WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой математики Филиал САФУ им. М.В. Ломоносова (Северодвинск), Россия Аннотация. В статье рассмотрено разложение функций в ряд Тейлора при ...»

УДК 51-7

ПРИМЕНЕНИЕ ПАКЕТА MATHCAD

ПРИ РАЗЛОЖЕНИИ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ ТЕЙЛОРА

И.В. Ершова1, Т.А. Минеева2

старший преподаватель кафедры математики

кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой математики

Филиал САФУ им. М.В. Ломоносова (Северодвинск), Россия

Аннотация. В статье рассмотрено разложение функций в ряд Тейлора при помощи инструментов программного продукта MathCAD. Представлены примеры разложения функций и определена последовательность этапов хода решения поставленной задачи при отображении средствами MathCAD.

Ключевые слова: программный продукт MathCAD, ряд Тейлора, частичная сумма ряда, символьные вычисления.

Система MathCAD современный программный продукт, который может оказать существенную помощь студентам, инженерам и всем тем, кто выполняет какие-либо расчёты. Основное достоинство этой системы заключается в отсутствии необходимости пользователю осваивать основы программирования, так как MathCAD предельно приближен к обычному математическому языку [1, с. 3].

MathCAD является активной средой для решения математических задач с использованием численных и символьных вычислений, визуализацией данных в виде различных графиков. С помощью MathCAD можно решать множество математических задач, в том числе и прикладной направленности.

Приведём пример использования возможностей пакета MathCAD при разложении функций в ряды Тейлора.



Для разложения функции в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано при помощи MathCAD используется команда «Разложить в ряд…» («Expand to Series…») из меню «Символика» («Symbolics»). После вызова команды диалоговое окно запросит порядок остаточного члена. Это определит число членов формулы.

Затем MathCAD выдаст соответствующее разложение выражения в ряд Тейлора.

Заметим, что при использовании аппроксимаций, полученных с помощью команды «Разложить в ряд…», необходимо иметь в виду следующее:

Обычно ряд Тейлора функции имеет бесконечное число членов, в то время как полиномы, возвращаемые командой «Разложить в ряд…», имеют только несколько членов (количество членов зависит от выбранного порядка).

Ряд Тейлора для функции может сходиться только в некоторой малой окрестности точки разложения (поэтому графики заданной функции и её разложения в ряд Тейлора будут совпадать только на некотором интервале) [2, с. 395].

Таким образом, когда функция приближается полиномом, возвращаемым командой «Разложить в ряд…», аппроксимация будет приемлема вблизи точки разложения, но может быть совершенно неточной для значений вдали от неё [2, с. 395].

Для того чтобы разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х при помощи MathCAD, необходимо:

1. Задать выражение, определяющее функцию.

2. Выделить переменную, по которой требуется найти разложение.

3. Выбрать команду «Разложить в ряд…» («Expand to Series…») из меню «Символика» («Symbolics») и задать порядок остаточного члена.

Используя полученное разложение, можно вычислить символьно сумму полученного ряда, которая должна быть равна исходной функции.

Пример 1. Разложить функцию f ( x) cos x в ряд Тейлора по степеням x.

Вычислить символьно сумму полученного ряда, построить на одном чертеже график заданной функции и графики нескольких частичных сумм полученного разложения.





Решение.

© Ершова И.В., Минеева Т.А. / Ershova I.V., Mineeva T.A., 2014 Построим на одном чертеже график заданной функции и графики трёх частичных сумм, удерживая в разложении в ряд Тейлора 2, 5 и 10 членов.

–  –  –

Построив на одном чертеже график заданной функции f x cos x и графики нескольких частичных сумм (см. рис. 1), можно увидеть, что они совпали на некотором интервале – в некоторой окрестности точки разложения.

Чтобы разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки, отличной от нуля, требуется выполнить замену переменной. Для этого необходимо:

1. Выполнить разложение по степеням x подходящей элементарной функции.

2. Задать выражение, на которое требуется заменить переменную x, и скопировать его в буфер обмена.

3. Выделить переменную x в найденном разложении.

4. Выбрать команду «Заменить переменную» («Substitute») в пункте «Переменная» («Variable») из меню «Символика» («Symbolics»).

Пример 2. Разложить функцию f ( x) ln x в окрестности точки x0 1.

Используя полученное разложение, вычислить символьно сумму полученного ряда, построить на одном чертеже график заданной функции и графики нескольких частичных сумм полученного разложения.

Решение. Известное разложение имеет вид:

–  –  –

Построим на одном чертеже график заданной функции и графики трёх частичных сумм, удерживая в разложении в ряд Тейлора 2, 4 и 10 членов соответственно.

–  –  –

Из рисунка 2 также можно увидеть, что график заданной функции и графики частичных сумм совпали на некотором интервале – в некоторой окрестности точки разложения.

Применение рядов не ограничивается только математикой. Они востребованы практически во всех естественных науках, имеют широкое применение в технике и других отраслях знаний. Ряды Тейлора применяются для приближённого вычисления значений функции, определённых интегралов, нахождения первообразных неберущихся интегралов, значений иррациональных чисел, интегрирования дифференциальных уравнений, для вычисления пределов, значений производных функции в точке и во многих других случаях.

Таким образом, очень важно владеть теорией и практикой работы с рядами, и именно система MathCAD открывает дополнительные возможности наглядно отобразить весь процесс производимого вычисления, что особо важно для решения математических задач профессиональной направленности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алейников, И. А. Практическое использование пакета MathCAD при решении задач: Учебное пособие. / И. А. Алейников. М. : Российский государственный открытый технический университет путей сообщения Министерства путей сообщения РФ, 2002. 114 с.

2. MathCAD 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчёты в среде Windows 95. М. : Информационноиздательский дом «Филинъ», 1997. 712 с.

Материал поступил в редакцию 04.10.14.

–  –  –

Abstract. The expansion of a function in Taylor series by means of tools of the MathCAD software product is examined in the article. The examples of the expansion of functions are presented and the sequence of stages for the solving of the problem when displaying by means of MathCAD is determined.

Keywords: MathCAD software product, Taylor series, partial sum of series, symbolic calculations.



Похожие работы:

«ПЛОХИХ ДМИТРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ХИРУРГИЧЕСКОЕ ЛЕЧЕНИЕ ГАСТРОШИЗИСА С ВИСЦЕРОАБДОМИНАЛЬНОЙ ДИСПРОПОРЦИЕЙ 14.00.27 – хирургия 14.00.35 – детская хирургия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата медицинских наук Кемерово – 2007 Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Ке...»

«СЛОВО О ГЕОЛОГЕ, УЧИТЕЛЕ И КОЛЛЕГЕ 26 марта 2015 г. исполнилось 85 лет выдающемуся ученому геологу, действительному члену Национальной академии наук Украины, заслуженному деятелю науки и техники Украины, дважды лауре ату Государственной премии Укра...»

«Глава 7. ТРАНСПОРТНЫЙ НАЛОГ Отчетность по налогу Организации, признаваемые налогоплательщиками по транспортному налогу, должны не позднее 1 февраля 2012 года предоставлять по месту нахождения транспортных средств налоговую декларацию по транспортному налогу (ст.363.1 НК РФ)....»

«1. Цели Производственной практики Педагогическая 1 Целями Производственной практики Педагогическая 1 является закрепление теоретической подготовки обучающегося и приобретение им nрактических навыков образовательной и вос...»

«ОНТОЛИНГВИСТИКА – НАУКА XXI ВЕКА Материалы международной конференции, посвященной 20-летию кафедры детской речи РГПУ им. А.И.Герцена 4-6 мая 2011 г., г. Санкт-Петербург Редакционная коллегия: Т.А.Круглякова (отв. редактор), Е.Л...»

«УДК 37 ПОДГОТОВКА ДЕВУШЕК К СЕМЕЙНОЙ ЖИЗНИ В ЭТНОПЕДАГОГИКЕ НОГАЙЦЕВ © 2012 Карасова Н.А. Карачаево-Черкесский государственный университет В статье рассматривается роль семьи в духовно-нравственном становлении личности; обосновывается необходимость изучения и использования средств и методов ногайской эт...»

«УТВЕРЖДАЮ СОГЛАСОВАНО Начальник отдела образования Директор ГБУ ИМЦ администрации Центрального района Центрального района Санкт-Петербурга Санкт-Петербурга И.А. Липатова _ Н.Г. Симакова "" 2016 "" 2016 Положение о районном конкурсе педагогических достижений Центрального...»

«Государственно бюджетное образовательное учреждение дополнительного педагогического профессионального образования центр повышения квалификации специалистов "Информационно-методический центр" Колпинского района Санкт-Петербурга Рассмо...»

«TRANSLATION OF SYNTAX OF OPERATION MANUAL FROM ENGLISH INTO RUSSIAN Staroverova A. D. (Russian Federation) Staroverova Anastasia Dmitrievna student of Master’s programme, department of translation and intercultural communication, faculty of for...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.