WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года 1. Первая лекция, 15 января 2014 г. 1.1. Напоминание о векторных ...»

Алгебра, первый курс, третий модуль

Е. Ю. Смирнов

Аннотация. Записки лекций по алгебре для первого курса

факультета математики ВШЭ, весна 2013/14 учебного года

1. Первая лекция, 15 января 2014 г.

1.1. Напоминание о векторных пространствах. Пусть K

поле, которое мы будем считать фиксированным. Напомним определение векторного пространства.

Определение 1.1. Векторным пространством над полем K называется абелева группа V с операцией умножения на элементы

поля K:

K V V, (, v) v, удовлетворяющей (для любых, µ K и v, w V ) следующим аксиомам:

• ( + µ)v = v + µv (дистрибутивность по скалярам);

• (v + w) = v + w (дистрибутивность по векторам);

• (µ)v = (µv) (ассоциативность);

• 1 · v = v.

Замечание 1.2. Векторное пространство иногда ещё называют линейным пространством это то же самое, хотя, скажем, по-английски можно сказать только “vector space”.

Упражнение 1.3 (обязательное!). Прежде чем читать дальше, вспомните, что такое базис и размерность векторного пространства.

Пример 1.4.

Всякое поле K является векторным пространством над любым своим подполем (в частности, K есть одномерное векторное пространство над собой).

Пример 1.5 (арифметическое векторное пространство).

Пространство строк Kn = {(x1,..., xn ) | xi K с естественными операциями сложения и умножения на скаляры из K является n-мерным векторным пространством над K.



Вы используете эти записки на свой страх и риск. Никто не гарантирует, что их текст полностью соответствует содержанию лекций. Тем более не гарантируется отсутствие в этом тексте ошибок. Впрочем, о найденных ошибках лучше сообщать автору.

2 Е. Ю. Смирнов Пример 1.6. Пусть X произвольное множество, а Fun(X, K) функции на X со значениями в K. Функции можно складывать между собой и умножать на числа; значит, Fun(X, K) является векторным пространством. Если X конечно, то это пространство конечномерно, и его размерность равна #X; в противном случае оно бесконечномерно.

Пример 1.7.

Можно рассматривать не все функции на X, а функции с какими-либо разумными ограничениями: скажем, если K = R, то векторными пространствами будут множества непрерывных функций C 0 (R), дифференцируемых функций D(R), функций с непрерывной k-той производной C k (R), бесконечно-дифференцируемых функций C (R), многочленов R[x], рациональных функций R(x)...

Определение 1.8. Подмножество U V векторного пространства называется его подпространством, если оно само является векторным пространством относительно тех же операций сложения и умножения на скаляр.

Очевидно, что всякое подпространство содержит нуль.

1.2. Напоминание, часть 2: линейные отображения. Пусть V, W векторные пространства (над одним и тем же полем K).

Определение 1.9. Отображение f : V W называется линейным, если для любых v, v V и Kвыполняются равенства f (v + v ) = f (v) + f (v ) и f (v) = f (v).

Определение 1.10.

Ядро линейного отображения f : V W это множество всех векторов из V, переходящих в нуль:

–  –  –

Упражнение 1.11. Докажите, что Ker f и Im f суть подпространства в V и W соответственно.

Линейные отображения тоже можно складывать: (f + g)(v) :=

f (v)+g(v) и умножать на скаляры: (f )(v) = ·f (v). Тем самым они тоже образуют векторное пространство над K. Оно обозначается Hom(V ; W ) (от слова “homomorphism”).





–  –  –

1.3. Линейные функционалы.

Определение 1.13. Линейным функционалом (или линейной формой) на V называется линейное отображение V K.

Линейные функционалы образуют векторное пространство Hom(V ; K), которое обозначается V. Согласно упр. 1.12, dim V = dim V.

Приведем несколько примеров линейных функционалов.

Пример 1.14.

Пусть V = Fun(X, K) пространство функций на множестве X. Фиксируем какой-нибудь элемент x0 X. Отображение : f f (x0 ) будет линейным функционалом.

Пример 1.15.

V = R3, на котором задано скалярное произведение.

Пусть v0 V произвольный вектор. Тогда отображение (v) = (v0, v) линейный функционал.

Пример 1.16.

V = C 1 (R). Отображение (f ) = f (0), сопоставляющее функции значение её производной в нуле линейный функционал.

b Пример 1.17.

V = C(R). Отображение (f ) = a f (x)dx, сопоставляющее функции значение её интеграла по некоторому отрезку линейный функционал.

Пример 1.18.

V = Matn (K) пространство матриц. Отображение A tr A, сопоставляющее матрице её след линейный функционал.

1.4. Сопряженное векторное пространство. Пусть V конечномерное пространство с базисом e1,..., en, V некоторый функционал на V. Пусть v = x1 e1 + · · · + xn en. Тогда xi ei ) = x1 (e1 ) + · · · + xn (en ).

(v) = ( Значит, значение функционала на любом векторе определяется его значениями на e1,..., en. Обозначим ai = (ei ). Ясно, что любой набор значений ai будет задавать некоторый функционал, и разным наборам отвечают разные функционалы. Это ещё раз показывает, что dim V = n.

Построим базис в пространстве функционалов. Для этого возьмём координатные функции {1,..., n }, определенные по правилу 1, i = j;

i (ej ) = ij = 0, i = j.

Согласно вышесказанному, i образуют базис пространства V. Он называется двойственным, или сопряженным, базисом к e1,..., en.

Отображение ei i задаёт изоморфизм V V. Однако этот = изоморфизм не является каноническим: он зависит от выбора базиса в V. Другой выбор базиса задаёт другой изоморфизм между этими пространствами!

4 Е. Ю. Смирнов

–  –  –

Ясно, что fv линейный функционал на пространстве V, то есть элемент дважды двойственного пространства V. Тем самым мы построили отображение f : V V, v fv.

Теорема 1.19.

Если V конечномерно, отображение f : V V является изоморфизмом векторных пространств.

Доказательство. Ясно, что fv+w = fv + fw и fv = fv. Так что осталось проверить, что отображение f является биекцией.

Действительно, пусть {e1,..., en } базис в V, a 1,..., n двойственный к нему базис в V. Тогда fei (j ) = j (ei ) = ij. Знабазис в V, сопряженный к 1,..., n. Поэтому чит, fe1,..., fen отображение f переводит вектор v = x1 e1 + · · · + xn en в вектор fv = x1 fe1 + · · · + xn fen. Значит, это отображение действительно является биекцией.

Следствие 1.20. Каждый базис в V сопряжён некоторому базису из V.

<

–  –  –

7. Cедьмая лекция, 26 февраля 2014 г.

7.1. Эрмитово пространство. Если же пространство V комплексное, то, как легко видеть, на V не бывает положительно определенных билинейных форм. Действительно, пусть задана такая форма, для которой (v, v) 0 при v = 0. Тогда (iv, iv) = i2 (v, v) = (v, v) 0 противоречие. Поэтому для введения нормы на комплексном векторном пространстве применяются полуторалинейные формы.

7.2. Полуторалинейные формы.

Определение 7.1. Пусть V комплексное векторное пространство.

Отображение : V V C называется полуторалинейной формой на V, если:

• оно линейно по второму аргументу: (v, w + w ) = (v, w) + (v, w ); (v, w) = · (v, w);

• оно антилинейно по первому аргументу: (v+v, w) = (v, w)+ (v, w); (v, w) = · (v, w).

В конечномерном случае полуторалинейную форму можно задать матрицей: пусть e1,..., en некоторый базис пространства V. Пусть A = (aij ), где aij = (ei, ej ). Тогда если v = xi ei, w = yj ej, то (v, w) = aij xi yj.

i,j

7.3. Эрмитовы формы. Наша следующая задача выяснить, что будет аналогом симметрической билинейной формы. Ее определение тоже оказывается нужно “подправить". Так, например, у полуторалинейной формы нельзя просто поменять местами аргументы: по нашему определению форма (v, w) := (w, v) уже не будет полуторалинейной формой, т.к. она будет линейна по первому аргументу и антилинейна по второму. Чтобы получить полуторалинейную форму, результат надо еще сопрячь.

Определение 7.2. Полуторалинейная форма называется эрмитовой, если (v, w) = (w, v).

Отсюда, в частности, следует, что для эрмитовой формы (v, v) = (v, v) R. А вещественные числа уже бывают положительными или отрицательными. Поэтому возникает следующее Определение 7.3. Эрмитова форма называется положительно определенной, если (v, v) 0 при v = 0. Пространство, снабженное положительно определенной эрмитовой формой, называется эрмитовым (или унитарным).

Пример 7.4.

На Cn существует каноническая положительно определенная эрмитова форма (x, y) = x1 y1 + · · · + xn yn.

Алгебра, первый курс, третий модуль 7 Пример 7.5. Рассмотрим пространство интегрируемых комплекснозначных функций на отрезке [0, 1] (или каком-нибудь еще множестве). На этом пространстве существует положительно определенная эрмитова форма, определенная по правилу (f, g) = f (x)g(x)dx.

–  –  –

8. Восьмая лекция, 26 февраля 2014 г.

В этой лекции через V будет обозначаться n-мерное эрмитово пространство, т.е. комплексное векторное пространство, на котором задана положительно определенная эрмитова форма (, ).

8.1. Соответствие между V и V. С помощью формы (, ) можно задать изоморфизм между пространством V и двойственным к нему V. А именно, при этом изоморфизме вектор v будет переходить в линейный функционал v, заданный по правилу:

v (w) := (v, w) C Этот функционал действительно будет линеен, поскольку форма (, ) линейна по второму аргументу.

Мы получили отображение из V в V.

Оно будет изоморфизмом вещественных векторных пространств; однако оно будет антилинейно по отношению к умножению на комплексные числа:

· v v = · v.

–  –  –

Определим на пространстве полуторалинейных форм инволюцию (т.е.

отображение, квадрат которого равен тождественному) по правилу:

(v, w) (w, v).

(за счет сопряжения полученная форма снова будет полулинейна по первому аргументу и линейна по второму). Неподвижные точки этой инволюции это в точности эрмитовы формы.

Поскольку формы можно отождествить с линейными операторами, мы получаем инволюцию на пространстве линейных операторов, называемую сопряжением: A A. Согласно вышесказанному, сопряженный к A оператор это оператор A, удовлетворяющий равенству (A v, w) = (v, Aw) v, w V.

Алгебра, первый курс, третий модуль 9 Матрица A получается из матрицы A композицией транспонирования и комплексного сопряжения: A = At.

8.3. Эрмитовы и косоэрмитовы операторы.

Определение 8.1. Оператор A называется эрмитовым (соотв. косоэрмитовым), если A = A (соотв. A = A ).

Эрмитовы и косоэрмитовы операторы иногда еще называют самосопряженными и антисамосопряженными.

Предложение 8.2. Эрмитовы и косоэрмитовы операторы образуют вещественные векторные пространства (обозначим их Herm(V ) и SkewHerm(V )). Пространство End(V ) есть прямая сумма этих двух подпространств (т.е. всякий оператор есть сумма эрмитова и косоэрмитова). Размерности (вещественные!) этих подпространств равны n2.

Доказательство. Во-первых, ясно, что сумма двух (косо)эрмитовых операторов снова (косо)эрмитова, а при умножении на вещественный (но не комплексный!) скаляр (косо)эрмиров оператор снова остается таковым. Далее, если оператор одновременно эрмитов и косоэрмитов, то он нулевой, т.к. A = A = A. Поэтому эрмитовы и косоэрмитовы операторы образуют вещественные подпространства, пересекающиеся лишь по нулю.

Далее, пусть A End(V ) произвольный оператор. Тогда операторы 2 (A + A ) и 1 (A A ) будут эрмитовым и косоэрмитовым соответственно, а их сумма равна A. Стало быть, End(V ) = Herm(V ) SkewHerm(V ). Наконец, отображение A iA переводит эрмитовы операторы в косоэрмитовы и наоборот, задавая изоморфизм между (вещественными!) векторными пространствами Herm(V ) и SkewHerm(V ). Поэтому размерность каждого из них равна 1 dimR End(V ), т.е. n2.

Замечание 8.3. Про разложение оператора в сумму эрмитова и косоэрмитова можно думать как про обобщение разложения комплексного числа в сумму вещественного и чисто мнимого (а в случае dim V = 1 это в точности одно и то же).

8.4. Унитарные операторы. Понятие унитарного оператора в эрмитовом пространстве является аналогом понятия ортогонального оператора в евклидовом пространстве.

Определение 8.4. Оператор A называется унитарным, если он сохраняет норму вектора: ||Av|| = ||v|| для любого v V.

Замечание 8.5.

Оператор унитарен тогда и только тогда, когда он сохраняет скалярное произведение:

(Av, Aw) = (v, w) v, w V.

10 Е. Ю. Смирнов Действительно, импликация "только тогда"очевидна, а "тогда"следует из того, что скалярное произведение можно восстановить по норме.

Кроме того, унитарные операторы всегда невырождены, т.к. они не имеют ядра (в противном случае мы получили бы, что ||Av|| = 0 при ненулевом векторе v Ker A). Далее, произведение двух унитарных операторов и обратный к унитарному оператору снова унитарны. Поэтому унитарные операторы образуют группу, которая обозначается через U(V ) и называется унитарной группой.

Предложение 8.6. Унитарные операторы это в точности операторы, удовлетворяющие условию A1 = A.

Доказательство. Пусть u, v V произвольные векторы. Тогда (u, v) = (Au, Av) = (A Au, v).

Поэтому AA = E, что равносильно тому, что A1 = A.

Множество матриц, удовлетворяющих условию A1 = A, образует подгруппу в GLn (C), которая обозначается через Un и тоже называется унитарной группой.

Упражнение 8.7 (для тех, кто знает, что такое гладкое многообразие). Докажите, что Un является вещественным гладким многообразием размерности n2 в 2n2 -мерном пространстве Matn (C).

Пример 8.8.

U1 = {z C | z 1 = z} есть единичная окружность в R2 C.

=

8.5. Диагонализуемость и собственные значения.

Теорема 8.9.

Пусть A оператор одного из трех типов: эрмитов, косоэрмитов или унитарный. Тогда (1) Если подпространство U V является A-инвариантным, то U тоже A-инвариантно.

(2) Оператор A диагонализуем в ортонормированном базисе.

(3) Если A эрмитов (соотв. косоэрмитов, унитарен), то все его собственные значения вещественны (соотв. чисто мнимые, равны по модулю 1).

Доказательство. (1) доказывается примерно одинаково во всех трех случаях. Проведем самое сложное из трех рассуждений, для унитарного оператора A.

Итак, докажем, что AU U. Возьмем произвольный вектор w U и докажем, что Aw U, то есть что (Aw, u) = 0 для любого u U. Оператор A, ограниченный на U, также будет унитарным, а следовательно, невырожденным. Стало быть, вектор u = Au U отличен от нуля. Векторы u и w ортогональны. Поэтому 0 = (w, u) = (Aw, Au) = (Aw, AA1 u) = (Aw, u).

Алгебра, первый курс, третий модуль 11 (во втором равенстве мы воспользовались ортогональностью A).

Поэтому Aw U, что и требовалось доказать. Случай эрмитова и косоэрмитова операторов разбираются аналогично (проделайте это сами).

(2) доказывается по индукции. При dim V = 1 доказывать нечего. Докажем индуктивный переход: пусть dim V = n. Поскольку A оператор на комплексном векторном пространстве, у него есть собственный вектор v V. Будем считать, что v = 1. Тогда подпространство U = v тоже A-инвариантно в силу пункта (1).

Поэтому, согласно предположению индукции, в U существует ортонормированный базис u1,..., un1, в котором A диагонален. Но тогда A диагонален в базисе u1,..., un1, v пространства V.

Докажем (3) это для эрмитова оператора. Пусть Av = v. Тогда (v, v) = (v, v = (v, Av) = (Av, v) = (v, v) = (v, v), откуда = R. Случаи унитарного и косоэрмитова операторов разбираются аналогично.

8.6. Полярное разложение.

Определение 8.10. Эрмитов оператор A называется положительно определенным, если все его собственные значения больше нуля.

Предложение 8.11 (об извлечении корня из положительно определенного эрмитова оператора). Пусть A положительно определенный эрмитов оператор. Тогда существует единственный положительно определенный эрмитов оператор B, для которого A = B2.

Доказательство. Существование: пусть 1,..., k различные собственные значения A, V1,..., Vk соответствующие им собственные подпространства (т.е. A|Vi = i E). Пусть µi = i 0. Определим оператор B, действующий на каждом из Vi умножением на µi. Ясно, что B 2 = A.

Докажем единственность. Пусть B искомый оператор. Он диагонализуем; пусть Wi его собственные подпространства, отвечающие собственным значениям µi. Тогда пространства Wi будут собственными и для оператора A = B 2, который будет действовать на каждом из Wi умножением на µ2. Отсюда следует, что набор Wi i получается из набора Vi подходящей перенумерацией, т.е. B определен однозначно.

Лемма 8.12.

Пусть A произвольный невырожденный оператор. Тогда оператор AA положительно определенный эрмитов.

Доказательство. Эрмитовость очевидна: (AA ) = A A = AA.

Для доказательства положительной определенности заметим, что 12 Е. Ю. Смирнов собственный вектор AA, отвечающий собственному если v V значению = 0, R, = (v, v)/(v, v) = (AA v, v)/(v, v) = (A v, A v)/(v, v) = A v 2 / v 2 0.

Сформулируем и докажем теорему о полярном разложении оператора, которая является аналогом представления комплексного числа в тригонометрической форме: z = rei, где r 0, ei = 1.

Теорема 8.13 (о полярном разложении).

Всякий невырожденный линейный оператор A можно представить в виде A = BC, где B положительно определенный эрмитов оператор, C унитарный оператор, причем это представление единственно.

Доказательство. Сначала докажем единственность: что если такое представление существует, то B и C определены однозначно.

Итак, пусть A = BC, где B = B, а CC = E. Тогда по предыдущей лемме оператор AA = BCC B = BB = B 2 положительно определенный эрмитов. Значит, из него в силу предложения 8.11 единственным образом извлекается корень, т.е. оператор B определен однозначно. Но тогда и C определен однозначно, т.к. C = B 1 A.

Докажем существование. Рассмотрим положительно определенный эрмитов оператор AA. Из него извлекается корень: пусть B таков, что AA = B 2. Тогда положим C = B 1 A. Тогда A = BC, а AA = BCC B = B 2, откуда CC = E. Стало быть, C унитарен.

Теорема доказана.

E-mail address: esmirnov@hse.ru



Похожие работы:

«.01.09 " "– 2015 ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Давтян Нарине Нверовна Об экстремальных значениях числа вершин с интервальным спектром во множестве правильных реберных раскрасок графов некоторых классов АВТ...»

«Электронный архив УГЛТУ Таким образом, результаты электрохимических испытаний на коррозионную стойкость путем хронопотенциометрирования и снятия поляризационных кривых для...»

«http://www.ras.ru/news/shownews.aspx?id=e04feb32-61c8-42ae-a90d-8fadb2666082&print=1 © 2010 Российская академия наук ОРГАНИЗАЦИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ В США И РОССИИ: СУБЪЕКТИВНЫЙ ВЗГЛЯД 02.09.2010 Интервью с членом-корреспондентом РАН Соном Эдуардом Евгеньевичем Организация фундаментальной науки в США и России: субъективный взгляд Ин...»

«С.Л. Василенко Симбиоз математики и гармонии Главная задача математики – разгадать формулу гармонии Сам по себе симбиоз1 как взаимодействие, взаимопроникновение и взаимно-полезное существование (совместная жизнь) проистекает от гармони...»

«fUtwosfiff сообщения объединенного института ядерных исследовании дубна Р1-92-376 Г.В.Велев*, НЛ.Русакович АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИИ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ПО ИЗУЧЕНИЮ РАСПАДА 1С -* л°е\ НА УСТАНОВКЕ ГИПЕРОН щ Jrjjf * "•Компьютерный центр по физике" БАН, София, Болгария л: • l. введение в...»

«6 Басова О. А.СЕЗОННАЯ И МЕЖГОДОВАЯ ДИНАМИКА РЯДА ГИДРОХИМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МАЛЫХ РАЗНОТИПНЫХ ОЗЕР О. ВАЛААМ Изучение гидрохимических параметров озер – одна из составляющих лимнологичес...»

«Геология и геофизика, 2013, т. 54, № 2, с. 219—236 УДК 552.321.5, 6 ТАЛАЖИНСКИЙ ПЛАГИОДУНИТ-ТРОКТОЛИТ-АНОРТОЗИТ-ГАББРОВЫЙ МАССИВ ВОСТОЧНОГО САЯНА: ПЕТРОГЕОХИМИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И ПРОБЛЕМЫ РУДОНОСНОСТИ А.Н. Юричев, А.И. Чернышов, Э.Г. Конников * Томский государственный ун...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.