанные с ограниченностью и равномерностью.

Теорема 11.2. Любая непрерывная функция f (x), определнная на компакте е M, является ограниченной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что функция f (x) не ограничена. Тогда для любого натурального числа n можно найти точку xn M, в которой |f (x)| n.

Последовательность точек {xn } в силу того, что M является компактом, должна содержать сходящуюся подпоследовательность. Если отбросить при необходимости часть точек, то можно предположить, что сама последовательность сходится к некоторой точке x0 M. Так как f (x) непрерывная функция, то существует открытый шар S(x0, ) с центром в x0, для всех точек которого верно неравенство |f (x) f (x0 )| 1. Из этого неравенства следует, что |f (x)| |f (x0 )| + 1. Одновременно в этом шаре имеются точки последовательности {xn } со сколь угодно большими номерами. И в этих точках функция f (x) принимает сколь угодно большие значения. Из этого противоречия вытекает, что предположение было неверно и функция f (x) не может быть неограниченной. То есть функция f (x) является ограниченной, что и требовалось доказать.

Теорема 11.3. Любая непрерывная функция f (x), определнная на компакте е M, достигает на M точных верхней и нижней граней.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что функция f (x) достигает на M своей точной верхней грани. Допустим, что B точная верхняя грань значений f (x).

Для любого натурального числа n можно найти такую точку xn, в которой верно неравенство 0 B f (xn ).

n Предположим, что функция f (x) ни в одной точке компакта M не принимает значения B. Тогда функция (x) = непрерывна на компакте M и B f (x) является ограниченной на нм согласно теореме 11.2. Но на множестве точек xn е знаменатель функции (x) стремится к нулю. Поэтому функция (x) не может быть ограниченной. Данное противоречие показывает, что наше первоначальное предположение неверно. Следовательно, существует некоторая точка x M такая, что f () = B. Теорема доказана1.

x Теорема 11.4. Любая непрерывная функция f (x), определнная на компакте е M, равномерно непрерывна на нм. То есть, иными словами, е для любого 0 cуществует = () 0 такое, что из (x, y) следует, что |f (x) f (y)|.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим противное. Найдм = 0, для которого е можно указать две такие последовательности {xn } и {yn }, что расстояние между их точками с одноимнными номерами (xn, yn ) е и одновременно с этим n |f (xn ) f (yn )| 0.

Так как последовательность {xn } есть последовательность точек компакта, то она содержит сходящуюся к некоторой точке x0 подпоследовательность. Без ограничения общности рассуждений мы можем полагать, что и сама последовательность {xn } сходится2 к точке x0. А так как (yn, x0 ) (yn, xn ) + (xn, x0 ), то и последовательность {yn } также сходится к x0. А значит, можно найти такой номер N, что для любого n N точки xn и yn окажутся в такой окрестности точки x0, в которой будут иметь место неравенства |f (xn ) f (x0 )|, |f (yn ) f (x0 )|.

Но тогда для этих n |f (xn ) f (yn )| |f (xn ) f (x0 )| + |f (x0 ) f (yn )| + = 0.

А это противоречит предположению. Теорема доказана.

Достижение функцией f (x) точной нижней грани доказывается аналогично.

Для этого достаточно (если, конечно, это нужно) выбросить из последовательности некоторое количество точек.

§ 12. Понятие линейного пространства В математическом анализе операция предельного перехода встречается в комбинациях с линейными операциями сложением элементов и умножением на число. Сами эти операции изучаются в линейной алгебре. Нам понадобится связанное с этими операциями определение линейного пространства 1.

Пусть R множество действительных чисел, а V некоторое множество элементов. Для всех элементов u, v, w,... этого множества определены две операции: сложение и умножение на число, удовлетворяющие двум группам аксиом.

Первая группа аксиом описывает свойства сложения:

(I) u + v = v + u (коммутативность сложения).

(II) (u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативность сложения).

(III) Существует нейтральный элемент 0 такой, что u + 0 = u для всех u V.

(IV) Для каждого элемента u V существует противоположный элемент (u) такой, что u + (u) = 02.

В линейной алгебре доказывается, что нейтральный и противоположный элементы определяются единственным образом.

Вторая группа аксиом связывает операции сложения и умножения на число:

(V) 1 · u = u.

(VI) (u) = ()u (для всех, R, u V ).

(VII) ( + )u = u + u (для всех, R, u V ).

(VIII) (u + v) = u + v (для всех R, u, v V ).

Определение 12.1. Множество элементов V, для любых элементов которого определены операции сложение и умножение на действительное число, удовлетворяющие аксиомам (I) - (VIII), называется линейным пространством.

Определение 12.2. Подмножество L элементов линейного пространства V называется линейным подпространством в V, если операции сложения элементов L и умножения их на действительные числа приводят всегда к элементам из L.

Примером линейного пространства является множество Rn наборов из n чисел

–  –  –

u = (u1, u2,..., un ).

Подробнее изложение этого вопроса вы можете найти в книге Головиной Л. И. Линейная алгебра и ее приложения.

На языке алгебры выполнение аксиом (I) (IV) для элементов V означает, что множество V является коммутативной группой относительно операции сложения.

В Rn всегда можно найти n элементов e(1), e(2),..., e(n), для которых линейная комбинация C1 e(1) + C2 e(2) + · · · + Cn e(n) равна нулю только тогда, когда все коэффициенты C1, C2,..., Cn одновременно равны нулю и в то же время для любых n + 1 элементов e(1), e(2),..., e(n), e(n+1) существуют коэффициенты, не равные нулю одновременно и такие, что C1 e(1) + C2 e(2) + · · · + Cn e(n) + Cn+1 e(n+1) = 0.

В силу этого свойства линейное пространство Rn называется n-мерным пространством.

Функциональные пространства непрерывных функций C[a, b] и C1 [a, b] также являются линейными пространствами с естественными операциями сложения и умножения на число. Но в отличие от Rn, эти пространства бесконечномерные.

При исследовании соответствия между двумя линейными пространствами важную роль играет понятие изоморфизма.

Определение 12.3. Два линейных пространства V1 и V2 называются изоморфными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее операции сложения и умножения на число. То есть, если элементу u1 V1 соответствует элемент u2 V2, а элементу v1 V1 соответствует элемент v2 V2, то элементу u1 + v1 V1 соответствует элемент u2 + v2 V2. И для любого действительного числа элементу u1 V1 соответствует элемент u2 V2.

Любые два n-мерных пространства являются изоморфными, причм каждое е из них изоморфно рассмотренному выше пространству Rn.

§ 13. Линейные нормированные пространства Совмещение идей линейной алгебры с метрическими свойствами пространств привело С. Банаха1 к определению нового класса пространств.

Определение 13.1. Множество E элементов x, y,...

называется линейным нормированным пространством, если:

1. E является линейным пространством;

2. E является метрическим пространством, в котором расстояние (x, y) и линейные свойства связаны условиями:

(2.1) расстояние (x, y) не меняется при сдвиге, то есть x, y, z E (x + z, y + z) = (x, y) ;

(2.2) расстояние (x, y) подчинено условию однородности :

R, x E (x, 0) = ||(x, 0).

Из свойства (2.1) вытекает, что расстояние между двумя элементами равно расстоянию от их разности до нуля:

(x, y) = (x y, y y) = (x y, 0).

Стефан Банах (Stefan Banach, 1892-1945) польский математик. Один из создателей математической школы современного функционального анализа.

–  –  –

(x, 0) = x 0) = x = || · x 0 = ||(x, 0).

Замечание 13.1.

Следует заметить, что именно эти свойства нормы приняты в большинстве учебников за определение линейного нормированного пространства:

линейное пространство с нормой, удовлетворяющей условиям (а) (в), называется линейным нормированным пространством.

Замечание 13.2. Вводя в линейном пространстве для двух векторов понятие нормы как расстояния между этими векторами, мы должны быть уверены, что это расстояние будет равно длине вектора разности между этими векторами.

Так как это равенство соответствует еще и нашим житейским представлениям о расстоянии. Для этого разность между векторами не должна зависеть от самих векторов. Именно поэтому так важно выполнение приведнного выше условия е (x, y) = (x y, 0).

Рассмотрим пример, который показывает, что несоблюдение этого условия не дат превратить линейное метрическое пространство в нормированное.

е Пусть X есть некоторое множество точек плоскости, а P фиксированная выбранная точка. Определим на X метрику d : X X R следующим образом:

xy, x P = (y P ) ;

d(x, y) = x P + P y, x P = (y P ).

Здесь x y евклидова метрика на плоскости. Эта метрика называется французской железнодорожной метрикой1. Сво название эта метрика получила из-за е очень централизованно проложенной железнодорожной сети Франции (особенно в начальный период создания), которая послужила прообразом данной метрики.

См. сайт энциклопедии Википедия ru.wikipedia.org/wiki.

–  –  –

Покажем, что операции сложения и умножения на число являются замкнутыми относительно операции предельного перехода.

Лемма 13.1.

Если при n xn x и yn x, то xn + yn x + y.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидность этого полностью вытекает из свойства нормы (в) xn + yn (x + y) = (xn x) + (yn y) xn x + yn y 0.

Лемма 13.2.

Если при n xn x и n, то n xn x.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Данное утверждение является истинным в силу свойств нормы (б) и (в) n xn x = n xn n x + n x x = n (xn x) + (n )x |n | xn x + |n | x 0.

Следует заметить, что два изоморфных линейных пространства могут иметь разные нормировки. Например, C[a, b] и C1 [a, b]. При этом если линейные пространства как линейные изоморфны и как метрические пространства изометричны, то они называются линейно изометричными. Например, если f (x) C[0, 1], а f (3x) C[0, 3], то формула f (x) f (2x), устанавливая взаимно однозначное соответствие между пространствами C[0, 1] и C[0, 0, 5], доказывает их линейную изометричность. Если же f (x) C1 [0, 2], а f (2x) C1 [0, 1], то для того чтобы доказать, что пространства C1 [0, 2] и C1 [0, 1] линейно изометричны, достаточно установить взаимно однозначное соответствие с помощью правила2 f (x) 2f (2x).

§ 14. Пополнение линейного нормированного пространства Так как линейное нормированное пространство E является метрическим пространством, то оно может быть полным или неполным. Если E неполное, то его можно пополнить, включив в более широкое полное метрическое пространство E. Но так как пополнение линейного нормированного пространства должно само быть линейным нормированным пространством, то в пополнении должны быть определены линейные операции, удовлетворяющие свойствам линейного пространства и связанные с расстоянием свойствами (2.1)-(2.2).

Данное определение естественным образом связано с определением сходимости в метрическом пространстве, так как расстояние от точки x до точки y (x, y) = x y.

Часто вместо термина линейная изометрия используют менее точный, но короткий изоморфизм.

Предположим, что E линейное нормированное пространство. Определим в нм понятие фундаментальной последовательности.

е Определение 14.1. Последовательность {xn } называется фундаментальной последовательностью в нормированном пространстве, если для любого числа 0 существует такой номер N = N (), что при всех n N, m N выполняется неравенство xn xm.

Из построения пополнения метрического пространства1 следует, что две фундаментальные последовательности {xn } и {xn }, для которых lim xn xn = 0, n являются эквивалентными. А множество классов X, эквивалентных фундаментальных последовательностей {xn }, порождает пространство E.

Если мы сложим почленно две фундаментальные последовательности

–  –  –

Если при этом мы заменим последовательность {xn } на эквивалентную ей последовательность {xn }, а вместо последовательности {yn } возьмм эквивалентную е ей последовательность {yn }, то мы получим последовательность {xn + yn }. Эта последовательность, как следует из неравенства

–  –  –

будет эквивалентна последовательности {xn + yn }.

Точно также можно утверждать, что если фундаментальная последовательность {xn } эквивалентна фундаментальной последовательности {xn }, то последовательность {xn } будет также фундаментальной последовательностью, эквивалентной фундаментальной последовательности {xn }, что следует из равенства

xn xn = (xn xn ) = || · xn xn.

Учитывая вышесказанное, мы можем ввести линейные операции над элементами пространства E.

Выберем в классе X фундаментальную последовательность {xn }, а в классе Y фундаментальную последовательность {yn }. Суммой классов X и Y назовм е класс, который содержит фундаментальную последовательность {xn }+{yn }. Обозначим этот класс как X +Y. Как следует из вышесказанного, данное определение См. § 10 данной главы.

корректно, так как результат операции не зависит от выбора последовательностей {xn } и {yn } в соответствующих классах.

Аналогично определяется умножение класса X на действительное число : под классом X понимают тот класс, который содержит фундаментальную последовательность {xn }. Как следует из предыдущих рассуждений, результат операции не зависит от выбора последовательности {xn } в классе X.

Так как линейные операции сложения классов и умножения класса на число сводятся к линейным операциям над элементами исходного линейного пространства E, то введнные операции удовлетворяют всем аксиомам линейного простране ства. Так, например, класс 0 состоит из всех фундаментальных последовательностей пространства E, сходящихся к нулю.

Далее нам следует определить расстояние между классами и проверить его соответствие свойствам (2.1)(2.2).

Если {xn } произвольная фундаментальная последовательность из класса X, а {yn } некоторая фундаментальная последовательность из класса Y, то расстояние между классами X и Y логично определить с помощью формулы

–  –  –

Зафиксируем в классах X, Y, Z соответствующие фундаментальные последовательности {xn }, {yn }, {zn }. Рассмотрим влияние сдвига между классами на расстояние

–  –  –

Таким образом, расстояние между классами удовлетворяет свойству (2.1). Точно также r(X, 0) = lim (xn, 0) = || · lim (xn, 0) = ||r(X, 0).

n n Поэтому имеет место и свойство (2.2). Следовательно, построенное пространство E является линейным нормированным пространством и как полное метрическое пространство является пополнением исходного линейного нормированного пространства E.

§ 15. Понятие фактор-пространства данного пространства Одним из способов построения пополнения линейного нормированного пространства является построение так называемого фактор-пространства, о котором и будет рассказано в этом параграфе.

Пусть L подпространство линейного пространства V. Элементы x и y будем называть эквивалентными относительно L, если их разность xy принадлежит L. То, что данное отношение является отношением эквивалентности, следует из проверки свойств отношения эквивалентности. Так как L подпространство, то оно содержит элемент 0. Поэтому данное отношение обладает свойством рефлексивности, так как для любого элемента x E разность x x L. Если разность x y принадлежит L, то ему принадлежит и разность y x, поскольку линейное подпространство содержит противоположный элемент к данному. А значит, отношение является и симметричным. Если же элементы x и y порознь эквивалентны третьему элементу z E, то

x y = (x z) (y z) L.

Таким образом, x и y эквивалентны между собой. Следовательно, данное отношение обладает и свойством транзитивности. Поэтому вс пространство V можно е разбить на классы взаимно эквивалентных элементов так, что два элемента x и y попадают в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Подпространство L само образует один из классов. Если класс содержит элемент x0, то он содержит и все суммы вида x0 + l, где l пробегает вс подпространство L.

е Классы эквивалентных элементов будем обозначать X, Y,...

Покажем, что множество классов эквивалентности образует линейное пространство. Для этого нам понадобится определить линейные операции над классами.

Определим сумму классов X и Y. Выберем в классе X произвольный элемент x, а в классе Y произвольный элемент y. Так как сумма z = x + y лежит в некотором классе Z, то его логично назвать суммой классов X и Y. Данное определение является корректным в силу своей однозначности: если мы заменим элемент x на эквивалентный ему элемент x + l (l L), а элемент y на эквивалентный ему элемент y +l (l L), то сумма x+y заменится элементом (x+y)+(l+l ), эквивалентным элементу x + y.

Умножение класса X на действительное число определяется аналогично:

класс X состоит из всех элементов, эквивалентных элементу x, где x любой фиксированный элемент класса X. Единственность этой операции вытекает из того, что, меняя элемент x на эквивалентный ему элемент x + l (l L), мы получаем элемент (x + l) = x + l, эквивалентный элементу x, так как l L.

Поскольку обе линейные операции над классами сводятся к линейным операциям над элементами пространства V, то введнные операции автоматически удовлее творяют всем аксиомам линейного пространства. В частности, само подпространство L является нулм в полученном пространстве классов.

е Построенное из данных классов линейное пространство и является тем самым фактор-пространством пространства V по его подпространству L и обозначается V /L.

Сформулируем и докажем две теоремы о свойствах фактор-пространства.

Теорема 15.1. Если V линейное нормированное пространство, а L его замкнутое подпространство, то фактор-пространство V /L также является линейным нормированным пространством.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства утверждения данной теоремы достаточно вести норму в фактор-пространстве V /L и проверить, что она удовлетворяет свойствам нормы (а)-(в).

Пусть X V /L. Выберем в качестве его нормы X = inf x.

xX Проверим, что этот выбор удовлетворяет свойствам нормы.

(а) Так как 0 L, то L = 0. Докажем, что X 0, если X = L. Если X = 0, то в классе X существует последовательность {xn }, для которой при n xn 0. Рассмотрим произвольный элемент x класса X. Разность xxn = ln L и при n xxn x. А так как L замкнутое подпространство, то x L, а значит, X = L, что противоречит предположению. Следовательно, если X = L, то X 0.

(б) X = inf z = inf x = || inf x = || X.

xX xX zX x+y { x + y }= (в) X + Y = inf z= inf inf zX+Y xX, yY xX, yY

–  –  –

x = x+ll x+l + l = x+l.

Определим норму класса X как общее значение полунорм всех элементов этого класса. Свойства нормы (б) и (в) имеют место по построению, так как они являются свойствами полунормы для каждого элемента x X. Норма подпространства L как класса равна 0. Поэтому, если X = 0, то это означает, что все элементы x X имеют полунорму, равную нулю, то есть X совпадает с L. Следовательно, свойство нормы (а) также выполняется для введнной нормы. Поэтому построенное е фактор-пространство V по замкнутому подпространству L элементов с нулевой полунормой является линейным нормированным пространством V /L.

Из этого построения следует, что если мы хотим построить пополнение линейного нормированного пространства V, то нам нужно рассмотреть в V пространство Ф Так как если хотя бы в одной точке x0 [a, b] неотрицательная функция f (x) непрерывна и f (x0 ) 0, то b |f (x)| dx 0. (См., например, Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1, п. 28.1.) a всех фундаментальных последовательностей из элементов пространства V. Так как в пространстве Ф существуют фундаментальные последовательности {xn }, сходящиеся к нулю (но сами отличные от нуля), то пространство Ф обладает полунормой {xn } = lim xn = 0.

n Выделим в Ф подпространство L тех подпоследовательностей, которые сходятся к нулю. Рассмотрим в качестве классов взаимно эквивалентных элементов классы эквивалентных фундаментальных последовательностей. Они и образуют факторпространство Ф/L, которое уже будет полным нормированным пространством.

Его-то и можно взять в качестве пополнения исходного линейного нормированного пространства V.

§ 16. Комментарии ко второй главе

1. Включение в данное пособие элементов метрических и нормированных пространств, традиционно излагающихся в курсах функционального анализа, имеет несколько причин:

Понятия, которые используются в последующих главах, невозможно было бы ввести без использования определнных в этой главе понятий и терминологии.

е Дать возможность читателю познакомиться с иной трактовкой основных понятий теории метрических и нормированных пространств, взятой из ставшего библиографической редкостью учебника Г. Е. Шилова1 Математический анализ.

Специальный курс и несколько отличной от изложения, принятого в классических пособиях2. Поскольку автор надеется, что его читатели продолжат самостоятельно изучение теории функций действительного переменного и функционального анализа, то они в дальнейшем познакомятся с этими книгами.

Создать читателю минимальный комфорт, не отсылая его за изучением данных понятий к списку литературы.

2. При написании данной главы были использованы следующие работы:

Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ.

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа.

Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.

Скворцов В. А. Примеры метрических пространств.

Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.

3. Рисунки в данной главе взяты из работ:

Вулих Б. З. Введение в функциональный анализ.

Шилов Г. Е. (1917-1975) советский математик. Основные работы в области теории функций действительного переменного и функционального анализа, а также теории обобщенных функций и теории дифференциальных уравнений в частных производных.

Cм., например, Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ; Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа; Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.

Скворцов В. А. Примеры метрических пространств.

Хаусдорф Ф. Теория множеств.

4. Теоретические упражнения, а также их решения1, взяты из работ:

Скворцов В. А. Примеры метрических пространств.

Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние?

5. Пример метрического пространства, не являющегося нормированным, взят из статьи о французской железнодорожной метрике на сайте Wikipedia.

Глава 3 Введение в теорию интеграла Классическое определение интеграла, введнное Коши и Риманом2 в девятнаде цатом столетии, является достаточным, если его применять только к непрерывным или кусочно-непрерывным функциям. А следовательно, его вполне хватает для решения достаточно большого числа задач математики и физики. Но для развития таких областей математики и физики, как теория вероятностей, уравнения математической физики, аэро- и гидродинамика, квантовая физика (а также многих других) это определение оказывается недостаточным.

Мы рассмотрим только одну из проблем классического определения интеграла.

Во второй главе было показано, что пространство C1 [a; b] функций, непрерывных на отрезке [a; b] с метрикой b |f (x) g(x)| dx, (f, g) = a не является полным. То есть существуют фундаментальные последовательности, не имеющие предела в данном пространстве. Данное определение интеграла не позволяет интегрировать большинство классов разрывных функций. Поэтому только построение новой конструкции интеграла, более широкой, чем интеграл Римана, дат возможность найти такой класс функций, который будет пополнением е пространства C1 [a; b] в указанной метрике3.

§ 1. Множества меры нуль и множества полной меры Нам понадобится изучить некоторый класс множеств, расположенных на отрезке [a; b]. Для этого определим понятие покрытия множеств интервалами.

См. в конце пособия.

Коши Огюст (Cauchi Augustin Louis, 1789-1857) французский математик. Один из основоположников классического математического анализа.

Риман Бернгард (Georg Friedrich-Bernhard Riemann, 1826-1866) немецкий математик. Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввл сво определение е е интеграл Римана. Основоположник большого числа разделов в таких математических дисциплинах, как теория функций комплексного переменного, топология, аналитическая теория чисел, тригонометрические ряды.

Помимо проблемы полноты естественно существуют и другие проблемы, решение которых привело к интегралу нового типа. О них можно прочесть, в частности, в введении книги, написанной Гуревичем Б. Л.

и Шиловым Г. Е. (см. библиографический список).

–  –  –

. Тогда все множество X = X1 X2 · · · Xn... окажется покрытым сходит 2n счтной системой интервалов с общей суммой длин, меньшей чем. Следовательно, е объединение счтной совокупности множеств меры нуль само имеет меру нуль.

е Связь между множествами меры нуль и интегрированием функций заключается в следующей лемме.

Лемма 1.2.

Интеграл от любой функции, определнной на множестве меры е нуль, равен нулю.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество X имеет меру нуль. Рассмотрим его характеристическую функцию X (x).1 Выберем некоторое положительное число и покроем множество X системой интервалов с общей длиной меньшей, чем.

С точки зрения геометрии значение интеграла от X (x) не превосходит суммы площадей прямоугольников, построенных на этих интервалах с высотой, равной

1. А так как эта сумма равна сумме длин выбранных интервалов и по условию меньше, то и значение интеграла от X (x) можно определить сколь угодно малым числом. Следовательно, интеграл и от любой другой функции, определнной на множестве меры нуль, равен нулю2.

е Прежде, чем ввести новое определение, сформулируем Теоретическое упражнение 1.1. Верно ли, что, если множество является множеством меры нуль, то существует такое его покрытие счтной системой отрезе ков с конечной общей суммой длин, при котором каждая его точка будет покрыта бесконечным множеством отрезков этой системы?

Теоретическое упражнение 1.2. Верно ли, что если множество можно покрыть счтной системой отрезков с конечной общей суммой длин таким образом, е что каждая его точка будет покрыта бесконечным множеством отрезков этой системы, то это множество является множеством меры нуль?

С множествами меры нуль на отрезке связано определение другого класса множеств.

Определение 1.3. Множество на отрезке [a; b], дополнительное к множеству меры нуль, называется множеством полной меры.

Примером такого множества является множество иррациональных чисел, являющееся дополнением на любом отрезке множества рациональных чисел, имеющего меру нуль. Из данного определения и леммы 4.1 следует Лемма 1.3. Пересечение конечной или счтной совокупности множеств е полной меры является множеством полной меры.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что P1, P2,... множества полной меры. Рассмотрим их дополнения Q1 = CP1, Q2 = CP2,..., являющиеся в силу определения множествами меры нуль. Из леммы 4.1 следует, что множество См. определение в доказательстве теоремы 8.3 первой главы.

Так как в этом случае высота прямоугольников будет не превышать супремум функции на множестве, то общую сумму длин интервалов надо будет сравнить не с самим числом, а с его отношением к величине супремума.

–  –  –

Поскольку данный предел предполагает несколько условий, то возникает вопрос, для каких функций f (x) он существует. В 1821 году О. Коши доказал2 существование данного предела в случае непрерывной функции. В 1837 году П. Дирихле3 указал функцию 0, x [0; 1] R \ Q, (x) = 1, x [0; 1] Q, для которой данный предел не существует. Если мы в качестве точек k внутри разбиений будем выбирать только иррациональные числа, то предел будет равен 0.

И наоборот, выбирая в качестве k только рациональные числа, мы получим, что предел равен 1. Тем самым нарушается условие единственности существования предела. В дальнейшем Б. Риман, П. Дю Буа-Реймонд, А. Лебег4 получили необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана. Все эти условия объединяло то, что интегрируемая по Риману функция должна иметь не более чем конечное число точек разрыва первого рода.

Используя определение, рассмотрим построение интеграла Римана по схеме Г.

Дарбу5.

Выберем разбиение п1 = {x0, x1,..., xn }. Определим для рассматриваемой функции f (x) на каждом из промежутков разбиения [xk1 ; xk ] два числа mk = inf f (x), Mk = sup f (x) (здесь k = 1, n).

x[xk1 ; xk ] x[xk1 ; xk ]

–  –  –

называется ступенчатой функцией. На границах промежутков k, являющихся точками разрыва функции h(x), функцию можно определять разными способами или не определять вообще: значения h(x) в этих точках не играют роли в дальнейшем, так как число этих точек есть число конечное.

Обозначим множество ступенчатых функций, определнных на отрезке [a; b] е через H.

Лемма 3.1.

Множество ступенчатых функций H является линейным пространством относительно операций сложение и умножение на действительное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть h(x) и k(x) ступенчатые функции.

Рассмотрим их линейную комбинацию l(x) = h(x) + k(x) с действительными коэффициентами и. Если 1, 2,..., p система промежутков, на которых функция h(x) является постоянной, а 1, 2,..., q система промежутков, на которых постоянна функция k(x), то пересечения 1 1, 1 2, 1 2,..., p q образуют систему промежутков, на каждом из которых функция l(x) является постоянной1. Следовательно, функция l(x) также является ступенчатой функцией. Поэтому множество H является линейным пространством.

Выделим некоторые из операций, которые можно выполнять над функциями из пространства H:

Лемма 3.2.

Произведение двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией.

Доказательство этой леммы проводится точно так же, как и предыдущей.

Лемма 3.3.

Частное от деления двух ступенчатых функций является ступенчатой функцией, если функция-делитель отлична от нуля.

Доказательство этой леммы проводится точно также, как и двух предыдущих.

Лемма 3.4.

Абсолютная величина |h(x)| ступенчатой функции h(x) является ступенчатой функцией.

В данном случае доказательство вытекает из определений абсолютной величины и ступенчатой функции.

Лемма 3.5.

Если h(x) и k(x) заданные ступенчатые функции, то h1 (x) = max{h(x), k(x)}, k1 (x) = min{h(x), k(x)} также являются ступенчатыми функциями.

Предположим, что {n } система промежутков, на которых определены ступенчатые функции h(x) и k(x). Независимо от истинности отношений h(x) k(x) и k(x) h(x) для всех точек данной системы имеет место равенство max(h(x), k(x)) + min(h(x), k(x)) = h(x) + k(x). () Рассмотрим разность max(h(x), k(x)) min(h(x), k(x)). Если h(x) k(x), то разность равна h(x) k(x); если же h(x) k(x), то k(x) h(x). Используя знак Среди данных пересечений могут быть и пустые. Их мы просто не будем принимать во внимание.

модуля, получаем

–  –  –

Решив систему уравнений ()(), получаем изучаемые функции max(h(x), k(x)) и min(h(x), k(x)) в виде линейных комбинаций суммируемых функций max(h(x), k(x)) = (h(x) + k(x) + |h(x) k(x)|);

min(h(x), k(x)) = (h(x) + k(x) |h(x) k(x)|), из которых на основании лемм 3.1 и 3.4 и следует, что функции h1 (x) и k1 (x) являются ступенчатыми функциями.

Определим для функции h(x) две функции, свойства которых нам понадобятся дальше1.

Определение 3.2. Функция h+ (x) = max{h(x), 0} называется положительной частью функции h(x).

Определение 3.3. Функция h (x) = max{0, h(x)} называется отрицательной частью функции h(x).

Лемма 3.6.

Если h(x) заданная ступенчатая функция, то функции h+ (x) и h (x) также являются ступенчатыми функциями..

Доказательство этого факта вытекает из определения максимума ступенчатых функций.

Теоретическое упражнение 3.1. Докажите, что для положительной и отрицательной частей функции h(x) справедливы представления h+ (x) = (h(x) + |h(x)|), h (x) = (|h(x)| h(x)).

–  –  –

Что и требовалось доказать.

Лемма 4.2 (С в о й с т в о о д н о р о д н о с т и).

Для любой постоянной е можно выносить из под знака интеграла от ступенчатой функции, т.е.

е

–  –  –

Следовательно, лемма доказана.

Лемма 4.3 (С в о й с т в о м о н о т о н н о с т и).

Если при каждом x [a; b] h(x) k(x), то I(h) I(k).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Точно также, как и при доказательстве свойства аддитивности, рассмотрим системы промежутков 1, 2,..., n и 1, 2,..., m, а также систему

–  –  –

Прежде чем сформулировать следующие свойства интегралов от ступенчатых функций, введм обозначения, которые мы будем использовать в дальнейшем при е изучении монотонных последовательностей. Значком мы будем обозначать предельный переход при монотонном убывании последовательности. Например, f означает, что последовательность функций {fn (x)}, монотонно запись fn убывая, сходится к функции f (x). Точно также значок далее будет обозначать предельный переход при монотонном возрастании последовательности.

Лемма 4.4.

Если последовательность неотрицательных ступенчатых функций {hn (x)} не возрастает1 и стремится к нулю почти всюду, то lim I(hn ) = 0.

n Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как последовательность ступенчатых функций hn (x) 0 почти всюду, то существует множество A меры нуль, на котором последовательность {hn (x)} не сходится к нулю. Кроме точек множества A существует еще одно множество меры нуль это счтное множество B, множество тое чек разрыва на отрезке [a; b] всех функций hn (x). Из леммы 1.1 следует, что множество AB имеет меру нуль. А это означает, что существует система интервалов 1, 2,... с общей длиной, меньшей выбранного 0, которой можно покрыть множество A B. Рассмотрим множество точек {x } отрезка [a; b], не принадлежащих этому покрытию. Каждой такой точке x поставим в соответствие номер m = m(x ), для которого выполняется неравенство hm (x ). Кроме номера сопоставим каждой точке x интервал = (x ), который содержит эту точку и на котором функция hm (x ) сохраняет сво значение. Интервалы 1, 2,... вместе е с интервалами { } образуют покрытие отрезка [a; b]. Выберем согласно лемме Бореля из данного покрытия конечное покрытие и обозначим его интервалы через 1, 2,..., k, 1, 2,..., l.

Допустим, что p наибольший из номеров m(x ), соответствующих точкам x1, x2,..., xl. В силу условия леммы hn (x) 0, поэтому не только функция hp (x), но и все последующие на интервалах 1, 2,..., l не превосходят число. Будем считать, что интервалы 1, 2,..., l попарно не имеют общих точек2. Поэтому сумму длин интервалов 1, 2,..., l можно считать не большей, чем длина всего отрезка [a; b]. В то же время на интервалах 1, 2,..., l, сумма длин которых не больше, ни одна из функций hn (x) не может быть больше, чем число M = max h1 (x). Таким образом, интеграл от функции hp (x) I(hp ) M + (b a).

Это же неравенство справедливо и для интегралов от всех последующих функций.

А так как число можно выбрать сколь угодно малым, то lim I(hn ) = 0.

n То есть h1 (x) h2 (x)....

Этого можно добиться, если рассмотреть более мелкое разбиение на интервалы, исключая при этом общие части интервалов.

–  –  –

Следовательно, при достаточно большом n множество Gk можно покрыть системой интервалов, общая длина которых может быть выбрана меньше любого заранее выбранного числа. То есть, множество Gk является множеством меры нуль. А значит и множество Gk также является множеством меры нуль. Для любой неотрицательной функции g(x) множество всех точек, где она отлична от нуля

–  –  –



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«Методические материалы Межрегиональной олимпиады МПГУ для школьников по географии №16 в Перечне олимпиад школьников Задания отборочного этапа олимпиады по географии в 2011-2012 уч. году Задания разбиты на 4 варианта по 25 заданий в каждом варианте. Задания оценив...»

«СТАНДАРТ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬЮ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КРЕДИТНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ БАНКОВСКОЙ СИСТЕМЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СПЕЦИФИКАЦИЯ УТВЕРЖДЕН Советом АРБ от 16.12.2010 Версия 7.4 от 02.04.2012 Разработчики: ЗАО "Нота Банк", ЗАО "Кредит Европа Банк", ЗАО "Банк Интеза", ОАО "Банк Петрокоммерц", ОАО "Михайловский Промжилстройбанк", ООО "Ру...»

«Моргоров Владимир Мотохоевич родился 17 января 1924 года в улусе Бахай Эхирит-Булагатского аймака Бурят-Монгольской автономной ССР. Окончил 8 классов в селе Баяндай. В июне 1942 года Владимир Мотохоевич был призван в Красную Армию. Служил в противотанковом полку в Костромской области...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Нижегородский государственный лингвистический университет имени Н.А. Добролюбова" РАБОЧАЯ ПРОГРАММА НАУЧНОЕ ОБЩ ЕСТВО УЧАЩИХСЯ Секция " Зарубежное регионоведение" Н. Новгород 2016 СОДЕРЖ...»

«УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 150, кн. 4 Естественные науки 2008 УДК 551.56 ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ КЛИМАТА ПОСЛЕДНИХ ДЕСЯТИЛЕТИЙ НА ТЕРРИТОРИИ ТАТАРСТАНА Ю.П. Переведенцев, Б.Г. Шерстюков, Э.П. Наумов, М.А. Верещагин, Ю.Г. Хабутдинов, Н.В. Исмагилов, В.Д. Тудрий Аннотац...»

«ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ В ИССЛЕДОВАНИЯХ МЕЖЛИЧНОСТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Н.В. Амяга, Н.Е. Аймаутова, Ж.Б. Онзимба Ленюнго Кафедра профессионального обучения Московский институт открытого образования Пречистенский пер., 7а,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ МИНЕРАЛОГИЧЕСКИЙ МУЗЕЙ им. А.Е.ФЕРСМАНА Российской академии наук (ФАНО России) Ленинский пр-т, дом 18, корпус 2, Москва, 119071 Телефон (495) 952-00-6...»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №113 Юго-Западного окружного управления Департамента образования г. Москвы Рабочая программа по предмету "РУССКИЙ ЯЗЫК" Класс: 5 "Д" Всего часов на учебный год: 204 Количество часов в неделю: 6 Составлена...»

«ЧТОБЫ ПОМНИЛИ МБОУ СОШ №6 Я расскажу вам о солдате. Родился в Зарайском уезде. Окончил школу, а в августе 1942 года добровольцем ушел на фронт. От стен Смоленска дошел до румынского города Плоешти, закончив войну сержантом, командиром расчета "сорокопятки", маленькой противотанковой пушки. Она стреляла пря...»

«Федеральная служба по гидрометеорологии и мониторингу окружающей среды (Росгидромет) ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ "ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ" (ФГБУ "ГГИ") ОБЗОР СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ ГИДРОЛОГИЧЕСКИХ НАБЛЮДЕНИЙ, ОБРАБОТКИ ДАННЫХ И ПОДГОТОВКИ ИНФОРМАЦИОННОЙ ПРОДУ...»

«Светильники светодиодные серии Econex Loft Econex Loft 54-2120-220VAC-IP20 с БАП (арт. 26 054 21) Econex Loft 36-2120-220VAC-IP20 с БАП (арт. 26 036 21) Econex Loft 24-2120-220VAC-IP20 с БАП (арт. 26 024 21) ПАСПОРТ РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ И УСТАНОВКЕ Версия 2 Для правильной экс...»

«Творческий Интернет-конкурс "Поколение.РФ" Номинация: Урок, внеурочное мероприятие на тему "Как устроен Интернет", "Кто в Интернете главный" http://conf.edu.yar.ru/konkurs.html Прокопович Елена Вячеславна...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор гимназии №8 _ Выголова З. А. "07" сентября 2015 Спецкурс Подготовка детей к школе. "Развитие музыкальных способностей детей дошкольного возраста" Преподаватель Гимназии № 8 Корпачева Е.Н. Рассмотрено на НМС " 07" сентября 2015г. Руководитель НМС 2015-2016 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Программа написана на основе программы и методических р...»

«Муниципальное образовательное учреждение Дополнительного образования детей "Детская школа искусств № 8 им.Н.А.Капишникова" п.Мундыбаш Лекция-беседа как фактор духовного "Музыка развития личности школьника" Выполнил: Преподаватель по классу фортепиано Шевелева Н.В. Мундыбаш...»

«МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ "ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА" №10/2015 ISSN 2410-6070 контрреволюционных выступлений, но это не означало, что басмаческое движение в Туркестанском крае шла на спад. В обязанности вновь организованных органов ГПУ входило: подавление контрреволюционных заговоров и открытых вооруженных выступлений, бо...»

«Приложение к свидетельству № 54402 Лист № 1 об утверждении типа средств измерений Всего листов 6 ОПИСАНИЕ ТИПА СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ Система измерений количества и параметров нефти сырой № 2054 Архангельского месторождения при ГЗНУ-4304 НГДУ "Ямашнефть" Назначен...»

«2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Серия 6 Вып. 3 АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПОЛИТИЧЕСКОЙ НАУКИ УДК 327.8 И. В. Радиков РЕСУРСЫ И ПОТЕНЦИАЛ РОССИЙСКОГО ВЛИЯНИЯ НА СИСТЕМУ МЕЖДУНАРОДНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ Два десятилетия, прошедшие после развала биполярной международной систе...»

«ПОЛОЖЕНИЕ о литературном конкурсе "Каждый пишет, как он слышит." Общие положения 1.1.1. Настоящий порядок проведения литературного конкурса "Каждый пишет, как он слышит." (далее конкурс) устанавливает этапы проведения конкурса, определяет состав участников конкурса, устанавливает правила утверждения результатов конкурса...»

«Инструкция по эксплуатации Сверлозаточной станок BSM 20 Заточной центр BSM 20 SZ Оригинал! Сохраните инструкцию для дальнейшего пользования! Kaindl-Schleiftechnik REILING GmbH D-75203 Knigsbach-Stein Remchinger Str. 4 Tel.: +49 7232 / 4001-0...»

«Проблемы сверхширокополосного подповерхностного зондирования А.В. Ефимов ЗАО "Аэрокон", ул. Жуковского, 1, г. Жуковский, Московская обл., 140187 В работе рассматриваются проблемы и перспективы разви...»

«ABBYY Lingvo x5 Руководство системного администратора © 2011 ABBYY. Все права защищены. Информация, содержащаяся в этом документе, может быть изменена без предварительного уведомления, и комп...»

«OrCAD Layout – редактор печатных плат (с) 2002 ВГУ, ФКН, ИС, Коваль А.С. 04.09.2002 1 Цикл разработки в OrCAD Ввод описаний проекта Верификация Проектирование платы Формирование файлов для инструментов (с) 2002 ВГУ, ФКН,...»

«Этот текст опубликован для тех, кому не удалось посетить мои лекции в Москве и Санкт-Петербурге в ноябре 2013 года. Текст является полной копией лекций. АЗЫ И ТОНКОСТИ ВЫРАЩИВАНИЯ АКВАРИУМНЫХ РАСТЕНИЙ Как можно прочитать из названия, лекция с одной стороны общая, но с другой стороны охватывает некие нюансы, тонкости выращиван...»

«Приложение к журналу 6(36)/2015 Содержание Ю.В. Харечко Краткий терминологический Журнал выходит один раз в два месяца словарь по низковольтным электроустановкам. Часть 4 УДК 658.345.8(082) ББК 65.247 Введение..............»

«1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОТЧЕТ о реализации социального проекта "Информационно-ресурсный центр социально ориентированных некоммерческих организаций Псковской области"ЧАСТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ИнтелКап" Субсидия социально ориентированным некоммерче...»

«Сон Тонкости, хитрости и секреты Эта книга не может являться руководством для самостоятельной диагностики и лечения. Автор этой книги не несет ответственности за возможный ущерб, нанесенный вашему здоровью самостоятельным лечением, проводимым по рекомендациям, данным в этой книге. Таким образом, Вы полностью отвечае...»

«Инструкция по работе с порталом TENET-TV для ТВ-приставок MAG 200/250 ВНИМАНИЕ! Подключать ТВ-приставку к сети электропитания необходимо в последнюю очередь только после ее соединения соответствующими кабелями со свитчом и телевизором. Переключение между разделами меню осуществляется нажатием клавиш с обозначениям...»

«ПРАВИЛА БРОНИРОВАНИЯ В ГДС Апрель 2017 ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Причины и цели принятия Правил бронирования в ГДС Соответствие стандартам Дата вступления в силу Условия применения Правил бронирования в ГДС ГЛАВА 2. ТРЕБОВАНИЯ ПРИ СОЗДАНИИ БРОНИРОВАНИЙ В ГДС Создание дубликатов бронирований Брони...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.