WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:     | 1 || 3 |

«Экспериментальное исследование токовых состояний низкоразмерных сверхпроводников Cпециальность ...»

-- [ Страница 2 ] --

ВАХ детекторов, снятые при нулевых токах инжекции, могут быть достаточно аккуратно описаны равновесным выраженеим для тока НИС контакта (3.03) в предположении конечного, но весьма малого размытия плотности состояний: ( = 0)( = 0) ' 0.02 (Рис. 3-07b) в согласии с существующими литературными данными [77]. Однако при конечных токах инжекции экспериментальные ВАХ ( 0 ) не могут быть описаны в рамках стандартной модели БКШ, считая, что соответствующие величины возрасли по сравнению с температурой термостата:. При достаточно низких температурах 0 форма экспериментальных ( 0 0 ) ВАХ качественно отличается от равновесных зависимостей, полученных при больших температурах ( = 0 00 0 ) (Рис. 3-07b). Если положить, что при температуре термостата уширение ВАХ объясняется исключительно ростом эффективной температуры =, то - то же самое значение температуры должно подставляться и в БКШ зависимость ( ) = ( = 0 ).

Однако, оказывается, что следуя этому описанию надо полагать, что температура сверхпроводника существенно выше, чем самая "горячая" точка всей системы - нормальный инжектор: = ( ) ( ), что явно противоречит здравому смыслу. Резюмируя, можно придти к выводу, что в рамках феноменологической модели для описания экспериментальных ВАХ при конечных токах инжекции (1) введение единой эффективной температуры

- не достаточно, и (2), как следствие - необходимо использование двух независимых параметров: ( ) и ( ). Зависиомости этих параметров от уровня инжекциии - отличны.

При достаточно низких температурах и не слишком больших энергиях инжекции



0.10 эффект подавления щели достаточно мал: единицы процентов (Рис. 3-09а), в то время как при тех же самых уровнях инжекциии увеличение параметра весьма существенное (Рис. 3-08). С увеличением температуры зависимость ( ) ослабевает (вставки на Рис. 3-08). Еще раз следует подчеркнуть, что введение двух параметров ( ) и ( ) - результат используемого феноменологического подхода, постулирующего, что ВАХ детекторов могут быть правильно описаны стандартным выражением для туннельного тока НИС контакта (3.03) с плотностью состояний сверхпроводника, даваемого выражением 3.06.

Хочется верить, что с дальнейшим развитием теории неравновесной сверхпроводимости вся совокупность экспериментальных данных может быть описана с использованием единой термодинамической температуры, входящей в неравновесную функцию распределения ( ).

Перейдем теперь к анализу другого интересного явления, проявляющегося при тех же самых экспериментах по инжекции неравновесных квазичастиц - зарядовому дисбалансу.

–  –  –

Влияние зарядового дисбаланса с избытком электроноподобных квазичастиц на плотность конденсата (левая панель) и спектр возбуждений (правая панель). Сплошные линии соответствуют равновесному состоянию, пунктирные - неравновесному.

–  –  –

наблюдался как в ранних работах на тонких структурах типа "сэндвич" [64], так и в более позних исследованиях на многоконтактных микроструктурах [66], [67], [68] и [69]. В рамках феноменологического описания [62], ненулевое значение избыточного тока связано с отклонением химического потенциала Куперовских пар от своего равновесного значения (выражение 3.04) (Рис. 3-10). Типичный пример фрагмента экспериментальной ВАХ НИС детектора в при смещениях, меньших щелевой особенности., при различных уровнях инжекции квазичастиц приведен на Рис. 3-11а. Как и ожидалось, избыточный ток увеличивается с ростом энергии накачки и меняет знак при изменении полярности тока инжекции.





Эффект ослабевает с увеличением расстояния между детектором и инжектором (Рис. 3-11b) и ростом температуры (Рис. 3-11с). Слабая асимметрия избыточного тока по отношению к нулевому току инжекции (Рис. 3-11а), скорее всего, связана с присутствием в измерительной цепи плохо контролируемых паразитных термоэлектрических потенциалов за счет существенных температурных градиентов между предусилителями (при комнатной температуре) и образцом. Еще раз отметим, что при детектировании двумя равноудаленными НИС детекторами (Рис. 3.06), НИСИН конфигурация, избыточный ток всегда равен нулю

–  –  –

для длины релаксации зарядового дисбаланса варьируется от 3.5 мкм до 6.5 мкм, что находится в разумном согласии с существующими литературными данными [66], [67], [68], [69] и [79].

–  –  –

Образец С3. (а) Фрагменты экспериментальных ВАХ при смещениях, меньших щелевой особенности., для НИС детектора, находящегося на расстоянии =2.8 мкм от инжектора при различных уровнях инжекции, указанных на рисунке. Сплошные кривые соответствуют тем же значениям инжекции, но - с противоположной полярностью.

(b) Зависимость избыточного тока детектора от энергии инжекции для различных расстояний между детектором и инжектором. Сплошные кривые - расчеты с использованием параметра =3.6, 3.6, 5.2 и 6.4 мкм для детекторов с = 2.8, 7.8, 17.8 и 37.8 мкм, соответственно. Вставка: пространственная зависимость избыточного тока, измеренная при энергиях инжекции | |=33.8 (), 6.7 (¤) и 4.5 (4). (с) Зависимость химического потенциала от энергии инжекции, измеренная при различных температурах одним и том же НИС детектором на расстоянии = 7.8 мкм от инжектора [32].

Слабая температурная зависимость релаксации зарядового дисбаланса при сверхнизких температурах (Рис. 3-11) объясняется достаточно просто: при слабом эффективном электрон-фононном взаимодействии единственным каналом релаксации остается лишь упругое рассеяние на неоднородностях / неизотропностях энергетической щели и/или конечная величина сверхтока [62]. В противоположность этой (поперечной) моде возбуждения, энергетическая релаксация (продольная мода) всегда требует присутствия неупругого рассеяния. При сверхнизких температурах концентрация равновесных фононов не достаточна для эффективной энергетической релаксации. Единственным источником фононов, с энергиями большими, чем температура, может быть распространение Джоулева тепла из "горячего" инжектора. Однако, как уже обсуждалось выше, даже в случае максимальных токов инжекции, рост электронной температуры инжектора составляет. 100 мK, что существенно меньше, чем минимальная энергия 2, требуемая для формирования Куперовской пары из электроноподобной и дырочноподобной квазичастиц.

Однако, как было обнаружено выше, раз энергетическая релаксация хоть медленно, но все-таки происходит на масштабах ' 40 мкм, должен существовать соответствующий канал рассеяния. Например, испускание и поглощение неравновесных фононов или фотонов, может обеспечить соответсвующий механизм релаксации. Естественно этот канал рассеяния тоже должен давать конечный вклад и в релаксацию зарядового дисбаланса. Обнаруженное существенное различие характерных масштабов релаксации подтверждает наше предположение, что при сверхнизких температурах упругое рассеяние - принципиально важный механизм релаксации зарядового дисбаланса.

Существенное различие величин и при сверхнизких температурах находится в согласии с теоретическими представлениями [61], [76]. Анализ точного выражения, когда упругим рассеянием можно пренебречь ( ) ( )23, где характерное время энергетической релаксации (в единицах 1) [45], позволяет заключить, что единственным условием, когда всегда ' является высокотемпературный предел. Формально это наблюдение эквивалентно утверждению, что в нормальном состоянии не существует канала релаксации зарядового дисбаланса, и соответствующее время стремится к бесконечности при приближении к. Обсуждаемые эксперименты проводились при сверхнизких температурах, где не существует a priori справедливого соотношения между и, следующего из существующих теоретических представлений.

Положения, выносимые на защиту, и представление результатов.

Впервые на одних и тех же гибридных микроструктурах из алюминия и меди измерены при сверхнизких температурах пространственные, энергетические и температурные характеристики зарядового и энергетического дисбаланса, возникающего при инжекции в сверхпроводник из нормального металла через туннельный барьер неравновесных квазичастичных возбуждений.

1. Показано, что вся совокупность экспериментальных результатов может быть описана феноменологической моделью, предполагающей справедливость равновесного выражения для туннельного тока НИС контакта с использованием при каждой фиксированной температуре трех подгоночных параметров, зависящих от тока инжекции квазичастиц и расстояния до инжектора : ( ) - уширение плотности состояний ; ( ) энергетическая щель сверхпроводника и ( ) - эффективный химический потенциал Куперовских пар.

2. Показано, что пространственная релаксации неравновесных квазичастичных возбуждений в алюминии может быть описана экспоненциальной зависимостью с характерным масштабом =5±1.5 мкм и =40±20 мкм для зарядового и энергетического дисбаланса, соответственно.

Основные результаты этой главы были опубликованы [32] и докладывались на отечественных [80] и международных конференциях [81], [82], [83], [84], [85].

–  –  –

где = r r0 и - удельное сопротивление материала.

В ранних классических работах Пиппардом было выдвинуто предположение, что волновая функция сверхпроводника должна иметь характерный размер, который следут из соотношения неопределенностей [86]: только электроны в энергетическом "слое" порядка вблизи уровня Ферми могут принимать участие в эффекте сверхпроводимости, и при этом неопределенность их момента.

Таким образом, если отождествить характерный размер с неопределенностью местоположения, то можно получить:

~ (4.02) Т. к. параметр характеризует минимальный размер волнового пакета "сверхпроводящих носителей заряда", можно ожидать нелокального взаимодействия с полем A(r), если оно существенно меняется на масштабе.. В полной аналогии с нелокальной электродинамикой нормальных металлов, Лондоновская глубина проникновения соответствует скин слою, а - длине свободного пробега электрона. Экстраполируя идеи нелокальной электродинмики на уравнения Лондонов, Пиппард предложил соответствующее нелокальное выражение, связывающее величину сверхтока J в точке r с векторным потенциалом A:

–  –  –

где = 2 - феноменологический параметр модели, связанный с плотностью сверхпроводящих электронов. Дальнейшее развитие физики конденсированного состояния показало, что большинство одноэлементных сверхпроводящих материалов как раз характеризуются соотношением (так называемые, сверхпроводники 1-го рода) и для них принципиален учет нелокальности 4.03.

Полезно заметить, что с точностью до численного коэффициента выражение 4.02 соответствут длине когерентности сверхпроводника, следующей из микроскопической модели БКШ 0 = ~ = 018. Исследуемые в этом разделе сверхпроводящие

–  –  –

Увеличение глубины проникновения магнитного поля в "грязном" сверхпроводнике (по сравнению с Лондоновской глубиной для чистого предела 0 ), следующее из соотношений

4.03 и 4.04, было позднее подтверждено экспериментально в сплавах олово-свинец, где длина пробега электрона может меняться в достаточно широких пределах. Резюмируя, следует отметить, что феноменологически введённая Пиппардом нелокальная электродинамика 4.03 не только качественно правильно описывает экспериментальную реальность, но и, как было показано позднее, следует из точной микроскопической модели БКШ.

Постановка задачи Задачей настоящего раздела является не исследование нелокальной связи сверхтока с полем 4.03, а ее квантовомеханический аналог - нелокальный отклик параметра порядка сверхпроводника. Как хорошо известно, макроскопически когерентное сверхпроводящее состояние может быть описано, так называемым, параметром порядка. Здесь сразу имеет смысл заметить, что термин "макроскопически когерентное" в данном контексте означает, что в основном состоянии сверхпроводника фаза комплексной величины = || одинакова. В этом смысле, масштаб нелокальности равен бесконечности. Однако сказанное не справедливо для модуля параметра порядка ||. Если в некой точке r0 изменена амплитуда |(r0 )|, то а priori не очевидно, что характерный масштаб нелокальности, описывающий соответствующее нелокальное взаимодействие

–  –  –

магнитным полем 4.03. В выражении 4.05 - нормировочный коэффициент, определяемый условием самосогласования |(r)| = |(r0 )| при r = r0. Несмотря на то, что соотношение

4.05 было предложено достаточно давно [87], соответствующие экспериментальные исследования, требующие изготовления сверхпроводящих структур субмикронных размеров, стали возможны только относительно недавно [88], [89].

Описание нелокального вклада в магнетосопротивление было предложено в теоретических работах [90], [91]. Эксперименты [88], [92], [93] показали присутствие нелокальности и качественно подтвердили модель [90], [91]. На базе вышеназванных результатов был сделан вывод, что соответствующий масштаб нелокальности определяется длиной когерентности Гинзбурга-Ландау ( ). Однако ряд вопросов остается открытым.

Проверка правильности функциональной зависимости 4.05 и определение величины составляют основное содержание настоящего раздела.

Эксперимент Формально можно было бы технически решить задачу экспериментального исследования пространсnвенной распределенности параметра порядка (r) при помощи сканирующего туннельного микроскопа (СТМ). Однако, есть два существенных ограничения. Во-первых, сигнал СТМ связан не с параметром порядка, а - со сверхпроводящей плотностью состояний.

Возможен пересчет, однако - уже на базе каких-то модельных представлений. Во-вторых, все "классические" сверхпроводники 1-го рода (с большой длиной когерентности) - Al, Sn, Pb, In, Zn, Ta - химически активные металлы. Как следствие, их поверхность - достаточно "грязная" и сильно затрудняет исследования СТМ.

В настоящей работе был использован качественно другой подход. Хорошо известно, что в замкнутом сверхпроводящем контуре параметр порядка осциллирует в магнитном поле с периодом 0, где = - магнитный поток через кольцо, 0 = 2 квант магнитного потока. Площадь должна быть не слишком большой - чтоб обеспечить достаточное разрешение по магнитному полю, ни - слишком малой - чтоб можно было бы пренебречь монотонной составляющей подавления сверхпроводимости током. Для контура с площадью порядка нескольких мкм2, изготовленного из типичных сверхпроводников 1-го рода, последнее условие выполняется для нескольких периодов осцилляций, когда магнитное поле существенно ниже критического значения = 0. При этом ожидается, что соответствующий (нелокальный) отклик должен наблюдаться в удаленных от контура точках структуры. Очевидно, что детали нелокального взаимодействия должны зависеть от граничных условий и конкретной геометрии эксперимента.

С целью экспериментальной проверки гипотезы нелокального взаимодействия методом взрывной электронно-лучевой литографии и вакуумного напыления (см. Главу 1) был изготовлен ряд алюминиевых наноструктур различной геометрии (Рис. 4-01) [94]. В первом классе образцов (Рис. 4-01, левая панель) сверхпроводящий контур находился в единой электрической цепи с удаленными участками системы. Во втором (Рис. 4-01, правая панель)

- гальваномагнитные свойства кольца и примыкающих участков могли измеряться раздельно.

Типичная ширина линии составляла 100 нм и площадь контура - порядка нескольких мкм2. В зависимости от толщины алюминиевой пленки (от 20 нм до 80 нм) критическая температура сверхпроводящего перехода варьировалась от 1.35 К до 1.2 К [6] с типичной экспериментально регистрируемой шириной от 10 мК до 30 мК.

–  –  –

Микрофотографии типичных алюминиевых наноструктур, использованных для исследования нелокального взаимодействия [94].

Измерения производились в откачиваемом диффузионным насосом гелиевом криостате с минимально достижимой температурой 0.95 К. Стабильность температуры порядка ±01 мК обеспечивалась двухступенчатой системой с обратной связью: электронным маностатом и ПИД контроллером, питающим малоинерционный нагреватель. Магнитное поле Земли компенсировалось -металлическим экраном, снижающим его до уровня ниже 1 мкТ.

Большинство гальваномагнитных измерений производилось 4-х контактным методом на переменном токе с частотой 19 Гц с использованием фазочувствительных детекторов и запитываемых от батарей предусилителей с уровнем шума порядка 1 нВ/ Гц.

Классический метод исследования квантовых осцилляций - эффект Литтла - Паркса [95] - заключается в регистрации магнетосопротивления двухсвязного сверхпроводника в резистивном состоянии ( = ) при фиксированной температуре слегка ниже критической. За счет неизбежной неоднородности образца разрушение сверхпроводимости магнитным полем всегда происходит в некотором конечном интервале магнитных полей [96], в котором как раз и наблюдаются осцилляции Литтла-Паркса (Рис. 4-02). Природа (начального) участка с отрицательной монотонной составляющей магнтеосопротивления, по всей видимости, не имеет прямого отношения к нелокальному взаимодействию и, скорее всего, связана с резистивной аномалией, часто наблюдаемой в сверхпроводящих наноструктурах в области фазового перхода [88], [97], [98].

Анализ результатов Нами были проведены эксперименты в достаточно широком диапазоне температур ниже точки сверхпроводящего перехода. Следует заметить, что, строго говоря, результаты модели [90], [91] применимы только в области, так называемого, паракондактанса

- в непосредственной близости от точки сверхпроводящего перехода ( ).

Тем не менее, разумно ожидать, что, по крайней мере, качественные выводы модели можно экстраполировать на область более низких температур.

Если предположить, что есть только две "взаимодействующие" точки r и r0, то выражение 4.05 принимает простую алгебраическую форму, справедливость которой относительно просто проверить экспериментально:

(4.06) |(r)| = |(r0 )| exp( |r r0 | )

Рис. 4-02.

Типичные зависимости сопротивления сверхпроводника от приложенного магнитного поля для структур, схематитчески представленных на вставке к верхней панели.

Четко прослеживаются осцилляции, накладывающиеся на монотонную зависимость ( = ) как кольца, так - и удаленных участков. На вставке к нижней панели приведены соответствующие сверхпроводящие переходы в нулевом поле ( = 0), стрелкой обозначена температура, при которой снимались зависимости основного рисунка.

Область отрицательного магнетосопротивления (нижняя панель), по все видимости, связана с резистивной аномалией (см. текст) [99], [94].

Для однородной квазиодномерной стркуктуры с пренебрежимо малым диамагнитным откликом, корректное описание конечного сопротивления 0 ( ) может быть получено либо, как указывалось выше - в области паракондактанса ( ), либо, наоборот - в области ( ), когда конечное сопротивление является следствием флуктуаций параметра порядка в "почти" сверхпроводящем образце [35].

Применительно к эффекту Литтла-Паркса, который объясняется периодической модуляции критической температуры двухсвязного сверхпроводника магнитным полем (), можно сделать интуитивно справедливое предположение, что изменение магнетосопротивления в резистивном состоянии должно быть пропорционально изменению критической температуры:

(4.07) ( = ) (), где () () (), а () описывает монотонное подавление критической температуры магнитным полем. Аналогично, ( = ) соответствует монотонной составляющей магнетоспоротивления, на которую накладываются осцилляции ЛиттлаПаркса: ( = ) ( = ) ( = ). Комбинируя выражения 4.06, 4.07 и тривиальную взаимосвязь можно получить удобное для анализа экспериментальных данных соотношение:

–  –  –

, где - эффективная толщина "стенки" кольца, которая должна быть одного порядка с геометрической шириной линии 100 нм.

Используя приведенные выше соотношения, можно показать, что экспериментально измеряемая величина ( ) [1 ()]12 должна быть пропорциональна отношению (0), где - расстояние между точками наблюдения. Для структур Рис. 4-01 ожидается, что величина = |r r0| должна быть одного порядка с расстоянием между кольцом и участком, где наблюдаются нелокальные осцилляции Литтла-Паркса. Рис.

4-03 демонстрирует разумное согласие с экспериментом, где расстояние достаточно хорошо совпадает с соответствующими геомерическими размерами: длина "шейки" (правая вставка) или расстояние между кольцом и серединой отрезка (левая вставка). При фитировании наилучшее согласие с экспериментом получалось при выборе критической температуры 0, совпадающей с вершиной сверхпроводящего перехода в нулевом поле (0 = 0). Из наклона экспериментальных точек на Рис. 4-03 можно определить длину когерентности (0) = (020 ± 002) мкм, которая находится в хорошем согласии ( p 10%) с расчетным значением (0) = 085 0, где использовалось табличное значение для алюминия 0 = 16 мкм. Длина свободного пробега 30 нм определялась из величины проводимости в нормальном состоянии и табулированным значением = 6 1016 Ом·м2. Вертикальный сдвиг точек на Рис. 4-03 формально связан с утверждением лишь о пропорциональности соответствующих амплитуд осцилляций 4.08, а не - точным равенством.

Неизвестный коэффициент может зависеть как от температуры, так и от магнитного поля, что, вероятно, и приводит к вертикальному сдвигу экспериментальных точек на Рис. 4-03.

Рис. 4-03.

Зависимости логарифма отношений амплитуд осцилляций Литтла-Паркса в кольце и в точке наблюдения от [1 ()]12 1. Структура Ar511E (правая вставка): 0 = 1270 К, = 07 мкм, = 1227 К (¤) и = 1231 К (). Структура Ar4В (левая вставка): 0 = 1225 К, = 12 мкм, = 1163 К (4). Структура Ar1 (левая вставка): 0 = 1270 К, = 10 мкм, = 1152 К (•) и = 1141 К (). На вставках приведены схематические рисунки соответствующих структур [94].

Следует сразу заметить, что приведенный выше анализ содержит ряд недостатков. Первая проблема связана с природой "размытого" участка резистивного состояния сверхпроводников.

Модель нелокального взаимодействия [90], [91] справедлива только в области паркондактанса ( ), в то время как для получения экспериментально детектируемой амплитуды нелокальных осцилляций Литтла-Паркса на практике используется существенно более широкий диапазон температур ниже точки сверхпроводящего перехода - Рис. 4-02 и 4-03. Постулированное (линейное) соотношение 4.07 между вариацией сопротивления и критической температуры в магнитном поле в таком (широком) температурном интервале не имеет под собой строгого теоретического обоснования. Вторая проблема связана с предположением, что в нулевом магнитном поле критическая температура одинакова по всему образцу. К сожалению, во всех реальных микроструктурах это положение не выдерживается: критическая температура зависит от координаты как за за счет хорошо известного для низкоразмерных сверхпроводников (но не имеющего всеми признанного теоретического объяснения!) размерного эффекта, так и за счет неизбежной неоднородности образцов.

Формально, описанная методика определения характерной длины требует знания лишь отношения амплитуд осцилляций в двух точках r и r0 (в отрезке и в кольце). Знание точного значения монотонной составляющей ( = ) не обязательно. Однако, в истинной области паракондактанса ( ( )) амплитуда осцилляций как в кольце (r0), так и в удаленной точке (r) настолько малы, что количественный анализ затруднен. Как следствие, при анализе результатов данные ( = ), полученные как при больших полях, так и очень малых (отрицательное магнетосопротивление), не принимались во внимание - Рис. 4-02 и 4-03.

Неопределенность полученной величины - достаточно велика и составляет порядка 15% - 20%. Тем не менее, данные позволяют сделать однозначный вывод, что постулированная пропорциональность 4.07 выполняется в указанной области полей и результаты могут быть интерпретированы в рамках "упрощенного" нелокального взаимодействия 4.08 с характерной длиной, совпадающей с длиной когерентности Гинзбурга-Ландау ( ).

Для получения более детальной информации и, в частности - определения длины нелокальности, необходим учет пространственной вариации параметра порядка (r) (или, альтернативно - критической температуры (r)) и соответствующего решения интегрального уравнения 4.

05. Нами была восстановлена фазовая диаграмма в координатах температура - магнитное поле Рис.4-04а. Каждая точка Рис.4-04а - результат измерения температурной зависимости сопротивления в фиксированном (перпендикулярном) магнитном поле ( = ( )). Учитывая конечную ширину перехода, определение критической температуры, до известной степени - вопрос договоренности. В этих экспериментах полагалось, что ( ) = 2, где - сопротивление в нормальном состоянии. Форма ( = ) зависимостей была постоянной в магнитных полях до 20 мТ. В более сильных полях наблюдалась некая "деформация" формы перехода по сравнению с ( = 0) зависимостью, но эти данные не принимались во внимание при анализе результатов.

Рис. 4-04.

(а) Экспериментальная Т-В фазовая диаграмма кольца (N) и удаленного отрезка (•) для структуры, показанной на вставке. Пунктирная линия - расчетное значение (). (b)

Вариация критической температуры в магнитном поле () () ():

экспериментальные значения для кольца (4) и отрезка (). Пунктирная линия соответствует расчету для осцилляций критической температуры в кольце (соотношения

4.09 и 4.10 ). Сплошная линия - расчету для удаленного отрезка на базе упрощенного выражения 4.06 с длиной нелокальности = 018 [ ()] = 0 [ ()]. "+" соответствуют численным решениям интегрального уравнения 4.05 для удаленного отрезка с корреляционной длиной из нижней панели рисунка. (с) Зависимости от магнитного поля корреляционной длины (+) и эффективной длины когерентности 018 [ ()] (сплошная линия) [94].

Здесь опять уместно остановиться на, скорее всего, паразитном явлении - резистивной аномалии - увеличению экспериментально наблюдаемого сопротивления в области сверхпроводящего прехода. Эффект плохо воспроизводится и типично проявляется как наличие различных "шишек" на зависимости ( ). Природа эффекта будет подробно обсуждаться пятой Главе. Сейчас следует лишь отметить, что если, как указывалось выше, критическая температура определяется как некая выделенная точка на ( ) зависимости (например, как ( ) = 2), то резистивная аномалия может быть формально интерпетирована как увеличение критической температуры магнитным полем [100], [101].

По этой причине для воссоздания фазовых диаграмм нами либо использовались структкры, где резистивная аномалия не наблюдалась (Рис. 4-04), либо - при температурах вдали от соответствующих немонотонностей на ( = 0) зависимостях.

На Рис. 4-04b данные с верхней панели того же самого рисунка перестроены - исключена монотонная составляющая (). Можно заметить, что амплитуда осцилляций критической температуры в кольце постоянна в полном соответствии с выражением 4.09, а вот аналогичная величина для удаленной точки (примыкающего отрезка) - спадает в магнитном поле. Это наблюдение находится в очевидном противоречии с наивным предположением, что корреляционная длина должна стремиться к бесконечности с приближением к критической точке, как - длина когерентности Гинзбурга-Ландау () = (0) [1 ()]12 или

- в модели БКШ 0 () = ~ (). Численное решение интегрального уравнения 4.05 показывает, что экспериментальные результаты 4-04b описываются спадающей в магнитном поле длиной нелокального взаимодействия (Рис. 4-04с). С точностью ±10% для нескольких начальных периодов осцилляций совпадает с зависимой от магнитного поля длиной когерентности 018 [ ()] = 0 [ ()]. В более сильных полях корреляционная длина уменьшается (Рис. 4-04с). Качественно аналогичные результаты были получены для всех исследованных структур. Следует заметить, что длина в несколько раз превышает длину p когерентности в "грязном пределе" 0.

–  –  –

Пространственная зависимость вариации критической температуры для нескольких значений магнитного поля, указанных на рисунке. Открытые символы - решение интегрального уравнения 4.05. Сплошные символы - экспериментальные данные, аналогичные Рис.4-04. На вставке показана схематика образца с указанием координат [94].

Численное решение интегрального уравнения 4.05 позволяет получить зависимость вариации критической температуры от координаты (Рис. 4-05). Для структур с "шейкой" (Рис. 4-05, и вставка к правой панели Рис. 4-01), где расстояние между кольцом и удаленным отрезком | | достаточно точно определено геометрией образца, для заданного магнитного поля можно экспериментально получить только две точки: ( = ) и ( = ). Для структур с несколькими измерительными контактами (Рис. 4-01 (левая панель)) согласие с расчетами существенно хуже. По всей видимости, наличие нескольких электродов и, как следствие - участков с эффективно большим сечением, чем остальная часть, приводит к нетривиальной (немонотонной?) пространственной зависимости ( = 0) вдоль образца. Этот паразитный эффект, в свою очередь, приводит к необходимости решения интегрального уравнения 4.05 с плохо определенными граничными условиями.

Предложенный формализм дает достаточно простой метод анализа различных проявлений нелокального эффекта Литтла-Паркса. Например - нелокальные осцилляции критического тока. Для "локализации" точки наблюдения, были изготовлены многоконтактные структуры с сужениями (Рис. 4-06, вставка). Если известна критическая температура ( ), то соответствующий критический ток может быть получен при помощи хорошо известной зависимости ( ) 32, следующей из модели Гинзбурга-Ландау для квазиодномерного канала: 32 (4.11) ( ) = ( 0 ) 1 ( ) Справедливость выражения 4.11 для исследованных структур в локальном пределе = 0 была проверена построением зависимости ( ) 32 в нулевом магнитном поле. Пример нелокальных осцилляций критического тока ( = = ) приведен на Рис. 4Причина резкого падения абсолютного значения критического тока (огибающей) после первого периода осцилляций не вполне ясна. Модель предсказывает монотонное уменьшение абсолютного значения критического тока с увеличением приложенного магнитного поля, на которое должна накладываться осциллирующая зависимость. Не исключена возможность, что указанное резкое падение абсолютного значения может быть связано с резистивной аномалией. По крайней мере, нет оснований считать, что этот странный эффект как-то связан с природой нелокального взаимодействия.

Амплитуда осцилляций критического тока ( ) спадает в магнитном поле аналогично амплитуде осцилляций критической температуры ( ) (Рис. 4-06b).

Последнее наблюдение качественно подтверждает справедливость соотношения 4.11. Как уже отмечалось, для многоконтактных структур (Рис. 4-06, вставка) количественный расчет функциональной зависимости ( 6= 0 = ) достаточно проблематичен.

Дополнительно к экспериментальным точкам ( = = ) на Рис. 4-06 сплошной линией построена зависимость в локальном пределе 0, соответствующая осцилляциям критического тока в кольце. К сожалению, в исследованной конфигурации (Рис.

4-06, вставка) экспериментальное определение критического тока в кольце затруднено:

измеряемый сигнал между контактами 1 и 2 (Рис. 4-06, вставка) характеризует критический ток самого слабого звена (скорее всего - участка между электродом и кольцом), а - не кольца, где плотность инжектируемого тока меньше. Тем не менее, хорошо прослеживается качественное соответствие как периода, так и амплитуды экспериментально измеряемых нелокальных осцилляций в удаленных точках ( = = ) соответствующим зависимостям в кольце ( = 0 = ).

Рис. 4-06.

Осцилляции критического тока, измеряемого между контактами 3 и 4 в магнитном поле ().

Для определения экспериментального значения критического тока использовался критерий ( ) = 1 мкВ. Сплошная линия соответствует модели в локальном пределе = 0 (в кольце).

В расчетах для величины критического тока в нулевом поле ( = 0 = 0) использовалось значение, измеренное в отрезке (см. текст). На вставке приведена микрофотография исследованной структуры [94].

В заключение можно отметить, что в алюминиевых структурах типа Рис. 4-01 четко наблюдается эффект Литтла-Паркса - осцилляции критической температуры: как в локальном пределе (в кольце) ( = 0 ), так и - в нелокальном: в удаленных от контура точках ( 0 ). Связанные эффекты также прослеживаются: осцилляции эффективного сопротивления ( = = ) и критического тока ( = = ). Нелокальные магнетоосцилляции сопротивления качественно могут быть описаны упрощенной моделью нелокального взаимодействия 4.08 с корреляционной длиной, совпадающей с длиной когерентности Гинзбурга-Ландау [90], [91]. Количественный анализ нелокальных осцилляций критической температуры требует решения интегрального уравнения 4.05. Расчеты находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом если положить, что корреляционная длина спадает в магнитном поле (Рис.

4-04). Ошибки определения и составляют 20% и 10%, соответственно. Несмотря на относительно высокую ошибку, можно однозначно заключить, что поведение этих величин в магнитном поле качественно отличается - Рис. 4-03 и 4-04. Однако следует иметь в виду, что эквивалентность и длины когерентности Гинзбурга-Ландау была установлена на базе постулированной справедливости упрощенного соотношения для нелокального взаимодействия 4.06, которое не имеет строгого теоретического обоснования. Подход был использован для для анализа нелокальных осцилляций эффективного сопротивления (выражение 4.08) в широком температурном интервале 0 ( ) с использованием интуитивного соотношения между вариацией сопротивления и критической температуры (выражение 4.07). Обнаруженная идентичность и может оказаться как просто совпадением, так и, что более вероятно - малостью количественного отличия, не разрешаемого в пределах экспериментальных ошибок измерений. Используя более общее соотношение 4.05, для корреляционной длины [ ()] следует качественно отличная зависимость от магнитного поля. Если характерные длины когерентности, [ ()] и 0 расходятся в критической точке () 0, то - наоборот уменьшается (Рис. 4-04с).

Необходимо подчеркнуть, что в настоящем разделе нелокальное взаимодействие исследовалось в транспортных экспериментах в области резистивного состояния сверхпроводника. Строго говоря, эта задача - принципиально неравновесная, где необходимо учитывать проникновение конечного электрического поля из нормального металла в сверхпроводник и релаксацию неравновесных квазичастичных возбуждений. Этот важный аспект не принимался во внимание при анализе экспериментальных данных. Хочется надеяться, что в дальнейшем (в более развитых моделях) неравновесность сверхпроводника будет учтена.

Положения, выносимые на защиту, и представление результатов.

Проведено экспериментальное исследование нелокального взаимодействия в алюминиевых микроструктурах.

1. Показано, что нелокальные магнетоосцилляции сопротивления качественно могут быть описаны упрощенной моделью нелокального взаимодействия 4.08 с корреляционной длиной, совпадающей с длиной когерентности Гинзбурга-Ландау, в соответствии с моделью [90], [91].

2. Показано, что нелокальные магнетоосцилляции критической температуры описываются корреляционной длиной, которая уменьшается с ростом магнитного поля.

3. Показано, что нелокальные магнетоосцилляции критического тока качественно описываются моделью, принимающей во внимание нелокальные магнетоосцилляции критической температуры.

Основные результаты этой главы были опубликованы в рецензируемых изданиях [94], [102], [99] и докладывались на отечественных [103] и международных конференциях [104], [105], [106].

Глава 5 Аномалия резистивного перехода в сверхпроводящих наноструктурах Введение Начиная с самых ранних стадий исследования сверхпроводимости, резкое падение сопротивления ниже критической температуры считалось неотъемлемым атрибутом сверхпроводимости. С развитием тематики, периодически стали появляться сообщения, что в непосредственной близости точки перехода измеряемое сопротивление ( ) может превосходить соответствующее значение в нормальном состоянии ( & ).

В случае относительно неоднородных квазидвумерных и трехмерных образцов, этот странный эффект может просто объясняться нетривиальным распределением линий тока между электродами [107], [108], приводящим к эффективному увеличению измеряемого сопротивления, определяемого в типичном эксперименте как ( ) ( ), где =.

В начале 90-х годов, с бурным развитием нанотехнологий, появился ряд сообщений, где исследовалась форма ( ) перехода субмикронных сверхпроводящих структур. В области достаточно размытых по температуре переходов, на ( ) зависимостях наблюдались различного рода "шишки" и, в ряде, случаев, измеряемое сопротивление ( ) = ( ) в узком температурном интервале могло превышать соответствующее значение в нормальном состоянии [100], [109], [101], [110], [111] (Рис. 5-01). Эффект, получивший название резистивная аномалия, был плохо воспроизводим, зависел от выбора конкретной пары потенциальных электродов (в многоконтактных структурах) и подавлялся как сильным измерительным током, так и магнитным полем.

Было предложено несколько объяснений этого явления: особенности флуктуационной сверхпроводимости в квазиодномерных системах субмикронных размеров [112], [97]; зарядовым дисбалансом в области границы нормальный металл - сверхпроводник [109], [113] и формированием центров проскальзывания фазы [100]. Однако, не смотря на уже более чем 20-летнюю историю исследования, до сих пор отсутствует общепринятое мнение, и продолжают появляться работы, акцентирующие внимание на этой аномалии.

–  –  –

Экспериментальные зависимости сопротивления от температуры ( ), измеренные между различными парами контактов одной и той же алюминиевой наноструктуры, представленной на вставке [100].

Постановка задачи Задачей настоящего раздела является исследование аномалии резистивного перехода ( ) в сверхпроводящих наноструктурах: проведение независимых экспериментов и построение модели, дающей теоретическое описание явления.

Эксперимент Как уже отмечалось, в ряде работ обращалось внимание, что резистивная аномалия плохо воспроизводимый эффект. Принимая во внимание это замечание, была поставлена технологическая задача изготовления различных по геометрии сверхпроводящих наноструктур, пригодных для проведения гальваномагнитных транспортных измерений. В качестве наиболее подходящего материала был взят алюминий с чистотой 99.999%, а для подложек использовался как чистый или оксидированный кремний, так и - специально изготовленный "сэндвич": кремний, покрытый слоем оксида алюминия толщиной 200 нм.

Ожидалось, что второй тип подложек должен уменьшить механические напряжения в тонкопленочных металлических нанострутурах, неизбежно возникающие при охлаждении до криогенных температур материалов с различными коэффициентами термического расширения. Как выяснилось позже, принципиальной разницы между стандартными подложками и "сэндвичами" не оказалось: резистивная аномалия наблюдалась в обоих случаях. Методом стандартной электроннолучевой литографии и направленного вакуумного напыления были получены алюминиевые наноструктуры различной геометрии и толщинами от 30 нм до 90 нм (Рис. 5-02). Типичная ширина линии как самого "образца" (конкретного участка между потенциальными электродами), так и измерительных контактов была порядка 100 нм. Расстояние между электродами, длина "образца", делалось различным: от 0.5 мкм до нескольким микрометров. Отношение сопротивлений образца, измеренных при комнатной и гелиевых температурах RRR= ( = 300)( = 42), варьировалось от 1.2 до 2.5, что соответствует длине свободного пробега от 20 нм до 70 нм, получаемой с использованием табулированной, в разных источниках, величины для алюминия = (6±2)1016 Ом*м2. Как типично для алюминиевых тонкопленочных наноструктур [6], критическая температура (в данном контексте относительно размытых ( ) переходов

- начало сверхпроводящего перехода, когда сопротивление еще не существенно ниже соответствующей величины в нормальном состоянии: 0 ( ). ) увеличивается с уменьшением минимального размера системы (толщины пленки), и для исследованных образцов варьировалась от 1.2 К (самые "тонкие") до 1.4 К (самые "толстые").

–  –  –

Измерения проводились в откачиваемом диффузионным насосом гелиевом криостате, позволяющим работать несколько часов при температуре порядка 1 К. Температура гелиевой ванны измерялась полупроводниковым диодом, предварительно откалиброванным по прецизионному термометру LakeShore DT470 с абсолютной точностью порядка 10 мК. Выше 1.5 К калибровка была также проведена по таблицам давления паров гелия.

При необходимости температура могла стабилизироваться при помощи двухступенчатой системы с обратной связью: электронным маностатом и ПИД контроллером, питающим малоинерционный нагреватель, обеспечивая стабильность температуры порядка ±01 мК на уровне =1 К. Магнитное поле до 10 мТ создавалось медным соленоидом. Магнитное поле Земли компенсировалось -металлическим экраном, снижающим его до уровня ниже 1 мкТ.

При монтаже наноструктур особое внимание уделялось защите от статических зарядов:

все контакты были заземлены на чипе и удалялись только после подсоединения вставки с образцом к измерительной установке. Внешние электронные устройства связывались с образцом через систему многоступенчатых RLC фильтров, подавляющих электромагнитные наводки. Большинство измерений проводилось четырехконтактным методом на многотерминальных структурах (Рис. 5-02) как на постоянном, так и переменных токах с использованием фазочувствительной методики. Следует отметить, что в типичных измерениях зависимостей ( ) использовался режим стабилизации тока и, в том числе достаточно малые значения вплоть до =50 нА. При этом эффективное сопротивление определялось как ( ) = ( ). В этом режиме измерений особое внимание должно уделяться исключению паразитного постоянного тока в цепи образца. В противном случае, измеряемый фазочувствительным детектором сигнал, отличается от сопротивления ( ), будучи также пропорционален производной ( ). С этой целью при измерениях на переменном токе генератор низкой частоты (типично - 19 Гц) изолировался от цепи образца низкошумящим трансформатором &1900.

Зависимости ( ) были измерены для большого количества многотерминальных наноструктур. Во многих экспериментах не было обнаружено никаких особенностей. Хотя следует отметить, что, как правило, детальная форма ( ) перехода отличалась даже для близкорасположенных участков одной и той же структуры. Последнее наблюдение подтверждает вывод о неоднородности тонкопленочных структур, изготовленных методом взрывной литографии. Около 20% образцов (комбинаций токовых и потенциальных контактов) продемонстрировали искомый эффект - в области резистивного перехода увеличение сопротивления ( ) выше соответствующего значения в нормальном состоянии (Рис. 5-03). Для конкретной многотерминальной структуры аномалия могла четко прослеживаться для одной комбинации контактов, в то время как для другой - отсутствовать.

Никакой определенной корреляции между амплитудой аномалии и длиной образца (расстоянием между потенциальными контактами) установить не удалось. Хотя необходимо отметить, что в структурах с & 2 мкм эффект не наблюдался. Сказанное также относится и к толщине структур: в области толщин от 30 нм до 90 нм аномалия обнаруживалась с одинаковым успехом в различных образцах. Топология системы также, по всей видимости, не имеет принципиальной роли: эффект наблюдался как в односвязных образцах (отрезки), так - и в структурах, содержащих замкнутые контура.

–  –  –

Было обнаружено, что для одной и той же комбинации контактов наблюдение резистивной аномалии зависит от "истории" эксперимента. Например, повторное измерение после отогрева системы до 50 К может привести к исчезновению эффекта (Рис. 5-03). Для заданной пары потенциальных контактов, форма резистивного перехода ( ) зависит от выбора токовых контактов (Рис. 5-04).

–  –  –

Экспериментальные ( ) зависимости, измеренные одной и той же парой потенциальных контактов V1-V2, но - с использованием различных токовых электродов [98].

Если (для заданной комбинации контактов) аномалия наблюдается, то ее амплитуда (в ряде экспериментов) оказалась зависимой от измерительного тока (Рис. 5-05). Следует обратить внимание, что плотности измерительного тока, при которых наблюдается подавление аномалии - достаточно большие, и, достигая значений 104 А/см2, при температурах сравниваются с критическими значениями.

Подавление резистивной аномалии может также наблюдаться при приложении внешнего магнитного поля (Рис. 5-06). В отличие от влияния измерительного тока, соответствующие значения магнитных полей - весьма малые: много меньше критических. Аналогичное наблюдение в ранних работах было интерпретировано как увеличение критической температуры в магнитном поле [101]. Мы можем лишь утверждать, что в ряде случаев, когда "шишка" сопротивления наблюдается на вершине ( ) перехода, ее амплитуда может действительно эффективно подавляться магнитным полем. Следует отметить, что подавление резистивной аномалии как током, так и магнитным полем - далеко не всегда эффективно.

В ряде экспериментов рост сопротивления в области ( ) перехода четко прослеживался при плотностях измерительных токов 105 А/см2 и магнитных полях =6 мT, когда весь резистивный переход уже заметно смещался в область более низких температур.

–  –  –

Вершина сверхпроводящего перехода ( ), измеренная при различных значениях внешнего магнитного поля перпендикулярного к плоскости образца [98].

Резюмируя экспериментальные наблюдения, можно повторить, что в значительном количестве экспериментов зависимости достаточно коротких алюминиевых ( ) наноструктур обнаруживают резистивную аномалию - в узком температурном интервале. рост сопротивления выше соответствующего значения в нормальном состоянии.

Амплитуда эффекта зависит от предыстории охлаждения, конкретного набора потенциальных и токовых контактов и, в ряде случаев, может подавляться сильным током и/или внешним магнитным полем.

Модель Неоднороднoсть структур и конечная ширина резистивного перехода Безотносительно к природе резистивной аномалии, анализ типичных экспериментальных ( ) зависимостей (Рис. 5-03 и 5-04) позволяет заключить, что форма перехода индивидуальна для каждого конкретного образца (комбинации потенциальных и токовых контактов). Даже для одной и той же структуры, ( ) зависимости, измеренные на соседних участках, подчас могут радикально отличаться. Экспериментально наблюдаемая ширина перехода от 20 мК до 100 мК существенно превосходит расчетные значения [47], [48] порядка = 5 мК для однородной структуры соответствующих размеров. Сказанное выше в полной мере относится и к большинству известных из литературы работ, где наблюдалась резистивная аномалия [100], [109], [101], [110], [111]. Можно сделать заключение, что для этого типа (коротких, литографически изготовленных) наноструктур форма ( ) перехода определятся неоднородностью конкретного образца, а - не универсальной зависимостью, следующей из флуктуационных моделей.

Оценка характерного размера неоднороднсти может быть сделана из анализа формы ( = ) зависимостей (Рис. 5-07).

–  –  –

Типичная вольт-амперная () характеристика (•) и ее первая производная (¤), измеренные при температуре ниже критической. Значения пороговых величин тока 1 и 2 обозначены стрелками [98].

Хорошо известно, что разрушение сверхпроводимости током - фазовый переход 1го рода, и, как следствие, наличие неоднородностей (критических зародышей) играет принципиальную роль. Теоретически было показано [115], [116], [117], что в одномерных сверхпроводящих каналах выше некого порогового значения плотности тока 2 нормальное состояние абсолютно стабильно, а ниже некого другого значения - 1 - нормальная фаза не стабильна относительно сколь угодно малых сверхпроводящих флуктуаций. Между этими двумя значениями 1 2 как раз и наблюдается резистивное состояние сверхпроводника. Очевидно, что экспериментальная ширина () зависимостей должна также зависеть от неоднородности образца.

При заданной температуре эффективный вклад "слабой" неоднородности может быть эквивалентен вкладу дефекта с характерным размером, характеризуемым локальным значением критической температуры, отличной от соответствующего значения 0 в остальной части "относительно однородного" канала [117]:

| 0 | 2( ) (5.01) = exp [06 ( 1 )] 0 где - плотность критического тока Гинзбурга-Ландау, которая характеризует максимальный (теоретически) возможный сверхток. Экспериментально можно определить только нижнюю и верхнюю границы резистивного состояния, 1 и 2, соответствующие полностью бездиссипативному и полностью нормальным состояниям. Оценка размера неоднородности по формуле 5.01 достигается подстройкой параметра в пределах

1 2. В достаточной близости от критической температуры, () зависимость имеет экспериментально детектируемую конечную ширину, границы которой лежат в пределах 1.5 2 /2 3.5 (Рис. 5-07). Дополнительная ошибка проистекает от неопределенности определения критических температур 0 и. Разумно предположить, что разрушение сверхпроводимости током происходит в самом слабом звене. Следовательно, должна соответствовать началу (вершине) сверхпроводящего перехода. Средняя критическая температура может быть положена равной 0 2. Для заданного материала, величина длины когерентности в грязном пределе ( ) зависит как от выбора критической температуры, так - и от длины свободного пробега :

( ) = 085 ( 0 )12 (1 )12. Принимая во внимание все указанные неопределенности, в исследованных образцах характерный размер "эффективной" неоднородности, следующий из выражения 5.01 [117] может быть оценен как =0.2 - 0.8 мкм.

Даже учитывая малую точность приведенной выше оценки, можно заключить, что размер характерной неоднородности, где локальное значение критической температуры отличается от средней 0, не может быть классифицирован ни как микроскопический,( ), ни как макроскопический. По всей видимости, в литографически изготовленных образцах критическая температура плавно меняется на расстояниях порядка ( ). Следует заметить, что аналогичный вывод следует и из анализа других литературных данных, где исследовались алюминиевые наноструктуры [100], [109], [101], [110], [111]. Необходимо использовать существенно более совершенные образцы, например

- нитевидные монокристаллы [21], [23], чтобы можно было бы утверждать, что форма ( ) перехода определятся универсальной зависимостью, следующей из модели термических флуктуаций, а - не неоднородностью конкретного образца [118]. Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в следующей Главе. Сейчас же, резюмируя вышесказанное, следует отметить, что во всех работах, где наблюдалась резистивная аномалия - неоднородность образцов являлась доминирующим фактором, определяющим форму ( ) перехода.

Вклад границы нормальный металл - сверхпроводник Как было показано в предыдущем разделе, в литографически изготовленных наноструктурах форма резистивного перехода определяется пространственной вариацией локального значения критической температуры () на характерном масштабе.

Следовательно, в резистивном состоянии 0 ( ) на длине образца (расстоянии между потенциальными контактами) неизбежно должна существовать граница нормальный металл - сверхпроводник (Н/С). В противоположность динамическому сосуществованию нормальной и сверхпроводящей фаз в режиме термических флуктуаций [47], [48], в случае неоднородных образцов эти границы - статические.

В этом разделе мы проанализируем особенности протекания электрического тока через Н/С границу. В частности, будет показано, что в типичном для этих экспериментов режиме стабилизации тока, измеряемое эффективное сопротивление образца ( ) ( ) может сильно отличаться от наивного предположения ( ) = ( ), где - полное сопротивление в нормальном состоянии, а ( ) - сопротивление в нормальном состоянии той части образца, которая находится в сверхпроводящей фазе.

Хорошо известно, что электрон, проникающий в сверхпроводник, может отразиться от Н/С границы как дырка с вероятностью ( ) [119]. При низких температурах вероятность этого процесса, называемого Андреевским отражением, стремится к единице ( ) 1, а при температурах - энергия квазичастиц сравнима с энергетической щелью ( ), и квазичастичные возбуждения достаточно легко проникают в сверхпроводник ( ) 0. Особенности Андреевского отражения в критической точке могут приводить к ряду нетривиальных эффектов. Например, в промежуточном состоянии сверхпроводника доля нормальной фазы 0 ( ) 1 пропорциональна внешнему полю.

Однако электрическое сопротивление току, текущему перпендикулярно к Н/С границам, может значительно превосходить величину [120]. Независимо было также обнаружено, что в С/Н/С трехслойных структурах, измеряемое сопротивление - больше соответствующей величины в нормальном состоянии [121].

Качественное объяснение перечисленных эффектов - достаточно простое [121], [122]. Для простоты рассмотрим Н/С границу в квазиодномерном канале при температуре достаточно близкой к критической. Инжектируемые из нормального металла квазичастицы релаксируют p на характерной длине =, где - характерное время релаксации (см. Главу 3).

Соответствующий диффузионный ток равен (5.02) = где - плотность квазичастиц, = (13) - коэффициент диффузии. С другой стороны, очевидно что этот диффузионный ток равен (1 ) части общего тока, поддерживаемого внешним источником: = (1 ). Т. к. в сверхпроводник инжектируется дополнительный заряд, то энергия Ферми должна понизиться на соответствующую величину = (0), где (0) - плотность состояний на уровне Ферми. Однако, в равновесии химический потенциал должен быть одинаков по всему образцу (см. комментарии ниже). Откуда следует, что в области Н/С границы электрический потенциал (по отношению к некой удаленной точке сверхпроводника) должен возрасти на =.

Для избыточного сопротивления Н/С границы, определяемого как = в результате можно получить:

–  –  –

(5.04) = (1 ) Близко к критической температуре, когда 0, выражение 5.04 имеет простую физическую интерпретацию: избыточное сопротивление Н/С границы равно сопротивлению (в нормальном состоянии) слоя толщиной. Соответствующие пространственные зависимости перпендикулярного к границе электрического поля и скалярного потенциала приведены на (Рис. 5-08а). Следуя приведенной (упрощенной) модели [121], [122], электрическое поле не проникает в сверхпроводник, и скачёк потенциала происходит в бесконечно малой области вблизи Н/С границы, являясь следствием непрерывности тока.

Соответствующее избыточное сопротивление, определяемое выражением 5.04, не есть сопротивление в смысле дополнительного механизма рассеяния, а - лишь формальное следствие наличия скачка потенциала на границе.

–  –  –

Пространственные зависимости нормальной к Н/С границе компоненты электрического поля и скалярного потенциала для чистого сверхпроводника в соответствии с моделями (а) [121], (b) [123] и (c) [124].

Одним из постулатов простой модели [121], [122] являляется невозможность наличия статического электрического поля внутри сверхпроводника, следующая из феноменологического уравнения Лондонов () ( ) =, которое дает постоянное ускорение для свехтока при любом конечном значении электрического поля. Иными словами, конечное электрическое поля неизбежно должно привести к ускорению сверхпроводящего конденсата до критической скорости, и, как следствие - разрушению сверхпроводимости.

Позже было показано [123], что в неравновесном состоянии характерной величиной является не электрическое поле, а - градиент электрохмического потенциала:

() ( ) = = () (1), где =, = (12)( + )

- энергия конденсата, и + - энергии электроноподобных и дырочноподобных возбуждений. В равновесии все градиенты равны нулю, и конечное электрическое поле действительно не совместимо со сверхпроводимостью. Однако в случае неравновесной инжекции квазичастиц через Н/С границу, электрическое поле может проникать в сверхпроводник. Изменение поля и скалярного потенциала на характерной длине (Рис. 5-08b) компенсируется соответствующим изменением энергии конденсата.

Можно также показать [123], что простое выражение для избыточного сопротивления Н/С границы 5.04 продолжает выполняться. Однако в модели [123] избыточное сопротивление уже не является формальным следствием скачка потенциала, а - характеризует механизм рассеяния неравновесных квазичастиц. Этот процесс происходит на характерном масштабе, совпадающим с - длиной релаксации неравновесных квазичастиц (см.

Главу 3). Величина эквивалентна электрическому сопротивлению "квазинормальной" области толщиной со сверхпроводящей стороны Н/С границы. Следует заметить, что в отличие от более ранней модели [121], [122], в новом понимании природы избыточного сопротивления [123], присутствие Н/С границы при температуре не может объяснить резистивную аномалию - возникновение сопротивления системы ( ), большего чем в нормальном состоянии = ( ).

Более детальная модель [124], [125], [126], построенная на базе решения кинетического уравнения Больцмана для чистого сверхпроводника ( ), действительно, предсказывает скачек нормальной компоненты электрического поля на Н/С границе (Рис.

5-08с):

µ 12 µ 14 (3) (5.05) = 4 где - характерный масштаб энергетической релаксации. В "грязном" пределе ( ) скачек поля существенно меньше:

µ 12 µ 12 µ 12 (5.06) = ( )

–  –  –

потенциал экспоненциально спадают на характерном масштабе.

Андреевское отражение приводит к "перемешиванию" состояний электроноподобных и дырочноподобных возбуждений вблизи Н/С границы. Как обсуждалось выше, этот эффект приводит к расходимости электрического поля и скачку потенциала на границе.

Принимая во внимание плавное изменение параметра порядка на масштабе ( ), для случая чистого сверхпроводника ( ) можно получить выражение для избыточного значения нормальной к Н/С границе компоненты электрического поля + со стороны нормального металла, и соответствующего значения для сверхпроводника [124]:

–  –  –

Из выражения 5.07 следует, что в достаточной близости от Н/С границы существует область, в которой градиент скалярного потенциала выше, чем в нормальном металле вдали от границы (Рис. 5-08с). Следовательно, если измерять падение напряжения на Н/С границе при помощи контактов, расположенных на расстоянии., то, действительно, можно зарегистрировать избыточное значение величины ( ), интерпретируемое как рост эффективного сопротивления - резистивную аномалию. Однако для типичных наноструктур ( ) обозначенный эффект должен быть пренебрежимо малым.

Резюмируя эту часть, можно утверждать, что для реальных литографически изготовленных наноструктур эффекты, связанные к конверсией электрического тока на Н/С границе, не могут дать количественного объяснения экспериментально наблюдаемого роста сопротивления резистивной аномалии - достигающей в ряде экспериментов величины ( ) ' 20%.

Вклад наклонной границы нормальный металл - сверхпроводник В предыдущем разделе рассматривался идеализированный одномерный случай, когда распределение электрического тока поперек Н/С границы не принимается во внимание.

Однако, как было уже показано ранее, в литографически изготовленных коротких алюминиевых наноструктурах форма ( ) перехода определяется неоднородностями с характерными размерами.., где и - ширина и длина образца, соответственно.

Из сказанного можно заключить, что во всем температурном диапазоне наблюдения резистивного состояния 0 ( ) форма Н/С границы может иметь вполне случайные конфигурации. Даже если принять наиболее оптимистический подход и считать, что неоднородности равномерно распределены по образцу, то все равно существует, по крайней мере, две причины по которой Н/С граница - не всегда перпендикулярна оси образца. Во-первых, строго говоря, в исследованных (коротких) образцах условие квазиодномерности не выполняется, и нельзя считать, что параметр порядка (и, как следствие - критическая температура) одинаковы по сечению образца. К тому же, сечение реальных наноструктур - не строго прямоугольное, а, скорее всего - что-то типа трапеции (Рис. 5-09, левая панель). С другой стороны, хорошо известно, что критическая температура большинства сверхпроводников (включая алюминий) - зависит от характерного (минимального) размера: в данном случае - толщины. Для алюминия увеличивается с уменьшением толщины пленки [6]. Как следствие, при каждой заданной температуре в области резистивного перехода - Н/С граница будет не перпендикулярна к оси образца (Рис.

5-09, средняя панель). Вторая причина возникновения наклонных границ - присутствие контактов, которые, как правило, в области пересечения с образцом имеют одинаковую с ним ширину '. Следовательно, электрод не может считаться "малым возмущением", и в контактной области форма Н/С границы может иметь весьма сложную конфигурацию (Рис. 5-09, правая панель).

–  –  –

Стандартная процедура измерения сопротивления четырехконтактным методом при заданном токе обычно предполагает одинаковую плотность тока по сечению образца.

Однако, если в системе присутствуют наклонные Н/С границы, то плотность тока - не одинакова по сечению. Эффективное сопротивление, формально определяемое как, будет нетривиальным образом зависеть от плотности тока в области потенциального контакта (Рис. 5-10) [127].

–  –  –

Задача распределения токов в системе без источников заряда, сводится к решению уравнения Лапласа для скалярного потенциала.

Для двумерного случая уравнение есть:

–  –  –

границы 90 локальная плотность тока расходится, в то время как амплитуда аномалии - выходит на насыщение. Это формальное следствие уравнения Лапласа используется для определения удельной проводимости объектов случайной формы при помощи острого электрода: в области контакта плотность тока может достигать существенных величин, в то время как сопротивление - всегда конечное.

–  –  –

сопротивление в нормальном состоянии (•, левая ось); и плотность тока в области потенциального контакта, нормированного на плотность тока вдали от границы (¤, правая ось), от угла наклона Н/С границы. При расчетах использовался случай =10, соответствующий типичным образцам с шириной линии =100 нм и длиной =1 м. На вставке приведена схематика образца [98].

Таким образом можно заключить, что образование наклонных Н/С границ в неоднородных структурах может качественно объяснить резистивную аномалию [127]. Очевидно, что малые размеры структуры не являются необходимым условием наблюдения резистивной аномалии.

Просто в макроскопической системе с размерами, существенно превосходящими характерный масштаб неоднородности,, вариации локальной критической температуры усредняются и, как правило, не могут привести к существенному перераспределению плотности тока поперек образца (отличного от стандартного Мэйсснеровского). Однако, если специально изготовить макроскопическую структуру с наклонной Н/С границей, то можно получить ту же самую резистивную аномалию. Очень возможно, что наблюдение аномалии в достаточно широких микроструктурах [109], [113] может быть объяснено именно этим эффектом. Также понятно, что конкретная форма Н/С границы и ее эволюция с температурой

- свойство конкретной структуры и конкретного распределения неоднородностей в ней, что объясняет плохую воспроизводимость результатов от образца к образцу. Зависимость амплитуды эффекта от истории охлаждения (Рис. 5-04) также достаточно понятна для систем мезоскопических размеров изменение условий в каждом конкретном цикле охлаждения (например, механические напряжения или отжиг неоднородностей) может привести к изменению как самой формы Н/С границы, так и - ее эволюции с изменением температуры. Зависимость амплитуды аномалии от выбора токовых электродов (Рис. 5-05)

- также вполне очевидна: для достаточно коротких образцов сама величина зависит от геометрии образца. Иными словами, для короткого и неоднородного образца плотность тока может быть неоднородной даже в полностью нормальном состоянии.

Вклад конечной ширины потенциальных контактов.

В предыдущем разделе было показано, что наличие наклонных Н/С границ может качественно объяснить резистивную аномалию. Однако, сравнивая результаты расчетов для амплитуды аномалии у вполне реалистичных образцов с отношением длины к ширине = 10 (Рис. 5-11), приходится отметить, что в эксперименте в подобных наноструктурах (иногда) наблюдаются существенно большие значения достигающие 20%. В этом разделе будут рассматриваться более тонкие эффекты, связанные как с геометрией (конечная ширина контактов), так и - неравновесные явления в области Н/С границы. Будет показано, что только учет всех указанных вкладов дает разумное согласие с амплитудой резистивной аномалии, наблюдаемой в ряде экспериментов.

Выше уже обсуждалось, что в области Н/С границы электрическое поле проникает в сверхпроводник на глубину, одного порядка с - длиной релаксации неравновесных квазичастичных возбуждений (см. Главу 3).

Дли литографически изготовленных структур, представляющих "грязный" предел ( ), в достаточной близости к критической температуре глубина проникновения ' может достигать существенных размеров превосходя не только ширину образца, но и - длину :

–  –  –

уже достигает 15 мкм при температуре 01 мК.

Из сказанного можно наивно предположить, что на расстояниях от Н/С границы меньших, не должно быть разницы между нормальным металлом и сверхпроводником.

Подобное упрощение не вполне справедливо. Эффект проникновения электрического поля в сверхпроводник относится только к нормальной к Н/С границе компоненте =.

Тангенциальная соcтавляющая электрического поля равна нулю в сверхпроводнике:

k = = 0. Формально можно утверждать, что вблизи Н/С границы тензор эффективного сопротивления сильно анизотропен с единственной отличной от нуля компонентой () = exp( ), где координата отсчитывается от Н/С границы. На расстояниях эта анизотропия приводит к сильным граничным эффектам, особенно сильно проявляющимся в коротких образцах c.

Следует заметить, что приведенное рассмотрение неравновесного сверхпроводника с эффективным сопротивлением относится к упрощенному (одномерному) случаю конверсии нормального тока электронов в сверхток на полубесконечной Н/С границе. В этом случае конечное электрическое поле в сверхпроводнике есть следствие инжекции неравновесных квазичастиц определенного знака, сопровождаемых током дырочноподобных (или электроноподобных) возбуждений в обратном направлении для поддержания электронейтральности. Однако, для достаточно коротких образцов в области потенциальных контактов конечной ширины., в которых не течет ток, выполнение условия электронейтральности может существенно перенормировать эффективное сопротивление. В отличие от одномерного случая полубесконечной Н/С

–  –  –

Расчетная зависимость амплитуды аномалии от угла наклона Н/С границы для структуры с потенциальными контактами конечной ширины = и различной длины. Открытые символы соответствуют расчету в предположении изотропного эффективного удельного сопротивления = = 0. Заполненные символы - сильно анизотропный случай = и = 0 соответствующий расчету вблизи Н/С границы на расстоянии, где и координаты измеряются нормально и параллельно Н/С границе [98].

На Рис. 5-12 приведен результат численного расчета амплитуды аномалии от угла наклона Н/С границы для структуры с потенциальными контактами конечной ширины = и различной длины для двух предельных случаев () = 0 и =. В обоих случаях тангенциальная компонента удельного сопротивления = 0. На вставке к Рис. 5-12 показана наиболее интересная конфигурация, когда при некой температуре Н/С граница "касается" потенциального контакта. В зависимости от того, как с дальнейшим изменением температуры будет модифицироваться форма Н/С границы внутри контакта, величина может как превосходить, так и быть меньше расчетных значений, приведенных на Рис. 5-12. Качественное различие поведения зависимости ( ) для случаев изотропного и анизотропного эффективных сопротивлений (наличие максимума) связано с нетривиальным распределением плотности тока во втором случае.

Рис. 5-13.

Экспериментальные () и расчетные значения (,•) амплитуды резистивной аномалии. Предел изотропного удельного сопротивления () соответствует = = и исключительно анизотропного (•) =, = 0. На вставке показана используемая в расчетах эволюция формы Н/С границы в области потенциального контакта с изменением температуры (критические изотермы ( )) [98].

На Рис. 5-13 приведены результаты численных расчетов, на базе описанного выше формализма, дающие разумное количественное согласие с экспериментом.

Экспериментальные точки находятся между двумя предельными случаями изотропного и предельно анизотропных эффективных сопротивлений сверхпроводника. Указанное наблюдение еще раз подтверждает вышесказанное замечание: даже в достаточной близости от Н/С границы, эффективное сопротивление сверхпроводника не эквивалентно соответствующей величине в нормальном состоянии () 6=. Следует заметить, что, естественно, приведенные на Рис. 5-13 положения Н/С границы при различных температурах. - не единственные конфигурации, способные обеспечить разумное количественное согласие с экспериментом.

Может показаться, что предлагаемая модель для описания резистивной аномалии

- несколько искусственная, т. к. требует наличия в резистивном состоянии Н/С границы вполне определенной формы - со значительным отклонением от перпендикулярности. Можно задаться вопросом: почему температурная эволюция формы Н/С границы должна обязательно следовать указанному сценарию? Как уже осуждалось, в достаточно неоднородных образцах (именно таких, где аномалия и наблюдается!), наличие Н/С границы является скорее правилом, чем - исключением. В реальных образцах в области резистивного перехода форма Н/С границы может значительно меняться от одной температурной точки до другой. Это тривиальное утверждение объясняет плохую статистику эффекта. В структурах мезоскопических размеров изменения условий конкретного эксперимента или процесса охлаждения (механические напряжения, отжиг дефектов) приводит еще и к плохой воспроизводимости эффекта на одном и том же образце (Рис. 5-03).

Типичным возражением против представленной модели является утверждение, что в сверхпроводящих каналах с шириной меньшей длины когерентности ( ) возникновение наклонных Н/С границ не возможно, т. к. параметр порядка не может меняться скольконибудь заметно на этих масштабах. Однако заблуждение заключается в том, что высказанное утверждение отностится к однородным системам. Как только допускается, что в системе могут присутсвовать неоднородности с характерным размером, то становится возможной и пространственная вариация критической температуры ( ) на соответствующих масштабах, и, как следствие - возникновение нормальных и сверхпроводящих доменов указанных размеров.

В пионерских работах по исследованию резистивной аномалии [100], [101], этому явлению присваивался статус нового размерного эффекта. Как уже указывалось, в нашем понимании - резистивная аномалия на прямую не связана с мезоскопическими размерами и может наблюдаться и в макроскопических объектах. Просто в массивных структурах неоднородности (типично - субмкиронных размеров) усредняются и не могут привести к сколько-нибудь заметному перераспределению тока поперек образца, отличного от стандартного Мэйсснеровского. По всей видимости, наблюдение аномалии в достаточно "больших" структурах с характерной шириной 20 мкм и длиной таких же размеров, связано с внесением избыточного количества дефектов за счет ионного травления, использованного для обработки исследованных образцов [113]. Наблюдение аномалии в системах со сверхпроводящими контактами, и ее отсутствие в аналогичных структурах с нормальными электродами [113] подтверждает наше предположение о необходимости "выталкивания" сверхпроводимости из области потенциального контакта (Рис. 5-09 и 5-10) эквивалентного возникновению сильно наклонной Н/С границы.

Еще одно замечание относится к выбору материала. В большинстве работ [100], [109], [101], [110], [111], включая наши собственные [97], [128], [129], [114], [98] использовался алюминий. Последнее связано с технологическим удобством изготовления наноструктур и проведением криогенных экспериментов с этим материалом. В нашем понимании, резистивная аномалия может присутствовать и в других (достаточно неоднородных) сверхпроводниках. Конкретный набор зависимых от материала параметров (,,, ) должен привести только к некой пренормировке "тонких" эффектов, связанных с релаксацией неравновесных частиц (см. Главу 3). Доминирующий вклад - геометрический.

Вероятно, отсутствие аномалии в индиевых наноструктурах [100] - следствие большей однородности этих систем по сравнению с алюминиевыми. Необходимо также отметить, что у индия и алюминия времена электрон-фононного взаимодействия, определяющие длину релаксации неравновесных квазичастиц (выражения 5.09 и 5.10) - сильно отличаются ( 0 () 3 · 1010 с и 0 () 13 · 108 с). Следовательно, вклад соответствующего неравновесного эффекта в амплитуду аномалии будет значительней у алюминия.

Суммируя этот раздел, можно подчеркнуть, что для получения разумного количественного согласия с экспериментом необходим, как минимум, учет двух вкладов: геометрического наличие наклонных Н/С границ и, как следствие - перераспределение плотности тока по сечению образца; и второго - присутствие сильно анизотропного эффективного сопротивления квазинормальной области сверхпроводника вблизи Н/С границы. По раздельности, каждый из этих вкладов не может обеспечить количественного согласия с наблюдаемой амплитудой резистивной аномалии.

–  –  –

Следовательно, подводя итоги, можно утверждать, что в наиболее общем случае увеличение транспортного тока должно действительно приводить к подавлению резистивной аномалии. Однако поступали сообщения, что в некоторой области измерительного тока, его увеличение приводит к появлению "шишек" на ( ) зависимостях [132]. С нашей точки зрения, подобное (не всегда воспроизводимое!) поведение может объясняться нетривиальной начальной формой Н/С границы (или - нескольких параллельно сосуществующих границ) с соответствующей сложной эволюцией с изменением измерительного тока.

Другим, зависящим от тока эффектом, является наличие отрицательного дифференциального сопротивления () 0 в области температур, где наблюдается резистивная аномалия [113], [132]. В рамках нашей модели объяснение этого эффекта весьма прозрачно. Как только что отмечалось, существенно деформированные Н/С границы не совместимы с сильным транспортным током. Следовательно, при фиксированной температуре, соответствующей формированию такой границы при слабом токе, его увеличение "выравнивает" форму Н/С границы и приводит к уменьшению падения напряжения, измеряемого потенциальными контактами, экспериментально интерпретируемого как уменьшение дифференциального сопротивления ().

В полной аналогии с измерительным током, подавление резистивной аномалии магнитным полем (Рис. 5-06) также описывается нашей моделью. Во всех исследованных образцах [100], [109], [101], [110], [111], включая наши собственные [97], [128], [129], [114], [98] ширина линии - сравнима с глубиной проникновения магнитного поля ( ). Следовательно, приложение магнитного поля должно более эффективно подавлять сверхпроводимость во внешних областях. С другой стороны, значительная амплитуда резистивной аномалии предполагает формирование "острых" сверхпроводящих "носиков" (Рис. 5-09 и 5-10). Как следствие, внешнее магнитное поле, в полной аналогии с транспортным током, выравнивает Н/С границы, приводя к подавлению резистивной аномалии.

На микроскопическом уровне, приложение магнитного поля также приводит к уменьшению аномалии за счет сокращения области с конечным эффективным сопротивлением порядка длины зарядового дисбаланса (выражения 5.09 и 5.10) [133]:

(5.13) = k2 () ~ (0) где (0) - параллельное критическое поле при нулевой температуре. Как и в случае с k измерительным током, появление различных немонотонностей на ( ) зависимостях в некой области магнитных полей [109], по всей видимости, связано со сложной формой Н/С границы и ее немонотонной эволюцией в магнитном поле.

В заключение можно повторить, что нами было проведено детальное экспериментальное исследование резистивной аномалии в алюминиевых наноструктурах. Как и в ранее сообщаемых работах, было обнаружено, что эффект - плохо воспроизводим, его амплитуда зависит как от условий конкретного эксперимента, так - и от ряда параметров: геометрии образца (отношения длины к ширине), измерительного тока и внешнего магнитного поля. Была предложена модель, описывающая эффект. Разумное количественное согласие с экспериментом может быть достигнуто учетом двух факторов: геометрического наличие наклонных Н/С границ [127] и, как следствие - перераспределение плотности тока по сечению образца; и второго - присутствие сильно анизотропного эффективного сопротивления квазинормальной области сверхпроводника вблизи Н/С границы.

Положения, выносимые на защиту, и представление результатов

1. Проведено экспериментальное исследование резистивной аномалии в алюминиевых наноструктурах.

2. Разработана модель явления, дающая удовлетворительное количественное согласие с экспериментом.

Основные результаты этой главы были опубликованы в рецензируемых изданиях [97], [128], [129], [114], [98], докладывались на региональных [134], [135], [136], [137], [138] и международных конференциях [139], [140].

Глава 6 Флуктуации в квазиодномерных сверхпроводящих каналах Введение Уже на самых ранних этапах исследования сверхпроводимости было замечено, что сверхпроводящий резистивный переход ( ) всегда имеет конечную ширину.

С развитием тематики и усовершенствованием технологии изготовления однородных сверхпроводящих структур стало ясно, что даже в самых совершенных системах ширина сверхпроводящего перехода остается конечной, и причиной тому - термодинамические флуктуации. Влияние флуктуаций на свойства сверхпроводников - исключительно интересный вопрос, и соответствующие исследования продолжаются и по сей день.

Детальное освещение вопроса явно выходит за рамки настоящей главы, и интересующийся читатель может получить информацию в подробных монографиях [141], [142].

Как типично для флуктуаций, их вклад особенно заметен в системах пониженной размерности. Влияние флуктуаций на форму резистивного перехода сверхпроводника ( ) качественно различается для двух предельных случаев: & и.. В первом случае система находится "преимущественно" в нормальном состоянии, и имеет смысл говорить о зарождении сверхпроводящей фазы за счет термодинамических флуктуаций. Во втором случае образец большей частью - сверхпроводящий, и роль флуктуаций сводится к подавлению параметра порядка.

В этом разделе нас будет интересовать эффект наличия конечного сопротивления квазиодномерных сверхпроводящих каналов при температурах ниже критической. В достаточно длинной системе с диаметром 12 всегда существует конечная вероятность флуктуации, способной на некое (короткое время) подавить параметр порядка. Минимальный размер статистически независимой системы -, где - длина когерентности, и соответствующая энергия, необходимая для подавления сверхпроводимости = 0, где 0 - разница свободных энергий в нормальном и сверхпроводящем состояниях на единицу объема. Следовательно, при условии, что флуктуации происходят не слишком часто, их вероятность пропорциональна exp ( ), где характерная энергия флуктуаций. В системе, соединенной с внешним источником тока, на время флуктуации параметр порядка обращается в ноль, и электрический ток в области кора флуктуации переносится квазичастичными возбуждениями, что приводит к конечному падению напряжения. Формально определяя эффективное сопротивление сверхпроводника как отношение усредненного по времени напряжения к заданному (постоянному) току ( ) h ( )i, описанный процесс приводит к появлению конечного сопротивления системы, с аналогичной, приведенной выше, экспоненциальной зависимостью ( ) exp ( ).

Принципиальным вопросом является: что считать характерной энергией флуктуации?

Достаточно близко к критической температуре | | соответствующей величиной является тепловая энергия, приводя, к так называемым, термическим флуктуациям.

Однако более поздние исследования обратили внимание на то, что, учитывая квантовую природу сверхпроводимости, должны существовать квантовые флуктуации, в которых =, где - частота флуктуаций параметра порядка. Качественным отличием термических флуктуаций от квантовых является конечная вероятность последних при сколь угодно малых температурах, включая 0, в то время как вклад первых - существенен только в непосредственной близости к критической температуре. Т. к. вероятность обоих процессов связана с абсолютной величиной потенциального барьера, то следует ожидать наиболее яркого проявления флуктуаций в системах с малым эффективным сечением.

Несколько иной формализм для описания флуктуаций в квазиодномерных сверхпроводниках был предложен Little [143]. В токонесущем одномерном сверхпроводящем канале комплексный параметр порядка = || в полярных координатах может быть представлен в виде спирали, шаг которой соответствует градиенту, а диаметр амплитуде || (Рис. 6-01). В этом представлении флуктуация эквивалентна изменению фазы на ±2, что объясняет происхождение альтернативного выражения для описания процесса - проскальзывание фазы (ПФ). Начальное = 0 и конечное = 0 ± 2 состояния разделены потенциальным барьером 0. Термическая флуктуация (термически активированное проскальзывание фазы - ТАПФ) формально эквивалентна классическому процессу движения частицы над барьером, а квантовая (квантовое проскальзывание фазы

- КПФ) - туннелированию под барьером. В системах с конечной плотностью сверхтока ||, задаваемой внешним источником, состояния = 0 и = 0 ± 2 энергетически не эквивалентны. Поэтому процесс ПФ приводит к диссипации, и, как следствие - конечному сопротивлению системы.

–  –  –

Схематическое представление процесса проскальзывания фазы. Эволюция параметра порядка = || в полярных координатах может быть наглядно представлена как потеря витка спирали. На короткое время порядка || в области кора флуктуации амплитуда || обращается в ноль, а фаза - "проскальзывает" на 2 [144].

Следует заметить, что проскальзывание фазы - удобный формализм для описания эволюции параметра порядка в квазиодномерном сверхпроводящем канале. И в этом смысле эта терминология уже использовалась нами в Главе 2 при описании индуцированных током неравновесностей. Однако, во избежание недоразумения, необходимо четко понимать качественное различие. В случае флуктуаций, ПФ - квантовый процесс, который может быть охарактеризован лишь эффективной частотой, и не имеет ни в пространстве, ни во времени определенного положения. Индуцированное током ПФ, в этом смысле - "классический" процесс, который происходит с Джозефсоновской частотой, а соответствующие центры проскальзывания фазы (ЦПФ) - локализованы в пространстве на неоднородностях образца, где амплитуда параметра порядка минимальна.

Постановка задачи Теоретическая модель, описывающая термические флуктуации, была разработана в конце 60-х годов, и соответствующие экспериментальные работы не заставили себя долго ждать. Однако, учитывая технологический уровень тех лет, работы делались на "вручную" изготовленных микроструктурах на базе сверхпроводящих нитевидных кристаллов вискеров. С развитием нанотехнологий и, в первую очередь - различных литографических методов, изготовление структур существенно меньших размеров стало легко решаемой задачей. Разумно задаться вопросом: можно ли в этих, существенно более тонких по сравнению с вискерами, структурах наблюдать термические и/или квантовые флуктуации?

Основной задачей настоящего раздела является экспериментальное исследование термических и квантовых флуктуаций в сверхпроводящих наноструктурах.

–  –  –

Доминирующий вклад в выражении 6.01 дается экспоненциальным членом. Конечное значение измерительного тока приводит как к понижению потенциального барьера (подэкспоненциальный член в выражении 6.01), так и - сильной зависимостью sinh (21 ).

Оба вклада становятся существенными при достаточно сильных токах, 1, и могут не учитываться при анализе типичных экспериментальных зависимостей ( ), как правило, измеряемых в линейном режиме.

Область применимости модели LAMH дается условием [35]

–  –  –

сверхпроводящего канала, = - характерное время упругого рассеяния электронов.

Левая часть сильного неравенства 6.04 соответствует стандартному условию применимости модели Гинзбурга-Ландау: малость параметра порядка. Правая часть выражения 6.04 формально означает, что для того, чтобы описываться моделью LAMH, термические флуктуации должны быть достаточно "редким" явление когда 0 или, иными словами - ( ).

С развитием тематики был предложен ряд уточнений для описания термических флуктуаций [145], [35], [146].

Однако основной вывод остается неизменным: в достаточной близости к критической температуре конечное эффективное сопротивление сверхпроводящего канала экспоненциально спадает с уменьшением температуры и ростом сечения образца :

(6.05) ( ) exp( ) Вскоре после появления количественной теории LAMH были проведены эксперименты [21] и [23], находящиеся в хорошем согласии с предсказаниями модели (Рис. 6-02). Следует обратить внимание, что в то время, единственно доступными экспериментаторам квазиодномерными объектами являлись нитевидные монокристаллы - вискеры. Детали роста и изготовления таких образцов подробно обсуждены в Главе 1. Для оловянных кристаллов с характерным диаметром порядка 1 мкм и длиной до 1 мм, экспериментально детектируемая ширина ( ) перехода составляет всего 1 мК (Рис. 6-02). Вполне разумно предположить, что в образцах аналогичных рамеров, но не являющихся монокристаллами (как вискеры), форма ( ) зависимости может сильно уширяться за счет присутствия дефектов, затрудняя сравнение с теорией, построенной для однородных систем.

–  –  –

Экспериментальные ( ) зависимости для оловянных вискеров (символы). (а) Сплошная линия соответствует модели LAMH [21]. (b) Пунктирная линия соответствует модели LAMH [23].

Относительно недавно появились экспериментальные сообщения, что в достаточно неупорядоченных наносистемах существенно меньших размеров ( ) зависимости также удовлетворительно описываются моделью LAMH [147], [148] (Рис. 6-03 и 6-04).

Правомочность использования теории LAMH для описания формы ( ) переходов при температурах существенно ниже критической [147], [148] была поставлена под сомнение как нарушающая область применимости модели (выражение 6.04) [149], [150]. Не исключена возможность, что сверхтонкие наноструктуры с диаметром менее 10 нм и длиной порядка 100 нм, изготовляемые методом молекулярного декорирования [151], вообще не могут классифицироваться как квазиодномерные. Методика их изготовления предполагает наличие "массивных" сверхпроводящих контактов и, как следствие - существенное проникновение сверхпроводимости из контактов (эффект близости) на масштабе 40 нм, сравнимым с длиной всего "тела" образца. Исходя из сказанного, указанные наноструктуры сверхмалых размеров, скорее всего, должны рассматриваться как квазинульмерные сверхпроводящие объекты типа Джозефсоновских мостиков [35].

–  –  –

Температурные зависимости сопротивления для нескольких ниобиевых наноструктур с диаметром от 7 до 15 нм и с длиной от 100 до 200 нм, изготовленных методом молекулярного декорирования (см. [151]). Сплошные линии соответствуют зависимости 1( ) = 1( ) + 1 [147].

–  –  –

Температурные зависимости сопротивления от температуры для нескольких наноструктур с диаметром от порядка 10 нм и с длиной около 100 нм, изготовленных методом молекулярного декорирования (см. [151]). Сплошные линии соответствуют модели LAMH [148].

Методом взрывной электроннолучевой литографии (см. Главу 1) нами был изготовлен ряд многотерминальных сверхпроводящих наноструктур с диаметром 12 от 40 до 100 нм и длиной от 1 мкм до 50 мкм с электродами из того же самого материала, что и сам образец (нанопровод) - Рис. 6-05. Шероховатость поверхности составляет менее 10 нм, что также является вполне стандартной величиной для этого класса образцов (Рис. 6-06). Изученные наноструктуры являются вполне типичными для литографически изготовленных систем: поликристаллические тонкопленочные полоски, сформированные из плотноупакованных металлических гранул с характерным размером порядка нескольких десятков нм. Все доступные методы микроскопического анализа и гальваномагнитные измерения (см. подробнее следующую Главу) свидетельствуют о том, что в исследованных образцах нет туннельных барьеров или каких-либо других "слабых звеньев", которые могли бы рассматриваться как Джозефсоновские контакты.

Рис. 6-05.

Микрофотографии типичных наноструктур, полученные сканирующим силовым микроскопом. (а) Общий план достаточно короткого образца. (b) Фрагмент оловянного нанопровода (с) Фрагмент алюминиевого нанопровода. Следует обратить внимание на различие масштабов в плоскости образца (мкм) и по вертикали (нм).

–  –  –

(Верхняя панель) Зависимость сечения алюминиевого нанопровода вдоль длины, измеренная силовым микроскопом (нижняя панель). На вставке к верхней панели показана гистограмма распределения измеренных сечений [152].

( ) зависимости измерялись в четырехконтактной конфигурации при токах Преимущественно исследовались алюминиевые наноструктуры, но ряд экспериментов также проводился на оловянных системах. Пример типичной экспериментальной ( ) зависимости представлен на Рис. 6-07. Ширина перехода существенно превосходит расчеты на базе модели LAMH (Рис. 6-08). Следует обратить внимание на логарифмический масштаб шкалы сопротивлений на Рис. 6-07 и 6-08. В стандартном линейном масштабе все ( ) зависимости выглядят вполне "резкими". Еще раз напоминаем, что речь идет об области сопротивлений ( ).

Рис. 6-07.

Экспериментальная ( ) зависимость (сплошные кружки •) для алюминиевого нанопровода с длиной = 10 мкм и с эффективным диаметром 12 =75 нм (Рис.6-06 ). Открытые кружки () соответствуют модели, описывающей форму сверхпроводящего перехода размерной вариацией локальной критической температуры вдоль образца (). Ромбы ()

- та же модель, но с учетом влияния приконтактной области. Следует обратить внимание на логарифмический масштаб шкалы сопротивления. В стандартном линейном масштабе все ( ) зависимости выглядят вполне "резкими" [118].

Рис. 6-08.

Расчетная ( ) зависимость (•) описывающая форму перехода вариацией локальной критической температуры для того же самого образца, что и на Рис. 6-07. Сплошной линией проведена расчетная зависимость на базе модели LAMH с реалистичными параметрами, приведенными на вставке к рисунку. Серая область соответствует возможным положениям LAMH зависимости при допущении 10% неопределенности параметров модели [118].

Т. к. все образцы изготовлялись в сверхвысоком вакууме напылением электронной пушкой из мишени с чистотой не менее 99,9995%, трудно предположить химическую неоднородность материала. Однако, очевидно, что в любом образце всегда присутствуют структурные и геометрические неоднородности (Рис. 6-05 и 6-06). Для материалов с простой поверхностью Ферми, как олово (в металлической фазе) или алюминий, трудно ожидать заметной вариации сверхпроводящих параметров между различными гранулами поликристаллической пленки. Хотя этот вклад не должен полностью исключаться из рассмотрения. Существенно боле заметным оказывается влияние геометрической неоднородности, особенно сильно проявляющейся в алюминиевых наноструктурах.

Хорошо известно, что, как в тонких пленках, так - и в нанопроводах, изготовленных из алюминия, критическая температура зависит от характерного (минимального) размера. Природа этого явления не ясна: существуют множество моделей, предсказывающих как увеличение, так - и уменьшение критической температуры в низкоразмерных сверхпроводниках. Не пытаясь ответить на этот вопрос, можно просто принять экспериментально известную () зависимость как объективно существующий эффект (Рис. 6-09) и оценить соответствующий вклад этого размерного эффекта на форму ( ) зависимости.

–  –  –

Экспериментальная зависимость критической температуры алюминиевого нанопровода от его сечения. Сплошная кривая - эмпирическая усредненная зависимость [6].

Оказывается, что даже весьма незначительная шероховатость поверхности литографически изготовленного нанопровода (Рис. 6-06) может привести к заметному уширению ( ) зависимости по сравнению с расчетами на базе модели LAMH, построенной для однородной системы с =. На Рис. 6-07 приведены расчеты формы ( ) перехода с использованием измеренной силовым микроскопом зависимости сечения вдоль образца (Рис. 6-06) и эмпирической зависимости () (Рис. 6-09). Учет влияния конечной геометрии образца - наличие более широких участков в области контактов и соответствующая вариация локальной критической температуры - дает еще один дополнительный вклад в эффект. Сравнивая эти расчетные ( ) зависимости с экспериментальными (Рис. 6-07) и аналогичными расчетами на базе модели LAMH (Рис. 6-08), можно сделать однозначный вывод, что в литографически изготовленных наноструктурах форма ( ) перехода определяется неоднородностью образца. Вклад термических флуктуаций не разрешим на фоне этого более сильного паразитного эффекта.

Следует признать, что исследованные более 40 лет назад нитевидные монокристаллы представляют куда более оптимальную систему для экспериментальной проверки справедливости модели LAMH, чем - современные, литографически изготовленные наноструктуры. Учитывая, что исследованные в этом разделе нанопровода, по всем параметрам не уступают аналогичным системам, изготовляемым в различных лабораториях, можно достаточно иронично отнестись к появляющимся периодически сообщениям, где форма экспериментального ( ) перехода фитируется моделью LAMH с неким "специальным" набором параметров.

Квантовые флуктуации Не смотря на то, что вопрос квантовых флуктуаций обсуждался достаточно давно, количественная теория эффекта в одномерных сверхпроводниках была предложена относительно недавно [153], [154], [155]. Модель применима при сверхнизких температурах и принимает во внимание широкий спектр неравновесных, диссипативных и прочих электромагнитных эффектов, происходящих в квазиодномерных сверхпроводящих каналах.

Одним из основных выводов теории является наличие конечного сопротивления тонкого сверхпроводника с диаметром 12 порядка 10 нм при температуре 0.

Частота квантовых флуктуаций (частота КПФ) просто выражается через легко измеряемые величины:

–  –  –

Следует подчеркнуть, что коэффициент "2" под экспонентой и вторая степень проистекают от парных КПФ процессов. Как и в предыдущем случае термических флуктуаций, речь идет об экспоненциально малых величинах ( ). Поэтому, e точное значение коэффициента не существенно. При фитировании экспериментальных e зависимостей [( )] от температуры вклад величины сводится к смещению расчетных кривых по абсолютной шкале сопротивления.

Полезно отметить, что для сверхпроводящих наноструктур в "грязном пределе", p длина когерентности определяется как ' 0 через соответствующую величину в "чистом пределе" 0 = 0. Элементарная подстановка параметров показывает, что вклад квантовых флуктуаций, экспоненциально зависящий от, при минимально технологически достижимом сечении нанопровода, будет максимален в низкотемпературных сверхпроводниках с высоким удельным сопротивлением в нормальном состоянии.

Первым экспериментальным сообщением о наблюдении КПФ, по всей видимости, можно считать работу [156], в которой исследовались нанополоски с эффективным диаметром до 30 нм. Не смотря на то, что работа была, в основном, направлена на изучение влияния беспорядка на транспортные свойства низкоразмерных сверхпроводников, авторами было обращено внимание на низкотемпературные "хвосты" на ( ) зависимостях (Рис. 6-10) и высказано предположение, что эти воспроизводимые особенности могут быть связаны с проявлением квантовых флуктуаций.

–  –  –

В серии работ Giordano с соавторами [157], [158], [159], [160], [161] исследовались специально изготовленные нанопровода треугольного сечения из индия и сплавов индий-свинец с эффективным диаметром до 15 нм. Было обнаружено, что в наиболее тонких структурах в низкотемпературоной части ( ) перехода экспериментальные данные обнаруживают существенно более слабую температурную зависимость, чем это предписывается моделью термических флуктуаций LAMH. Наблюдаемая в ряде эккспериментов точка перегиба (Рис. 6-11) была отождествлена с равенством частоты квантовых и термических ПФ: =.

–  –  –

Серия экспериментальных ( ) зависимостей для индиевых нанопроводов с диаметром 41 нм (•), 50.5 нм (+) и 72 нм (). Сплошные линии соответствуют модели LAMH [157].

В работах [162], [163], [164] исследовались in situ изготовленные при криогенных температурах тонкопленочные нанополоски из свинца, олова и сплавов свинец-висмут.

Была прослежена четкая зависимость: чем тоньше образец и/или выше его удельное сопротивление, тем заметнее отклонения формы сверхпроводящего перехода от модели термических флуктуаций LAMH (Рис. 6-12). Не смотря на то, что авторами не делались никакие утверждения о роли квантовых флуктуаций, на наш взгляд эти эксперименты - явное доказательство присутсвия не термических флуктуаций в тонких сверхпроводящих системах.

Все перечисленные работы делались до появления микроскопической модели Голубева Заикина [153], [154], [155] и никакие количественные оценки вклада квантовых флуктуаций не приводились.

–  –  –

Серия экспериментальных ( ) зависимостей для нанопроводов с шириной w=22 нм и различной толщиной. Точечные линии соответствуют модели LAMH [162].

В серии работ [165], [166], [147], [148] для изготовления исключительно тонких сверхпроводящих систем использовался элегантный метод молекулярного декорирования [151]: подвешенная углеродная нанотрубка, интеркалированная фтором, использовалась как изолирующая подложка, на которую наносилась тонкая пленка сверхпроводника ниобий или. С точки зрения авторов этих работ, ниобиевые системы не обнаружили низкотемпературных аномалий, свидетельствующих о присутствии квантовых флуктуаций (Рис. 6-03), и полученные результаты были интерпретированы как демонстрация вклада термических флуктуаций [147]. Как указывалось в предыдущем разделе, с нашей точки зрения, утверждение о согласии результатов [147] с моделью LAMH - не вполне убедительно.

С другой стороны, использование ниобия для этого класса экспериментов - крайне проблематично. Во-первых, хорошо известно, что ниобий - технологически "капризный" материал, и получение однородных пленок (не говоря о нанопроводах суб-10 нм размеров!)

- сложная задача. Во-вторых, как отмечалось выше, вероятность квантовых флуктуаций экспоненциально зависит от критической температуры exp( ). Оценки показывают, что наблюдение эффекта КПФ в ниобии требует изготовления (однородного!) нанопровода с сечением порядка 1 нм, что на настоящий момент технологически не представляется реальным. Исходя из сказанного, отсутствие экспериментально наблюдаемого вклада квантовых флуктуаций в ниобиевых наноструктурах [147] - вполне ожидаемый результат.

Дискуссия по интерпретации экспериментов на сверхмалых наноструктурах еще не закончена. В ранних работах были сделаны утверждения о присутствии квантовых флуктуаций [165], [166] (Рис. 6-13), но в более поздних исследованиях теми же авторами утверждалось что форма ( ) перехода в системах согласуется с моделью термических флуктуаций LAMH [148] (Рис. 6-04). Как указывалось выше, на наш взгляд, изготовленные методом молекулярного декорирования сильно неупорядоченные нанопровода [165], [166], [148] представляют далеко не оптимальную систему для исследования вклада флуктуаций, в первую очередь, из-за их короткой длины 100 нм и, как следствие сильного влияния эффекта близости с контактами. Однако, нами были сделаны расчеты, которые показывают, что (некоторые) ( ) зависимости в нанополосках могут быть удовлетворительно описаны моделью КПФ Голубева - Заикина [153], [154], [155] (Рис. 6-13, сплошные кривые).

–  –  –

Серия экспериментальных ( ) зависимостей для нанополоск различных размеров, изготовленных методом молекулярного декорирования [165], [166]. Сплошные кривые фитирующие зависимости, построенные автором на базе модели квантовых флуктуаций [35].

Общий недостаток приведенных выше экспериментов - необходимость исследования нескольких наноструктур, из которых делается вывод, что в более тонких образцах присутствует некий (размерный) эффект, а в "толстых" - он отсутствует. Как хорошо известно, изготовление наноструктур исключительно малых размеров с диаметром 10 нм, необходимых для наблюдения КПФ - сложный технологический процесс с плохой воспроизводимостью результатов. Поэтому при таком подходе всегда остается вероятность присутствия паразитных вкладов, делающих вывод о присутствии (или отсутствии) размерного эффекта не вполне однозначным.

Исходя из сказанного, нами был предложен принципиально другой подход - исследование эффекта флуктуаций в квазиодномерных системах на одном и том же образце с последующим уменьшением его эффективного диаметра. Естественно, цикл исследований включал повторные измерения на многих образцах, у каждого из которых измерялись ( ) зависимости после каждого этапа уменьшения диаметра. Детали запатентованной нами методики [17], [18] приведены в Главе 1. Не повторяя сказанного, отметим, что метод последовательного уменьшения размеров наноструктуры низкоэнергетическим ионным травлением практически не привносит в объект дефектов, "полируя" поверхность с нм разрешением [12], [15] (Рис. 6-14). Новые дефекты в обработанном образце не могут появиться, и, если с уменьшением характерного размера наблюдается некий эффект - он с большой вероятностью может быть классифицирован как размерный.

Типичная эволюция формы ( ) перехода алюминиевого нанопровода за несколько циклов уменьшения эффективного диаметра 12 приведена на Рис. 6-15. Хорошо прослеживается, что при диаметрах выше 17 нм все зависимости - достаточно "резкие", а ниже - происходит заметное уширение ( ) зависимости. Еще раз следует отметить, что обсуждаемое "уширение" хорошо заметно только в логарифмическом масштабе сопротивлений. В стандартных линейных координатах все кривые (за исключением

- для самого тонкого 8 нм образца) - достаточно резкие. Сдвиг всего фазового перехода в сторону меньших температур с уменьшением диаметра, по всей видимости, не имеет отношения к флуктуациям и есть следствие, отмеченной выше и хорошо известной для алюминия, размерной зависимости критической температуры ().

Исключительная точность нашего метода уменьшения диаметра нанопровода, позволяет детально проследить эволюцию эффекта с нм разрешением (Рис. 6-16). Попытка описать форму экспериментальных ( ) зависимостей в рамках модели термических флуктуаций с использованием разумного набора параметров приводит к гигантскому несоответствию с теорией LAMH (Рис. 6-16, пунктирные кривые). В то время как модель квантовых флуктуаций Голубева-Заикина [153], [154], [155] дает весьма удовлетворительное согласие с экспериментом (Рис. 6-16, сплошные кривые). Следует обратить внимание, что вариация диаметра образца на ±1 нм приводит к изменению эффективного сопротивления на порядок, что является следствием сильной (экспоненциальной) зависимости эффекта от сечения (выражения 6.06 - 6.07) Рис. 6-14.

(а) Микрофотография типичного алюминиевого нанопровода, полученная силовым сканирующим микроскопом, сразу после изготовления методом взрывной электроннолучевой литографии. (b) Аналогичные микрофотографии, показывающие эволюцию фрагмента образца после нескольких циклов ионной полировки. Горизонтальная плоскость соответствует начальному положению подложки. Яркий цвет выше - алюминий, темный стравленный кремний [167].

Рис. 6-15.

Типичная эволюция формы ( ) зависимости алюминиевого нанопровода с длиной =10 мкм за несколько циклов уменьшения эффективного диаметра 12. Хорошо видно, что при понижении диаметра ниже 15 нм происходит резкое уширение ( ) перехода. Параметры образцов и измерительные токи приведены на вставке [168].

Рис. 6-16.

Типичная эволюция формы ( ) зависимости алюминиевого нанопровода с длиной =10 мкм за несколько циклов уменьшения эффективного диаметра 12. Сплошные кривые модель квантовых флуктуаций Голубева-Заикина [153], [154], [155], пунктирные - модель термических флуктуаций LAMH [167].

Использование титана в качестве материала для исследования квантовых флуктуаций дает еще более убедительное доказательство реальности эффекта. Во-первых, титан исключительно технологически удобный материал. Изготовленные методом взрывной электроннолучевой литографии и вакуумного напыления титановые наноструктуры имеют исключительно малый размер зерна.5 нм. Отполированные ионным пучком образцы демонстрируют шероховатость поверхности на уровне ±1 нм (Рис. 6-17) и исключительную однородность сечения. Титан, даже достаточно чистый - высокоомный материал. Малый размер зерна приводит к малой длине свободного пробега ' 1 нм и, соответственно еще более высокому удельному сопротивлению, что увеличивает вероятность квантовых флуктуаций exp(1 ) (выражения 6.06 - 6.07).

Рис. 6-17.

Микрофотография фрагмента титанового нанопровода после ионной полировки, полученная силовым сканирующим микроскопом. Горизонтальная плоскость соответствует начальному положению подложки. Яркий цвет выше - титан, темный - стравленный кремний. На вставке показана зависимость высоты типичного фрагмента образца: шероховатость поверхности составляет ± 1 нм [169].

Типичная эволюция формы ( ) перехода титанового нанопровода за несколько циклов уменьшения эффективного диаметра 12 приведена на Рис. 6-18. Хорошо прослеживается, что с уменьшением диаметра ниже 40 нм происходит заметное уширение ( ) зависимостей. Попытка описать форму экспериментальных ( ) данных в рамках модели термических флуктуаций с использованием разумного набора параметров не приводит к сколько-нибудь удовлетворительному согласию с теорией LAMH (Рис. 6-18, пунктирные кривые). В то время как модель квантовых флуктуаций Голубева-Заикина [153], [154], [155] дает хорошее согласие с экспериментом (Рис. 6-18, сплошные кривые). Линейная зависимость нормального сопротивления на единицу длины от обратного сечения 1 (вставка к Рис. 6-18) подтверждает отсутствие в титановых наноструктурах неомических участков (гипотетических туннельных барьеров?), что является дополнительным свидетельством в пользу однородности образцов.

Рис. 6-18.

Типичная эволюция формы ( ) зависимостей титанового нанопровода с длиной =20 мкм за несколько циклов уменьшения сечения. Эффективные диаметры 12 указанны на рисунке с точностью ±2 нм. Сплошные кривые - модель квантовых флуктуаций ГолубеваЗаикина [153], [154], [155], пунктирные - модель термических флуктуаций LAMH. На вставке показана зависимость нормального сопротивления на единицу длины от обратного сечения 1 для нескольких образцов различной длины. Линейная зависимость подтверждает омичность наноструктур [169].

Отличная количественная воспроизводимость формы ( ) зависимостей, нормированных на сопротивление в нормальном состоянии, для различных наноструктур близкими значениями сечений (Рис. 6-19) подтверждает универсальность явления квантовых флуктуаций как истинно размерного эффекта.

–  –  –

( ) зависимости титановых нанопроводов с различными длинами за несколько циклов уменьшения сечения. Эффективные диаметры 12 указанны на рисунке с точностью ±2 нм [169].

Все приведенные выше ( ) зависимости для алюминиевых и титановых систем измерялись в линейном режиме малых токов, когда форма ( ) перехода не зависит от измерительного тока. При больших значениях тока наблюдается перегрев, приводящий к смещению всей ( ) зависимости в область низких температур. Однако, в исследованных нанопроводах существует область промежуточных значений измерительного тока, когда наблюдается весьма нетривиальная зависимость формы ( ) перехода. На вершине перехода при ', экспериментальные ( ) зависимости, измеренные при различных значениях тока, практически совпадают, что свидетельствует о малости Джоулева разогрева. В то время как при низкой температуре 0 соответствующее значение ( 0 ) зависит от величины измерительного тока (Рис. 6-20). Мы связываем этот эффект с уменьшением эффективного потенциального барьера сильным током, идентичным как для термических (выражение 6.01), так и квантовых флуктуаций.

–  –  –

( ) зависимости алюминиевого нанопровода с длиной =10 мкм и эффективным диаметром 12 = 11 ± 2 нм, измеренные при различных значениях постоянного и переменного тока. На вставке приведены ( ) зависимости той же самой структуры при различных диаметрах [167].

–  –  –

6-21). Следует заметить, что из-за конечной вероятности квантовых флуктуаций, полностью нулевое сопротивление не наблюдается при сколь угодно малом измерительном токе, и пороговое значение соответствует переходу от конечного (низкоомного) состояния к высокоомному, равному полному нормальному сопротивлению. Сказанное относится к "стандартным" наноструктурам с низкоомными контактами из того же материала, что и сам нанопровод. Зарядовые эффекты, наблюдающиеся в структурах с высокоомным окружением, будут обсуждаться в следующей Главе.

–  –  –

отсутствует за счет конечной вероятности квантовых флуктуаций. На вставке приведена схематика образца и измерений [169].

Положения, выносимые на защиту, и представление результатов.

Проведены детальные экспериментальные исследования формы сверхпроводящего перехода алюминиевых и титановых квазиодномерных наноструктур.

1. Показано, что в тонкопленочных образцах, изготовленных методом взрывной электроннолучевой литографии и направленного вакуумного напыления, присутствие неизбежных неоднородностей не позволяет проведение количественного сравнения экспериментальных данных с моделью термических флуктуаций параметра порядка.

2. Показано, что в сверхтонких тонкопленочных алюминиевых и титановых квазиодномерных наноструктурах квантовые флуктуации заметно размывают форму сверхпроводящего перехода, приводя к конечному сопротивлению при температурах существенно ниже критической.

3. Показано, что форма сверхпроводящего перехода сверхтонких алюминиевых и титановых квазиодномерных наноструктур достаточно хорошо описывается моделью квантовых флуктуаций Голубева-Заикина [153], [154], [155].

Основные результаты этой главы были опубликованы автором в рецензируемых журналах [168], [144], [6], [118], [152], [170], [16], [171], [172], [35], [167], [173], [169] и докладывались на региональных [174], [175] и ряде международных конференций [176], [177], [178], [179], [180], [181].

Глава 7 Зарядовые эффекты в квазиодномерных сверхпроводящих каналах Введение Как отмечалось в предыдущей главе, в "стандартных" сверхпроводящих структурах для исследования флуктуационных эффектов самая тонкая часть образца (нанопровод) и измерительные контакты (Рис. 6-14) типично изготовлены из одного и того же материала. Как следствие, расширяющиеся с приближением к контактным площадкам, электроды можно рассматривать как "массивные" сверхпроводники с бесконечно малым сопротивлением.

ВАХ нанопроводов, измеренные такими низкоомными контактами, демонстрируют наличие "остаточного" критического тока, соответствущего переходу от конечного (низкоомного) состояния к высокоомному, равному полному нормальному сопротивлению (Рис. 6-21).

Как будет показано ниже, существует фундаментальная связь между процессами, происходящими в Джозефсоновских системах и - в тонких сверхпроводящих каналах в режиме квантовых флуктуаций. Можно утверждать, что квантовое проскальзывание фазы

- динамический эквивалент статического (в пространстве и времени) Джозефсоновского контакта (ДжК). Продолжая качественную аналогию, правомочно заметить, что транспортные свойства достаточно тонкого сверхпроводника в низкоомном окружении эквивалентны свойствам смещенному по напряжению ДжК. В этом случае фаза сверхпроводящего параметра порядка является квазиклассической величиной, и ее временная эволюция описывается хорошо известным соотношением Джозефсона: 2. При = синхронизации внешнего ВЧ излучения с Джозевсоновскими осцилляциями, на ВАХ ДжК возникают квантованные ступеньки напряжения (эффект Шапиро): = ( 2).

Этот эффект широко используется в метрологии в качестве квантового эталона электрического напряжения.

Ситуация качественно меняется, если система смещена по току. Тогда, вместо фазы, заряд должен рассматриваться как квазиклассическая переменная. В этом режиме квантовая динамика ДжК формально описывается выражениями, идентичными движению Блоховского электрона в периодическом потенциале кристаллической решетки [182], [183].

Соответствующие эксперименты на ДжК [184] подтвердили предсказания теории: при приложении ВЧ излучения на ВАХ смещенного по току ДжК наблюдаются квантованные ступеньки тока: = 2.

Прослеживая аналогию с ДжК, представляется исключительно интересным исследовать этот дуальный эффект в тонком сверхпроводящем канале в режиме квантовых флуктуаций.

Помимо чисто фундаментального аспекта, задача представляет значительный прикладной интерес для метрологии: приведенное соотношение может быть использовано как квантовый эталон электрического тока.

Постановка задачи В данном разделе ставится задача экспериментального исследования транспортных свойств тонких сверхпроводящих каналов в режиме квантовых флуктуаций, помещенных в высоокомное окружение с целью наблюдения зарядовых эффектов.

–  –  –

b b Операторы и отвечают за флукуации тока и напряжения, соответственно.

Характерные энергии: = - энергия квантовых флукуаций, где частота определена выражением 6.06, = (2)2 2 - зарядовая энергия, связанная с емкостью системы, = 2 2 - индуктивная энергия, = ~ 2 - Джозефсоновская энергия.

Критический ток контакта определяется выражением = (2 ), где и нормальное сопротивление контакта и сверхпроводящая щель [187].

Простое сравнение двух гамильтонианов 7.01 и 7.02 показывает их идентичность и позволяет использовать хорошо известные наработки для систем Джозефсоновских контактов применительно к процессам, протекающим в сверхпроводящем проводе в режиме квантовых флуктуаций при замене переменных (7.04)

–  –  –

Качественные ВАХ сверхпроводящего провода в режиме квантовых флуктуаций. (a) Режим слабых флуктуаций 1: обычный сверхпроводник; (b) & 1: возникновение Кулоновской блокады; (c) сильные флуктуации. 1: изолирующее состояние. Три случая соответствуют Джозефсоновскому контакту в пределе 1, & 1 и. 1.

Для построения квантового эталона тока наблюдение "повернутой" ВАХ типа Рис.7б или 7-01с является непременным условием наблюдения индуцировааных внешним ВЧ излучением ступенек тока (Блоховские осцилляции) - дуальный аналог ступенек напряжения в Джозефсоновских контактах (эффект Шапиро). К сожалению, на настоящий момент отсутствуют строгие теоретические модели, описывающие квантовую динамику сверхпроводящего провода в режиме сильных квантовых флуктуаций. Однако, с учетом описанной выше дуальности 7.04, можно с достаточной степенью корректности провести дальнейшее рассмотрение применительно к сверхпроводящим проводам с использованием наработок для Джозефсоновских контактов.

Зависимость энергии от заряда, акуммулированного на Джозефсоновском контакте, () в режиме слабой и сильной связи представлена на Рис. 7-02.

–  –  –

плазменной частоты 1 ' ~ = (8 )12 [182], [183], [188].

Весьма инструктивно подробнее рассмотреть случай "почти свободных электронов" (Рис.7-02а). При малом эффективном квазизаряде || для нижнего уровня квантовомеханическое ожидание h0 |b| 0i, и соответствующие поправки к энергии малы 0 () 2 2. Если же значение квазизаряда близко к заряду единичного электрона ||, то величина h0 |b| 0i уменьшается на значение, что приводит к открытию соответствующей щели в спектре. Если при достаточно низкой температуре менять заряд адиабатически ~, то система все время будет оставаться в основном состоянии, и экспериментально наблюдамые величины (например, напряжение ) будут иметь соответствующие временные зависимости h0 | | 0i = 0. В случае контакта, смещенного постоянным током = =, напряжение на нем будет осциллировать с частотой = 2. Наряду с этими "Блоховскими" осцилляциями в сиcтеме присутствуют одноэлектронные осцилляции с удвоенной частотой = 2,

–  –  –

туннелирование может быть подавлено либо омическим шунтированием, либо квазичастичным туннелированием.

Характерный масштаб нелинейности ВАХ (Рис. 7-03) - "Блоховский нос" max[()] [191]:

(7.07) = ( 0 )(2) <

–  –  –

Влияние темпреатуры на форму ВАХ в пределе слабой Джозефсоновской связи в стандартном (а) и увеличенном (б) масштабах [188].

Соответствующее пороговое значение тока =, где коэффициент зависит от эффективности Джозефсоновской связи и отношений проводимостей туннельного контакта и шунта [191]. При малых значениях ток течет преимущественно через шунт и среднее значение напряжения постоянно =.

При больших величинах тока форма ВАХ определяется выражением [183]:

–  –  –

При приложении внешнего ВЧ тока = sin() будет происходить синхронизация Блоховских осцилляций, и на ВАХ должны наблюдаться квантованные ступеньки тока при частотах = (), =±1,±2,... (Рис. 7-04). При нулевой температуре = 0 и

–  –  –

В случае сильной Джозефсоновской связи индуцированные внешним ВЧ излучением ступеньки на ВАХ наблюдаются при любом соотношении между частотой Блоховских осцилляций ~ и шириной нижней зоны 0 [190]. Зависимость величины ступенек = max min от амплитуды ВЧ сигнала представлена на Рис. 7-05 [190].

Рис. 7-05.

Завимость величины ступенек от амплитуды ВЧ сигнала = ( )() при двух значениях частоты (2) = (2 0 )2 = 0.01 (a) и 1 (b) [190].

Следует отметить, что спектр Блоховских осцилляций также содержит монохроматические одноэлектронные осцилляции и их гармоники. Амплитуда одноэлектронных осцилляций максимальна при малых токах когда ~ ( ) 0 в предположении, что 1.

В пределе сильной связи увеличение тока уменьшает амплитуду одноэлектронных осцилляций, в противоположность случаю [190].

Приведенный выше краткий обзор составляет теоретический фундамент настоящего раздела. Экспериментальное наблюдение ВАХ, аналогичной Рис. 7-01 и/или 7-03, и при облучении ВЧ сигналом - соответствующих ступенек Рис. 7-04 - главная задача этой Главы.



Pages:     | 1 || 3 |
Похожие работы:

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Направление подготовки Химия ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА "Оптимизация синтеза 6-[18F]-L-3,4-дигидроксифенилаланина (6-[18F]L-ФДОФА), важнейшего ПЭТ радиотрейсера класса аминокислот" Студент 6 курса Ляш Е.В.Уровень образования: Специалист Заведующий кафедрой: д.х.н. С...»

«МИНИСТЕРСТВО ГЕОЛОГИИ СССР ВСЕСОЮЗНЫЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МИНЕРАЛЬНОГО СЫРЬЯ ( В И М С ) Научный совет по аналитическим методам Химико-аналитические методы И нструкци я № 41 X НИКЕЛЬ И КОБАЛЬТ МОСКВАг. испытания продукции Ш ЕСТЕРСТВО ГЕО ГЙ СССР Ш ЛО Й Научный Совет по авадвтнческмм методам пр...»

«Научный журнал КубГАУ, №117(03), 2016 года 1 УДК 539.12.01 UDC 539.12.01 01.00.00 Физико-математические науки Physics and mathematics ELECTRON STRUCTURE AND THE YANGСТРУКТУРА ЭЛЕКТРОНА И ТЕОРИЯ ЯНГАMILLS THEORY МИЛЛСА Трунев Александр Петрович Alexander Trunev к.ф.-м.н., Ph.D., директор Cand.Phys.-Math.Sci., Ph.D.,...»

«УДК 548.5 ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗРУШЕНИЯ КРИСТАЛЛОВ КДР, ВЫРАЩЕННЫХ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ И БЕЗ НЕГО Поезжалов В.М. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры электроэнергетики и физики, Костанайский государственный университет имени А. Байтурс...»

«Математическая теория управления О СТРАТЕГИЧЕСКОЙ РЕФЛЕКСИИ В БИМАТРИЧНЫХ ИГРАХ Губанов Д. А., Чхартишвили А. Г. (Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва) dimagubanov@mail.ru, sandro_ch@mail.ru Исследу...»

«Третья международная конференция "Ультрабазит-базитовые комплексы складчатых областей и связанные с ними месторождения" МАФИТ-УЛЬТРАМАФИТОВЫЕ ДАЙКИ И СИЛЫ КРУПНЫХ МАГМАТИЧЕСКИХ ПРОВИНЦИЙ КАРЕЛЬСКОГО КРАТОНА Куликов В.С.*, Кул...»

«! We r e g r e t t h a t s o r e of. t h e p a g e s n the microfiche * copy of this report may not be up to the proper legibility standards,even though the best' possible ' • copy was used'for preparing the master fiche ФЭИ-112...»

«144 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2014. №12(183). Вып. 35 MSC 74C10 ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ И ВЫПУЧИВАНИЕ. Часть II: СТЕРЖЕНЬ СПЛОШНОГО СЕЧЕНИЯ В.И. Ванько, Е.С. Перелыгина МГТУ им. Н.Э.Баумана, ул. 2-я Бауманская, 5, Москва, 105005, Россия, e-mail: vvanko@mail.ru Аннотация. Изучаются процессы продольного изгиба и...»

«Красников Сергей Владиленович ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНА С НЕСТАНДАРТНЫМИ ПРИЧИННЫМИ СВОЙСТВАМИ 01.04.02 теоретическая физика Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Санкт-Петербург —1— Оглавление Введение 3 ОБОЗНАЧЕНИЯ.............................. 11 И СОКРАЩЕНИЯ 1 Геометрическое вступление 14 § 1 Пространств...»

«Об утверждении Правил проведения регистрационных, производственных испытаний и государственной регистрации пестицидов (ядохимикатов) Постановление Правительства Республики Казахстан от 30 ноября 2011 года № 1396....»

«В.И. Костылев, И.П. Гресь, доктор физико-математических наук, Воронежский государственный профессор, Воронежский государственный университет университет ОБОБЩЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО ГАУССОВСКОГО СИГНАЛА В ГАУССОВСКОМ КОРРЕЛИРОВАННОМ...»

«ISSN 2304-0947 Вісник ОНУ. Хімія. 2014. Том 19, вип. 3(51) УДК 544.774.54-165 О. В. Перлова, В. В. Чернецкая Одесский национальный университет имени И. И. Мечникова, химический факультет, кафедра физи...»

«1. В этом году я не смог сдать ЕГЭ по математике профильного уровня. Будет ли пересдача? В соответствии с п. 7 Порядка проведения государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования, утвержднного приказом Минобрнауки России...»

«ЛИСТ БЕЗОПАСНОСТИ Дата Ревизии 05-июл-2012 Номер редакции 2 РАЗДЕЛ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ Идентификатор продукта Описание продукта ETHYL CINNAMATE Cat No. E/1250/07, E/1250/04 Соответствующие установленные о...»

«ТОМАС РОБЕРТ МАЛЬТУС (1766–1834) Обычно, англичане называют людей по первому имени, а последнее имя – это фамилия. Среднее имя употребляется для различения похожих имён, например: Джон Генри Смит и Джон Джейкоб Смит. Но некоторые люди предпочитают, чтобы их называли по их среднему имени. Thomas Robert Malthus...»

«ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2015, том 58, №3 ФИЗИЧЕСКАЯ ХИМИЯ УДК 544.777 : 541.24 А.С.Джонмуродов, Х.И.Тешаев, Ш.Ё.Холов, С.Р.Усманова, З.К.Мухидинов, Х.К.Чау*, Л.С.Лиу* ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЕКТИНОВЫХ ПОЛИСАХАРИДОВ ПОДСОЛНЕЧНИКА Институт химии им.В.И.Н...»

«Создание, нагрев и МГД-стабилизация двухкомпонентной плазмы с высоким в газодинамической ловушке А.В.Аникеев, П.А. Багрянский, А.С.Донин, А.В.Киреенко, А.А.Лизунов, В.В.Максимов, С.В.Мурахтин, В.В.Приходько, *Е.И. Солдаткина, А.Л. Соломахин Институт Ядерной физики СО РАН, Новосибирск, Россия. *Новосибир...»

«От Инструментов для Научных Исследований до Метрологических Решений для Полупроводников www.cameca.com Широкий диапазон применений приборов. Приборы для научных исследований фирмы CAMECA измеряют и отображают Геология химический состав (например, содержание Рентгеновское изображение примесей таких веществ, как медь,...»

«ВЫПИСКА № 34.06-29-2-9 из протокола № 34.06-29-1-8 заседания диссертационного совета Д 212.232.29 на базе Санкт-Петербургского государственного университета от "21" декабря 2016 года _ Подлинник протокола находится в делах диссертационного совета Санкт-Петербу...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА к профессиональному стандарту "Лаборант химического анализа" Содержание Введение...3 Раздел 1. Общая характеристика вида профессиональной деятельности, трудовых функций 1.1. Информаци...»

«ГОСТ 5382-91 УДК 691.54:543.06:006.354 Группа Ж 19 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР Цементы и материалы цементного производства Методы химического анализа Cements and materials for cement production. Chemical analysis methods ОКСТУ 5709 Дата введе...»

«СГМУ им. В.И. Разумовского лектор: кафедра биохимии Русецкая Н.Ю. Лекции № 3, 4 Тема: "Сложные белки" План.1. Классификация сложных белков 2. Углеводсодержащие белки (гликопротеины и протеогликаны) 3. Липопротеины 4. Фосфопрот...»

«ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ 94-110 ОУНК С В. Иванов, M.IO. Поздссв ПОРОГИ ПОПЕРЕЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СГРУППИРОВАННОГО ПУЧКА В ПРОТОННОМ СИНХРОТРОНЕ Протвино 1994 ' Hi 9 / УПК 62I.3S4.G3-1 M-24 Аннотация Иванов СП., Иоздсе" M.IO. Пороги поперечной неустойч...»

«Рабочая программа по математике создана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования1, Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России2, Примерных программ по учебным предметам в начальной школе3, Оценки достижения планируемых резул...»

«М1Н1СТЭРСТВА АДУКАЦЫ1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЭСПУБЛ1Ю БЕЛАРУСЬ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛАРУСК1 БЕЛОРУССКИЙ ДЗЯРЖАУНЫ УШВЕРС1ТЭТ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСМГЕТ РАШЭННЕ РЕШЕНИЕ 24 июня 2013 № 6 / / Г. МшС...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ РАБОЧИЕ ПРОГРАММЫ УЧЕБНЫХ ДИСЦИПЛИН КАФЕДРЫ НЕОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИ БАРНАУЛ • 2003 УДК 546 С о с т ав ит е ли : В.А. Новоженов, Л.А. Богданкова, Е.Г. Ильина, М.К. Котванова, Э.И. Перов, Н.Е. Стручева, Г.А. Тюникова, Е.П....»

«Электрои нанотехнологии УДК 621.9.047 : 541.13 : 004.94 МОДЕЛИРОВАНИЕ АНОДНОГО РАСТВОРЕНИЯ МЕТАЛЛА ЧЕРЕЗ МАСКУ С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ ПОРАМИ В.М. Волгин, А.Д. Давыдов Проведено теоретическое исследование электрохимического формообразовани...»

«ГОСТ 5382-91 УДК 691.54:543.06:006.354 Группа Ж 19 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ СОЮЗА ССР Цементы и материалы цементного производства Методы химического анализа Cements and materials for cement production. Chemical analysis methods ОКСТУ 5709 Дата введения 1991-07-01 Инфо...»

«Дискретная математика том 12 ВЫПУСК 3 * 2000 УДК 519.7 Замечания о быстром умножении многочленов, преобразовании Фурье и Хартли © 2000 г. С. Б. Гашков Предложен быстрый алгоритм умножения действительных многочленов без использования комплексных чис...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.