WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТРУДЫ XLIII МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ АСПИРАНТОВ И СТУДЕНТОВ Санкт-Петербург 2 – 5 апреля 2012 года ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ...»

-- [ Страница 5 ] --

Тогда в течение следующих 24 часов максимальные потери в стоимости портфеля с доверительной вероятностью 95% могут составить 259,91 тыс. руб.

Пользуясь выкладками работы [3], можно записать формулу для

–  –  –

Таким образом, Shortfall позволяет учитывать большие потери, которые могут произойти с небольшой вероятностью.

2. Риск в теории нечетких множеств. Рассмотрим новый подход к описанию экономических процессов, в которых присутствует неопределенность, затрудняющая применение точных количественных методов и подходов.

2.1. Риск и мера риска. Введем лингвистические переменные (переменные, которые нельзя описать с помощью математического языка) и функцию принадлежности (инструмент перевода лингвистических переменных на математический язык для дальнейшего применения метода нечетких множеств). Самый часто используемый в практике анализа инвестиционных проектов треугольный вид функции принадлежности.

Треугольное число задается с помощью трех параметров: минимальное, модальное и максимальное значения, что соответствуют пессимистическому, базовому и оптимистическому сценариям.

2.2. Мера V&M (Воронова и Максимова). Рассмотрим инвестиционный проект, в котором NPV чистый денежный доход (ЧДД) можно свести к треугольному числу

–  –  –

Рассмотрим инвестиционный проект, который будет осуществляться в течение четырех лет. Размер стартовых инвестиций составляет 2,5 млн. руб. Ставка дисконтирования колеблется от 15% до 20% годовых. Чистый денежный поток планируется в пределах от 0 до 3 млн. руб.



–  –  –

Риск-менеджер может самостоятельно установить шкалу непринятия риска в зависимости от дополнительных параметров проекта и своих предпочтений. Используя градацию (см. таблицу 1), можно сказать, что риск данного проекта низкий.

Заключение. В данной статье рассмотрена задача принятия решений в условиях риска в теориях вероятностей и нечетких множеств. На конкретном примере приведено соотношение мер VAR и Shortfall. Из теории нечетких множеств показана реализация меры V &M.

Литература

1. Новоселов А. А. Детерминированный эквивалент в моделях принятия решений в условиях риска // Труды V Всероссийской конференции по финансово-актуарной математике и смежным вопросам. Т. 1. Красноярск, 2006. С. 166–167.

2. Буренин А. Н. Управление портфелем ценных бумаг. Серия Теория и практика финансового рынка. М.: НТО им. академика С. И. Вавилова, 2005. 452 с.

3. Yamai Y., Yoshiba T. On the validity of value-at-risk: comparative analyses with expected shortfall // Monetary and economic studies, 2002.

Гуревич А. С.

Санкт-Петербургский государственный университет Избежание банкротства в модели с задержкой выплат Рекомендовано к публикации профессором Прасоловым А. В.

1. Введение. Проблема избежания банкротства стоит перед каждой компанией в любой момент её существования. Даже в благоприятной экономической ситуации принятие неверных и излишне рискованных решений может привести к потерям, которые окажутся критическими. На сегодняшний момент в мировой экономике складывается ситуация, когда ни одна крупная компания не может действовать без оглядки на возможные потери, именно поэтому задача принятия решений, основанного на учёте рисков, требует пристального изучения. На данный момент существует большое количество разнообразных мер рискованности.





Для того чтобы исследовать рискованность того или иного решения, необходимо изучить случайную величину, характеризующую прибыль, получаемую в результате этого решения. В ранних исследованиях рискованность была неразрывно связана с дисперсией случайной величины (напрямую [1] или, например, как отношение математического ожидания к среднеквадратическому отклонению [2 – 4]). Отдельной группой можно выделить меры рискованности, основанные на нижних частичных моментах случайной величины. В данном случае риск определяется в смысле отрицательного отклонения от некоторого целевого результата [5, 6]. К этому классу относятся такие меры рискованности, как вероятность дефицита, стоимость активов, подверженных риску (VaR) [7], ожидаемый дефицит и многие другие. Меры рискованности, принадлежащие данной группе, на данный момент наиболее часто используются при оценке финансовых рисков. Кроме указанных выше мер рискованности стоит отметить экономический индекс рискованности [8], основанный на понятии неприятия риска [9] и операционную меру рискованности [10, 11], основанную на понятии минимального необходимого резерва средств. Эти две меры рискованности определены только для определённого класса случайных величин, имеющих положительное математическое ожидание и принимающих отрицательные значения с некоторой положительной вероятностью и называемых азартными играми. Стоит отметить, что операционную меру рискованности можно переопределить для всех случайных величин с несущественным изменением свойств [12]. В данной работе сделано усиление одного из свойств операционной меры рискованности Фостера (Foster) и Харта (Hart), которое позволяет расширить область применения этой меры и разработать стратегию избежания банкротства в модели с задержкой выплат. Фостер и Харт в своей работе [10] предлагают меру рискованности, которая позволяет избежать банкротства в модели, в которой лицу, принимающему решение, в каждый дискретный момент времени предлагается возможность сыграть в некоторую азартную игру, а он, в свою очередь, может согласиться или отказаться. Выплаты в этой модели происходят единовременно с принятием решения. Недостаток этой модели состоит в том, что в реальной экономике выплаты зачастую происходят спустя некоторое значительное время после принятия решения (например, в случае с одобрением кредита) и между принятием решения по одной азартной игре и выплатой по ней же у игрока может появиться необходимость принять решение по какой-то другой азартной игре. Кроме того, зачастую игроку приходится принимать решение сразу по группе предложений в один момент. В данной работе приводится стратегия, позволяющая игроку избежать банкротства в модели с задержкой выплат и одновременным предложением нескольких азартных игр, основанная на операционной мере рискованности Фостера и Харта.

2. Операционная мера рискованности. Сначала опишем операционную меру рискованности. Для этого необходимо ввести некоторые понятия и модели.

Определение 1.

Азартной игрой будем называть случайную величину g, принимающую действительные значения и удовлетворяющую следующим условиям:

1) P (g 0) 0,

2) E(g) = 0.

Определение 2. Максимальной потерей азартной игры g будем называть величину L(g) = min(g) 0.

В работе [10] Фостер и Харт рассматривают следующую модель.

Пусть в начале игрок имеет некоторый капитал W1. В каждый момент времени t = 1, 2,... игроку, имеющему капитал Wt, предлагается принять участие в азартной игре gt и он может либо отказаться от игры, либо согласиться. Если игрок принимает игру, то его капитал W(t+1) = Wt + gt, а если отказывается, то W(t+1) = Wt. Игры предлагаются случайным образом, вне зависимости от предыстории и текущего капитала игрока.

Определение 3. Стратегией s игрока будем называть однозначное отображение из множества возможных ситуаций (упорядоченных пар) (Wt ; gt ) на множество возможных решений принять; отказать.

Определение 4.

Будем говорить что стратегия s обеспечивает избежание банкротства с вероятностью 1, если для любого W1 0 при использовании этой стратегии выполняются следующие условия:

P (Wt 0) = 0 для любого t;

P (limt Wt = 0) = 0.

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 1 [10]. Для каждой азартной игры g существует единственное число R(g) 0 такое, что стратегия s обеспечивает избежание банкротства тогда и только тогда, когда s(Wt ; gt ) = ”отказать” для любой пары (Wt ; gt ) такой, что Wt R(gt ), причём R(g) однозначно определяется уравнением g E log 1 + R(g) = 0.

Теорема 2 [10].

Для любых игр g, h справедливы следующие утверждения:

1. Если игры g и h имеют одинаковое распределение, то R(g) = R(h).

2. R(a g) = a R(g) для любого a 0.

3. R(g) L(g).

4. R(g + h) R(g) + R(h) (субаддитивность).

3. Усиленное свойство субаддитивности. Следующие четыре утверждения усиливают четвёртое свойство операционной меры рискованности.

Теорема 3. Для любой пары азартных игр g и h справедливо утверждение R(g+h) max(R(g)+L(h), L(g)+R(h)) R(g)+R(h).

Теорема 4. Для любой пары независимых азартных игр g и h справедливо утверждение: R(g + h) min(R(g) + L(h), L(g) + R(h)).

Теперь расширим действие двух предыдущих теорем на любое число суммируемых игр.

Теорема 5. Для любого конечного множества азартных игр n x1,.

.., xn справедливо следующее неравенство R ( i=1 xi ) maxi (L(x1 ) +... + L(xi1 ) + R(xi ) + L(xi+1 ) +... + L(xn )).

Теорема 6. Для любого конечного множества независимых азартных игр x1,.

.., xn справедливо следующее неравенство n R ( i=1 xi ) mini (L(x1 )+...+L(xi1 )+R(xi )+L(xi+1 )+...+L(xn )).

В реальных финансовых задачах часто встречаются большие наборы случайных величин схожей природы иначе называемые портфелями, например, портфель розничных кредитов банка и т. д.

Определение 5. Портфелем m азартных игр будем называть любое конечное множество азартных игр {x1,..., xm }, принимаемых либо отвергаемых одновременно.

Обозначим = maxi (L(x1 )+...+L(xi1 )+R(xi )+L(xi+1 )+... + +L(xn )) mini (L(x1 ) +... + L(xi1 ) + R(xi ) + L(xi+1 ) +... + L(xn )).

Вычислять новую суммарную рискованность портфеля при добавлении каждого нового дополнительного элемента может быть затратно либо невозможно технически.

Покажем, что при работе с большими портфелями, собранными из некоторого конечного набора азартных игр, есть возможность упростить задачу расчёта суммарной рискованности портфеля при добавлении дополнительной азартной игры из данного конечного набора.

Теорема 7. Пусть имеется конечный набор азартных игр g1,.

.., gn. Пусть R(g1 ) · · · R(gn ), портфель m = {x1,..., xn }, и пусть каждая игра этого портфеля xi является игрой gj с некоn торой вероятностью j 0; j=1 j = 1. Тогда предел вероятности limm P (L(gk ) R(m + gk ) R(m ) L(gk ) + ) = 1.

Здесь gk азартная игра из набора g1,..., gn.

4. Модель с задержкой выплат. Теперь перейдём к модели с задержкой выплат. Пусть в каждый момент времени t = 1, 2,... игроку предлагается принять некоторую азартную игру gt, игрок может либо согласиться на неё, либо отказаться. Обозначим T задержка реализации азартных игр. Пусть в начальный момент времени t = 1 игрок имеет положительное число денег W1. Решение игрока о принятии игры зависит от самой игры, игр, принятых до этого, и от количества денег, которое он имеет на момент принятия решения. S(gtT +1, gtT +2,..., gt, Wt, Ht ) = 1, если игрок соглашается на игру и S(gtT +1, gtT +2,..., gt, Wt, Ht ) = 0, если отказывается.

Здесь Ht двоичный вектор размерности T 1, Ht (i) = 1, если игра gtT +i была принята и Ht (i) = 0, если не была принята. Величина Wt+T = Wt+T 1 + gt, если игра gt была принята и Wt+T = Wt+T 1, если не была принята. Таким образом, имеем T 1 W (t + T ) = Wt + i=1 Ht (i)=1 gtT +i + gt при принятии игры T 1 и W (t + T ) = Wt + i=1 Ht (i)=1 gtT +i при отказе.

Теорема 8. Однородная стратегия S обеспечивает избежание банкротства с вероятностью 1 тогда и только тогда, когда S(gtT +1, gtT +2,.

.., gt, Wt, Ht ) = 0 для любой ситуации (gtT +1, gtT +2,..., gt, Wt, Ht ) для которой выполняется условие T 1 Wt i=1 Ht (i)=1 L(gtT +i ) R(gt ).

5. Модель с задержкой выплат и с портфелями игр. Теперь объединим предыдущую модель с результатами, полученными для портфелей азартных игр. Рассмотрим модель, отличающуюся от предыдущей только тем, что в каждый момент времени t вместо игры gt игроку предлагается портфель азартных игр t t t t m(t) = {g1,..., gm(t) }. Максимальными потерями портфеля L(m(t) ) будем называть сумму максимальных потерь всех игр, входящих в портфель.

Теорема 9. Любая однородная стратегия S, удовлетворяющая tT +1 tT +2 t условию S(m(tT +1), m(tT +2),.

.., m(t), Wt, Ht ) = 0, если

–  –  –

6. Заключение. Таким образом, были получены стратегии избежания банкротства для модели с задержкой выплат и для модели с задержкой выплат и портфелями игр, основанные на операционной мере рискованности Фостера и Харта.

Литература

1. Machina M., Rothschild M. Risk // Palgrave dictionary of economics, 2nd ed./ edited by S. N. Durlauf and L. E. Blume.

London: Macmillan, 2008. P. 190–197.

2. Bodie Z., Kane A., Marcus A. Investments 5th ed. New York:

McGraw-Hill, 2002. 1062 p.

3. Welch I. Corporate Finance: An Introduction // Prentice Hall, United States ed edition, 2008. 1128 p.

4. Mei-Chen Lin, Pin-Huang Chou. The pitfall of using sharpe ratio // Finance letters, 2003. Vol. 1. P. 84–89.

5. Ford G., Young M. Congruent risk measures in a banking rm // MGSM WP, 2008. Vol. 2008-3. 46 p.

6. Artzner P., Delbaen F., Eber J-M., Heath D. Coherent measures of risk // Math. Finance, 1999. Vol 9. P. 203–228.

7. Jorion P. Value at risk: the new benchmark for controlling market risk 2nd ed. // New York: McGraw-Hill, 2000. 544 p.

8. Aumann R. J., Serano R. An economic index of riskiness // Journal of political economy, 2008. Vol. 116(5). P. 810–837.

9. Pratt J. Risk Aversion in the Small and in the Large // Econometrica, 1964. Vol. 32, No. 1/2. P. 122–136.

10. Foster D. P., Hart S. An operational measure of riskiness // Journal of political economy, 2009. Vol. 117, No 5. P. 785–814.

11. Foster D. P., Hart S. A Wealth-requirement axiomatization of riskiness // The Hebrew University of Jerusalem, Center for Rationality DP-577, 2011. 36 p.

12. Gurevich A. Index of riskiness for nite game // Workshop Networking games and management. Extended abstracts, 2009.

Дубовенко А. Р.

Санкт-Петербургский государственный университет О возможностях управления динамикой демографии на макроуровне Рекомендовано к публикации профессором Смирновым Н. В.

1. Введение и постановка задачи. Численный рост населения мира и вопросы с ним связанные тема не новая. Первоначальная гипотеза гиперболического возрастания численности населения трансформируется в модель с переходным процессом к некоторому равновесию [1]. И эта стабилизация одно из важных условий перехода к устойчивому эколого-экономическому развитию. Человечество может существовать при довольно ограниченном влиянии на природу. Но в то же самое время наблюдается непрерывное, безмерное использование ресурсов окружающей среды, что приводит к разрушению биосферы. В связи с этим возникает необходимость разработки математических макромоделей, развития теоретических представлений, которые помогут показать, каковы границы экспансии человечества на природную биосферу, каковы глобальные ограничения, которые накладывает состояние окружающей среды на численность человечества. Требуемые модели опираются, в первую очередь, на модели демографической динамики.

2. Описание модели. Еще в середине предыдущего столетия прогнозирование численности населения опиралось на элементарную идею о гиперболическом законе демографического роста [1, 2] C N=, (1) (T0 T ) где N (t) численность населения, C = 2 1011 постоянная гиперболической кривой роста населения, T0 = 2026 год точка сингулярности. Углубленный анализ позволил предложить усложненную модель, описывающую кооперативный механизм развития с мерой квадрата численности населения [1] N2 dN =. (2) dt C Характерная и отличительная черта функции (1) и уравнения (2) в сингулярности, т. е. решение уходит в бесконечность, что дало повод для названия таких моделей моделями конца света.

На самом деле происходит смена взрывного роста режимом стабилизации. Именно этот переход описали С. П. Капица, А. В. Акимов, Б. М. Долгоносов и др. Благодаря С. П. Капице, анализ моделей демографической динамики стал играть немалую роль в изучении демографии населения и попытках ее прогнозирования. Его работы показывают, что рост населения Земли можно описывать математически, фактически не вводя никаких дополнительных факторов кроме самой численности. Этот эффект дал основание С. П. Капице для провозглашения демографического императива, признания первостепенной и самодостаточной роли демографической динамики в истории развития человеческого общества.

В подобный класс моделей попадают модели, определенные для описания режима со стабилизацией, их можно назвать альтернативными математическими моделями демографической динамики. Так впервые модель со стабилизацией численности населения была предложена в работах И. А. Кожевникова и В. И.

Найденова [3] и выглядела так:

dN N = rN 2 1, (3) dt Nc где Nc несущая емкость биосферы Земли, которая определяется как стационарная численность человечества, при которой биосфера и цивилизация устойчиво сосуществуют, r коэффициент роста численности населения. Эта модель встречается и в работах Ю. М. Свиржева [4] и называется логистическим законом регулирования. Она описывает динамику разряженной популяции, в которой размножение лимитируется образованием брачных пар.

В человеческой популяции квадратичный закон роста имеет другую информационную природу. Поэтому рассмотрим модель, предложенную Б. М. Долгоносовым. Он дополнил демографический императив C. П.

Капицы информационным императивом [5]:

–  –  –

Рис. 1. Решение системы (4)–(6) при N (t0 ) = 1, 7 млрд.

Заметим, что в приближении, при увеличении точности численного решения системы дифференциальных уравнений, интегральная кривая на интервале после 2060 года выглядит как показано на рис. 2.

7.44 7.42 7.4 7.38

–  –  –

Рис. 2. Приближенный вид решения системы (4)–(6) при t 2060 Система имеет вполне адекватное, соответствующее реальности решение. Хотелось бы отметить, что резкие волновые скачки, которые наблюдаются уже на пороге 2050–2100 годов (см. рис. 1) и прослеживаются как тенденция далее, не соответствуют стабилизации численности населения. Логично предположить, что если население мира резко увеличивается, достигая определенного максимального значения, а потом по каким-то причинам начинает снижаться, то это означает, что возникают серьезные проблемы глобального социально-экономического характера. В этом случае целью управления можно считать сглаживание таких колебаний.

Пусть управление будет воздействовать как некий приглушающий и сдвигающий элемент, но действующий не на большие колебания, а на малые, видимые только в приближении. Построение таких управлений можно рассматривать как этап к решению более серьезной задачи уменьшению амплитуды колебаний решения замкнутой системы. Будем выбирать u(t) в классе различных функций, а именно, в классе медленно растущих функций. После замыкания системы и численного интегрирования в среде MATLAB были получены графики решений (см. рис. 3, 4). В качестве примеров было взято два варианта управления: u(t) = kt + sin(t); u(t) = u0 exp(t).

7.45 7.4

–  –  –

.

Рис. 4. Решение системы (4), (5), (7) с управлением вида u(t) = u0 exp(t) Таким образом, введение управления u(t) в уравнение (6) сглаживает колебания, а степень сглаживания зависит от природы выбранной функции u(t).

4. Заключение. Как уже говорилось ранее, резкие колебания на графике решения системы (4)–(6) не являются показателями стабильности в развитии цивилизации. Такие скачки лишь указывают на возникновения некоторых проблем в обществе, которые не могут быть разрешены естественным путем. В данной работе решена частная задача сглаживания таких колебаний путем ввода в систему управлений различной природы. Результаты можно увидеть на рис. 3, 4.

Легко заметить, что управление не влияет на общий вид решения и не противоречит известным статистическим данным. Наравне с этим, управление u(t) имеет вполне обоснованный экономический характер. Так, если рассматривать уравнение (8) и вспомнить, что средняя скорость обработки информации одним человеком, то управление u(t) есть ничто иное, как всевозможные мероприятия, направленные на увеличение скорости обработки информации, именно поэтому в качестве управления выбирались медленно растущие функции. Это могут быть и системные изменения в структуре, качестве и уровне образования, повышение квалификации и профессиональных способностей у дееспособного населения и т. д. Понятно, что эти меры должны быть применимы на макроуровне и не могут быть универсальными для каждой страны. Отметим, что управление в стабилизирующей модели, описанной системой (4)–(6), можно использовать не только как глушитель малых колебаний, но и как влияние на крупные колебания решения системы. Однако это задача дальнейшего исследования.

Литература

1. Акаев А. А., Садовничий В. А. Математическая модель демографической динамики со стабилизацией численности населения мира вокруг стационарного уровня // Доклады Академии наук,

2010. Т. 435, № 3. С. 320–324.

2. Капица С. П. Очерк теории роста человечества. Демографическая революция и информационное общество. М.: Никитский клуб, 2008. 64 с.

3. Найденов В. И., Кожевников И. А. Математические модели численности населения Земли // Доклады Академии наук, 2003.

Т. 393, № 5. С. 591–596.

4. Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987. 367 с.

5. Долгоносов Б. М. Нелинейная динамика экологических и гидрологических процессов. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ, 2008.

439 c.

Еременко О. Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет Метод шока для отбраковки дефектных элементов Рекомендовано к публикации профессором Буре В. М.

Введение. В статье рассмотрен метод шока, предложенный в работе [1]. Он широко используется для отбраковки дефектной продукции в производстве изделий технического назначения до того, как она будет реализована и войдет в эксплуатацию.

Для того, чтобы уменьшить количество изделий с высоким уровнем интенсивности отказов, образцы продукции подвергают шоку разного рода воздействиям, имитирующим нагрузки, которые испытывают изделия в процессе эксплуатации. Как правило, шок бывает тепловым, физическим (удар) и воздействующим знакопеременными температурами за определенные промежутки времени.

Отбраковываются те элементы, которые дают сбой во время тестирования. В тестируемой совокупности представлены две категории элементов с высокой продолжительностью жизни (сильная группа) и низкой (слабая группа) [2]. Если применять шок слишком долго, то элементы хорошего качества также будут изыматься (качество в данном случае это потенциальная продолжительность жизни ) или срок их эксплуатации будет снижаться. С другой стороны, если шок применяется недостаточное время, то элементы низкого качества остаются. Поэтому необходимо найти оптимальное время воздействия. Этот способ часто находит применение в производстве и инженерных технологиях.

Оптимальный уровень силы шока. Определим оптимальную величину шока, которая улучшает качество продукции после его проведения. Предположим, что во время t = 0 подействовал шок и элемент либо вышел из строя, либо остался без изменений. Чем ниже качество элемента, тем он более восприимчив к шоку.

Обозначим величину шока s [0, +). Устойчивость к шоку элемента из сильной группы обозначим U, это непрерывная случайная величина. Если s U, то элемент выходит из строя. Введем следующие обозначения: G(s) = P {U s} интегральная функция распределения случайной величины U, G(s) = P {U s} интегральная функция выживаемости элемента из сильной группы, r(s) = G (s) интенсивность отказов для функции распределения G(s) G(s), Uw устойчивость к шоку элемента из слабой группы, слабые элементы более восприимчивы к воздействию шока.

Будем предполагать, что

Gw (s) = P {Uw s} = G ((s)), s 0,

где (s) функция, обладающая следующими свойствами: (s) s, (0) = 0. Введем параметр z, который может принимать два возможных значения. Если z = z1, то выбрана сильная группа, если z = z2 выбрана слабая. Обозначим вероятность отказа для сильной и слабой группы после шока как p1, p2 (p1 p2 ). Тогда вероятностную функцию отказа в результате шока, зависящую от двух переменных

z и s, можно записать следующим образом:

–  –  –

G(0) = 0, G(s) = 1 exp{R(s)}.

Как показано в [1], справедлива следующая Теорема 1. Пусть 1 (t) 2 (t), t 0, где 1 (t), 2 (t) функции интенсивности отказов для сильной и слабой группы. Тогда в качестве оптимального s следует выбрать значение, которое максимизирует величину R ((s)) R(s).

В частности:

1) если r(s) возрастает и (s) 1, то s = ;

2) если (s)r((s)) 1 для s s0 и (s)r((s)) 1 для s s0, то r(s) r(s) s = s0.

Рассмотрим примеры.

1. Пусть r(s) = 2s+1, (s) = s3, s 0. При s 3 (s) = 3s2 1.

Так как функция r(s) возрастающая и (s) 1, то по теореме 1 s =.

2. Пусть r(s) = exp{s}, (s) = s2 возрастающая функция, s 0, (s) s, (0) = 0, тогда (s) = 2s. При s 0,5 (s) 1; при s 0,5 (s) 1. Имеем (s)r ((s)) = 4s exp{2s}.

r(s) Возьмем s0 = 0,176, при s s0 получаем 4s exp{2s} 1. При s s0 4s exp{2s} 1. Тогда по теореме 1 s = s0 = 0,176.

Оптимальный уровень шока, соответствующий минимальным затратам. Рассмотрим теперь модель с учетом зависимости от выигрышей и штрафов.

Введем следующие обозначения: g1 выигрыш в результате выживания элементов из сильной группы, g2 выигрыш в результате удаления элементов из слабой группы, c1 штраф в результате удаления элементов из сильной группы, c2 штраф в результате выживания элементов из слабой группы,, (1 ) относительные доли численности сильной и слабой группы до шока. С учетом этого и (1), ожидаемый выигрыш после проведения шока можно представить в виде функции (s) = g1 (1 G(s)) c1 G(s) + g2 (1 )G ((s)) c2 (1 ) (1 G ((s))).

Задача заключается в максимизации функции (s) по s. Заметим, что вероятность отказа сильной составляющей G(s) является риском того, что элемент из сильной группы будет изъят в результате шока. Выражение (1 G ((s))) можно рассматривать как риск выживания слабой составляющей после шока. Максимизация выигрыша (s) заключается в минимизации функции (s), которую можно представить в виде

–  –  –

1. Cha J. H., Finkelstein M. Burn-in by environmental shocks for two ordered subpopulations // European Journal of Operational Research, 2010. Vol. 206, P. 111–117.

2. Cha J. H. On a better burn-in procedure // Journal of Applied Probability, 2000. Vol. 37, P. 1099–1103.

3. Cha J. H., Finkelstein M. Shocks in Mixed Populations // V. V. Rykov et al. (eds.), Mathematical and Statistical Models and Methods in Reliability: Applications to Medicine, Finance, and Quality Control, Statistics for Industry and Technology, 2010. Vol. 26, P. 335–344.

Жигачёва А. Л.

Санкт-Петербургский государственный университет О модификации модели эндогенного роста Лукаса Рекомендовано к публикации профессором Смирновым Н. В.

1. Введение. Модели эндогенного роста занимают особое место в современной экономической теории. Их целью является объяснение многообразия экономического развития в странах мира, выработка рекомендаций по проведению экономической политики, направленной на обеспечение устойчивого экономического роста. Лукас Р. в своих работах (см., например, [1]) сформулировал соответствующую модель, ставшую классической, в которой впервые был учтен такой фактор экономического развития, как человеческий капитал. Под ним понимается уровень знаний и навыков работника. Вслед за Лукасом с этой моделью работали многие ученые, в том числе Хайе Д., Королев А. В. и Матвеенко В. Д. В их работах [2, 3] особое внимание уделяется поиску управляющей функции, построенной на основе принципа максимума Понтрягина Л. С., которая позволяет оптимизировать распределение рабочего времени.

1.1. Математическая постановка задачи. Будем следовать работам [1–3]. Рассматривается экономика с идентичными работниками, число которых N (t) растет с постоянным темпом роста :

N = N (t). (1) Примем за h(t) уровень человеческого капитала работника, u(t) долю его рабочего времени, посвященную производству благ, 1 u(t) долю рабочего времени, посвященную обучению.

Рост человеческого капитала описывается уравнением h = (1 u(t))h(t), (2) а накопление физического капитала K(t), соответственно:

K = Y (t) N (t)c(t), (3) где Y (t) выпуск продукции, c(t) поток реального потребления на душу населения.

Выпуск Y (t) зависит от запаса физического капитала K(t), эффективной рабочей силы u(t)h(t)N (t) и среднего человеческого капитала h (t):

Y (t) = AK [uhN ]1 h. (4) При этом N (t) 0, h(t) 0, h (t) 0, c(t) 0, K(t) 0, 0 u(t) 1.

Уровень технологии A эластичен, эластичность выпуска по внешнему действию человеческого капитала и эластичность выпуска по физическому капиталу, а также множитель считаются постоянными:

0, 0, A0, 01, 0, N (0) = 1.

Предпочтения определяются нормой дисконтирования 0 и коэффициентом относительной несклонности к риску 0. Задан целевой функционал c(t)1 1 N (t)et dt. (5) Принята гипотеза о том, что при максимизации функционала (5), при заданных условиях (1)–(4), работник считает переменным собственный человеческий капитал h(t). При этом средний для экономики человеческий капитал h (t) полагается экзогенно заданным.

Его влияние на производительность каждого индивидуума является внешним эффектом человеческого капитала. По каждой функции h (t) можно найти набор функций {h(t, h (t)), K(t, h (t)), c(t, h (t)), u(t, h (t))}, максимизирующий функционал при заданных ограничениях. Если при этом h = h, то набор называется равновесной траекторией.

1.2. Построение управления в случае =. Применим к данной задаче принцип максимума Понтрягина, считая h экзогенно заданным. Гамильтониан имеет вид

–  –  –

В работе [2] управление получено в случае равенства коэффициента относительной несклонности к риску и эластичности выпуска по физическому капиталу, что представляется частным случаем для данной модели. Однако это позволило выписать достаточно простое дифференциальное уравнение относительно управляющей функции u(t), которое дает решение исходной задачи (1)–(5) для рассматриваемого частного случая. Вывод этого уравнения опирается на следующие утверждения.

Лемма 1. Вдоль любой равновесной траектории величина 2 всегда растет с постоянной скоростью.

Лемма 2. При предположении = в модели Лукаса суммарное потребление N c вдоль любой равновесной траектории всегда пропорционально физическому капиталу K.

Лемма 3. Доля рабочего времени, посвященная производству благ u(t), определяется на равновесной траектории следующим дифференциальным уравнением

–  –  –

фика видно, что с течением времени доля рабочего времени будет постепенно снижаться в пользу времени, затраченного на обучение работников.

Проведенное исследование показало, что нетрудно построить численное решение полученной системы. Это, в свою очередь, позволяет рассматривать и изучать модель (1)–(5) в более полном, общем случае.

<

Литература

1. Lucas R. E. On the mechanics of economic development // J.

Monetary Econom, 1988. Vol. 22, № 1. P. 3–42.

2. Xie D. Divergence in economic performance: transitional dynamics with multiple equilibria // J. Econom Theory, 1994. Vol. 63, № 1.

P. 97–112.

3. Королев А. В., Матвеенко В. Д. О структуре равновесных нестационарных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса // Автоматика и телемеханика, 2006. Т. 1, Вып. 4. С. 126–136.

Закройщиков С. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Оценка обязательств корпорации перед работником по пенсионному страхованию Рекомендовано к публикации доцентом Дорофеевым Б. В.

1. Постановка задачи. В работе оценивается современная стоимость обязательств по корпоративному пенсионному страхованию для конкретного работника по известным таблицам смертности, вероятности выхода на пенсию и прогноза инфляции.

Рассматриваемая модель имеет несколько условий:

• право на получение пенсии имеет любой работник со стажем не менее 15 лет;

• размер корпоративной пенсии работника определяется в зависимости от отраслевого стажа и заработной платы в момент выхода на пенсию;

• вероятность дожития до определенного возраста определяется по таблице смертности РФ за 2008 год;

• заработная плата растет пропорционально росту инфляции;

• ставка наращения принимается равной ставке дисконтирования и равной оценке инфляции в размере 6,2%.

–  –  –

3. Пример. Предположим, что наблюдаемому работнику 48 лет и его корпоративный стаж составляет 5 лет. Для начала будем считать, что известна дата выхода на пенсию 60 лет. Вычислим современную стоимость обязательств перед этим работником.

Стаж работника на момент выхода на пенсию 17 лет, ежемесячная пенсия работника будет составлять 10% от его заработной платы (см.

таблицу 1):

–  –  –

где p(x) вероятность выйти на пенсию в x лет (по таблице выхода на пенсию), а суммы ограничены снизу отсутствием обязательств перед любым работником, чей стаж менее 15 лет и сверху предельным возможным возрастом работы на корпорации. Подставляя конкретные значения и суммируя, получим оценку P = 251458 рублей.

5. Вывод. Построена математическая модель, позволяющая оценивать пенсионные обязательства корпорации перед работником. На примере построена оценка и для конкретного работника она составляет 251458 рублей.

–  –  –

1. Кудрявцев А. Актуарная математика: Оценка обязательств компании страхования. СПб: Изд-во СПбГУ, 2005. 240 с.

Замураев К. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Об управлении инвестиционным потоком в экономике Санкт-Петербурга Рекомендовано к публикации профессором Прасоловым А. В.

В статье предложена модель достижения определенных уровней оборота предприятий города за счет регулирования потока инвестиций. Модель рассматривается на помесячных данных оборота организаций Санкт-Петербурга и инвестициях в основной капитал, подсчитанных Федеральной службой государственной статистики по Санкт-Петербургу и Ленинградской области (Петростатом) за период с января 2005 года по декабрь 2010 (рис. 1).

Рис. 1. Оборот организаций (в действующих ценах) и инвестиции в основной капитал, в млн. руб. за текущий месяц Одним из распространенных методов прогнозирования является построение тренда и формулирование статистических выводов относительно него [1]. В частности, подбирается наилучшая форма линии тренда, тренд продлевается на интервал прогнозирования, рассчитываются остатки, строится вероятностная полоса. На рис. 2 представлен пример прогнозирования инвестиций с помощью построения тренда, содержащего линейную часть и два вида колебаний с периодом в 4 и 12 месяцев.

Перейдем к рассмотрению нового подхода.

Рис. 2. Инвестиции в основной капитал, тренд, вероятностная полоса Для реальных экономических параметров естественно наличие инфляционной составляющей. Для исследования реального изменения параметров необходимо исключить её из данных. Для очищения данных от инфляции будем использовать Индекс потребительских цен (ИПЦ) величину, характеризующую эти процессы.

Рассмотрим помесячные данные ИПЦ за аналогичный период.

Выбирая базовый месяц (декабрь 2004 г.), вычисляем для каждого последующего месяца накопленное значение ИПЦ CP Ii. Применяем эти значения к каждому значению оборота и инвестиций по формуле i CP Ii iCP I = i, 100% где i, iCP I i-ое значение временного ряда (оборот, инвестиции) с ИПЦ и без ИПЦ соответственно.

Получим значения оборота организации и инвестиций без инфляционной составляющей (рис. 3). Переходим к моделированию зависимости оборота и инвестиций.

Предположим что инвестиции в основной капитал и оборот организаций образуют регрессионную зависимость друг с другом [2] и, одновременно с этим, имеют эндогенную природу [3]:

n m xk+1 = i xk+1i + j uk+2j +, k n, k m 1.

i=1 j=1 Рис. 3. Оборот организаций и инвестиции в основной капитал, в млн. руб. за текущий месяц, с исключенной инфляционной составляющей Считаем, что глубина зависимости текущего оборота от предыдущих значений оборота, а также от текущих и предыдущих инвестиций равна 12, т. е. n = m = 12. Коэффициенты данной модели идентифицируются по МНК. Вычисляем значимость каждого из них, по одному удаляем из модели незначимые коэффициенты и заново оцениваем остальные, приходим к модели, в которой останутся только значимые коэффициенты [4].

В итоге имеем формулу для определения оборота xk+1 = 0,215xk + 0,511xk2 + 3,761uk+1 2,505uk2 + 29238,860.

Ставим перед собой задачу в достижении определенного уровня оборота организаций в течение какого-либо будущего периода времени, например, года [5]. Формулируем общую формулу определения инвестиций необходимых для заданного годового роста оборота (т. е.

для x, которые закладываются наперед):

k+1 n m x uk+1 = i xk+1i j uk+2j.

1 k+1 i=1 j=2 Предположим нас интересует рост оборота на 5% (для простоты считаем, что оборот вырастет равномерно на 5% за следующий год).

Выражая из предыдущей формулы инвестиции и подставляя в нее определенные ранее коэффициенты модели, имеем (x 29238,860 0,215xk 0,511xk2 + 2,505uk2 ), uk+1 = 3,761 k+1 где x значения оборота организаций, планируемые к достижеk+1 нию.

Вычислив значения, строим графики оборота с 5% ростом и инвестиций с спрогнозированными значениями (рис. 4).

Рис. 4. Оборот организаций с прогнозируемым ростом за год на 5% и инвестиции в основной капитал с вычисленными управляемыми инвестициями за год, дающие 5% рост оборота, в млн. руб.

Смоделируем влияние индекса потребительских цен (ИПЦ) на спрогнозированные чистые значения. Имея временной ряд ИПЦ, строим, например, линейный тренд.

Продолжив тренд на интересующий будущий интервал времени, получим оценку ИПЦ (рис. 5), который приводим к базовому месяцу (декабрь 2004 г.).

Рис. 5. Временной ряд индекса потребительских цен и его линейный тренд Преобразовываем прогнозные данные без ИПЦ, обозначим их за iCP I, в прогнозные данные с учетом найденных значений ИПЦ прогноза (CP If orecast ) по формуле

–  –  –

Строим окончательный график оборота организаций с построенным прогнозом на год и инвестиций в основной капитал с прогнозом на год (рис. 6).

Рис. 6. Оборот организаций с прогнозом на год и инвестиции в основной капитал с прогнозом на год в млн. руб. за текущий месяц Сравнив полученные данные инвестиций с реальными (рис. 7), можно сделать вывод о неэффективном использовании инвестиций в экономике города.

Рис. 7. Реальные (круги) и спрогнозированные (квадраты) значения оборота организаций и инвестиций в основной капитал в 2011 г.

Просуммировав смоделированные значения инвестиций в основной капитал, получим сумму в 238662 млн. рублей необходимую на следующий год, которая будет способствовать чистому росту оборота организаций Санкт-Петербурга на 5%.

Таким образом, представлен метод достижения наперед заданного оборота городских предприятий за счет управления инвестициями, в частности, введения в них управляемой составляющей.

–  –  –

1. Гусаров В. М. Статистика. М.: Изд-во Юнити, 2003. 463 c.

2. Бупе В. М., Евсеев Е. А. Основы эконометрики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 70 с.

3. Sargent T. J., Wallace N. Rational expectations and the theory of economic policy // Journal of Monetary Economics, 1976. No 2.

P. 169 –183.

4. Прасолов А. В., Хованов Н. В. О прогнозировании с использованием статистических и экспертных методов // АиТ, 2008. № 6.

C. 129 –142.

5. Прасолов А. В. Математические модели динамики в экономике.

СПб.: Изд-во СПбУЭФ, 2000. 352 c.

Захаров В. В., Крылатов А. Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

1. Введение. Задачи перераспределения транспортных потоков стали важной областью для исследований. С тех пор, как личный автомобиль вошёл в жизнь каждого человека, разработка алгоритмов управления формирующимися потоками автотранспорта стала чрезвычайно актуальной. Развёрнутое представление о современной теории транспортных потоков можно получить в [4]. Оказывается, что большинство предложенных на сегодня моделей основываются на гидродинамике, кинематике, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории вероятности (см., например [3]). В предложенной работе рассмотрим задачу перераспределения транспортных потоков как игру с ненулевой суммой. На сегодняшний день разработаны модели управления ресурсами в беспроводных сетях на основе теории игр [5]. В настоящей работе проведём параллель между распределением ресурсов в беспроводных сетях и распределением транспортных потоков на улично-дорожной сети мегаполиса.

Рассмотрим передатчики ресурсов в беспроводных сетях как поставщиков услуг навигации на транспортной сети города. Функция выигрыша в нашей модели схожа с функциями, предложенными в [1, 2], однако имеет определённую модификацию. Более того, используя методологию, разработанную в [1, 2], докажем существование равновесия по Нэшу в игре двух поставщиков навигационных услуг и найдём его в явной форме.

2. Равновесие по Нэшу в игре двух навигаторов. Рассмотрим игру двух Навигаторов (Навигатор 1 и Навигатор 2). Каждый из них стремится направить подотчётный поток транспортных средств так, чтобы максимизировать свою функцию выигрыша. Более того, полагаем, что каждый Навигатор j может распределять потоки автотранспорта T j12 и T j21, передвигающиеся между двумя Районами прибытия-отправления (Район 1 и Район 2), по n12 и n21 возможным путям соответственно.

Стратегией Навигатора j является T j = (T j12, T j21 ), где T j12 = = (T1,..., Tn12 ) и T j21 = (T1,..., Tn21 ) такие, что Tij12 j12 j21 j12 j21 0 для i = (1, n12 ) и Tij21 0 для i = (1, n21 ), и n12 Tij12 = T j12, (1) i=1

–  –  –

vi Tij21 j21 = 0, получаем условия (5) и (6).

Теорема доказана.

Таким образом, мы готовы ввести стратегии, вид которых будет принимать равновесие по Нэшу. Для положительных 1, 2, 1 и 2 таких, что вектор 1 = (1, 2 ) и вектор 2 = (1, 2 ), введём сле

–  –  –

Доказательство. Доказательство данной теоремы аналогично доказательству теоремы 2 из [1].

3. Заключение. В настоящей работе рассмотрена задача распределения транспортных потоков на улично-дорожной сети мегаполиса в виде игры с ненулевой суммой между поставщиками навигационных услуг. Доказано существование равновесия по Нэшу в игре двух навигаторов. Более того, равновесное решение получено в явном виде. В дальнейшем планируется развить задачу управления транспортными потоками до двухуровневой задачи управления.

Литература

1. Altman E., Avrachenkov K., Garnaev A. Closed form solutions for water-lling problem in optimization and game frameworks // Telecommunication Systems Journal, 2009. Vol. 47. P. 153–164.

2. Altman E., Avrachenkov K., Garnaev A. Jamming game in wireless networks with transmission cost // Lecture Notes in Computer Science, 2007. Vol. 4465. P. 1–12.

3. Chowdhury D., Santen L., Schadschneider A. Statistical physics of vehicular trac and some related systems // Phys. Rep., 2000. Vol.

329. P. 199–329.

4. Kerner B. S. Introduction to modern trac ow theory and control:

the long road to three-phase trac theory. Springer, 2009. 278 p.

5. Lai L., El Gamal H. The water-lling game in fading multiple access channels // Trans. Information Theory, 2005. Vol. 54, No. 5.

P. 2110–2122.

Зенкевич Н. А., Соколов Ю. С.

Санкт-Петербургский государственный университет

Теоретико-игровая модель контракта по управлению проектом

1. Введение. В данной статье исследована проблема формирования контракта на исполнение проекта с двумя режимами выплат: по окончанию каждой работы или исполнения проекта в целом. Исследованная модель является обобщением задачи, рассмотренной в [1] на случай неполной информации о параметрах затрат.

Двухэтапная игра между управляющим проектом и исполнителями решена методом обратной индукции [2]. Игру второго этапа между исполнителями удалось решить, используя систему рекуррентных функциональных уравнений Беллмана [3]. Стратегии исполнителей найдены в явном виде. Для центра получены формулы оценки продолжительности проекта и его равновесного выигрыша.

2. Модель. В работе рассматривается двухэтапная теоретикоигровая модель Штакельберга, в которой игроки последовательно выбирают свои стратегии. Игра начинается, когда управляющий проектом (центр) определяет контракт на его исполнение, выбирая не только размер выплаты (p) каждому исполнителю задачи, но и режим выплат: по окончанию работы (N ) или отсроченный (D). Исполнители, являясь последователями в данной игре, выбирают свою производительность.

Центр получает доход Q от заказчика в момент исполнения проекта. Предполагается, что проект состоит из n 2 независимых работ, каждая из которых выполняется определенным исполнителем параллельно, начиная с момента t = 0 начала исполнения проекта.

При режиме выплат по окончанию работы (N ) исполнитель получает оплату сразу по завершению своей работы. При отсроченном режиме выплат (D) каждый исполнитель получит свою оплату только в момент исполнения проекта. Время Xi выполнения работы является случайной величиной, распределенной по экспоненциальному закону с параметром ri 0 производительность исполнителя i.

Поэтому время исполнения проекта T = max {X1,..., Xn }.

Обозначим через 0 ставку дисконтирования. Тогда коэффициент дисконтирования (ri ), связанный с временем Xi, равен величине (ri ) = E eXi = 0 ri e(ri +)t dt = riri, i = 1, n.

+ Аналогично находим коэффициент дисконтирования, связанный с временем T : n (r1,..., rn ) = E eT. Поскольку функция распределения Xi имеет вид Fi (t) = 1 eri t, i = 1, n, то функция расn пределения времени T имеет вид F (t) = i=1 Fi (t) и коэффициент дисконтирования, связанный с временем T исполнения проекта, равен n (r1,..., rn ) = 0 et F (t) dt.

Будем предполагать, что расходы Ki (ri ) исполнителя i в единицу времени при производительности ri имеют вид Ki (ri ) = ki ri 2, где ki [0, k] независимые равномерно распределенные случайные величины, i = 1, n. Тогда ожидаемые затраты исполнителя i равны X E 0 i Ki (ri ) dt = ri. k

–  –  –

Теорема 1. Для фиксированного p i функция выигрыша N i (p, ri ) исполнителя i вогнута по ri, при этом оптимальное значение производительности

–  –  –

5. Выбор режима выплат. Можно доказать, что при достаточно большом Q центру выгоден режим (N ), поскольку имеет место N D неравенство c (Q) c (Q). При достаточно малом Q выполнено D N c (Q) c (Q), т. е. центру выгоден режим (D).

6. Заключение. В данной работе, рассмотрена теоретико-игровая модель управления проектом. Найдены оптимальные в смысле максимизации выигрыша стратегии исполнителей. Получены формулы равновесного выигрыша центра и оценки продолжительности проекта.

–  –  –

1. Kwon H., Lippman S., McCardle K., Tang C. Project management contracts with delayed payments // Manufacturing and Service Operations Management, 2010. Vol. 12, No 4. P. 692–707.

2. Зенкевич Н. А., Петросян Л. А., Янг Д. В. К. Динамические игры и их приложение в менеджменте. СПб.: Изд-во Высшая школа менеджмента, 2009. 415 с.

3. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр.

СПб.: БХВ-Петербург, 2012. 432 с.

4. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица, И. Стиган. М.: Наука, 1979. 832 с.

Иванова К. А., Парилина Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Модели бинарного выбора. Будем рассматривать модели, в которых результат наблюдений описывается переменной, принимающей дискретные значения. Данная переменная может описывать какие-либо качественные признаки. Будем рассматривать класс задач, в которых она выражает выбор альтернативы.

Переменная, принимающая значения 1,..., k при наличии k альтернатив, называется номинальной. Если существует только две альтернативы, то переменная называется бинарной. Модель, у которой результат наблюдений описывается бинарной переменной, называется моделью бинарного выбора [1].

Пример. Рассмотрим задачу о покупке семьей некоторой квартиры. Зависимая переменная y принимает значение 1, если семья купила данную квартиру, и 0 в противном случае.

Решение о покупке зависит от множества факторов (независимых переменных):

бюджет семьи, наличие детей, удаленность от места работы, наличие объектов социальной инфраструктуры в шаговой доступности от дома и т. д. Данные факторы формируют вектор x = (x1,..., xk ).

Следует учесть, что на решение влияют также неучтенные факторы (ошибки).

Рассмотрим модель линейной регрессии [2]

–  –  –

Использование функции стандартного нормального распределения является естественным, использование функции логистического распределения объясняется простотой численной реализации процедуры оценивания параметров. Выбор лучшей из этих моделей не является однозначным, однако для значений u, близких к нулю (u [1,2; 1,2]), функции (u) и (u) ведут себя примерно одинаково, но хвосты логистического распределения значительно тяжелее хвостов нормального распределения.

Найдем оценку параметров для логит-модели. Сделаем переобозначения для дальнейшего удобства. Пусть = (, 1,..., k ), xi = (1, x1,..., xk ), i = 1,..., n.

Получим равенство, эквивалентi i ное (3):

P {yi = 1} = F (xi ). (4) Для нахождения оценки параметра обычно используют метод максимального правдоподобия, предполагая, что наблюдения y1,..., yn независимы. Функция правдоподобия имеет вид

–  –  –

Уравнение (13) является векторным уравнением правдоподобия для модели бинарной регрессии с распределением Вейбулла.

Эмпирическое исследование. Для применения полученных результатов было проведено исследование, которое заключалось в изучении спроса на тур в определенное место, определенное время и за определенную стоимость. Было выбрано 30 человек различных возрастных категорий, различного типа работы и денежных достатков. Решение человека бинарная переменная y. Она принимает значение 1 в случае готовности приобрести тур и 0 в противном случае. Решение зависит от множества факторов, которые формируют вектор x. В качестве этих факторов были взяты возраст (x1 ), наличие семьи (x2 ), тип работы (x3 ), уровень заработной платы (x4 ) и время последнего отдыха (x5 ). Все факторы оценивались по номинальным множителям: x1 {1, 2, 3}, x2 {1, 2}, x3 {1, 2, 3}, i i i x4 {1, 2, 3}, x5 {1, 2, 3}. Таким образом, была получена выборка i i {(xi, yi )}i=1,30, где yi {0, 1}.

Рассмотрим модель бинарного выбора с функцией распределения Вейбулла. Уравнение правдоподобия имеет вид (13), его можно решить при конкретных параметрах k и. Возьмем k = 2, = 4.

Используя полученную выборку и программный пакет Maple [5], решим его и найдем оценку параметра = (0,735096; 1,652302; 0,66401; 0,735376; 2,211795).

Для сравнения рассмотрим логит-модель. Уравнение правдоподобия имеет вид (7). Используя полученные численные данные и программный пакет Maple [5], найдем оценку параметра = (0,30725; 3,242829; 0,944502; 0,216612; 5,688863).

–  –  –

Заключение. В работе была введена новая модель бинарного выбора модель с функцией распределения Вейбулла. Для нее, используя метод максимального правдоподобия, была найдена оценка коэффициента регрессии. Вопрос о максимизации функции правдоподобия по параметрам распределения Вейбулла остается открытым. Для выборки, полученной при эмпирическом исследовании, были найдены оценки параметра по двум моделям (логит-регрессии и бинарной регрессии с распределением Вейбулла), была произведена проверка адекватности построенных моделей по методу Бен-Акивы и Лермана.

Литература

1. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика.

Начальный курс, 6-е изд. М.: Дело, 2004. 576 с.

2. Greene W. H. Econometric Analysis, 5th edition. New Jearsey:

Pearson Education, 2003. 1026 p.

3. Long J. S. Regression models for categorial and limited dependent variables. Thousand Oaks: Sage Publ., 1997. 328 p.

4. Amemiya T. Qualitive response models: a survey // Journal of Economic Literature, 1981. Vol. XIX. P. 1483–1536.

5. http://www.maplesoft.com/products/maple

6. Ben-Akiva M., Lerman S. Discrete choice analysis. Cambridge Massachusetts: The MIT Press, 1985. 416 p.

Игнатьева Е. П., Кумачева С. Ш.

Санкт-Петербургский государственный университет Анализ остатков денежных средств на расчетных счетах кредитной организации Как правило, значительную часть в структуре обязательств кредитной организации (банка) занимают обязательства до востребования, такие как текущие (расчетные) счета юридических лиц, лоро счета других банков, вклады юридических и физических лиц до востребования (далее счета до востребования). Средства на счетах до востребования выгодны банкам, так как они самые дешевые из структуры привлеченных ресурсов, т. е. оптимальные по затратам на привлечение. Таким образом, эффективное управление всеми вышеперечисленными ресурсами является важной задачей для любой кредитной организации, а своевременное и точное определение величины средств, приравниваемых к собственным, позволит банкам рационально использовать все источники привлеченных средств и получать значительную прибыль. В связи с этим, актуальным вопросом является поиск такого статистического метода, который позволит улучшить используемый на практике в кредитной организации способ прогнозирования остатка денежных средств на счетах до востребования.

1. Математическая постановка задачи. В качестве исходных данных будем рассматривать совокупный объем остатков денежных средств на всех расчетных счетах клиентов одного из банков за определенный период времени. Согласно принятой банковской методике, для исследования и построения прогнозной оценки остатков их разделяют на две группы. Отнесение к той или иной группе происходит путем сравнения рассматриваемого остатка с установленной контрольной суммой. Предполагаемым способом улучшения существующей методики является разделение остатков по расчетным счетам на большее количество групп. Целью этого разделения является достижение большей схожести динамики остатков внутри групп, что, в свою очередь, должно способствовать приближению получаемой прогнозной оценки остаточных средств к реальным данным.

Сформулируем общий план предполагаемого исследования:

1. Основываясь на применяемой в ряде банков методике, будем рассматривать разделение общего числа остатков на две группы: крупные и средние остатки. Проведем анализ двух временных рядов, отражающих динамику изменения крупных и средних остатков.

2. Методами кластеризации добьемся разделения совокупной группы крупных и средних остатков на l подгрупп. Проведем анализ l временных рядов.

3. Сравним результаты, полученные в пунктах 1, 2.

2. Решение задачи. Исходные данные представляют собой 135 выборок, отражающих динамику изменения остатков по крупным и средним расчетным счетам. К группе крупных счетов отнесено 35 выборок, к группе средних, соответственно, 100 выборок. Данное разделение получено с использованием принятой банковской методики. Таким образом, результаты, полученные в итоге анализа этих двух групп, будут служить образцом для сравнения с предлагаемыми нами методами. Общий объем каждой выборки равен 250 элементам. Все выборки получены за 2010 финансовый год (31.12.09 – 31.12.10). Ниже представлены графики, отражающие динамику изменения суммарных остатков по обоим типам расчетных счетов за указанный промежуток времени.

–  –  –

Так как элементы обеих суммарных выборок упорядочены во времени, можно рассматривать выборки как временные ряды. Проверка гипотезы о случайности значений ряда наблюдений с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки, и критерия восходящих и нисходящих серий для обеих выборок дала следующие результаты: гипотеза случайности отвергается для 5% уровня значимости [1]. Таким образом, в ряде наблюдений для обоих случаев ожидается присутствие регулярных составляющих (тренда, сезонной компоненты и пр.).

С использованием встроенных методов Excel была вычислена величина достоверности аппроксимации R2 для пяти наиболее популярных моделей тренда (линейной, логарифмической, степенной, полиномиальной, экспоненциальной) [2]. Значения этого показателя колеблются в интервале [0,1; 0,6] для ряда крупных остатков и [0,06; 0,7] для ряда средних остатков. Максимальному значению величины достоверности аппроксимации для обоих рядов соответствует полиномиальная модель тренда шестой степени. Но данная модель не может быть выбрана в качестве окончательной по причине того, что величины достоверности аппроксимации R2 далеки от единицы [3]. Таким образом, можно сделать вывод, что ни одна из наиболее популярных моделей тренда не отражает в должной мере динамику обоих временных рядов. Отсюда вытекает необходимость применения методов выявления регулярных составляющих, отличных от классических.

Как было описано выше, для улучшения прогнозной оценки необходимо разделить совокупный объем остатков (крупных и средних, объединенных в группу) на подгруппы. Критерием разделения будет служить устойчивость остатков по каждому отдельному счету.

В данном случае, под устойчивостью будем понимать общую длительность неизменяемости остатка по счету.

Сопоставим каждой из 135 выборок ряд со значениями xi, построенный следующим образом:

xi = xi xi+1,

где xi значения исходной выборки, i = 1,..., 250.

Присутствие нулевых значений в полученных рядах будет означать присутствие неизменяемых на протяжении некоторого времени остатков в исходных выборках. Сопоставим каждой исходной выборке показатель cn, равный количеству нулей в рядах, построенных по описанному выше правилу. По этому показателю и будет проводиться кластеризация. Расположим выборки в порядке возрастания показателя cn. Проведем кластеризацию показателя cn с использованием статистического пакета SPSS. Воспользуемся методом иерархического кластерного анализа, применив метод межгрупповых связей, с мерой, равной квадрату расстояния Евклида, z стандартизацией переменных и числом кластеров, равным семи. Результат распределения показателя cn (и соответствующих ему выборок) по кластерам показан на рис. 3.

Рис. 3. Результат кластеризации

Применяя кластерный анализ, получим семь групп счетов, динамика которых схожа внутри каждой отдельной группы. Проведем суммирование остатков по всем расчетным счетам внутри каждой группы. В итоге получим семь временных рядов. График одного из них изображен на рис. 4.

Рис. 4. Пятый кластер

3. Заключение. Из первичного анализа временных рядов очевидно следует, что ни одна из наиболее популярных моделей тренда не отражает в должной мере их динамику. Поэтому дальнейший анализ временных рядов, необходимый для получения прогноза, следует проводить с помощью методов, отличных от классических и позволяющих выявить регулярные составляющие в рядах крупных и средних остатков, а также в рядах, полученных в результате кластеризации. К таким методам относятся: применение кусочно-линейной модели тренда, а также метод выделения сезонной компоненты до выделения тренда. В качестве итогового анализа эффективности разработанной методики планируется пошаговое сравнение результатов, полученных с её применением и с использованием действующей банковской методики.

–  –  –

1. Буре В. М., Евсеев Е. А. Основы эконометрики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 72 с.

2. Вадзинский Р. Статистические вычисления в среде Excel.

СПб.: Питер, 2008. 608 с.

3. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере.

М.: Форум, 2010. 368 c.

Ипатова Д. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Расчет тарифа договора страхования жизни на основе линейной интенсивности смертности Рекомендовано к публикации доцентом Дорофеевым Б. В.

1. Введение. Специфика договоров страхования жизни заключается в том, что при оценке обязательств следует учитывать вероятности наступления страховых случаев такие, как вероятности смерти и дожития.

Многие задачи актуарного оценивания используют в качестве параметров интенсивность смертности. В большинстве приложений она принимается постоянной [1]. В данной работе автором предлагается линейная зависимость интенсивности смертности от времени, так как она более адекватно отражает реальность. Несомненно на интересующем нас интервале времени интенсивность смертности описывается экспоненциальной функцией, однако ее использование затруднительно в аналитических выкладках.

2. Постановка задачи. При пожизненном страховании фиксированная страховая сумма выплачивается в момент смерти. Поскольку человек рано или поздно умрет, страховая компания совершенно точно выплатит страховую сумму (если только причина смерти не покрывается условиями договора, например, если смерть наступила в результате противоправных действий застрахованного).

Если плата за это покрытие полностью вносится в момент заключения договора, то речь идет о довольно большой сумме, соизмеримой со страховой суммой [1].

2.1. Основные понятия. Для рассмотрения задачи необходимо ввести несколько базовых понятий. Эффективная годовая процентная ставка определяется как i = e 1, где постоянная сила роста. Она характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Таким образом, в нашем случае коэффициент дисконтирования v = 1+i = e [2].

f (x) С помощью величины µx = 1F (x) описывается интенсивность смертности. Здесь F (x) вероятность того, что человек не доживет до возраста x, а f (x) = F (x) определяет плотность остаточного времени жизни. При малых t величина µx t приближенно описывает вероятность смерти на (x + 1)-ом году жизни человека, дожившего до x лет [3].

2.2. Математическая модель. Страховая компания заключила N = 10000 договоров пожизненного страхования со страховой суммой 10000 рублей каждый. Предполагается, что остаточное время жизни характеризуется линейной интенсивностью смертности µ = a + bt, а интенсивность процентов = 4%.

Необходимо подсчитать величину премии, которая гарантировала бы 95% вероятность выполнения компанией своих обязательств без привлечения дополнительных средств.

3. Решение задачи. Примем страховую сумму в качестве единицы измерения денежных сумм.

Построим регрессионную модель интенсивности смертности µ. У нас имеется таблица смертности мужчин РФ 2008 года. Для каждого момента времени t, где t [20, 60] вычисляем значения интенсивности смертности. По этим данным строим линейное приближение (тренд), с помощью которого определяем вид µ. Получаем µ = 0, 0006t 0, 012.

Рис. 1. Интенсивность смертности и ее аппроксимация

–  –  –

Так как величина страховой суммы используется в качестве единицы измерения денежных сумм, то в абсолютных цифрах p = 2334 руб.

4. Заключение. Таким образом, премия, гарантирующая 95% вероятность выполнения компанией своих обязательств без привлечения дополнительных средств, составляет 2334 рубля.

–  –  –

1. Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах. Изд.

2-е. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 192 c.

2. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.: Дело, 2010. 400 c.

3. Кудрявцев А. А. Актуарная математика. Оценка обязательств страховой компании. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. 240 c.

Костюнин С. Ю., Шевкопляс Е. В.

Санкт-Петербургский государственный университет О выборе функции полезности в задаче разработки невозобновляемого ресурса Модель. Рассмотрим модель разработки невозобновляемого ресурса одним игроком. Обозначим через s(t) запас ресурса в момент времени t. В данной задаче управлением игрока является скорость добычи ресурса c(t, s), которая зависит от текущего момента времени t и текущего состояния фазовой переменной s.

Уравнение динамики имеет следующий вид:

–  –  –

• выполнение закона убывающей предельной полезности, т. е.

функция h(t,s(t),c) должна быть невозрастающей функцией c уровня добычи c.

Последнее условие означает, что рост функции полезности замедляется при росте темпов добычи ресурса.

Предположим, что в данной задаче терминальный момент времени T не является детерминированным, а является реализацией некоторой случайной величины с известной функцией распределения F (t). Также будем полагать, что данная случайная величина T распределена на конечном отрезке времени [0, ], а условие нормировки имеет вид F (0) = 0, F () = 1.

Принимая во внимание [2], функционал (3) можно записать

–  –  –

Данная функция полезности отличается от предложенной в [1] тем, что аргумент смещен на единицу. Это обусловлено условием неотрицательности, сформулированным выше.

В данном случае гамильтониан примет следующий вид:

–  –  –

Так как предельная полезность убывает быстрее в случае логарифмической функции полезности, то оптимальным может оказаться управление (9). В этом случае весь ресурс будет выбран за более короткий отрезок времени.

–  –  –

1. Dockner E., Jrgensen S., Van Long N., Sorger G. Dierential games in economics and management science. Cambridge University Press, 2000. 394 p.

2. Petrosjan L. A., Shevkoplyas E. V. Cooperative solutions for games with random duration // Game Theory and Applications, 2003.

Vol. 9. P. 125–139.

3. Rubio S. On coincidence of feedback Nash Equilibria and Stackelberg Equilibria in economic applications of dierential games // Journal of Optimization Theory and Applications, 2006. Vol. 128, No 1.

P. 203–221.

4. Van der Ploeg F. Voracious transformation of a common natural resource into productive capital // International Economic Review,

2010. Vol. 51, No 2. P. 365–381.

5. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. 614 c.

Марочкина К. В., Парилина Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет Метод усечённых k-средних в кластерном анализе

1. Введение. Кластерный анализ многомерная статистическая процедура, выполняющая сбор данных, содержащих информацию о выборке объектов, и затем упорядочивающая объекты в сравнительно однородные группы [1]. Основные шаги кластерного анализа.

1. Отбор выборки для кластеризации.

2. Определение множества признаков, по которым будут оцениваться объекты в выборке.

3. Вычисление значений той или иной меры сходства между объектами.

4. Применение метода кластерного анализа для создания групп сходных объектов.

5. Проверка достоверности результатов кластерного решения.

Разработанные кластерные методы имеют семь основных семейств.

1. Иерархические агломеративные методы. Эти методы просматривают матрицу сходства размерности n n (где n число объектов) и последовательно объединяют наиболее схожие объекты. Последовательность объединений можно представлять в виде древовидной диаграммы.

2. Иерархические дивизионные методы. В начале процедуры все объекты принадлежат одному кластеру, а затем этот всеобъемлющий кластер разрезается на последовательно уменьшающиеся части.

3. Итеративные методы группировки. Общий алгоритм можно описать следующим образом:

a) начать с исходного разбиения данных на некоторое заданное число кластеров, вычислить центр тяжести этих кластеров;

b) поместить каждую точку данных в кластер с ближайшим центром тяжести этих кластеров;

c) вычислить новые центры тяжести кластеров; кластеры не заменяются на новые до тех пор, пока не будут просмотрены полностью все данные;

d) шаги b и c повторяются до тех пор, пока не перестанут меняться кластеры.

4. Методы поиска модальных значений плотности. Кластер рассматривают как область пространства с высокой плотностью точек по сравнению с окружающими областями.

5. Факторные методы. Работа методов начинается с формирования корреляционной матрицы сходств между объектами.

6. Методы сгущений. Эти методы позволяют создавать перекрывающиеся кластеры. Объектам разрешается быть членами нескольких кластеров.

7. Методы теории графов. Теория графов ведёт к созданию нулевой гипотезы, которая может быть использована при проверке наличия кластеров в матрице сходства. Она известна как гипотеза случайного графа, утверждающая, что все ранжированные матрицы близости являются равновероятностными.

2. Метод усеченных k-средних. Рассмотрим неиерархические методы кластеризации итеративные методы дробления исходной совокупности. Новые кластеры формируются до тех пор, пока не будет выполнено правило остановки. Самый известный итеративный метод объединения в кластеры метод k-средних, который строит ровно k различных кластеров, расположенных на возможно больших расстояниях друг от друга. В качестве меры близости между объектами будем рассматривать евклидово расстояние, в котором геометрическое расстояние в многомерном пространстве между объектами

i и j вычисляется по формуле:

–  –  –

где в качестве меры · может быть выбрана любая мера близости объектов. В результате решения задачи минимизации (2) находится k центров m1,..., mk. Количество кластеров задается в качестве параметра задачи и может быть определено в результате описательного анализа данных. Произвольность выбора количества кластеров относят к недостаткам метода k-средних.

Пример. Рассмотрим метод k-средних на примере. В качестве выборки возьмем данные по внутренним текущим затратам на научные исследования и разработки в регионах России по таким видам работ, как фундаментальные исследования, прикладные исследования и разработки. Данные взяты с сайта федеральной службы государственной статистики [3]. Они представлены за 1995, 2000, 2005, 2008 и 2009 года. В результате проведения кластеризации с помощью языка программирования R [4] регионы России были разбиты на 8 кластеров размером 1 элемент, 2 элемента, 6 элементов, 9 элементов, 11 элементов, 17 элементов, 17 элементов и 18 элементов. Этим кластерам соответствуют центры: 839763,6; 295504,92;

80558,96; 68582,4; 50027,1; 31611,1; 29970,5; 16787,9. Если расположить полученные кластеры в порядке убывания значений их центров, то в первом кластере находится Москва, во втором Московская область и Санкт-Петербург, в третьем Белгородская, Владимирская, Курская, Орловская, Рязанская, Смоленская, Тульская области, Республика Дагестан, Ингушетия, Мордовия, Удмуртская, Чувашская Республики, Кировская, Пензенская, Курганская и Магаданская области, Еврейская автономная область. При данных расчётах численность населения и площадь областей не учитывалась. В качестве меры сходства между объектами взято евклидово расстояние.

Метод k-средних стремится обнаружить однородные группы с большой разнородностью среди них, но поиск групп может быть полностью испорчен из-за нехватки устойчивости стандартных методов кластеризации. Устойчивые методы направлены на снижение влияния выбросов и других отклонений в исследуемой выборке. Это и отличает устойчивые методы от моделей, используемых в классических методах статистики. Устойчивость в статистике нечувствительность к различным отклонениям и неоднородностям в выборке. Другими словами, одна единственная точка выброса данных, помещённая произвольно далеко, может полностью испортить метод, т. е. исказить реальную картину данных. Иногда статистики рассматривают изолированные выбросы и небольшие группы выбросов как сами кластеры. Таким образом, они просто рекомендуют увеличить число групп, которые мы ищем для того, чтобы изолировать возможные отдалённые частные решения. Но, возможно, это не самая лучшая стратегия. Рассмотрим кластерную процедуру, которая в состоянии сопротивляться присутствию определённой доли выбросов. Это метод усеченных k-средних, который может быть рассмотрен как обобщение классического метода k-средних.

Алгоритм метода усеченных k-средних. Пусть имеется выборка {x1,..., xn }, где xi Rp.

Метод построен на решении двойной задачи минимизации [2]:

n xi mj arg min min min, (3) m1,...,mn Y j=1,...,k i=1 где Y выборка заданной размерности [n(1)], а изначально задаваемый параметр – доля выбросов. Величина Y является подмножеством выборки Y[n]. В методе усеченных k-средних помимо параметра k (количества кластеров) добавляется ещё один параметр (доля выбросов или заведомо ложных данных). Таким образом, [n(1)] для выборки получаем Cn вариантов разбиения с усечением заданного количества данных. Затем выбираем лучшее решение с помощью задачи минимизации и вычисляем выбросы.

3. Заключение. Применение метода усеченных k-средних позволяет снизить влияние выбросов в выборке. Этот алгоритм был реализован на языке программирования C#. Программа позволяет разбивать заданную выборку на кластеры путём предварительного ввода пользователем доли выбросов и числа кластеров. В отличие от классического метода k-средних этого метода нет в стандартных статистических пакетах.

–  –  –

1. Ким Дж.-О., Мьюллер Ч. У., Клекка У. Р. и др. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. М.: Финансы и статистика,

1989. С. 139–210.

2. Garcia-Escudero L. A., Gordaliza A., Matran C., May-Iscar A. A review of robust clustering methods // Advances in Data Analysis and Classication, 2010. Vol. 4, No 2. P. 89–109.

3. Федеральная служба государственной статистики.

http://www.gks.ru

4. The R Project for Statistical Computing. http://www.r-project.org Мезенин К. С.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Рекомендовано к публикации доцентом Зенкевичем Н. А.

1. Введение. Повышение прибыли и эффективности деятельности являются главной целью любого предпринимателя. В наше время производством и продажей товаров занимается не только производитель, таких лиц может быть много, и при этом каждый выполняет свою функцию, образуя цепь поставок. Цепь поставок представляет собой совокупность организаций, связанных контрактными отношениями по реализации материальных, финансовых, информационных потоков и потоков услуг от источников исходного сырья до конечного потребителя. С этой точки зрения цепь поставок представляет совокупность потоков и соответствующих им кооперационных и координационных процессов между участниками цепи создания стоимости для удовлетворения требований потребителей в товарах и услугах. Такие процессы подлежат оптимизации для уменьшения затрат и увеличения эффективности результата деятельности.

2. Постановка задачи. Рассмотрим простую цепь поставок между поставщиком (supplier) и продавцом (retailer). Поставщик предоставляет продавцу товары в требуемом количестве q, а продавец продает их конечным потребителям (покупателям) по цене p.

Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 они заключают контракт, где указывается цена w(t) единицы товара, предоставляемой продавцу поставщиком, и доля дохода, которая будет перечислена продавцу после продажи товара. В качестве управления рассмотрим затраты на рекламу. Задача заключается в определении затрат на рекламу с целью максимизации прибыли от реализации контракта в цепи поставок при долгосрочной перспективе и нахождении динамически устойчивого контракта.

3. Модель. Построим следующую дифференциальную кооперативную игру двух лиц: поставщика (игрок s) и продавца (игрок r).

Введем следующие обозначения: G(t), t 0 функция отношения покупателя к товару (goodwill), которая влияет на спрос; q(t) количество товара, которое заказывает продавец у поставщика в момент времени t; D(p, G) спрос, где p(t) цена единицы товара момент времени t; S(p, G) = ( p)gG ожидаемые продажи, где,, g положительные константы, для которых p 0, gG 0. Пусть игроки рекламируют свой товар, тем самым влияют на goodwill.

Введем обозначения для затрат игроков в данной модели: cr удельные затраты продавца; cs удельные затраты поставщика;

c = cr + cs общие удельные затраты; ar (t) затраты продавца на рекламу в момент t 0; as (t) затраты поставщика на рекламу в момент t 0. Функции ar (t) и as (t) будем рассматривать в качестве управлений игроков r и s соответственно.

Предположим, что динамика изменения отношения потребителя к товару имеет вид [1]

–  –  –

4. Построение динамически устойчивого контракта. Обозначим через W (t, G) максимальную общую прибыль в цепи поставок по контракту, начинающемуся в момент t из состояния G (функция Беллмана), т. е.

–  –  –

1. Jorgensen S., Zaccour G. Equilibrium pricing and advertising strategies in a marketing channel // Journal of Optimization Theory and Applications, 1999. Vol. 102, P. 111–125.

2. Cachon G.P., Lariviere M.A. Supply chain coordination with revenuesharing contracts: strengths and limitations // Management Science,

2005. Vol. 51, P. 30–44.

3. Зенкевич Н.А., Петросян Л.А., Янг Д.В.К. Динамические игры и их приложения в менеджменте. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2008, С. 299–326.

Миронов Б. Д.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Рекомендовано к публикации доцентом Чижовой О. Н.

1. Задача об обсуждениях. Некоторой группе учащихся необходимо освоить набор учебных задач. Все задачи различны и не связаны друг с другом. Сначала каждый пытается решить эти задачи самостоятельно и отмечает решенные. Затем учащимся предлагается объединиться в пары для обсуждения полученных результатов. Причем объединиться нужно таким образом, чтобы у пары существовал предмет обсуждения. Например, задачи, которые один собеседник решил, а другой не решил.

Первая цель объединения уменьшение бесполезных затрат времени, возникающих при групповом разборе задач, когда некоторые просто сидят и ждут продолжения. И вторая цель развитие умения излагать свои мысли в диалоге, а также самопроверка понимания решения. По исследованиям психологов, необходимость передать некоторое знание ведет к гораздо более прочному его усвоению, чем при обычном получении этого знания на лекции. Процесс обучения, основанный на этом явлении, может оказаться более эффективным.

Суть задачи об обсуждениях подобрать такие пары собеседников, чтобы получилось как можно более качественное обсуждение.

Критерии качества могут быть различны, но смысл один организовать эффективный процесс парных обсуждений.

Пусть качеством назначенной пары будет количество задач, которое двое учащихся могут обсудить между собой. Тогда задача об обсуждениях сводится к нахождению максимального паросочетания на графе, вершины которого соответствуют учащимся, а ребра парам учащихся. Присвоим каждому ребру вес, равный качеству соответствующей пары.

Определим критерии, по которым будем оценивать паросочетания. Пусть это будут минимальный из весов ребер паросочетания и сумма всех его весов. Будем стремиться максимизировать оба критерия. Чтобы сузить множество вариантов решения, построим множество Парето для этих критериев, т. е. множество недоминируемых вариантов.

Осуществить конкретный выбор из множества Парето поможет дополнительная информация. Например, если необходимо обеспечить непрерывное обсуждение в течение часа, а каждая задача требует не менее 15 минут, то необходимо, чтобы минимальный вес в паросочетании был не меньше 4. Если таких вариантов несколько, то можно задать еще более жесткие условия. Например, зафиксировать какую-то пару и искать паросочетания заново, исключив из рассмотрения выбранных учащихся.

Если же дополнительных предпочтений нет, то выбираем любой вариант из множества Парето.

2. Определения. Пусть дан граф G = {V, E}, где множество V = {v1,..., vn } вершины графа, а E множество пар вершин, или множество ребер [1]. Каждому ребру поставим в соответствие неотрицательное число, которое будем называть весом ребра.

Паросочетанием будем называть множество ребер M, не смежных друг с другом, т. е. не имеющих общих вершин [2].

Максимальным паросочетанием будем называть паросочетание, не содержащееся ни в каком другом паросочетании.

Критерием будем называть числовую функцию f = f (M ), определенную на X множестве всех паросочетаний [3].

Задача о максимальном паросочетании заключается в поиске максимального паросочетания, максимизирующего некоторый критерий.

Многокритериальная задача о максимальном паросочетании заключается в поиске максимального паросочетания при стремлении максимизировать более одного критерия.

3. Задачи с одним критерием. Рассмотрим задачи максимизации следующих критериев

• Сумма весов. Этот критерий равен сумме весов пар, входящих в паросочетание f1 (M ) = ei M si. Для его максимизации можно использовать, например, алгоритмы, рассмотренные в работе [4].

• Минимальный критерий. Значение этого критерия равняется наименьшему весу из весов элементов данного паросочетания f2 (M ) = minei M {si }.

Максимизируем минимальный вес паросочетания по следующему алгоритму:

1. Строим максимальное паросочетание.

2. Все веса, меньшие либо равные минимальному положительному весу построенного паросочетания, заменяем на ноль.

3. Снова строим максимальное паросочетание. Если это невозможно, то максимальным минимумом обладает предыдущее построенное паросочетание. Если возможно, то переходим к пункту 2.

• Максимальный критерий. Значение этого критерия равняется наибольшему весу из весов элементов данного паросочетания f3 (M ) = maxei M {si }.

Максимизируем критерий по алгоритму:

1. Находим максимальный возможный вес ребра графа и фиксируем эту пару вершин.

2. Строим максимальное паросочетание на подграфе из оставшихся вершин. Если это возможно, то зафиксированное ребро обладает максимальным возможным весом в максимальном паросочетании. Если невозможно, то обнуляем вес зафиксированного ребра и переходим к пункту 1.

4. Задача с двумя критериями. Построим множество Парето для двух критериев взвешенной суммы и минимального критерия.

Будем строить множество P следующим образом. Сначала найдем максимум взвешенной суммы без каких-либо ограничений. Найденный максимум обозначим A1, а минимальное значение, соответствующее этому паросочетанию, обозначим m1. Пару {A1, m1 } добавим в множество P. Затем приравняем нулю все веса, меньшие либо равные m1, и найдем новый максимум суммы. Обозначим его A2, а соответствующий минимальный вес m2. Пару {A1, m1 } добавим в множество P. Если A2 = A1, то пару {A1, m1 } из множества P исключим, так как она доминируется парой {A2, m2 }.

Будем повторять добавление новых пар в множество P до тех пор, пока это возможно. Остановимся, когда после очередного приравнивания нулю минимальных весов не будет существовать максимального паросочетания.

Последовательность {mi } возрастающая, так как на каждом шаге мы обнуляем минимальные веса. Последовательность {Ai } убывающая, так как на каждом шаге вводятся дополнительные ограничения, т. е. выбор паросочетания на каждом шаге осуществляется из более узкого множества вариантов. При этом Ai = Aj не допускается. Следовательно, элементы множества P попарно недоминируемы.

Нетрудно показать, что любая пара {A, m} сумма весов и минимальный вес некоторого паросочетания доминируется каким-то элементом множества P. Найдем такое k, что mk1 m mk, тогда A Ak, так как Ak максимальная возможная сумма весов паросочетания, составленного из ребер с весом большим mk1. Следовательно, пара {A, m} доминируется парой {Ak, mk }.

Из вышесказанного следует, что P множество Парето для двух указанных критериев. Выбор конкретного варианта из множества Парето требует дополнительной информации о специфике задачи и предпочтениях ЛПР.

5. Заключение. Построены алгоритмы нахождения оптимального решения в задаче о максимальном паросочетании с одним критерием. Описан алгоритм построения множества Парето для задачи о максимальном паросочетании с двумя критериями. Указан способ сведения задачи об обсуждениях к задаче о максимальном паросочетании, и приведен способ выбора варианта из множества Парето, учитывая специфику конкретной задачи.

Литература

1. Зыков А. А. Основы теории графов. М.: Наука, 1987. 384 с.

2. Ловас Л., Пламмер М. Прикладные задачи теории графов. Теория паросочетаний в математике, физике, химии. М.: Мир, 1998. 653 с.

3. Подиновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

4. Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация.

Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1984. 512 с.

Перцовский А. К.

Санкт-Петербургский государственный университет Применение алгоритмов кластеризации при решении транспортной задачи Рекомендовано к публикации профессором Захаровым В. В.

1. Постановка задачи. В настоящее время поиск быстрого алгоритма решения транспортной задачи является актуальным вопросом, так как рынок логистических услуг развивается высокими темпами. Традиционная транспортная задача сводится к задаче линейного программирования.

Однако, такая постановка не отвечает многим ограничениям, накладываемыми целевой аудиторией (логистами). Так, например, классическая постановка не включает в себя наличие временных ограничений (ограничений, накладываемых расписанием работы пунктов доставки).

Постановка временных ограничений сразу делает задачу NP полной и несводимой к задаче линейного программирования. В такой ситуации получить допустимое, близкое к оптимальному решение можно только при помощи различных генетических алгоритмов. Генетические алгоритмы отличаются тем, что качество получаемого решения (в данном случае, его оптимальность) зависит от числа проведенных итераций. Поэтому встает задача о сокращении числа произведенных итераций без потери оптимальности решения [1].

Учитывая опыт практикующих логистов, можно отметить, что очень часто планирование доставок осуществляется с учетом так называемых географических районов, т. е. точки доставки разбиваются на некоторые подмножества, внутри которых уже строятся рейсы. По своей сути географические районы представляют собой не что иное, как кластеры. Кластеризация значительно снизит размерность транспортной задачи, и, соответственно, будет уменьшено время ее решения. При этом кластеризацию можно провести таким образом, что внутри одного кластера можно будет построить только один рейс, использовав при этом все точки кластера.

Этот подход позволит заменить транспортную задачу более легкой задачей коммивояжера.

2. Формализация предметной области. Введем следующие обозначения. Пусть P множество географических точек, определяемое как P = {pi |pi = (xi, yi, Ti ), i = 1,..., N }, где xi, yi координаты соответствующей точки, Ti временной интервал доступности точки, а N количество географических точек.

Множество допустимых транспортных средств G определяется следующим образом

G = {vj |vj = (j, Sj, Fj, T Wj, T Vj ), Sj P, Fj P j = 1,..., M },

где j интервал доступности транспортного средства, Sj, Fj упорядоченные подмножества P, задающие фиксированные географические точки начала и конца рейса (т. е. любой рейс, который обслуживается данным транспортным средством должен наS |) (1) чинаться с Sj,..., Sj j и заканчиваться последовательностью (|F |) (1) Fj,..., Fj j ), T Wj, T Vj вместимость транспортного средства по весу и объему. Параметры Sj и Fj необходимы, так как каждое транспортное средство может начинать рейс или из своего гаража, или из точки окончания предыдущего рейса.

Введем множество D заданий на доставку:

D = {dl |dl = (Startl, F inishl, TlStart, TlF inish, V ehicalsl, Wl, Vl ), Startl P, F inishl P, V ehicalsl G, Wl 0, Vl 0, l = 1...L}, где Startl, F inishl пункты загрузки и разгрузки соответственно, TlStart, TlF inish временные интервалы погрузки и разгрузки соответственно, V ehicalsl транспортные средства, подходящие для обслуживания данного задания на доставку, а Wl, Vl вес и объем погрузки соответственно.

Тогда допустимый рейс Route, содержащий K точек, может быть представлен в следующем виде:

–  –  –

Очевидно, что для рейса можно построить множество DR D, содержащее все доставки, попавшие в рейс. Тогда на рейс должны быть наложены еще два ограничения

–  –  –

Как видно из выражений, приведенных выше, допустимый рейс конечная последовательность элементов декартова произведения множества P и множества моментов времени. Первый элемент пары представляет координаты точки, а второй время его посещения.

Также в понятии рейс рассматривается транспортное средство из множества V, единственное для рейса.

3. Описание методов кластеризации. Алгоритм кластеризации позволит произвести декомпозицию множества P на M кластеров и представить его в виде M P= Ci, Ci Cj =, i = j.

i=1

Кластер характеризуется следующими параметрами:

–  –  –

2. AV G список допустимых транспортных средств, закрепленных за кластером;

3. T W вес груза, попавшего в кластер;

4. T V объем груза, попавшего в кластер.

При этом выполняются два неравенства:

–  –  –

Эти неравенства показывают, что общий вес и объем доставок в кластере не превосходит массогабаритных характеристик ни одного из приписанных к кластеру транспортных средств.

Следует также ограничить кластеры согласно допустимым машинам, приписанным к пунктам доставки:

–  –  –

Таким образом, при добавлении точки в кластер, необходимо контролировать выполнение неравенств (1), (2), а также выполнение неравенства AV =.

В качестве базового алгоритма кластеризации можно взять несколько модифицированный алгоритм k-средних. Как известно, данный алгоритм требует предоставить ему начальные центры кластеров, методы построения которых приведены ниже.

3.1. Построение начального разбиения методом дальней точки. Данный метод осуществляется по следующему алгоритму:

1. Производится инициализация первого кластера по самой удаленной от склада точке.

2. Определяется ближайшая к кластеру (Под расстоянием понимаем D(point) = minpT P (p, point)) точка. В данном случае допустимо использовать не географические, а линейные расстояния.

3. Осуществляется проверка условий (1), (2), (3). Если проверка показала, что все три условия выполняются, то точка добавляется к кластеру и выполняется пункт 2.

4. Если условия из предыдущего пункта не выполняются, и точка не может быть добавлена в следующий из ближайших к ней кластеров, то с нее начинается новый кластер, и далее выполняется пункт 2.

В данном алгоритме под ближайшей точкой к кластеру понимается точка, удовлетворяющая выражению

–  –  –

где Clusters множество уже построенных кластеров.

Также стоит отметить, что при выборе кластера, к которому будет добавляться точка рассматриваются только два ближайших. Такое ограничение накладывается, чтобы точка, которая по массогабаритным характеристикам попадает в удаленный кластер, не попала в него, так как кластер не должен содержать подобных выбросов.

3.2. Модификация метода Свира решения задачи коммивояжера для построения начального разбиения. Метод Свира [2] решения задачи коммивояжера хорошо известен, однако подход, использованный в нем, можно обобщить для построения начальной кластеризации:

1. Упорядочить точки доставки по величине полярного угла, вершиной которого является географический центр множества точек доставки, а стороны проходят через пункт загрузки и рассматриваемую точку;

2. В соответствии с алгоритмом Свира начать строить рейс;

3. В случае, когда ограничения, накладываемые на рейс, перестают выполняться, начать строить новый рейс с этой точки.

В результате получается некоторое покрытие множества точек доставки непересекающимися подмножествами, каждое из которых представляет из себя рейс, полученный по алгоритму Свира. Именно эти подмножества и примем за начальное разбиение на кластеры.

3.3. Модификация k-средних. При проведении кластеризации принимается следующий критерий выбора рассматриваемой точки из множества еще некластеризованных

–  –  –

В целом, модифицированный алгоритм итерации кластеризации выглядит следующим образом:

1. Определить рассматриваемую точку в соответствии с (4);

2. Упорядочить имеющиеся кластеры по возрастанию расстояния до полученной точки;

3. Проверить ограничения (1) – (3) для самого близкого кластера, если они выполнены, то добавить в него точку, если нет, то проверить (1) – (3) для второго ближайшего кластера и, в случае выполнения, добавить точку в него; в противном случае, создать новый кластер для рассматриваемой точки;

4. Выполнить пункт 1 пока есть некластеризованные точки;

5. Удалить пустые кластеры.

Число итераций в данном методе определяется динамически.

Кластеризация останавливается при выполнении хотя бы одного из условий:

• полученный в результате текущей итерации набор кластеров совпадает с результатами предыдущей итерации;

• на протяжении двух итераций подряд разбиение не улучшилось.

4. Заключение. Данные методы были реализованы и протестированы на базе транспортной компании. В качестве критерия оценки была выбрана следующая величина:

–  –  –

1. Лукинский В. С. Модели и методы теории логистики. 2-е издание. СПб.: Питер, 2008. 448 c.

2. Составление маршрутов движения транспорта (алгоритм Свира). http://www.logis-tik.ru/svira.php Петросян О. Л., Парилина Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет Методы линейной регрессии в экономической модели малого спроса

1. Введение. Исследуется многоагентная экономико-математическая модель спроса-предложения с единичным спросом. Предлагается статистический подход, использующий линейную регрессию [1, 2] для прогнозирования результирующей цены. Рассматривается подход, основанный на иллюстрационном моделировании задач.

Имеется рынок: n продавцов и один покупатель. Продавцы продают идентичный товар. Покупатель покупает товар с наименьшей ценой. Предполагается, что продавцы не являются производителями продаваемого товара и назначают цену на товар не ниже его себестоимости (которая будет определена в дальнейшем).

Продажи осуществляются m раз (с разными ценами). На (m + 1)-ом шаге на рынок входит еще один продавец, который статистически просчитывает, какую цену ему нужно установить, чтобы выиграть при (m + 1)-ой продаже. Независимо от того, выиграл он или нет, на следующем шаге он опять предлагает статистически просчитанную цену (с помощью метода построения линейной регрессии). Так продолжается t раз.

Здесь возможно два варианта использования регрессионного анализа:

1. Построение уравнения линейной регрессии для цены каждого продавца в зависимости от исходных факторов. Выбор цены (т. е.

минимального из значений регрессии, построенных на предыдущих j 1 шаге, в зависимости от фактора на j-ом шаге), назначаемой (n + 1)-ым продавцом на j-ом шаге продаж будет проходить по правилу:

pn+1,j = min pi,j, j = m + 1,..., m + t, (1) iN где j номер продажи, i номер продавца, N = {1,..., n} множество игроков, pi,j прогнозируемая цена i-го игрока на j-ом шаге продаж (т. е. прогнозируемое с помощью линейной регрессии, построенной по данным за предыдущие j 1 шаг продаж, значение цены на товар i-го продавца на j-ом шаге продаж).

2. Построение регрессии для каждого шага продаж c использованием цен, которые выиграли на предыдущих шагах в зависимости от соответствующих факторов. Выбор цены (т. е. значения регрессии, построенной на предыдущих j 1 шаге, в зависимости от фактора на j-ом шаге), назначаемой (n + 1)-ым продавцом, будет проходить по правилу:

pn+1,j = p, j = m + 1,..., m + t, j (2) где j номер продажи, p прогнозируемое значение выигрышной j цены на j-ом шаге продаж (т. е. прогнозируемое с помощью линейной регрессии, построенной по данным за предыдущие j 1 шаг продаж, значение выигрышной цены на товар на j-ом шаге продаж).

2. Уравнение линейной регрессии цены, назначаемой продавцом. Будем предполагать, что себестоимость товара для i-го продавца является случайной величиной и описывается уравнением

p0,i = ai x0 + bi + i, (3)

где i случайная величина, подчиняющаяся нормальному распределению с параметрами (0, i ) [3], ai, bi параметры, характеризующие схему реализации товара продавца i. Предполагается, что на всех шагах игры продавец i N рассчитывает себестоимость товара по формуле (3).

Предполагаем также, что продавец i назначает цену, исходя из следующих правил:

–  –  –

где ai = (1 + i )ai ; bi = (1 + i )bi ; i подчиняется нормальному распределению с параметрами 0, (1 + i ) i. Уравнение (5) является линейным уравнением относительно наблюдаемого фактора x0.

Пусть проведено m наблюдений за поведением продавцов в вышеупомянутых условиях, т. е. имеется выборка {X0, {Pi }iN }, где X0 = (x0,1,..., x0,m ), x0,j значение фактора x0 в j-ом наблюдении, Pi = (pi,1,..., pi,m ), где pi,j цена товара, назначаемая i-ым продавцом в j-ом наблюдении. Таким образом, по продавцу i N имеется выборка {X0, Pi }. Найдем оценки ai, i параметров ai, bi, соb ответственно, методом наименьших квадратов. Получаем уравнение парной линейной регрессии для i-го продавца

–  –  –

6. Заключение. Исходя из данных, представленных в таблицах 4, 7 видно, что продавец-статист выигрывает на всем протяжении торгов. Возможно, оба приведенных метода применимы в реальной жизни. Но есть замечания, которые не должны остаться без внимания. В эмпирическом исследовании первого метода, проведя оценку значимости по критерию Фишера, приходим к выводу, что регрессия, построенная по данным о пятом продавце, недействительна, т. е. выбор его цены не подчиняется описанию линейным уравнением. Возможно, это связано с тем, что выбор цены проходит по нелинейному закону (относительно x0 ), или студент недобросовестно подошел к поставленной ему задаче. Цены таких продавцов, как пятый предугадать невозможно. В эмпирическом исследовании второго метода интересно то, что продавец-статист на каждом шаге может дополнить базу выигрышных цен своими ценами. Этот метод позволяет избежать проблем с продавцами, которые необдуманно выставляют цены.

–  –  –

1. Буре В. М., Евсеев Е. А. Основы эконометрики. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004. 72 с.

2. Greene W. H. Econometric analysis, 5th edition. New Jersey: Pearson Education, 2003. 1026 p.

3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 1.

М.: Мир, 1964. 511 с.

Свищикова М. В.

Санкт-Петербургский государственный университет Один способ решения задач стохастического программирования специального вида Рекомендовано к публикации профессором Колбиным В. В.

1. Постановка задачи. Рассмотрим некоторое обобщение часто возникающей в экономических моделях задачи линейного программирования с элементами матриц G, H и столбцов g, h, зависимыми от набора параметров = (1,..., r )T, и целевой функцией f, разложимой в произведение столбца оптимизируемых параметров x и гладкой вектор-функции c(x, )

–  –  –

x.

x =., c = c1 (x, ),..., cn (x, ). (6).

xn В наборе присутствуют параметры двух типов. В одном присутствуют такие случайные факторы, как спрос, погода, выход из строя оборудования и т. п. Они относятся к будущему. В другом величины детерминированные, но не известные точно, такие как численность трудящихся, объем месторождения и т. п. Они относятся к прошлому или настоящему. Так же как и в первом типе, эти величины удобно трактовать как случайные с известными параметрами распределения.

Взаимосвязь между набором и формально одинаковыми ограничениями (2) и (3) различна. Ограничения (3) должны выполняться при любой мыслимой реализации параметров (таково, например, ограничение числа пассажиров в такси). Иными словами, необходимо соблюдать при каждой случайной реализации условий задачи общие физические ограничения системы, которых нельзя нарушать вообще. Ограничения (2) должны выполняться в среднем (как, например, требование достаточной заполняемости конкретных авиарейсов, для того чтобы данное направление имело доходность и не было убыточным). Иными словами, необходимо, чтобы средние долговременные договорные обязательства в целом (поставки сырья и производство продукции, прибыль и т. п.) были удовлетворены, хотя при этом допускаются нарушения в кратковременных требованиях.

Поэтому при трактовке всех параметров набора как случайных величин {t }r ограничение (2) принимает вид t=1

–  –  –

Также различно можно конструировать целевую функцию. Наиболее распространенный подход к формированию целевой функции [1–4] аналогичен трансформации (2) в (7) и даст

–  –  –

т. е. x надо выбрать так, чтобы среднее значение целевой функции было минимальным.

2. Другой подход. Здесь предлагается к рассмотрению иной критерий качества. Пусть для каждой реализации задача (1)–(6) имеет решение план x(). В стохастической задаче критерием качества плана y назначим среднеквадратичное уклонение его от всех.

x(),, т. е. Q(y) = E[y x()]2. Чем оно меньше, тем лучше.

.

Как известно, x = E[x()] является минимайзером Q, а Q() x является дисперсией x(). Таким образом, задача стохастической оптимизации с критерием Q является задачей поиска математического ожидания решений задач (1)–(6) для всех.

Изложим для этой задачи поиска прямой итеративный алгоритм. Выбирается начальная точка x0. После попадания в итеративную точку xt, t = 0, 1,... берется реализация случайного набора параметров = t = (1,..., r ) и составляется линейная проt t грамма

–  –  –

Пусть после этого выпадет другое значение случайной величины = t+1. Для xt+1 и t+1 составляется система вида (12). Ее решение это xt+1. Следующая итеративная точка

–  –  –

и т. д. Набор весов {t } будем выбирать классическим образом [1], удовлетворив аксиомы:

I. t 0 t.

II. t=1 2.

t n III. t=1 t при n.

Такие веса существуют. Например, t = 1/t. Они обеспечивают, с одной стороны, возможность уйти от начальной точки x0 к математическому ожиданию решений задач (1)–(6), сколько бы далеко от начальной точки оно ни находилось (аксиома III). C другой стороны, в асимптотике колебания элементов последовательности {xt } относительно математического ожидания будут стремиться к нулю (аксиома II). Естественное требование смещения от текущей итеративной точки в направлении полученного минимума содержится в аксиоме I.

Правило остановки выберем следующим образом. Зададимся конечной погрешностью 0. После t-ой итерации сделаем еще такое количество шагов, чтобы их суммарная длина превосходила в K раз. Другими словами, t+N 1 j |xj+1 xj | K.

j=t

–  –  –

Следуя результатам в [1, 5] для весов, удовлетворяющих аксиомам I–III, приходим к выводу, что верна Теорема. Пусть f (x, ) выпукла по x в области задания для всех. Тогда последняя итеративная точка, полученная согласно приведенному алгоритму, удалена от x точки минимума Q не более, чем на.

3. Заключение. Предлагаемый итеративный алгоритм вполне адекватен рассматриваемой задаче. Его сходимость имеет те же достоинства и недостатки, что и сходимость классических прямых методов стохастического программирования, в частности замедление сходимости с возрастанием индекса шага итерации. Представляется интересным расширение области применения приводимого алгоритма на задачу более общего вида, а именно на нелинейные по x ограничения и иные целевые функции.

–  –  –

1. Ермольев Ю. М., Ляшко И. И., Михалевич В. С., Тюпля В. И.

Математические методы исследования операций. М.: Наука, 1979. 312 c.

2. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1979. 384 с.

3. Юдин Д. Б. Математические методы управления в условиях неполной информации. М.: Сов. радио, 1974. 400 с.

4. Kolbin V. V. Stochastic programming. Holland–USA: D. Reidel Publ. C., 1977. 325 p.

5. Ермольев Ю. M., Норкин В. И. Методы решения невыпуклых негладких задач стохастической опримизации // Кибернетика и системный анализ, 2003. № 5. С. 89–106.

Ченцова Е. И.Санкт-Петербургский государственный университет

Задача актуарного оценивания обязательств компании перед сотрудниками Рекомендовано к публикации доцентом Дорофеевым Б. В.

Введение. Многие современные компании сталкиваются с проблемой мотивации сотрудников. Для ее решения применяются различные инструменты, в том числе вводятся новые способы вознаграждений работников. В частности в некоторых компаниях сотрудники, долго проработавшие в компании, получают право на социальную поддержку в виде дополнительной пожизненной негосударственной пенсии. Программа дополнительного негосударственного пенсионного финансирования оказывается выгодной как работникам, так и компании. Сотрудники гарантированно получают дополнительные средства помимо государственной пенсии по окончанию трудовой деятельности, это компенсирует редкое повышение заработных плат в течение трудовых периодов. В этом случае компания может сэкономить, так как затраты на пенсионное финансирование затраты будущих периодов, обязательства компании уменьшаются в связи с выбытием людей из программы с течением времени (увольнение до наступления пенсионного возраста, смерть и пр.). Определить возможные затраты компании на данную программу позволяет актуарное оценивание обязательств.

Постановка задачи. Пусть в компании работают n мужчин. В начальный момент времени имеется информация о возрасте, отраслевом стаже и размере заработной платы каждого работника. Право на ежемесячную пожизненную корпоративную пенсию сотрудник приобретает при выходе на государственную пенсию по старости (с учетом льгот). Максимальный учитываемый возраст выхода на пенсию 81 год. Размер пенсии зависит от стажа и заработной платы и вычисляется по некоторому правилу. В рассматриваемой модели сотрудники выбывают из программы только в связи со смертью.

Требуется рассчитать обязательства компании перед всеми работающими мужчинами.

Построение модели. Пусть информация о k-ом сотруднике, k = 1, n, формализуется вектором (xk (t), ek (t), zk (t)), компоненты которого соответственно обозначают возраст, стаж и размер заработной платы k-го работника в момент времени t.

Пусть в начальный момент времени t = 0 векторы имеют вид x0, e0, zk, тогда инфорkk мация об k-ом сотруднике для любого момента времени может быть получена по следующим формулам:

–  –  –

zk (t) = zk (t 1)(1 + i), где i величина инфляции. Обозначим mk (ek (t), zk (t)) размер пенсии, тогда обязательства компании перед k-ым сотрудником будут равны

–  –  –

Так как число работников велико, то целесообразно использовать модель приближенной оценки обязательств компании. Для этого нужно распределить сотрудников по группам в начальный момент времени.

Сначала сгруппируем всех работников по возрасту. Создадим четыре группы с шагом в десять лет. Пользуясь формулой для расчета пенсий, разобьем сотрудников имеющихся групп по стажам от 0 до 7, 8 до 14, 15 до 19, 20 до 24, в последней подгруппе работники со стажем более 25 лет. Аналогично можно произвести разбиение по заработным платам сотрудников, например, 10–20, 20–40, 40–80 тысяч рублей. Подсчитав количество работников в каждой группе и вычислив соответствующие средние значения возраста, стажа и заработной платы, используем эту информацию как информацию об усредненных сотрудниках. Результат разбиения представлен в таблице 1. На пересечениях строк и столбцов стоят данные о количестве усредненных сотрудников в группе с соответствующими начальными данными.

Таблица 1. Распределение работников по возрасту, стажу и заработной плате (кол-во чел.

) Средний Средняя ЗП Средний возраст (лет) стаж (лет) (руб.) 25 35 45 55 70 3,5 Таким образом, для группы D1 значения (x1 (0), e1 (0), z 1 (0)) соответственно равны (25; 15000; 3,5). Количество человек в первой группе w(1) = 10. Аналогично для остальных групп.

Округленные до целых результаты расчета значений S s приведены в таблице 2.

Перемножив получившиеся обязательства для усредненного сотрудника каждой группы на количество человек в этой группе и просуммировав полученные произведения, получим, что обязательства компании перед всеми работниками будут примерно равны 159,12 млн. руб.

–  –  –

Заключение. В работе поставлена задача актуарного оценивания обязательств компании перед всеми сотрудниками, построена модель для точного и приближенного решения поставленной задачи, проделаны вычисления обязательств для конкретного подраздела ОАО Российские Железные Дороги.

–  –  –

1. Кудрявцев А. Актуарная математика: Оценка обязательств компании страхования. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. 240 с.

6. Прикладная математика и процессы управления на факультете ПМ–ПУ СПбГУ Кирпичников Сергей Николаевич (1937–2007) Кирпичникова Н. Я., Шмыров А. С.

Петербургское отделение математического института РАН Санкт-Петербургский государственный университет Памяти Сергея Николаевича Кирпичникова (к 75-летию со дня рождения) Профессор Сергей Николаевич Кирпичников родился 18 апреля 1937 года в городе Ленинграде в семье потомственных инженеровречников. В конце XIX века по чертежам его деда, Кирпичникова Сергея Васильевича, была построена землечерпалка Сергей Кирпичников, которая проработала на Волге до 70-х годов XX века.

Отец, Николай Сергеевич Кирпичников, родился в 1904 г. в городе Архангельске, работал в Ленводпути, а умер во время блокады в Ленинграде 1 февраля 1942 г. Мать, Кирпичникова Тамара Генриховна, родилась в городе Ленинграде в 1906 г., с момента окончания ЛИИВТа до ухода на пенсию в 1962 г. работала на проектной работе в Ленгипроречтрансе. За долголетнюю и безупречную работу была награждена орденом Ленина. Умерла в 2003 г.

на 97 году жизни.

В школьные годы С. Н. Кирпичников проявлял неординарные способности по математике, физике и химии. В 9-ом классе он был награжден грамотой за 1-ое место, в 10-ом классе за призовое место в городской олимпиаде по математике. Закончив среднюю школу № 310, в 1954 г. поступил на математико-механический факультет Ленинградского государственного университета по специальности механика, где слушал лекции профессоров: Г. М. Фихтенгольца по математическому анализу, Д. К. Фаддеева по высшей алгебре, Ю. Ф. Борисова по геометрии, Г. Н. Бухарина по теоретической механике, Н. М. Матвеева по дифференциальным уравнениям, К. К. Малинского по вариационному исчислению, Н. А. Лебедева по теории функций комплексного переменного, М. М. Смирнова по математической физике, В. С. Новоселова по механике тел переменной массы, С. В. Валландера по гидромеханике, Г. Б. Талыпова по сопротивлению материалов, Н. Н. Поляхова по истории механики, теории крыла и винта, И. П. Гинзбурга по теории сопротивления, теории волн, механике полета управляемых тел, А. А. Гриба по газовой динамике, М. А. Ковалева по экспериментальной аэродинамике, Р. Г. Баранцева по трансзвуковой газодинамике. В 1959 г. окончил университет по кафедре теоретической механики и был по распределению направлен на работу в Институт теоретической астрономии АН СССР. С 1 сентября 1959 г. по 31 октября 1961 г. работал в Институте теоретической астрономии АН СССР сначала в должности старшего лаборанта, а затем младшего научного сотрудника. Опубликовал две статьи по аналитической механике в журнале Вестник ЛГУ О стационарности поля импульсов и О потенциальном методе решения задач механики. Здесь, осваивая небесную механику, исследовал устойчивость движения искусственных спутников Луны, влияние фигуры Луны на движение искусственных спутников Луны, опубликовал в 1961–1962 гг. три статьи в соавторстве с профессором Г. А. Чеботаревым и старшим научным сотрудником ИТА АН СССР В. А. Брумбергом.

С 1 ноября 1961 г. по 1 ноября 1964 г. учился в очной аспирантуре математико-механического факультета Ленинградского государственного университета по специальности теоретическая астрономия. Тема кандидатской диссертации: Некоторые вопросы построения оптимальных импульсных траекторий в центральном поле, выполненная под руководством профессора В. С. Новоселова и защищенная в 1964 г., связана с оптимальным маневрированием в космическом пространстве. В ней успешно была математически поставлена и исследована задача импульсного межорбитального перехвата. Импульсная модель межорбитального перехода и перехвата в центральном поле, с одной стороны, достаточно проста и позволяет проводить весьма полные исследования с получением глубоких качественных и количественных результатов, с другой стороны, эта модель достаточно адекватна для описания траекторий космических аппаратов с большой реактивной тягой. Сергей Николаевич исследовал различные варианты задачи импульсного маневрирования: энергетически оптимальные переходы и перелеты между орбитами без учета и с учетом конкретного времени движения, маневры, оптимальные по быстродействию, изучал качественные свойства переходных траекторий оптимальное число импульсов и способы их приложения. Интерес к этой важной и интересной в математическом отношении задачи Сергей Николаевич сохранял в течение всей жизни и сумел передать его своим ученикам.

После аспирантуры С. Н. Кирпичников по распределению был направлен на работу в Научно-исследовательский институт математики и механики ЛГУ. В марте 1966 г. по конкурсу был избран на должность старшего научного сотрудника, продолжая исследования по оптимизации космических маневров.

С марта 1970 г. и всю оставшуюся жизнь Сергей Николаевич работал на факультете Прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета сначала в должности доцента, а с 1994 г. в должности профессора на кафедре механики управляемого движения. С 1993 года доктор физикоматематических наук. Тема докторской диссертации: Качественные методы и методы оптимизации в аналитической механике и космической динамике. Ученое звание профессора по кафедре механики управляемого движения присвоено ему в 1995 году.

На протяжении работы на факультете Прикладной математики процессов управления имел разнообразную педагогическую нагрузку. Читал общие и специальные курсы, самостоятельно переработанные или разработанные новые:

• Теоретическая механика управляемого движения,

• Статистические модели механики,

• Математический анализ динамических систем,

• Аналитическая динамика управляемых систем,

• Квантовая механика,

• Топология и механика,

• Гамильтонова механика,

• Применение топологии в механике,

• Космическая навигация и связь.

Сергей Николаевич систематически совершенствовал изложение лекционного материала, обновлял содержание читаемых курсов, разрабатывал новые разделы курсов лекций, составлял учебные программы. Придумывал большое число актуальных, оригинальных тем курсовых и дипломных работ по механике управляемого движения и космической динамике. Под его научным руководством защищено более 50 дипломных проектов, 31 из них опубликованы. По различным темам подготовил 7 кандидатов физико-математических наук.

Педагогическую деятельность С. Н. Кирпичников успешно сочетал с научной деятельностью. На протяжении ряда лет являлся заведующим (на общественных началах) лабораторией машинного синтеза траекторий НИИ ВМ и ПУ при факультете ПМ–ПУ. В 1994–1995 гг. руководил коллективом ученых, которому был выделен грант Международного Научного фонда. Тема исследования была изучение поступательно-вращательного движения твердого тела сложной формы под действием гравитационных сил и сил светового давления, была построена аналитическая теория такого движения и сделан качественный вывод о возможности использования формы тела как управляющего фактора. Основные результаты этой работы опубликованы в международном журнале Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy.

Сергей Николаевич Кирпичников был крупным научным специалистом в области разработки качественных методов и методов оптимизации в аналитической механике и космической динамике.

Он исследовал качественные свойства орбит оптимальных межорбитальных импульсных перелетов, особенности гелиоцентрического поступательно-вращательного движения космических аппаратов с солнечным парусом.

Сергей Николаевич Кирпичников в соавторстве с профессором В. С. Новоселовым написал монографию Математические аспекты кинематики твердого тела, а совместно с профессором А. П.

Жабко подготовил и издал учебные пособия (2003–2004) по теории динамических систем:

1. Лекции по динамическим системам. Часть 1. Основные понятия и вспомогательные сведения из функционального анализа.

2. Лекции по динамическим системам. Часть 2. Динамические системы в метрических пространствах. Инвариантные множества.

3. Лекции по динамическим системам. Часть 3. Устойчивые по Пуассону, рекуррентные и почти периодические движения.

4. Лекции по динамическим системам. Часть 4. Эргодическая теория.

С. Н. Кирпичников принимал активное участие в работах по специальной тематике. Он был востребован как собеседник по научным консультациям в письмах, телефонных звонках, был членом ученого совета Д-212.232.30 на математико-механическом факультете. Сергей Николаевич был талантливым и интересным человеком. Мог ремонтировать и собирать телевизоры, радиоприемники. Работал по дереву, металлу на даче. Доминирующими чертами его характера были честность, порядочность и преданность своей работе. Писатель Леонид Пантелеев в рассказе Честное слово описал мальчика, который стоял на посту, дав честное слово стоять. Сергей Кирпичников и был прототипом того мальчика.

Последние два года Сергей Николаевич, будучи уже тяжело больным, не пропустил ни одной лекции и работал до последних дней.

Награжден медалью В память 300-летия Санкт-Петербурга.

Умер Сергей Николаевич 21 марта 2007 г. и был похоронен на Смоленском кладбище недалеко от часовни блаженной Ксении Петербургской.

Вечная ему память.

–  –  –

• Кирпичников С. Н. О стационарности поля импульсов // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астрон., 1961. Вып. 2. С. 117–122.

• Кирпичников С. Н. О потенциальном методе решения задач механики // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астрон., 1961. Вып. 3.

С. 103–110.

–  –  –

• Кирпичников С. Н. Оптимальный компланарный перелет между орбитами // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астрон., 1964.

Вып. 1. С. 130–141.

• Кирпичников С. Н. Компланарный оптимальный полет между орбитами с учетом внутреннего запаса массы, пропорционального времени полета // Вестник ЛГУ. Сер. мат., мех. и астрон.,

1964. Вып. 2. С. 116–129.

1965 год



Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |
Похожие работы:

«ФЕДОРЧУК Владимир Витальевич ПОВЫШЕНИЕ ТЕРМОСТАБИЛЬНОСТИ БАКТЕРИАЛЬНОЙ ФОРМИАТДЕГИДРОГЕНАЗЫ МЕТОДОМ НАПРАВЛЕННОГО МУТАГЕНЕЗА 02.00.15 химическая кинетика и катализ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Москва 2000 Работа выполнена на кафед...»

«Топникова Анастасия Павловна СТРУКТУРЫ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ БОРАТОВ И СИЛИКАТОВ И ИХ СРАВНИТЕЛЬНЫЙ ТОПОЛОГО-СИММЕТРИЙНЫЙ АНАЛИЗ Специальность: 25.00.05 – "минералогия, кристаллография" Диссертация на соискание учёной степени кандидата химических наук Научный руководитель: доктор химических наук, доцент, профессор Белоконева Елена...»

«Theoretical Research, 30.07.2013 SECTION 31. Economic research, Finance, innovation. Naumov Anatoly Aleksandrovich candidate of technical Sciences, аssociate Professor, Center of Applied Mathem...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (НИУ "БелГУ") Кафедра общей и прикладной физики Э.Б. Кулумбаев, С.И. Кучеев, Т.Н. Алехина, В.Ю. Песик ОБЩАЯ ФИЗИКА Уче...»

«ХИМИЯ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ. 2011. №2. С. 51–56. УДК 678.278:541.68:63.(615.022) ПОЛИКОМПЛЕКСНЫЕ ГЕЛИ НА ОСНОВЕ НАТРИЙ КАРБОКСИМЕТИЛЦЕЛЛЮЛОЗЫ – НОВЫЕ ПРОЛОНГАТОРЫ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ПРЕПАРАТОВ С.Я. Инагамов1, М.Ю. Мухамеджанова2*, Г.И. Мухамедов1...»

«Еремин Евгений Владимирович ВЗАИМОСВЯЗЬ МАГНИТНОЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПОДСИСТЕМ В ОБЪЕМНЫХ КРИСТАЛЛАХ И НАНОСТРУКТУРАХ НА ОСНОВЕ 3d ИОНОВ Fe и Mn Специальность...»

«607 УДК 543:541.138.3 Физико-химические параметры процессов адсорбции дибутилдитиофосфатов щелочных металлов и аммония на границе твердое теложидкость Амерханова Ш.К., Шляпов Р.М., Уали А.С. Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова, Кара...»

«Czechoslovak Mathematical Journal Groz Stanilov Биакcиальная теoрия кoнгруэнции прямых Czechoslovak Mathematical Journal, Vol. 15 (1965), No. 1, 64–73 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/100654 Terms of use: © Institute of Mathematics AS CR, 1965 Institute of Mathematics of the Czech Acad...»

«И. В. Ященко ПРИГЛАШЕНИЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАЗДНИК Москва Издательство МЦНМО УДК 51 ББК 22.1, 74.200.58 Я97 Ященко И. В. Я97 Приглашение на Математический праздник. — 2-е изд., доп. — М.: МЦНМО, 2005. — 104 с. — ISBN 5-94057...»

«Вентилятор 8 создает воздушный поток, который транспортирует порошкообразный ядохимикат в распыливающие рабочие органы и далее на опыливаемые растения. Он состоит из кожуха и шестилопастной крыльчатки, жестко сидящей на валу.Опыливатель укомплектован двумя с...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ СССР УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНИКА ХИМИЧЕСКИХ ВОЙСК Д. М. Д М ИТРИ ЕВ, В. Е. ЯКУБОВ БО ЕВО Й ОПЫ Т Х И М И Ч ЕС К И Х В О Й С К И Х И М И Ч ЕС К О Й С Л У Ж Б Ы В В ЕЛ И К О Й О Т Е Ч Е С Т В Е Н Н О Й ВОЙНЕ (1941-1945 гг.) СБ ОРНИ К Н РИ М -Р ОИ ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРАТОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО" Кафедра Геофизики "Анализ результатов полевых испытаний импульсного гидропне...»

«УДК 519.95:612.018 ПРОСТАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПТТГ ДЛЯ РАННЕЙ ДИАГНОСТИКИ САХАРНОГО ДИАБЕТА ТИПА 2 О.И. Соловьёва, к.ф-м.н. С.И. Лапта (представил д.ф-м.н., проф. А.Г. Нерух) Проведена модификация математической модел...»

«Shell Rimula R6 LME 5W-30 Редакция документа 1.3 Дата вступления в силу 30.04.2013 согласно директиве ЕС 2001/58/ЕС Паспорт безопасности вещества (материала) 1. Идентификация химической продукции и св...»

«Математическая Теория Игр и е Приложения, т.5, в.1, с. 45–60 е УДК 519.837.3 ББК 22.18 АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ РАВНОВЕСИЙ В ДИНАМИЧЕСКОЙ СЕТЕВОЙ ИГРЕ Андрей П. Парфенов Факультет прикладной математики – процессов упра...»

«XXIII Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ-2015 Заключительный тур 6 класс 1. На доске написаны все натуральные числа от 1 до 2015 часть чисел красным мелом, часть синим. Наибольшее синее число равно количеству синих чисел, наименьшее красное число равно количеству красных чисел. Сколько красных...»

«сообщения объединенного института ядерных шипи исследований D^3 дубна РЮ-85-77 В.Б.Виноградов, Ю.А.Кульчицкий, А.С.Курилин, В.Г.Одинцов, А.И.Павлинов МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ КОНСТАНТ УСТАНОВКИ ГИПЕРОН 'Институт физики АН БССР, Минск Институт физики высоких э н е р г и й, Пр...»

«УДК 547.233.4:620.197.3 СИНТЕЗ НОВЫХ БИСИМИДАЗОЛИНИЕВЫХ СОЕДИНЕНИЙ И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ В КАЧЕСТВЕ ИНГИБИТОРОВ КОРРОЗИИ В СОЛЯНОКИСЛЫХ ВОДНЫХ СРЕДАХ Голубев И.Ю., Фахретдинов П.С., Романов Г.В., Добрынин А.Б....»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева О. А. Федорова СУПРАМОЛЕКУЛЯРНАЯ ХИМИЯ Утверждено Редакционным советом...»

«Раздел II. Нанотехнологии, микроэлектроника и микроэлектронная техника Раздел II. Нанотехнологии, микроэлектроника и микроэлектронная техника УДК 54.057: 54.06: 546.831:547:681 Т.А. Моисеева, Т.Н. Мясоедова ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОМПОЗИТНЫХ МАТЕР...»

«Journal of Siberian Federal University. Chemistry 3 (2011 4) 221-232 ~~~ УДК 54-16, 67.08 Исследование термического разложения образцов лигнина, выделенных из древесины осины различными методами В.И. Шарыпова*, Л.И. Гришечкоа, Л.С. Тарасоваб, С.В. Барышникова, А. Селзардв, Б.Н. Кузнецова,г Институт х...»

«1957 г. Февраль Т. LXI, вып. 2 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК НЕЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ Д. И. Блохинцев СОДЕРЖАНИЕ I. Введение • · 137 И. Нелокальная теория поля........ 138.III. Нелинейная теория поля... 145 IV. Физика сильного взаимодействия 350 I. ВВЕДЕНИЕ., После значительных успехов теории перенормиров...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.