WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:     | 1 ||

«СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ XXVIII (3–9 мая 2017 г.) Воронеж ...»

-- [ Страница 2 ] --

Для территории Сибири прогнозирование этих явлений является особенно актуальной задачей. В Сибири нередки случаи выпадения снегопадов количеством 10-12мм/12ч и выше. Для прогноза таких снегопадов была применена другая дискриминантная функция F2 (X), рассчитанная для распознавания и прогноза очень сильных осадков. За январь-март 2017 года для территории Западной и Средней Сибири по этой гидродинамико-статистической модели были предупреждены 85% снегопадов количеством 10мм/12ч и более. В холодный период года в три УГМС Сибири два раза в сутки из Гидрометцентра России оперативно передаются карты прогноза сильных и очень сильных снегопадов. В докладе приводятся примеры их прогноза по этой модели, в том числе и опасного снегопада в г. Норильске и его окрестности 31 января 2017г, сопровождавшегося также и сильным ветром.

Литература

1. Автоматизированный гидродинамико-статистический метод прогноза дневных сильных осадков с заблаговременностью 12 и 24ч в холодный период года и результаты его испытания / Г.К. Веселова, Э.В. Переходцева, Е.Н. Шакотько, Т.В. Дурова // Информационный сборник. 2000. № 26. С. 23–29.

–  –  –

для любого фиксированного 1 и 2 0.

3. Если в соотношении (5) 1 заменить на 1, то полученное соотношение будет неверным.

Доказательство теорем 1 - 3 содержится в работах [3] и [4].

Литература

1. Никольский С.М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Гельдера / С.М. Никольский // Сиб. матем. ж. 1963. Т. 4, № 6. C. 1342– 1364.

2. Бахвалов Н.С. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными производными / Н.С. Бахвалов // Вестник МГУ, матем–мех., сер. 1. 1963. № 3. C. 7–16.

3. Потапов М.К. Модули гладкости дробных порядков. Часть II / М.К. Потапов, Б.В. Симонов, С.Ю. Тихонов. М. : Изд-во Попечительского Совета механико-математического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, 2015. C. 1–104.

4. Потапов М.К. Дробные модули гладкости / М.К. Потапов, Б.В. Симонов, С.Ю. Тихонов. М. : Макс-Пресс, 2016. C. 1–340.

–  –  –

которое используется для поиска дискретных волн в моделях кольцевых нейросетей с синаптическим взаимодействием элементов [1].

Здесь функция u 0 характеризует мембранный потенциал нейрона, большой параметр, описывающий скорость протекания процессов в системе, b 0, c R, а функции f, g C2 [0, ) удовлетворяют условиям

–  –  –

Ищем периодическое решение уравнения (1) с одним всплеском на периоде.

Сделаем замену u = ex и перейдем от большого параметра к малому = 1/. Тогда уравнение (1) преобразуется к виду

–  –  –

Теорема. Для некоторого 0 0 при каждом (0, 0 ) и некоторых a, b, c, уравнение (2) имеет единственный орбитально экспоненциально устойчивый цикл x (·, ) периода T (), удовлетворяющий равенствам x(, ), (4) и

–  –  –

c Преображенская М.М., 2017 где x (t) некоторая периодическая функция периода T.

Литература

1. Глызин С.Д. Об одном способе математического моделирования химических синапсов / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н. Х. Розов // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 10. С. 1227–1244.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА

ЗАЯВОК В СМО С КОНЕЧНЫМ НАКОПИТЕЛЕМ,

С ДИФФУЗИОННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ

ВХОДНОГО ПОТОКА И НУЛЕВЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ СНОСА

Д.Б. Прокопьева, Т.А. Жук, Н.И. Головко (Владивосток) prokopievad@yandex.ru,tatiana@mail.ru,ygolovko@yahoo.com Аналитическими моделями информационных сетей и их отдельных элементов являются системы массового обслуживания (СМО).

В силу специфики потока сообщений на узлах локальных и глобальных компьютерных сетей моделями web-узлов в Интернет являются системы массового обслуживания с диффузионной интенсивностью входного потока. В данной работе рассматривается система массового обслуживания с одним обслуживающим прибором, экспоненциальным обслуживанием с параметром µ, емкостью накоНа вход СМО поступает дважды стохастический пителя N0 пуассоновский поток заявок, интенсивность которого (t) представляет собой диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса a = 0 и коэффициентом диффузии b. Случайный процесс (t) принимает значения на интервале [, ] с упругими границами.

Пусть Qk (t, x) = P{(t) = k, x (t) x + dx}/dx, где (t) – число заявок в СМО в момент t ;

qk (x) = P{ = k, x x + dx}/dx, где – число заявок в СМО и – интенсивность входного потока в стационарном режиме, Qk (t, x), qk (x) – характеристики числа заявок, k 0 ;

f (t, x) = P {x (t) x + dx} /dx– нестационарная плотность интенсивности входного потока (t) ; f (x) = P {x x + dx} /dx – стационарная плотность, x [, ].

В следующих теоремах приводятся полученные уравнения относительно характеристик числа заявок Qk (t, x), qk (x), полученные с применением динамики Колмогорова [1]. Построены краевые задачи для нестационарной и стационарной плотности диффузионноc Прокопьева Д.Б., Жук Т.А., Головко Н.И., 2017

–  –  –

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01c Псху А.В., 2017

ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ

ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ

А.З. Пчелова (Чебоксары) apchelova@mail.ru Актуальность исследуемой проблемы. Рассматривается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с полиномиальной правой частью пятой степени, решение которого обладает подвижными особыми точками, в общем случае не разрешимое в квадратурах. Этот факт не позволяет применять к нему известные аналитические и численные приближенные методы решения, так как они не адаптированы к этой категории особых точек. В связи с этим задача нахождения приближенного решения заданного уравнения является актуальной.

Материал и методика исследования. Предлагается приближенный метод решения указанного выше уравнения в нормальной форме, идея которого представлена в работах [1–3] и состоит в разделении области поиска решения на область голоморфности и окрестность подвижных особых точек, а затем построении приближенных решений в этих областях. Исследование приближенного решения рассматриваемого уравнения в области голоморфности приведено в [4]. В настоящей работе сформулирована теорема существования и единственности решения заданного нелинейного дифференциального уравнения в окрестности подвижной особой точки, а также представлены результаты исследования приближенного решения этого уравнения в окрестности точного значения подвижной особой точки в комплексной области. Приводится оценка погрешности приближенного решения задачи Коши, которая является улучшенной по сравнению с оценкой, предложенной в работе [5].

Результаты исследования. Рассмотрим задачу Коши для уравнения в нормальной форме

–  –  –

Для калибровки и поверки средств измерений (СИ) пространственно энергетических характеристик лазерного излучения, содержащих многоэлементный измерительный преобразователь (МИП) необходимо в пределах его входной апертуры обеспечить равномерное распределение плотности энергии (РПЭ). Такое РПЭ позволяет определять коэффициенты преобразования элементов МИП и определять их линейность. Возникает задача оценки его степени равномерности. Данная оценка является функционалом, представляющим численное значение некоторого критерия оценки (или набор значений). Любое такое значение, как правило, не может в полной степени характеризовать степень равномерности, так как отсутствует взаимно-однозначное соответствие между формой РПЭ и выбранным критерием. В работе показано, что для повышения достоверности и чувствительности оценки степени равномерности c Райцин А.М., 2017 РПЭ следует применять многокритериальную оценку, основанную на использовании набора критериев. Как правило, формируемое равномерное РПЭ может быть приближенно описано квазиравномерным распределением в ограниченной двухмерной области круга +y 2 I (x, y) = Imax 1 x L2 = Imax 1 r2 /L2, где неравномерность РПЭ (0 1) на окружности радиуса L (граница области - выходной апертуры излучателя), r2 = x2 + y 2, Imax - наибольшее значение РПЭ. На практике, МИП производит измерение РПЭ по прямоугольной области G, представляющей центральную часть двухмерной области круга (G ), где степень равномерности более высокая.

В работе рассматриваются три критерия оценки равномерности

РПЭ [1-2]:

критерий, основанный на показателе плоскостности вершины РПЭ с оценкой равномерности 1 ;

критерий, основанный на показателе однородности РПЭ с оценкой равномерности 2 ;

критерий, основанный на применении логарифмического момента с оценкой равномерности 3.

Из трех рассмотренных критериев оценок равномерности РПЭ сформирован многокритериальный вектор R = (1, 2, 3 ), в котором каждая координата в зависимости от неравномерности РПЭ может изменятся от нуля(для равномерного РПЭ) до единицы.Отличие вектора равномерности измеренного РПЭ от нулевого вектора равномерного РПЭ характеризуется евклидовым расстоянием между векторами, т.е. = 1 + 2 + 3. Введено понятие чувствительности критерия оценки, характеризующее изменение величины критерия оценки в зависимости от неравномерности РПЭ 0 1 и показано, что, что наибольшей чувствительностью обладает многокритериальный показатель, после него - критерий плоскостности вершины, далее в порядке уменьшения чувствительности идут критерии однородности РПЭ и критерий, основанный на применении логарифмического момента.

Показано, что многокритериальная оценка позволяет увеличить чувствительность определения равномерности по сравнению с методами применения одного критерия, что подтверждает целесообразность ее использования.

Литература

1. ГОСТ Р ИСО 13694-2010 Оптика и оптические приборы. Лазеры и лазерные установки (системы) Методы измерений распределения плотности мощности (энергии) лазерного пучка. М. :

Стандартинформ, 2011.

2. Каспаров В.М. Методы идентификации пространственных распределений интенсивности лазерных пучков / В.М. Каспаров, А.М. Райцин, М.В. Улановский // Измерительная техника. 2016.

№ 10. С. 39–42.

–  –  –

то кубические корни извлекаются из целых чисел. Решение этого диофантова уравнения приведено в книжечке В. Серпинского “Решение уравнений в целых числах” [3]:

–  –  –

Литература

1. Хинчин А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин. М.-Л. : ГИТТЛ, 1949. 114 с.

2. Рубинштейн А.И. Связующая нить. Неизвестная математика / А.И. Рубинштейн. М. : Дрофа, 2009. 112 с.

3. Серпинский В.О. О решении уравнений в целых числах / В.О. Серпинский. М. : ГИФМЛ, 1961. 88 с.

–  –  –

за время t при выпуске продукции x(t), t [0, T ]. Предполагается, что заданы величина выпуска x0 в начальный момент и желательная величина выпуска в конечный момент xT. Поскольку прибыль c Рукодайная М.С., 2017 фирмы складывается из выручки от реализации продукции (p цена единицы продукции) и затрат, обусловленных изменением величины выпуска, то R(t, x, x) = px cx2.

Итак, имеем задачу вариационного исчисления [2]. Уравнение Эйлера для этой задачи имеет вид

–  –  –

Рассматриваются на промежутке [0, l] дифференциальные уравнения разного порядка. Первое из них возникает при описании поперечных деформаций классического стержня, а второе обычной струны (или продольных деформаций стержня). Добавляются c Рыжкова Е.В., 2017

–  –  –

что вместе с (3) приводит к модели двухзвенной цепочки стержней с упругой опорой в месте стыка (x = ).

Литература

1. О функции Грина для локально взаимодействующей системы обыкновенных уравнений разного порядка / Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, Е.В. Дикарева, Т.В. Перловская // Матем. заметки. 2003. Т. 74, вып. 1. С. 146–148.

О КРАТНОЙ ПОЛНОТЕ КОРНЕВЫХ ФУНКЦИЙ

ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

ПУЧКОВ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В.С. Рыхлов (Саратов) RykhlovVS@yandex.ru

В пространстве L2 [0, 1] рассмотрим пучок L():

–  –  –

где, ijs, ijs C, i0, i1 N {0}, 0 l n 1.

Далее используем, не повторяя в данном тексте, известные определения собственных и присоединенных функций или, кратко, корневых функций (к.ф.), n-кратной полноты к.ф. из [1–2].

Решается задача о нахождении условий на параметры пучка L(), при которых имеет место n-кратная полнота к.ф. этого пучка в L2 [0, 1]. Историю вопроса можно посмотреть, например, в [3]–[5].

Предположим, что корни j = r exp ij, j = 1, n, характеристического уравнения µ+s=n pµs µ = 0 дифференциального выражения (1) простые, отличны от нуля и лежат на лучах (1 n), исходящих из начала координат. Для определенности будем считать, что при 0 = l, = n имеют место соотношения 0 +1 = · · · = 1 · · · 1 +1 = · · · = 2.

Пусть [0, 2) есть любое число, для которого существуют перестановка (= ()) = {1, 2,..., n } множества {1, 2,..., n} и число h(= h()) {0, 1,..., n} такие, что

–  –  –

Множество таких обозначим через (это все числа из [0, 2) за исключением решений уравнений (ei i ) = (ei j ) (i = j) и (ei j ) = 0 (j = 1, n)). Таких точек конечное число и между ними перестановка и число h не меняются.

Пусть краевые условия (3) упорядочены таким образом, что при

s0 = l, sr+1 = n справедливы соотношения:

–  –  –

Теорема 1. Пусть l = 0 и при некотором выполняются предыдущие предположения.

Тогда система к.ф. этого пучка n-кратно полна в L2 [0, 1] с возможным конечным дефектом, не превышающим числа n [n 1 i ]+ в случае, если порядок хоi=1 тя бы одного краевого условия (2)–(3) больше n 1, и с нулевым дефектом в противном случае.

Теорема 2. Пусть 1 l n 1, при некотором выполняются предыдущие предположения, система (4) является системой полного ранга и rank Dj = j j1, j = 1,.

Тогда система к.ф. этого пучка n-кратно полна в L2 [0, 1] с возможным конечным n дефектом, не превышающим числа i=1 [n 1 i ]+ в случае, если порядок хотя бы одного краевого условия (2)–(3) больше n 1, и с нулевым дефектом в противном случае.

Литература

1. Келдыш М.В. О полноте собственных функций некоторых классов несамосопряженных линейных операторов / М.В. Келдыш // Успехи мат. наук. 1971. Т. 26, № 4. С. 15–41.

2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М. : Наука, 1969. 528 с.

3. Рыхлов В.С. Кратная полнота собственных функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка / В.С. Рыхлов // Исследования по теории операторов : сб. статей. Уфа :

БНЦ УрО АН СССР, 1988. С. 128–140.

4. Рыхлов В.С. О кратной полноте корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами / В.С. Рыхлов, О.В. Блинкова // Изв. Сарат. ун-та.

Нов. сер. Сер. : Математика. Механика. Информатика. 2014.

Т. 114, вып. 4, ч. 2. С. 574–584.

5. Rykhlov V.S. Multiple Completeness of the Root Functions for a Certain Class of Pencils of Ordinary Dierential Operators with Constant Coecients / V.S. Rykhlov // Results in Mathematics.

2015. V. 68, no. 3–4. P. 427–440. doi: 10.1007/s00025-015-0450-6

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

ДЛЯ ПОДМНОГООБРАЗИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ

И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ1 А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин (Москва) antonsavin@mail.ru, sternin@mail.ru Пусть заданы гладкие подмногообразия X1, X2 M в гладком многообразии M, которые пересекаются трансверсально (в качестве простейшего (и нетривиального!) примера можно взять координатные прямые на плоскости). Соответствующие вложения обозначим 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 16-01c Савин А.Ю., Стернин Б.Ю., 2017 через i1 : X1 M, i2 : X2 M, а коразмерности подмногообразий X1, X2 в M через 1, 2.

Цель работы состоит в том, чтобы исследовать алгебру операторов со следующими мультипликативными образующими:

• граничными операторами

–  –  –

• псевдодифференциальными операторами, определенными на многообразиях M, X1, X2.

Мы показываем, что элементы указанной выше алгебры естественно представлять в виде 3 3 матричных операторов (морфизмов), действующих в прямых суммах

–  –  –

по отношению к разложению (1). При этом

• D, D1, D2 псевдодифференциальные операторы на соответствующих многообразиях;

• B1, B2 и C1, C2 граничные и кограничные операторы, сосредоточенные на подмногообразиях X1, X2 ;

• B1, B2 и C1, C2 граничные и кограничные операторы, сосредоточенные на пересечении X3 = X1 X2 ;

• G1, G2 операторы Грина, сосредоточенные на подмногообразиях X1, X2 ;

• M1, M2, M3 операторы Меллина, сосредоточенные на пересечении X3 ;

• T12, T21 трансляторы, сосредоточенные на пересечении X3.

Здесь мы говорим, что оператор A сосредоточен на некотором подмногообразии Z M, если его композиции A, A с операторами умножения на произвольную гладкую функцию, тождественно равную нулю в окрестности подмногообразия Z, являются компактными операторами.

Основные результаты состоят в следующем:

1) доказывается, что операторы вида (2) образуют алгебру;

2) даётся определение символа для элементов указанной алгебры, для эллиптических элементов доказывается их фредгольмовость в соответствующих пространствах Соболева;

3) предъявляется формула индекса; при этом индекс морфизма (2) равен сумме индексов некоторых псевдодифференциальных операторов на гладких подмногообразиях M, X1, X2, X3.

В докладе также будут даны конкретные примеры и приложение к задачам Соболева.

Эти результаты систематизируют и дополняют результаты работ Б.Ю. Стернина и его сотрудников (см. [1-5]).

В докладе предполагается дать определения всех возникающих понятий.

Литература

1. Стернин Б.Ю. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности / Б.Ю. Стернин // Труды ММО. 1966. Т. 15.

С. 346–382.

2. Стернин Б.Ю. Эллиптические (ко)граничные морфизмы / Б.Ю. Стернин // Доклады АН СССР. 1967. Т. 172. С. 44–47.

3. Стернин Б.Ю. Задачи типа С.Л. Соболева в случае подмногообразий с многомерными особенностями / Б.Ю. Стернин // Доклады АН СССР. 1969. Т. 189. С. 732–735.

4. Nazaikinskii V.E. Relative elliptic theory / V.E. Nazaikinskii, B.Yu. Sternin // Aspects of boundary problems in analysis and

geometry, Operator Theory : Advances and Applications, Basel :

Birkhuser, 2004. V. 151. P. 495–560.

a

5. Савин А.Ю. Об индексе эллиптических трансляторов / А.Ю. Савин, Б.Ю. Стернин // Доклады академии наук. 2011.

Т. 436, № 4. С. 443–447.

–  –  –

на отрезке x [0, 1] с комплексным параметром, || 0. Здесь y = y(x) = (y1 (x), y2 (x),..., yn (x))t вектор-столбец, составленный из абсолютно непрерывных на [0, 1] функций. Будем считать, что коэффициенты системы (1) удовлетворяют условиям.

(i) Матрица B является диагональной и постоянной:

B = diag{b1,..., bn }, а числа bj комплексными и ненулевыми.

(ii) Функции (x), ajk (x) и cjk (x, ) переменной x (при каждом фиксированном ) суммируемы по Лебегу на [0, 1].

(iii) Функция (x) вещественна и положительна почти всюду.

(iv) При || 0 |cjk (x, )| dx 0 для всех 1 j, k n.

Мы покажем, что к системе вида (1) сводится любое уравнение высокого порядка с коэффициентами распределениями l(y) = n y, где

–  –  –

Основным результатом является теорема об асимптотическом поведении фундаментальной матрицы решений Y (x, ) системы (1) при || в различных секторах комплексной плоскости.

РАВНОСХОДИМОСТЬ И БАЗИСНОСТЬ ДЛЯ

ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА–ЛИУВИЛЛЯ И ДИРАКА1

И.В. Садовничая (Москва) ivsad@yandex.ru Изучаются операторы Штурма-Лиувилля и Дирака на конечном отрезке. Краевые условия предполагаются регулярными по Биркгофу.

Доказывается равносходимость спектральных разложений некоторой функции, построенных по данным операторам, с разложениями этой же функции, соответствующими невозмущенным операторам. При этом варьируются тройки пространств: пространства, которым принадлежит раскладываемая функция, пространства, содержащие потенциалы операторов, и пространства, по норме которых исследуется равносходимость.

Основные результаты получены путем исследования асимптотического поведения собственных и присоединенных функций, спектральной функции или резольвенты оператора.

Результаты о равносходимости применяются для доказательства базисности системы собственных и присоединенных функций в различных пространствах.

Подробные доказательства всех утверждений можно найти в [1].

Литература

1. Садовничая И.В. Вопросы равносходимости для операторов Штурма–Лиувилля и Дирака : дис.... д-ра физ.-мат. наук. М., 2016. 204 с.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01c Садовничая И.В., 2017

СИЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ ГИБРИДНОГО МЕТОДА

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С МОНОТОННЫМИ

НЕЛИПШИЦЕВЫМИ ОПЕРАТОРАМИ1

В.В. Семёнов (Киев, Украина) semenov.volodya@gmail.com В докладе рассматривается операторное уравнение

–  –  –

где A монотонный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H.

Для решения уравнения предложен сильно сходящийся метод с динамической регулировкой величины шага [1, 2]. Относительно оператора A не предполагается липшицевость. Метод имеет следующий вид (символом PC обозначим оператор метрического проектирования на выпуклое замкнутое множество C).

Инициализация. Задаем числовые параметры 0, (0, 1), (0, 1), элемент x0 H.

Итерационный шаг. Для xn H вычисляем

–  –  –

Справедлива следующая теорема о сходимости метода.

Теорема 1. Пусть оператор A : H H монотонный, равномерно непрерывный на ограниченных множествах и отображающий ограниченные множества в ограниченные.

Предположим, 1 Работа выполнена при финансовой поддержке МОН Украины (проект № 0116U004777).

c Семёнов В.В., 2017 что A1 0 =. Тогда последовательность (xn ), порожденная методом, сильно сходится к точке z0 = PA1 0 x0.

Также изучены варианты метода для поиска решений операторных уравнений и вариационных неравенств с априорной информацией, описанной в виде включения в множество неподвижных точек квазинерастягивающих операторов [2, 3].

Литература

1. Семенов В.В. Гибридный метод для уравнений с монотонными нелипшицевыми операторами / В.В. Семенов, С.И. Денисов // Международная летняя математическая школа памяти В. А. Плотникова : тезисы докладов. Одесса : Астропринт, 2016. С. 56.

2. Verlan D.A. A Strongly Convergent Modied Extragradient Method for Variational Inequalities with Non-Lipschitz Operators / D.A. Verlan, V.V. Semenov, L.M. Chabak // Journal of Automation and Information Sciences. 2015. V. 47, № 7. P. 31–46.

3. Denisov S.V. Convergence of the Modied Extragradient Method for Variational Inequalities with Non-Lipschitz Operators / S.V. Denisov, V.V. Semenov, L.M. Chabak // Cybernetics and Systems Analysis. 2015. V. 51. P. 757–765.

ОЦЕНКИ НОРМ СУММ ОДНОГО КЛАССА

ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ПО

КОСИНУСАМ1 Б.В. Симонов, И.Э. Симонова (Волгоград) simonov-b2002@yandex.ru, simonova-vstu@mail.ru

–  –  –

где вершина z = (p2 f )(u) концевая вершина дуги u, а F функция, использующаяся при вычислении характеристик путей для нестандартной достижимости.

Рассмотрим аналог уравнения теплопроводности на графе G :

–  –  –

УСЛОВИЯ СОХРАНЕНИЯ ГЛОБАЛЬНОЙ

РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ С УПРАВЛЯЕМОЙ ГЛАВНОЙ

ЧАСТЬЮ1 В.И. Сумин, М.С. Филюшкина (Нижний Новгород) v_sumin@mail.ru, maryasha_f@mail.ru В теории оптимального управления при выводе необходимых условий оптимальности, при обосновании численных методов оптимизации и во многих других случаях важную роль играют условия устойчивости (по возмущению управления) существования глобальных решений (УСГР) управляемых начально-краевых задач (см., например, [1 - 3]; история вопроса кратко описана в [3]).

Условиям УСГР начально-краевых задач для полулинейных параболических уравнений с управлением в правой части посвящены публикации [4], [1, гл.2, §5] (при фиксированных гладких коэффициентах главной части уравнения) и [5, 6] (при фиксированных измеримых главных коэффициентах); см. также [2]. Ниже такие условия формулируются для параболического уравнения с гладкими управляемыми коэффициентами главной части. Рассматривается первая начально-краевая задача с однородными начальными и граничными условиями в случае, когда нелинейная правая часть уравнения не зависит от производных.

Пусть: заданы числа T 0, (0, 1), d1 0, d2 0 (d1 d2 ) и ограниченная односвязная область Q Rn (Q C2 ) ; элементы Q обозначаем x = x1,..., xn ; Q(0, T ). Рассмотрим начальнокраевую задачу n L[y] yt (cij (x, t) yxj )xi = g ({x, t}, y (x, t)), {x, t} ; (1) i,j=1

–  –  –

функция Грина задачи (2)-(4), то есть (Ac Ac0 ) где Gc интегральный оператор с ядром (Gc Gc0 ).

Литература

1. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Ч. 1 / В.И. Сумин. Н. Новгород : Изд–во ННГУ, 1992. 112 c.

2. Сумин В.И. К проблеме сингулярности распределенных управляемых систем. I; II; III; IV / В.И. Сумин // Вестник Нижегородского университета. Сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 2 (21). С. 145–155; 2001.

Вып. 1 (23). С. 198–204; 2002. Вып. 1 (25). С. 164–174;

2004. Вып. 1 (27). С. 185–193.

3. Сумин В.И. Проблема устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач и вольтерровы функциональные уравнения / В.И. Сумин // Вестник Нижегородского университета. Сер. Математика. 2003. Вып. 1. С. 91–107.

4. Сумин В.И. Об устойчивости существования глобального решения первой краевой задачи для управляемого параболического уравнения / В.И. Сумин // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, № 9. С. 1587–1595.

5. Сумин В.И. Условия устойчивости существования глобальных решений управляемых краевых задач для нелинейных параболических уравнений / В.И. Сумин // Вестник Тамбовского университета. Сер. : Естественные и технические науки. 2000. Т. 5, вып. 4.

С. 493–495

6. Сумин В.И. Условия сохранения глобальной разрешимости начально-краевой задачи для нелинейного управляемого параболического уравнения / В.И. Сумин, М.С. Филюшкина // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Международной конференции : Воронежская зимняя математическая школа (26 января 1 февраля 2017 г.) Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017. С. 187–189.

7. Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева. М. : Наука, 1967. 736 c.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ ДЕСКРИПТОРНОГО УРАВНЕНИЯ

С ВОЗМУЩЕНИЕМ В ПРАВОЙ ЧАСТИ

В.И. Усков (Воронеж) vum1@yandex.ru Рассматривается задача dx A = (B + C)x(t, ) + h(t), (1) dt x(0, ) = x0 E, (2) линейные операторы: E E, E где A, B, C банахово пространство, dom A = dom B = dom C = E, оператор A обладает свойством иметь 0 нормальным собственным числом [1], его ядро имеет произвольную размерность; A, B, C, вообще говоря неограниченные; h(t) заданная непрерывная функция, t [0, T ], (0, 0 ].

Решением задачи (1), (2) считается дифференцируемая функция x(t, ), удовлетворяющая (1), (2) при каждом t [0, T ].

В случае фредгольмова оператора A с нулевым индексом и dim Ker A = 1 поставленная задача решалась в работе [2]. Анализировалось поведение решения при 0 в терминах жордановых цепочек. Был сделан доклад [3] о построении асимптотического разложения решения по степеням малого параметра.

Предполагаются выполненными следующие условия:

1. Жордановы цепочки оператора A имеют разную длину.

2. B-жордановы цепочки оператора A имеют одинаковую длину.

3. C-жордановы цепочки оператора A имеют одинаковую длину.

В данной работе строится асимптотическое разложение решения задачи (1), (2) методом Васильевой-Вишика-Люстерника, разработанным в [4], [5], в виде:

–  –  –

2. Зубова С.П. Исследование жёсткости дескрипторной динамической системы в банаховом пространстве / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Проблемы математического анализа. М. : НИИ механики МГУ им. М. В. Ломоносова. 2015. Вып. 79. С. 127–132.

3. Зубова С.П. Асимптотическое решение задачи Коши для дескрипторного уравнения с малым параметром в банаховом пространстве / С.П. Зубова, В.И. Усков // Материалы международной конференции "Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2016". Воронеж : Научная книга, 2016. С. 175– 177.

4. Васильева А.Б. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов.

М. : Наука, 1973. 272 с.

5. Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / Л.А. Люстерник, М.И. Вишик // Успехи мат. наук. 1957.

Т. 12, вып. 5 (77). С. 3–122.

О ЛИНЕАРИЗАЦИИ СФЕРИЧЕСКОЙ

ПОВЕРХНОСТИ

В.И. Фомин (Тамбов) vasiliyfomin@bk.ru

Предлагается следующая схема линеаризации сферической поверхности:

1. Сфера S разбивается большими окружностями (т.е. сечениями сферы диаметральными плоскостями) на конечное число сферических треугольников Si (i = 1, n), при этом указанное разбиение можно провести таким образом, чтобы его диаметр оказался меньше наперёд заданного сколь угодно малого положительного числа.

2. На каждой части разбиения Si выбирается такая точка Mi, что касательная плоскость K(Mi ) к поверхности S в точке Mi имеет наименьшую величину отклонения от сферического треугольника Si. В силу выпуклости поверхности S в качестве искомой точки выступает точка Mi, для которой касательная плоскость K(Mi ) равноудалена от вершин сферического треугольника Si (назовём K(Mi ) оптимальной касательной плоскостью к сферическому треугольнику Si, а точку Mi – оптимальной точкой касания этого треугольника).

c Фомин В.И., 2017

3. Для каждого i = 1, n рассматривается ортогональная проекция i сферического треугольника Si на его оптимальную касательную плоскость K(Mi ).

При достаточно малом диаметре описанного выше разбиения сферы S на сферические треугольники плоский криволинейный треугольник i можно считать линейным приближением сферического треугольника Si (i = 1, n).

Аналогично проводится линеаризация произвольной выпуклой гладкой поверхности, при этом в качестве частей разбиения берутся поверхностные треугольники, сторонами которых являются кратчайшие между их вершинами.

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕЗАВЕРШЕННОЙ РАБОТЫ В

СМО С БЕСКОНЕЧНЫМ НАКОПИТЕЛЕМ,

ДИФФУЗИОННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО

ПОТОКА И НУЛЕВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ СНОСА

Е.С. Фролова, Т.А. Жук, Н.И. Головко (Владивосток) eu.frolova@yandex.ru, Tatyana zhukdv@mail.ru, ygolovko@yahoo.com Системы массового обслуживания (СМО) являются аналитическими моделями информационных сетей и их элементов. Статистический анализ потока заявок, поступающих на web-серверы, показывает диффузионный характер изменения интенсивности входного пуассоновского потока с постоянными коэффициентами сноса и диффузии. В данной работе строится математическая модель СМО в виде системы уравнений относительно нестационарных и стационарных характеристик времени ожидания в СМО с диффузионной интенсивностью входного потока.

Рассматривается система массового обслуживания с одним обслуживающим прибором, произвольным обслуживанием с функцией распределения B(x) и бесконечной емкостью накопителя. На вход СМО поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок, интенсивность которого (t) представляет собой диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса a = 0 и коэффициентом диффузии b 0. Случайный процесс (t) принимает значения на интервале [, ] с упругими границами.

Пусть Qk (t, x) = P{(t) = k, x (t) x + dx}/dx, где (t)

– число заявок в СМО в момент t ; qk (x) = P{ = k, x c Фролова Е.С., Жук Т.А., Головко Н.И., 2017

–  –  –

h(, x) b + + hxx (, x), 0, c односторонним краевым условием по : h(0+, x) = q0 (x).

Вывод уравнений осуществлен через уравнения для полумарковской цепи, аппроксимирующей диффузионный процесс. В результате предельного перехода полумарковская цепь переходит в диффузионный процесс с нулевым коэффициентом сноса.

Литература

1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания : пер. с англ. / Л. Клейнрок. М. : Машиностроение, 1979. 432 с.

–  –  –

·1 где норма в L[0, 1].

Теорема 3. Если q(x) и (x) L[0, 1], то ряд (5) формального решения сходится равномерно по всем x и t [0, T ] при любом T 0, причем u(x, 0) = 0.

Более того, если uh (x, t) есть решение задачи (1)–(3) при h (x) вместо (x), причем h (x) удовлетворяет условиям теоремы 2 и h 1 0 при h 0, то uh (x, t) сходится к u(x, t) равномерно по всем x и t [0, T ] ( · 1 норма в L[0, 1]).

Таким образом, u(x, t) есть обобщенное решение задачи (1)–(3).

Литература

1. Хромов А.П. О сходимости формального решения по методу Фурье волнового уравнения с суммируемым потенциалом / А.П. Хромов // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 2016.

Т. 56, № 2. С. 1795 1809.

2. Крылов А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах / А.Н. Крылов. Л. : ГИТТЛ, 1950. 368 с.

–  –  –

Функции (x), (y) и (y) – заданные.

c Хуштова Ф.Г., 2017 В данной работе доказаны теоремы существования и единственности решений задач 1 и 2. Представления решений найдены в терминах H-функции Фокса [3, с. 528] и интегрального преобразования A [2, с. 72], единственность доказана в классе функций, удовлетвоy ряющих аналогу условия Тихонова.

Литература

1. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение / А.М. Нахушев. М. : Физматлит, 2003. 272 с.

2. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка / А.В. Псху. М. : Наука, 2005. 199 с.

3. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Дополнительные главы.

Т. 3 / А.П. Прудников, Ю.А. Брычков, О.И. Маричев. М. : Наука, 2003. 688 с.

СТРУКТУРА ОСОБОГО МНОЖЕСТВА

ПОВЕРХНОСТИ1

И.Г. Царьков (Москва) tsar@mech.math.msu.su Часто, чтобы описать класс всех гладких решений уравнения эйконала, требуется представлять себе как устроено особое множество для его поверхности уровня и может ли какая-то часть границы области быть особым множеством такой поверхности. Более того, часто конкретный вид особого множества накладывает довольно ограничительные условия на поверхность уровня, а, следовательно, на само решение. В конце этой работы мы рассмотрим примеры такой задачи. Через X обозначим расширение пространства X добавлением бесконечной точки (окрестности такой точки определяются дополнениями замкнутых шаров из X). Точка x X \ M называется регулярной для замкнутого множества M X, если все точки некоторой окрестности O(x) являются точками единственности (т.е. для них существует единственная ближайшая в M ). Точки, не являющиеся регулярными или принадлежащие замыканию int M, будем называть особыми. Бесконечную точку будем считать, особой для любых множеств M X.

Теорема 1. Пусть X – строго выпуклое конечномерное пространство, E – множество всех особых точек в X\M множества 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01c Царьков И.

Г., 2017 M. Тогда M \ E является гомотопией (ретракцией) множества X \ E = X \ E, множество E является многозначной ретракцией (значения которой отрезки в X) множества X \ M. Если при этом M – гиперповерхность в X с замкнутым следом, то для любой компоненты связности D множества X \ M множество всех особых точек из D является многозначной ретракцией (значения которой отрезки в X) множества D. Если M – след C 2 -гладкого многообразия, а X – пространство с модулем гладкости 2-го порядка, то E является гомотопией (ретракцией) X \ M. Если при этом M – гиперповерхность в X с замкнутым следом, то для любой компоненты связности D множества X \ M множество всех особых точек из D является гомотопией (ретракцией) множества D.

Теорема 2. Для строго выпуклого конечномерного пространства X и замкнутого множества M X множество особых точек, находящихся в ограниченной компоненте связности X \ M, связно и непусто, и одноточечно только, если эта компонента

– открытый шар. При этом непустое множество особых точек в неограниченной компоненте связности X \ M не может быть ограниченным, т.е. бесконечность является предельной точкой этого особого множества.

Теорема 3. В пространстве Rn для невыпуклого замкнутого множества M Rn существует точка x Rn \ M, для которой множество ближайших представляет собой сферу некоторой n 1.

Более того, в любой окрестности размерности k: 0 k точки неединственности (т.е для которой множество ближайших неодноточечно) существует такая точка.

В качестве примеров использования этих теорем приведем следующие утверждения.

Теорема 4. В пространстве Rn (n 3) в качестве множества рассмотрим гомеоморфный образ прямой (топология на индуцирована топологией Rn ).

Тогда множество является особым множеством C 1 -гладкой гиперповерхности Rn тогда и только тогда, когда является прямой, а круговым цилиндром, образующие которого это прямые параллельные.

Теорема 5. В пространстве Rn (n 3) в качестве множества E рассмотрим одномерное замкнутое связное множество, не имеющее одномерных циклов.

Тогда для того, чтобы E являлось особым множеством C 1 -гладкой гиперповерхности Rn необходимо, чтобы была границей замкнутой выпуклой области, содержащей множество E.

Литература

1. Алимов А.Р. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения / А.Р. Алимов, И.Г. Царьков // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71, № 1 (427). С. 3–84.

2. Царьков И.Г. Некоторые приложения геометрической теории приближения / И.Г. Царьков // ВИНИТИ РАН. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Тематические обзоры.

Комплексный анализ и смежные вопросы. 2017.

3. Царьков И.Г. Особые множества и их связь с особенностями решений уравнения эйконала / И.Г. Царьков // Труды НИИСИ РАН. 2016. Т. 6, № 2. С. 126–128.

–  –  –

и |g(y) x0 | c|y y0 | для любого y V. В [1] были получены условия существования обратной функции в случае, когда предположение регулярности (1) нарушается. Ниже мы приведем условия существования обратной функции, аналогичные результату из [1] при ослабленных предположениях гладкости отображения f.

1 Автор благодарит своего научного руководителя доцента кафедры нелинейного анализа и оптимизации РУДН Жуковского С.Е. за постановку задачи и внимание к работе.

c Чан Тхи Нгок, 2017 Теорема. Пусть отображение f : Rn Rk непрерывно в окрестности точки x0, дважды дифференцируемо в точке x0,

–  –  –

Литература

1. Аваков Е.Р. Исследование гладких отображений в окрестности анормальной точки / Е.Р. Аваков, А.В. Арутюнов, Д.Ю. Карамзин // Изв. РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78, вып. 2. С. 3–42.

–  –  –

Рассмотрим бесконечный трехгранный цилиндр, грани которого заполнены неоднородными материалами. Предположим, что на одном из ребер содержится конечная трещина.

Пусть up (x) температура в точке x = (x1, x2 ) грани (R [p 1, p]), где p = 1; 2; 3. Задача распределения тепла на заданном стратифицированном множестве моделируется следующей системой дифференциальных уравнений с граничными условиями

–  –  –

p где p = 1; 2; 3; j = 3 дробная часть числа p, деленного на 3, умноженная на 3; qm (x1 ) = 0, m = 1; 2; 4; 5; q3 (x1 ), q6 (x1 ) финитные и достаточно гладкие на R функции; kp произвольные положительные константы.

Уравнения (1) получены из уравнений стационарной теплопроводности для материалов без тепловых источников div (kp (x) grad up (x)) = 0, где kp (x) = cp ekp x2 коэффициенты внутренней теплопроводности материалов, а cp произвольные положительные константы.

Положим, что k1 = k2, то есть две грани цилиндра заполнены одним и тем же материалом. Построены асимптотические разложения первых производных компонент решения сформулированной задачи в окрестности концов трещины, а также доказано, что сами компоненты решения задачи непрерывны и равномерно ограничены на рассматриваемых областях.

–  –  –

задания в сфере научной деятельности в 2014-2016 гг. (проект № 1727) и грантом (соглашение от 27.08.13 № 02.В.49.21.0003 между МОН РФ и ННГУ).

c Чернов А.В., 2017 Пусть n – вектор внешней нормали к 2 ; fn – нормальная составляющая вектора f. Для = (1 ; 2 ) D = D1 D2, (, ), f F будем рассматривать уравнение

–  –  –

Корректность такого определения, а также начально-краевых условий (2)–(4) для случая f = f (t, x) доказана в [1].

Теорема 1. Пусть существует неубывающая функция N :

R+ R+ такая что

–  –  –

Тогда, каковы бы ни были = (1 ; 2 ) D = D1 D2, (, ), 0 V (), уравнение (5) с начальным условием (4) (а тем самым, и задача (1)–(4)) не может иметь более одного решения.

Теорема 2. Пусть (, ), f F, 0 V () и существует неубывающая N : R+ R+ такая что

–  –  –

Литература

1. Жидков А.А. Некоторые вопросы математического и численного моделирования глобальной электрической цепи в атмосфере / А.А. Жидков, А.В. Калинин // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2009. №6(1). С. 150–158.

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ДИССИПАЦИЕЙ НА

КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ДВУМЕРНОГО

МНОГООБРАЗИЯ1

М.В. Шамолин (Москва) shamolin@rambler.ru, shamolin@iec.msu.ru В задачах динамики возникают механические системы с пространствами положений двумерными многообразиями. Фазовыми пространствами таких систем становятся касательные расслоения к ним. Так, например, изучение пространственного маятника на сферическом шарнире в потоке среды приводит к динамической системе на касательном расслоении к двумерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий [1]. В данном случае системы обладают переменной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций [1, 2]. Известен также класс задач о движении точки по двумерной поверхности, при этом метрика на ней индуцирована евклидовой метрикой всеобъемлющего пространства. В работе показана интегрируемость некоторых классов динамических систем на касательных расслоениях к двумерным многообразиям. При этом силовые поля обладают переменной диссипацией [1, 3] и обобщают ранее рассмотренные.

Литература

1. Шамолин М.В. Методы анализа динамических систем с переменной диссипацией в динамике твердого тела / М.В. Шамолин.

М. : Экзамен, 2007. 352 с.

2. Шамолин М.В. Многообразие случаев интегрируемости в динамике маломерного и многомерного твердого тела в неконсервативном поле сил / М.В. Шамолин // Итоги науки и техники. Сер. :

Современая математика и ее приложения. Тематические обзоры.

2013. Т. 125. С. 5–254.

3. Шамолин М.В. Интегрируемые системы с переменной диссипацией на касательном расслоении к многомерной сфере и приложения / М.В. Шамолин // Фунд. и прикл. мат. 2015. Т. 20, вып. 4. С. 3–231.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 15-01a).

c Шамолин М.В., 2017

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ1

А.Н. Шелковой (Воронеж) shelkovoj.aleksandr@mail.ru Рассматривается интегро-дифференциальный оператор, действующий в гильбертовом пространстве L2 [0; 1], задаваемый выражением

–  –  –

00197).

c Шелковой А.Н., 2017

АДАПТИВНАЯ БЛОЧНО-РЕГРЕССИОННАЯ

ОКРЕСТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ СТАДИИ ДИФФУЗИИ

ПРОИЗВОДСТВА САХАРА1

А.М. Шмырин, Н.М. Мишачев, А.С. Канюгина (Липецк) kosarewanastya@yandex.ru При построении блочно-регрессионных окрестностных моделей для стадии диффузии сахара [1,2] на основе данных производства АО АПО "Аврора" Боринский сахарный завод наблюдались различия в числовых значениях коэффициентов регрессии и наборах значимых предикторов регрессионного уравнения. Причиной этого является изменение качества сырья, приводящее к колебанию реальных наблюдаемых значений технологических параметров относительно номинальных. Проведенные вычисления подтвердили априорный вывод о невозможности построения общей блочно-регрессионной окрестностной модели. Адаптивная блочно-регрессионная окрестностная модель позволит учитывать изменения в технологическом процессе производства и управлять динамической системой вблизи заданного (номинального) режима. Адаптивность модели подразумевает пересчет коэффициентов регрессии и значимых предикторов по мере поступления новых данных.

Литература

1. Шмырин А.М. Блочно-регрессионная окрестностная модель стадии диффузии производства сахара / А.М. Шмырин, Н.М. Мишачёв, А.С. Косарева// Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий : сб. тр. IX междунар. конф. "ПМТУКТ-2016". Воронеж : Научная книга,

2016. С. 406–409.

2. Параметрическая идентификация линейной блочнорегрессионной окрестностной модели стадии диффузии производства сахара / А.М. Шмырин, Н.М. Мишачёв, А.С. Канюгина и др. // Modern informatization problems in the technological and telecommunication systems analysis and synthesis: Proceedings of the XXII-th International Open Science Conference (Yelm, WA, USA, January 2017). Yelm, WA, USA : Science Book Publishing House,

2017. P. 360–365.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-07а)).

c Шмырин А.М., Мишачев Н.М., Канюгина А.С., 2017

–  –  –

Нейронные сети представляют собой универсальный математический аппарат для решения различных задач [1]. Цель данной работы заключается в определении целевых показателей процесса передачи материала от сырьевых мельниц к вращающимся печам цементного завода [2]. Для сравнения полученных результатов данная задача решалась с применением модели линейной множественной регрессии и нейросетевой модели. В качестве независимых величин был принят выпуск продукции сырьевой мельницей, а в качестве зависимых величин выпуск продукции вращающейся печью. На цементном заводе установлено 6 сырьевых мельниц и 3 вращающиеся печи, поэтому расчет проводился по трем позициям

– отдельно рассматривалась передача материала к каждой вращающейся печи. Значения среднеквадратического отклонения, тонн в месяц, для регрессионной модели для трех позиций составили:

1) 3446,17; 2) 3039,65; 3) 2836,48. Значения среднеквадратического отклонения, тонн в месяц, для нейросетевой модели составили:

1) 3377,63; 2) 2697,64; 3) 1302,72. Нейросетевые модели показывают более точные результаты, но алгоритм их построения сложнее:

необходимо подобрать количество скрытых слоев и количество нейронов в них, определить веса и подобрать оптимальную функцию активации, поэтому для систем с высоким коэффициентом корреляции рекомендуется использовать регрессионную модель.

Литература

1. Круглов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика / В.В. Круглов, В.В. Борисов. М. : Горячая линия Телеком, 2002. 382 с.

2. Шмырин А.М. Исследование окрестностных моделей печи обжига клинкера с учетом ограничений на переменные и специальной функции цели / А.М. Шмырин, А.Г. Ярцев // Информационные технологии моделирования и управления. 2015. № 5 (95).

С. 410–418.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-07а).

c Шмырин А.М., Ярцев А.Г., 2017

–  –  –

The so called fractional calculus provides an excellent instrument for the description of memory and hereditary properties of some materials and physical processes. During the last decades notable contributions have been made to the development of the theory of fractional calculus [1,2]. The use of fractional order derivatives instead of integer order ones in dierent elds as viscoelasticity, heat conduction in materials with memory or in electrodynamics with memory, has developed the interest of researchers in the study of fractional dierential equations.

In this talk we study the well-posedness of the

Abstract

fractional Cauchy problem governed by the generator A of dierent kind semigroups. This approach is very important for the situation which corresponds to approximation of fractional dierential equations [3].

Our main result can be viewed as a sort of the well-known subordination principle for the fractional evolution equation, providing an explicit representation of the fractional resolvent family generated by A in terms of some semigroup and a Wright type function. A class of dierential operators to which our abstract result applies, including the Schrdinger operator i, is also incorporated.

o Литература

1. Kilbas A., Srivastava H.M. and Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Dierential Equations / Vol. 204 of NorthHolland Mathematical Studies, Elsevier Science Publishers, 2006.

2. Marichev O.I., Samko S.G. and Kilbas A.A. Fractional Integrals and Derivates. Theory and Applications/ Gordon and Breach Science Publishers, 1993.

3. Liu R., Li M., Pastor J. and Piskarev S.I. On the approximation of fractional resolution families // Translation of Dier. Uravn. V. 50 (2014), no. 7, p. 937-946. Dier. Equ. V. 50 (2014), no. 7, p. 927-937.

1 The author was partially supported by grants of Russian Foundation for Basic Research № 15-01-00026-a and № 17-51-53008 ГФЕН_а.

c Piskarev S., 2017

О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ

ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ ШЕСТОГО ПОРЯДКА

С НЕГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ И СИЛЬНОЙ

НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

М.А. Буйвалова, М.Б. Давыдова (Воронеж) marusjabuj@yandex.ru

–  –  –

c Буйвалова М.А., Давыдова М.Б., 2017 Условия, которые мы наложили на функции p(x), r1 (x), r2 (x), q(x) и f (x, u) обеспечивают разрешимость уравнения из (1) в E.

Справедлива следующая Теорема. Пусть выполнены следующие условия: 1) f (x, u) удовлетворяет условиям Каратеодори, 2) f (x, 0) 0, 3) f (x, u) порождает непрерывный оператор суперпозиции, действующий из C[0; ] в некоторое Lp,µ [0; ], 4) при некоторых 0 r R справедливо (a) модель (1) при любых (0; 1) не имеет решений, удовлетворяющих неравенствам u0 (x) · u C u(x) r x(x) (u0 (x) = ); (b) для некоторой h(x), (отличной от тождественного нуля), принадлежащей L1,µ [0; ], и для любого 0 модель pu xxµ + (r1 u ) (r2 u ) + qu = f (x, u), u(0) = xxµ xx xµ xµ u (0) = u (0) = 0, u() = u () = u () = 0, не имеет решений, x xx x xx для которых u0 (x) u C u(x) R.

Тогда нелинейная модель (1) имеет неотрицательное нетривиальное решение.

Концепция поточечной трактовки уравнения с негладкими решениями доказала свою эффективность (см. [1]–[2]).

Литература

1. Давыдова М.Б. О нелинейных теоремах сравнения для дифференциальных уравнений второго порядка с производными Радона–Никодима / М.Б. Давыдова, С.А. Шабров // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. : Физика, математика. 2013. № 1.

С. 155–160.

2. Шабров С.А. Об одной математической модели малых деформаций стержневой системы с внутренними особенностями / С.А. Шабров // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. : Физика, математика. 2013. № 1. С. 232–250.

–  –  –

Под решением граничной задачи мы будем понимать функцию из класса E, которая после подстановки в уравнение из (2) превращает его в тождество (при всех t [0; T ] и почти всюду по переменной x). Отметим, что спектр состоит из счетного числа собственных значений и каждое собственное значение имеет алгебраическую кратность, равную единице. Геометрическая кратность собственных значений {n } спектральной задачи (2) может быть n=1 отлична от единице (при этом имеет конечную кратность). Тогда, собственное значение будет встречаться столько раз, какова его кратность.

Доказывается следующая теорема

–  –  –

c Джангибеков Г., Одинабеков Д.М., Худжаназарова Г., 2017 ds – элемент плоской меры Лебега, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. В лебеговом пространстве Lp (D), p 1 рассматриваетя двумерный сингулярный интегральный оператор

–  –  –

T – вполне непрерывный в Lp (D) оператор. Установлены эффективные необходимые и достаточные условия нетеровости оператора A в пространствах Lp (D) и получена формула для вычисления индекса оператора. Полученные результаты применяются к решению задач Дирихле и Неймана для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости.

Литература

1. Джангибеков Г. / Г. Джангибеков, Г. Худжаназарова // ДАН России. 2004. Т. 396, № 4; Т. 397, № 3.

2. Михайлов Л.Г. / Л.Г. Михайлов, Г. Джангибеков, Д.М. Одинабеков // ДАН России. 2006. Т. 409, № 6. С. 1–5.

–  –  –

2, where denotes the gradient in x and where in dimensions n the coecients W (x) and V (x) are assumed to be real-valued and 1This work was supported by the Academy of Finland, project № 250025.

c Serov V.S., 2017

–  –  –

with some n p. It is well-known that under these conditions for the coecients this operator H has a self-adjoint Friedrichs extension with the domain D(H) = W2 (Rn ).

In the problems we are going to consider the main role are played by the special solutions (so-called scattering solutions or the generalized eigenfunctions) of the equation Hu = k 2 u, k = 0, which are of the form

–  –  –

where p and are as in (2). The following rst result holds.

Theorem 1. Assume that the conditions (2) for the coecients of H are satised and assume that 1.

Then for any |k| 1 the integral equation (5) has a unique solution such that usc belongs to L2 (Rn ). Moreover, uniformly in |k| 1 the following estimate holds

–  –  –

ОБ ОЦЕНКАХ СВЕРХУ ПЕРВОГО СОБСТВЕННОГО

ЗНАЧЕНИЯ ОДНОЙ ЗАДАЧИ

ШТУРМА – ЛИУВИЛЛЯ С ВЕСОВЫМ

ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

С.С. Ежак, М.Ю. Тельнова (Москва) svetlana.ezhak@gmail.com, mytelnova@yandex.ru Рассматривается задача

–  –  –

c Ежак С.С., Тельнова М.Ю., 2017 Литература

1. Егоров Ю.В. Об оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурма–Лиувилля / Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев // Успехи математических наук. 1996. T. 51(3).

С. 73–144.

2. Ежак С.С. Оценки первого собственного значения некоторых задач Штурма–Лиувилля с интегральным условием на потенциал / С.С. Ежак, Е.С. Карулина, М.Ю. Тельнова // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И.В. Асташовой. М. : ЮНИТИДАНА, 2012. С. 506–647

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЙ С ЗАДАННЫМ

ЧИСЛОМ НУЛЕЙ НА ЗАДАННОМ ОТРЕЗКЕ

НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТИПА ЭМДЕНА

ФАУЛЕРА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМ

КОЭФФИЦИЕНТОМ

В.В. Рогачев (Москва) valdakhar@gmail.com Рассматривается уравнение

–  –  –

где функция p(x, y0, y1,..., yn1 ) непрерывна по всем переменным и удовлетворяет условию Липшица по y0, y1,..., yn1. Исследуется существование решений с заданным числом нулей на заданном отрезке.

Теорема 1. Пусть 0 m p(x, y0, y1, y2 ) M.

Тогда для любых k (0, 1) (1, ), a b + и целого m 2 уравнение (1) имеет решение, определенное на отрезке [a, b], равное нулю в точках a, b и имеющее на этом отрезке ровно m нулей.

В работе [1] получен аналогичный результат для уравнения (1) третьего порядка с регулярной нелинейностью k 1. Доказательство нынешнего результата использует результаты и методы из [2].

Литература

1. Рогачев В.В. О существовании решений с заданным числом нулей у регулярного нелинейного уравнения типа Эмдена–Фаулера c Рогачев В.В., 2017 третьего порядка с переменным коэффициентом / В.В. Рогачев // Вестник СамГУ. 2015. № 6 (128). C. 117–123.

2. Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / И.В. Асташова // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И.В. Асташовой. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. С. 22–288.

ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННЫХ

ФУНКЦИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

А.В. Филиновский (Москва) nv@yandex.ru

–  –  –

О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ТИПА

ЭМДЕНА–ФАУЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА,

НЕЛИНЕЙНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

К.М. Дулина, Т.А. Корчемкина (Москва) sun-ksi@mail.ru, krtaalex@gmail.com Рассматривается уравнение типа Эмдена–Фаулера второго порядка y = p(x, y, y ) |y|k |y |l sgn (yy ), k 1, 0 l 2, (1) где функция p(x, u, v) положительна, непрерывна по совокупности переменных и липшицева по последним двум аргументам. В случае p = p(x) асимптотическое поведение решений изучалось В.М. Евтуховым [1]. С помощью методов, разработанных И.В. Асташовой в [2, 3], получены результаты о поведении максимально продолженных решений уравнения (1). Свойства решений уравнения (1) в случае l = 0 изучены в [4], асимптотическая классификация приведена в [5].

Лемма 1. Пусть существует константа m 0, такая, что p(x, u, v) m.

Пусть y(x) нетривиальное максимально продолженное решение уравнения (1), удовлетворяюy (x0 ) 0 щее в некоторой точке x0 условию y(x0 ) (соответственно, y(x0 ) 0). Тогда существует значение x, x0 x + (соответственно, x, x x0 ), для которого

–  –  –

где = (m, k, l) константа, зависящая только от m, k, и l и не зависящая от решения.

Лемма 2. Пусть существует константа m 0, такая, что p(x, u, v) m.

Пусть y(x) нетривиальное максимально продолженное решение уравнения (1), удовлетворяющее в некоторой точке x0 условию y (x0 ) 0, y(x0 ) 0 c Дулина К.М., Корчемкина Т.А., 2017

–  –  –

где = (m, k, l) константа, зависящая только от m, k, и l и не зависящая от решения.

С помощью лемм 1 и 2 можно показать непрерывную зависимость положений вертикальных и горизонтальных асимптот при знакоопределенных начальных данных.

Теорема 1. Пусть функция p(x, u, v) ограничена сверху и снизу положительными константами.

Тогда для любого 0 существует такое 0, что для любых x0, x0, y0, z0, y1, z1 таких, что |0 x0 |, |z0 y0 |, |z1 y1 |, y0 0, y1 0, z0 0, x z1 0, решения y(x) и z(x) уравнения (1) с начальными условиями

–  –  –

Изучается асимптотическое поведение решений этого уравнения, имеющих вертикальную асимптоту (blow-up решений).

Для n {2, 3, 4} известно, что любое решение уравнения (1) с положительными начальными данными в некоторой точке вблизи правой границы x своей области определения имеет вид

–  –  –

больших n и [4] для n {12, 13, 14}). В этих случаях было доказано существование решений вида y(x) = p0 k1 (x x) h( ln(x x) ), где h непостоянная непрерывная положительная периодическая функция.

Оказалось, однако, что для слабо нелинейных уравнений вида (2) все blow-up решения имеют степенную асимптотику, а именно, имеет место следующая Теорема 1. Для любого целого n 4 существует такое K 1, что для любого действительного k (1, K), любое решение уравнения (2) с положительными начальными данными в некоторой точке x0 имеет степенную асимптотику (3)–(4) вблизи правой границы x, x x0, своей области определения.

Решение y(x) уравнения (1) называется кнезеровским (см.[1]), если (1)j y (j) 0, j = 0,... n 1, x x0.

Теорема 2. Пусть в уравнении (2) (1)n p0 0.

Тогда для любого такого целого n 4 существует такое K 1, что для любого действительного k (1, K) любое кнезеровское решение уравнения (2) имеет степенную асимптотику

y(x) = C(x) (1 + o(1)), x +,

где C и определяются формулами (4).

Некоторые аналоги этих результатов получены для уравнения (1).

Литература

1. Кигурадзе И.Т. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия. М. : Наука, 1990. 432 c.

2. Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнений / И.В. Асташова // Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / под ред. И.В. Асташовой. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. С. 22–288.

3. Kozlov V.A. On Kneser solutions of higher order nonlinear ordinary dierential equation / V.A. Kozlov // Ark. Mat. 1999.

V. 37, No 2. P. 305–322.

4. Astashova I.V. On power and non-power asymptotic behavior of positive solutions to Emden-Fowler type higher-order equations / I.V. Astashova // Advances in Dierence Equations. Springer Open Journal. 2013:220. P. 1–15.

–  –  –

Для автономной системы дифференциальных уравнений на плоскости x = P (x, y), y = Q(x, y), где P и Q - функции, непрерывно дифференцируемые в некоторой области, рассматривается задача создания простого программного обеспечения для построения и исследования фазовых портретов для студентов и преподавателей. Предварительные результаты описаны в [1].

Построение фазового портрета включает нахождение точек покоя, исследование их характера, построение локальных и глобального фазового портрета.

В отличие от других программных решений PhaPl выполняет все этапы автоматически без программирования или настройки.

PhaPl позволяет быстро получать наглядные результаты для учебных задач из [2].

Для нахождения особых точек используются символические вычисления. Для построения фазовых траекторий - метод Эйлера. Результаты оформляются формулами L TEX. При наведении курсора A на некоторую точку строится дополнительная фазовая траектория, на которой цветом показано направление движения по ней при возрастании и убывании времени.

Программное обеспечение PhaPl доступно для скачивания по следующей ссылке: https://github.com/AlekseyCherepanov/phapl.

Литература

1. Черепанов А.А. Программа для построения и исследования фазовых портретов на основе программных компонентов с открыc Черепанов А.А., 2017 тым исходным кодом / А.А. Черепанов // Теоретические и прикладные аспекты математики, информатики и образования : материалы международной научной конференции. Архангельск, 2014.

С. 594–598.

2. Асташова И.В. Практикум по курсу Дифференциальные уравнения : учебное пособие / И.В. Асташова, В.А. Никишкин // М. : Изд. центр ЕАОИ, 2010. 94 с.

–  –  –

где – малый параметр, функция (x) является кусочно-линейной, а – некоторое число.

Исследуется вопрос о существовании у такой системы цикловуток [4-6], то есть циклических траекторий, которые некоторое не малое (сравнительно с ) время идут вдоль неустойчивой ветви медленной траектории y = (x). Оказывается, использование кусочнолинейной функции позволяет полностью исследовать вопрос, причём элементарными средствами, доступными студенту, освоившему курс обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Уравнение (1) с функцией

–  –  –

не имеет циклов-уток ни при каких. При, стремящемся к единице, предельный цикл вырождается в гомоклиническую траекторию, которая начинается и заканчивается в точке (1, 1).

Теорема 2. Уравнение (1) с функцией

–  –  –

04066).

c Боровских А.В., 2017 имеет бесконечное количество циклов-уток при одном и том же значении = 1 + h.

Отметим, что наличие бесконечного количества циклов при одном и том же значении является следствием симметрии части графика функции (x) и соответствующего фрагмента фазового портрета относительно прямой x = 1 + h. При нарушении симметрии этот эффект теряется, но наличие циклов-уток сохраняется.

Теорема 3. Уравнение (1) с функцией

–  –  –

где () – бесконечно малая величина экспоненциального (относительно ) порядка, определяемая параметром (в качестве которого может выступать, например, точка пересечения траектории с медленной кривой y = (x)).

Литература

1. Ван-дер-Поль Б. Нелинейная теория электрических колебаний / Б. Ван-дер-Поль. М. : Связьтехиздат, 1935. 42 с.

2. Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Вандер-Поля / А.А. Дородницын // ПММ. 1947. Т. 11, № 3.

С. 313–328.

3. Мищенко Е.Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания / Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов.

М. : Наука, 1975. 248 с.

4. Chasse au canard / E. Benoit, J.L. Callot, F. Diener, M. Diener // Collect. math. 1981. V. 31, № 1–3. P. 37–119.

5. Картье П. Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений и нестандартный анализ / П. Картье // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, вып. 2. С. 57–76.

6. Звонкин А.К. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений / А.К. Звонкин, М.А. Шубин // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39, вып. 2. С. 77– 127.

ОБ ОДНОЙ РАСШИРЕННОЙ ЗАДАЧЕ

ПРОГРАММНОГО НАВЕДЕНИЯ1

С.М. Орлов (Москва) sergey.orlov@cs.msu.su Рассматривается задача позиционного наведения на выпуклое и замкнутое терминальное множество в заданный момент времени с неполной информацией о начальных данных.
Динамика описывается линейными дифференциальными уравнениями, наблюдаемый сигнал линеен, а множество возможных начальных состояний конечно. Метод пакетов программ позволяет вместо задачи позиционного наведения с неполной информацией рассматривать расширенную задачу программного наведения, которая является обычной задачей наведения в классе программных управлений. Построив решение расширенной задачи программного наведения, можно найти наводящую позиционную стратегию в задаче позиционного наведения с неполной информацией. В работах [1,2] доказан критерий разрешимости расширенной задачи программного наведения и описан метод поиска её решения.

Предлагается альтернативный критерий разрешимости расширенной задачи программного наведения, а также алгоритм построения решения этой задачи в случае, когда область управления представляет собой m-мерный параллелепипед, а терминальное множество одномерный луч или отрезок.

Рассматривается пример, иллюстрирующий применение разработанного подхода к решению задачи.

Литература

1. Кряжимский А.В. Программный критерий разрешимости задачи позиционного наведения с неполной информацией. Линейные управляемые системы / А.В. Кряжимский, Н.В. Стрелковский // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. 2014. Т. 20, № 3. С. 132 147.

2. Стрелковский Н.В. Построение стратегии гарантированного позиционного наведения для линейной управляемой системы при неполной информации / Н.В. Стрелковский // Вестн. Моск. ун-та.

Серия 15 : Выч. мат. и киб. 2015. № 3. С. 31–38.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 14-11c Орлов С.М., 2017

О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ

ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ОДНОГО ЛИНЕЙНОГО

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Г.Э. Абдурагимов (Махачкала) gusen_e@mail.ru

–  –  –

Тогда краевая задача (1) - (3) имеет по крайней мере одно положительное решение.

c Абдурагимов Г.Э., 2017 Литература

1. Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного функционально–дифференциального уравнения второго порядка / Г.Э. Абдурагимов // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика.

2014. № 2. C. 60–65.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ

КЕЛЬВИНА–ФОЙГТА С КРАЕВЫМ УСЛОВИЕМ

ДЛЯ ЗАВИХРЕННОСТИ1

Е.С. Барановский (Воронеж) esbaranovskii@gmail.com

–  –  –

Т Тельнова М.Ю., 193 Терехин П.А., 44 Тихонов С.Ю., 59 Трусова Н.И., 85 У Уксусов С.Н., 116 Усков В.И., 161 Ф Филиновский А.В., 195 Филюшкина М.С., 158 Фомин В.И., 162 Фролова Е.С., 163 Фурсова К.О., 165 Х Хромов А.П., 106, 166 Худжаназарова Г., 187 Хуштова Ф.Г., 170 Научное издание

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

–  –  –

Верстка и подготовка оригинал-макета С. А. Шаброва Подписано в печать 24.04.2017. Формат 6084/16.

Усл. п.л. 12,4. Уч.–изд. л. 12,0. Тираж 200 экз. Заказ 254.

–  –  –



Pages:     | 1 ||
Похожие работы:

«THE COLLECTION DRY SHAMPOO ВОССТАНАВЛИВАЮЩЕЕ СРЕДСТВО (масло) Уникальное средство, способное перевернуть ваши представления об уходе за волосами. Оно великолепно восстанавливает волосы, поврежденные химической завивкой, окрашиванием, выпрямл...»

«Аннотация курса лекций по дисциплине "Основы химической технологии" № Содержание раздела Предмет химической технологии и ее роль в химико-технологическом 1. образовании. Химическая технология – наука о промышленных способах и процессах переработки сырья в продукты потребления и средства производства. Этапа развития химическо...»

«ФИЗИКА Серия 4 2011 ХИМИЯ Выпуск 4 Декабрь НАУЧНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ. ИЗДАЁТСЯ С АВГУСТА 1946 ГОДА СОДЕРЖАНИЕ ФИЗИКА Багаев А. А. Об устранении квадратичной по импульсу расходимости нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля..................................»

«СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ" (программы спецкурсов) Омск МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РФ ГОУ ВПО ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Ф.М. ДОСТОЕВСКОГО СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ" (программы спецкурсов) Издание Омск ОмГУ 2005 УДК 543.42 Специализация "Аналитическая химия" (программы спецкурс...»

«Московский ордена Ленина, ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Государственный университет имени М.В.Ломоносова ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра кристаллографии и кристаллохимии Курсовая работа Синтез и рентг...»

«Материалы заданий олимпиады школьников "Интернет-олимпиада школьников по физике" за 2015/2016 учебный год Содержание О заданиях итогового (очного) тура 2015/2016 учебного года О заданиях для 11 кл...»

«Тор, шар, куб, пирамида, и т.д. – односторонние поверхности без края © С.Г. Тигунцев stiguncev@yandex.ru Широко известна так называемая бутылка Клейна это определённая неориентируемая поверхность (то есть двумерное много...»

«Научно-производственное объединение "СПЕКТРОН" Аналитическое оборудование для химического анализа 190103 Россия, тел. (812) 325-8183 Санкт Петербург, факс (812) 325-8503 ул. Циолковского, 10А Е-mail: to@spectron.ru http://www.spectron.ru АНАЛИЗАТОР РЕНТГЕНОФЛУОРЕСЦЕНТНЫЙ ЭНЕРГОДИСПЕРСИОННЫЙ СЕРЫ В НЕФТИ И НЕФТЕПРОДУ...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ СССР ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ И Ф В Э 86-53 оэшш М.Ю.Боголюбский, А.А.Боровиков, В.А.Бумажнов, Л.Л.Закамский, А.Е.Кирюнин, Е.А.Козловский, А.И.Котова, М.С.Левицкий, А.Ф.Лукъянцев, А.А.Минаенко, А.М.Моисеев, Д.И.Пат...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа курса химии 9 класса составлена на основе 1. Закона РФ об образовании.2. Федерального компонента государственного стандарта основного общего образования по химии.3. Примерной программы основного общего образован...»

«Книга бегуна Содержание: 1 О книге бегуна 2 Бег 2.1 Что надо знать о беге 2.2 Для начинающих 2.3 Виды дистанций 2.4 Биохимия бега (*) 3 Тренировки 3.1 Что надо знать о тренировках 3.2 Какие качества развивают на трени...»

«Е. П. Блаватская ЗАМЕТКИ НЕПОПУЛЯРНОГО ФИЛОСОФА (сборник статей) (Part III from: The Tablets of Karma by H. P. Blavatsky The Theosophy Publish, Madras, 1895) Перевод с английского К. Ю. Бурмистрова Электрическое и магнетическое сродство между человеком и природой Трансцендентальная физика Психическое оповещение Звезды и числа Яркая точка света Являются...»

«Совершенные комбинаторные структуры В. Н. Потапов Институт математики им. С. Л. Соболева, Новосибирский государственный университет, Новосибирск XI летняя школа Современная математика, г. Ду...»

«CH3 ФЕН 55-я Всесибирская открытая олимпиада школьников O Первый отборочный этап 2016-2017 уч. года N Решения заданий по химии НГУ 11 класс Задача 1. (автор В. А. Емельянов).1. Ломоносов Михаил (Михайло) Васильевич. Московский госуд...»

«Аннотация к рабочей программе по математике 5-6 класс под ред. Дорофеева Г.В., Петесрон Л.Г. Рабочая программа по математике линии УМК под ред. Дорофеева Г.В., Петесрон Л.Г. составлена на основе: Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, утвержденн...»

«118 Азнабаев Марат Талгатович – д.м.н., профессор кафедры офтальмологии с курсом ИДПО ГБОУ ВПО БГМУ Минздрава России. Адрес: 450000, г. Уфа, ул. Ленина, 3. Тел./факс: 8(347) 275-97-65. Азаматова Гульнара Азаматовна – к.м.н., ассистент кафедры офтальмологии с курс...»

«ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА 2011 Теоретические основы прикладной дискретной математики №3(13) УДК 519.716 О СЛОЖНОСТИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПОВТОРНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ В БИНАРНОМ БАЗИСЕ1 А. А. Вороненко Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия E-mail: dm6@cs.msu.ru...»

«Физика аэродисперсных систем. – 2014. – № 51. – С. 12-17 УДК 539.2, 535.37, 541.18. Михайленко В.И., Поповский А.Ю. Одесская национальная морская академия E-mail: vim22-06-1939m@rambler.ru Зависимость толщины ЭЖК-слоя от температуры. Часть 2. Двухкомпонентная модель Проведен расчёт температурной зави...»

«ПРИМЕНЕНИЕТЕХНОЛОГИИУКРУПНЕНИЯДИДАКТИЧЕСКИХЕДИНИЦ ДЛЯФОРМИРОВАНИЯПРИЕМОВОБОБЩЕНИЯПРИИЗУЧЕНИИХИМИИ УДК 37.016:54 Ермачёк Л. Е. Формирование развивающего образовательного окружения через организацию научно-исследовательской деятельности учащихся // Свиридовские чтения: сб...»

«Ганкин В. Ю. и Ганкин Ю. В. XXI век Общая химия 2-уровневое учебное пособие 2-ое издание БЛАГОДАРНОСТИ Мы в долгу перед многими, кто вносил предложения, высказывал критику и другим образом участвовал в создан...»

«1. Цели освоения дисциплины Цели освоения дисциплины "Специальный физический практикум" состоят в практическом изучении основных характеристик спектральных приборов, методов работы на них, в привитии студентам навыков практической работы с оптическими приборами и получении физ...»

«ОЗТ ЛЕКЦИЯ 1 Вводная лекция второй части курса лекций по математическому моделированию теплофизических процессов. Состав второй части курса лекций. Задачи математической физики на примере задач тепл...»

«УДК 612.1-5:612.8:613.693:614.87 З. Ш. СМАГУЛОВА, С. Г. МАКАРУШКО, Е. С. ЕФАНОВА, Т. Д. КИМ,К. Т. ТАШЕНОВ (РГП "Институт физиологии человека и животных" КН МОН РК, г. Алматы) СОДЕРЖАНИЕ ОБЩЕГО БЕЛКА, АЛЬБУМИНА И ГЛЮКОЗЫ В ПЛАЗМЕ И СМ...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ СК РГУТиС УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ. "РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТУРИЗМА И СЕРВИСА" Лист 1 из 10 УТВЕРЖДАЮ Директор Института сервисных технологий И.Г.Чурилова "_" 20г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (СПО) ЕН.01 МАТЕМАТ...»

«КРАСНЕНКО ТАТЬЯНА ИЛЛАРИОНОВНА ВАНАДАТЫ ДВУХВАЛЕНТНЫХ МЕТАЛЛОВ: ТЕРМИЧЕСКИЕ И ХИМИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ, ФАЗОВЫЕ РАВНОВЕСИЯ Специальность 02.00.04 физическая химия Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора х...»

















 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.