WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Экзамен по курсу Дифференциальные уравнения 4-й семестр 2013-2014 учебного года Лектор: Лобода Александр Васильевич Воронеж 1 Список вопросов по теории 1-й семестр 1. Основные понятия ...»

ФАКУЛЬТЕТ КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НАПРАВЛЕНИЕ "МАТЕМАТИКА И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ"

Экзамен по курсу

"Дифференциальные уравнения"

4-й семестр

2013-2014 учебного года

Лектор: Лобода Александр Васильевич

Воронеж

1 Список вопросов по теории

1-й семестр

1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): порядок, решение, общее решение, задача Коши, краевая задача.

2. Простейшие типы дифференциальных уравнений 1-го порядка.

3. Линейные уравнения высоких порядков: общие свойства решений.

4. Определитель Вронского, его свойства и использование.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (на примере уравнений 2-го порядка).

6. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.

7. Дифференциальные уравнения колебаний. Понятие о резонансе.

8. Системы линейных ОДУ.

9. Понятие об интегральном уравнении. Связь интегральных и дифференциальных уравнений.

10. Доказательство теоремы Коши о существовании и единственности решения ОДУ.

11. Функция Грина для ОДУ 2-го порядка.

12. Решение краевых задач с помощью функции Грина.



13. Описание семейств кривых на плоскости дифференциальными уравнениями.

14. Специальные уравнения 1-го порядка: уравнения Бернулли, Лагранжа, Клеро, Риккати.

2-й семестр

1. Некоторые модели, связанные с ОДУ: механические движения.

2. Некоторые модели, связанные с ОДУ: геометрические задачи.

3. Некоторые модели, связанные с ОДУ: уравнения химической кинетики.

4. Некоторые модели, связанные с ОДУ: динамика популяций.

5. Некоторые модели, связанные с ОДУ: тепловые процессы.

6. Глобальные свойства решений ОДУ. Теорема о выходе решения на границу области.

7. Дифференциальные неравенства. Теорема Чаплыгина.

8. Непрерывная зависимость решения ОДУ от начальных данных и параметров.

9. Различные определения устойчивости для решений ОДУ и систем ОДУ.

10. Устойчивость решений линейных систем.

11. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами. Спектральный критерий устойчивости.

12. Положительно определенные функции и их свойства.

13. Производная в силу системы ОДУ. Определение устойчивости с помощью функций Ляпунова.

14. Определение устойчивости стационарных решений автономных систем ОДУ по первому приближению.

15. Понятие и примеры задач вариационного исчисления (ВИ).

16. Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа для задач ВИ с закрепленными концами.

17. Специальные случаи интегральных функционалов в задачах ВИ. Решение задачи о брахистохроне.

18. Уравнения в частных производных первого порядка. Основные понятия.

19. Первые интегралы системы ОДУ. Связь с уравнениями в частных производных.

20. Функциональная независимость первых интегралов. Общее решение линейного уравнения в частных производных.

21. Квазилинейные уравнения в частных производных.





22. Геометрический смысл уравнения в частных производных. Решение задачи Коши.

2 Список вопросов по практике

1. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, -2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой её точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на три единицы.

2. Найти такую кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой точке в раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

3. За 30 дней распалось 50% первоначального количества радия. Через сколько останется 1% от первоначального количества радия, если количество радиактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально количеству этого вещества, имеющемуся в рассматриваемый момент?

4. Лодка замедляет своё движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки равна 2 м/с, а её скорость через 4 секунды равна 1 м/с. Через сколько секунд скорость лодки будет равна 0.25 м/с? Какой путь может пройти лодка до остановки?

5. Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент движения точка находилась на расстоянии 5 м от начала отсчета пути и имела скорость 0 = 20 м/с. Определить пройденный путь и скорость точки через 10 секунд после начала движения.

6. Парашютист спускается на парашюте, имеющем форму полусферы радиуса = 4 м. Его масса вместе с массой парашюта равна 82 кг. Найти скорость парашютиста через 2 секунды после начала спуска и путь, пройденный за время. Считать, что сила сопротивления воздуха 1 = 0.00081 2, где - площадь наибольшего сечения, перпендикулярного направлению движения; - скорость движения.

7. Метеорит, находящийся под влиянием земного притяжения, из состояния покоя начинает прямолинейно падать на Землю с высоты. Какой была бы скорость метеорита при достижении им поверхности Земли, если бы отсутствовала бы земная атмосфера? Радиус Земли = 6377 км.

8. По закону Ньютона скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20 и тело в течение 20 минут охлаждается со 100 до 60, то через сколько времени его температура понизится до 30 ?

9. За какое время вода вытечет через отверстие 0.5 см2 на дне конической воронки высотой 10 см с углом при вершине = 60 ? (Скорость истечения воды из отверстия, находящегося на расстоянии от свободной поверхности, задаётся формулой = 0.6 2).

10. Кривая проходит через начало координат и лежит в полуплоскости 0. Каждый прямоугольник, ограниченный осями координат и перпендикулярами к ним, проведёнными из точки кривой, кривая делит на две части, причём площадь части прямоугольника, находящейся под кривой, в 2 раза меньше площади части прямоугольника, находящейся над кривой. Найти уравнение кривой.

11. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 метра, вытечет из неё через круглое отверстие диаметром 0.2 метра, вырезанное в дне чаши, если скорость вытекания воды = 0.6 2?

12. Некоторое вещество разлагается на два вещества и. Скорость образования каждого из них пропорциональна количеству неразложенного вещества. Пусть х и у - количества веществ и, образовавшиеся к моменту. Определить закон их изменений, зная, что в начальный момент = 0, = 0, а через 1 секунду = 8 0, = 1 0, где 0 - первоначальное количество вещества.

13. Количество света, поглощаемого слоем воды малой толщины, пропорционально количеству падающего на него света и толщине слоя. Слой воды толщиной 35 см поглощает половину падающего на него света. Какую часть света поглотит слой толщиной в 2 метра?

14. В резервуар глубиной 4 метра, имеющий в поперечном сечении форму квадрата со стороной 6 метров, стекает вода со скоростью 10 м3 в минуту. Найти время наполнения резервуара, если одновременно из него вытекает вода через имеющееся в дне квадратное отверстие со стороной 1/12 метра.

15. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 32.

16. Пуля входит в доску толщиной = 0.1 м со скоростью 0 = 200 м/с, а вылетает из доски, пробив её, со скоростью 1 = 80 м/с. Принимая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску.

17. Точка массой, равной, движется прямолинейно. На неё действует сила, пропорциональная кубу времени, протекшего с момента, когда скорость была 0 (коэффициент пропорциональности равен ). Кроме того, точка испытывает противодействие среды, пропорциональное произведению скорости и времени (коэффициент пропорциональности равен 1 ).

Найти зависимость скорости от времени.

18. Ракета запущена вертикально вверх с начальной скоростью 0 = 100 м/с. Сопротивление воздуха замедляет её движение, сообщая ракете отрицательное ускорение, равное 2 ( - мгновенная скорость ракеты, - аэродинамический коэффициент). Определить время достижения ракетой наивысшего положения.

19. Сосуд ёмкостью в 1 литр снабжён двумя трубками и заполнен воздухом, содержащим 21% кислорода по объёму. Через одну трубку в сосуд медленно поступает чистый кислород, через другую вытекает смесь воздуха с кислородом. Какое количество газа нужно пропустить, чтобы наполнить сосуд чистым кислородом? Сколько процентов кислорода будет содержать сосуд после пропуска 10 литров газа?

20. В баке находится 100 литров раствора, содержащего 10 кг соли. В бак втекает 5 литров воды в минуту, а смесь с той же скоростью переливается в другой 100-литровый бак, первоначально наполненный чистой водой. Избыток жидкости из него выливается. Когда количество соли во втором баке будет наибольшим? Чему оно равно?

3 Ответы по теории 3.1 1-й семестр 3.1.1 Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): порядок, решение, общее решение, задача Коши, краевая задача.

Дифференциальное уравнение - уравнение вида (,,... () ) = 0, где - порядок ОДУ.

Решение ДУ - функция, при подстановке которой в уравнение получается верное тождество.

Общее решение ДУ - функция, причём const она является решением ДУ, а решения const, дающие общее решение.

Задача Коши - если функция и её частная производная непрерывны, то задача вида = (, ), (0 ) = 0 имеет единственное решение.

Краевая задача - поиск решения ДУ удовлетворяющего краевым условиям.

–  –  –

3.1.3 Линейные уравнения высоких порядков: общие свойства решений.

Линейное ДУ высших порядков - уравнение вида () + 1 (1) +... + 0 = (), при 1.

Решение уравнения -ного порядка требуют интегрирований, из которых получаем констант.

Так добавляют n начальных условий, которые помогают понижать порядок.

–  –  –

Свойства:

1. Если на неком интервале 1 и 2 линейно зависимы ( константы, которые обращают их сумму в ноль не равные 0) и дифференцируемы, то () = 0.

2. Для линейного уравнения вида + 1 () + 2 () = 0 верно, что + 1 () = 0.

3.1.5 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (на примере уравнений 2-го порядка).

Общий вид: + + = 0.

Решаем через характеристическое уравнение (вместо у подставляем и решаем).

Для возможны варианты:

1. Если разные вещественные/комплексные, то для каждого решение =.

2. Если кратные вещественные/комплексные, то, если = 1 = (1 + 2 ).

3. Если комплексно-сопряженные корни 1,2 = ±, то cos, sin

–  –  –

3.1.6 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью.

Основная формула: он = + чн Если правая часть ДУ состоит из сумм и произведений функций 0 +...+,, cos,, то решение ДУ можно найти методом неопределённых коэффициентов:

1. Найдём через характеристическое уравнение.

2. Если слагаемых справа 1, то сравниваем для них = +.

Если 1 = 2, то частные решения ищем отдельно: к левой части приравниваем каждое слагаемое справа. И решаем систему.

Примечания к п.2:

1. Если - корень, кратности, то 1 = () где () - многочлен. Получим чн подставив 1 вместо в уравнение.

2. Если - не корень, то 1 = ( () cos + () sin ). Получим чн подставив 1 вместо в уравнение.

3.1.7 Дифференциальные уравнения колебаний. Понятие о резонансе.

Уравнения колебаний основываются на 2 законе Ньютона: =.

Пусть = - з-н Гука, тогда = - ДУ колебаний пружинного маятника в невесомости. Ещё на маятник может влиять среда колебаний и т.д.

Резонанс возникает в случае приближения частоты внешних колебаний ко внутренней частоте колебаний системы. Пример резонансной системы - качели.

–  –  –

1. Метод матричной экспоненты: находим матрицы 1..., подставляем их в формулу = + 1! +... + ! () +... и составляем ряды для соответствующих ячеек матриц.

Полученные ряды сопоставляем с функциями. () = - решение.

2. Метод Жордановых форм: для матрицы :

–  –  –

Семейства линий: ортогональные (перпендикулярные), изогональные (с одинаковым углом) и огибающие (полёт ракеты) 3.1.14 Специальные уравнения 1-го порядка: уравнения Бернулли, Лагранжа, Клеро, Риккати.

1. Уравнение Бернулли - уравнение вида + () = (), где.

Если = 0, то получаем линейное неоднородное уравнение.

Если = 1, то линейное однородное с разделяющимися переменными.

Если 0, то 0 - решение. Остальные решения можно получить методом Бернулли.

–  –  –

3. Уравнение Клеро - уравнение вида = + ( ). Частный случай уравнения Лагранжа.

4. Специальное уравнение Риккати - уравнение вида + 2 =. Если = 0, то уравнение с разделяющимися переменными, если = -2, то это уравнение Бернулли.

3.2 2-й семестр 3.2.1 Некоторые модели, связанные с ОДУ: механические движения.

Механические движения описываются 2-м законом Ньютона =.

Пусть = (), () =, () = и =. Тогда можно составить какое-нибудь ОДУ.

3.2.2 Некоторые модели, связанные с ОДУ: геометрические задачи.

Надо строить графики. tg =, угол падения = углу отражения. На этом можно построить какое-нибудь ОДУ.

3.2.3 Некоторые модели, связанные с ОДУ: уравнения химической кинетики.

Пусть идёт реакция 2 веществ массами 1 и 2.

Основная формула химической кинетики: () = 1 () 2 (), где () - масса на выходе.

На каждую единицу вещества требуется определённое количество 1 и 2 реагента:

() = (). Подставим это вместо 1 и 2 и получим ОДУ 1 порядка.

3.2.4 Некоторые модели, связанные с ОДУ: динамика популяций.

В простейшем виде: =, где если 0, то популяция растёт.

С поправками: = ( ), где - количество пищи, а ах - скорость поедания. - ОДУ 1 порядка. Чаще популяций несколько и одни едят других.

3.2.5 Некоторые модели, связанные с ОДУ: тепловые процессы.

Тепловые процессы можно описать ОДУ. Пусть, например, - температура тела.

Тогда = ( 20) - пример ОДУ. Уравнение теплопроводности: = 2.

3.2.6 Глобальные свойства решений ОДУ. Теорема о выходе решения на границу области.

Пусть задача Коши с решением ().

Непродолжаемым решением называется * = (), если в точке графика функция является локальным решением и интервала, на котором эта функция.

Выход линии на границу значит, что её точки попадают в окрестности граничных точек.

Теорема: Пусть 2. Тогда задача Коши и 0 (0, 0 ) и (, ) удовлетворяет теореме о существовании и единственности в. Тогда решение задачи Коши продолжается влево и вправо от 0 до выхода на границу области.

–  –  –

Функция удовлетворяет теореме Коши фигуры, в которой лежат графики () и (). Если 0 0, то на [0, ] () () Доказательство: методом от противного. Пусть 1 [0, ] где (1 ) (1 ) Возьмём функцию () = () + (). (1 ) = lim ( () (1 ) ) 0 Значит, (1 ) (1 ) и функции от них так же число меньше самого себя.

–  –  –

3.2.9 Различные определения устойчивости для решений ОДУ и систем ОДУ.

3.2.10 Устойчивость решений линейных систем.

Решение системы устойчиво по Ляпунову, если 0 такие, что |(0 ) (0 )| |() ()| | при 0 Решение системы асимптотически устойчиво, если |(0 ) (0 )| следует, что |() ()| 0 при Решение задачи Коши экспоненциально устойчиво, если |() ()|,.

Примечание: у линейных систем все решения либо устойчивы, либо нет.

3.2.11 Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами. Спектральный критерий устойчивости.

Если собственным значениям матрицы системы =, имеющим = 0 не отвечает ни один присоединенный вектор, то система устойчива.

–  –  –

3.2.14 Определение устойчивости стационарных решений автономных систем ОДУ по первому приближению.

Нулевое решение системы асимптотически устойчиво, если () удовлетворяет условию (0) = 0, непрерывно дифференцируема в нуле и все собственные значения матрицы частных производных А имеют отрицательную вещественную часть.

В автономную систему ДУ t не входит явным образом. Н-р = (1... ).

3.2.15 Понятие и примеры задач вариационного исчисления (ВИ).

(, (), ()), где -вариация функционала.

Функционал: () = Вариация функционала - главная часть приращения функционала вдоль определённого направления.

Вариационное исчисление изучает вариации функционалов.

Примеры задач: задача ВИ с закреплёнными концами, брахистохрона.

–  –  –

3.2.22 Геометрический смысл уравнения в частных производных. Решение задачи Коши.

Уравнения в ч.п. возникают при обсуждении однородных поверхностей. Так в декартовой СК можно нарисовать круг, логарифмическую спираль и т.д.

Решение задачи Коши: находим 1, 2 для квазилинейного уравнения. Из них составляем систему, в которые подставляем начальные условия. В итоге найдём необходимое решение.

4 Ответы по практике

4.1 Задача №1 () - кривая. = (). Т.к. увеличение на 3 единицы, то уравнение:

= + 3, (0) = 2. Разделяем переменные, находим и.

–  –  –

4.9 Задача №9

Посчитаем объем вытекшей воды между и двумя способами:

1. При = за 1 вытекает 0.5 воды. За вытекает 0.5, где из условия.

2. Вода получает отрицательное приращение. За вытекает 2 = ( + 0.7)2.

Приравняв, получим ОДУ. Выразив и полагая = 0 получаем время.

–  –  –

4.11 Задача №11

Посчитаем объем вытекшей воды между и двумя способами:

1. - высота воды в момент. Т.к. высота цилиндра =, а основание 0.2м, то ( 20 )2.

2. Воды освобождается 2 = (2 2).

Приравняв, получим ОДУ. Выразив получаем время.

4.12 Задача №12 В момент количество неразложившегося вещества =. Получаем систему = 1 ( ), = 2 ( ). Поделим второе на первое и подставим получившееся в первое. Уравнение: + (1 + 2 ) = 1. Выражаем и.

4.13 Задача №13 Количество света, проходящего на глубину равно (). На участке ( + ) поглотится () света, значит ( + ) = () (). При 0 уравнение: =.

–  –  –

4.16 Задача №16 При прохождении слоя толщиной пуля тратит, работа 2. Приравниваем. В итоге = 2. Выражаем и. Получаем координаты пули и.

4.17 Задача №17

Пусть ()- скорость материальной точки в момент. Из 2 з-на Ньютона уравнение:

= 3 1.

4.18 Задача №18 Из 2 з-на Ньютона уравнение: = 2

–  –  –

4.20 Задача №20 Пусть в момент в одном баке () соли. За из него вытечет 5() соли. При 0

ОДУ для 1 бака = 20. Всё, что вытекло из 1 бака, втекает во второй: 5(), где () решение ДУ для 1 бака. В то же время из 2 бака вытекает 5() соли. Тогда закон для 2 бака:

= 2 20 20. Находим время из производной от решения этого уравнения. Для этого времени считаем это решение.

–  –  –



Похожие работы:

«1.2. Компоненты природной среды и их природные ресурсы 1.2.1. Поверхностные и подземные водные объекты 1.2.1.1. Реки 1) (ГУПР МПР России по Республике Бурятия, Бурятский ЦГМС Забайкальского УГМС Росгидромета, материалы Иркутского УГМС Росгидромета из Государственного доклад...»

«Школа при Посольстве России в Индии. Заочная форма обучения 10 класс. Химия Основной учебник: Габриелян О.С. Химия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.– М.: Дрофа, 2012. I полугодие "Введение в...»

«2 1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Целью дисциплины является формирование систематизированных знаний в области математического моделирования практических задач и их решение на основе классических методов и приемов решения дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.Задачи дисциплины: сформировать пред...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уральский государственный университет им. А.М. Горького" ИОНЦ "Нанотехнологии и перспективные материалы" Химический факультет Кафедра физической химии А.Ю...»

«1. Цели освоения модуля (дисциплины) Курс физики является одной из фундаментальных дисциплин современного естествознания и теоретической базой, без которых невозможны подготовка и успешная деятельность высококвалифицированных специалистов в различных областях производства, науки и техники. Курс физики позволя...»

«РУКОВОДСТВО ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ Монитор Elo Touch Solutions 1929LM с сенсорным экраном SW200167 Rev A Copyright © 2014 Elo Touch Solutions, Inc. Все права защищены. Любую часть данной публикации запрещае...»

«Курс по физике для дистанционного обучения абитуриентов. Подготовил профессор Кирьяков Б.С. Рязанский государственный университет имени. С.А. Есенина Б.С. Кирьяков Пособие по физике: электронный учебник для подготовки к ЕГЭ Рязань 2009 Курс по физике для дистанционного обучения абитуриентов. Подг...»

«ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ Т. 55. № 10/2 ФИЗИКА 2012 УДК 521.1 В.А. АВДЮШЕВ ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИИ ЛОКАЛЬНОЙ ОРБИТАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ1 В работе рассматриваются несколько приложений линейных отображени...»

«Атомарный структуризатор воды "ESILAN" Атомарный структуризатор воды "ESILAN" (АСВ) создан российскими учеными с использованием последних достижений в области нанотехнологий (самосборка наноструктур). АСВ "ESILAN" генерирует эле...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.