WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 |

«СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Материалы Международной конференции Воронежская весенняя математическая школа ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ XXVIII (3–9 мая 2017 г.) Воронеж ...»

-- [ Страница 1 ] --

Воронежский государственный университет

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Математический институт им. В. А. Стеклова

Российской академии наук

Российский университет дружбы народов

СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ

ТЕОРИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Материалы

Международной конференции

Воронежская весенняя математическая школа

ПОНТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ XXVIII

(3–9 мая 2017 г.) Воронеж Издательский дом ВГУ УДК 517.53(97; 98) ББК 22.16 C56 Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 17–31–10042 мол_г

Программный к о м и т е т:

E. И. Моисеев (председатель) А. В. Арутюнов (зам. председателя), А. Д. Баев (зам. председателя), И. С. Ломов (зам. председателя), А. Е. Барабанов, А. В. Глушко, В. В. Жиков, В. И. Жуковский, В. Г. Задорожний, В. Г. Звягин, М. И. Каменский, В. А. Костин, Г. А. Курина, В. Д. Репников, В. И. Ряжских, Ю. И. Сапронов, Е. М. Семенов, А. П. Солдатов, А. И. Шашкин, А. С. Шамаев.

О р г к о м и т е т:

Е. И. Моисеев (председатель), Д. А. Ендовицкий (сопредседатель), В. А. Садовничий (сопредседатель), В. М. Филиппов (сопредседатель), А. В. Арутюнов (зам. председателя), А. Д. Баев (зам. председателя), И. С. Ломов (зам. председателя), В. Н. Попов (зам. председателя), А. П. Хромов (зам. председателя), И. В. Асташова, А. В. Боровских, М. Л. Гольдман, Я. М. Eрусалимский, М. С. Никольский, А. С. Печенцов, F. L. Pereira, А. Н. Покровский, Н. Х. Розов, С. А. Шабров, М. Ш. Бурлуцкая (ученый секретарь).



Современные методы теории краевых задач : материалы межC56 дународной конференции : Воронежская весенняя математическая школа Понтрягинские чтения XXVIII (3–9 мая 2017 г.) / Воронежский государственный университет ; Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова ; Математический институт им. В. А. Стеклова РАН ; Российский университет дружбы народов. Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017. 214 c.

ISBN 978-5-9273-2453-8 В сборнике представлены материалы докладов и лекций, включенных в программу Воронежской весенней математической школы. Тематика охватывает широкий спектр проблем качественной и спектральной теории дифференциальных уравнений, геометрии и анализа, моделирования, оптимального управления, теории игр и других смежных направлений, преподавания математики.

УДК 517.53(97; 98) ББК 22.16 c Воронежский государственный университет, 2017 c Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, 2017 c Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017 c Российский университет дружбы народов, 2017 ISBN 978-5-9273-2453-8 c Оформление. Издательский дом ВГУ, Оглавление Абдулрахман Х., Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А.

О потоках в двухресурсных сетях с магнитной достижимостью.......................... 11 Адукова Н.В., Шафранов Д.Е. Задача Шоуолтера – Сидорова для одной модели из теории фильтрации жидкости............................ 12 Аль-Кхазраджи Сундус Хатем Маджид Устойчивые конечно-разностные схемы расчета течения жидкости в трубе с дискретной пористостью........... 14 Андреищева Е.Н. Представление вещественных коэффициентов Тейлора аппроксимации обобщённой функции Шура.................





......... 16 Аристов А.И. Об одном неклассическом уравнении в частных производных..................... 17 Арутюнян Р.В. Математическое моделирование фазовых переходов в металлическом электроде......... 18 Бабич П.В., Левенштам В.Б. Восстановление высокочастотного свободного члена гиперболического уравнения по неполной асимптотике решения......... 20 Баев А.Д., Кобылинский П.А. Об одном свойстве весового псевдодифференциального оператора......... 21 Баев А.Д., Панков В.В. О существовании решения одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения................... 24 Баев А.Д., Работинская Н.И. О композиции некоторых псевдодифференциальных операторов с вырождением 27 Бакланов А.П. Об эквивалентности двух классов стратегий в одной задаче на максимин............. 31 Белоусов Ф.А. Существование и единственность периодических решений для функциональнодифференциальных уравнений. Матричная линеаризация......................... 34 Бильченко Г.Г., Бильченко Н.Г. Об одном специальном случае области экстремальных значений функционалов гиперзвуковой аэродинамики............ 35 Бильченко Г.Г., Бильченко Н.Г. Об одном специальном случае значения температурного фактора в точке торможения гиперзвукового потока........... 38 Бирюкова Е.И., Стерликова Д.В. Об операторах с инволюцией........................... 41 Бондаренко Н.П. О неполной обратной задаче для оператора Штурма-Лиувилля на графе без циклов..... 43 Бояркина И.А., Терехин П.А. Численная реализация алгоритма разложения по аффинному фрейму..... 44 Булинская Е.В. Асимптотически оптимальные стратегии при неполной информации................ 46 Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальные уравнения с инволюцией в классе разрывных решений 47 Бурлуцкая М.Ш., Павлюк Я.П. Об операторе ШтурмаЛиувилля на графе.................... 49 Бутов В.В. Особенности настройки нейросетевых моделей классификации....................... 50 Васильев В.Б. Об эллиптических операторах на компактных многообразиях.................... 50 Виноградова П.В., Королева Т.Э. О сильной разрешимости одного нелинейного параболического уравнения... 52 Восковская Н.И. Об элементарном исследовании устойчивости периодического решения одного SWEEPING процесса.......................... 53 Гадзова Л.Х. Краевые задачи для дифференциального уравнения с оператором дробного дискретно распределенного дифференцирования............. 54 Гладышев Ю.А., Калманович В.В. Об одном методе построения функции Грина для многослойной среды.. 55 Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Двухкластерная синхронизация в полносвязных сетях релаксационных осцилляторов..................... 58 Горбачев Д.В., Тихонов С.Ю. Об одном многомерном неравенстве для положительных положительно определенных функций...................... 59 Грязев В.М. Особенности моделирования шума реактивных струй на основе уравнений RANS......... 59 Грязев В.М., Карабасов С.А., Горбачев Д.В. Зависимость положения эффективных источников шума в горячей турбулентной струе от температуры.......... 61 Ермолаев М.Б., Симонов П.М. Признаки устойчивости первого порядка уравнений с авторегулируемым запаздыванием........................ 62 Ерусалимский Я.М. Случайные блуждания по 2-2 путям на графе-решетке..................... 65 Жук Т.А., Головко Н.И. Численный анализ СМО с конечным накопителем, диффузионной интенсивностью входного потока и нулевым коэффициентом сноса.. 66 Задорожная Н.С., Клодина Т.В. Упрощенная модель кислородного режима водоема................ 67 Закора Д.А. О p-базисности системы корневых элементов в одной задаче вязкоупругости............. 69 Залукаева Ж.О. Моделирование колебаний разрывной струны с упругим закреплением на концах...... 70 Залыгаева М.Е., Руденко А.Г. Об одной задаче о наилучшем выборе в случае неизвестного числа кандидатов 71 Зарубин А.Н. Краевая задача для функционально– дифференциального уравнения Трикоми....... 72 Зверева М.Б. Моделирование колебаний системы струн на графе с вязкоупругой пружиной в узле и краевыми условиями 3 рода..................... 73 Зверева М.Б., Каменский М.И. Моделирование колебаний системы струн на графе с условием гистерезисного типа в узле......................... 74 Зверева М.Б., Мартиросян М.М. Задача управления для волнового уравнения на графе с нелинейным условием в узле и краевым условием третьего рода..... 75 Звягин А.В. Оптимальное управление с обратной связью для термо-модели Фойгта................ 76 Звягин В.Г., Орлов В.П. О слабой разрешимости дробной модели вязкоупругости Фойгта.
............ 77 Зубов И.С. Детектирование гомотопически нетривиальных петель на замкнутой 2-мерной поверхности... 78 Зубова С.П., Раецкая Е.В. Решение многоточечных задач управления для линейной дескрипторной системы.. 80 Илолов М., Гулджонов Д.Н. О задаче Коши для дробных интегро-дифференциальных уравнений и некоторых приложений........................ 81 Калинина А.Г. Корреляционный анализ значений частоты сердечных сокращений и стресс–индекса........ 82 Калитвин А.С. Об операторах с частными интегралами в пространствах функций двух переменных ограниченной вариации...................... 83 Калитвин А.С., Трусова Н.И. Липшицевость операторов Гаммерштейна с частными интегралами в C (1),n (D). 85 Калитвин В.А. О численном решении одного класса уравнений с частным интегралом и с оператором Гаммерштейна........................... 86 Катрахова А.А., Купцов В.С. Об использовании модифицированных функций Бесселя при исследовании математических моделей систем массового обслуживания............................ 88 Клещина О.И. Ляпуновские внедиагонально неотрицательные матрицы..................... 90 Ковалевский Р.А. О поведении на бесконечности весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом, зависящим от параметра.......... 95 Ковалевский Р.А. О свойствах “следов” одного класса весовых псевдодифференциальных операторов с символом, зависящем от параметра.............. 97 Ковалевский Р.А. О связи одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов и одного класса интегральных операторов............... 99 Козко А.И. О нижней границе спектра оператора Штурма-Лиувилля в L2 (R+ ) с граничным условием y (0) = 0........................... 102 Колесникова И.В., Костин Д.В., Сапронов Ю.И. О зарождении закритических прогибов продольно сжатой балки на двойном упругом основании (в обобщенной модели Власова-Леонтьева)............... 104 Корнев В.В., Хромов А.П. О сходимости метода Фурье в смешанной задаче для волнового уравнения со свободным и закрепленным концами............ 106 Королева О.А. Теорема Жордана-Дирихле для одного интегрального оператора.................. 108 Костина Л.Н. Нахождение среднего значения задачи переноса с помощью численных методов......... 109 Куриленко С.М. Об ограниченности операторов Теплица в весовых пространствах с.л. соболева голоморфных в единичном шаре функций............... 111 Литвинов Д.А., Зубова С.П. Поиск матрицы обратной связи для линейных динамических систем....... 112 Ломовцев Ф.Е. Необходимая гладкость правой части общего одномерного волнового уравнения для существования производных высших порядков его решений в четверти плоскости................ 114 Лукьянова Т.С., Уксусов С.Н. Решение задачи теории игр методом жардановых исключений........... 116 Мещеряков В.В. Топология многообразий матриц ранга один............................. 117 Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика квазидвумерных топологических вихрей в (3+1)-мерной нелинейной сигма-модели..................... 118 Мустафокулов Р., Мирзоев Дж.А. Об одном линейном уравнении типа Эйлера.................. 120 Некрасова И.В. Модель фильтрации пороупругой среде с переменной структурой.................. 122 Нефедов Н.Н. Асимптотический принцип сравнения в исследовании решений с внутренними слоями многомерных уравнений реакция-диффузия-адвекция... 123 Переходцева Э.В. О модели гидродинамикостатистического прогноза сильных снегопадов по территории западной и средней сибири и технология автоматизированного прогноза............. 124 Потапов М.К., Симонов Б.В. взаимосвязь между смешанными модулями гладкости в метриках L1 и Lq, 1q.......................... 126 Преображенская М.М. Релаксационные колебания в модели кольцевой нейросети.................. 130 Прокопьева Д.Б., Жук Т.А., Головко Н.И. Уравнения для распределения числа заявок в СМО с конечным накопителем, с диффузионной интенсивностью входного потока и нулевым коэффициентом сноса........ 131 Псху А.В. О стабилизации решений задачи Коши для дробного диффузионно-волнового уравнения..... 133 Пчелова А.З. Об одном варианте оценки погрешности приближенного решения задачи коши для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка в окрестности подвижной особой точки........ 134 Райцин А.М. Методы оценки степени равномерности распределения интенсивности лазерных пучков..... 136 Роде Д.А. О слабой разрешимости обобщенной модели вязкоупругости Фойгта.................... 138 Рубинштейн А.И. О двух элементарных теоретико– числовых задачах.
.................... 139 Рукодайная М.С. О решении одной задачи оптимизации дохода............................ 141 Рыжкова Е.В. О некоторых краевых задачах для дифференциальных уравнений высокого порядка...... 142 Рыхлов В.С. О кратной полноте корневых функций обыкновенных дифференциальных пучков с постоянными коэффициентами..................... 143 Савин А.Ю., Стернин Б.Ю. Относительная эллиптическая теория для подмногообразий с особенностями и её приложения....................... 146 Савчук А.М. Операторы высокого порядка с коэффициентами распределениями. асимптотика фундаментальной системы решений................ 149 Садовничая И.В. Равносходимость и базисность для операторов Штурма–Лиувилля и Дирака......... 150 Семёнов В.В. Сильная сходимость гибридного метода для уравнений с монотонными нелипшицевыми операторами............................. 151 Симонов Б.В., Симонова И.Э. Оценки норм сумм одного класса двойных тригонометрических рядов по косинусам............................ 152 Скороходов В.А. Об уравнениях математической физики на графах с нестандартной достижимостью и её аналогами............................ 153 Стородубцева Т.Н., Огарков В.Б., Аксенов А.А. Теория термоупругости для несжимамых материалов.... 154 Сумин В.И., Филюшкина М.С. Условия сохранения глобальной разрешимости начально-краевой задачи для полулинейного параболического уравнения с управляемой главной частью.................. 158 Усков В.И. Асимптотическое решение задачи Коши для дескрипторного уравнения с возмущением в правой части............................ 161 Фомин В.И. О линеаризации сферической поверхности.. 162 Фролова Е.С., Жук Т.А., Головко Н.И. Уравнения для незавершенной работы в СМО с бесконечным накопителем, диффузионной интенсивностью входного потока и нулевым коэффициентом сноса......... 163 Фурсова К.О., Найдюк Ф.О. Метод решения волновой задачи с сингулярностью.................. 165 Хромов А.П. Волновое уравнение с ненулевой начальной скоростью.......................... 166 Хуштова Ф.Г. Первая и вторая краевые задачи в полуполосе для уравнения дробной диффузии с оператором Бесселя........................... 170 Царьков И.Г. Структура особого множества поверхности. 171 Чан Тхи Нгок Теорема об обратной функции при ослабленных предположениях гладкости и регулярности. 173 Черникова А.С. Стационарное распределение тепла на стратифицированном множестве с трещиной..... 174 Чернов А.В. Условия сохранения разрешимости полулинейного уравнения глобальной электрической цепи. 175 Шамолин М.В. Трансцендентные первые интегралы динамических систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия........... 178 Шелковой А.Н. Асимптотика собственных значений интегро-дифференциального оператора с вырожденным ядром......................... 179 Шмырин А.М., Мишачев Н.М., Канюгина А.С. Адаптивная блочно-регрессионная окрестностная модель стадии диффузии производства сахара.......... 180 Шмырин А.М., Ярцев А.Г. Нейроокрестностное моделирование объектов....................... 181 Piskarev S. On the fractional Cauchy problem with the special generators.......................... 182 Буйвалова М.А., Давыдова М.Б. О достаточных условиях разрешимости граничной задачи шестого порядка с негладкими решениями и сильной нелинейностью.. 183 Головко H.И. О применении метода Фурье к разнопорядковой математической модели.............. 185 Джангибеков Г., Одинабеков Д.М., Худжаназарова Г. О некоторых классах двумерных сингулярных интегральных операторах и их приложениях к краевым задачам........................... 187 Serov V.S. Born approximation for the magnetic Schrdingero operator........................... 188 Костин В.А., Небольсина М.Н., Али Самир Ибрахим О точных решениях краевой задачи Неймана для уравнения теплопроводности с оператором адамара без начальных условий.................... 192 Ежак С.С., Тельнова М.Ю. Об оценках сверху первого собственного значения одной задачи Штурма – Лиувилля с весовым интегральным условием....... 193 Рогачев В.В. О существовании решений с заданным числом нулей на заданном отрезке нелинейного уравнения типа Эмдена Фаулера высокого порядка с переменным коэффициентом................ 194 Филиновский А.В. Двусторонние оценки собственных функций эллиптических краевых задач........ 195 Дулина К.М., Корчемкина Т.А. О поведении решений уравнений типа Эмдена–Фаулера второго порядка, нелинейного относительно производной........ 197 Асташова И.В. Асимптотическoe поведение blow-up решений слабо нелинейных уравнений типа Эмдена – Фаулера........................... 200 Черепанов А.А. PhaPl: программное обеспечение для автоматического построения и исследования фазовых портретов автономных динамических систем второго порядка........................... 202 Боровских А.В. Циклы-утки в уравнении типа Ван-дерПоля с кусочно-линейной характеристикой...... 203 Орлов С.М. Об одной расширенной задаче программного наведения.......................... 205 Абдурагимов Г.Э. О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного линейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка............... 206 Барановский Е.С. Уравнения движения жидкостей Кельвина–Фойгта с краевым условием для завихренности............................ 207 Рябенко А.С., Шамрицкая Е.Е. Исследование зависимости решения краевой задачи с параметрами, порожденной первой начально-краевой задачей для волнового уравнения в полосе, от параметров........ 208

О ПОТОКАХ В ДВУХРЕСУРСНЫХ СЕТЯХ

С МАГНИТНОЙ ДОСТИЖИМОСТЬЮ

Х. Абдулрахман, Я.М. Ерусалимский, В.А. Скороходов (Ростов-на-Дону) abdulrahm.haidar@mail.ru, erusim@mail.ru, pdvaskor@yandex.ru

–  –  –

где F l (v, t) величина ресурсного потока l-того ресурса, выходящего по дуге v в момент времени t.

Разработаны методы распределения ресурсов в двухресурсных сетях с магнитной достижимостью и одной пропускной способностью, и с двумя пропускной и для этого рассмотрены двух случаях:

- первый случай, когда первый ресурс глобально является главным.

- второй случай, когда первый ресурс является главным, но с учетом магнитности.

Разработаны методы нахождения порогового значения первого (главного) ресурса в двухресурсных сетях с магнитной достижимостью, для которого оба ресурса распределяются независимо друг от друга.

Литература

1. Скороходов В.А. Задача нахождения порогового значения в эргодической ресурсной сети / В. А. Скороходов // Управление большими системами. Выпуск 63. М. : ИПУ РАН, 2016. С. 6– 23.

c Абдулрахман Х., Ерусалимский Я.М., Скороходов В.А., 2017

ЗАДАЧА ШОУОЛТЕРА – СИДОРОВА ДЛЯ ОДНОЙ

МОДЕЛИ ИЗ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ

Н.В. Адукова, Д.Е. Шафранов (Челябинск) adnatasha94@mail.ru, shafranovde@susu.ru Рассмотрим линейное однородное уравнение Баренблатта – Желтова – Кочиной ( + )ut = u. (1) Впервые оно было получено в [1]. Здесь u = u(x, t) – давление вязкоупругой жидкости в трещиновато-пористой среде, а коэффициенты R \ {0}, R характеризуют свойства среды и вязкоупругие свойства жидкости соответственно.

Начально-краевые задачи для уравнения (1) и его обобщений широко исследовалась в различных постановках. Например, задача Коши u(0) = u0 (2) в ограниченной области рассмотрена в работе [2] как конкретная интерпретация уравнения cоболевского типа

–  –  –

В силу фредгольмовости оператора L и (L, 0)-ограниченности оператора M справедлива Теорема. При любых R \ {0}, R и u0 U 1 существует единственно решение u C (R, U 1 ) задачи (4) для уравнения (1).

Литература

1. Баренблатт Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина // Приклад. матем. и механика. 1960. Т. 23, вып. 5. С. 58–73.

2. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г. А. Свридюк // Успехи мат. наук. 1994. Т. 4, вып. 4. С. 47– 74.

3. Свиридюк Г.А. Задача Коши для уравнения Баренблатта – Желтова – Кочиной на гладком многообразии / Г. А. Свиридюк, Д. Е. Шафранов // Вестник Челябинского университета. Сер. Математика, механика, информатика. 2003. Вып. 3. С. 171–177.

4. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли / Ф. Уорнер. М. : Мир, 1987. 302 с.

УСТОЙЧИВЫЕ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ

С ДИСКРЕТНОЙ ПОРИСТОСТЬЮ

Аль-Кхазраджи Сундус Хатем Маджид (Воронеж) saohhatem@yahoo.com

–  –  –

P (x, 0) = P0 (x); P (0, t) = P1 (t); P (1, t) = P2 (t) Здесь: P = P (x, t) - давление; [0, 1] - объемная доля проточных зон; – коэффициент массообмена между проточной и застойной зонами; a – коэффициент пьезопроводимости; x – продольная координата; t – время.

Явные или неявные методы для построения численного решения начальной граничной задачи для (1) для случая течения с постоянным значением обладают погрешностью порядка ( x2 ) при замене производных конечными разностями и являются либо условно устойчивыми x2 для явных конечно-разностных схем или безусловно устойчивыми для случая неявных конечно-разностных схем.

В случае течения жидкости в слоистой пористой среде коэффициент a – пьезопроводимости и – объемной доли проточных вод будут иметь кусочно-непрерывный характер и в точках M контакта материалов различной пористости имеет место разрыв первого рода для a(М) и (M )

–  –  –

Физический смысл условия (4) состоит в непрерывности течения жидкости в сечении М. В конечно-разностном виде уравнение (4) на сетке (, h) в точке Mk разрыва параметров a, примет вид

–  –  –

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ

КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕЙЛОРА АППРОКСИМАЦИИ

ОБОБЩЁННОЙ ФУНКЦИИ ШУРА

Е.Н. Андреищева (Севастополь) anda_el@mail.ru Рассматривается s(z) S обобщённая функция Шура, голоморфная в точке z = 0, для которой эрмитово ядро

–  –  –

новлены достаточные условия для того чтобы число T было конечным или бесконечным, в случае T сделаны верхние и нижние c Аристов А.И., 2017 оценки этого числа. В частности, было показано, что из условия µ = 0 вытекают бесконечность величины T и равномерная по времени ограниченность обобщенного решения по норме H0 (), причем размерность x в этом рассуждении существенной роли не играла.

В связи с этим интересен вопрос построения точных решений указанного уравнения, в частности, соответствующих µ = 0.

Новые результаты состоят в следующем. Рассмотрим уравнение (u u) + bu au + (, ) u2 = 0, (1) t действительнозначная функция, зависящая от x RN и где u t 0; параметры a, b R и RN постоянны, причем = 0.

Теорема 1. Существуют точные решения (1), имеющие следующие типы качественного поведения: обращение в бесконечность за конечное время; ограниченность на любом конечном промежутке времени, но не глобально; глобальная по времени ограниченность.

Построено 11 классов точных решений (1), ими проиллюстрированы все названные в теореме типы качественного поведения.

Литература

1. Аристов А.И. Оценки времени существования решений начально-краевой задачи для одного нелинейного соболевского уравнения с переменным коэффициентом / А. И. Аристов // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48, № 6. С. 781–789.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ

ПЕРЕХОДОВ В МЕТАЛЛИЧЕСКОМ ЭЛЕКТРОДЕ

Р.В. Арутюнян (Реутов) rob57@mail.ru В работе исследовано влияние нелинейностей теплофизических параметров и фазовых переходов плавления и испарения на электрические и тепловые процессы при нагреве металлического электрода сильноточным импульсом. Расчет полей осуществляется на основе сквозного энтальпийного метода.

При математическом моделировании рассматриваются три этапа теплового процесса: нагрев материала до температуры плавления (твердая фаза); нагрев расплава и дальнейшее проплавление c Арутюнян Р.В., 2017 твердой части материала (жидкая фаза); начало интенсивного испарения и кипения материала (фаза испарения и кипения).

Для целей компьютерного моделирования применялся численный метод сквозного счета [1-3], основанный на преобразовании многофазной задачи Стефана к энтальпийному виду с сосредоточенной теплоемкостью.

Разработаны математическая модель, конечно-разностный метод и программы для ЭВМ, позволяющие эффективно осуществлять компьютерное моделирование тепло- и электрофизических процессов при воздействии сильноточного импульса на металлические электроды.

Исследовано влияние нелинейностей теплофизических параметров и фазовых переходов плавления и испарения на значения температурного и электрического полей.

В работе исследовались также потери на радиационное излучение и конвективное охлаждение, которые составляют порядка 1 % и являются пренебрежимыми.

Установлено, что усреднение коэффициентов, учет их нелинейности и наличия фазовых переходов значительно влияют на расчетные значения температурного поля.

Литература

1. Некрасов С.А. Математическое моделирование процессов тепло-, массо- и электропереноса в коммутационной и электроразрядной аппаратуре : дис.... канд. техн. наук. Новочеркасск, 1992.

2. Самарский А.А. Экономичные разностные схемы решения задачи Стефана / А.А. Самарский, Б.Д. Моисеенко // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, № 6. С. 816–827.

3. Будак Б.М. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана / Б.М. Будак, Е.Н. Соловьева, А.Б. Успенский // Журнал вычисл. математики и матем. физики.

1965. Т. 5, № 5. С. 828–840.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО

СВОБОДНОГО ЧЛЕНА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО

УРАВНЕНИЯ ПО НЕПОЛНОЙ АСИМПТОТИКЕ

РЕШЕНИЯ

П.В. Бабич, В.Б. Левенштам (Ростов-на-Дону, Владикавказ) vleven@math.rsu.ru В докладе будет рассмотрена начально-краевая задача для гиперболического уравнения с неизвестной высокочастотной правой частью (свободным членом). Решается вопрос о ее восстановлении при тех или иных дополнительных условиях, наложенных на решение. Такого рода задачи относятся к известному широкому классу обратных коэффициентных задач.

Обратные задачи представляют важное активно развиваемое направление современной математики (см., например, монографии [1-3] и библиографии в них). Однако задачи с быстро осциллирующими слагаемыми в этой теории почти не представлены. В настоящее время опубликована, по-видимому, лишь одна работа [4] об обратной задаче с быстро осциллирующими данными.

В данном докладе задача о восстановлении свободного члена вида f (x, t)r(t, t), 1, гиперболического уравнения решена в следующих четырех случаях: 1) не известна функция r(t, ); 2) не известна функция f (x, t); 3) в паре f, r известно лишь среднее r0 функции r(t, ) по ; 4) не известны оба сомножителя f и r. Каждая из этих задач снабжена, разумеется, соответствующими дополнительными условиями.

Литература

1. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. М. : МГУ, 1984.

2. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач / А.М. Денисов. М. : Наука, 1994.

3. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. Новосибирск : Сиб. науч. изд–во, 2008.

4. Babich P.V. Direct and inverse asymptotic problems highfrequency terms / P.V. Babich, V.B. Levenshtam // Asymptotic Analysis. 2016. V. 97. P. 329–336.

c Бабич П.В., Левенштам В.Б., 2017

–  –  –

При = 1 теорема, аналогичная теореме 1, доказана в [3]. Некоторые другие свойства весовых псевдодифференциальных оператоm ров с символом из класса S, () доказаны в [4] - [8].

Литература

1. Баев А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Доклады Академии наук. 1982. Т. 265, № 5. С. 1044–1046.

2. Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев// Доклады Академии наук. 2008. Т. 422, № 6.

С. 727–728.

3. Баев А.Д. Априорные оценки и существование решений краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2010. № 1.

С. 162–168.

4. Баев А.Д. О некоторых свойствах одного класса псевдодифференциальных операторов с вырождением / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 2. С. 66–73.

5. Баев А.Д. О свойствах коммутации одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 4. С. 102–108.

6. Баев А.Д. О некоторых свойствах одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Доклады Академии наук. 2015. Т. 460, № 2.

С. 133–135.

7. Баев А.Д. Теоремы об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 1. С. 39–49.

8. Баев А.Д. О некоторых краевых задачах для псевдодифференциальных уравнений с вырождением / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Доклады Академии наук. 2016. Т. 466, № 4.

С. 385–388.

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ КРАЕВОЙ

ЗАДАЧИ В ПОЛОСЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ1

А.Д. Баев, В.В. Панков (Воронеж) В настоящее время интенсивно исследуются процессы с вырождением, то есть процессы, в которых граница области оказывает существенное влияние на процессы, происходящие вблизи границы. В этом случае на границе области может меняться как тип уравнения, так и его порядок. В данной работе рассматриваются краевые задачи для уравнений, являющихся эллиптическими внутри области, которые на границе области меняют порядок по одной из переменных. К таким уравнениям приводит математическое моделирование процессов фильтрации идеального баротропного газа в неоднородной анизотропной пористой среде, различных процессов гидродинамики с сингулярной особенностью у параметров. Подобные уравнения возникают при моделировании процесса распространения примеси в жидкокристаллическом растворе, находящемся во внешнем электрическом поле, при исследовании стационарной задачи о контакте мягкой оболочки с препятствием, при расчете линейных стационарных магнитных осесимметричных полей в неоднородных анизотропных средах. Такие уравнения являются, например, обобщением сингулярно возмущенных уравнений конвекции – диффузии. В работе В.П. Глушко [1] были получены оценки решений общей краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка, вырождающегося а границе области в уравнение первого порядка по переменной t. В работе А.Д Баева, В.П. Глушко [2] были получены априорные оценки общей краевой задачи для одного вырождающегося уравнения высокого порядка, которое вырождается на границе области в уравнение второго порядка по переменной t. Уравнения, вырождающиеся в уравнения третьего порядка по переменной t, были изучены в [3], [4]. Некоторые другие вырождающиеся уравнения были рассмотрены в [5]-[7].

В настоящей работе получены априорные оценки решений одной краевой задачи для уравнения, частным случаем которого является уравнение, рассмотренное в [2].

1

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037).

c Баев А.Д., Панков В.В., 2017

–  –  –

существует единственное решение v(x, t) задачи (1)–(3), принадлеn жащее пространству Hs,,m (Rd ).

Литература

1. Глушко В.П. Априорные оценки решений краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В.П. Глушко; Воронеж. гос. ун-т. Воронеж, 1979.

47 с. Деп. в ВИНИТИ 27.03.79, № 1048–79.

2. Баев А.Д. Корректная разрешимость общих краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений / А.Д. Баев, В.П. Глушко; Воронеж. гос. ун-т. Воронеж, 1979.

60 с. Деп. в ВИНИТИ 9.02.79, № 536–79.

3. Баев А.Д. Априорная оценка решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А.Д. Баев, С.С. Бунеев // Вестник Воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика. 2012.

№ 1. С. 81–92.

4. Баев А.Д. Об одном классе краевых задач в полосе для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев, С.С. Бунеев // Доклады академии наук. 2013.

Т. 448, №1. С. 7–8.

5. Баев А.Д. О некоторых свойствах одного класса псевдодифференциальных операторов с вырождением / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 2. С. 66–73.

6. Баев А.Д. О свойствах коммутации одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 4. С. 102–108.

7. Баев А.Д. Теоремы об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 1. С. 39–49.

О КОМПОЗИЦИИ НЕКОТОРЫХ

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С ВЫРОЖДЕНИЕМ1

А.Д. Баев, Н.И. Работинская (Воронеж) Исследование теории вырождающихся псевдодифференциальных уравнений в настоящее время является актуальной задачей в связи с использованием этих операторов при доказательстве теорем о существовании решений и получении коэрцитивных априорных оценок решений краевых задач для вырождающихся уравнений.

Такие краевые задачи возникают, например, при моделировании процессов гидродинамики с сингулярными особенностями. В наРабота выполнена при финансовой поддержке гранта Российского научного фонда №16-11-10125, выполняемого в Воронежском госуниверситете.

c Баев А.Д., Работинская Н.И., 2017

–  –  –

Это равенство позволяет расширить преобразование (1) до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств L2 (R1 ) и L2 (R+ ), а также рассмотреть это преобра

–  –  –

если функция p(t,, ) является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной t и по переменной R1. Причем при всех j = 0, 1, 2,..., l = 0, 1, 2,... справедливы оценки

–  –  –

число, [0, 1). Тогда весовой псевдодифференциальный оператор P (t, Dx, D,t ) для любого действительного s есть ограниченный n n оператор из Hs+m, (R+ ) в Hs, (R+ ).

Аналогичные свойства для других классов псевдодифференциальных операторов доказаны в [1] - [8].

Литература

1. Баев А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Доклады Академии наук. 1982. Т. 265, № 5. С. 1044–1046.

2. Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев// Доклады Академии наук. 2008. Т. 422, № 6.

С. 727–728.

3. Баев А.Д. Априорные оценки и существование решений краевых задач в полупространстве для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2010. № 1.

С. 162–168.

4. Баев А.Д. О некоторых свойствах одного класса псевдодифференциальных операторов с вырождением / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 2. С. 66–73.

5. Баев А.Д. О свойствах коммутации одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 4. С. 102–108.

6. Баев А.Д. О некоторых свойствах одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Доклады Академии наук. 2015. Т. 460, № 2.

С. 133–135.

7. Баев А.Д. Теоремы об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 1. С. 39–49.

8. Баев А.Д. О некоторых краевых задачах для псевдодифференциальных уравнений с вырождением / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Доклады Академии наук. 2016. Т. 466, № 4.

С. 385–388.

ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ КЛАССОВ

СТРАТЕГИЙ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ НА МАКСИМИН1

А.П. Бакланов (Екатеринбург) artem.baklanov@gmail.com Рассматривается одна игровая задача программного управления с фиксированным временем окончания и импульсными ограничениями. Исследуются представления максимина при асимптотическом режиме, вызванным требованием на малую длительность управления. С этой целью используется новая конструкция расширения в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер, предложенная в [1].

Отметим, что впервые расширение в классе к.-а. мер было предложено А.Г. Ченцовым (см., например, [2]).

Пусть E непустое множество, (X, ) топологическое пространство, r X E, E база фильтра в E, тогда множество притяжения (МП, см. [2]) есть (as)[X,, r, E] = LE cl(r1 (L), ) =.

В дальнейшем фиксируем две линейные управляемые системы x(t) = A(t)x(t) + u(t)b(t), y(t) = B(t)y(t) + v(t)c(t) с управлениями u(t), v(t) соответственно первого и второго игрока.

Фазовое пространство первой системы (второй системы) полагаем k-мерным (l-мерным), промежуток управления совпадает с [0, 1], а начальные условия удовлетворяют x(0) = x0 Rk (y(0) = y0 Rl ).

Полагаем, что при t [0, 1] A(t) k k-матрица и B(t) l lматрица, все компоненты которых непрерывные функции на отрезке [0, 1]. Каждая компонента bi = bi (·) (cj = cj (·)) векторфункции b (вектор-функции c) является кусочно-постоянной и непрерывной справа функцией. Управления u(t) : I R, v(t) : I R, I = [0, 1[ также полагаем непрерывными справа. Более того, их выбор удовлетворяет условиям (У1) |u(t)|dt = 1, |v(t)|dt = 1,

–  –  –

F = {u F|t I : { I|u( ) = 0} [t, t + [} при 0. По формуле Коши определены траектории u (t) и v (t) управляемых систем игроков и функции терминального состояния систем от управления u и v, соответственно g и h. Задана непрерывная функция платы от терминальных состояний : Rk Rl R.

Рассмотрим игровые задачи:

–  –  –

Следовательно, условия (У1) и (У2) эквивалентны с точки зрения значения асимтотического максимина. Согласно результатам [3] асимптотический максимин V является пределом реализуемых максиминов: 0 0

–  –  –

Следовательно, множество G обобщенных стратегий-мер позволяют вычислить асимптотику реализуемых максиминов при условиях (У1) и (У2), которая совпадает в обоих случаях.

Литература

1. Бакланов А.П. Об одном свойстве плотности в пространствах слабо абсолютно непрерывных мер. In: A.A. Makhnev, S.F. Pravdin (eds.): Proceedings of the 47th International Youth Schoolconference “Modern Problems in Mathematics and its Applications”, Yekaterinburg, Russia, pp. 62–71.

2. Chentsov A.G. Asymptotic attainability. Dordrecht: Kluwer, 1997.

3. Ченцов А.Г. О представлении максимина в игровой задаче с ограничениями асимптотического характера / А.Г. Ченцов // Вестник Удмуртского Университета. 2010. Вып. 3. C. 104–119.

4. Бакланов A.П. Об одной игровой задаче асимптотически импульсного управления / A.П. Бакланов // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки.

2011. Вып. 3. С. 3–14.

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ. МАТРИЧНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ1

Ф.А. Белоусов (Воронеж) sky_tt@list.ru Рассматриваются функционально-дифференциальные уравнения вида <

–  –  –

где f (·) C(1),n (RRns ; Rn ) - 2-периодическая по времени функция ( f (·) = g(·) s Aj x(t + j ) ) со своей константой Липшица j=1 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 16-01и № 16-36-00338).

c Белоусов Ф.А., 2017 Lf. Матрицы Aj Rn Rn, j {1,..., s} - матрицы удовлетворяющие условию отсутствия резонансности, с помощью которых осуществляется линеаризация.

Получены условия существования и единственности 2-периодических решений уравнений вида (1), сформулированные в терминах параметров выделенной линейной части (матриц Aj Rn Rn, j {1,..., s}), отклонений j, j {1,..., s} и константы Липшица Lf нелинейной функции f (·).

Поставлена вариационная задача для нахождения наилучших линеаризаций.

Литература

1. Бекларян Л.А. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход / Л.А. Бекларян. М. :

Факториал Пресс, 2007. 288 с.

2. Бекларян Л.А. Периодические решения для функциональнодифференциальных уравнений точечного типа / Л.А. Бекларян, Ф.А. Белоусов // Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 12. С. 1565–1579.

3. Полякова Л.А. Периодические решения нелинейных дифференциально-разносных уравнений / Л.А. Полякова // Известия РАЕН, Дифференциальные уравнения. 2006. № 11.

С. 179–182.

4. Полякова Л.А. Общий принцип сжимающих отображений и периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений : дис.... канд. физ.-мат. наук : 01.01.02, РГР ОД, 61:07-1/387 / Л.А. Полякова. Воронеж, 2006. 126 с.

ОБ ОДНОМ СПЕЦИАЛЬНОМ СЛУЧАЕ ОБЛАСТИ

ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛОВ

ГИПЕРЗВУКОВОЙ АЭРОДИНАМИКИ

Г.Г. Бильченко, Н.Г. Бильченко (Казань) ggbil2@gmail.com, bilchnat@gmail.com

–  –  –

c Бильченко Г.Г., Бильченко Н.Г., 2017 m 1 0, 1 1; 3) управления на X1 в виде элементов [5]: вдув m(x) = mj (x) в ламинарный пограничный слой (ПС), температурный фактор (ТФ) (x) = j (x) поверхности, магнитное поле s(x), удовлетворяющие условиям (j = 1,..., n1 )

–  –  –

Замечание. Далее и s предполагаются фиксированными, обозначается зависимость только от m, варьируемого в условиях (1).

2. Для N = inf N (m), N = sup N (m) и Nc N ;N обозначим

–  –  –

является боковой поверхностью множества T (Nmin, Nmax ). Часть проекции S на плоскость (Q; N ), соответствующая Q(Nc ); Nc, т.е. = 0 в (8) и (9), приведена в [4].

3. В отличие от [1] предложено для заданных [6] контрольного ТП q = (qj )j=0,...,n2 и величин 0 и p [1; +] найти множества

–  –  –

4. Обсуждаются результаты вычислительных экспериментов по построению областей экстремальных значений S.

Литература

1. Бильченко Г.Г. Построение области экстремальных значений функционалов / Г.Г. Бильченко, Н.Г. Бильченко // “Герценовские чтения 2016. Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования” в электронном журнале “Дифференциальные уравнения и процессы управления”. 2016. № 2, ч. 2. С. 56–61. URL: http://www.

math.spbu.ru/dijournal/pdf/herzen2016.pdf

2. Бильченко Н.Г. Вычислительные эксперименты в задачах оптимального управления тепломассообменом на проницаемых поверхностях при гиперзвуковых режимах полёта / Н.Г. Бильченко // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. : Физика. Математика. 2015.

№ 1. С. 83–94.

3. Бильченко Н.Г. Вычислительные эксперименты в задачах оптимального управления тепломассообменом на проницаемых поверхностях тел вращения при гиперзвуковых режимах полёта / Н.Г. Бильченко // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. : Системный анализ и информационные технологии. 2015. № 1. С. 5–8.

4. Бильченко Н.Г. Вычислительные эксперименты в задачах оптимального управления тепломассообменом на проницаемых поверхностях при гиперзвуковых режимах полёта : сравнительный анализ применения “простых” законов вдува / Н.Г. Бильченко // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. : Физика. Математика. 2015.

№ 1. С. 95–102.

5. Бильченко Г.Г. Классы решений задач оптимального управления пограничным слоем на проницаемых поверхностях гиперзвуковых летательных аппаратов / Г.Г. Бильченко, Н.Г. Бильченко // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна 2016 : материалы международной конференции (Воронеж, 25 – 31 января 2016 г.) / под ред. В.А. Костина. Воронеж : Научная книга, 2016. С. 82–86.

6. Бильченко Г.Г. Обратные задачи тепломассообмена на проницаемых поверхностях гиперзвуковых летательных аппаратов. I.

О некоторых постановках и возможности восстановления управления / Г.Г. Бильченко, Н.Г. Бильченко // Вестник Воронеж. гос.

ун-та. Сер. : Системный анализ и информационные технологии.

2016. № 4. С. 5–12.

7. Бильченко Г.Г. Об обратных задачах тепломассообмена на проницаемых поверхностях гиперзвуковых летательных аппаратов / Г. Г. Бильченко, Н. Г. Бильченко // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Междунар. конф.

Воронеж. зимн. мат. школа (26 янв. – 1 февр. 2017 г.) Воронеж :

Изд. дом ВГУ, 2017. С. 39–44.

ОБ ОДНОМ СПЕЦИАЛЬНОМ СЛУЧАЕ ЗНАЧЕНИЯ

ТЕМПЕРАТУРНОГО ФАКТОРА В ТОЧКЕ

ТОРМОЖЕНИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОТОКА

Г.Г. Бильченко, Н.Г. Бильченко (Казань) ggbil2@gmail.com, bilchnat@gmail.com Данная работа продолжает исследования [1] свойств математической модели ламинарного пограничного слоя электропроводящеc Бильченко Г.Г., Бильченко Н.Г., 2017 го газа на проницаемых поверхностях гиперзвуковых летательных аппаратов [2].

1. В прямой задаче [3] тепломассообмена для боковой поверхности прямого кругового цилиндра алгебраическая система (15) из [2] имеет вид:

–  –  –

где qj L(0, Tj ) комплекснозначные функции, называемые потенциалами.

Обозначим через b число граничных вершин дерева G. В работе [1] В.А. Юрко показал, что потенциалы [qj ]m на дереве G одноj=1 значно определяются спектрами b краевых задач для системы (1) с различными краевыми условиями в граничных вершинах и стандартными условиями склейки во внутренних вершинах. Также в [1] был предложен алгоритм восстановления потенциала по спектрам, основанный на методе спектральных отображений.

В данной работе мы предполагаем, что потенциал qj известен априори на одном из ребер, и решаем неполную обратную задачу нахождения потенциала на остальных ребрах по b1 спектру. Доказана теорема единственности и получен конструктивный алгоритм решения обратной задачи, основанный на развитии идей статьи [1].

Результаты данной работы опубликованы в виде препринта [2].

Литература

1. Yurko V. Inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators on graphs. / V. Yurko // Inverse Problems. 2005. V. 21. P. 1075– 1086.

2. Bondarenko N., Shieh C.-T. Partial inverse problems for SturmLiouville operators on trees. Proceedings of the Royal Society of Edinburg, Section A: Mathematics (2017, to appear), preprint URL: https://arxiv.org/abs/1509.01534.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ (проект № МК-686.2017.1), Минобрнауки РФ (проект № 1.1660.2017/ПЧ) и РФФИ (проекты № 15-01-04864, 16-01-00015, 17-51-53180).

c Бондаренко Н.П., 2017

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО АФФИННОМУ ФРЕЙМУ1

И.А. Бояркина, П.А. Терехин (Саратов) terekhinpa@mail.ru Пусть L1 [0, 1] и 0 (t) dt = 1. Аффинной системой типа Хаара или системой сжатий и сдвигов функции (t) называется последовательность функций

–  –  –

аффинная система {n } является фреймом в L1 [0, 1] относиn=1 тельно некоторого более широкого модельного пространства X 1 и для такого аффинного фрейма (заведомо неединственные) коэффициенты фреймого разложения могут быть выбраны непрерывно и линейно зависящими от f L1 [0, 1]. В (2) полагаем, что (, ), 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01c Бояркина И.А., Терехин П.А., 2017

–  –  –

Литература

1. Терехин П.А. Фреймы в банаховом пространстве / П.А. Терехин // Функц. анализ и его прил. 2010. Т. 44, вып. 3.

С. 50–62.

2. Терехин П.А. Линейные алгоритмы аффинного синтеза в пространстве Лебега L1 [0, 1] / П.А. Терехин // Изв. РАН. Сер. матем.

2010. Т. 74, вып. 5. C. 115–144.

АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ

ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Е.В. Булинская (Москва) ebulinsk@yandex.ru Доклад посвящен задачам оптимизации, возникающим во многих приложениях теории вероятностей, а именно, в страховании и финансах, теории запасов и водохранилищ, теории надежности и массовом обслуживании, а также других областях, где приходится принимать решения в условиях неопределенности (см., напр., [1]).

Существуют два основных подхода для оценки качества функционирования системы: стоимостной и надежностный. В первом случае мера риска (целевая функция или критерий качества) – ожидаемые (дисконтированные) издержки, связанные с деятелькоторые желаностью системы в период планирования T тельно минимизировать. Во втором случае необходимо минимизировать вероятность выхода системы из строя за время T или максимизировать ожидаемое время безотказной работы. Оптимизация проводится путем выбора управления, обеспечивающего достижение соответствующего экстремума целевой функции, если это возможно. В противном случае приходится довольствоваться либо оптимальными, либо асимптотически оптимальными стратегиями.

Стратегию U = {UT (t), 0 t T, T 0} будем называть асимптотически оптимальной, если lim T 1 LT (UT ) = lim T 1 LT (UT ).

T T

c Булинская Е.В., 2017

Здесь LT (·) – целевая функция, а UT – оптимальное управление при горизонте планирования T. В случае неполной информации о процессах, описывающих систему, будем использовать эмпирические асимптотически оптимальные политики, введенные в [2].

Исследования частично поддержаны грантом РФФИ 17-01Литература

1. Bulinskaya E.V. Some aspects of decision making under uncertainty / E.V. Bulinskaya // Statistical Planning and Inference.

2007. V. 137, № 8. P. 2613–2632.

2. Булинская Е.В. Эмпирические асимптотически оптимальные политики / Е.В. Булинская // Современные проблемы математики и механики. 2011. Т. 7, вып. 1 С. 8–15.

–  –  –

в классе решений из C 1 [0, 1] при p(x) C[0, 1].

Теперь мы будем рассматривать (1) в классе решений, разрывных в точке x = 1/2 (неподвижной точки инволюции (x) = 1x).

Предполагаем, что p(x) C([0, 1/2)(1/2, 1]) комплекснозначная функция, а в точке x = 1/2 она может иметь разрыв первого рода. Решением уравнения (1) будем называть функцию y(x), непрерывно дифференцируемую на [0, 1/2] и [1/2, 1], имеющую в точке x = 1/2, вообще говоря, разрыв первого рода, и удовлетворяющую уравнению (1) всюду, кроме точки x = 1/2.

Теорема 1. Уравнение (1) с разрывным решением y(x) в точке x = 1/2 эквивалентно системе Дирака

–  –  –

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 16-11-10125, выполняемый в Воронежском госуниверситете).

c Бурлуцкая М.Ш., Павлюк Я.П., 2017

ОСОБЕННОСТИ НАСТРОЙКИ НЕЙРОСЕТЕВЫХ

МОДЕЛЕЙ КЛАССИФИКАЦИИ

В.В. Бутов (Воронеж) butovvladislav@yandex.ru В работе предлагается модель нейро-сетевого классификатора [1] изображений рукописного текста. Настоящая работа является продолжением исследований [2]. На начальном этапе сети предлагались различные образцы текста с указанием того к какому классу они относятся. После окончания обучения сети предьявлялся контрольный образец с целью получить ответ о принадлежности его определенному классу. Топология сети задавалась в виде сверточного итеррационного автокодера. На первом этапе реализовывался трехслойный автоморфизм in0 outk ink, на втором - автоморфизм outk ink out0. Все вычисления проводились на графическом процессоре nVidia по технологии CUDA.

Литература

1. Haykin S. Neural Networks / S. Haykin. New Jersey : Prentice Hall, 1999. 823 p.

2. Думачев В.Н. Особенности обучения нейросетевого декодера / В.Н. Думачев, А.Н. Копылов, В.В. Бутов // Системы управления и информационные технологии. 2017. № 1(67). С. 29–33.

ОБ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРАХ НА

КОМПАКТНЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

В.Б. Васильев (Белгород) vbv57@inbox.ru Под оператором здесь понимается интегро-дифференциальный оператор A на m-мерном компактном многообразии M с краем, определяемый функцией (символом) A(x, ), (x, ) R2m. На крае M многообразия M выделены гладкие подмногообразия Mk (осоm 1. Локальный представитель бенности) размерности 0 k [1] оператора A в точке x0 M на карте U x0 определяется формулой

–  –  –

c Бутов В.В., 2017 c Васильев В.Б., 2017 где : U Dx0 – диффеоморфизм, и структура канонической области Dx0 имеет различный вид в зависимости от расположения точки x0 на многообразии M. Варианты канонических областей Dx0 : Rm, Rm = {x Rm : x = (x, xm ), xm 0}, W k = Rk C mk, + где C mk – острый выпуклый конус в Rmk.

Оператор A удобно рассматривать в пространствах Соболева– Слободецкого H s (M ) [2], где в качестве их локальных вариантов будут фигурировать пространства H s (Dx0 ).

Определение 1. Символом оператора A называется оператор-функция A(x) : M {Ax }xM, определяемая его локальными представителями.

При дополнительных предположениях о гладкостных свойствах функции A(x, ) справедлива следующая Теорема 1. Оператор A фредгольмов тогда и только тогда, когда символ A(x) состоит из обратимых операторов.

В простейшем варианте эта теорема фигурировала в [3].

Определение 2. Оператор A называется эллиптическим, если его символ состоит из обратимых операторов.

Замечание. Если эллиптичность нарушается на подмногообразиях Mk, рассматриваются модификации оператора A с привлечением граничных или кограничных операторов [4, 5].

С помощью разбиения единицы на многообразии M с использованием конструкций [1] по эллиптическому символу A(x) можно построить n операторов Aj согласно числу особых подмногообразий Mk, включая всю границу M и само многообразие M.

Теорема 2. Индекс фредгольмова оператора A представим формулой n Ind A = Ind Aj.

j=1 Литература

1. Симоненко И.Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих / И.Б. Симоненко.

Ростов н/Д. : Изд-во ЦВВР, 2007. 120 с.

2. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г.И. Эскин. М. : Наука, 1973. 236 с.

3. Васильев В.Б. Регуляризация многомерных сингулярных интегральных уравнений в негладких областях / В.Б. Васильев // Труды ММО. 1998. Т. 59. С. 73–105.

4. Васильев В.Б. Потенциалы для эллиптических краевых задач в конусах / В.Б. Васильев // Сибирск. электрон. мат. изв. 2016.

Т. 13. С. 73–105.

5. Васильев В.Б. Псевдодифференциальные уравнения на многообразиях с сингулярной границей / В.Б. Васильев // Современные методы теории функций и смежные проблемы : материалы Воронеж. зим. мат. школы. Воронеж : Научная книга, 2017.

С. 64–65.

О СИЛЬНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОГО

НЕЛИНЕЙНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

П.В. Виноградова, Т.Э. Королева (Хабаровск) vpolina17@hotmail.com, tanya.zon@mail.ru Обозначим через ограниченную односвязную область с гладкой границей в Rm. Введем следующие обозначения: Q = (0, T ), x, T, t (0, T ), S = [0, T ]. В Q рассмотрим следующую начально-краевую задачу

–  –  –

4. Зарубин А.Г. О скорости сходимости метода Фаэдо – Галеркина для квазилинейных нестационарных операторных уравнений / А.Г. Зарубин // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26, № 12.

С. 2051–2059.

ОБ ЭЛЕМЕНТАРНОМ ИССЛЕДОВАНИИ

УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

ОДНОГО SWEEPING ПРОЦЕССА

Н.И. Восковская (Воронеж) natashavskvskaja@rambler.ru

–  –  –

При этом центр эллипса движется по отрезку [XY ], где точка X = (x( 3T ), 0), причем x( 3T ) 0, а точка Y = (x( T ), 0), причем x( T ) 0. Положим a = |O(t0 )X| = |O(t0 )Y |, то есть L = 4a.

4 T При таком движении существует единственное Т-периодическое решение описанного "sweeping"процесса и его траектория лежит на оси абсцисс. Для нахождения решений используется разностная схема, с последующим предельным переходом, предложенная в работе [1].

Теорема: Пусть точка A в условиях sweeping процесса, описанного выше, в начальный момент t0 = 0 лежит внутри или на эллипсе и имеет координаты (v(t0 ), h(t0 )), причём h(t0 ) = 0. Тогда точка A, начиная со второго периода функции x(t), приближается к оси Ox и выполняется неравенство aLT h e 4b2 h, где h - расстояние от точки A до оси Ox в начале периода, а h - расстояние от точки A до оси Ox в конце периода.

Заметим, что траектория точки A в условиях теоремы не пересекает ось абсцисс.

c Восковская Н.И., 2017 Литература

1. Kunze M. An Introduction to Moreau’s Sweeping Process / M.

Kunze, M. Marques. Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 2000.

60 p.

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ С ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО

ДИСКРЕТНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ1

Л.Х. Гадзова (Нальчик) macaneeva@mail.ru

–  –  –

Простейший случай двух слоев при одинаковости их свойств приводит к результату f (1) (x) = m Ig (x2 ) sh m(x x1 ) sh m(x3 x2 ), sh m(x3 x1 ) f (2) (x) = m Ig (x2 ) sh m(x x1 ) sh m(x3 x2 ) sh m(x x2 ).

sh m(x3 x1 ) (16) Так как функции ch mi Xi и sh mi Xi для случаев осевой и центральной симметрии известны, то можно записать вид функции Грина для цилиндрической или сферической многослойной оболочки.

По данному методу проведены расчеты для моделирования диффузии неосновных носителей заряда, генерированных широким электронным пучком в полупроводниковой структуре.

Литература

1. Гладышев Ю.А. Метод обобщенных степеней Берса и его приложение в математической физике / Ю.А. Гладышев. Калуга : Издательство Калужского государственного университета им. К. Э. Циолковского, 2011. 204 c.

2. Гладышев Ю.А. Приложение методов аппарата Берса к задачам процессов переноса в многослойной среде / Ю.А. Гладышев, В.В. Калманович, М.А. Степович // Вестник Калужского университета. 2015. № 3. С. 5–10.

3. Калманович В.В. О построении решений задач теории переноса в многослойной среде при наличии распределенных источников / В.В. Калманович // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий : сб. тр. VIII Межд. конф. Воронеж : Научная книга, 2015. С. 166–169.

ДВУХКЛАСТЕРНАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ

В ПОЛНОСВЯЗНЫХ СЕТЯХ РЕЛАКСАЦИОННЫХ

ОСЦИЛЛЯТОРОВ

С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов (Ярославль, Москва) glyzin.s@gmail.com, kolesov@uniyar.ac.ru, fpo.mgu@mail.ru Рассматривается явление кластерной синхронизации в полносвязных сетях, состоящих из сингулярно возмущенных осцилляторов. Выделяется две задачи, одна из которых связана с математическим моделированием нейронной активности, а другая с моделями искусственных генных сетей. Предлагаются новые классы сингулярно возмущенных дифференциально-разностных уравнений с запаздыванием, с помощью которых описывается функционирование соответствующих сетей (см. [1,2]). Проводится исследование аттракторов полносвязной системы при неограниченном увеличении числа ее элементов. Для изучения периодических решений, для которых реализуется многокластерная синхронизация, используются некоторые специальные приемы, сводящие проблемы существования и устойчивости циклов к анализу вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. На этом пути устанавливается, что при увеличении числа элементов сети количество сосуществующих в ней орбитально асимптотически устойчивых периодических решений с двухкластерной синхронизацией растет, т.е. имеет место известное явление буферности.

Литература

1. Глызин С.Д. Релаксационные автоколебания в сетях импульсных нейронов / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // УМН.

2015. Т. 70, № 3 (423). С. 3–76.

2. Глызин С.Д. Периодические режимы двухкластерной синхронизации в полносвязных генных сетях / С.Д. Глызин, А.Ю. Колесов, Н.Х. Розов // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52, № 2. С. 157–176.

c Глызин С.Д., Колесов А.Ю., Розов Н.Х., 2017

ОБ ОДНОМ МНОГОМЕРНОМ НЕРАВЕНСТВЕ ДЛЯ

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНО

ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ1

Д.В. Горбачев, С.Ю. Тихонов (Тула, Барселона) dvgmail@mail.ru

–  –  –

где U, V Rn 0-симметричные выпуклые тела и f неотрицательная положительно определенная функция.

В одномерном случае задача изучалась B.F. Logan, А.В. Ефимовым, M. Gaal, Sz. Gy. Revesz. В связи с приложениями к теории чисел вопрос о существовании подобного неравенства задавался H.L. Montgomery, С.В. Конягиным и Ю.Н. Штейниковым.

Теорема. Для n N и |V | имеем

–  –  –

Здесь L (H) и (H) соответственно решетчатая плотность упаковки и плотность покрытия пространства Rn трансляциями тела H.

В частности, для тел U, заполняющих пространство (например, многогранников Вороного), имеем Cn (U, V ) = 2n (1 + o(1)).

–  –  –

Задача моделирования шума реактивных струй является весьма актуальной, например, в связи с проблемой конструирования малошумных реактивных двигателей. Нами изучалась возможность 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01c Горбачев Д.В., Тихонов С.Ю., 2017 c Грязев В.М., 2017

–  –  –

где, в частности, ls = cl k 3/2 /, s = c k/. Приближенное вычисление интеграла производилось в MATLAB при помощи двумерной формулы средних прямоугольников, которая обеспечила необходимую точность. Расчет кинетической энергии турбулентности k и скорости диссипации в узлах осуществлялся в программе ANSYS Fluent. Для успешного моделирования потребовалось сгенерировать в ICEM адаптивную расчетную сетку из внутреннего декартова и внешнего цилиндрического блоков, а также подобрать оптимальный набор констант (cl, c,...).

Было установлено при помощи сравнения с экспериментальными данными, что полуэмпирическая модель [1] при использовании модифицированного моделирования RANS в состоянии предсказать шум от мелкомасштабной турбулентности. Однако в других случаях, например, при более сложной геометрии сопла или учете эффекта рефракции звука от горячей струи, она нуждается в дополнительной проверке и доработке. Мы занимаемся проведением этих работ.

Литература

1. Tam C.K.W. Jet mixing noise from ne-scale turbulence / C.K.W. Tam, L. Auriault // AIAA Journal. 1999. V. 37, no. 2.

P. 145–153.

2. Thies A.T. Computation of turbulent axisymmetric and nonaxisymmetric jet ows using the k– model / A.T. Thies, C.K.W. Tam // AIAA Journal. 1996. V. 34, no. 2. P. 309– 316.

–  –  –

Мы изучаем задачу влияния температуры на положение эффективных источников шума в горячей турбулентной струе.

Следуя Гольдштейну [1] шум в дальнем поле может быть вычислен как свертка источников с соответствующей функцией Грина, отвечающей за перенос звука в струе:

P (x, ) = Rijkl (y, y, )Iij (y,, x)Ikl (y + y,, x) dy dy,

где i, j, k, l = 1, 2, 3, P (x, ) спектральная плотность мощности звука в точке наблюдения x, угловая частота звука, Iij тензорный комплекс, содержащий компоненты сопряженной векторной функции Грина и градиенты среднего поля, Rijkl обобщенный тензор ковариации флуктуационных напряжений.

Настоящая работа является продолжением [2], где рассматривалось излучение звука модельным источником, состоящим из точечных квадрупольных источников, помещенных в сдвиговой слой дозвуковой осесимметричной струи. Результаты [2] обобщаются на горячую струю, температура которой существенно превышает окружающую. В качестве эталонного решения рассматривается модель переноса звука в параллельном потоке с учетом градиента температуры, которая описывается уравнением типа Рэлея

–  –  –

достаточного разрешения этого слоя в численном решении. Также решается обратная задача о восстановлении местонахождения источника.

Литература

1. Goldstein M.E. A generalized acoustic analogy / M.E. Goldstein // J. Fluid Mech. 2003. V. 488. P. 315–333.

2. Karabasov S.A. Understanding jet noise / S.A. Karabasov // Philosophical Transactions of the Royal Society. 2010. V. 368.

P. 3593–3608.

ПРИЗНАКИ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

УРАВНЕНИЙ С АВТОРЕГУЛИРУЕМЫМ

ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

М.Б. Ермолаев, П.М. Симонов (Иваново, Пермь) ermol-mb@mail.ru, simpm@mail.ru

–  –  –

Будем говорить, что функция h = col{h1,..., hm } : [0, )Rm m

R удовлетворяет условию (P ), если существуют такие постоянные, 1, k1, k2 0, что выполняются неравенства:

–  –  –

при почти всех t 0 и при всех |xi | 1, i = 1, 2.

Тривиальное решение уравнения (10 ) назовем устойчивым по Ляпунову, если для всякого 0 существует такое = () 0, что задача (2 ) имеет хотя бы одно решение, как только ||, sup |(t)|, и для каждого такого решения x выполняется нераt(,0) венство: sup |x(t)|. Если при этом lim |x(t)| = 0 для всех x, t t0 то тривиальное решение назовем асимптотически устойчивым. Если, кроме того, существуют такие 0, N, 0, что |x(t)| N, · exp(t) для всех x, то тривиальное решение будем называть экспоненциально устойчивым.

Теорема 1. Пусть функции hk (t, x) удовлетворяют условию (P ).

Если точка M(a, b) D, то тривиальное решение уравнения (10 ) устойчиво по Ляпунову. Если M(a, b) D, то тривиальное решение этого уравнения экспоненциально устойчиво.

Построение области D равномерной экспоненциальной уравнения первого порядка с запаздыванием смотри в работе [1].

Теорема 2. Пусть функции hk (t, x) удовлетворяют условию (P ).

Если точка M(a, b) D, то существует постоянная 0 0 такая, что тривиальное решение уравнения (10 ) (L, C )устойчиво для всех [0, 0 ).

Доказательство теорем 1 и 2 аналогично соответствующим теоремам из работ [2, 3].

Здесь L банахово пространство существенно ограниченных на [0, ) функций z : [0, ) R с нормой ||z||L = vrai sup |z(t)|, t0

–  –  –

описывающее модель инфекционных заболеваний [4, 5, 6], является частным случаем уравнения (1 ). В предложении непрерывной стыковки: x(0) = (0) K.L.Cooke, J.A.Yorke получили достаточное условие асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (3): b 3/2, где такая постоянная, что 0 r(t, x) при всех t 0, x R.

Наша теорема дает то же условие экспоненциальной устойчивости тривиального решения уравнения (10 ). При этом мы ослабляем ограничения на функцию r(t, x) и заменяем требование непрерывной стыковки условием (P ).

Литература

1. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием / В.В. Малыгина // Изв. вузов. Математика. 1993. № 5. С. 72–85.

2. Азбелев Н.В. К вопросу об устойчивости функциональнодифференциальных уравнений по первому приближению / Н.В. Азбелев, М.Б. Ермолаев, П.М. Симонов // Изв. вузов. Математика.

1995. № 10. С. 3–9.

3. Азбелев Н.В. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II / Н.В. Азбелев, П.М. Симонов // Изв. вузов. Математика. 2000. № 4. С. 3–13.

4. Cooke K.L. Asymptotic theory for the delay-dierential equation u (t) = au(t r(u(t))) / K.L. Cooke // J. Math. Anal. and Appl.

1967. V. 19. P. 160–179.

5. Cooke K.L. Functional dierential systems: some models and parturbation problems / K.L. Cooke // Int. Symp. Di. Equat. Dynamic.

Systems. New Yorke: Acad. Press, 1965. P. 165–183.

6. Yorke J.A. Asymptotic stability for one-dimensional dierentialdelay equations / J.A. Yorke // J. Dierential. Equat. 1970. V. 7, № 1. P. 189–202.

СЛУЧАЙНЫЕ БЛУЖДАНИЯ ПО 2-2 ПУТЯМ

НА ГРАФЕ-РЕШЕТКЕ

Я.М. Ерусалимский (Ростов-на-Дону) ymerusalimskiy@sfedu.ru Граф–решетка имеет вершины в точках с неотрицательными целыми координатами. Из каждой вершины выходит две дуги: горизонтальная дуга и вертикальная дуга в соседние вершины (правую и верхнюю). Граф–решетка имеет фрактальную структуру подграф, порожденный любой вершиной и множеством вершин, которые из нее достижимы, также является графом–решеткой. В первой части работы рассмотрена задача о достижимости по 2–2 путям. 2–2 путь состоит из чередующихся отрезков горизонтальных или вертикальных дуг, каждый из которых (за исключением, быть может, заключительного отрезка) имеет четную длину. Получены формулы для количества 2–2 путей, ведущих из вершины в вершину. Во второй части работы рассмотрена задача о случайных блужданиях по вершинам графа–решетки, когда блуждание происходит по 2–2 путям. Получены формулы для нахождения вероятности попадания из вершины в вершину по 2– 2 путям. Процесс случайного блуждания по 2–2 путям не является Марковским процессом.

Показано, что он локально сводится к Марковскому процессу на подграфе, определяемом вершиной, в которой начинается процесс случайного блуждания.

Литература

1. Ерусалимский Я.М. Графы с вентильной достижимостью.

Марковские процессы и потоки в сетях / Я.М. Ерусалимский, В.А. Скороходов // Известия вузов. Северо-Кавказский регион.

Естественные науки. 2003. № 2. C. 3–5.

2. Графы с нестандартной достижимостью. Задачи, приложения : моногр. / Я.М. Ерусалимский, В.А. Скороходов, М.В. Кузьминова, А.Г. Петросян. Ростов н/Д. : ЮФУ, 2009. 195 с.

3. Ерусалимский Я.М. Случайные процессы в сетях с биполярной магнитностью / Я.М. Ерусалимский, А.Г. Петросян / Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Прил.

2005. № 11. C. 10–16.

4. Ерусалимский Я.М. Случайные блуждания по графу-решетке и комбинаторные тождества / Я.М. Ерусалимский // Инженерc Ерусалимский Я.М., 2017 ный вестник Дона. 2015. № 2 ч. 2. 12 с. URL:

http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2p2y2015/2964

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СМО С КОНЕЧНЫМ

НАКОПИТЕЛЕМ, ДИФФУЗИОННОЙ

ИНТЕНСИВНОСТЬЮ ВХОДНОГО ПОТОКА

И НУЛЕВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ СНОСА

Т.А. Жук, Н.И. Головко (Владивосток) tatyana_zhukdv@mail.ru В работе рассматривается система массового обслуживания тиN0, па M/M/m/N0, с конечной емкостью накопителя 0 с m обслуживающими приборами. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с параметром µ. На вход системы поступает дважды стохастический пуассоновский поток заявок, интенсивность которого (t) является диффузионным процессом с нулевым коэффициентом сноса, коэффициентом диффузии b и принимает значения из интервала [, ] с упругими границами.

Стационарные характеристики числа заявок в системе qk (x), 0 k N = N0 + m удовлетворяют следующей краевой задаче:

–  –  –

Существующее единственное решение поставленной задачи найдено матричным методом. С целью наблюдения за установлением стационарного режима в СМО в зависимости от значений входных параметров, обоснования наблюдаемых свойств стационарных характеристик числа заявок в СМО, сравнения характеристик рассматриваемой СМО и классической СМО с усредненной интенсивностью входного потока проведен численный анализ построенного решения.

c Жук Т.А., Головко Н.И., 2017 Литература

1. Головко Н.И. Применение моделей СМО в информационных сетях / Н.И. Головко, В.В. Катрахов. Владивосток : Изд-во ТГЭУ, 2008. 272 с.

2. Головко Н.И. Исследование моделей систем массового обслуживания в информационных сетях / Н.И. Головко, В.О. Каретник // Сиб. журн. индустр. мат. 2008. Т. XI, № 2 (34). С. 50–64.

УПРОЩЕННАЯ МОДЕЛЬ КИСЛОРОДНОГО

РЕЖИМА ВОДОЕМА

Н.С. Задорожная, Т.В. Клодина (Ростов-на-Дону) simon@sfedu.ru Среди основных абиотических факторов, регулирующих биологическую продуктивность водоемов, особое место принадлежит растворенному кислороду, причем не только как источнику дыхания организмов, но как фактору, определяющему полноту и скорость минерализации органического вещества - как в пелагиали, так и в бентической зоне. В условиях антропогенных нагрузок на водные экосистемы режим кислорода в них испытывает заметные негативные преобразования.

Основными источниками поступления кислорода в водную толщу водоема является инвазия его из атмосферы и продуцирование при фотосинтезе. К факторам, обусловливающим потребление кислорода, относятся расходование его на дыхание организмов, деструкцию органических веществ в пелагиали и на дне, бактериальное окисление, а также окисление органических загрязнений. Чем больше в водоеме аккумулированных в нем легкоокисляемых органических соединений, тем выше скорость потребления кислорода.

Экстремально высокая скорость потребления кислорода приурочена, как правило, к контактной зоне ”вода - донные отложения”, составляя в общем потреблении кислорода около 30%.

Помимо скорости биохимического потребления кислорода его содержание в водах регулируется и другими факторами среды, изменяющими свое относительное значение как во времени, так и в пространстве. Наиболее значительным из них является интенсивность вертикального обмена.

Рассматривается следующая упрощенная аналитико-эмпирическая модель кислородного режима:

c Задорожная Н.С., Клодина Т.В., 2017 P (t )z 2 q(t, z) = qs ((t)), D(W (t))H где q(t, z) -концентрация кислорода в момент времени t, на глубине z(0 z H), qs ((t)) - концентрация насыщения кислорода, зависящая от температуры воды (t), P (t) - продукция под м2 поверхности, D(W (t)) - коэффициент вертикальной диффузии, зависящий от ветровой активности W (t), - доля первичной продукции, поступающей в донные отложения, = 1/k, k = k(t, q) - скорость окисления легкорастворимого органического вещества, зависящая от температуры (t) и концентрации кислорода q(t, z).

Управляющими (экзогенными) функциями являются P (t), (t), W (t).

Следует, однако, отметить, что содержание кислорода в воде весьма изменчивый показатель, который может меняться в течение суток.

Данная модель была опробована для определения количественной оценки содержания кислорода в Азовском море. Учитывая, что модельные эксперименты проводились с минимальным временным шагом 1 месяц, то расчетная средняя концентрация кислорода в конкретном районе моря носит довольно абстрактный характер, однако даже такая грубая оценка позволяет обнаружить тенденции изменения кислородного режима.

–  –  –

Пусть R3 ограниченная область с границей C 2. Рассмотрим начально-краевую задачу, описывающую малые движения вязкоупругого тела, закрепленного на границе (см.

[1]):

–  –  –

Был найден явный вид функций µ1 (t) и µ2 (t).

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ О НАИЛУЧШЕМ ВЫБОРЕ В

СЛУЧАЕ НЕИЗВЕСТНОГО ЧИСЛА КАНДИДАТОВ

М.Е. Залыгаева, А.Г. Руденко (Воронеж) zalygaeva@math.vsu.ru Задача о выборе наилучшего объекта (задача о секретаре, задача о разборчивой невесте) (см., напр., [1]) ставится следующим образом: имеется n объектов, упорядоченных по какому-либо признаку; предполагается, что объекты поступают в случайном порядке, и в результате их попарного сравненения можно определить, который из них лучше. Спрашивается, на каком объекте остановить свой выбор, чтобы вероятность выбора наилучшего объекта была максимальной (предполагается, что к отвергнутым объектам вернуться нельзя)? Решение этой задачи известно и описано, например, в [1] и [2].

В данной работе рассматривается случай, когда число объектов n, из которых производится выбор, заранее неизвестно и представляет собой положительное целое число. Предполагается, что n является случайной величиной и в зависимости от ее распределения устанавливаются оптимальные решения.

Литература

1. Ширяев А.Н. Статистический последовательный анализ : Оптимальные правила остановки / А.Н. Ширяев. М. : Наука, 1969.

230 с.

2. Дынкин Е.Б. Теоремы и задачи о процессах Маркова / Е.Б. Дынкин, А.А. Юшкевич. М. : Наука, 1967. 232 с.

c Залыгаева М.Е., Руденко А.Г., 2017

–  –  –

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СИСТЕМЫ СТРУН

НА ГРАФЕ С ВЯЗКОУПРУГОЙ ПРУЖИНОЙ В УЗЛЕ

И КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ 3 РОДА1

М.Б. Зверева (Воронеж) zvereva_m@math.vsu.ru

–  –  –

Таким образом, пока суммарное натяжение струн в узле находится внутри интервала (r, r), выполняется условие упругой опоры в узле. Если же суммарное натяжение становится равным r, то "срабатывает"пластичный элемент.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РНФ № 16-11-10125, выполняемого в Воронежском госуниверситете c Зверева М.Б., 2017

–  –  –

где через i и i обозначены первообразные для соответствующих функций. Получены условия, которыми должны быть связаны начальные и финальные данные задачи и условие выбора первообразных.

–  –  –

Здесь v = (v1 (t, x),..., vn (t, x)), (t, x) и p(t, x) – вектор–функция скорости, функции температуры и давления среды соответственно, f – плотность внешних сил, g – источник внешнего тепла, 0 – время запаздывания, 0 – коэффициент теплопроводности, (s) 0 – вязкость жидкости. В рассматриваемой начальнокраевой задаче правая часть, является управлением, зависящим 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 16-11выполняемого в Воронежском государственном университете.

c Звягин А.В., 2017

–  –  –

v(0, x) = v 0 (x), x, v(t, x)| = 0, (t, x) [0, T ].

Здесь z является регулярным лагранжевым потоком, порожденным задачей Коши (K), v и p искомые скорость и давление среды, E(v) 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Научного Фонда (проект № 16–11–10125), выполняемого в Воронежском государственном университете.

c Звягин В.Г., Орлов В.П., 2017 матрица с компонентами Eij (v) = 1 (vi /xj + vj /xi ) 0 1, µ0 0, µ1 0, - гамма-функция.

Задача A описывает динамику вязкоупругой жидкости с реологическим соотношением Фойгта, содержащим дробные производные.

Теорема 1. Пусть f L2 (0, T ; V 1 ), v 0 H.

Тогда задача A имеет единственное слабое решение v в классе L2 (0, T ; V ) L (0, T ; H) W2 (0, T ; V 1 ) C([0, T ], H).

Литература

1. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса / Р. Темам. М. : Мир, 1981. 408 с.

2. Звягин В.Г. О слабой разрешимости задачи вязкоупругости с памятью / В.Г. Звягин, В.П. Орлов, // Дифференциальные уравнения. 2017. Т. 53, № 2. С. 215–220.

2. Zvyagin V.G. On some mathematical models in thermomechanics of contimuum / V.G. Zvyagin, V.P. Orlov // Journal of Fixed Point Theory and Applications. 2014. V. 15, № 1. P. 3–47.

ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ГОМОТОПИЧЕСКИ

НЕТРИВИАЛЬНЫХ ПЕТЕЛЬ НА ЗАМКНУТОЙ

2-МЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

И.С. Зубов (Коломна) reestr_rr@mail.ru На замкнутой 2-мерной поверхности можно ввести комплексную структуру и рассмотреть голоморфные и мероморфные дифференциальные 1-формы. В этой ситуации детектирование нетривиальных петель, т. е. петель нестягиваемых в точку по поверхности, можно осуществить с помощью вычисления итерированных интегралов от таких дифференциальных форм на этих петлях. Такое детектирование эффективно можно выполнить, когда риманова поверхность рода g является гиперэллиптической, т.е. задается компактификацией в CP2 аффинной кривой, заданной в C2 уравнением

–  –  –

интеграл вдоль неё от любой голоморфной 1-формы равен нулю = 0. Однако эта петля негомотопна нулю, т.е. негомотопна постоянной петле в точке. Действительно, 2-итерированный интеграл вдоль петли = a1 b1 a1 b1 = a2 b2 a2 b1

–  –  –

Последнее неравенство следует из соотношений Римана. Итак, 0 0 = 0, что влечет за собой негомотопность петли нулю.

Предложение. Гомотопическая нетривиальность петель, представляющих элементы r-го нижнего центрального ряда фундаментальной группы поверхности, детектируюся с помощью итерированных интегралов порядка не выше r.

Теорема. Если на петле все итерированные интегралы любого порядка от голоморфных 1-форм обращаются в нуль, то эта петля является тривиальной, т.е. стягивается в точку.

Литература

1. Chen K.T. Iterated integrals of diferential forms and loop space homology / K.T. Chen // Ann. Math. 1973. V. 97. P. 217–246.

2. Хейн Р.М. Итерированные интегралы и проблема гомотопических периодов / Р.М. Хейн. М. : Наука, 1988.

3. Спрингер Дж. Введение в теорию Римановых поверхностей / Дж. Спрингер. М. : Издательство иностранной литературы, 1960.

4. Cartier Pierre, Jacobiennes generalisees, monodromie unipotente et integrales iterees. Seminair bourbake, 10 eme annee, 1987-88, n 687, Asterisque 161-162, 1988, p. 31–52.

5. Лексин В.П. Алгебра и геометрия итерированных интегралов / В.П. Лексин. Коломна : КГПИ, 2007.

РЕШЕНИЕ МНОГОТОЧЕЧНЫХ ЗАДАЧ

УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ДЕСКРИПТОРНОЙ

СИСТЕМЫ

С.П. Зубова, Е.В. Раецкая (Воронеж) spzubova@mail.ru, raetskaya@inbox.ru Для динамической системы

–  –  –

где x(t) Rn, u(t) Rm ; A, B : s n, D : s m; t [t0, tk ], требуется найти управляющую вектор-функцию u(t), такую, что состояние x(t) под воздействием найденного управления переводится из произвольно заданного начального состояния x0 в произвольно заданное конечное xk через заданные точки:

–  –  –

x(t) Rn+r, r 0, если требуется, чтобы r компонент векторфункции состояния принимали заданные значения.

Особенность системы (1) - матрица A при производной - прямоугольная, необратимая. Необходимо, чтобы при найденном и примененном управлении состояние системы было единственным, предсказуемым.

При определенных свойствах параметров A, B и D система (1) является полностью управляемой и может быть приведена к системе, разрешенной относительно производной.

c Зубова С.П., Раецкая Е.В., 2017 Методом каскадной декомпозиции вектор-функции состояния и управления строятся в виде линейных комбинаций линейно независимых скалярных функций с векторными коэффициентами. При этом полиномиальные функции считаются дефектными, поскольку в случае неостановки системы в момент t = tk (не сработал выключатель,...) состояние системы стремится к бесконечности при t. Более предпочтительными являются, к примеру, правильные дробно-рациональные функции, стремящиеся к нулю в критической ситуации.

Литература

1. Zubova S.P. On full controllability criteria of a descriptor system.

The polynomial solution of a control problem with checkpoints / S.P. Zubova // Automation and Remote Control. 2011. V. 72, № 1. P. 23–37.

2. Zubova S.P. Solution of Inverse Problems for Linear Dynamical Systems by the Cascade Method / S.P. Zubova // Doklady Mathematics. 2012. V. 86, № 3. P. 846–849.

3. Zubova S.P. A Study of the Rigidity of Descriptor Dynamical Systems in a Banach Space / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. Springer Science+Business Media. New York.

2015. V. 208, № 1. P. 131–138.

О ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ ДРОБНЫХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

И НЕКОТОРЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ

М. Илолов, Д.Н. Гулджонов (Таджикистан) ilolov.mamadsho@gmail.com, gdilovar@gmail.com Работа посвящена задачи Коши для интегродифференциальных уравнений с дробными производными вида t C b(t )Bu( )d + f (t), t 0, u(0) = u0, Dt u + Au(t) = (1) в банаховом пространстве X, где C Dt, 0 1, регуляризованная дробная производная Капуто порядка, A почти секториальный оператор [1]. Оператор B подчинен A с порядком, 0 1, в смысле С.Г.Крейна [2], b(t) скалярная локально интегрируемая на R+ функция допускающая преобразования Лапласа, f (t) непрерывная по Гельдеру X- значная функция.

c Илолов М., Гулджонов Д.Н., 2017 Вводятся два операторные семейства на основе обобщенных функций Миттаг-Леффлера и резольвентных операторов связанные с операторами A и B. Приводится анализ основных свойств этих операторных семейств для подходящей концепции решения задачи (1). Далее устанавливаются теоремы существования и единственности решения (1). Мотивация исследования задачи (1) исходит из широкое ее применение в различных областях физики. Например, как установлено в [3], дробные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения описывают аномальную диффузию для физических объектах дробной размерности (аморфные полупроводники, сильно пористые материалы, космические лучи сверхвысокой энергии) с учетом памяти и других эридитарных свойств. Можно привести другие примеры из теории вязкоупругости, реологии, популяционной динамики.

Литература

1. Jang R.-N. et all. / J. Dierential Equations. 2012. V. 252.

P. 202–235.

2. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С. Г.Крейн. М. : Наука, 1967. 401 с.

3. Ilolov M. et all. Equation of anomalous diusion of cosmos rays / PoS (ICRC 2015), 510, The Hague, The Netherlands. P.1–7.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ЗНАЧЕНИЙ

ЧАСТОТЫ СЕРДЕЧНЫХ СОКРАЩЕНИЙ И

СТРЕСС–ИНДЕКСА

А.Г. Калинина (Ижевск) В последнее время в спортивной медицине и спортивной физиологии имеет широкое применение метод вариабельности сердечного ритма (ВСР). Вариабельность это изменчивость временных интервалов между ударами сердца, по характеру которой можно судить об адаптации организма к условиям окружающей среды (экология, стресс, психоэмоциональные перегрузки, занятия спортом).

Целью данной работы является проведение корреляционного анализа значений частоты сердечных сокращений (ЧСС средний уровень функционирования системы кровообращения) и стресс– индекса (SI степень напряжения регуляторных систем).

Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя случайными величинами X и Y. В качестве меры связи c Калинина А.Г., 2017

–  –  –

где x, y выборочные средние арифметические, n объем выборки.

Необходимо по ЧСС установить влияние различных условий на спортсменок легкоатлеток при тренировках на равнинной местности (в Удмуртии) и в среднегорье (в Кисловодске). Вычисленный коэффициент корреляции ЧСС равен r = 0, 122. Он говорит о наличии слабой отрицательной связи по шкале Чеддока. Аналогичные вычисления производятся и для значений SI. Коэффициент корреляции для стресс–индекса получился равным r = 0, 802, что говорит о наличии сильной связи. Полученные результаты напрямую показывают небольшую значимость значений ЧСС, в отличие от значений стресс–индекса. Подобные исследования будут полезны для тренеров в практике контроля за физическими нагрузками и занятиями спортом.

ОБ ОПЕРАТОРАХ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ

В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

А.С. Калитвин (Липецк) kalitvinas@mail.ru Линейные операторы с частными интегралами имеют многочисленные приложения в механике сплошных сред, теории упругих оболочек, в задачах для дифференциальных и интегро - дифференциальных уравнений с частными производными, при изучении ряда других вопросов. При этом операторы исследовались в различных функциональных пространствах [1–4]. Свойства операторов с частными интегралами в пространствах функций двух переменных ограниченной вариации, к сожалению, оказались не изученными.

В работе приводятся условия действия и теорема о непрерывности действия операторов с частными интегралами в пространствах функций двух переменных ограниченной вариации.

c Калитвин А.С., 2017

–  –  –

ЛИПШИЦЕВОСТЬ ОПЕРАТОРОВ ГАММЕРШТЕЙНА

С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В C (1),n (D) А.С. Калитвин, Н.И. Трусова (Липецк) kalitvinas@mail.ru, trusova.nat@gmail.com

–  –  –

c Калитвин А.С., Трусова Н.И., 2017 T = [a, b], S = [c, d], t, T, s, S, D = T S, u (; +), а cij, lij, mij и nij (i, j = 1,..., n) вещественные функции.

Пусть C (1) (D) пространство непрерывно дифференцируемых на D функций, C (1),n (D) пространство непрерывно дифференцируемых на D вектор - функций x(t, s) = (x1 (t, s),..., xn (t, s)), где xj C (1) (D) (j = 1,..., n).

Нелинейный оператор Bij есть комбинация оператора суперпозиции fj и линейного оператора

–  –  –

а функции cij, lij, mij, nij непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по t и s. Тогда оператор B действует в C (1),n (D) и удовлетворяет условию Липшица.

Литература

1. Калитвин А.С. Нелинейные операторы с частными интегралами / А.С. Калитвин. Липецк : ЛГПУ, 2014. 208 с.

–  –  –

где t [a, b], s [c, d], [a, b] и [c, d] конечные отрезки, заданные функции l, m, n, f непрерывны, функция n удовлетворяет условию Липшица: |n(,, u) n(,, v)| n0 |u v|, а решением уравнения считается функция из пространства C(D) непрерывных на D = [a, b] [c, d] функций. Нелинейное уравнение (1) с частным интегралом и с оператором Гаммерштейна имеет единственное решение в C(D) [1].

Для численного решения уравнения (1) с частными интегралами естественно использовать метод механических квадратур (ММК).

Однако обоснование применения этого метода для интегральных уравнений обычно связано с полной непрерывностью интегральных операторов, которой нет у операторов с частными интегралами. Поэтому непосредственнное применение ММК для численного решения уравнения (1) требует обоснования, которого можно избежать, преобразовав это уравнение к эквивалентному нелинейному двумерному интегральному уравнению с непрерывным ядром, удовлетворяющим условию Липшица, так как для уравнений такого типа обоснование ММК дано Г.М. Вайникко в [2].

В C(D) уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению t d k(t, s,, )n(,, x(, ))d d+g(t, s) (Kx)(t, s), (2) x(t, s) = a c

–  –  –

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МОДИФИЦИРОВАННЫХ

ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

А.А. Катрахова, В.С. Купцов (Воронеж) Vckuptsov@rambler.ru В работе рассматриваются системы массового обслуживания (СМО) с конечным накопителем емкости N. На вход системы поступает пуассоновский случайный поток заявок, то есть случайное время между двумя последовательно поступающими заявками и c Катрахова А.А., Купцов В.С., 2017 распределено по экспоненциальному закону с параметром 0 (интенсивность входящего потока). При этом интенсивность обслуживания µ 0, это означает, что выходной поток обслуживания заявок, также как и входной является пуассоновским, но с параметром µ 0.

С точки зрения случайных процессов мы будем рассматривать однородный процесс разложения и гибели (t), сечениями которого являются дискретные случайные величины, принимающие любые целые неотрицательные значения с распределением вероятностей pk (t) = P {(t) = k}, где k = 0, 1,.... В дальнейшем p(t) = {p0 (t), p1 (t),...} - вектор функция. Поведение динамического распределения зависит от взаимоотношения между интенсивностью входящего потока и интенсивностью обслуживания. Если в СМО µ, то она называется СМО с перегрузками, в противном случае - без перегрузок. Для СМО с перегрузками доказана покоординатная сходимость распределения к нулю по норме пространства L2 и равномерная сходимость по норме L0. Справедливо следующее соотношение между нормами p L0 p L2 p l1 = 1.

Такие же топологии применимы и для СМО без перегрузок. Отметим, что использование l2 - норм в этом случае является вполне естественным, так применяемые при этом функции Бесселя с целыми индексами [1] является с точностью до постоянного множителя косинус-коэффициентами в ряде Фурье, что делает эффективным применение средств Фурье-анализа в естественном для него пространстве l2.При этом для однолинейных систем массового обслуживания [2] с простейшими входными и выходными потоками нами были использованы модифицированные функции Бесселя [3],[4].

Модифицированная функция Бесселя первого ряда целочисленного неотрицательного индекса n может быть введена с помощью интегрального представления вида tn 1 (1 y 2 )n 2 /2 e±ty dy, Jn (t) = 1 n 2 (n + 2 ) 1 где Г - гамма функция Эйлера.

Заменой переменной интегрирования последняя формула приводится к виду 1 1 etx Tn (x) Jn (t) = dx, 1 1 x2 где Tn (x) = cos(n arccos x) - полином Чебышева первого рода.

Литература

1. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Специальные функции / А.П. Прудников, Ю.А. Бричков, О.И. Маричев. М. : Наука, 1983.

750 с.

2. Катрахова А.А. Модифицированные функции Бесселя, формулы и оценки / А.А. Катрахова // Материалы XVII Международной конференции “Математика и образование”. Чебоксары :

Изд-во Чуваш. ун-та. 371 с.

3. Катрахова А.А. Построение математической модели систем массового обслуживания с использованием уравнений Колмогорова-Чепмена / А.А. Катрахова // Прикладные задачи оптимизации и моделирования : межвузовский сборник научных трудов. Воронеж : Изд-во ВГТУ, 2005. 260 с.

4. Купцов В.С. Обтекание малого эллипсоидального тела неоднородным потоком вязкой несжимаемой жидкости / В.С. Купцов, А.А. Катрахова // Современные методы прикладной математики, теории управления компьютерных технологий (ПМТУКТ-2016) :

сборник трудов международной конференции. Воронеж : Научная книга, 2016. С. 197–199.

–  –  –

Здесь A = (aij ) есть вещественная или комплексная квадратная n n матрица, |A| = (|aij |), а C = (cij ) есть вещественная внедиагонально неотрицательная матрица

–  –  –

Напомним, что неотрицательное условие Севастьянова (2)–(3) есть необходимое и достаточное условие того, что spa C 0 [4, с.368]. Поэтому, если spa C 0, то из формулы (5) вытекает, что spa Ci 0 при 1 i s. Если spa Ci 0, то блок Ci есть гурвицева матрица; если spa Ci = 0, то по теореме 2 блок Ci является ляпуновской матрицей.

Теорема 3. Для того чтобы разложимая внедиагонально неотрицательная матрица C = (Cij ) была гурвицевой, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные блоки Ci были гурвицевыми spa Ci 0, i = 1, 2,.

.., s (внедиагональные блоки Cij при j i могут быть произвольными неотрицательными матрицами).

Теорема 4. Для того чтобы разложимая внедиагонально неотрицательная матрица C = (Cij ), все диагональные блоки которой есть ляпуновские матрицы, была ляпуновской,

–  –  –

которую называют критическим остовом матрицы C = (Cij ) (сравни c [5, с.45]). Критический остов есть нижнетреугольная блочная матрица, диагональные блоки которой Ci1, Ci2,..., Cir являются ляпуновскими критическими матрицами.

Если r = 1, то есть критический остов состоит из одной критической матрицы, то исследуемая матрица, очевидно, является ляпуновской. Итак, интерес представляет лишь случай, когда r 1.

В теореме 4 критический остов совпадает с нормальной блочной матрицей C.

Теорема 5. Пусть внедиагонально неотрицательная матрица C = (cij ), разложима и в ее нормальной форме C = (Cij ) среди диагональных блоков есть как гурвицевы матрицы с spa Ci 0, так и ляпуновские с spa Ci = 0.

Построим критический остов (6) матрицы C.

Для того чтобы в рассмотренном случае матрица C была ляпуновской, необходимо и достаточно, чтобы ее критический остов сводился к диагональной блочной матрице

diag{Ci1, Ci2,..., Cis }.

Оценка (1) показывает, что если матрица C удовлетворяет условиям теорем 1 или 3, то A – гурвицева, а если выполнены условия теорем 2, 4 или 5, то A – ляпуновская.

Литература

1. Перов А.И. Новые признаки устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / А.И. Перов // Изв. вузов. Матем. 2014. № 9. С. 49–58.

2. Красносельский М.А. Позитивные линейные системы : метод положительных операторов / М.А. Красносельский, Е.А. Лифшиц, А.В. Соболев. М. : Наука, 1985. 256 c.

3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости / Б.П. Демидович. М. : Наука, 1967. 472 c.

4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М. : Наука, 1967. 567 c.

5. Перов А.И. Дискретная теория устойчивости неотрицательных матриц. Препринт № 45 / А.И. Перов. Воронеж : НИИМ ВГУ, 2012. 62 с.

–  –  –

2 u L2 (R1 ), что дает возможность расширить это преобразование до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств L2 (R1 ) и L2 (R+ ). Это равенство позволяет так

–  –  –

определенное, первоначально, например, на функциях u(t) C0 R+.

Преобразование F связано с преобразованием Фурье F [u] = + u( ) exp(i )d, R1 следующим равенством F [u(t)]() =

–  –  –

и науки РФ (проект 14.Z50.31.0037).

c Ковалевский Р.А., 2017 С помощью преобразования F и преобразования Фурье Fx = Fx1 1 Fx2 2...Fxn1 n1 определим весовой псевдодифференциальный оператор по формуле K () (p, t, Dx, D,t ) v (x, t) = Fx F [ (p, t,, ) F Fx [v (x, t)]]

–  –  –

Это равенство понимается в смысле равенства обобщенных функций.

Некоторые свойства для других классов весовых псевдодифференциальных операторов были получены в [1]-[3].

Литература

1. Баев А.Д. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с вырождением / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Доклады академии наук. 2014. T. 454, № 1. С. 7–10.

2. Баев А.Д. О некоторых свойствах одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Доклады Академии наук. 2015. Т. 460, № 2.

С. 133–135.

3. Баев А.Д. Об одном классе весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник Воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика. 2009. № 2. С. 16–20.

О СВЯЗИ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ

ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И

ОДНОГО КЛАССА ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ1

Р.А. Ковалевский (Воронеж) Рассмотрим функцию (t), t R+, для которой (+0) = (+0) = 0, (t) 0приt 0, (t) = const для t d при некотором d 0. Рассмотрим интегральное преобразование

–  –  –

2 u L2 (R1 ), что дает возможность расширить это преобразование до непрерывного преобразования, осуществляющего гомеоморфизм пространств L2 (R1 ) и L2 (R+ ). Это равенство позволяет также рассмотреть преобразование F на некоторых классах обобщенных функций. Для расширенного таким образом преобразования F сохраним старое обозначение. Обозначим через F обратное к F преобразование. Это преобразование можно записать в виде 1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования с константами cm,l 0, не зависящими от Rn1, R1, p Q, t.

Определение 2. Пусть R+ – открытое множество. Будем говорить, что функция a(t, y,, ) принадлежит классу Sm,,p (), m R1, p Q, где Q некоторый сектор в правой полуплоскости комплексной плоскости, если a(t, y,, ) является бесконечно дифференцируемой по переменным t, y, R1 и на компактных подмножествах множества имеет место при всех j, k, l = 0, 1, 2,... оценка

–  –  –

при любых N = 1, 2,....

Некоторые свойства весовых псевдодифференциальных операm торов с символом из класса S,p () содержатся в [4] - [8].

Литература

1. Баев А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А.Д. Баев // Доклады Академии наук. 1982. Т. 265, № 5. С. 1044–1046.

2. Баев А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А.Д. Баев// Доклады Академии наук. 2008. Т. 422, № 6.

С. 727–728.

3. Баев А.Д. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с вырождением / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Доклады академии наук. 2014. T. 454, № 1. С. 7–10.

4. Баев А.Д. Теоремы об ограниченности и композиции для одного класса весовых псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Вестник Воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 1. С. 39–49.

5. Баев А.Д. Краевые задачи для одного класса вырождающихся псевдодифференциальных уравнений / А.Д. Баев, Р.А. Ковалевский // Доклады академии наук. 2015. T. 461, № 1. С. 1–3.

6. Баев А.Д. Об одном классе весовых псевдодифференциальных операторов с переменным символом / А.Д. Баев, П.В. Садчиков // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2009. № 2.

С. 16–20.

7. Баев А.Д. Априорная оценка решений одной краевой задачи в полосе для вырождающегося эллиптического уравнения высокого порядка / А.Д. Баев, С.С. Бунеев // Вестник ВГУ. Серия : Физика.

Математика. 2012. № 1. С. 81–92.

8. Баев А.Д. О свойствах коммутации одного класса вырождающихся псевдодифференциальных операторов / А.Д. Баев, П.А. Кобылинский // Вестник ВГУ. Серия : Физика. Математика. 2014.

№ 4. С. 102–108.

О НИЖНЕЙ ГРАНИЦЕ СПЕКТРА ОПЕРАТОРА

ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ В L2 (R+ ) С ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ y (0) = 01 А.И. Козко (Москва) prozerpi@yahoo.co.uk Исследуется спектр оператора Lq в пространстве L2 (R+ ), задаваемого дифференциальным выражением y + q(x)y и граничным условием y (0) = 0. В случае быстрого роста потенциала q(x) свойства собственных чисел были исследованы в работах [1], [2]. В случае дискретности собственных чисел оператора Lq были вычислены соответствующие регуляризованные следы см. [3] –[5].

В работе изучаются операторы Lq для потенциалов из класса Q, которые по определению состоят из функций q Lloc (R+ ) и limx+ q(x) = 0. Под q Lloc (R+ ) мы понимаем q L[0; b] для любого b 0.

Обозначим, как обычно, q (x) = max{0, q(x)}.

При любом µ 0 определим множество Qµ Q, состоящее из всех потенциалов q, для которых eµt q (t) L(R+ ) и для функции + eµt (µ2 q (t)) dt Fq,µ (x) = x выполнено неравенство inf Fq,µ (x) 0.

xR+ 1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-01c Козко А.И., 2017 Исследуется точная нижняя оценка спектра оператора Lq для потенциалов из Qµ, т.е. величина inf {q : q Qµ }.

Приведём несколько результатов данной работы:

Теорема 1. При любом µ 0 справедливо равенство

–  –  –

Обозначим класс ограниченных на R+ потенциалов q таких, что q L(R+ ) через Q. Равенство inf {q : q Q, q L(R+) µ} = µ2 получено в [6].

Оценка, полученная в теореме 1 неулучшаема в следующем смысле: существуют положительные константы 1, 2 и потенциал q Q такой, что для функции Fq,µ (x) = x eµt (µ2 q (t)) dt 0 для всех x [0; 1 ) (2 ; +), но при выполнено, что Fq,µ (x) этом Fq,µ (x) 0 для x (1 ; 2 ), т.е. неравенство Fq,µ (x) 0 не выполняется всего лишь в некоторой окрестности точки x0. Но, при этом оператор Lq имеет собственное значение меньшее µ2.

Литература

1. Козко А.И. Асимптотика спектра дифференциального оператора y + q(x)y с граничным условием в нуле и быстро растущим потенциалом / А.И. Козко // Дифференциальные уравнения.

2005. Т. 41, № 5. С. 611–622.

2. Козко А.И. Свойства собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля в L2 (R+ ) и граничным условием y(0) cos + y (0) sin = 0 / А.И. Козко // Сборник материалов XVIII Международной Саратовской зимней школы Современные проблемы теории функций и их приложения (27 января–03 февраля 2016). Саратов : Изд-во СГУ. С. 150–152.

3. Козко А.И. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов с каноническими краевыми условиями / А.И. Козко, А.С. Печенцов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем.

Мех. 2011. № 4. С. 11–17.

4. Козко А.И. Спектральная функция сингулярного дифференциального оператора порядка 2m / А.И. Козко, А.С. Печенцов // Известия Российской академии наук. Серия математическая.

2010. Т. 74, № 6. С. 107–126.

5. Козко А.И. Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов высших порядков / А.И. Козко, А.С. Печенцов // Математические заметки. 2008. Т. 83, № 1. С. 39–49.

6. Козко А.И. Оценка снизу собственных чисел оператора Штурма-Лиуввилля в L2 (R+ ) с граничным условием y (0) = 1 / А.И. Козко, А.Ю. Попов // Современные проблемы теории функций и их приложения. Материалы 17-й международной Саратовской зимней школы, посвященной 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова. 2014. С. 122–124.

О ЗАРОЖДЕНИИ ЗАКРИТИЧЕСКИХ ПРОГИБОВ

ПРОДОЛЬНО СЖАТОЙ БАЛКИ НА ДВОЙНОМ

УПРУГОМ ОСНОВАНИИ (В ОБОБЩЕННОЙ

МОДЕЛИ ВЛАСОВА-ЛЕОНТЬЕВА)

И.В. Колесникова, Д.В. Костин, Ю.И. Сапронов (Воронеж)

–  –  –

причем f (1, t) = 0, (6) то u(x, t) из (5) есть классическое решение задачи (1)–(3) при q(x) = 0.

Теорема 2. Если f (x, t) и ft (x, t) непрерывны и выполняется (6), то ряд в (4) сходится абсолютно и равномерно в QT и его сумма есть классическое решение задачи (1)–(3) (уравнение (1) выполняется почти всюду).

Теорема 3. Если f (x, t) L(QT ), то ряд в (4) сходится при любых x и t, причем

lim ||u(x, t) uh (x, t)||L2 (QT ) = 0, h0

где fh (x, t), uh (x, t) – из теоремы 2 и ||fh f ||L(QT ) стремится к 0 при h 0.

Таким образом, в этом случае u(x, t) является обобщенным решением задачи (1)–(3).

Литература

1. Хромов А.П. Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения с суммируемым потенциалом / А.П. Хромов, В.В. Корнев // Докл. РАН. 2016. Т. 468, № 5. С. 505–507.

2. Хромов А.П. Об обобщенном формальном решении волнового уравнения / А.П. Хромов // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 18-й Сарат. зимней школы (27 янв. – 3 февр. 2016 г.). Саратов : Научная книга, 2016.

С. 312–314.

ТЕОРЕМА ЖОРДАНА-ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО

ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

О.А. Королева (Саратов) korolevaoart@yandex.ru В работе найдены достаточные условия (условия типа Жордана-Дирихле) разложения функции f (x) в равномерно сходящийся ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) интегрального оператора, ядро которого терпит скачки на сторонах квадрата, вписанного в единичный квадрат. Как известно, для такого разложения необходимо, чтобы f (x) была непрерывна и принадлежала замыканию области значений интегрального оператора.

Оказывается, если f (x) к тому же является функцией ограниченной вариации, эти условия являются и достаточными.

Рассмотрим интегральный оператор:

–  –  –

Задача состоит в нахождении математического ожидания решения (1)-(2) с помощью численных методов.

С помощью вспомогательных отображений y(t, v(·), w(·)) и Y ((·), t) последовательно перейдем от задачи со случайными коэффициентами (1)-(2) к детерминированной задаче (4)-(5) с вариационными производными и вещественными числами Y ((·), t) Y ((·), t) = + b((·), t), (4) t (t) Y ((·), t0 ) = M x0 0 (i(·)). (5) Полученные аналитическим путем формулы для математического ожидания решения задачи Коши являются сложными для непосредственного вычисления. Поэтому была составлена неявная разностная схема, которая была исследована на устойчивость с применением спектрального признака.

–  –  –

Построенная разностная схема является абсолютно устойчивой на промежутке t [t0 ; tn ].

Литература

1. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. М. : Бином, 2004. 640 с.

2. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. М. : Высш. шк., 2000. 383 с.

–  –  –

Нами установлены критерии ограниченности оператора Th в пространствах A (, t) для различных значений параметров p,, t.

Литература

1. Шамоян Ф.А. Критерий ограниченности Теплицевых операторов в весовых Соболевских пространствах голоморфных в поликруге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский математический журнал. 2012. Т. 3, № 53. С. 691–711.

2. Шамоян Ф.А. Об ограниченности Теплицевых операторов в весовых Соболевских пространствах голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Записки научных семинаров ПОМИ. 1964.

Т. 39, № 389. С. 257–282.

c Куриленко С.М., 2017

–  –  –

Поиск матрицы K и точки xT идет численными методами, путем разложения в ряд exp(M T ) и решения уравнения относительно L и xT. После нахождения M, матрица обратной связи K считается по следующей формуле[2].

–  –  –

Приводится пример использования методов данной работы для рассчета переходного процесса для модели движения самолета с вертикальным взлетом и посадкой [3].

Предлагается частичная автоматизация решения задачи с помощью программы, реализованной на языке Java в среде Eclipse.

Литература

1. Зубова С.П. Численное нахождение матрицы обратной связи для линейных динамических систем / С.П. Зубова, Д.А. Литвинов // Воронежская зимняя математическая школа Современные методы теории функций и смежные проблемы, 2017 : материалы международной конференции (Воронеж, 26 января 1 февраля 2017 г.). Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2017.

2. Зубова С.П. Дифференциальные уравнения неразрешенные относительно производной / С.П. Зубова. Воронеж : Воронежский государственный университет, 2003. 32 с.

3. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф., Б. Бишоп. М. : Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.

НЕОБХОДИМАЯ ГЛАДКОСТЬ ПРАВОЙ ЧАСТИ

ОБЩЕГО ОДНОМЕРНОГО ВОЛНОВОГО

УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ЕГО

РЕШЕНИЙ В ЧЕТВЕРТИ ПЛОСКОСТИ

Ф.Е. Ломовцев (Минск) lomovcev@bsu.by Для теорем о повышении гладкости в первой четверти плоскости G = [0, [[0, [ на правую часть f выведены необходимые требования гладкости, обеспечивающие существование более гладких классических решений одномерного волнового уравнения

–  –  –

где a1 0, a2 0, b1, b2 – постоянные вещественные коэффициенты. Пусть C k () – множество всех k раз непрерывно дифференцируемых функций на множестве, k = 0, 1,..., и C 0 () = C().

В четверти плоскости сначала находятся линии разрывов частных производных высших порядков от классических решений уравнения (1). Известно [1], что первые частные производные ut и ux от кусочно-дифференцируемых решений u уравнения (1) могут терпеть разрыв только на находящихся в G частях характеристик

–  –  –

Эти результаты обобщены на производные высших порядков.

Теорема 1. Если частные производные k 2 порядка от k 1 раз непрерывно дифференцируемых решений u C k1 (G ) волнового уравнения (1) существуют в обычном смысле на G и хотя бы одна из них терпит разрыв, то линиями этого разрыва могут служить находящиеся в G части характеристик (2) и при k нечётных и k чётных соответственно части прямых

–  –  –

где A = (a1 b2 + a2 b1 )/(a1 + a2 ), B = (b2 b1 )/(a1 + a2 ), имеет гладкость множества C k (G ), k 2, функция F удовлетворяет неоднородному уравнению (1) и верны требования гладкости t

–  –  –

Теорема 3. Если f зависит только от x или t, то требования f C k2 (G ) и (4) эквивалентны требованию f C k2 [0, [ соответственно по x или t.

Если же f C k2 (G ) зависит от x и t, то требование (4) эквивалентно принадлежности интегралов из (4) множествам C k1,0 (G ) или C 0,k1 (G ), где C k1,0 (G ) и C 0,k1 (G ) – множества всех k 1 раз непрерывно дифференцируемых функций соответственно по x и t на G, k = 2, 3,...

Замечание. Из гладкости классических решений u C k (G ) уравнения (1) выводится гладкость его формального решения F C k (G ) и без теоремы 1. Если в общем интеграле u(x, t) = u0 (x, t)+ F (x, t) уравнения (1) функция u C k (G ) – классическое решение неоднородного уравнения (1) при f = 0, то функция F вида (3), зависящая от f, должна быть тоже k раз непрерывно дифференцируемой, так как решения u0 однородного уравнения (1) при f = 0 не зависят от f и поэтому не влияют на гладкость функции F.

Литература

1. Ломовцев Ф.Е. О разрывах первых и вторых частных производных решений общего одномерного факторизованного волнового уравнения в четверти плоскости / Ф.Е. Ломовцев // Вестник Полоцкого государственного университета. Сер. С : Фундаментальные науки. Математика. 2016. № 12. С. 117–124.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ИГР МЕТОДОМ

ЖАРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ

Т.С. Лукьянова, С.Н. Уксусов (Воронеж) tanialukianova5@gmail.com, uksusov.s@mail.ru В данной работе предлагается метод решения задачи теории игр для двух игроков с нулевой суммой, в которой коэффициенты платежной матрицы являются функциями некоторого параметра t. Параметр t в практических задачах может зависеть от внешних обстоятельств. Например, от курса доллара. Задача решена для того случая, когда зависимость элементов платежной матрицы [1] от параметра является линейной:

–  –  –

В предлагаемой работе разработан алгоритм решения задачи (1) основанный на методе Штифеля [1, 2, 3]. Данный алгоритм сводится к последовательному преобразованию жордановых таблиц [1, 2, 3] с c Лукьянова Т.С., Уксусов С.Н., 2017 целью получения оптимального опорного плана. Начинается алгоритм с поиска оптимального плана при значении параметра t = 0.

затем параметр увеличиваем до такого значения t = t1, пока план остается оптимальным. Затем переходим к поиску оптимального плана при t t1, и т.д. В результате интервал [0, 1] разбивается точками ti (i = 1, 2,... k) на меньшие интервалы, на каждом из которых находится решение задачи теории игр.

Литература

1. Полунин И.Ф. Курс математического программирования / И.Ф. Полунин. М. : Высшая школа, 2008. 464 с.

2. Уксусов С.Н. Метод Штифеля и его применение в линейной алгебре и математическом программировании : учебнометодическое пособие / С.Н. Уксусов. Воронеж : Изд-во ВГУ,

2003. 71 с.

3. Соловьев А.В. / А.В. Соловьев, С.Н. Уксусов // Научный вестник Воронежского государственного архитектурностроительного университета. Сер. : Управление строительством.

2013. № 2(5). С. 89–94.

ТОПОЛОГИЯ МНОГООБРАЗИЙ МАТРИЦ

РАНГА ОДИН1 В.В. Мещеряков (Коломна) metcherykov@mail.ru В работе [1] в связи с изучением так называемых универсальных операторов Дункла для каждой приведенной неприводимой системы корней определено алгебраическое многообразие, названное авторами [1] многообразием Бете. Для системы корней типа Bn (n 2) многообразие Бете гомеоморфно (см. [2]) многообразию 2n матриц, имеющих ранг, равный 1. В связи с этим возникает задача о вычислении топологических инвариантов многообразий матриц ранга 1. С помощью теоремы Зейферта ван Кампена нами доказано следующее Предложение. При m, n 2 многообразие M 1 (m, n; C) комплексных m n матриц ранга 1 односвязно.

В [3] показано, что при m, n 3 фундаментальная группа многообразия M 1 (m, n; R) вещественных m n матриц ранга 1 изоморфРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-51c Мещеряков В.В., 2017 на группе Z2. Нами вычислены фундаментальные группы многообразий M 1 (2, n; R) для n 2 и установлен топологический тип M 1 (2, n; R) для четных n.

Теорема 1. При n 2 фундаментальная группа многообразия M 1 (2, n; R) изоморфна Z; при n = 2 Z Z.

Теорема 2. При четных n многообразие M 1 (2, n; R) гомеоморфно S1 Sn1 R.

Литература

1. Golubeva V.A. Heisenberg-Weyl operator algebras associated to the models of Calogero-Sutherland type and isomorphism of rational and trigonometric models / V.A. Golubeva, V.P. Leksin // J. Math. Sci.

2000. V. 98, № 3. P. 291–318.

2. Мещеряков В.В. Многообразия Бете, связанные с системой корней серии B / В.В. Мещеряков // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж. весен. мат. школы. Воронеж : Издательский дом ВГУ, 2016. С. 186–187.

3. Manetti M. Topology / M. Manetti. Switzerland : Springer International Publishing, 2015. 309 p.

ДИНАМИКА КВАЗИДВУМЕРНЫХ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ В (3+1)-МЕРНОЙ

НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ

Х.Х. Муминов, Ф.Ш. Шокиров (Душанбе) shokirov@rambler.ru

–  –  –

Для (2+1)-мерного случая динамика топологических вихрей (1) была подробно исследована в наших предыдущих работах (см., например, [2-4]), где в частности, были получены модели дальнодействующих, аннигилирующих, а также модели упругих взаимодействий топологических вихрей (1) и установлены динамические условия взаимодействующих изоспиновых полей однозначно определяющие поведение полученных моделей [4]. Для рассмотрения эволюции квазидвумерных топологических солитонов в пространственно-разделённых двумерных слоях воспользуемся гамильтоновой моделью

–  –  –

где HA – анизотропная часть взаимодействия в плоскости подрешётки, а H3D – соответствует энергии межслойного взаимодействия; J = 2J, где J – обменный интеграл в плоскости.

Получены численные модели стационарных и движущихся взаимосвязанных вихревых пар, определены условия, приводящие к их осциллирующей динамике, поэтапному излучению энергии и распаду на локализованные вихревые возмущения в пространственно разделённых квазидвумерных слоях [5].

Литература

1. Белавин А.А. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика / А.А. Белавин, А.М. Поляков // ЖЭТФ. 1975. Т. 22, вып. 10. С. 503–506.

2. Муминов Х.Х. Динамические и топологические солитоны в нелинейных сигма-моделях / Х.Х. Муминов, Ф.Ш. Шокиров. Душанбе : Дониш, 2014. 387 с.

3. Муминов Х.Х. Динамика локализованных структур в нелинейных моделях теории поля / Х.Х. Муминов, Ф.Ш. Шокиров.

М. : Нобель Пресс, 2015. 388 с.

4. Муминов Х.Х. Изоспиновая динамика топологических вихрей / Х.Х. Муминов, Ф.Ш. Шокиров // ДАН АН РТ. 2016. Т. 59, № 7–8. С. 320–326.

5. Муминов Х.Х. Эволюция квазидвумерных топологических вихрей в (3 + 1)-мерной нелинейной сигма-модели / Х.Х. Муминов, Ф.Ш. Шокиров // Вестник филиала МГУ имени М. В. Ломоносова в г. Душанбе (научный журнал), серия естественных наук. 2017.

№ 1 (1). С. 80–86.

–  –  –

00000).

c Мустафокулов Р., Мирзоев Дж.А., 2017 Отсюда видно, что уравнение (4) при = 1 и постоянных a1, a2,..., an1 не является уравнением с постоянными коэффициентами.

Теорема 2. Уравнение (3) подстановкой (2) приводится к уравнению с постоянными коэффициентами только в том случае, когда оно имеет вид

–  –  –

Уравнение (5) называется модельным уравнением. Определены условия на правую часть f (x), при которых общее решение y(x; f ) этого уравнения, в зависимости от характера корней характеристического уравнения

–  –  –

записывается в явном виде через фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения и четырёх произвольных констант.

Рассмотрим теперь уравнение (3). Оно эквивалентно модельному уравнению с правой частью (x) = f (x) + 6x1 y + 3a1 x31 + (11 4)x42 y +

–  –  –

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ

В ИССЛЕДОВАНИИ РЕШЕНИЙ С ВНУТРЕННИМИ

СЛОЯМИ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ

РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ-АДВЕКЦИЯ1

Н.Н. Нефедов (Москва) nefedov@phys.msu.ru В докладе представлены результаты современных исследований сингулярно возмущенных задач реакция-диффузия-адвекция, базирующиеся на дальнейшем развитии асимптотического принципа сравнения (этот подход также называют асимптотическим методом дифференциальных неравенств). Обсуждается общая схема асимптотического метода дифференциальных неравенств (см., например, [1 - 2] и ссылки в этих работах) для периодических параболических задач и применяется к ряду новых случаев. В частности, мы рассматриваем периодические решения с внутренними слоями в случае несбалансированных и сбалансированных адвекции и реакции в периодических краевых задачах вида u N u 2 (u x D RN, t R, ) f (u, u, x, t, ) = 0, t x D, t R, Bu = h(x, t), с условиями периодичности u(x, t, ) = u(x, t + T, ), где - малый параметр, f, h, и D достаточно гладкие, B - граничный оператор для задачи Дирихле, Неймана или третьей краевой задачи, f, h T -периодические по t функции.

Развитый подход проиллюстрирован на примере краевых задачах для уравнений вида 2 u u u 2 A(u, x, t, ) B(u, x, t, ) = 0 x2 t x Доказаны теоремы существования периодические решения с внутренними слоями, построены их асимптотические приближения и исследована устойчивость по Ляпунову таких решений.

Аналогичные подходы были распространены на начальнокраевые задачи [3]. В частности, для уравнений реакцияРабота выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01c Нефедов Н.Н., 2017 диффузия-адвекция 2u u u A(u, x) x (0, 1), t 0.

= f (u, x, t, ), x x t получены условия существования фронтов и их асимптотическое приближение [4], включая новый случай их разрушения. Последний случай проиллюстрирован на примере обобщенного уравнения Бюргерса, возникающего в ряде приложений.

Литература

1. Васильева А.Б. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями / А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Н. Нефедов // Труды Математического Института имени В.А. Стеклова. 2010. Т. 268. С. 268–283.

2. Nefedov N.N. Existence and asymptotic stability of periodic solutions with an interior layer of reaction-advection-diusion equations / N.N. Nefedov, L. Recke, K.R. Schnieder // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2013. V. 405. P. 90–103.

3. Nefedov N. Comparison principle for reaction-diusion-advection problems with boundary and internal layers / N. Nefedov // Lecture Notes in Computer Science 2013. V. 8236. P. 62–72.

4. Nefedov N.N. Multiple scale reaction-diusion-advection

problems with moving fronts / N.N. Nefedov // Journal of Physics :

Conference Series. 2016. V. 727 P. 012011.

5. Nefedov N.N. Asymptotic analysis of reaction-diusion-advection problems: Fronts with periodic motion and blow-up / N.N. Nefedov // Journal of Physics : Conference Series. 2017. V. 811 P. 012008.

–  –  –

Прогнозирование на основе использования статистических моделей летних неблагоприятных и опасных явлений, связанных с активной конвекцией, таких, как шквалы, смерчи и сильные ливни, c Переходцева Э.В., 2017 дает более успешные результаты прогноза в сравнении с синоптическими и гидродинамическими методами прогноза.

Для холодного периода года в России также очень важной и актуальной задачей является прогнозирование сильных снегопадов даже с заблаговременностью 12-24ч с целью предупреждения населения и администрации районов и подготовки снегоуборочной техники.

В 1998-99гг. успешно прошли независимые испытания гидродинамико-статистические прогнозы дневных снегопадов количеством 7мм/12ч и более по Московской, Нижегородской и Мурманской областям, которые были рекомендованы для внедрения в синоптическую практику в качестве основных расчетных и вспомогательных методов прогноза [, ]. Автоматизированные прогнозы передавались из Гидрометцентра России в эти города в виде телеграмм по каналам связи. Все эти прогнозы рассчитывались по значениям полученной ранее для ливней дискриминантной функции F1 (X) и значениям зависящих от нее вероятностей Р1 (Х) в узлах расчетной сетки по 7-мерному наиболее информативному вектору-предсказателю, выбранному из 40 параметров (о построении статистических моделей прогноза рассказывалось на этой школе).

В настоящее время в Гидрометцентре России с 2007 года основной оперативной гидродинамической моделью краткосрочного прогноза погоды заблаговременностью до 2-х суток является региональная модель с горизонтальным разрешением 75х75км (автор

– Лосев В.М.), включающая территорию всей Европы, Сибири и Дальнего Востока. Развитие за последнее десятилетие этой гидродинамической модели прогноза позволило существенно повысить успешность гидродинамических прогнозов давления у Земли, температуры и влажности в средней тропосфере и некоторых других параметров атмосферы. Однако чисто гидродинамический прогноз и опасных конвективных явлений теплого периода, и сильных снегопадов холодного периода пока является недостаточно успешным.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«УТВЕРЖДАЮ: СОГЛАСОВАНО: РАССМОТРЕНО: Директор МОУ ИРМО Зам. директора по УВР на заседании МО "Большереченская СОШ" _ _ _Н.В.Сычва, приказ №_ от Н.В.Войтович Протокол № _ "_"20г. ""_20_г. ""20г. Рук-ль МО_ МОУ ИРМО "Большереченская СОШ" Иркут...»

«БОРОДИН АЛЕКСАНДР ВАЛЕРЬЕВИЧ ГЕНЕРАЦИЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУМЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ С РАЗЛИЧНЫМИ ЧАСТОТАМИ В УСЛОВИЯХ ОПТИЧЕСКОГО ПРОБОЯ ГАЗОВЫХ СРЕД 01.04.05 – оптика АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата физико-мате...»

«ФЭИ-1336 /нлпвк \ ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ В. С. ШУЛЕПИН, В. Н. ШАРАПОВ Усреднение констант в В2 приближении для расчета реактора I Обнинск — 1982 УДК 621.039.51 В. С. Шулешга, В. Н. Шарапов. Усреднение констант в S1 приближении для расчета реактора. 1 Обнинск: ФЭИ, 1982. — 8с. Пок...»

«Эго как субъектный инвариант © В.И.Моисеев, 2014 Аннотация. В статье развивается проект философии неовсеединства как теории инвариантности на структуре регионов субъектных онтологий. В частности, рассматривается феномен эго как источник своих эманаций, описываются стадии развития эго, даётся математическая модель переживания как -величин, стадии э...»

«Учебники и учебные пособия, изданные сотрудниками ТвГУ: 2015 Библиографическое описание Гриф МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра математического анализа Голубев А.А. Дифференциальное и интегральное исчислен...»

«ПОБИЛЕТНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ ПЕРЕВОДНОГО ЭКЗАМЕНА ПО ФИЗИЧЕСКОЙ И КОЛЛОИДНОЙ ХИМИИ ДЛЯ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА БИЛЕТ №1 1. Предмет и методы физической и коллоидной химии. Применение законов и методов физической и коллоидной химии в фармации.2. Дисперсные системы. К...»

«Математическая модель канало-отолитовой реакции на поворот вестибулярного аппарата в гравитационном поле В. А. САДОВНИЧИЙ, В. В. АЛЕКСАНДРОВ Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Э. СОТО Автономный университет штата Пуэбла, Мексика Т. Б. АЛЕКСАНД...»

«Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное высшее учебное заведение "Национальный горный университет" И.П.Гаркуша, В.П.Куринной Физика Ч. 2. Молекулярная физика и термодинамика Учебное пособие Днепропетровск НГУ УДК 53(075....»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" А.В. Бушуев, А.Ф. Кожин, Е.В. Петрова, Т.Б. Алеева, В.Н. Зубарев Методы и приборы измерений ядерных материалов ЛАБОРА...»

«216 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2012. №11(130). Вып. 27 У Д К 539.1.074.6, 539.1.074.3 ГО Д О С К О П С Ц И Н Т И Л Л Я Ц И О Н Н Ы Х С Ч Е Т Ч И К О В Д Л Я ЭК СП ЕРИ М ЕН ТО В Н А ВЫ ВЕДЕННОМ П УЧ К Е Н УК Л О Т Р О Н А ОИЯИ * **А.А. Терехин, *В.П. Ладыгин, **...»

«Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел Теория атома водорода по Бору §208. Модели атома Томсона и Резерфорда Представление об атомах как неделимых мельчайших частицах вещества ("атомос" — неразложимый) возникло еще в...»

«Казанский Федеральный университет ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Кафедра радиоэлектроники А.И. ЕВСТИФЕЕВ, Н.В. КОТОВ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СТРУКТУР БИОМОЛЕКУЛЯРНЫХ СИСТЕМ, УПРАВЛЯЮЩИХ КЛЕТОЧНОЙ АКТИВНОСТЬЮ Учебно-методическое пособие Каз...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор ИПР _А.Ю. Дмитриев "_"_2016 г. БАЗОВАЯ РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕТОДЫ КИБЕРНЕТИКИ ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Направление: 18.03.01 "Химическая технология" Профиль подготовки: "Химическая технология подготовки и переработки нефти и газа...»

«ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К СЕМЕСТРОВОМУ ЭКЗАМЕНУ 1. Предмет и задачи органической химии. Органическая химия как базовая дисциплина в системе фармацевтического образования.2. Классификация органических соединений по строению углеродного скелета и природе функциональных групп. Понятие о функцио...»

«50% является наиболее благоприятным для распространения пожара, поэтому критический разрыв при этом параметре максимален в каждом случае. При повышении влажности до 80% и более разрывы резко уменьшаются, а при низком запасе ЛГМ (20%) горение полностью прекращается. Вывод В данной работе было и...»

«Нечаев Е. П. Самовосстанавливающийся режим смазки дизелей УДК [621.431.74:656.5]:621.892 Е. П. Нечаев Самовосстанавливающийся режим смазки дизелей Представлен новый способ насыщения моторного масла микроэлементами, апробированный на судах флота рыбной промышленности и в условиях длительной эксплуат...»

«Резюме проекта, выполняемого в рамках ФЦП "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научнотехнологического комплекса России на 2014 – 2020 годы" по этапу № 3 Номер Соглашения о предоставлении субсидии: 14.579.21.0016 Тема: "Разработка нового высокочувствител...»

«ФЭИ-1542 ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Д. И. ТАМБОВ ЦЕ В, И. Н. Г ОН ИИ, В. И. РОДИОНОВ Рефрижератор растворения Не— Не для экспериментов с ориентированными ядрами Обнинск — 1984 УДК 536.483 Д. И. Тамбовцев, Н. Н. Гонин,...»

«Содержание 1 О преподавании 1 1.1 Напутствие. А.Я. Канель............................... 1 1.2 Олимпиады и математика. А. Скопенков.......................»

«Паспорт безопасности GOST 30333-2007 Бутан-1,3-диол 99%, для синтеза номер статьи: 7473 дата составления: 21.02.2017 Версия: GHS 1.0 ru РАЗДЕЛ 1: Идентификация химической продукции и сведения о производителе или поставщике 1.1 Идентификатор продукта Идентификация вещества Бутан-1,3-диол Номер...»

«В.Н.Кузнецов Эра Разума (религия и реальность) Днепропетровск Издательство "Литограф" УДК 001.92 ББК 86.30 К 64 Кузнецов В.Н.К64 Эра Разума: религия и реальность. – Днепропетровск: Издательство "Литограф", 2013.-212с. ISBN 978-966-2267-32-7 В своей книге доктор физико-математических наук, профессор Кузнецов В...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Н.И. Глухов, С.П. Серёдкин ТРАНСПОРТНАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ Конспект лекций     Иркутск 2013 1    УДК 656.2 ББК 39.1 Г 55 Печатается по решению редакционно-издательского совета Иркутского го...»

«ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2011, том 54, №11 БИОХИМИЯ РАСТЕНИЙ УДК 581.132.633.11 Член-корреспондент АН Республики Таджикистан А.Абдуллаев, Г.Ф.Касымова*, И.А.Сабоиев ВЛИЯНИЕ ПОЧВЕННОЙ ЗАСУХИ НА КОМПОНЕНТНЫЙ СОСТАВ ЗАПАСНЫХ БЕЛКОВ ПШЕН...»

«CHAMPION CUTTING OIL S 1 Паспорт безопасности в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 (REACH) и внесенной в Регламент (EC) поправкой № 453/2010 Дата выпуска:18/01/2012 Дата пересмотра:4/01/2017 Отменяет:23/06/2016 Версия: 5.1 РАЗДЕЛ 1: Идентификация химической продукции и сведения о производителе и/или постав...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.