WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |

«ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТРУДЫ XLIII МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ АСПИРАНТОВ И СТУДЕНТОВ Санкт-Петербург 2 – 5 апреля 2012 года ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ...»

-- [ Страница 2 ] --

2.1. Физическая постановка задачи. Требуется найти распределение электростатического потенциала одиночной электростатической линзы с толстым средним электродом (рис. 1).

–  –  –

3. Графическое изображение распределения потенциала.

С помощью программы MATLAB v.7.0 было получено численное решение уравнения Лапласа. В программе производилось суммирование для 30 членов ряда. На рис. 2 представлено распределение потенциала для всей электростатической линзы. При этом заданы следующие параметры системы: r1 = 1, r2 = 2, z1 = 1, z2 = 2, z3 = 3, и потенциалы на границах: V1 = 0, V2 = 1, V3 = 2.

Рис. 2. Распределение потенциала одиночной электростатической линзы

На рис. 2 диафрагма изображена черным цветом. На данном графике видно небольшое расхождение между решениями на пересечении областей 1 и 2, а также на пересечении областей 1 и 3. Максимальное отклонение между потенциалами, полученными на пересечении областей, составляет 8%.

4. Заключение. Решено уравнение Лапласа (1), (2) с заданными потенциалами на границе методом перекрытия областей. Построена математическая модель электростатической линзы с диафрагмой конечной толщины. По аналитическому решению уравнения Лапласа (3)–(5), а также с учетом связи между коэффициентами, входящими в разложение потенциала в ряды Фурье Бесселя (9), представлено графическое распределение потенциала для всей исследуемой области.

–  –  –



1. Виноградова Е. М. Математическое моделирование электроннооптических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. 110 с.

2. Ryosuke Y., Koichi H. Newly developed high spatial resolution X-ray microscope equipped with carbon nanotube eld emission cathode // Surf. Interface Anal., 2008. С. 1664–1668.

3. Савельев И. В. Курс общей физики. Электричество. М.: Наука, 1978. 496 c.

4. Миролюбов Н. Н. Методы расчета электростатических полей.

М.: Высшая школа, 1963. 209 с.

5. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. М.:

Наука, 1978. 830 c.

Макарова М. А., Виноградова Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Введение. Явление полевой электронной эмиссии широко применяется в настоящее время. Наиболее простой эмиссионной системой является вакуумный диод система, состоящая из катода и анода. Между катодом и анодом создается разность потенциалов, возникает электрический ток. Прохождение электрического тока через вакуум вызывает скопления зарядов, называемых объемными зарядами. Эти заряды искажают первоначальное поле, создаваемое разностью потенциалов, приложенной между катодом и анодом. Поля, обусловленные объемным зарядом, ограничивают плотность тока и во многих случаях играют существенную роль при управлении током. В частности, при малых размерах эмитирующей поверхности плотности тока достигают таких значений, при которых влияние объемного заряда становится решающим фактором, определяющим эмиссионные свойства катодов [1].

Поле, возникающее в области, занятой объемным зарядом, можно найти, проинтегрировав дифференциальное уравнение Пуассона U =, где U потенциал в данной точке, суммарная плотность объемного заряда в этой точке, относительная диэлектрическая проницаемость среды, 0 электрическая постоянная. Граничными условиями при решении такого уравнения являются значения потенциала на границах данной области. Для решения задачи необходимо знать распределение объемного заряда, которое в общем случае является неизвестной функцией [2, 3].





Постановка задачи и её решение. Распределение потенциала, плотность объемного заряда между катодом и анодом зависят от геометрической формы электродов и их взаимного расположения.

Одним из наиболее простых случаев является случай равновеликих катода и анода, выполненных в виде двух концентрических цилиндров [2].

<

–  –  –

1. Рукин С. Н., Цыранов С. Н. Влияние объемного заряда на процесс субнаносекундного обрыва тока в мощных полупроводниковых диодах // Журнал технической физики, 2009. Т. 79, Вып. 11.

С. 30–35.

2. Добрецов Л. Н., Гомоюнова М. В. Эмиссионная электроника.

М.: Наука, 1966. 564 с.

3. Павлов В. Г. Влияние объемного заряда эмиттированных электронов на полевую электронную эмиссию // Журнал технической физики, 2004. Т. 74, Вып. 12. С. 72–79.

4. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. 555 с.

5. Вержбицкий В. М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2005. 840 с.

6. Виноградова Е. М. Математическое моделирование электроннооптических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. 110 с.

7. Миролюбов Н. Н. Методы расчета электростатических полей.

М.: Высшая школа, 1963. 209 с.

Мальков В. М., Степанова В. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Большие деформации плоскости с межфазной трещиной, нагруженной давлением1

–  –  –

Из равенств (2) видно, что напряжения и деформации стремятся к бесконечности при p 2µ. Для металлов и горных пород обычно p/µ 1. Для резиноподобных материалов (эластомеров) вполне допустимо, что p/µ 1. В этом случае указанное обстоятельство свидетельствует о потере устойчивости материала при таких давлениях.

На берегах трещины получим следующую зависимость между искомыми функциями h(z) и r(z)

–  –  –

h() = 2µ2 (1 2µ2 b2 ) + 2µ1 (1 2µ1 b1 ), r() = 2µ2 b2 + 2µ1 b1 1.

Граничную задачу для одной из функций, например r(z), получим преобразованием граничных условий (2) для напряжений

–  –  –

a(2µ2 p) 1 2 1+ u = B cos ln, (1, 1).

(2µ1 p)[1 + 2(µ2 µ1 )b1 ] В нелинейной задаче, как и в линейной, наблюдается осцилляция перемещений у концов трещины.

Результаты расчетов. Были выполнены расчеты условных напряжений и раскрытия трещины для разных значений величины давления p и параметров материалов полуплоскостей. На рис. 1 показаны нормальные s22 (МПа) и касательные s12 (МПа) напряжения на линии раздела, включая трещину, для верхней полуплоскости.

Расчеты выполнены при следующих параметрах задачи: давление p = 1 МПа, модули сдвига материалов полуплоскостей µ1 = 1 МПа, µ2 = 3 МПа. Из рисунков видно, что напряжения стремятся к бесконечности при приближении к концам трещины, как извне трещины, так и со стороны трещины. Знак бесконечности у концов трещины определить нельзя, поскольку происходит осцилляция напряжений в окрестностях концов. Длина промежутка осцилляции мала и составляет по разным оценкам 108 104 от полудлины трещины.

Рис. 1. Нормальные s22 и касательные s12 напряжения верхней полуплоскости на межфазной границе при давлении p = 1 МПа На рис. 2 показаны перемещения берегов трещины, отнесенные к a, при давлении p = 1 МПа и p = 1,5 МПа. Сплошная линия соответствует нелинейной задаче, отмеченная квадратиками линейной. Осцилляция у концов трещины не видна на рис. 2, поскольку, как уже сказано, область осцилляции мала, а ее амплитуда гасится множителем 1 2. Из рис. 2 видно, отличие величины перемещений по двум теориям более проявляется в нижней полуплоскости с меньшим модулем сдвига, чем в верхней.

–  –  –

Заключение. В результате работы выяснилось, что существует некоторое критическое давление, пропорциональное модулю сдвига, превышение которого ведет к физически недостоверным результатам. Вероятно это связано с потерей устойчивости материала при таких давлениях. Обнаружилось также, что условные напряжения стремятся к бесконечности при движении вдоль линии раздела к концу трещины не только с внешней стороны трещины, но и изнутри.

Литература

1. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоская задача нелинейной теории упругости для гармонического материала // Вестник СПбГУ.

Сер. 1, 2008. Вып. 3. С. 114–126.

2. Степанова В. А. Нелинейная задача для плоскости с прямолинейной межфазной трещиной // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 189–194.

3. Ru C. Q. On complex-variable formulation for nite plane elastostatics of harmonic materials // Acta Mechanica, 2002. Vol. 156.

P. 219–234.

Мясников Р. И.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Рекомендовано к публикации профессором Андриановым С. Н.

Введение. Проблема математического моделирования многооборотного движения частиц в циклических ускорителях и накопительных кольцах тесно связана с рядом практических задач, возникающих при эксплуатации и конструировании систем инжекции и выводе частиц, обеспечения устойчивости длительной эволюции пучка в накопительных кольцах, стохастического поведения частиц, образования гало.

Одной из задач является поддержание устойчивого движения частиц при длительной эволюции. Это устойчивое движение связано со структурой элементов в ускорителе. Для выбора этих деталей необходимо провести эксперименты, которые подтвердят устойчивую орбиту входящих в пучок частиц, проходящих через данный элемент.

Поэтому главную роль играет выбор метода подсчета орбит ансамбля частиц.

В данной статье рассматриваются несколько методов численного моделирования вывода пучка частиц из ускорителя резонансным способом. Произведено сравнение обычных методов интегрирования с симплектическими интеграторами.

1. Численные методы интегрирования ОДУ. Рассмотрим методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) вида

y (n) (t) = f (t, y(t),..., y (n1) (t))

с заданными начальными условиями y(0) = y0. Функции y и f могут быть заданы векторами.

Для дальнейшего рассмотрения существенным является факт, что любое ОДУ произвольной степени может быть сведено к эквивалентной системе ОДУ первого порядка.

2. Симплектические методы. Суть симплектических метод заключается в том, что они сохраняют важные качественные и количественные свойства динамических систем, записываемых в виде гамильтоновых ОДУ. Несоблюдение данного условия (хотя бы приближенно) приводит к появлению вычислительных артефактов, искажающих реальное поведение исследуемого объекта, в особенности, в процессе длительной эволюции.

Проведенный анализ существующих симплектических аналогов традиционных численных методов, используемых для решения ОДУ, позволил выделить ряд методов, в частности, следующие два метода: метод Стёрмера Верле [1] и симплектическиq вариант метода

Эйлера [2]:

–  –  –

В качестве примера приведем изменение энергии и фазовые портреты для решения проблемы Кеплера методом Эйлера и симплектическим методом Эйлера. На рис. 1. показано, что симплектический метод ведет себя лучше.

–  –  –

Рис. 1. a) фазовый портрет метода Эйлера, b) фазовый портрет симплектического метода Эйлера, c) изменение энергии методы Эйлера,

d) изменение энергии симплектического метода Эйлера

3. Численный эксперимент. Будем предполагать отсутствие какого-либо взаимодействия между частицами в пучке. В качестве примера возьмем уравнение движения частиц в магнитном поле синхрофазотрона ОИЯИ при медленном выводе, с точностью до членов второго порядка малости [3]:

–  –  –

где = d/ds, s независимая переменная, измеряемая вдоль опорной кривой, n и функции, входящие в разложение поля ускорителя, O(3) члены третьего и более высоких порядков по переменным x, x, y, y. В данном случае считаем пучок моноэнергетическим и в качестве опорной кривой выбираем равновесную траекторию.

Рассмотрим фазовый портрет пучка в {x, x }. С помощью достаточно простых рассуждений [3] (используя процедуру сглаживания ) приведенные выше уравнения (1) можно заменить на уравнение, описывающее движение частиц в x-плоскости, поскольку основной процесс медленного вывода развивается в горизонтальной плоскости:

x + 2 x = (1 + 2 sin(s))x2. (2) Действуя согласно изложенному в [3] методу, получаем решение уравнения (2) в виде [2] X(s) = M2 (s|s0 )X2 = M11 X0 + M12 (s|s0 )X0, (3) где M2 (s|s0 ) матрица оператора эволюции фазового множества.

Решение (3) представлено в матричной форме. Симплектический метод получается наложением дополнительных ограничений на обычный, то есть если выполняется условие симплектичности M JM = J, то метод является симплектическим. Применяя данное условие к полученному решению (3), получаем новые коэффициенты для матриц M11 и M12. Подставляя их в (3) мы получаем симплектическое решение в матричной форме. Симплектичность не гарантирует сохранение энергии, она подразумевает сохранение первого квадратичного интеграла.

В качестве начальных значений возьмем 1 = 3,2, 2 = 8,3, = 1. При 2 = 0 уравнение (3) автономно, поэтому энергия системы не должна сохраняться. Рассмотрим поведение полученных решений во время медленного вывода частиц из ускорителя.

–  –  –

Рис. 2. a) фазовый портрет матричного метода, b) изменение гамильтониана матричного метода, c) фазовый портрет симплектического метода,

d) изменение гамильтониана симплектического метода.

Суть медленного вывода заключается в том, что на длительном протяжении времени синхронно изменяется магнитное поле. В самом начале частицы движутся приблизительно вдоль круговых орбит. На формагнит изначально будут попадать частицы с наибольшим начальным отклонением, а с течением времени и остальные. Во время данного процесса траектория движения претерпевает изменения от эллипса до трехугольника. В качестве оценки возьмем относительную погрешность начального значения гамильтониана к значениям на остальных оборотах. На рис. 2 видно, что чем ближе к резонансу, тем быстрее изменяется гамильтониан.

Приведем результаты расчётов матричным методом и его симплектической модификацией. Из рис. 2a, 2c видно, что эти методы (решение (2) в матричной форме (3) и его модификация) имеют схожие фазовые портреты, но изменение гамильтонианов (см. рис. 2b, 2d) показывает, что симплектический метод ведет себя лучше. В ходе сравнения графиков можно увидеть, что с нарастанием количества проделанных шагов, в результатах, полученных матричным методом, появляется шум, который, несомненно, негативно влияет на полученные результаты. В то же время видно, что на данном количестве точек использование симплектического метода дает меньшее изменение гамильтониана.

В ходе исследования, к сожалению, не удалось получить более подробных результатов для разных наборов начальных данных, так как вычислительной мощности компьютера не хватает для проведения расчётов систем, описывающих большое количество частиц в пучке, на требуемом числе шагов.

Заключение. В статье проведено сравнение симплектических и несимплектических методов численного интегрирования и приведены результаты практического исследования. Показаны особенности симплектических методов.

–  –  –

1. Hairer E. Geometric Numerical Integration. Lecture 2: Symplectic integrators // TU Munchen, 2010. 18 p.

2. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric numerical integration (2 edition). Berlin: Springer, 2006. 659 p.

3. Андрианов С. Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 376 c.

Приходько А. А., Нестеров А. В., Нестеров С. В.

Кубанский государственный технологический университет

–  –  –

Амплитудная модуляция очевидна, а частотная, напротив, малозаметна. Исследования показали, что амплитуда функций y( ) существенно зависит от соотношения коэффициентов уравнения Матье a и q [1, 5]. Это соотношение влияет также на характер колебаний, усиливая или ослабляя модуляцию амплитуды и частоты [2, 4]. Оценка глубины этого влияния актуальна для тех систем управления, математической моделью которых служит уравнение Матье [1, 3, 5].

Ранее проведенные [2, 4] и недавние [1, 5] исследования выявили большое разнообразие в характере решений y( ). В связи с этим в работе [2] замечено, что последние трудно поддаются классификации.

Достаточно сравнить рис. 1–3 между собой.

Рис. 2. График колебаний при q = 0, 1 и a = 0, 4

Рис. 3. График колебаний при q = 0, 1 и a = 0, 1

Между тем, систематизация модулированных колебаний по чисто внешним различиям в их характере лишена практического смысла. Действительно важной задачей, уже отмеченной выше, является установление количественной связи основных параметров исследуемых решений y( ) уравнения (1) с его коэффициентами a и q. Это продиктовано тем, что для уже упомянутых систем управления [3] модулированное движение считается нежелательным. С этой точки зрения из рассмотренных вариантов, изображенных на рис. 1–3, приемлемым является последний (рис. 3). Возникают вопросы о том, в какой мере отличаются от этого варианта y3 ( ) колебания y1 ( ) и y2 ( ) и как следует изменить коэффициенты a и q, чтобы получить приемлемое решение y( ).

Ответы на поставленные вопросы найдены в вычислительном эксперименте, суть которого заключается в решении задачи Коши для уравнения Матье (1) при ненулевых начальных условиях

–  –  –

Точкам 1, 2 и 3 соответствуют решения y1 ( ), y2 ( ) и y3 ( ), показанные на рис. 1–3. Анализ других решений позволяет систематизировать их, разделив первую область устойчивости диаграммы Айнса Стретта на три зоны, обозначенные на рис. 4 буквами A, B и C. Характер этих решений y( ), отнесенных к каждой из названных зон, подобен соответствующим решениям y1 ( ), y2 ( ) и y3 ( ). В этом смысле последние можно назвать типовыми.

Поскольку функции y( ) всех типов модулированы, постольку количественно характеризовать их удобно глубиной модуляции m, несущей частотой и частотой модуляции. Анализ показывает, что глубина частотной модуляции мала (m 1), в связи с чем это явление далее не рассматривается. Глубина амплитудной модуляции значительно больше и лежит в пределах 0m0,35. Малые значения m характеризуют зону С, большие –– зону A. В частности, выбранные для примера решения y1 ( ), y2 ( ) и y3 ( ) имеют соответственно глубину модуляции m1 = 0, 15, m2 = 0, 04 и m3 0. Общее представление о влиянии соотношения коэффициентов уравнения Матье на глубину модуляции его решений дает рис. 5. Понятно, что приемлемое решение y( ), мало отличающееся от гармонического (m = 0), достигается при условии только совместного уменьшения коэффициентов a и q. Этот вывод совпадает с рекомендациями работ [1, 5], сделанными по другим соображениям.

Рис. 5. Зависимость глубины модуляции от коэффициентов a и q

Спектральные характеристики и могут быть определены только приближенно, так как исследуемые решения y( ) являются, как известно, квазипериодическими [2, 4]. Приведенные далее оценки получены без учета частотной модуляции в результате операции усреднения.

Установлено, что несущая частота находится в диапазоне

0 1. При очень малых q (q 0, 1) решение y( ) осциллирует с частотой, близкой собственной частоте уравнения Матье 0 = a.

Второй коэффициент уравнения q также влияет на несущую частоту. Эти взаимосвязи отражает рис. 6, на котором в качестве примера изображена зависимость несущей частоты от коэффициента q при неизменных a (a = 0,1, a = 0, 3). Очевидно, что вблизи границы устойчивости частота колебаний наибольшая.

Рис. 6. Диаграмма несущей частоты

Частота модуляции также зависит от соотношения коэффициентов a и q. График этой зависимости подобен графику функции (q), изображенному на рис. 6. Величина определяет ширину спектра, равную в случае однотональной амплитудной модуляции

2. Следовательно, в приграничной полосе диаграммы ширина спектра наибольшая 2 = 0, 5 и практически одинаковая вдоль границы устойчивости.

Таким образом, проведенные исследования позволяют систематизировать решения однородного уравнения Матье в первой зоне устойчивости. На основании предложенной классификации и результатов вычислительного эксперимента построены графические зависимости спектральных характеристик решений y( ) от коэффициентов уравнения Матье. Названные зависимости могут служить для приближенной оценки решений уравнения Матье без его интегрирования.

Литература

1. Витвицкий С. И., Нестеров А. В., Нестеров С. В. Анализ устойчивых решений уравнения Матье при моделировании периодически нестационарного объекта управления // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 115–121.

2. Блакьер О. Анализ нелинейных систем / Под ред. Р. В. Хохлова.

М.: Мир, 1969. 400 с.

3. Добробаба Ю. П., Нестеров А. В., Нестеров С. В. Электропривод роторного зернистого фильтра и сирены. СПб.: Энергоатомиздат, 1991. 48 c.

4. Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. М.: Госэнергоиздат, 1962. 456 c.

5. Нестеров А. В., Нестеров С. В. Исследование решений уравнения Матье в первой области устойчивости при моделировании нестационарных объектов управления // Сборник международных трудов. Магнитогорск: ФГБОУ ВПО МГТУ, 2011.

С. 102–107.

Райк А. В.

Санкт-Петербургский государственный университет Аппроксимация потенциалов межмолекулярного взаимодействия Рекомендовано к публикации профессором Егоровым Н. В.

1. Введение. Для статистических расчетов методами МонтеКарло и молекулярной динамики, которыми можно рассматривать взаимодействие большого числа молекул над поверхностью с учетом изменения температуры, необходимо знание аналитических видов потенциалов взаимодействия. В данной работе рассмотрены потенциалы межмолекулярного взаимодействия молекулы воды с поверхностью (100) кристаллов MgO и ZnO. В качестве метода исследования применялся квантово-механический метод с учетом корреляции электронов.

2. Вычисление потенциалов межмолекулярного взаимодействия. Расчеты этих потенциалов проводились методом функционала электронной плотности с гибридным потенциалом B3LYP/6-31G [1] в программе Gaussian-03 на высокопроизводительном вычислительном комплексе факультета ПМ – ПУ. Для определения значения полной энергии E в точке Ri требуется около 19 часов машинного времени.

Потенциалы взаимодействия с поверхностью аппроксимировались функцией Букингема. Она используется в задачах химии и физики и имеет следующий вид B A (R) = CeRD 8, R6 R где R расстояние между молекулой воды и поверхностью, а A, B, C, D варьируемые константы.

Потенциал Букингема основан на предположении об экспоненциальной зависимости сил отталкивания между молекулами от расстояния между ними. Он представляет собой сумму трех слагаемых. Первое слагаемое CeRD характеризует отталкивание, втоB A рое R6 диполь-дипольное взаимодействие, третье R8 дипольквадрупольное взаимодействие [2]. По сравнению с потенциалом Леннарда Джонса эта форма более сложна для математической обработки в связи с наличием одновременно экспоненциальной и степенной зависимостей; в то же время она более реалистична физически.

Для того чтобы аппроксимировать найденные потенциалы, нужно найти неизвестные константы при известных значениях R и (R).

Так как имеется четыре неизвестные константы, то была составлена и решена система из четырех нелинейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Рис. 1. Сравнение B3LYP потенциалов, полученных для MgO и ZnO

Точка минимума потенциальной кривой соответствует равновесному расстоянию адсорбируемой молекулы до поверхности. В случае взаимодействия с поверхностью ZnO это расстояние больше (график сдвинут вправо по оси x). Также потенциальная кривая для ZnO имеет более плоский минимум.

–  –  –

Направление поиска Левенберга Марквардта определяется из системы J T (xk )J(xk ) + k I pk = J T (xk )f (xk ), где k неотрицательная константа, своя для каждого шага, I единичная матрица.

Выбор k можно осуществлять, делая его достаточным для монотонного спуска F (x), т. е. увеличивая параметр до тех пор, пока не будет достигнуто условие F (xk+1 ) F (xk ).

При k = 0 алгоритм вырождается в метод Гаусса Ньютона, а при достаточно большом k направление pk незначительно отличается от направления наискорейшего спуска. Таким образом, при правильном подборе параметра k достигается монотонное убывание минимизируемой функции. Неравенство F (xk+1 ) F (xk ) всегда можно обеспечить, выбрав k достаточно большим. При этом теряется информация о кривизне, заключенная в первом слагаемом, и проявляются все недостатки метода градиентного спуска: в местах пологого наклона антиградиент мал, а в местах с крутым наклоном велик, в то время как в первом случае желательно делать большие шаги, а во втором малые. Для учета информации о кривизне единичную матрицу можно заменить на диагональ матрицы

Гессе. Таким образом можно достичь увеличения шага вдоль пологих участков и уменьшения вдоль крутых спусков:

–  –  –

Из таблиц 1 и 2 видно, что значения коэффициентов в целом совпадают. Однако количество итераций, которое потребовалось программным пакетам для получения подобных результатов, существенно отличается. Для Gnuplot количество итераций колеблется в пределах 20–30, для Origin же эта величина равна 200–250. Такие отличия можно объяснить различными компьютерными реализациями алгоритма Левенберга Марквардта. Как уже упоминалось, полученные наборы коэффициентов не единственны: итерационный процесс сходится к одному из минимумов. Большое влияние на конечный результат оказывают начальные значения параметров. В качестве начальных значений при расчетах использовались константы

–  –  –

При начальных значениях a = b = c = d = 10 итерационный процесс сходится к другому минимуму, однако получаемые значения коэффициентов не соответствуют физическому смыслу.

Рис. 2. Приближение значений энергии для MgO аналитической функцией

4. Результаты. Приведено сравнение потенциалов для MgO (рис. 2) и ZnO (рис. 3), полученных при помощи аналитических вычислений. Следует отметить, что оба направления имеют свои достоинства и недостатки, но для решения поставленной задачи, а именно, нахождения аналитического вида потенциала межмолекулярного взаимодействия для его использования в расчетах методами молекулярной динамики, более всего подходит программный пакет Gnuplot.

Рис. 3. Приближение значений энергии для ZnO аналитической функцией В дальнейшем планируется взять за основу вид потенциала, полученного в программном пакете Gnuplot, для моделирования взаимодействия большого числа молекул воды над поверхностью кристаллов MgO и ZnO в программе DL POLY 4 [3].

–  –  –

1. Райк А. В., Бедрина М. Е. Компьютерное моделирование процесса адсорбции воды на поверхности кристалла MgO // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб: Издат. дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009.

С. 247–252.

2. Каплан И. Г. Введение в теорию межмолекулярных взаимодействий // М.: Наука, 1982. 312 с.

3. DL POLY 4 User Manual. ftp://ftp.dl.ac.uk/ccp5/DL_POLY/DL_ POLY_4.0/DOCUMENTS/USRMAN4.01.pdf Седова О. С.

Санкт-Петербургский государственный университет Плоская задача теории упругости для полуплоскости, полосы и полупространства Рекомендовано к публикации профессором Далем Ю. М.

1. Введение. Проблема нахождения аналитического решения плоской задачи теории упругости для полуплоскости полностью решена [1, 2], чего нельзя сказать о полосе [3], где единственно точными являются решения, основанные на задании функции напряжений в виде алгебраических полиномов различных степеней [4]. Однако даже в последнем случае решение невозможно отыскать, если на продольные кромки полосы действуют сосредоточенные усилия, моменты, диполи или иные сингулярные силовые факторы.

Основными результатами здесь являются приближенные решения Рибьера и Файлона [4] для удлинённой прямоугольной полосы 0 x l, b/2 y b/2 в основе которых лежит представление функции напряжений U (x, y) в виде тригонометрических рядов.

2. Решение первой основной краевой задачи для полуплоскости. Пусть область S, занятая телом, состоит из нижней полуплоскости. Предположим, что

1. Компоненты напряжения удовлетворяют условиям непрерывности и дифференцируемости и, кроме того, стремятся к нулю при z.

2. Главный вектор внешних усилий, приложенных к отрезку AB оси Ox, стремится к определённому пределу, когда A, B.

Рассмотрим задачу для полуплоскости (y 0, x +), где в точке с координатами (c, 0) приложена нормальная нагрузка N (x) = Py (x c).

Здесь (x c) дельта-функция Дирака [1]. Предположим, что касательное усилие на границе y = 0 отсутствует T = 0 (см. рис. 1).

Компоненты напряжения полуплоскости вычисляются по известным формулам Г. В. Колосова [2]

–  –  –

Рис. 2. Компоненты напряжения в случае действия касательного усилия Рассмотрим теперь действие на полуплоскость момента сил.

Пусть в точке с координатами (c, 0) приложена нормальная сила

–  –  –

Рис. 3. Компоненты напряжения в случае действия момента сил Графики этих функций при y = 1 представлены на рис. 3.

3. Решение первой основной краевой задачи для полосы.

Рассмотрим упругую бесконечную полосу S шириной b = const. Поместим начало декартовой системы координат посередине полосы.

L+ ( x +, y = b/2) и L ( x +, y = b/2) кромки, вдоль которых направим ось Ox. Предположим далее, что в точках M + (0,b/2) и M (0,b/2) действуют сжимающие силы P, направленные по нормали к L+ и L. Требуется определить напряжённодеформированное состояние в S.

Представим основные соотношения плоской теории упругости в терминах теории функций комплексного переменного. Тогда, как известно, в области S необходимо отыскать две аналитические функции (z) и (z), удовлетворяющие краевому условию

–  –  –

1. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

3. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.

М.: Наука, 1988. 712 с.

4. Папкович П. Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

5. Даль Ю. М. Плоская задача теории упругости для полосы, сжатой на границе двумя взаимно противоположными силами // Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2001. Вып. 1. С. 73–77.

6. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. М.: ОГИЗ, 1947. 459 с.

Семёнов С. А., Кривовичев Г. В.

Санкт-Петербургский государственный университет Численное исследование подходов к реализации граничных условий в методе решеточных уравнений Больцмана

–  –  –

3. Подходы к реализации граничных условий. Все функции распределения могут быть вычислены при помощи формулы (2), за исключением тех, которые соответствуют скоростям, направленным от твердых границ. Значения таких функций распределения вычисляются при помощи граничных условий. В статье исследуются несколько типов граничных условий, которые будут рассмотрены в этом разделе.

3.1. Условия отражения. Искомые функции распределения приравниваются к функциям распределения, соответствующим скоростям, направленным в противоположных направлениях [1].

3.2. Равновесные условия. Искомые функции распределения приравниваются к их равновесным частям. Недостатком этого метода является то, что при таком подходе не учитывается неравновесная часть функции распределения.

3.3. Условия Зоу Хе. Данный метод задания граничных условий основан на [2]:

• использовании выражений для, Ux и Uy ;

• предположении о равенстве неравновесных частей функций распределения, соответствующих скоростям, перпендикулярным границе, и скоростям, им противоположным.

Используя эти предположения, можно получить систему линейных алгебраических уравнений для нахождения функций распределения на стенке. Недостатком данного метода является то, что он применим только для границ, параллельных осям декартовой прямоугольной системы координат.

3.4. Условия Купанека. Этот метод задания граничных условий основан на [3]:

• использовании формул для неравновесных частей функций распределения;

• предположении о том, что функции распределения, соответствующие скоростям параллельным границам, приравниваются к равновесным функциям распределения.

–  –  –

4. Постановка задачи о течении в каверне. Рассматриваемые выше подходы к реализации граничных условий исследовались на примере решения задачи о плоском течении в квадратной каверне.

Каверна это некоторая область (в данном случае квадратная), заполненная жидкостью. В качестве граничных условий выступают условия прилипания: скорость жидкости на твердой границе равна скорости этой границы. В рассматриваемой задаче все стенки неподвижны, кроме верхней, которая движется с постоянной скоростью.

В начальный момент времени жидкость покоится во всей рассматриваемой области, функции распределения полагаются совпадающими с равновесными.

5. Результаты расчетов. Расчеты производились на сетках 100 100, 150 150 и 250 250 при числе Рейнольдса Re = 100, Re = 400 и Re = 1000 в программе, реализованной на языке пакета MATLAB. Полученные результаты сравнивались с результатами, полученными при решении системы уравнений гидродинамики [5].

Для сравнения использовались среднеквадратичные отклонения значений полученных решений в узлах сетки, лежащих на прямых, соответствующих фиксированным значениям x (для сравнения значений Ux ) и y (для сравнения значений Uy ):

N (ux (T, x, yi ) Vx (T, x, yi )), Ix = N i=1

–  –  –

Так как в каверне движется только верхняя стенка, причем с постоянной скоростью, то через некоторое время течение становится стационарным [5]. В ходе численного эксперимента было установлено, что количество шагов по времени, через которое происходит выход на стационарный режим, различается для подходов задания граничных условий. Ниже в таблице 2 представлено число шагов, соответствующих времени выхода на стационарный режим при разных Re и на разных сетках. Так как расчеты производились в квадратной области с одинаковым шагом по x и y, то число узлов по x равно числу узлов по y и равно некоторому числу N.

Таблица 2. Сравнение времени выхода на стационарный режим N Re Условия Равновес- Условия Условия Условия Условия отраже- ные Зоу Купа- Латта 1 Латта 2 ния условия нека

6. Заключение. В ходе численного эксперимента были рассмотрены различные подходы к реализации граничных условий в методе решеточных уравнений Больцмана. Проанализировав результаты расчетов, можно сделать вывод, что все рассмотренные методы позволяют получить удовлетворительные результаты, за исключением равновесных условий. Неточность этого подхода можно объяснить тем, что в нем не учитывается неравновесная часть функции распределения. Стоит также отметить результаты, полученные при использовании условий Купанека. Этот метод достаточно точен, к тому же при его использовании выход на стационарный режим происходит раньше по сравнению с другими подходами.

Литература

1. Wolf-Gladrow D. A. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models an introduction. Berlin: Springer, 2005. 311 p.

2. Zou Q., He X. On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Botzmann BGK model // Physics of Fluids, 1997. No 9.

P. 1591–1598.

3. Le Coupanec E., Verschaeve J. S. G. A mass conserving boundary condition for the lattice Boltzmann method for tangentially moving walls // Mathematics and Computers in Simulation, 2011. Vol. 81, No 12. P. 2632–2645.

4. Latt J., Chopard B., Deville M., Michler A. Straight velocity boundaries in the lattice Boltzman method // Physical Review, 2007.

E, Vol 77, No 5. P. 056703–056719.

5. Ghia U., Ghia K. N., Shin C. T. High-Re solution for incompressible ow using the Navier Stokes equation and a multigrid method // Journal of Computational Physics, 1982. Vol. 48, No 48. P. 387–411.

Суспицин К. С.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Рекомендовано к публикации профессором Андриановым С. Н.

Введение. С каждым годом, динамические системы играют все более важную роль в фундаментальных науках, таких как астрономия, математика и физика [1]. Однако особенно заметно это влияние стало в последние десятилетия, когда начали появляться суперкомпьютеры и невероятные по своей сложности физические аппараты, такие как ускорители элементарных частиц [2] и токамаки. В связи с тем, что для построения и уж тем более для моделирования данных аппаратов требуется проводить громоздкие вычисления, порядка 1012 1015 и более шагов численных методов, начало активно развиваться направление численных методов, связанное с симплектическими численными методами. Совершенно ясно, что из-за наличия погрешности в стандартных численных методах, например, в методе Рунге Кутты четвертого порядка, ошибка, получаемая после вычисления такого количества шагов становится недопустимо высокой и полученные данные практически теряют всякую ценность.

В данной статье рассматриваются различные численные методы интегрирования, решающие проблему, описанную выше. Такие методы носят название симплектических интеграторов. Также проводится сравнение данных методов с обыкновенными численными интеграторами на примере задачи Энона Хейлеса. Задача Энона Хейлеса была выбрана за счет того, что эта проблема детально изучалась в большом количестве статей и публикаций.

1. Численные методы решения ОДУ. Данные методы будут применяться для численного интегрирования системы уравнений (ОДУ) вида y(n) (t) = f (t, y(t),..., y (n1) (t)) с заданными начальными условиями y(0) = y0. Поскольку ОДУ произвольной степени может быть сведено к системе ОДУ первого порядка, ограничимся в дальнейшем только решением ОДУ первого порядка.

Определение 1. Методы численного интегрирования численные методы, позволяющие найти решение интегрального уравнения, аналогичного начальному дифференциальному уравнению.

Как пример обыкновенных методов численного интегрирования можно привести интеграторы семейства Рунге Кутты, общий вид которых можно представить как [3] s Zi = z n + h aij f (Zj ), i = 1,..., s, j=1 s zn+1 = zn + h bj f (Zj ), j=1 где h размер шага, а zn, zn+1 значения переменных в фазовом пространстве после n-го и (n + 1)-го шагов интегрирования. Коэффициенты aij и bj специфические значения, зависящие от выбора конкретной реализации метода Рунге Кутты. Условие симплектичности для таких методов может быть представлено в виде

bi aij + bj aji bi bj = 0, i, j = 1,..., s.

Только неявные методы Рунге Кутты могут быть симплектическими. В качестве примера можно привести двухшаговый неявный метод Рунге Кутты с коэффициентами следующего вида a11 = a22 =, a12 =, a21 = +, b1 = b 2 =.

В данной статье проводится сравнение стандартного метода Рунге Кутты четвертого порядка, схема которого не приводится в связи с

–  –  –

Так как фазовое пространство задачи имеет размерность равную четырем, то для графического представления результатов, будет использоваться идея, заложенная в понятии сечения Пуанкаре [5], что позволит исследовать динамику системы. Для этого выберем в фазовом пространстве некоторую двумерную поверхность (в нашем случае, это поверхность x = 0, px = 0) и рассмотрим последовательные пересечения ее траекторией. Пересечение происходит каждый раз, когда траектория проходит сквозь поверхность в некотором определенном направлении.

3. Численный эксперимент. Возьмем в качестве конкретного примера самый распространенный вариант задачи Энона Хейлеса с параметрами w2 = 1, a = 1, b = 1. В качестве начальных условий зададим x = 0, y = 0, py = 0, px = 0, 288790581, H0 = 1/24.

На рис. 1 видно, что сечение фазового портрета после использования двух методов практически совпадает. Однако, достаточно близкое приближение позволяет увидеть, что на сечении, связанном с методом Стёрмера Верле, точки распределены более равномерно по графику, что приводит к некоторому уменьшению толщины линий в одном месте и увеличению толщины в другом.

Далее приведем два графика, сравнивающих поведение гамильтониана системы, как интеграла энергии.

К сожалению, вычислительные мощности не позволили просчитать количество шагов, сопоставимое с заявленными в начале статьи 1012 1015, однако были произведены расчеты, которые позволили построить сечение Пуанкаре толщиной 0,005 с лежащими в нем Рис. 1. Сечения Пуанкаре, полученные с использованием методов Рунге Кутты четвертого порядка и Стёрмера Верле 100 000 точек, что соответствует 4 880 000 просчитанных шагов для метода Рунге Кутты четвертого порядка, 5 110 000 точек для симплектического метода Стёрмера Верле, 5 400 000 для симплектического метода Эйлера и 4 700 000 точек для метода Дорманда Принса. Небезынтересно отметить, что при уменьшении толщины сечения Пуанкаре до 0,0001 количество точек, необходимых для получения все тех же 100 000 точек в сечении составило: 110 000 000 для метода Стёрмера Верле, остальные же методы не справились с такой задачей в виду недостатка вычислительной мощности устройства.

В ходе простого сравнения двух графиков на рис. 2 можно легко увидеть, что с нарастанием количества проделанных шагов в результатах, полученных методом Рунге Кутты четвертого порядка, появляется шум, который искажает представление о поведении системы и, несомненно, негативно влияет на полученные результаты. В тоже время видно, что на данном количестве точек использование симплектического метода Стёрмера Верле не приносит сколь бы то ни было сильных шумов.

Также нельзя пройти мимо того факта, что вычисления, проходящие при применении метода Стёрмера Верле, требуют меньших вычислительных мощностей. Например, время, затраченное для получения результата в методе Рунге Кутты превышает время Рис. 2. Сравнение эволюции Гамильтонианов системы Энона Хейлеса как результата использования метода Рунге Кутты четвертого порядка и метода Стёрмера Верле для получения того же результата в методе Стёрмера Верле приблизительно в 2,5 раза. Использование метода Дорманда Принса предоставляет тот же самый результат без появления каких-либо шумов на приведенном количестве точек за счет высокого порядка точности данного метода. Однако, его использование затруднено изза громоздкости вычислений. Симплектический метод Эйлера также показал результаты, сопоставимые с приведенными выше. Однако, несмотря на быстроту работы данного метода, его использование крайне не рекомендуется при проведении сложных подсчетов с большим количеством шагов из-за того, что он является методом первого порядка и не дает никаких гарантий получения точного результата.

Заключение. В данной статье проведено сравнение симплектических и не симплектических методов численного интегрирования на примере задачи Энона Хейлеса и приведены результаты практического исследования. Целью работы являлось показать область применения симплектических методов и ситуации, в которых использование этих методов позволяет получить более точный результат, чем при использовании обыкновенных методов.

–  –  –

1. Андрианов С. Н. Динамическое моделирование систем управления пучками частиц. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 376 c.

2. Cufaro-Petroni N. Stochastic control of beam dynamics // 6th European Particle Accelerator Conference, Stockholm, Sweden, 1998.

P. 1259–1273.

3. Govindan R. Symplectic integration of nonlinear Hamiltonian systems // Pramana – journal of physics, 1997. Vol. 48, No. 1. P. 129–142.

4. Hairer E. Geometric numerical integration. Springer Series, Berlin, 2006. 644 p.

5. Арнольд В. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики фундаментального направления, 1985. 290 с.

6. Трещев Д. Гамильтонова механика // Лекционные курсы НОЦ, математический институт им. В. А. Стеклова, 2006. Вып. 4, С. 1–64.

Сыров Е. В.

Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова Разработка численно-аналитической модели процесса сухой магнитной сепарации для создания динамической системы управления процессом Рекомендовано к публикации профессором Девятовым Д. Х.

Постановка задачи. Cфера применения сухой магнитной сепарации на валковых сепараторах весьма обширна и включает химическую, пищевую, металлургическую, обогатительную и другие отрасли промышленности [1]. В процессах обогащения внедрение физико-теоретических моделей необходимо для проектирования обогатительных аппаратов и создания систем автоматического управления с интегрированными в них моделями обогатительных процессов.

Модель процесса сухой магнитной сепарации должна удовлетворять следующим требованиям:

1. Модель должна учитывать конструкцию аппарата (конфигурацию, вращение роликов, положение делительной перегородки) и взаимодействие между частицами потока.

2. Определять характеристики магнитного поля в пространстве рабочего зазора.

3. Определять траектории движения частиц в зоне разделения потока.

4. Модель должна быть приспособлена для моделирования динамических систем автоматического управления и иметь интерфейс для интеграции в системы автоматического управления.

Анализ средств моделирования. Анализ показывает, что ни один пакет моделирования не удовлетворяет требованиям модели.

Часть пакетов не имеет модулей для реализации метода дискретных элементов, необходимых для построения потока взаимодействующих частиц [2] с учетом их свойств [3, 4]. Другая часть, созданная для реализации взаимодействия частиц, не имеет хорошо развитых методов для моделирования динамических магнитных полей. Акцент в таких пакетах сделан на взаимодействии между частицами [5]. Проблема согласования пакетов (разных численных методов) для решения задач, связанных с расчетом сплошных и дискретных сред является весьма актуальной. На сегодняшний день ведутся исследования и создаются как коммерческие, так и Open Source программные решения [6, 7].

Между тем вопросы интеграции пакетов на практике решают поразному, например, пишут программу сопряжение для пакетов, реализующих Discrete Element Method (DEM, метод дискретных элементов) и Finite Element Method (FEM, метод конечных элементов) или используют альтернативные (численно-аналитические) методы решения [8, 9].

Для использования моделей в системах автоматического управления либо разрабатывают упрощенную аналитическую (численноаналитическую модель) [10], либо обрабатывают данные, полученные из численных моделей, для получения аналитических зависимостей [11].

Таким образом, наиболее оптимальным способом описания модели процесса сухой магнитной сепарации на валковом сепараторе можно считать комбинированный, т. е. модель насколько это возможно должна быть аналитической, с применением численных методов, с последующей обработкой для формализации полученных закономерностей.

Цель статьи.

1. Обоснование необходимости и возможности получения численноаналитической модели процесса сухой магнитной сепарации.

2. Описание численно-аналитической модели картины магнитного поля в вертикальном сечении рабочего зазора сепаратора.

Исходные данные. В работах [12, 13] заложена основа модели процесса сухой магнитной сепарации на сепараторе отклоняющего типа. Расчет ведется для электромагнитного сепаратора.

В программе MathCAD реализовано численно-аналитическое решение для сечений роликов. На рис. 1 изображены ролики и картина магнитного поля в горизонтальном сечении сепаратора, полученная методом конформных преобразований. Выделенная на рис. 1 линия магнитной индукции является центральной не только в горизонтальном, но и в вертикальном сечении рабочей области роликового сепаРис. 1. Вид роликов (полюсов) сепаратора (линией выделен контур горизонтального сечения, проведенного через центры роликов). Построенная картина магнитного поля в горизонтальном сечении: горизонтальный (p) и вертикальный (q) размеры зазора = 1 мм ратора. Эта обстоятельство используется при построении картины магнитного поля в вертикальном сечении.

Для расчета поля в вертикальном сечении задаются следующие условия (см. рис.

2):

• поле плоскопараллельное;

• границы поля C1 и C2 эквипотенциали (UM C1 = J, UM C2 = 0);

• распределение магнитного потенциала по оси симметрии приведено на рис. 1;

• в области поля среда изотропная.

Построение картины поля. Область между роликами сепаратора в вертикальном сечении представляет собой двусвязную область эксцентрическое кольцо между C1 и C2, D расстояние между осями роликов (см. рис. 2). Для получения картины поля Рис. 2. Схема дробно-линейного преобразования: сечение роликов (реальный объект прообраз) и преобразованная область образ используется дробно-линейное преобразование [14] плоскости z на плоскость w.

Основываясь на свойстве дробно-линейного преобразования сохранять окружности, эксцентрическое кольцо между C1 и C2 отображается на концентрическое кольцо, представляющее собой простейшую двусвязную область [15]. Для поля концентрического кольца линии равного потенциала представляют собой концентрические окружности, силовые линии это отрезки лучей (между граничными окружностями), исходящие из общего центра. Для построения равных магнитных трубок, в силу изотропности среды, достаточно построить лучи с равным угловым приращением.

Алгоритм расчета. Расчет поля проводится в следующей последовательности:

1. Используя дробно-линейное преобразование, находятся образы точек z1w,..., z2w (см. рис. 2) центральной линии индукции из горизонтального сечения рабочей зоны (см. рис. 1).

2. Через найденные образы точек z1w,..., z2w проводятся окружности эквипотенциали r1,..., r2 в плоскости w (см. рис. 2).

3. Обратным преобразованием находятся прообразы окружностей, т. е. эквипотенциали в искомом поле (из r1,..., r2 получаются R1,..., R2) (см. рис. 2).

4. Записывается уравнение лучей в плоскости w и обратным преобразованием находятся их прообразы –– силовые линии искомого поля.

<

–  –  –

Результаты. Рассчитанная в MathCAD’е картина поля в вертикальном сечении и картина поля, полученная в пакете моделирования Comsol Multiphysics, качественно совпадают (см. рис. 3).

В полученном алгоритме использовались метод конформных преобразований, дробно-линейное преобразование, метод секущих для численного решения нелинейного уравнения. На основании математического описания магнитного поля в сечениях может быть получена трехмерная модель магнитного поля в рабочем зазоре и программа функция для магнитной силы вида FM = f (x, y, z, t), где FM величина магнитной силы, x, y, z координаты в пространстве, t время, с помощью которой описывается траектория движения отдельной частицы (решением обратной задачи динамики). Такой алгоритм может быть реализован на любом языке программирования.

Заключение.

1. Учитывая перспективы внедрения математических моделей процессов в системы автоматического управления, становится актуальной задача построения численно-аналитических моделей с алгоритмами, реализуемыми на любом языке программирования и потому легко внедряемыми на производстве.

2. Упрощенная модель процесса сухой магнитной сепарации может быть получена в численно-аналитическом виде.

3. Разработана математическая модель картины магнитного поля в вертикальном сечении сепаратора, описанная численноаналитическими методами.

4. Получена программная реализация математических моделей картин магнитного поля в сечениях рабочего зазора сепаратора. На основе этих моделей может быть получено пространственное распределение напряженностей и магнитных сил.

Литература

1. Кармазин В. В., Кармазин В. И. Магнитные, электрические и специальные методы обогащения полезных ископаемых: Учебник для вузов. М.: Изд-во Московского государственного горного университета, 2005. Т. 1. 669 с.

2. Арсентьев В. А., Блехман И. И., Блехман Л. И. и др. Методы динамики частиц и дискретных элементов как инструмент исследования и оптимизации процессов переработки природных и техногенных материалов // Обогащение руд, 2010. № 1. С. 30–35.

3. www.ansys.com

4. www.comsol.com

5. http://edem.software.informer.com

6. Kloss C., Goniva C., Aichinger G., Pirker S. Comprehensive DEMDPM-CFD simulations: model synthesis, experimental validation and scalability // Proceedings Seventh International Conference on CFD in the Minerals and Process Industries, CSIRO, Melbourne, Australia, 2009. P. 1–7.

7. Goniva C., Kloss C., Hager A., Pirker S. An open source CFD-DEM perspective // Proc. of OpenFOAM Workshop, Serie OpenFOAM Workshop, Goeteborg, 2010. 23 p. http://web.student.chalmers.

se/groups/ofw5/Papers/ChristophGonivaPaperOFWS5.pdf

8. Murariu V., Sergeant P. J. Modelling of the separation process in a ferrohydrostatic separator using discrete element method // Physical Separation in Science and Engineering, 2007. No 4. P. 1–13.

9. Bhuvaraghan B., Srinivasan S. M., Maeo B. et al. Shot peening simulation using discrete and nite element methods // Advances in Engineering Software, 2010. Vol. 41. Iss. 12. P. 1266–1276.

10. Гусева М. А. Построение модели объекта с распределенными параметрами в пакете компьютерного моделирования сосредоточенных динамических систем // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер.: Технические науки, 2011. № 1. С. 12–19.

11. Имитационное моделирование линейного асинхронного двигателя http://www.electromechanics.ru/authors-articles/ 81-imitating-modeling-of-the-linear-asynchronous-theengine.html

12. Сыров Е. В., Кусембаев С. Х. Расчет упрощенной модели процесса сухой магнитной сепарации на сепараторе отклоняющего типа и разработка принципов автоматизации // Геотехнология 2010:

Проблемы индустриально-инновационного развития горнодобывающих отраслей промышленности и мировая геополитика освоения хризотилового волокна: Материалы Пятой международной научно-практической конференции / Под общ. ред. д.т.н., проф.

С. Ж. Галиева. Житикара, 2010. C. 472–477.

13. Сыров Е. В. Разработка высокоэффективных энергосберегающих конструкций роликовых сепараторов на основе математического моделирования // XL Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конференции. Часть VIII.

СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. С. 84–86.

14. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977. 444 с.

15. Бинс К., Лоуренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей / Пер. с англ. М.: Энергия, 1970. 376 с.

Телевный Д. С., Виноградова Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет Расчет триодной системы с полевым острием Введение. Эмиссионные устройства на основе полевого катода применяются в электронных микроскопах, плоских дисплеях на основе полевой эмиссии, системах диагностики поверхности, приборах микро- и нано-электроники. Полевой катод позволяет возбудить эмиссию электронов при небольших значениях потенциалов, если придать ему форму тонкого острия с радиусом вершины в десятые или сотые доли микрона. Процесс эмиссии также определяется расположением дополнительного электрода модулятора, который позволяет при небольших потенциалах влиять на эффективность эмиссии [1, 2].

Физическая постановка задачи. Рассмотрим триодную цилиндрическую систему, состоящую из плоского катода, модулятора в виде круговой диафрагмы и плоского анода (рис. 1). Внутренняя область системы заполнена двумя различными диэлектриками с диэлектрическими проницаемостями 1 и 2. На оси системы расположено острие, моделируемое заряженной нитью длиной z0. Катод имеет нулевой потенциал, на модуляторе задан потенциал V1, на аноде потенциал V2. Требуется найти распределения потенциала в области триодной системы с полевым острием.

+

–  –  –

Рис. 1. Сечение системы с учетом аксиальной симметрии Математическая постановка задачи. Функция распределения потенциала должна удовлетворять уравнению Пуассона с учетом аксиальной симметрии системы

–  –  –

0.8 1.0 1.0 0.6 1.0

–  –  –

Рис. 2. Распределение потенциала во всей области системы Из рис. 2 видно выполнение граничных условий. Нулевая эквипотенциаль, выделенная жирной линией, совпадает с поверхностью острия.

На рис. 3 изображены эквипотенциальные линии потенциала системы вблизи вершины острия. Жирной линией обозначена эквипотенциальная линия острия, которая определяет форму катода.

0.10 0.08 0.45 0.06

–  –  –

Рис. 3. Распределение потенциала вблизи вершины острия На рис. 4 изображены графики линейной плотности, рассчитанные программой: сплошной линией для области I, пунктирной линией для области III.

-2.0

-1.5

–  –  –

-0.5 0.0 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

–  –  –

Заключение. В данной работе рассмотрена задача моделирования триодной электронно-оптической системы с полевым острием. Решено уравнение Пуассона с помощью аппроксимации плотности заряда линейной функцией (4). Получены в аналитическом виде функции распределения потенциала во всей области системы. По результатам численного эксперимента построены графики эквипотенциальных линий.

Литература

1. David S. Y. Microgating carbon nanotube eld emitters by in situ growth inside open aperture arrays // Applied physics letters, 2002.

Vol. 80. P. 2988–2990.

2. David S. Y., Jonathan S. Integrally gated carbon nanotube-onpost eld emitter arrays // Applied physics letters, 2002. Vol. 80.

P. 118–120.

3. Телевный Д. С. Расчет электростатического потенциала в электронно-оптической системе с модулятором // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010.

С. 225–230.

4. Миролюбов Н. Н. Методы расчета электростатических полей.

М.: Высшая школа, 1963. 209 с.

5. Виноградова Е. М. Математическое моделирование электроннооптических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. 110 с.

Тимкина В. Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Ее характеризует время пребывания КА в окрестности L1 без управляющего воздействия. Управления вида kd1, где k –– некоторый коэффициент, а d1 функция опасности, являются оптимальными в смысле линейно-квадратичной оптимизации для системы (2). Если управление такого вида добавить в линейную систему, то она будет устойчива по Ляпунову.

Поскольку система уравнений линейного приближения вырождена в том смысле, что уравнения для x3, y3 отделяются и не зависят от управления, возникает проблема устойчивости для нелинейного случая. Поэтому появилась необходимость показать, что такого вида управление обеспечивает устойчивость по Ляпунову равновесного решения данной системы. Исходя из того, что теоретическое решение этой проблемы довольно сложное, предварительно было проведено численное исследование, результаты которого представлены в настоящей работе.

4. Результаты численного интегрирования. В результате численного исследования была построена траектория с начальными данными x0 = (1,05; 0; 0,01) и y0 = (0; 1; 0,01) на промежутке времени от 0 до 20 единиц времени.

Рис. 1. График движения КА в пространстве положений

На рис. 1 приведен график траектории управляемого орбитального движения в пространстве положений. На графике видно, что в начальный период движения траектория смещается, а затем асимптотически приближается к галоорбите с малым значением функции опасности.

Рис. 2. График движения КА в пространстве импульсов На рис. 2 изображено поведение управляемой траектории орбитального движения в пространстве импульсов. Качественная картина поведения такая же, как и на рис. 1.

Рис. 3. График зависимости функции опасности от времени На рис. 3 изображено поведение функции опасности. Коэффициент k в данном случае равен 1. Колебания функции опасности на промежутке времени [3, 20] можно объяснить влиянием нелинейности. Как видно из рисунков, утверждение о том, что для нелинейной системы точка L1 устойчива по Ляпунову, является правдоподобным.

5. Заключение. По результатам численного исследования можно сделать вывод, что утверждение о том, что для нелинейной системы с управлением u = kd1 точка L1 устойчива по Ляпунову, является правдоподобным.

–  –  –

1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

2. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005. Вып. 2. С. 193– 199.

3. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Четвертые поляховские чтения:

Избр. труды. СПб., 2006. С. 296–300.

4. Шиманчук Д. В. Использование коллинеарной точки либрации L1 при решении задачи астероидно-кометной опасности // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009.

С. 277–280.

Трофимов В. В., Никифоров К. А., Антонова Л. И.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

1. Введение. Физическая модель. В работе рассматриваются матрицы аксиально-симметричных катодных узлов с полевыми электронными эмиттерами лезвийного типа (рис. 1). По сравнению с известными острийными катодами Ч. Спиндта, из которых, можно сказать, развилась вся вакуумная микро/наноэлектроника, данные цилиндрические катоды имеют преимущество бльшую площадь о рабочей поверхности.

На рис. 1 представлены фотография катодной матрицы 1 1 см (в зажимах пинцета) и изображение эмиттеров на рабочей поверхности матрицы в растровом электронном микроскопе (РЭМ), справа показаРис. 1. Катодная матрица и схема на схема ячейки микрокатода в эмиссионной ячейки разрезе. На подложке из высоколегированного кремния располагается тонкопленочный катод из нитрида ниобия высотой 0,7 мкм, диаметром 2,5 мкм и радиусом кривизны острой кромки 0,02 мкм. Ширина ячейки 5 мкм. Высота катода, радиус кривизны кромки, материал и другие характеристики могут меняться при изменении параметров технологического процесса.

В отличии от триодной структуры, в которой традиционно применяются катоды Спиндта и другие подобные им источники, данные катоды исследуются в режиме диодном (на рис. 1 справа на схеме не изображен удаленный анод, который выступает в качестве коллектора электронов).

В основе действия рассматриваемого тонкопленочного диода лежит несколько взаимодействующих друг с другом процессов исходным фактором является появление в структурах электрического поля. При определенных значениях напряженности поля у поверхности эмиттера возникает полевая электронная эмиссия. Процесс полевой электронной эмиссии электронов из металла в вакуум достаточно хорошо описывается теорией Фаулера Нордгейма [1] AE 2 3/2 j(E) = exp B (y). (1) 2 (y) t E Здесь j плотность тока эмиссии, A и B постоянные, связанные с фундаментальными физическими величинами, A = e3 /(8h), B = 8 2m/(3eh), h постоянная Планка, e заряд электрона, m масса покоя свободного электрона, t(y), (y) эллиптические функции Нордгейма аргумента y = e3 E/(40 2 ), для которых используются аппроксимации t2 (y) 1, 11619, (y) 0, 95 y 2, 0 электрическая постоянная, E величина напряженности внешнего электрического поля, работа выхода материала, являющаяся мерой энергии связи электронов с твердым телом.

2. Эксперимент. Первая серия экспериментов состояла в измерении эмиссионного тока на близко расположенном в атмосфере аноде-коллекторе (расстояние до эмиттеров 1 мкм).

Рис. 2. Эмиссионный ток, схема первого эксперимента, изображение опорных элементов в РЭМ, ток второго эксперимента и картины эмиссии на аноде Анодом являлся кристалл (3 3 мм) того же кремния с нанесенным слоем платины. При этом кристалл клался на спейсеры (опорные элементы для обеспечения плоскопараллельности электродов, изготовленные по микроэлектронной технологии) платиной вверх и прижимался сверху (рис. 2) иглой зондового микроманипулятора (из вольфрама). Эксперимент проводился на базе ФТИАН.

При малом межэлектродном расстоянии диод работает в условиях вакуума даже при атмосферном давлении, потому что длина свободного пробега электрона в атмосфере оказывается больше пролетных расстояний катод-анод. Рабочие напряжения не превышают двух десятков вольт, характерные для приборов вакуумной микро/наноэлектроники.

Вольтамперные характеристики, снятые с коллектора в ходе эксперимента, изображены на рис. 2 слева. Плотность тока (ось слева) была рассчитана по интегральной величине с учетом рабочей площади приставного анода-колллектора (9 мм2 ).

Вторая серия экспериментов проводилась на базе факультета ПМ ПУ в учебно-научной лаборатории физического моделирования управляющих полей и систем заряженных частиц кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем. Исследовалась возможность генерации данными катодными матрицами пучков не только большой плотности, но и высокой энергии электронов. Ускорение эмитированных электронов производилось на увеличенном (до 1–3 мм) межэлектродном расстоянии и увеличенном (до 1–12 кВ) напряжении в условиях сверхвысокого вакуума (с целью устранения возможного влияния атмосферных газов). Вольтамперные характеристики построены в координатах Фаулера Нордгейма на рис. 2 справа. Кроме того, наблюдались картины эмиссии на аноде, покрытом слоем люминофора (рис. 2).

Наблюдались пробои, происходящие в области краев катодной матрицы. В предыдущей серии экспериментов краевые эффекты не проявлялись. В разделе 3 будет показано, что это связано, в первую очередь, с электростатическим усилением поля на кромке катодной матрицы. Пока не ясно, в каких точках происходят пробои непосредственно на лезвиях эмиттеров или на других неоднородностях у края матрицы это покажет исследование поверхности в сканирующем электронном микроскопе МРЦ СПбГУ Нанотехнологии.

Один из вариантов для объяснения природы пробоя взрывная эмиссия, которая сопровождается выносом вещества эмиттера и изменением его геометрии, приводящим к изменению положения прямолинейных участков вольтамперных характеристик в координатах Фаулера Нордгейма (рис. 2).

3. Математическая модель. Основная цель получить распределение электростатического поля в системе и объяснить причину возникновения электрических пробоев.

По принципу суперпозиции электрическое поле является результатом двух- или трехступенчатого процесса формирования: однородное поле плоского конденсатора E0, образованного поверхностями катодной матрицы и анода (в приближении плоской геометрии), усиливается на выступающих лезвиях эмиттеров с коэффициентом k2.

Во второй серии экспериментов поле E0 усиливается (дополнительно) на краях катодной матрицы с коэффициентом k1 и также на лезвиях эмиттеров. Получается, что поле в области эмиссии E = k2 E0 при малых расстояниях катод-анод, и E = k1 k2 E0 при больших межэлектродных расстояниях c учетом краевого эффекта.

Коэффициент геометрического усиления поля k2 катодных лезвий находился из двумерной постановки задачи с учетом аксиальной симметрии.

Распределение электрического поля внутри ячейки катодного узла описывается следующими уравнениями:

= 0, (2) E =, (3) где электростатический потенциал; E вектор напряженности электрического поля.

Уравнение (2) решается в замкнутой области G, соответствующей геометрии ячейки катодного узла, на границе которой заданы краевые условия для : на границах проводников (электродов)

–  –  –

на границе ячейки (т. е. на боковой поверхности, на линиях или плоскостях симметрии) условие равенства нулю нормальной производной от потенциала (нормальной составляющей электрического поля)

–  –  –

Рис. 3. Эквипотенциали и распределение величины напряженности поля в межэлектродном пространстве. На вставке: cгущающиеся вблизи кромки эмиттера линии уровня для напряженности поля Решение краевой задачи (4)–(6) и вычисление величины электростатического поля проводилось методом конечных элементов в среде MATLAB с использованием MATLAB PDE Toolbox [2].

Решение имеет быстро изменяющийся градиент в области эмиссии (на острой кромке катода), поэтому конечноэлементная сетка строилась адаптивно и сгущалась в окрестности кромки эмиттера, чтобы скорость сходимости решения к точному существенно не снижалась и не происходило увеличения числа неизвестных размерности конечноэлементной системы.

При адаптивном построении сетки естественно было использовать индикатор ошибки, включающий норму невязки уравнения и скачки градиента конечноэлементного решения, поскольку они связаны с одной из основных в данной задаче физических величин напряженностью электрического поля.

Из рис. 3 видно, что приближение E0 плоского конденсатора для поля адекватно на расстоянии более 0,6 мкм от кромки эмиттера.

Вблизи вершины эмиттера это поле увеличивается в k2 = 3,5 раза.

Коэффициент k1 находился из решения трехмерной электростатической задачи в конечноэлементном пакете Comsol Multiphysics.

Вычислительная область ограничивалась сферой большого радиуса, в центре которой располагались электроды. Линии уровня для величины напряженности электрического поля сгущаются по краям катодной матрицы. На рис.

4 внутренняя линия уровня соответствует 3,5 · 106 В/м, внешние более 5,5 · 106 В/м, что составляет 70 и 110%, соответственно от величины поля E0 плоского конденсатора:

k1 1, 1.

4. Заключение. В работе экспериментально исследованы два режима функционирования катодных матриц: низко- и высоковольтный (низко- и высокоэнергетичный). Второй режим исследовался в сверхвысоком вакууме на базе факультета ПМ ПУ при непосредственном участии авторов. Математическое моделирование позволило выяснить причину возникновения электрических пробоев в высоковольтном Рис. 4. Линии режиме краевые эффекты. Усиление поля на кра- уровня поля ях катодной матрицы составляет более 10% весьма существенно ввиду экспоненциальной зависимости (1) для плотности эмиссионного тока. Следующим этапом работы запланирована разработка анода с неплоской формой, компенсирующей краевые эффекты катодной матрицы.

Литература

1. Егоров Н. В., Шешин Е. П. Автоэлектронная эмиссия. Принципы и приборы. М.: Интеллект, 2011. 528 c.

2. Никифоров К. А., Егоров Н. В. Научно-учебный программный комплекс для конечноэлементного моделирования диодных и триодных структур вакуумной микро/наноэлектроники // Проектирование инженерных и научных приложений в среде MATLAB: Труды 5-й научной международной конференции / Под ред. С. П. Иглина. Харьков: ХПИ, 2011. С. 659–679.

Уланов Е. А., Утешев А. Ю.

Санкт-Петербургский государственный университет Три притягивающих центра: стационарные точки двух потенциалов

1. Постановка задачи. Пусть на плоскости заданы точки P1 = (x1, y1 ), P2 = (x2, y2 ), P3 = (x3, y3 ), не лежащие на одной прямой, положительные величины m1, m2, m3 (массы) и целое число s = 0. Требуется определить координаты стационарной точки функции f (P) = m1 |P1 P|s + m2 |P2 P|s + m3 |P3 P|s. (1) В настоящей работе сравниваются решения этой задачи для случая s = 1 (обобщенная задача Ферма Торричелли [1]) и для случая s = 1 (задача о трех притягивающих центрах [2]).

2. Обратная задача. Требуется задать величины масс так, чтобы стационарная точка целевой функции (1) находилась в заданной точке P = (x, y ), лежащей внутри треугольника P1 P2 P3. Для определённости будем считать, что вершины треугольника P1 P2 P3 занумерованы так, что он обходится против часовой стрелки.

Теорема 1. Обозначим C1 = x x2 x3, C2 = x1 x x3, C3 = x1 x2 x.

(2) y y2 y3 y1 y y3 y1 y2 y Тогда при выборе масс по формулам

–  –  –

функция (1) будет иметь стационарную точку P = (x, y ). При условии, что точка P выбирается внутри треугольника P1 P2 P3 величины масс, заданные формулами (3), будут положительными.

Доказательство. Координаты стационарной точки P функции (1) удовлетворяют условию

–  –  –

истинность которого проверяется непосредственно. Если P лежит внутри треугольника P1 P2 P3, то треугольники P P2 P3, P1 P P3 и P1 P2 P обходятся по часовой стрелке и, следовательно, величины (2), а вместе с ними и (3), положительны.

Замечание 1. Ввиду однородности функции (1) относительно масс решение обратной задачи определяется с точностью величины отношения m1 : m2 : m3.

Существует ли решение задачи при величине этого отношения, отличающегося от приведенного в теореме 1?

3. Случай s = 1. Он соответствует обобщенной задаче Ферма Торричелли.

Теорема 2. Для случая s = 1 решение обратной задачи единственно (с точностью до величины отношения m1 : m2 : m3 ) и оно определяется формулами (3).

Доказательство. В [3, 4] полностью решена прямая задача о нахождении координат стационарной точки P функции (1) по заданным массам. Доказано также, что эта стационарная точка единственна и при выполнении условий

–  –  –

и значения x0 принадлежат интервалу ]1, 2[. Фактически, бесконечно большие массы m1 и m2 обеспечивают стремление P к стороне P1 P2 треугольника, а бесконечно малая масса m3 производит тонкую настройку этого стремления к конкретной точке интервала P1 P2.

4. Случай s = 1. Он соответствует с точностью до изменения знака функции (1) задаче о трех притягивающих центрах.

Этот случай значительно сложнее предыдущего ввиду отсутствия явных формул для стационарных точек: задача неразрешима в радикалах [2]. Тем не менее, результат теоремы 1 остается справедливым: подбором масс mj можно гарантировать расположение стационарной точки в любой заданной точке внутри треугольника.

Однако теперь стационарная точка неединственна.

Пример 2. Пусть в вершинах P1 = 3/2, 1/2, P2 = 3/2, 1/2, P3 = (0, 1) равностороннего треугольника располагаются массы m1 = m2 = 1 и m3 = m 0.

При любых значениях параметра m 0 стационарные точки функции f располагаются симметрично относительно оси Oy. На оси Oy их расположение определяется уравнением

–  –  –

При m ]0, m[ у функции f имеются только две стационарные точки, они седловые, и расположены на оси Oy. При возрастании m одна точка движется от вершины P3 вниз по оси, а другая от середины интервала P1 P2 вверх по оси. При m = m происходит бифуркация: в точке (0; ( 33 5)/4) (0; 0, 1861) рождаются три стационарные точки, две из которых седловые. При дальнейшем возрастании m они покидают ось Oy, лежат на ветви алгебраической кривой 2y(x2 + y 2 )3 + 7 (x2 + y 2 )3 + 6 y(x2 + y 2 )(5 x2 + y 2 )+ +(6 x4 + 24 x2 y 2 + 2y 4 ) 8 y 3 6(x2 + y 2 ) 4 y + 1 = 0, находящейся внутри треугольника, и стремятся к вершинам P1 и P2 при m + (см. рис. 1).

Третья стационарная точка, возникшая в результате бифуркации, точка минимума, она остается на оси Oy и при возрастании m движется вниз по оси. При m ]m, m[ функция имеет 4 стационарные точки, одна из которых является точкой минимума, а остальные три седловыми. При m = m происходит еще одна бифуркация: в точке 0; ( 33 7)/8 (0; 0, 1569) сталкиваются две стационарные точки, двигавшиеся навстречу друг другу вдоль оси Oy, точка минимума и седловая. При дальнейшем возрастании m они исчезают. При m m у функции f остаются только две стационарные точки седла, расположенные вне оси Oy.

5. Заключение. В статье проведено сравнение структур множеств стационарных точек двух функций потенциалов в задачах притяжения тремя стационарными массами. Исследованы также бифуркации этих множеств при изменении величин притягивающих масс.

Литература

1. Martini H. Fermat–Torricelli problem // Springer Online Reference Works. [2001]. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/ Fermat-Torricelli_problem

2. Болотин С. В. Неинтегрируемость задачи n центров при n 2 // Вестник МГУ. Сер. 1, 1984. № 3. С. 65–68.

3. Уланов Е. А. Обобщение задачи Ферма–Торричелли–Штейнера // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред.

А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.

ун-та, 2011. С. 201–206.

4. Уланов Е. А., Утешев А. Ю. Аналитическое решение обобщенной задачи Ферма–Торричелли–Штейнера // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 237–242.

5. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2002. 71 с.

Хисамиев А. Р.

Санкт-Петербургский государственный университет Вычисление вытянутых сфероидальных функций Рекомендовано к публикации доцентом Антоновым А. Ю.

Введение. Современные технологии позволяют в качестве источников электронов использовать сверхтонкие металлические и полупроводниковые острия. Это позволяет получать пучки заряженных частиц в результате полевой электронной эмиссии при невысоких значениях напряжения. Учитывая малую полуширину энергетического спектра полевых электронов, мы имеем дело с практически монохроматическим точечным источником. Это делает задачу о выявлении электронных состояний в острие чисто квантовомеханической, поскольку подобные размеры не позволяют оперировать понятиями зонной теории.

Состояние электрона описывает решение уравнения Шрёдингера

–  –  –

ка (постоянная Дирака), me масса электрона, E полная энергия электрона. Потенциальная энергия V может быть положена равной нулю внутри катода. Волновая функция определяет квантовомеханические свойства электрона.

Если форму тонкого острия аппроксимировать полостью двуполостного гиперболоида вращения, то удобно перейти в систему координат вытянутого эллипсоида вращения (,, ) [1]. Фиксирование криволинейной координаты даст нужную поверхность.

Разделив переменные и введя константы разделения m и, получили уравнения

–  –  –

Сравнение алгоритмов по времени. Данный раздел посвящён аспектам вычислительного процесса. Было проведено сравнение алгоритмов для каждой из функций Smn и Rmn по скорости вычисления. На вход программы определённое количество раз подавался случайно сгенерированный набор (m, n, c), для каждого раза свой, и замерялось суммарное время выполнения программы.

Функция Smn вычислялась на отрезке [0, 1]. На рис. 1a для функции Smn видно, что наиболее быстрым является метод численного решения уравнения. Но, как говорилось ранее, он не применим вблизи = ±1 и может потребоваться совмещать его с одним из двух других методов, кроме того, границы применимости метода зависят от набора (m, n, c) и с возрастанием чисел уменьшаются. Следующим по быстродействию является метод разложения по степеням 1 2.

На последнем месте метод разложения по сферическим функциям Бесселя.

Функция Rmn вычислялась на отрезке [1, 3]. На рис. 1б для функции Rmn видно, что на первом месте метод разложения по сферическим функциям Бесселя. На втором метод разложения по степеням 2 1.

Заключение. В результате проведённых расчётов сделан вывод, что для вычисления функций Smn оптимальным является использование комбинации численного метода и разложения в ряд по степеням (в окрестности полюсов скорость сходимости ряда резко возрастает). Вопрос о границах применимости численного метода не тривиален и требует отдельного исследования. Для большинства заcos 5. Расчёты дач с малыми значениями m, n и c подойдёт || показывают, что для вычисления функций Rmn оптимальным является разложение по сферическим функциям Бесселя, так как ряды по степеням при значениях 2 сходятся хуже.

Литература

1. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций.

М.: Вычислительный центр АН СССР, 1962.

2. Li L.-W., Kang X.-K., Leong M.-S. Spheroidal wave functions in electromagnetic theory, 2002. 307 p.

3. Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. F.

Numerical recipes. The art of scientic computing. 3rd ed. 2007.

Широколобов А. Ю., Овсянников А. Д.

Санкт-Петербургский государственный университет Математическая модель оптимизации параметров ускорителя на бегущей волне

1. Введение. Ускорители заряженных частиц широко используются в науке, промышленности и медицине.

Проблемы моделирования и оптимизации движения пучков заряженных частиц исследованы во многих работах [1–5], где рассматривались различные модели.

В данной статье исследуется новая математическая модель оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускорителе на бегущей волне. Предполагается поиск фазы синхронной частицы и напряженности ускоряющего поля. Надо отметить, что в работе [2] также предполагается поиск данных функций, но математическая модель отлична от модели, предлагаемой в данной статье.

Необходимо также отметить, что в данной работе учтен случай кусочно-гладких управлений [3].

2. Постановка задачи. Будем исследовать задачу управления продольной динамикой пучка в волноводном ускорителе как задачу совместной оптимизации движения синхронной частицы и ансамбля траекторий в целом. В качестве управляющих функций выберем закон изменения безразмерного параметра амплитуды напряженности ускоряющей волны () [4] и закон изменения синхронной фазы s () вдоль структуры.

Примем следующие обозначения: u1 = (), u2 = s (), где функции u1 (), u2 () управления.

Пусть фаза частицы определяется выражением [2] z dz t + s.

= (1) ф (z)

–  –  –

аq значение гамильтониана, соответствующее сепаратрисе.

Будем рассматривать минимизацию функционалов (10), (11) по управлениям (u1, u2 )T.

Оптимизацию будем проводить градиентным методом на основе вариации функционала [3], который является линейной комбинацией приведенных выше функционалов, снабженных весовыми коэффициентами.

5. Численные результаты. Рассматриваемая задача программно реализована в среде MATLAB. Написан модуль к системе BDO– RFQ 1.6, созданной на кафедре теории систем управления электрофизической аппаратурой.

2.5 0 0.2 0.4 1.5 0.6 0.8 0.5 1.2 0 1.4

–  –  –

Рис. 3. Сепаратриса и энергофазовое распределение пучка частиц на выходе группирователя (слева) и на выходе структуры (справа) (1) В результате были получены управления (1) () и s () (рис. 1).

Эти управления дают на выходе структуры разброс по энергии 28% и ширину фазового спектра 0,73 рад (рис. 2). Средняя энергия на выходе структуры составила 5,6 МэВ.

Надо отметить, что все частицы попали в режим ускорения. Это видно на рис. 3, так как сепаратриса ограничивает область захвата частиц в режим ускорения.

6. Заключение. В статье построена математическая модель оптимизации динамики пучков в ускорителе на бегущей волне. Получено уравнение сепаратрисы и проведены численные расчеты, которые показали, что данная математическая модель может использоваться при решении задач управления заряженными пучками в ускорителях на бегущей волне.

–  –  –

1. Капчинский И. М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966. 308 с.

2. Bondarev B. I., Durkin A. P., Ovsyannikov A. D. New Mathematical Optimization Models for RFQ Structures // Proceedings of the 18-th Particle Accelerator Conference, New York, USA, 1999.

P. 2808–2810.

3. Широколобов А. Ю. Математическая модель оптимизации параметров ускорителя на бегущей волне в случае кусочно-гладких управлений // Процессы управления и устойчивость: Труды 42й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 220–226.

4. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 312 с.

5. Ovsyannikov A. D. New approach to beam dynamics optimization problems // Proceedings of the 6-th international computational accelerator physics conference, Darmstadt, Germany, 2000.

3. Математические модели медикобиологических систем Андреев Н. С., Степенко Н. А.

Санкт-Петербургский государственный университет О построении разностных моделей периодических временных рядов Несмотря на то, что многие реальные явления, в том числе и медико-биологические, протекающие во времени, вообще говоря, изменяются непрерывным образом, информация о них всё же представляет собой набор некоторых дискретных данных. Это связано, в первую очередь, с тем простым фактом, что фиксация самого времени человеком происходит также дискретно через каким-либо образом определённые конечные (пусть и даже очень малые) отрезки времени. И фиксация разного рода показателей, относящихся к исследуемому процессу, в эти моменты времени в итоге будет представлять собой некий упорядоченный набор данных, т. е. временной ряд [1]. К тому же, упорядоченность может иметь место не только во времени, но и в пространстве.

Зачастую медико-биологические процессы носят колебательный характер (периодические колебания численностей популяций животных, разного рода биологические ритмы и т. п.), и поэтому, рассматривая прикладные аспекты анализа соответствующих временных рядов, стоит уделить внимание общей задаче исследования именно периодических временных рядов. Основной упор здесь будет сделан на методы подбора математической модели для описания временного ряда и, следовательно, прогнозирования его поведения.

При математической формализации этой задачи важно учесть также то, что при фиксации наблюдаемых данных протекающих процессов сами получаемые данные не могут считаться абсолютно точными. Это очевидно вытекает из различных обстоятельств, таких как погрешность измеряющих приборов, наличие малых, не учтённых воздействий случайного характера и т. п. Тогда при фиксации таблицы наблюдений процесса, явно носящего периодический характер, точного периода в данных может быть не обнаружено. В таком случае рассмотрим следующую постановку задачи.

1. Постановка задачи. Пусть имеется дискретный временной ряд x(k) при k = 0,..., N 1, т. е. состоящий из достаточно большого количества N отсчётов, для которого определено такое целое неотрицательное число T (не умаляя общности рассуждений будем считать, что N кратно T ), что для всех допустимых k и n верно

–  –  –

Тем самым определим полный период точного периодического дискретного ряда y (k) = y (k + T ) для любого целого k.

Далее построим линейное разностное уравнение

–  –  –

является частным решением разностного уравнения (3), общее решение уравнения (3) записываем в виде суммы линейной комбинации с произвольными постоянными фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения (см. [2]) и данного частного решения самого неоднородного уравнения (3). Принимая во внимание начальные данные (2), фиксируем произвольные постоянные в общем решении уравнения (3).

Таким образом, получаем конкретную дискретную периодическую функцию y(k), полностью удовлетворяющую поставленной задаче, так как |y(k) x(k)| |y(k) y (k)| + |(k) x(k)| = |(k) x(k)|.

y y <

–  –  –

1. Мишулина О. А. Статистический анализ и обработка временных рядов. М.: МИФИ, 2004. 180 с.

2. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 c.

Бабин А. В., Котина Е. Д.

Санкт–Петербургский государственный университет Обработка данных радионуклидных исследований томовентрикулографии сердца

1. Введение. Математическая обработка данных радионуклидных томографических исследований позволяет из огромного объема получаемых данных выделить диагностически значимую информацию. В данной работе рассматриваются некоторые аспекты обработки результатов исследований томовентрикулографии: построение параметрических изображений сердца, выделение объемов левого желудочка и нахождение диагностически значимых параметров. Для визуализации результатов обработки написана программная реализация с использованием средств программного комплекса Диагностика [1].

Томовентрикулография это томографический метод исследования сердца, позволяющий визуализировать его насосную функцию. С помощью томовентрикулографии можно определить объемы желудочков, их фракции выброса, гемодинамические параметры для систолы и диастолы, а также, основываясь на данных рассматриваемого радионуклидного метода, можно судить о глобальной и локальной сократимости желудочков.

В основе томовентрикулографии лежит томография меченного (Tc99m) кровяного пула сердца, синхронизированная с ЭКГ. Исследование проводится на двухдетекторной гамма-камере с коллиматором высокого разрешения. Данными, подлежащими обработке, являются объемные распределения радиофармпрепарата в области сердца, соответствующие определенным интервалам представительного сердечного цикла [2].

Большое количество зарубежных научных статей [3–7] посвящено обработке и анализу данных, полученных на основе данного метода.

Задачи обработки данных томовентрикулографии, направленные на повышение качества и информативности исследований являются актуальными в настоящее время.

2. Построение параметрических изображений. Важным аспектом обработки данных является построение параметрических изображений, позволяющих выделять и визуализировать диагностически значимую информацию.

В данной работе строятся фазовые изображения, которые моделируют синхронность вступления в сокращение различных отделов сердца [2]. Для построения фазовых изображений используется разложение Фурье, а также разложение по комплекснозначным вейвлетам.

В качестве вейвлетов были рассмотрены:

• вейвлет Морле;

• вейвлет Шеннона;

• В-сплайновый вейвлет второго порядка.

Входными данными для рассматриваемой задачи обработки являются трехмерные матрицы Pl, где l = 1, N (набор из N объемов), которые соответствуют представительному сердечному циклу.

Полагаем, что изменение уровня радиоактивности в области сердца или любой его точке на протяжении представительного сердечного цикла (кривая активность/время) отражает изменение кровенаполнения в данной области. Первым шагом для нахождения значения (i, j, k) ячейки матрицы фазового изображения является построение кривой активность/время, представляющей собой график некоторой периодической функции f (t), значения которой известны в N точках. Далее производится разложение функции f (t) в ряд Фурье или в ряд по вейвлетам; на основе данных разложений получаются формулы, которые используются для построения изображений.

Фазовая трехмерная матрица строится по формуле

–  –  –

В программе реализовано построение фазовых изображений на основе преобразования Фурье и на основе вейвлет-анализа. На рис. 1 представлено окно программы, на котором видны срединные срезы (корональный, трансверсальный, сагиттальный) суммарного изображения сердца первый и третий ряды, а под ними во втором и четвертом ряду находятся соответствующие фазовые изображения, построенные с помощью разложения Фурье.

Рис. 1. Окно программы Срединные срезы

3. Определение объема левого желудочка сердца. Для вычисления диагностических параметров, характеризующих сокращение левого желудочка, необходимо построить кривую, которая отображает изменение кровенаполнения левого желудочка на протяжении представительного сердечного цикла. При построении данной кривой возникает задача выделения объема левого желудочка. Очевидно, что точность вычисления параметров зависит от правильности выделения левого желудочка сердца на изображениях.

В окне Срединные срезы (рис. 1) выбираются срединные срезы левого и правого желудочков для трех проекций (корональной, трансверсальной, сагиттальной) суммарного объема. После этого выделяются области желудочков на трех выбранных проекциях. Заметим, что фазовые изображения используются при построении контуров желудочков сердца, так как позволяют отделять желудочки от предсердий, сокращающихся в разных фазах. Пример уточнения области левого желудочка с помощью фазового изображения представлен на рис. 2. Область левого желудочка сердца на фазовом изображении имеет однородную окраску.

Далее в автоматическом режиме (на основе порогово-градиентных методов) строятся контуры левого желудочка на трех проекциях для каждого из N объемов. Объем левого желудочка определяется как пересечение трех цилиндров, основаниями которого служат указанные контуры.

–  –  –

Рис. 2. Построение контура для сагиттальной проекции: а) срез суммарного изображения левого желудочка, б) соответствующие фазовые изображения

4. Вычисление диагностически значимых параметров. На основании полученных N объемов левого желудочка строится кривая активность/время (рис. 3), характеризующая изменение кровенаполнения левого желудочка в течение представительного сердечного цикла.

С помощью представленной на рис. 3 кривой можно вычислить диагностические параметры, такие как конечный диастолический объем (КДО), конечный систолический объем (КСО) и фракцию выброса (ФВ). КДО и КСО вычисляются, исходя из того, что они являются максимальным и минимальным объемом левого желудочка, а зная КДО и КСО, можно определить фракцию выброса по формуле

КДО КСО

ФВ = 100%.

КДО

Рис. 3. Кривая кровенаполнения левого желудочка сердца

5. Заключение. Благодаря своей высокой информативности, томовентрикулография является на данный момент одним из самых используемых методов в радиокардиологии. Поэтому обработка данных результатов исследований томовентрикулографии, повышение качества и информативности метода является актуальной и важной задачей. В данной работе были рассмотрены некоторые аспекты обработки данных для вычисления диагностически значимых параметров.

Литература

1. Котина Е. Д., Овсянников Д. А., Плоских В. А. Программный комплекс для диагностической обработки радионуклидных исследований. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2010611873.

2. Котина Е. Д., Чижов М. Н. Трехмерная визуализация результатов радионуклидных исследований перфузионной томосцинтиграфии миокарда // Процессы управления и устойчивость: Труды 40-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат.

Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2009. C. 259–266.

3. Vilain D., Daou D., Casset-Senon D., Faraggi M., Le Guludec M.

Optimal 3-dimensional method for right and left ventricular Fourier phase analysis in electrocardiography-gated blood-pool SPECT // J. Nucl. Cardiol., 2001. P. 371–378.

4. Bartlett M. L., Seaton D., McEwan L., Fong W. Determination of right ventricular ejection fraction from reprojected gated blood pool SPET: comparison with rst-pass ventriculography // J. Nucl. Med.,

2001. P. 608–613.

5. Casset-Senon D., Babuty D., Philippe L., et al. Fourier phase analysis of SPECT equilibrium radionuclide angiography in symptomatic patients with mitral valve prolapse without signicant mitral regurgitation: Assessment of biventricular functional abnormalities suggesting a cardiomyopathy // J. Nucl. Cardiol.,

2000. P. 471–477.

6. Groch M., Schippers D., Marshall R., Groch P., Erwin W. D.

Quantitative gated blood pool SPECT: Analysis of 3-dimensional models for the assessment of regional myocardial wall motion // J. Nucl. Cardiol., 2002. P. 271–284.

7. Massardo T., Jaimovich R., Lavados H., et al. Comparison of radionuclide ventriculography using SPECT and planar techniques in dierent cardiac conditions // J. Nucl. Cardiol., 2007.

P. 1735–1746.

Барабанова С. А., Шмыров А. С.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Отсюда, в частности, следует что любую непрерывную функцию распределения можно с произвольной точностью аппроксимировать смесью нормальных функций распределения. Но статистическое оценивание большого числа параметров может представлять определенную трудность для определения неизвестных коэффициентов a1,..., aN, b1,..., bN, 1,..., N.

2. Применение метода максимального правдоподобия. Интуитивно ясно, что применение аппроксимационной суммы Зубова будет эффективно, если порождающая функция распределения в определенном смысле близка к искомой функции распределения.

Развивая эту идею с помощью метода максимального правдоподобия, удалось получить следующий результат [2]: если искомое и порождающее распределение вероятности абсолютно непрерывны (имеют плотности) и плотности этих распределений близки, то при аппроксимации можно ограничиться рассмотрением двучленных сумм Зубова. Таким образом, выражение (1) представимо в виде

–  –  –

Зная характеристическую функцию случайной величины, можно вычислить ее моменты (если они существуют), воспользовавшись связью между моментом k-го порядка и k-ой производной характеристической функции при t = 0:

–  –  –

1. Зубов В. И. Проблема обращения центральной предельной теоремы А. М. Ляпунова // Докл. РАН, 1995. T. 342, № 1. С. 1516.

2. Тукачев П. А., Шмыров А. С. Аппроксимационные суммы Зубова и их применение // Процессы управления и устойчивость:

Труды 36-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, В. Н. Старкова. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005.

С. 975–978.

3. Кендалл М., Стюарт А. Теория распределений. М.: Наука, 1966.

588 c.

4. Шмыров А. С., Шмыров В. А. Теория вероятностей. Учебное пособие. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. 187 c.

5. Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Физматлит, 2007. 704 c.

Буре А. В.Санкт-Петербургский государственный университет

Оценка момента времени кризисного состояния больного по медицинским базам данных1 Рекомендовано к публикации профессором Демьяновым В. Ф.

Предположим, что в моменты времени t0 и t1 проводятся плановые профилактические обследования больных, входящих в однородную группу, определяемую по базе данных. В некоторый момент времени, где t0, может наступить резкое ухудшение состояния здоровья больного (например, инфаркт). Если окажется выполненным неравенство t0 t1, то плановое обследование в момент времени t1 окажется неинформативным.

Требуется выбрать момент дополнительного обследования t01 между плановыми обследованиями так, чтобы он оказался возможно ближе к моменту, причем желательно, чтобы t01. В этом случае появляется возможность обнаружения приближающегося кризисного состояния в ходе болезни и проведения соответствующих профилактических мероприятий.

Функция F (t) = P ( t) = 1 F (t) определяет вероятность того, что кризис наступит после момента t. Вероятностная мера P может быть несобственной вероятностной мерой [1] и, следовательно, функция распределения

–  –  –

Функция распределения F (t) может быть построена по базе данных для однородной группы больных.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 12-01-00752-a.

–  –  –

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения.

М.: Мир, 1984. Т. 2., 738 с.

2. Якушев В. П., Буре В. М. Методические подходы к оценке оптимального момента времени проведения агротехнического мероприятия // Доклады РАСХН, 2001. № 4. С. 27–29.

Гордеев Д. Ф.

Санкт-Петербургский государственный университет Обработка дозиметрической информации для инициализации системы планирования лучевой терапии СКАНПЛАН Рекомендовано к публикации профессором Овсянниковым Д. А.

Введение. Полученные экспериментально дозиметрические данные, как правило, не пригодны для проведения планирования лучевой терапии, поскольку они содержат статистические и систематические погрешности. Одной из причин возникновения погрешностей является экспериментальный шум, который присутствует практически при любом измерении. Шум создают, например, высокочастотные электромагнитные поля, используемые при работе терапевтической установки. Также источником погрешностей могут стать механические неточности, связанные с установкой и детекторами.

Из-за небольшого наклона головки ускорителя центральная ось пучка отклоняется от идеального вертикального положения. Кроме того, сами детекторы могут быть расположены не на идеально горизонтальной плоскости.

Таким образом, возникает задача обработки дозиметрических данных.

В данной статье рассматривается проблема обработки дозиметрических данных для инициализации системы СКАНПЛАН [1, 2], разработанной в СПбГУ на факультете ПМ – ПУ.

Сглаживание дозиметрических данных. Положим, что значение дозы D в некоторой точке пространства (x, y, z) описывается функцией D = D(x, y, z). Известно, что зависимость D = D(x, y, z) хорошо аппроксимируется моделью вида

–  –  –

Для решения поставленной задачи многомерной минимизации будем использовать метод циклического покоординатного спуска.

Программная реализация. Программа предполагает работу с двумя видами представления дозиметрических данных глубинными распределениями и профилями. Глубинные распределения отражают зависимость поглощаемой дозы от глубины на центральной оси пучка. Для каждого размера поля (ширины пучка) строится свое глубинное распределение.

Профили представляют собой зависимости поглощаемой дозы от расстояния до оси пучка на фиксированной глубине. Для каждого значения глубины и размера поля строится свой профиль.

С помощью меню Данные (PDD/PRO) Открыть... пользователь выбирает файл с данными глубинных распределений или файл с набором профилей для заданного размера поля. После выбора файла, содержимое которого предстоит обработать, появляется окно представляющее дозиметрическую информацию в виде кривой.

Главное окно программы (рис. 1) состоит из нескольких панелей. На первой панели отображаются параметры дозиметрии:

тип установки, дата проведения дозиметрии, расстояние источникповерхность, размер поля, количество кривых в выбранном наборе данных и число точек в текущей кривой. Вторая панель позволяет пользователю выбирать набор данных в зависимости от глубины в случае профилей, или в зависимости от размера поля в случае глубинных распределений. Третья панель необходима для подбора параметров аппроксимирующей функции. Текущий параметр аппроксимации задается с помощью выпадающего списка. Изменить его значение можно в соответствующем текстовом поле. Кнопка Подобрать служит для автоматического подбора текущего параметра.

Дозиметрическая информация отображается в виде кривой красного цвета (кривая 1 на рис. 1) на графике в отдельном окне. На вертикальной оси отложены значения доз, а на горизонтальной расстояние от центральной оси в случае кривой профиля, или глубина для глубинного распределения. Зеленая кривая (кривая 2 на рис. 1) изображает аппроксимирующую функцию.

В начале работы исходную кривую следует нормализовать. Нормализирование кривой это средство коррекции, используемое для дозиметрических данных обоих типов. Для каждого типа предусмотрены различные методы нормализирования. Для глубинных распределений нормализация означает приведение кривой к состоянию, при котором 100% доза соответствует заранее указанной глубине (нормализация на заданную глубину). Для профилей нормализация приводит кривую к состоянию, при котором 100% доза достигается на центральной оси пучка, т. е. в точке X = 0 (нормализация по оси).

Кроме того, часто из-за эффекта утечки дозы значение доз на концах профилей могут принимать близкие к нулю или отрицательные значения. Для устранения этого недостатка необходимо поднять Рис. 1. Главное окно приложения профиль так, чтобы значения дозы на концах были около 5%.

Далее можно приступить к подбору параметров аппроксимирующей функции, полученной с помощью модели точечного мононаправленного источника. Параметры можно варьировать вручную, либо применить автоматический подбор. В любом случае их необходимо выбрать таким образом, чтобы отклонение аппроксимирующей функции от исходного набора данных было минимальным. Автоматический подбор реализован с использованием метода перебора с заданным шагом. Значение среднеквадратического отклонения выводится на третью панель.

Для устранения влияния эффекта утечки дозы на функционал в программе заложена возможность изменять длину интервала, на котором вычисляется функционал. Для каждого этапа обработки дозиметрических данных существуют свои методы проверки качества.

После проведения нормализации или устранения эффекта утечки дозы весь набор профилей следует вывести на один график (рис. 3).

И убедиться, что значение поглощенной дозы уменьшается с увеличением глубины. Для этого необходимо выбрать меню Инструменты Показать все кривые на одном графике. Кроме того, Рис. 2. Результат автоматического сглаживания для профиля на глубине 0, 4 см, размер поля 4 4 см есть возможность вывести значение дозы для заданного расстояния от центральной оси пучка в зависимости от глубины на отдельный график. Это можно осуществить, выбрав меню Инструменты Глубинное распределение на расстоянии.... График должен отражать зависимость вида

D(z) = D1 (z)eµ1 z + D2 (z)eµ2 z.

Если графики иллюстрируют зависимости, отличные от указанных выше, то рекомендуется внести корректировки, устраняющие недостатки. После подбора параметров аппроксимирующей функции их можно вывести на график в зависимости от размеров поля. Для этого предусмотрено меню Инструменты Вывести параметр на график....

Заключение. В результате работы было создано программное обеспечение, позволяющее проводит автоматическое сглаживание Рис. 3. Вывод на график всего набора профилей для размера поля 4 4 см дозиметрических данных. Такая автоматизация существенно облегчает обработку дозиметрических данных для инициализации системы планирования лучевой терапии СКАНПЛАН.

–  –  –

1. Овсянников Д.А., Сергеев С.Л., Стученков А.Б., Шишов В.А.

Сканплан: система дозиметрического планирования для медицинских ускорителей // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2009. Вып. 4.

C. 34–37.

2. Система планирования лучевой терапии СКАНПЛАН для линейных ускорителей и гамма-аппаратов. Регистрационное удостоверение № ФСР 2011/12824.

3. Saha G.P. Physics and radiobiology of nuclear medicine // Springer,

2006. P. 254.

4. Елизарова М.В., Овсянников Д.А., Чересмин В.М. Физикотехнические аспекты лучевой терапии. Учебное пособие. СПб.:

Изд-во СПбГУ, 2007. 184 с.

Еричева Е. В., Степенко Н. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Восстановление параметров нелинейных динамических систем некоторых природных явлений К настоящему времени развитие математической области знаний, связанной с моделированием различных биологических, природных, медицинских и пр. процессов, достигло качественно высокого уровня. Для очень многих реальных повседневных задач, стоящих перед человечеством, разработаны хорошие математические модели.

Поэтому, зачастую, при изучении какой-либо практической задачи, исследователю уже не обязательно заново проводить научный эксперимент, строить и обосновывать новую математическую модель. Вполне достаточно взять ранее созданную, отвечающую данному типу задач, и, опираясь на накопленные данные наблюдений за исследуемыми процессами, восстановить (определить) свои уникальные параметры в применяемой математической модели. И если удалось получить значения параметров модели, дающие достаточно точное описание основных характеристик данных процессов, то как раз можно и даже нужно использовать уже известную математическую модель, а не создавать новую с возможной вероятностью того, что будет получена уже кем-то ранее предложенная модель.

Эта проблема представляет собой обратную задачу: отталкиваясь от численного поведения переменных математической модели, выраженной нелинейной динамической системой, достаточно точно восстановить сами параметры рассматриваемой системы.

Далее подробно рассмотрим общий принцип решения предложенной задачи на примере хорошо известной математической модели совместного существования двух биологических видов (популяций) типа хищник-жертва, называемой моделью Лотки Вольтерры [1].

1. Аппроксимация функциональных зависимостей колебаний системы хищник-жертва на основе модели Лотки Вольтерры. В общем виде данная модель записывается как динамическая система уравнений Лотки Вольтерры и имеет вид

–  –  –

где 0 удельная скорость увеличения популяции жертвы x, 0 удельная скорость убывания популяции хищника y, встречи хищников и жертв (которых xy), убивают жертв с коэффициентом c 0 и рождают новых хищников с коэффициентом d 0.

Разумеется, из биологического смысла, считается, что x и y принимают только неотрицательные значения.

Пусть каким-либо образом получены значения приемлемой точности (именуемые в дальнейшем наблюдениями) для величин x(t) и y(t), характеризующих численность популяций жертвы и хищника в зависимости от времени t, t (шаг) x y ti xi yi для достаточно большого промежутка времени i = 0,..., N. Нетрудно получить (например, методом наименьших квадратов) их приближение x(t) и y (t) в виде степенных полиномов или рядов Фурье. Причём точность приближения можно принять весьма грубую, упрощая тем самым вид самих приближений x(t), y (t). Далее, подстановкой этих приближений в систему (1) определяется первый вариант набора параметров, c,, d, вообще говоря, не гарантирующий хорошую степень описания системой (1) наблюдаемых значений xi, yi. Т. е.

вполне возможна большая степень отклонения прогнозируемых (полученных при интегрировании системы (1) с данным набором параметров) значений численностей популяций хищника и жертвы от наблюдаемых.

В таком случае для повышения точности прогноза, имеет смысл произвести коррекцию найденных на предыдущем шаге параметров и перейти к новому набору параметров системы (1).

2. Принцип коррекции параметров системы по отклонениям прогнозируемых данных от наблюдений. Зачастую, для практических задач сами данные наблюдений не могут быть получены абсолютно точными, а также проверка истинности восстановленных параметров и их близости к реальным параметрам применяемой системы является существенной проблемой (в силу не абсолютного соответствия любой математической модели действительному процессу). Тогда разумно определять параметры рассматриваемой системы с учётом выполнения главного требования неотклонения прогнозируемых данных от наблюдаемых более, чем на заранее заданную малую величину (погрешность прогноза 0):

–  –  –

где x(ti ), y (ti ) обозначают значения результата численного интегрирования системы (1) при приближённом наборе параметров, полученных на предыдущем этапе. В случае большого отклонения прогноза от наблюдений следует произвести уточнение текущих параметров, введя корректирующую компоненту в параметры системы, вычислить новые расчетные значения (предсказания) и снова провести проверку на превышение заданной погрешности.

Так как, по своей сути, наблюдаемые и расчётные значения являются двумя численными таблицами (первая получена из наблюдений, вторая есть результат численного интегрирования) и графически представляются в виде ломанных линий по одинаковым отрезкам времени, то коррекцию будем производить на каждом отрезке двух ломанных. Сами корректирующие элементы выберем в виде линейной зависимости от разницы между наблюдаемыми значениями численностей жертвы и/или хищника и значениями численного интегрирования системы (1) в фиксированный момент времени ti с параметрами, c,, d, найденными на предыдущем этапе (вообще говоря, любым доступным способом) и требующими корректировки.

Действительно, рассмотрим замену параметров исходной системы хищник-жертва в следующем виде:

–  –  –

для всех i = 0,..., N.

С другой стороны, в силу не абсолютной точности самих наблюдений, можно, в свою очередь, считать, что эти данные наблюдения сами являются некоторым численным решением системы (1) с искомыми параметрами.

Тогда, приняв за способ численного интегрирования метод ломанных Эйлера [2], приходим, с учётом (2) к разностной системе вида:

–  –  –

где h = ti+1 ti, а плавающие параметры вида (2) будут выполнять роль компенсации любых возможно возникающих погрешностей по каждому отрезку [ti, ti+1 ] в отдельности. В представленной схеме неизвестными являются только корректирующие коэффициенты k (ti ), kc (ti ), k (ti ), kd (ti ), (4) тогда как все остальные переменные известны и фиксированы.

Поскольку изменение численностей обеих популяций происходит непрерывным образом, а также в силу достаточной малости шага изменения времени h можно считать, что корректирующие коэффициенты на любых двух соседних отрезках времени являются очень мало отличающимися друг от друга. Поэтому, так как в системе (3) два уравнения и четыре неизвестных, то сделаем дополнительной предположение, что на любых двух соседних отрезках [ti, ti+1 ] и [ti+1, ti+2 ] корректирующие коэффициенты (4) совпадают. Тогда, решив для пары соседних отрезков систему четырёх алгебраических уравнений с четырьмя неизвестными, присвоим её решения набору корректирующих коэффициентов (4), отвечающему первому из этих двух отрезков, т. е. [ti, ti+1 ]. Далее, перейдём к следующей паре соседних отрезков [ti+1, ti+2 ], [ti+2, ti+3 ] определяя уже данным способом набор корректирующих коэффициентов уже для отрезка [ti+1, ti+2 ]. Действуя аналогичным образом от первой пары отрезков [0, 1], [1, 2] и вплоть до пары [tN 2, tN 1 ], [tN 1, tN ] получим N векторов корректирующих коэффициентов, отвечающих своим соответствующим отрезкам (i = 0,..., N ). Рассматривая их среднее значение, окончательную коррекцию параметров системы (1) запи

–  –  –

Тем самым параметры системы будут скорректированы с достаточной точностью.

3. Заключение. В том случае, когда параметры применяемой математической модели (заданной в виде динамической системы) не позволяют получить достаточно точный прогноз для исследуемого процесса, их можно улучшить, применяя указанный выше алгоритм коррекции параметров системы до достижения требуемой точности совпадения данных.

–  –  –

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование.

М.: Наука, 1976. 286 с.

2. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, 1967. 368 c.

Иванова А. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Использование бинарной логистической регрессии для оценки влияния факторов на возникновение фибрилляции предсердий Рекомендовано к публикации профессором Буре В. М.

1. Введение. Модели с дискретным выбором это особый класс задач анализа данных, для которых зависимая переменная принимает дискретные значения [1]. В случае, когда зависимая переменная принимает только два значения, модель дискретного выбора называют моделью бинарного выбора.

2. Исходные данные. Рассмотрим базу медицинских данных из 61 наблюдения, в которой 16 факторов обозначают физические характеристики пациентов, а зависимый признак принимает значение 1, если у пациента есть фибрилляция предсердий (ФП) [2], и значение 0, если у пациента нет ФП.

ФП это нарушение ритма, при котором предсердия сокращаются чрезвычайно быстро. Известно, что ФП ассоциируется с высоким риском сердечно-сосудистых осложнений, поэтому выделение факторов, определяющих ее возникновение и ее наличие, имеет большое значение в медицине.

Таким образом, сформировалась задача: провести комплексную оценку влияния различных факторов на возникновение ФП. Получить модель расчета вероятности возникновения ФП у пациента по имеющимся характеристикам.

Все 16 факторов носят количественный характер. Зависимый признак номинальный, а именно, это бинарная переменная. Тогда задача состоит в построении модели зависимости бинарной случайной величины от количественных признаков.

Перед тем, как начать анализ данных, необходимо формализовать задачу, т. е. сформировать математическую модель.

3. Математическая модель. Есть вектор объясняющих факторов x = (x1,..., x16 ), имеющий количественные шкалы для всех факторов, и зависимая бинарная переменная y такая, что y = 1 означает наличие ФП у пациента, y = 0 ее отсутствие.

Тогда задача принимает следующий вид: используя данную выборку из 61 наблюдения, среди факторов x1,..., x16 выделить те, которые ассоциированы с возникновением ФП, т. е. ранжировать независимые признаки в соответствии с их вкладом в модель, оценив их относительный вклад.

4. Методы исследования. Необходимо построить модель, которая порождала бы дискретное распределение E(y|x), зависящее от x, и хорошо описывала бы исходные данные. Классическая модель регрессии не подходит для такого рода задач, поскольку предполагает, что зависимая переменная имеет непрерывное распределение.

С этой целью рассматривается логистическая регрессия [3]. Размерность модели достаточно большая, поэтому также целесообразно исследовать возможности снижения размерности.

4.1. Бинарная логистическая регрессия. Модель логистической регрессии это статистическая модель, используемая для предсказания вероятности возникновения некоторого события путем подгонки данных к логистической кривой. Вероятность принятия положительного решения (значения зависимой переменной) вычисляется следующим образом:

ez P {y = 1 | x} = f (z), где f (z) = = (1) z 1 + ez 1+e это логистическая функция, z = c0 + c1 x1 +... + cn xn, (c0,..., cn ) вектор параметров. Таким образом exp(c0 + c1 x1 +... + cn xn ) P = P {y = 1 | x} =, (2) 1 + exp(c0 + c1 x1 +... + cn xn ) гдe c0,..., cn коэффициенты регрессии, c0 свободный член.

Тогда, так как зависимая переменная бинарная, ее значение получают по правилу P 0, 5 y = 1, P 0, 5 y = 0. (3) Обычно речь идет о некотором событии, которое может произойти или не произойти, и порог выбирается равным 0,5, но, в общем случае, он может быть выбран произвольно.

Задача логистической регрессии состоит в нахождении коэффициентов регрессии c0,..., cn.

4.2. Снижение размерности системы. Метод главных компонент (МГК) один из основных способов уменьшить размерность системы, потеряв наименьшее количество информации. Он состоит в переходе к новому ортогональному базису, оси которого ориентированы по направлениям максимальной дисперсии набора входных данных. Такое преобразование позволяет снизить размерность за счет отбрасывания тех базисных векторов, вдоль которых набор исходных данных меняется менее значительно. Главные компоненты это такие комплексные факторы, которые наиболее полно объясняют наблюдаемые связи между переменными, имеющимися в наличии.

Алгоритм выделения главных компонент широко изучен и достаточно легко реализуем.

5. Выводы. Результатом анализа базы данных с использованием логистической регрессии явилась возможность выделения наиболее значимых признаков. МГК позволил снизить размерность системы в 4 раза. К сожалению, в задаче данного типа нет возможности интерпретировать эти факторы, но, анализируя факторные нагрузки (их следует понимать как корреляционные коэффициенты между переменными и факторами), которые имеют наибольшие абсолютные значения, можно оценить, вклад каких переменных включает тот или иной фактор.



Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 6 |
Похожие работы:

«ОГЛАВЛЕНИЕ Введение............................................. 5 Глава 1 Методология системного анализа и исследование операций................................ 7 1.1. Системный анализ, система, оптимизация.................................. 7 1.2. Схема опер...»

«Кузнецов Сергей Александрович, д.х.н., Институт химии и технологии редких элементов и минерального сырья им. И.В.Тананаева КНЦ РАН, г.Апатиты, Россия, kuznet@chemy.kolasc.net.ru Dubrovskii Anton Reshatovich, PhD (Engineering), I.V....»

«Публикации по теме лекции "Новые источники терагерцевого излучения и их применение", отраженные в БД РЖ ВИНИТИ (2005-2013) Бесконтактная диагностика промышленных полупроводниковых пластин на терагерцовых частотах / П. С. Королев [и др.] // Кремний 2010: тез. докл. 7 Междунар. конф. по актуальным п...»

«Демонстрационная работа по ФИЗИКЕ для поступающих в профильный 10 класс 19 марта 2017 года Вариант 01 Выполнена: ФИО класс Инструкция по выполнению работы Работа состоит из двух частей, включающих в себя 14 заданий. Часть 1 содержит 10 задание с кратким отв...»

«УДК 365.22 Ю.М. МИРОНОВ, А.П. ЖУРАВЛЕВ РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ЦЕПИ ДСП Ключевые слова: дуговая сталеплавильная печь, математическая модель, несимметричные режимы работы, короткая сеть. Одной из важных проблем эк...»

«ВЛИЯНИЕ ВОССТАНОВИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ НАНОКАТАЛИЗАТОРОВ НА ОБРАЗОВАНИЕ АКТИВНЫХ ЦЕНТРОВ Рахимов Тохир Хакимович канд. хим. наук, ст. науч. сотр.-исследователь, кафедра "Химия полимеров" Национальный университет Узбекистана им. Мирзо Улугбека, 100174, Республика Узбекистан, г. Ташкент, массив ВУЗгородок, 4 E-mail: tohir@mail.ru Мухамед...»

«Олимпиада по неорганической химии “ИНХ – 2007” Задача 1. (18 баллов). Одним из лабораторных способов получения вещества A является следующий. Фосфор массой 100г реагирует в сероуглероде со 175г иода. Получаемый после отгонки растворителя красный продукт обрабатывают минимальным количеством воды. Возгоняющийся при этом A ко...»

«О атомном строении полевых структур и антиструктур. В последнее время появились публикации обосновывающие существование антигравитаци. Однако официальная физика, не смотря на существование двух видов электрических за...»

«УДК 537.521.7 ЗЫКОВ АЛЕКСАНДР ВЛАДИМИРОВИЧ ГЕНЕРАЦИЯ И ТРАНСПОРТИРОВКА ИОННЫХ ПОТОКОВ В ПЛАЗМЕННЫХ СИСТЕМАХ С КОМБИНИРОВАННЫМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ И МАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ Специальность 01.04.08 – физика плазмы Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Научный консультант Азаренков Николай Алексеевич...»

«Математическая олимпиада им. Е.Н. Анисимовой, 2011 г. Школьный тур. 7 класс Задача 1. Дата записывается в формате ДД.ММ. ГГГГ, например, 1 сентября 2011 года будет записано как 01.09.2011. Супер-датой...»

«ПУБЛИЧНЫЙ ДОКЛАД МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО БЮДЖЕТНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ЛИЦЕЯ №95 г.Сочи "Подлинно разумное обучение меняет и наш ум, и наши нравы" Монтень СОДЕРЖАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИКА КОНТИНГЕНТА УЧАЩИХСЯ В лицей о...»

«Ключ к варианту №1 1. Напишите уравнения химических реакций, протекающих с участием неорганических веществ: t а) 2 Al + 6 NaOH 2 Na3AlO3 + 3 H2; сплавлeниe б) Fe3O4 + 4 H2SO4 FeSO4 + Fe2(SO4)3 + 4 H2O;в) Ca(HC...»

«Математичний квест хто з дитячих років займається математикою, той розвиває увагу, тренує свій мозок, свою волю, виховує наполегливість і завзятість у досягненні цілей А. Маркушевич Мета:вчити в процесі реальної ситуації застосовувати знання, вміти працювати з ІКТ;прищеплювати інтерес до математики;активізувати і стимул...»

«Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова Х и м и ч е с к и й факультет Кафедра общей химии К.Б.Калмыков, Н.Е.Дмитриева СКАНИРУЮЩАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ МИКРОСКОПИЯ И РЕНТГЕНО-СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕОРГАНИЧЕСК...»

«Популярно о поле Хиггса и его эквиваленте Крюк В.Г. Интернет и средства массовой информации изобилуют сообщениями о поиске на Большом Андронном Коллайдере частицы Бога, частицы Хиггса – индикатора поля Хиггса. Небывалый интерес к этому поиску обязан научной общест...»

«Часть 2. Отчет о результатах методического анализа результатов ЕГЭ по математике (профильный уровень) в Красноярском крае в 2015 году ХАРАКТЕРИСТИКА УЧАСТНИКОВ ЕГЭ Количество участников ЕГЭ по предмету (за последние 3 года)...»

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА (4 курс, специальность теплофизика) ИЗМЕРЕНИЕ РАСХОДОВ ЖИДКОСТЕЙ, ГАЗОВ И ПАРОВ Цель работы: ознакомиться с техникой измерения расхода жидкостей, газов и пара. Задание: определить газодинамические режимы при измене...»

«Осипов Вячеслав Юрьевич МЕТОДИКА И РЕЗУЛЬТАТЫ РЕГИОНАЛЬНЫХ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СТРОЕНИЯ ДОЮРСКОГО ФУНДАМЕНТА В ПРИУРАЛЬСКОЙ ЧАСТИ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ Специальность 25.00.10 – "Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых" АВТОРЕ...»

«ОГЛАВЛЕНИЕ кафедра математической физики Метод моментов гаусса-эрмита в биометрии Лазарева Евгения Валерьевна Моделирование двумерного нестационарного взаимодействия встречных газовых потоков Линев Константин Андреевич Суперкомпьютерное моделирование обтекания тел сложной формы вязкой несжимаемой жидкостью Морозов Алексан...»

«Направление магистратуры – 18.04.01 (241000.68) Химическая технология Примерный тестовый материал по курсу Блок 1 Взаимосвязь науки и философии основана на: 1.А) единстве интересов философов и ученых;Б) необходимости их союза;В) единстве общего и единично...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ "БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ПРОХОЖДЕНИЮ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРАКТИКИ И ОФ...»

«I960 г. Май Том 89, вып. 1 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК 530.2:531.51 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ *) А. Траутмап 1. ВВЕДЕНИЕ В течение последних десяти лет заметно оживились исследования и интер...»

«УДК 550.93:55171(470.21) ВЫСОКОКАЛЬЦИЕВЫЕ АЛЮМОСИЛИКАТНЫЕ ГНЕЙСЫ ЦЕНТРАЛЬНОКОЛЬСКОГО БЛОКА: ГЕОЛОГИЧЕСКАЯ И МЕТАМОРФИЧЕСКАЯ ПРИРОДА В.П. Петров1, Л.С. Петровская2, М.Н. Петровский2, М.Г. Тимофеева2 Кольский научный центр РАН Геологический институт КНЦ РАН Аннотация Дана геолого-петрологическая и петрог...»

«-1Реализуемые образовательные основные и дополнительные программы программы учебники Основное общее образование -алгебраПрограммы для общеобразовательных Алгебра. 7 класс. Макарычев Ю. Н. учеб. Для учащихся общеобразовашкол, гимназий, лицеев: Математика. 5тельных учреждений/ Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. 11 к...»

«Михаил Геннадьевич Ревнивцев Обзоры неба с обсерваторий ИНТЕГРАЛ и RXTE: природа рентгеновского фона Галактики и переменности излучения черных дыр и нейтронных звезд 01.03.02 Астрофизика и радиоастрономия АВТОРЕФЕРАТ диссе...»

«Оглавление Введение 1. Основы теории горения 1.1. Некоторые сведения из химической кинетики 1.2. Уравнения теплои массопереноса в теории горения 1.3. Стефановский поток 2. Тепловой взрыв 2...»

«Фотоядерные реакции на изотопах титана С. С. Белышев1, Л. З. Джилавян2, Б. С. Ишханов1,3, И. М. Капитонов1, А. А. Кузнецов3a, А. С. Курилик1, В. В. Ханкин 3 1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра общей ядерной физики. Р...»

«Туннельный эффект при ядерном синтезе. Владислав Миркин, ктн. В работе [1] дан подробный и весьма убедительный анализ всех обнаруженных на практике, но до сих пор необъясненных явлений генерации "дармовой" энерги...»

«ПРОГРАММА-МИНИМУМ кандидатского экзамена по специальности 01.01.02 – "Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление" по физико-математическим наукам Введение Настоящая экзаменационная программа соответствует утвержденному паспорту научной специальности Д...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.