WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |

«ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ ТРУДЫ XLIII МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ АСПИРАНТОВ И СТУДЕНТОВ Санкт-Петербург 2 – 5 апреля 2012 года ИЗДАТЕЛЬСТВО САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО ...»

-- [ Страница 1 ] --

Санкт-Петербургский государственный университет

Факультет прикладной математики –

процессов управления

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

И УСТОЙЧИВОСТЬ

ТРУДЫ XLIII МЕЖДУНАРОДНОЙ НАУЧНОЙ

КОНФЕРЕНЦИИ АСПИРАНТОВ И СТУДЕНТОВ

Санкт-Петербург

2 – 5 апреля 2012 года

ИЗДАТЕЛЬСТВО

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.51:517.9:519.71 ББК 22.1 П84 Р е ц е н з е н т ы : д-р техн. наук

, проф. В. М. Буре (С.-Петерб. гос. ун-т), д-р физ.-мат. наук, проф. А. В. Богданов (АНО Институт высокопроизводит. вычислений и информ. систем) Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета факультета прикладной математики процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета Процессы управления и устойчивость: Труды 43-й междунаП84 родной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред.

А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. – СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос.

ун-та, 2012. – 592 с.

ISBN 978-5-288-05316-0 В сборник включены работы студентов, аспирантов и сотрудников факультета прикладной математики – процессов управления СПбГУ и других высших учебных заведений, в том числе зарубежных, по математической теории процессов управления, математическим методам в механике и физике, математическому моделированию в медико-биологических системах, информационным и компьютерным технологиям, теории управления социально-экономическими системами.



Все работы докладывались на ежегодной 43-й международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость»

(2–5 апреля 2012 года).

Сборник предназначен для студентов старших курсов физико-математических факультетов, аспирантов и научных работников.

ББК 22.1 © Авторы сборника, 2012 © Факультет ПМ – ПУ С.-Петербургского государISBN 978-5-288-05316-0 ственного университета, 2012 Содержание

1. Математическая теория процессов управления........ 9 Ангелов Т.А., Сукач М.П. Метод нахождения ближайшей к началу координат точки выпуклого многогранника............. 9 Волкова А.С. Обобщенные решения для эллиптического уравнения в задачах граничного управления на геометрическом графе............................................................ 14 Гнилицкая Ю.А. Граничное управление колебаниями системы струн.........................

–  –  –

Богданов А.А., Головкина А.Г., Кудинович И.В. Оптимизация характеристик электроядерных установок................ 100 Васильев А.А., Бедрина М.Е. Зависимость результатов расчетов по методу DFT от способа представления волновой функции....................................................... 106 Викулина Ю.И., Греков М.А., Костырко С.А. Напряженнодеформированное состояние упругого тела со слабо искривленной поверхностью при учете поверхностного напряжения. 112 Гаёва Е.С., Кривовичев Г.В. Сравнение разностных схем решения задач для системы решеточных кинетических уравнений....................................................





.. 119 Громов А.О. Штеккелевские изотермические модели галактик............................................................. 125 Елаев Е.В. О расчете допусков и их статистической проверке.130 Климаков А.А., Виноградова Е.М. Моделирование диодной системы с тонким полевым острием........................... 136 Кривошеев А.Г., Касикова П.В. Решение нелинейных динамических уравнений методом многочленных преобразований. 142 Куруч О.С., Виноградова Е.М. Моделирование полевого катода в виде сферы на конусе................................... 148 Ларионов С.Г., Виноградова Е.М. Математическое моделирование электростатической линзы с диафрагмой конечной толщины....................................................... 154 Макарова М.А., Виноградова Е.М. Расчет диодной эмиссионной системы с учетом объемного заряда....................... 159 Мальков В.М., Степанова В.А. Большие деформации плоскости с межфазной трещиной, нагруженной давлением....... 165 Мясников Р.И. Численные методы длительной эволюции пучков частиц..................................................... 171 Приходько А.А., Нестеров А.В., Нестеров С.В. О систематизации устойчивых решений уравнения Матье............... 177 Райк А.В. Аппроксимация потенциалов межмолекулярного взаимодействия................................................ 183 Седова О.С. Плоская задача теории упругости для полуплоскости, полосы и полупространства.............................189 Семёнов С.А., Кривовичев Г.В. Численное исследование подходов к реализации граничных условий в методе решеточных уравнений Больцмана................................. 196 Суспицин К.С. Решение задачи Энона — Хейлеса симплектическими методами............................................. 202 Сыров Е.В. Разработка численно-аналитической модели процесса сухой магнитной сепарации для создания динамической системы управления процессом............................209 Телевный Д.С., Виноградова Е.М. Расчет триодной системы с полевым острием............................................. 217 Тимкина В.Е. Об одной задаче стабилизации орбитального движения космического аппарата в окрестности L1........... 223 Трофимов В.В., Никифоров К.А., Антонова Л.И. Исследование матриц полевых эмиссионных катодов.................... 228 Уланов Е.А., Утешев А.Ю. Три притягивающих центра: стационарные точки двух потенциалов........................... 234 Хисамиев А.Р. Вычисление вытянутых сфероидальных функций............................................................. 239 Широколобов А.Ю., Овсянников А.Д. Математическая модель оптимизации параметров ускорителя на бегущей волне.. 245 Якушев Е.А. Основы механики дискретного твердого тела....251

–  –  –

Мамочев В.А. Разделение трех множеств в задаче идентификации...........................................................297 Морозов П.Д. Одно дискретное вейвлет-преобразование акустического сигнала.............................................. 301 Морозов П.Д., Михеев В.С. Выявление пороговых значений слышимости речи при амплитудной модуляции............... 304 Никитина И.П., Губар Е.А. Развитие эпидемического процесса в группах риска с учетом структуры популяции........ 308 Сударев О.И. Анализ исходных данных пациентов до ресинхронизирующей терапии....................................... 313 Фотина Л.А., Губар Е.А. Влияние вакцинации на развитие эпидемического процесса в структурированной популяции.... 318 Щербакова А.А. Применение дискриминантного анализа для классификации офтальмологических заболеваний у детей.... 324

–  –  –

1. Математическая теория процессов управления Ангелов Т. А., Сукач М. П.

Санкт-Петербургский государственный университет Метод нахождения ближайшей к началу координат точки выпуклого многогранника1 Рекомендовано к публикации доцентом Тамасяном Г. Ш.

1. Введение. В [1] описан точный алгоритм решения задачи нахождения ближайшей к началу координат точки выпуклого многогранника co M. Подобная проблема возникает при решении некоторых задач вычислительной геометрии, распознавания образов и т. д. В частности, описанная ниже модификация этого алгоритма реализована в программном обеспечении для решения задач недифференцируемой оптимизации. В отличие от метода [1] предлагаемый алгоритм работает и в случае 0n+1 co M.

2. Постановка задачи. Пусть выпуклый многогранник задается выпуклой оболочкой co M Rn+1 конечного набора точек M.

Рассмотрим задачу нахождения расстояния от начала координат до выпуклого многогранника co M

–  –  –

4. Условия отделимости нуля от выпуклого многогранника. Отделимость co M от 0n+1 можно определить, если к вышеописанному методу добавить несколько условий.

Замечание 2. Когда условие на линейную зависимость {X i } Pk выполняется, то 0n+1 a Pk. Для проверки принадлежности 0n+1 к Pk решим систему

–  –  –

где Y l Pl, Y l = min min, J множество всех граней co M. Из kIl Pk X min int P0 следует, что существует 0 такое, что b X min.

Тогда гипершар с центром 0n+1 и радиусом X min + пересекается только гранью P0, которая разделяет этот шар на две части, каждая из которых полностью лежит либо внутри co M, либо снаружи. А принадлежность 0n+1 одной из частей определяется (4), (5).

Замечание 3. Пусть после перебора всех Pk, k I, найдены несколько разных векторов X j, j = 1,..., r, r 1, для которых min X k = X min = X j, j = 1,..., r, то 0n+1 co M. Это следkI ствие существования единственной точки на выпуклом компакте, которая является ближайшей к точке вне компакта.

Данное условие отделимости нуля от выпуклого компакта неэффективно при реализации программного обеспечения из-за возможности проявления разных машинных ошибок для одного и того же вектора.

Замечание 4. Прежде чем использовать сложные алгоритмы решения задачи (1), проверяется случай, когда 0n+1 M, т. е.

= 0n+1.

Замечание 5. Пусть размерность многогранника co M равна d1 n + 1. Все вышесказанное остается справедливым, если перейти в пространство с размерностью, совпадающей с d1. Решение задачи (1) для d1 = 1 и d1 = 0 тривиально.

5. Заключение. В статье описано развитие точного метода нахождения расстояния от начала координат до выпуклого многогранника [1]. Предложены конструктивные обобщения метода, работоспособность которых проверена на численных экспериментах.

Использование предлагаемого метода наиболее эффективно, если известна структура выпуклой оболочки, а именно информация о гранях множества. В случае отсутствия информации о структуре многогранника целесообразно применение итерационных методов [4–6].

Литература

1. Сукач М. П. Нахождение минимального расстояния от точки до выпуклого многогранника // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна.

СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 53–58.

2. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. М.: Мир, 1989. С. 478.

3. Barber C. B., Dobkin D. P., Huhdanpaa H. T. The Quickhull algorithm for convex hulls // ACM Trans. on Mathematical Software, 1996. No. 22. P. 469–483. (http://www.qhull.org).

4. Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в минимакс. М.:

Наука, 1972. С. 368.

5. Zarantonello E. H. Projection on convex sets in Hilbert space and spectral theory // Contributions to Nonlinear Functional Analysis / ed. E. Zarantonello, Academic Press, New York, 1971. P. 273–424.

6. Wolfe P. H. Finding the nearest point in a polytope // Math.

Programm, 1976. No 11. P. 128–149.

Волкова А. С.

Воронежский государственный университет Обобщенные решения для эллиптического уравнения в задачах граничного управления на геометрическом графе Рекомендовано к публикации профессором Провоторовым В. В.

В работе рассматриваются обобщенные решения краевой задачи для эллиптического уравнения в классе W 2 () на геометрическом графе. Здесь W 2 () пространство функций класса L2 (), имеющих обобщенную производную из L2 (). Для W 2 () строятся аналоги соответствующих соболевских пространств, являющиеся плотными множествами в L2 (), в которых рассматриваются разного типа краевые задачи и их спектральные характеристики. Полученные результаты являются основополагающими при изучении задач граничного управления колебаниями системой струн на графе и продолжают исследование работы [1].

Пусть граф-звезда, состоящий из m одинаковых ребер k и одного внутреннего узла. При этом ребра k, k = 1, m 1, параметризованы отрезком [0, /2] (ориентация на ребрах к узлу ), ребро m отрезком [/2, ] (ориентация на ребре от узла ). Объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, обозначим через 0 (под 0 понимается несвязное объединение всех ребер – замкнутых отрезков), через V – множество всех узлов графа: V = {} ( – множество граничных узлов), 0 = \ V.

Обозначим через C() множество непрерывных на функций, C(0 ) множество кусочно-непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными), C n (0 ) множество функций, для которых все производные до n-го порядка включительно принадлежат C(0 ). Через C0 (0 ) обозначим множество функций (x) C (0 ), компактный носитель которых лежит в 0 (финитные бесконечно дифференцируемые в 0 функции); L2 () пространство функций, интегрируемых с квадратом на графе.

Пространства C(0 ) и C0 (0 ) плотны в L2 ():

плотность пространства C(0 ) в L2 () является следствием плотности C(k ) в L2 (k ) для каждого ребра k, k = 1, m, аналогично устанавливается и плотность класса C0 (0 ) в L2 () (плотность класса C0 () в L2 () для любого интервала доказана в [2].

Сужение функции f (x) на ребро k будем обозначать через f (x)k. Интеграл от функции f (x) по графу понимается как сумма интегралов от сужений f (x)k по каждому ребру m f (x)dx = f (x)k dx.

k=1 k

–  –  –

Построим функцию h(x) C 1 (0 ), h(x)|V = 0, для которой соотношение (1) не выполняется. В силу непрерывности сужений f (x)ki, i = 1,, найдутся непересекающиеся отрезки

–  –  –

где через b(x) обозначена первообразная функции b(x)u(x) (функция b(x) существует и является непрерывной на 0 ). Очевидно функция A(x) = a(x) du(x) b(x) является элементом пространства L2 (). Тоdx гда условие леммы эквивалентно условию

–  –  –

В качестве (x) в условии леммы всегда можно взять (x)1 L () (x).

Так как пространство C[] плотно в L2 (), по любому 0 найдется функция A (x) C[] такая, что A (x) A(x) L2 (). Откуда и из (3) вытекает

–  –  –

2 каждого ребра k, k = 1, m, и удовлетворяется соотношение (4);

0 (a,, ) множество функций из (a,, ), обращающихся в нуль на ; (a,, V ) множество непрерывных на функций u(x) класса W 2 (), для которых сужение (a(x) du(x) )k непрерывно во всех dx концевых точках каждого ребра k, k = 1, m и удовлетворяется соотношение (4). Пусть W 2 (a,, ), W 2,0 (a,, ) и W 2 (a,, V ) замыкания множеств (a,, ), 0 (a,, ) и (a,, V ) по норме пространств W 2 (), соответственно. Ясно, что W 2,0 (a,, ) W 2 (a,, ). Полнота гильбертовых пространств W 2 (a,, ), W 2,0 (a,, ) и W 2 (a,, V ) является следствием их замкнутости в W 2 ().

Дифференциальное уравнение на геометрическом графе в классе C 2, порожденные дифференциальным выражением (Lu)(x) с достаточно гладкими коэффициентами a(x) и b(x), подразумевает классическую форму (Lu)(x) = f (x) (5) и соотношение (4) в узле. Для уравнения (5) рассмотрим задачу Дирихле, состоящую в нахождении функции u(x) из класса W 2 (), удовлетворяющей краевому условию u(x)| = 0.

Определение 2. Обобщенным решением класса W 2 () задачи Дирихле называется функция u(x) W 2,0 (a,, ), удовлетворяющая интегральному тождеству

L(u, ) = f (x)(x)dx

для любых функций (x) C0 (0 ).

Для задачи Дирихле, используя развитый в работах [2, 3] метод доказательства фредгольмовой разрешимости краевых задач, справедливы теоремы Фредгольма и вытекающая отсюда спектральная полнота собственных функций в пространствах W 2,0 (a,, ) и L2 (). Аналогичные утверждения имеют место для задачи Неймана и других более общих краевых задач в пространствах W 2,0 (a,, V ) и L2 (). Задача граничного управления для уравнения с распределенными параметрами на графе вида t = L или tt = L с оператором L, отвечающим краевой задаче для уравнения (5), соотношению (4) и условиям в граничных узлах множества, содержащими управляющие функции, аналогична рассмотренной в работе [1] на функциях класса C 2.

–  –  –

1. Провоторов В. В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн // Вестник СПбГУ. Сер. 10,

2012. Вып. 1. С. 62–71.

2. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.:

Физматлит, 1973. 408 с.

3. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. № 2. М.: Физматлит, 1981. 550 с.

4. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. М.:

Физматлит, 1961. 435 с.

Гнилицкая Ю. А.

Воронежский государственный университет

–  –  –

Рекомендовано к публикации профессором Провоторовым В. В.

В задачах управления колебаниями сетеподобных конструкций (колебания линейного фрагмента описываются классическим волновым уравнением, в каждом узле сетки заданы условия связи), как правило, преследуются две цели: 1) погасить нежелательные колебания и неустойчивости, 2) генерировать колебания заданных частот.

Управляющие воздействия на объект прилагаются либо во всех узлах конструкции, либо только на границе конструкции, т. е. в граничных узлах сети [1].

В настоящей работе обосновывается существование граничных управляющих воздействий и представлен метод нахождения их в модельной задаче управления колебаниями упругой системы из m струн, закрепленных по типу графа-звезды, состоящей в переводе покоящейся системы в заданное состояние частный случай задачи перевода дифференциальной системы из заданного начального состояния в заданное финальное состояние. Для упрощения полученных формул длины ребер графа кратны, волновое уравнение используется в простейшей форме: utt = uxx. Главный результат исследования представлен в виде готовых формул, определяющих искомые граничные управления как функции времени.

Пусть граф-звезда, состоящий из m одинаковых ребер k и одного внутреннего узла. При этом ребра k, k = 1, m 1, параметризованы отрезком [0, /2] (ориентация на ребрах к узлу ), ребро m отрезком [/2, ] (ориентация на ребре от узла ).

Обозначим через C() множество непрерывных на функций, множество кусочно-непрерывных функций, C 2 [] C[] множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат C[].

Рассмотрим задачу Штурма Лиувилля на звезде в

C() C 2 [], которая при фиксированной параметризации определяется следующим набором уравнений на ребрах k :

d (1) dx2 yk = yk, k = 1, m, уравнением в узле m1 d d dx y(/2)k = dx y(/2)m (2) k=1 и краевыми условиями y(0)k = 0, k = 1, m 1, (3)

–  –  –

Собственное значение входит в цепочку неравенств столько раз, какова его кратность, причем каждому собственному значению соответствует своя собственная функция. Обозначим такое множество функций {un (x)}n 1. Очевидно оно является ортонормальной системой собственных функций задачи Штурма Лиувилля (1)–(4).

3. Система собственных функций {un (x)}n 1 полна и образует ортогональный базис в L2 ().

Колебания на каждом из ребер графа при произвольном значении времени t (0, T ) описываются уравнениями 2 2 (5) t2 (x, t)k = x2 (x, t)k

–  –  –

Таким образом, задача гашения колебаний системы (5), (6) свелась к решению систем (15), (16) относительно управляющих функций µk (x), k = 1, m 1, (x) при условии на эти функции:

–  –  –

1. Провоторов В. В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы струн // Вестник СПбГУ. Сер. 10,

2012. Вып. 1. С. 62–71.

2. Провоторов В. В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж: Научная книга, 2008. 247 с.

Медведева И. В.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

производная которого в силу системы (1) совпадает с заданной квадратичной формой w(x(t)) = x (t)W x(t), здесь означает транспонирование. Для исследования экспоненциальной устойчивости системы (1) будем использовать функционал (2).

Алгебраический метод анализа экспоненциальной устойчивости системы (1) предложен в работах [2, 3] и развит в работе [4], его идеология заимствована из статьи [5]. Метод основан на теоремах 1, 2 из работ [2, 3] и заключается в следующем. Отрезок [h, 0] разбивается на N частей длины, и функции xt на множестве

S0 = xt : x(k) (t+) ( A + B )k x(t), [h, 0], k = 0, 1,...,

приближаются некоторыми специальными функциями, совпадающими с xt в узлах разбиения. В качестве таких функций в работах [2, 3] рассматриваются линейные и кусочно-линейные, в работе [4] сплайны кубических функций. В результате приближения xt такими функциями получается оценка снизу для функционала v(xt ) на множестве S0 в виде квадратичной формы относительно значений xt в узлах разбиения отрезка, а для приближения кубическим сплайном относительно самих значений и их производных. Положительная определенность полученной квадратичной формы, либо положительность ее минимума на множестве S0 гарантирует, согласно доказанным утверждениям, экспоненциальную устойчивость системы (1). Как показано в [4], точность метода значительно выше в случае приближения сплайном кубических функций, поэтому в дальнейшем будем предполагать, что рассматривается именно такое приближение.

В работах [2–4] описанный подход применяется к исследованию экспоненциальной устойчивости скалярного уравнения.

Однако аналогичным образом оценка для функционала может быть построена и в случае n 1 :

v(xt ) v1 (, h, N ) = v1 (, h, N ) (0, h, N ).

x x x (3)

–  –  –

которая определена в случае существования функционала (2). Положительность функции z(h, N ) при некотором N является достаточным условием экспоненциальной устойчивости системы (1) при заданном h.

2. Основное утверждение о сходимости. Фиксируем матрицы A и B системы (1) и предположим, что существует некоторое значение запаздывания (а значит, некоторый интервал значений запаздывания), при котором эта система является экспоненциально устойчивой. При n 1 возможны ситуации, в которых смена экспоненциальной устойчивости на неустойчивость (и наоборот) при возрастании h может происходить любое, в том числе бесконечное число раз, и это составляет одну из главных особенностей применения алгебраического метода в многомерном случае. Напомним, что в скалярном случае смена экспоненциальной устойчивости на неустойчивость может произойти только один раз, смена же неустойчивости на экспоненциальную устойчивость при возрастании h невозможна.

Сформулируем некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть при некотором значении h имеет место экспоненциальная устойчивость системы (1).

Тогда для (h, N ) справедлива оценка (h, N ) K(h)g(h, N ), где K(h) = max U (s) +, g(h, N ) дробно-рациональная s[0,h] функция относительно переменных N и h, коэффициенты которой зависят только от элементов матриц A и B, причем такая, что g(h, N ) 0 при фиксированном h, т. е.

N +

–  –  –

где (t) P C([h, 0], Rn ).

Для исследования устойчивости решения данной системы воспользуемся методом функционалов Ляпунова Красовского [1].

При применении этого метода основную сложность составляет построение матрицы Ляпунова. Для случая линейных стационарных систем в работах [2–4] были предложены методы ее построения. Для нестационарных периодических систем в работе [5] предложен численный метод построения матрицы Ляпунова.

Используя результаты из [6] и действуя аналогично [2, 3], можно получить следующую систему для матрицы Ляпунова в рассматриваемом нестационарном случае U (µ, ) = AT (µ)U (µ, ) AT (µ + h)U (µ + h, ), µ T U (µ, ) = U (, µ), dU (µ, µ) = W (U (µ, µ)A0 (µ) + [U (µ, µ)A0 (µ)]T ) dµ (U (µ, µ + h)A1 (µ + h) + [U (µ, µ + h)A1 (µ + h)]T ), U (µ + T, + T ) = U (µ, ).

Рассмотрим случай, когда период исходной системы совпадает с запаздыванием. Тогда заменой

–  –  –

1. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика, 1956. Т. 20. С. 315–327.

2. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной:

Функционалы полного типа // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005.

Вып. 1. С. 110–117.

3. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной:

Матрицы Ляпунова // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005. Вып. 2.

С. 200–209.

4. Kharitonov V. L., Zhabko A. P. Lyapunov Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems // Automatica,

2003. Vol. 34. P. 15–20.

5. Letyagina O. N., Zhabko A. P. Robust stability analysis of linear periodic system with time delay // International Journal of Modern Physics A, 2009. Vol. 24, No. 5. P. 893–907.

6. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / Пер. с англ. под ред. Л. Э. Эльсгольца. М.: Мир, 1967. 548 с.

Султанбеков А. А.

Санкт-Петербургский государственный университет О равномерной диссипативности нелинейных разностных систем Рекомендовано к публикации профессором Александровым А. Ю.

Введение. Системы разностных уравнений широко применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами [1], при исследовании импульсных систем [2], а также при численном интегрировании дифференциальных уравнений [1, 3].

Важной задачей при изучении разностных систем является исследование их на равномерную диссипативность. Понятие диссипативных систем заимствовано из физики. Диссипативность означает склонность системы к рассеянию энергии. На данный момент условия диссипативности хорошо изучены для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Существенные результаты представлены в трудах Т. Йошизавы, Б. П. Демидовича, В. И. Зубова и ряда других ученых [4–6]. Основным методом при анализе диссипативности дифференциальных систем является прямой метод Ляпунова.

В дальнейшем способы исследования равномерной диссипативности непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений. Известен дискретный аналог теоремы Т. Йошизавы о равномерной диссипативности нелинейных систем [7].

В настоящей работе изучаются существенно нелинейные разностные системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Доказывается теорема о равномерной диссипативности. Кроме того, рассматривается случай, когда на исследуемые системы действуют нестационарные возмущения. Находятся условия, при выполнении которых возмущения не нарушают равномерную диссипативность систем.

Постановка задачи. Пусть задана система дифференциальных уравнений n ys = rsj fj (yj ), s = 1,..., n. (1) j=1

–  –  –

где bs 0. Считаем, что выполнено предположение 1.

Тогда имеет место Теорема 2. Если 1, то система (5) равномерно диссипативна.

Доказательство. В качестве функции Ляпунова рассмотрим функцию (3), коэффициенты которой выбираются в соответствии с предположением 1. Вычислим приращение этой функции на решениях системы (5). Имеем

–  –  –

где a2, a3, a4 положительные постоянные.

Значит, если выполнено условие 1, то найдется такое 0, что функция W1 (y) + W2 (k, y) будет отрицательной на множестве k = 0, 1,..., y.

Теорема доказана.

Заключение. В настоящей работе доказана теорема о равномерной диссипативности систем разностных уравнений специального вида. Найдены условия равномерной диссипативности по нелинейному приближению. Следует отметить, что условия, полученные в теоремах, гарантируют равномерную диссипативность систем при любом шаге дискретизации h. Результаты, полученные в настоящей работе, можно использовать для нахождения условий равномерной диссипативности сложных систем по нелинейному приближению.

Литература

1. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления.

Л.: Судпромгиз, 1980. 253 с.

2. Халанай А., Векcлер Д. Качественная теория импульсных систем.

М.: Мир, 1971. 312 с.

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

4. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov’s second method. Tokyo:

The Math. Soc. of Japan, 1966. 223 p.

5. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

6. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судпромгиз, 1959. 324 с.

7. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2003.

112 с.

8. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем.

М.: Гостехиздат, 1955. 483 с.

9. Дудников Е. Е. Сеть нейронов с нелинейными обратными связями // Автомеханика и телемеханика, 1997. № 6. С. 64–73.

10. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Доклады РАН., 1996. Т. 346, № 3.

С. 295–296.

11. Александров А. Ю., Жабко А. П. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сибирский математический журнал, 2010. Т. 51, № 3. С. 383–395.

Сумачева В. А.

Санкт-Петербургский государственный университет H2 норма передаточной функции скалярного уравнения нейтрального типа с запаздывающим аргументом Рекомендовано к публикации профессором Харитоновым В. Л.

Введение. Норма передаточной функции играет важную роль в исследовании динамических систем. Одной из сфер применения нормы передаточной функции является синтез оптимального управления, т. е. управления, при котором для замкнутой им системы достигается минимум H2 нормы. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что H2 норма передаточной функции линейной стационарной системы может быть вычислена с помощью решения вспомогательного матричного уравнения Ляпунова. В статье [1] эта теория расширена для систем с запаздываниями. Результат аналогичен известному: H2 норма может быть вычислена с помощью решения уравнения, являющегося обобщением уравнения Ляпунова на случай систем с запаздываниями. Авторами рассмотрена система, входной и выходной сигналы которой не имеют запаздываний. Рассмотрим случай, когда эти сигналы содержат запаздывания.

Пусть дано экспоненциально устойчивое линейное стационарное уравнение с запаздываниями нейтрального типа m m d dr x(t rh) = [ar x(t rh) + br v(t rh)], (1) dt r=0 r=0 m y(t) = cr x(t rh), (2) r=0 где d0 = 1; d1,..., dm ; a0,..., am ; b0,..., bm ; c0,..., cm вещественные коэффициенты, h 0 положительное запаздывание. Будем предполагать, что x(t) + d1 x(t h) +... + dm x(t mh) непрерывна при t 0. Функция v(t) является входным сигналом системы, y(t) выходным, x(t) состояние системы.

Необходимым условием экспоненциальной устойчивости уравнения (1) является экспоненциальная устойчивость разностного уравнения w(t) + d1 w(t h) +... + dm w(t mh) = 0.

Экспоненциальная устойчивость исходного разностного уравнения равносильна устойчивость по Шуру полинома q(z) = z m + d1 z m1 +... + dm.

–  –  –

Определив z(0), можем найти z( ) на промежутке [0, h], т. е.

знаем u( ) при [mh, mh], откуда для формулы (6) получаем u(0),..., u(mh).

Чтобы найти значения u( ) для mh, следует воспользоваться стандартной процедурой интегрирования уравнения (1) по шагам.

Заключение. В данной работе найдена явная формула для вычисления H2 нормы передаточной функции линейного стационарного уравнения с запаздываниями нейтрального типа, которая включает в себя только коэффициенты исходного уравнения и значения функции Ляпунова в нескольких точках.

Способ вычисления функции Ляпунова, заключающийся в решении системы уравнений, также представлен в работе, что полностью определяет выражение для нормы.

Литература

1. Jarlebring E., Vanbierviet J., Michiels W. Explicit expression for the H2 norm of time-delay system based on the delay Lyapunov equation // Proceedings of the 49th IEEE Conference on Decision and Control.

Atlanta. USA, 2010. P. 164–169.

2. Velazquez-Velazquez J. E., Kharitonov V. L. Lyapunov-Krasovskii functionals for scalar neutral type time delay equations // System & Control Letters, 2009. Vol. 58. P. 17–25.

3. Zhou К., Doyle J. C., Glover K. Robust and optimal control.

Engelwood Clis, NJ: Prentice Hall, 1996. 586 p.

Фальков Е. А., Квитко А. Н.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Указанную пару будем называть программным движением.

2. Решение задачи. Выберем некоторый вектор u1 Rr, u1 = (u1,..., ur ), u1 C2. Используя (2), систему (1) запишем в виде

–  –  –

Далее необходимо построить управление v, стабилизирующее соответствующую вспомогательную систему по всем переменным.

Размерность вспомогательной системы

–  –  –

1. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.

2. Квитко А. Н. Об одном методе решения граничной задачи управления для нелинейной управляемой системы //ВММФ, 2006.

Т. 46, № 7. С. 1241–1250.

Фирюлина О. С.

Санкт-Петербургский государственный университет Вычисление неплотности квадратных (0,1)-матриц Рекомендовано к публикации профессором Олемским И. В.

Введение. Рассматривается задача вычисления одного из инвариантов квадратных (0,1)-матриц. Необходимость определять инварианты в матрицах подобного вида чаще всего возникает в задачах экстремальной теории графов. В работе представлен новый алгоритм для решения одной из важнейших задач теории графов нахождение наибольшего независимого множества (ННМ).

Эта задача принадлежит к числу так называемых трудновычислимых, NP-полных задач. Построение ННМ в графе эквивалентно определению неплотности (0,1)-матрицы, являющейся матрицей смежности исследуемого графа.

Основные определения. Здесь и далее множество неупорядоченных пар различных элементов некоторого множества B будем обозначать B [2] = {(x, y) | x, y B & x y}.

Обыкновенным графом G = (V, E) называется упорядоченная пара множеств: конечного непустого V, элементы которого называются вершинами графа G, и подмножества E V [2], представляющего собой множество неупорядоченных пар различных вершин, элементы которого называются ребрами этого графа.

Отметим два крайних случая обыкновенных n-вершинных графов: безреберный граф Hn = (U, ), n = |U | и полный граф Fn = (U, U [2] ), n = |U |.

Если в неориентированном графе между двумя вершинами x и y есть ребро, тогда эти вершины смежны, в противном случае несмежны. Ребро, соединяющее вершины x и y, инцидентно каждой из них (и наоборот, они обе инцидентны этому ребру).

Граф G = (V, E ) называется подграфом графа G = (V, E), если V V и E = {(x, y) E | x, y V }. Иными словами, при образовании подграфа G из графа G удаляются все вершины множества Y = V \ V и только те ребра, которые инцидентны хотя бы одной удаляемой вершине.

Множество вершин графа G, индуцирующее его безреберный подграф, называется независимым. Будем называть это множество максимальным независимым (МНМ), если оно не содержится ни в каком другом независимом множестве. Максимальное независимое множество наибольшей мощности называется наибольшим независимым множеством. Множество всех МНМ графа G будем обозначать M (G).

Пусть n-вершинный граф G = (V, E) задан матрицей смежностей A = ai,j n,n, где 1, (i, j) E, ai,j = 0, (i, j) E.

/ Граф G можно представить в виде: G = (V, SV,A ), где V = {1,..., n}, SV,A = {(p, q) | (p, q) V [2] & ap,q = 0; p, q V } множество всех несмежных пар различных вершин графа G.

(0,1)-матрицей называется матрица, элементами которой являются только нули и единицы. Очевидно, матрица смежностей графа представляет собой (0,1)-матрицу.

Неплотностью (0,1)-матрицы называется размерность ее наибольшей нулевой подматрицы на главной диагонали, которую можно получить одинаковой перестановкой строк и столбцов.

Матрица P называется матрицей перестановки в том случае, когда в любой ее строке и в любом ее столбце в точности один элемент равен 1, а все остальные равны 0. Умножение на такую матрицу слева приведет к перестановке строк, а справа столбцов. Для любой матрицы перестановки справедливо P T = P 1, поэтому преобразование A P AP T осуществляет одинаковую перестановку строк и столбцов матрицы A [1].

Вершины, входящие в наибольшее независимое множество графа G, представляют собой номера строк и столбцов матрицы A, на пересечении которых находится искомая нулевая подматрица.

Любую пару несмежных вершин (, ) будем называть узлом и обозначать буквой = (, ).

Базовым множеством для некоторого узла = (, ) SV,A графа G назовем множество

–  –  –

Нетрудно показать, что {, } DG [].

Введем в рассмотрение горизонтальные структурные множества матрицы A: h(q) = {r|aq,r = 0}, q = 1, n, r = 1, n.

Учитывая симметричность матрицы смежностей неориентированного графа, а также равенство нулю всех диагональных элементов, базовые множества можно сформировать в следующем виде

DG [] = h() h(), SV,A.

Опорным множеством для некоторого узла = (, ) SV,A графа G будет называться множество G [] = DG [] \ {, }.

Окрестностью узла = (, ) SV,A в графе G будем называть множество PG [] всех МНМ QG [] M (G) этого графа, которые содержат в себе обе вершины и.

Алгоритм вычисления неплотности матрицы. Алгоритм вычисления неплотности матрицы базируется на способе выделения структурных особенностей (0,1)-матриц [2] и по сути является его модификацией.

Выбрав узел 0 = ( 0, 0 ) SV,A в графе G0 G, заданного соответствующей (0,1)-матрицей A, строим для него опорное множество G0 [0 ]. Задача нахождения МНМ, содержащего вершины 0, 0, в графе G сводится к поиску МНМ в подграфе G1 G0, индуцированного множеством вершин G0 [0 ] V, а затем объединению каждого найденного МНМ в G1 с парой вершин ( 0, 0 ). Для нахождения МНМ в подграфе G1 = (G0 [0 ], SG0 [0 ],A ) используется та же схема. Выбираем узел 1 = ( 1, 1 ) SG0 [],A, строим для него опорное множество G1 [1 ] и приступаем к нахождению МНМ в подграфе G2 G1 G0. Таким образом, выбрав некоторую пару вершин в графе, переходим к рассмотрению соответствующего подграфа, тем самым сужая размерность рассматриваемой задачи.

Решение задачи можно представить в виде дерева поиска, в котором каждый уровень k отвечает рассмотрению некоторого подграфа Gk Gk1... G0 G. Здесь k = ( k, k ) некоторый узел в соответствующем графе Gk, индуцированного множеством Gk1 [k1 ]. Узлы k и k1 связаны следующим образом:

k SGk1 [k1 ],A. Для компактности записи можно опустить индекс Gk у множества Gk [k ], так как по индексу узла k однозначно можно определить из вершин какого графа формируется опорное множество [k ].

Учитывая тот факт, что любой рассматриваемый подграф Gk, k1,..., G1 является подграфом G, а множества несмежных пар G в них определяются S[ k1 ],A, S[ k2 ],A,..., S[ 0 ],A, соответственно, то индекс A у множества S также можно опустить, понимая, что все несмежные пары вершин в указанных подграфах являются несмежными и в исходном графе с матрицей смежностей A. Так как множество S[k1 ] представляет собой множество несмежных пар в графе Gk, порожденного множеством [k1 ], то его можно записать более компактно S k, полагая, что k это индекс текущего подграфа Gk, в котором в данный момент формируются максимальные независимые множества.

Теорема 1. Любое максимальное независимое множество QG [] целиком содержится в базовом множестве, соответствующем паре = (, ): QG [] DG [].

Доказательство теоремы приведено в статье [3].

Следствие. Пусть Qi [] i-е МНМ множество графа G, соG держащее вершины и, тогда DG [] \ m Qi [] =.

i=1 G Ниже приведена подробная реализации алгоритма в псевдокодах.

Основная схема алгоритма:

procedure MaxIS (G := (V, SV,A )) begin k := 0 //номер уровня дерева перебора Qmax := //текущее наибольшее независимое множество M (G) := //множество всех МНМ графа G 1 := (0, 0)

PG1 [1 ] :=

[1 ] := V //опорное множество S[1 ] S 0 := SV,A // множество несмежных пар в графе G construct DGk [], = (, ), {, } V, SV,A continue := true while continue=true do if S k = then while [k1 ] = do [k1 ] Jt := {,,...,,, } 0 0 k k k1 if Jt PGk1 [ ] then M (G) := M (G) {Jt } / for := 0... k 1 do PG [ ] := PG [ ] {Jt } end do if 2k + 1 |Qmax | then Qmax := Jt end if end if [k1 ] := [k1 ] \ { } end do if k = 0 then continue:=false end if if k 1 then k := k 1 ELIMINATION_FUN(S k, ) k

–  –  –

Вспомогательная функция ELIMINATION_FUN используется для прореживания множества S k несмежных пар рассматриваемого подграфа Gk.

Теорема 2. Пусть задан обыкновенный граф G = (V, SV,A ).

Если DG [] DG [ ], тогда для любого МНМ QG [] DG [] найдется МНМ QG [ ] DG [ ] такое, что QG [ ] QG [].

Пользуясь теоремой 2, видим, что эта процедура позволяет исключить из множества S k узлы, рассмотрение которых гарантировано приведет к формированию уже построенных МНМ.

Заключение. Предложенный в статье алгоритм находит наибольшее независимое множество в неориентированном графе. Мощность этого множества представляет собой значение неплотности симметричной (0,1)-матрицы, которая является матрицей смежности рассматриваемого графа. Каждая ветвь дерева перебора, построенного по этому алгоритму, соответствует уникальному МНМ.

Дополнительные процедуры анализа перспективности выбора очередного узла в дереве перебора позволяют сократить количество рассматриваемых ветвей.

Литература

1. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. 666 c.

2. Олемской И. В. Модификация алгоритма выделения структурных особенностей // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006. Вып. 2. С. 55–64.

3. Фирюлина О. С. Метод построения максимальных независимых множеств // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. В. Смирнова, Г. Ш. Тамасяна. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2010. С. 68–72.

Фоминых А. В.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Заметим, что I(z) 0 при любых z Cn [0, T ].

Лемма 1 [2]. Пусть P (t) и g(t) в (5) определены и непрерывны при t [0, T ]. Тогда функционал (5) достигает минимального значения I(z ) = 0 тогда и только тогда, когда для каждого фиксированного x0 вектор-функция z (t) решение задачи Коши (1), (2) или (3).

3. Построение приближённого решения в частном случае. Рассмотрим один способ построения приближённого решения.

3.1. Описание частного случая. Положим в (1) n = 2, (x0, y0 ) X0. Также предположим, что матрица P постоянная. Тогда система (1) примет вид

–  –  –

4. Пример решения задачи. Сравним точное и полученное приближённое решения конкретной системы с заданным начальным условием, а затем построим ансамбль траекторий по заданному компакту X0.

4.1. Сравнение точного и приближённого решений примера. Для примера рассмотрим систему

–  –  –

Рис. 1. Фазовые портреты точного и приближённого решений

4.2. Иллюстрация построения ансамбля траекторий. Теперь вернёмся к случаю, когда начальное положение задано неточно (известно, что оно принадлежит заданному компакту).

Пусть в примере x0 2 + y0 2 2, т. е. a0 + a1 2. Тогда приближение имеет вид

–  –  –

Рис. 2. Ансамбль траекторий приближённого решения Таким образом, приближение в виде полиномов построено. Остались неопределёнными только свободные члены в силу того, что начальное условие задано неточно. Заданный компакт X0 породил ансамбль траекторий (см. рис. 2).

5. Заключение. В задачах построения ансамбля траекторий и управления им часто возникает необходимость оптимизации по начальным данным согласно какому-то выбранному критерию. Поэтому построенное приближение может быть полезно, когда получение общего решения системы (1) аналитически затруднено. Начальные данные и ограничения на них заложены в самом решении и выступают здесь в виде свободных членов полиномов, в то время как численное решение системы (1) может быть получено лишь при фиксированном x0 X0. Построенное приближение является непрерывной траекторией (ансамблем траекторий). Заметим, что приближение по аналогичной схеме решения задачи минимизации функционала (5) можно искать и в виде других функций.

–  –  –

1. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1967. 564 c.

2. Demyanov V. F., Giannessi F., Karelin V. V. Optimal control problems via exact penalty functions // J. of Global Optimiz., 1998.

Vol. 12, No 3. P. 215–223.

3. Тамасян Г. Ш. Градиентные методы решения задачи Коши // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2009. Вып. 4. С. 224–231.

4. Аттетков А. В., Галкин С. В., Зарубин В. С. Методы оптимизации. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2003. 319 c.

5. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том 1. Изд.

2-е, стереотип. М.: ФИЗМАТЛИТ, 1962. 464 c.

Холодных П. В.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Уточненная модель структуры сложных технических комплексов в форме системы логических уравнений и ее применение Рекомендовано к публикации доцентом Симаковым И. П.

Важнейшим этапом, предшествующим непосредственному расчету детерминированных и вероятностных показателей надежности, безопасности и эффективности автоматизированных многоагрегатных технических комплексов (ТК), является этап их структурного анализа. Цель структурного анализа заключается, прежде всего, в получении структурных функций [1, 2] логических функций работоспособности и неработоспособности (ФРС и ФНРС) [2]. В работе [3] развит предложенный в [1, 4] аналитический подход формализованного вывода ФРС для достаточно широкого класса многоагрегатных ТК, характеризующихся наличием в их структуре: замкнутых контуров, обеспечивающих самоподдержание энергетических и технологических процессов; трех типов линий связи между элементами, обеспечивающих передачу сигналов (ресурсов) в одну сторону, в обе стороны одновременно или в одну сторону с возможностью переключения направления; резервных агрегатов, вводимых в действие при выходе из строя основных.

В настоящей работе при конструировании моделей структурносложных ТК использованы общепринятые допущения [1, 2]: наличие у элементов ТК двух возможных состояний элемент работоспособен или элемент отказал; независимость отказов элементов.

В [1, 4] используется следующая математическая модель описания структуры ТК в виде системы логических уравнений (СЛУ):

–  –  –

где N количество элементов в ТК; xi –– переменная состояния i-го элемента: xi = 1 –– элемент работоспособен, xi = 0 отказал;

yi переменная функционирования i-го элемента: yi = 1 элемент может функционировать (подавать на свой выход вырабатываемый ресурс: энергию, вещество, информацию, усилие и т. п.), yi = 0 не может функционировать; y sys переменная функционирования ТК: y sys = 1 ТК работоспособен, y sys = 0 неработоспособен.

Для того чтобы элемент ТК функционировал, требуется выполнение двух условий: элемент должен быть работоспособным и должен получать на свои входы все необходимые для его функционирования ресурсы по связям от смежных элементов-поставщиков. Функции fi в (1) отражают подобные зависимости, а функция F определяет условие работоспособности всего ТК. Результатом решения системы (1) относительно переменных функционирования являются явные аналитические выражения условий функционирования элементов yi = gi (x1,..., xN ), а также функция работоспособности ТК y sys = (x1,..., xN ).

Методам аналитического решения подобных СЛУ посвящен ряд публикаций, в частности, [5, 4]. В этих работах отмечается, что система (1) может иметь несколько решений. Общее решение при этом o записывается в виде yi = gi (x1,..., xN, r1,..., rm ), где rk это свободные булевы переменные, перебор значений которых позволяет получить все частных решений, а m зависит от сложности и особенностей структуры конкретного ТК. В работе [4] предлагается фактически вручную проверить все частные решения (1) и выбрать одно, с инженерной точки зрения адекватно описывающее функционирование реального ТК. Или же заранее сделать предположение о виде выражений gi. Ни тот, ни другой подход нельзя назвать приемлемыми для сколько-нибудь сложного ТК.

Неоднозначность решения системы (1) явно указывает на неполноту описания особенностей ТК. Система (1) должна решаться с применением граничных условий, позволяющих сразу определить единственное физически верное частное решение. В [3] предложено уточнить модель ТК, функции fi которых являются монотонными.

Для корректного описания ТК введена следующая классификация элементов и связей между ними:

• P -элементы –– элементы ТК, содержащие в себе источники энергии (химической, электрической), вещества (вода, масло) и т. д., и являющиеся движителями ТК, обеспечивающими его функционирование;

• T -элементы –– элементы, выполняющие транспортировку или преобразование ресурсов;

• N -связи –– однонаправленные связи с постоянным направлением передачи ресурса;

• J-связи –– двунаправленные связи-перемычки, которые обеспечивают передачу ресурса в любую сторону между двумя элементами, но не в обе стороны одновременно.

С учетом введенной классификации система (1) представляется в следующем модифицированном (МСЛУ) виде C(j),C(i,j) yi = fi (xi, Hi,j yj, j = 1,..., N, j = i), i = 1,..., N, (2) sys y = F (y1,..., yN ), C(j),C(i,j) где Hi,j специальная булева переменная-маркер связи (i, j), C(i) {P, T } класс элемента-поставщика, C(i, j) {N, J} класс связи. Задача переменных-маркеров состоит в том, чтобы ввести в МСЛУ информацию о классах элементов и связей.

При решении системы (2) переменные-маркеры рассматриваются как обычные булевы переменные, для которых вводится одно единственное правило, описывающее специфику поведения J-связей:

C(j),C(i,j) C(i),C(j,i) Hi,j Hj,i 0.

В качестве промежуточного решения системы (2) используется максимально избыточное частное решение o yi = gi (x1,..., xN, r1,..., rm ), r1 = r2 =... = rm = 1,

–  –  –

длиной l, если для любого s = 1,..., l 1 выполняется js = is+1.

T,C(i,j) Значение Hi,k будет равно 1, если для любого T -маркера Hi,j, входящего в Hi,k, можно найти хотя бы один путь, завершающийся P -маркером. Иначе конъюнкт Kk удаляется из ФРС на основании несоответствия принципам работы ТК.

Автором разработан программный комплекс Struct Solver, реализующий рассматриваемый в данной работе метод и позволяющий решать следующие задачи:

• вывод структурных функций для всех элементов ТК и для любого количества общих условий работоспособности ТК;

• оценку качества структурной организации ТК по детерминированным показателям [1, 6];

• решение задачи синтеза алгоритмов реконфигурации структуры ТК при любых заранее непредсказуемых комбинациях отказов элементов;

• выполнение количественных оценок традиционных вероятностных показателей надежности ТК с использованием отработанных в теории ЛВМ алгоритмов и процедур [2].

Продемонстрируем работу предложенного метода вывода СФ. На рис. 1 представлен внешний вид приложения Struct Solver с загруженной схемой анализируемого ТК, состоящего из десяти элементов.

В этой схеме P -элементами являются элементы 1, 2, 7 и 8, а все остальные элементы имеют класс T. J-связи связи между элементами 5, 6, 9 и 10, остальные связи имеют класс N.

СЛУ для данной схемы имеет вид: y1 = x1 y5 ; y2 = x2 y6 ; y3 = x3 y1 ;

y4 = x4 y2 ; y5 = x5 (y3 +y7 +y9 +y10 ); y6 = x6 (y4 +y8 +y9 +y10 ); y7 = x7 ;

y8 = x8 ; y9 = x9 (y5 + y6 ); y10 = x10 (y5 + y6 ).

Рис. 1. Внешний вид Struct Solver и схема примера

–  –  –

Литература

1. Астров В. В., Симаков И. П., Черкесов Г. Н. Применение методов вероятностной логики и исследования операций к анализу живучести пространственно-распределенных энергетических систем // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Живучесть систем энергетики / Под ред. академика АН СССР Руденко Ю. Н. Иркутск: СО АН СССР, 1979.

С. 49–60.

2. Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2007. 276 с.

3. Холодных П. В. Логико-математическая модель структурносложной технической системы и ее применение // Научнотехнические ведомости, 2011. № 2. С. 151–156.

4. Черкесов Г. Н., Степанов Ю. В. Логико-вероятностный анализ надежности сложных систем на основе общего решения систем логических уравнений // Научно-технические ведомости, 2003.

№ 2. С. 149–158.

5. Левченков В. С. Общий вид решений булевых уравнений // Автоматика и телемеханика, 2000. № 2. С. 139–150.

6. Симаков И. П., Холодных П. В. Математические модели, формализованные методы и программные средства объективной оценки показателей надежности и безопасности структурносложных технических систем // Вычислительные, измерительные и управляющие системы. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та,

2009. С. 130–139.

Чумаков А. А., Тамасян Г. Ш.

Санкт-Петербургский государственный университет Методы нахождения ближайшей к началу координат точки эллипсоида1

1. Постановка задачи. Пусть в n-мерном евклидовом пространстве Rn задан эллипсоид

–  –  –

Функция (x) называется штрафной функцией, а число штрафным параметром. В [1] представлен ряд теорем, при выполнении которых (x) является функцией точного штрафа.

1

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 12-01-00752 Таким образом, задача минимизации функции f (x) на множестве сведена к задаче минимизации функции (x) на всем пространстве Rn при, где константа точного штрафа [1], для которой можно найти оценки.

2.1. Метод гиподифференциального спуска. Исследуемая на экстремум функция (x) (2) принадлежит классу гиподифференцируемых функций [1, 2]. Имеем

–  –  –

d (x) = co [µh(x) (x), µh (x) + f (x)] |µ|, Множество d (x) называется гиподифференциалом функции (x) в точке x. Отметим также, что отображение d (x) является непрерывным в метрике Хаусдорфа.

Если x точка локального минимума функции (x), то условие [0, On ] d (x ) (3) является необходимым условием минимума функции (x) на всем пространстве Rn. Здесь On начало координат Rn.

Если точка x Rn не является стационарной, то можно найти направление спуска функции (x) в точке x. Для этого вычислим (x)h(x) h (x)f (x) µ =, (4) h2 (x) + (h (x)) тогда направление g(z) = G (z)/ G (z) является направлением спуска, где G (z) = µ h (x) + f (x) гипоградиент.

Опишем метод гиподифференциального спуска для нахождения стационарных точек, т. е. точек, удовлетворяющих (3).

Выберем произвольное x0 Rn. Пусть уже найдено xk Rn. Если (xk ) = 0 и выполнено условие (3), то точка xk является стационарной, и процесс прекращается. Если же условие (3) не выполнено, то возьмем вектор G (xk ) гипоградиент функции в точке xk.

Далее решая задачу

–  –  –

расстояние d = 99, 99798167625424. Заметим, что результат оказался лучше при той же точности вычислений.

Пример 2. [10].

Найти расстояние до ближайшей к началу координат точки эллипсоида

–  –  –

При решении методами гиподифференциального спуска, множителей Лагранжа и теории исключения получены одинаковые результаты x = (0, 0711706544; 0, 8677186523; 0, 797924553), расстояние d 1, 180967837. Заметим, что в методе гиподифференциального спуска все этапы проходят по аналитическим формулам (см. (4), (5)), в отличии от двух последних методов, где находятся корни полиномов шестой степени.

7. Заключение. В работе рассмотрено несколько алгоритмов решения поставленной проблемы. Разработано программное обеспечение, реализующее данные алгоритмы, и проведены численные эксперименты. Из проведенных экспериментов следует, что метод гиподифференциального спуска (менее трудоемкий) эффективнее методов множителей Лагранжа и теории исключения. В дальнейшем планируется более детальное сравнение с методом шаров.

Литература

1. Демьянов В. Ф. Условия экстремума и вариационные задачи.

М.: Высшая школа, 2005. 335 c.

2. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 432 с.

3. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том 2.

М.: ГИФМЛ, 1959. 620 с.

4. Калинина Е. А., Утешев А. Ю. Теория исключения: Учеб. пособие. СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. 72 с.

5. Lin A., Han S.-P. On the distance between two ellipsoids // SIAM Journal on Optimization, 2002. Vol. 13. P. 298–308.

6. Dai Y. H. Fast algorithms for projection on an ellipsoid // SIAM Journal on Optimization, 2006. Vol. 16, No 4. P. 986–1006.

7. Косолап А. И. Квадратичные оптимизационные задачи компьютерной геометрии // Искусственный интеллект, 2010. № 1.

С. 70–75.

8. Утешев А. Ю., Яшина М. В. Нахождение расстояния от эллипсоида до плоскости и квадрики в Rn // Доклады АН, 2008. Т. 419, № 4. С. 471–474.

9. Утешев А. Ю., Яшина М. В. Нахождение расстояния между поверхностями второго порядка в Rn // Процессы управления и устойчивость: Труды 37-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. В. Платонова, Н. В. Смирнова. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2006. С. 103–107.

10. Утешев А. Ю. Вычисление расстояний между геометрическими объектами [Электронный ресурс] // Записная книжка профессора Утешева [сайт]. [2007]. http://pmpu.ru/vf4/algebra2/ optimiz/distance

2. Математические методы в механике и физике Алцыбеев В. В., Овсянников Д. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Управление пучками траекторий в гибридных системах с учетом плотности распределения

1. Введение. В статье рассмотрена задача оптимального управления пучком траекторий в случае, когда динамика управляемого процесса описывается гибридной системой уравнений, имеющей непрерывную и дискретную часть с учетом плотности распределения частиц. Задачи управления пучками рассмотрены прежде всего в работе [1]. Системы с переменной структурой исследовались в работах [2, 3]. Например, такая задача может возникнуть при расчёте и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускорителях с трубками дрейфа [1, 4]. В таком случае непрерывная часть системы соответствует движению частиц в зазорах ускорителя, а дискретная в трубках дрейфа.

2. Постановка задачи. Пусть динамика пучка описывается следующей системой уравнений [5]:

–  –  –

Здесь f1 (t, x, u) и f2 (µi, x(µi ), vi ) n-мерные вектор-функции, определённые и непрерывные по совокупности аргументов (t, x, u) и (x, v) на [µi1, µi ] U и V (i), соответственно, вместе с частными производными по этим переменным, J(µi ) = |f2 (µi, x(µi ), vi )/x|, открытая область в Rn, U и V (i) компактные множества в r R, u(t) r-мерная вектор-функция управления. Управления u(t) составляют класс D кусочно-непрерывных функций со значениями в U, vi V (i) параметры управления, M0 компакт ненулевой меры, содержащейся в.

Введем функционал I= g(xT, (xT ))dxT, (1) MT,u характеризующий состояние пучка на выходе системы. Здесь функция g(xT ) определена и непрерывна вместе со своими производными по x на ; MT,u сечение пучка траекторий в момент времени T, т. е. xT MT,u. Будем рассматривать задачу минимизации функционала (1) по всем допустимым управлениям.

3. Вспомогательные соотношения. Приращение функционала (1) можно представить в виде

–  –  –

5. Численная реализация. На основе вариации (14) был построен алгоритм оптимизации и получены численные результаты, представленные на рис. 1–3. Параметры моделируемого ускорителя протонов следующие:

• начальное распределение частиц по фазам равномерное в интервале [3, 3];

• начальное распределение по энергиям нормальное с математическим ожиданием 80 кэВ и среднеквадратическим отклонением 1 кэВ;

• энергия на выходе 4,5 мэВ;

• коэффициент захвата 0,95.

–  –  –

На рис. 1 представлены результаты оптимизации группирующей части ускорителя. На верхних двух графиках изображена динамика набора энергии пучка до и после оптимизации. На нижних двух диаграммах фазовые спектры пучка частиц на выходе группирующей части ускорителя до и после оптимизации.

На рис. 2, 3 изображены фазовые и энергетические траектории частиц пучка в ускорителе соответственно.

–  –  –

0.6 0.6

–  –  –

0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1

–  –  –

6. Заключение. В статье получена вариация функционала качества в случае, когда динамика управляемого процесса описывается гибридной системой уравнений. Проведена численная оптимизация динамики пучка. Полученные результаты показывают эффективность данного подхода.

Литература

1. Овсянников Д. А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 312 с.

2. Миронова Р. С. Об одной задаче оптимального управления с переменной структурой. В кн. Численные методы в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1986. C. 86–87.

3. Розова В. Н. Оптимальное управление ступенчатыми системами с неинтегральным функционалом // Вестник РУДН. Сер. 1, 2002.

Вып. 1. С. 131–136.

4. Капчинский И. М. Теория линейных резонансых ускорителей.

М.: Атомиздат, 1966. 312 с.

5. Алцыбеев В. В. Параметрическая оптимизация динамики пучков в гибридных системах // Процессы управления и устойчивость:

Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат.

Дом С.-Петерб. гос. ун-та, 2011. С. 81–86.

Андреева Т. А., Бедрина М. Е.

Санкт-Петербургский государственный университет

Моделирование механизма взаимодействия молекул в жидкокристаллической фазе

Одним из характерных представителей органических молекул, способных к образованию жидких кристаллов, являются молекулы цианобифенила и его замещённые CB5, CB8. Образование жидкокристаллической фазы на основе молекул CB5, CB8 изучалось различными как экспериментальными, так и теоретическими методами [1, 2]. Однако, квантово-механическое исследование на атомномолекулярном уровне с учетом всех типов межмолекулярных сил до сих пор не проводилось. Решение этой задачи требует применения сложных, современных, расчетных методов и больших затрат вычислительного ресурса. Основной задачей работы было рассчитать геометрию, электронную структуру молекулы замещённого цианобифенила (CB5), димеров и тримеров на его основе, а также изучить процессы образования жидкокристаллической фазы, учитывая сильно поляризованную группу в молекулах, которая определяет их ориентирование под воздействием внешнего поля. Расчет физикохимических характеристик молекул и комплексов столкновений может быть проведен различными методами молекулярной механики или динамики, полуэмпирическими или неэмпирическими методами ab initio [3]. В методах молекулярной механики атомы рассматриваются как ньютоновские частицы, находящиеся в силовом поле, и взаимодействие между ними описывается потенциальной энергией. Потенциальная энергия зависит от длин связей, углов между связями, углов кручения и от взаимодействия несвязанных молекулярных фрагментов с помощью электростатических сил, ван-дерваальсовых сил или взаимодействий, обуславливающих водородные связи. В зависимости от приближений, используемых при расчете силового поля и от гармонических функций, описывающих это поле, встречаются различные модификации расчетных программ. Однако, эти методы не позволяют определить тонкие эффекты перераспределения электронной плотности между молекулами при образования жидкокристаллической фазы. Поэтому целью данной работы являлось создание квантово-механической математической модели для изучения процессов образования жидких кристаллов. Для решения волнового уравнения Шредингера использовались методы квантовой механики, реализованные в программном пакете Gaussian 03.

Расчеты проводились на высокопроизводительном вычислительном комплексе факультета ПМ ПУ. Вычисление разновесной геометрии, распределения электронной плотности и физико-химических характеристик систем проводились методом функционала электронной плотности (DFT) [4], с гибридным обменно-корреляционным потенциалом B3LYP. В расчетах использовались различные способы разложения базисных атомных волновых функций, а именно, 6-31G и 6-31G**5d 7f.

В качестве начальных условий была задана приближённая геометрическая структура молекулы CB5, полученная в рамках молекулярной механики и полуэмпирических расчётов (см. рис. 1).

Рис. 1. Структура молекулы CB5

На основании полученной структуры молекулы CB5 были изучены модели ассоциатов в жидкокристаллической фазе, в первую очередь, возможность образования димеров и тримеров. Расчеты ван-дер-ваальсовых комплексов димеров и тримеров CB5 методом функционала электронной плотности уточнили первоначальные результаты, полученные полуэмпирическим методом AM1 (таблица 1).

–  –  –

DimerV 1503, 888481 5, 14 1504, 274603 4, 41 2, 82 2, 83 4, 21 2, 19 В целом, геометрические модели полученных комплексов методом функционала электронной плотности не изменились по сравнению с расчетами полуэмпирическим методом AM1, была уточнена равновесная геометрия и энергия образования комплексов. Наиболее энергетически выгодные структуры получены за счет образования слабых водородных связей атома азота CN-группы с атомами водорода бензольных колец. Для самого энергетически выгодного димера (DimerI) энергия связи равна 7,83 ккал/моль, здесь две водородные связи образуют замкнутое кольцо с -электронной стабилизацией (см. рис. 2).

–  –  –

Самый слабый комплекс DimerIV, энергия связи которого равна 2,15 ккал/моль, образован в основном электростатическим дипольдипольным взаимодействием (см. рис. 3).

–  –  –

Для DimerIII (5.06 ккал/моль) и DimerV (5.14 ккал/моль) энергии связи несколько слабее, они образованы одной водородной связью CN-группы с бензольным кольцом (см. рис. 4). DimerV уступает в прочности связи DimerI и DimerII, однако обладает большим дипольным моментом (см. таблицу 1), поэтому его реальное существование в жидкокристаллической фазе является оправданным.

Рис. 4. Рассчитанные модели DimerIII и DimerV

Результаты подтверждаются и распределением зарядов на атомах водорода: большими по абсолютной величине на атомах водорода бензольных колец (0,138–0,148 a. е.) и небольшими на атомах водорода предельных углеводородов хвоста (0,068–0,083 a. е.).

При изучении ван-дер-ваальсовых комплексов важно помимо энергии связи учитывать и другие характеристики. Анализ геометрической структуры и распределения электронной плотности в структурах DimerIII и DimerV (см. рис. 4) показал, что оба образуются за счет слабой водородной связи цианогруппы с водородами бензольного кольца. Энергия несколько выше и связь между молекулами короче в комплексе DimerIII, в нем молекулы вытянуты в пространстве друг относительно друга и этот комплекс будет более устойчивым. В случаях DimerI и DimerII (см. рис. 5) двойная водородная связь каждой цианогруппы образует связь с атомами водорода, создавая практически замкнутый цикл, в котором возможна пи-электронная стабилизация. Несмотря на то, что обе структуры сходны по геометрическому строению, и в обоих случаях реализован вариационный принцип, т. е. задача сошлась и минимум энергии с заданной точностью найден, структура DimerII имеет одну мнимую колебательную частоту, поэтому ее можно классифицировать как переходное состояние (TS). Таким образом, у димера DimerII достигнут на потенциальной поверхности один из локальных минимумов, в то время как в случае DimerI достигнут глобальный минимум.

Рис. 5. Рассчитанные модели DimerI и DimerII В ходе исследования структуры ассоциатов были рассмотрены различные варианты тримеров (см. рис. 6, 7).

–  –  –

Расчеты методом функционала электронной плотности выявили существование нескольких энергетически выгодных димеров и тримеров. Выигрыш в энергии определялся как разность полной энергии молекулярного комплекса и суммы энергий изолированных молекул. Он составляет порядка 5–8 ккал/моль для димеров (см. таблицу 1) и 6–12 ккал/моль для тримеров (см. таблицу 2), что характерно для ван-дер-ваальсовых комплексов. Расчет в расширенном базисе B3LYP/6-31G** 5d 7f незначительно понижает значения полной энергии систем, но не влияет на общую картину взаимной ориентации молекул и распределения выигрыша энергий.

–  –  –

1. Bauman D. The study of the guest eect on the nematic phase stabilization // Molecular Crystals Liquid Crystals Incorporating Nonlinear Optics, 1988. Vol. 159, P. 197–217.

2. Баранова Г. И. Спектроскопия жидких кристаллов. СПб.: ВВМ, 2009, 98 с.

3. Бедрина М. Е., Глебовский Д. Н., Жучкова Т. В. Квантовохимическое исследование структуры межмолекулярных комплексов мезогенов ряда цианобифенила // Тезисы Международной конференции Химия XXI век. СПб., 2009. С. 81.

4. Wolfram Koch, Max C. Holthausen. A chemist’s guide to density functional theory. Second Edition. Germany, 2001. 306 с.

Белова О. А.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Рекомендовано к публикации профессором Шмыровым А. С.

Введение. Полеты в окрестность коллинеарной точки либрации системы Солнце – Земля начались ещё в 70-е годы ХХ века.

В 1978 году в окрестность коллинеарной точки либрации L1 был выведен космический аппарат, который исследовал солнечный ветер и его влияние на магнитосферу Земли. В декабре 1995 года NASA и ESA была запущена Солнечная гелиосферическая обсерватория, известная как SOHO. В середине 1998 года связь с SOHO была временно потеряна. В настоящее время исследование активности Солнца SOHO продолжается, результаты регулярно публикуются на его официальном сайте в интернете. В мае 2009 года стартовал проект Европейского космического агентства, в котором на периодические орбиты в окрестности точки либрации L2 системы Солнце – Земля были выведены одним ракетоносителем сразу два космических аппарата (КА) Планк и Гершель. Первый из названных используется для изучения реликтового излучения, второй для проведения инфракрасной съемки Вселенной.

В настоящее время проблема освоения космического пространства в окрестности коллинеарной точки либрации L1 связана также с проблемой кометно-астероидной опасности. Нахождение траектории полета имеет большой смысл в связи с научными исследованиями, такими как мониторинг Солнца, небесных тел, а также имеет прямое отношение к противодействию астероидной опасности [1].

Цель исследования. В рамках математической модели в центральном гравитационном поле (притягивает только Земля) переход в точку, соответствующую точке либрации, возможен с помощью двух импульсов и число импульсов уменьшить нельзя (поскольку орбиты не пересекаются).

Если же рассматривать модель ограниченной задачи трех тел, то точка либрации L1 становится стационарной (в фазовом пространстве во вращающейся системе координат) и неустойчивой, т. е. существует многообразие, по которым материальная точка асимптотически приближается к L1.

Целью исследования является построение траектории одноимпульсного полета КА с орбиты Земли в окрестность коллинеарной точки либрации L1. Для этого численным методом интегрируются уравнения движения КА как в околоземном пространстве, так и в окрестности коллинеарной точки либрации.

Рис. 1. Переход в сложном гравитационном поле двух притягивающих центров

Уравнения движения и их характеристики. Для описания движения КА используется математическая модель круговой ограниченной задачи трёх тел, в которой предполагается, что КА движется в гравитационном поле двух притягивающих центров конечных масс Земли и Солнца и не оказывает влияния на их движение, поскольку его масса пренебрежимо мала по сравнению с массами центров притяжения.

Уравнения хилловского приближения в круговой ограниченной задаче трех тел для космического аппарата в окрестности Земли могут быть записаны в виде гамильтоновой системы [2] x = y,

–  –  –

Функция опасности. В качестве характеристики времени пребывания КА в окрестности коллинеарной точки либрации L1 без управляющего воздействия можно взять специальную функцию фазовых переменных функцию опасности.

Функция опасности имеет вид [3] d1 = b1 (x1 1) + b2 x2 + b3 y1 + b4 (y2 1), где b1 = (b1, b2, b3, b4 ) собственный вектор-строка, соответствующий собственному значению линеаризованной неуправляемой системе системы (2) 1 = 1 + 2 7:

–  –  –

Построение траектории полета. В результате импульсного воздействия задаем траекторию полета, которую находим численным методом. В конечной точке полета, которая должна находиться в окрестности точки либрации, вычисляем функцию опасности.

–  –  –

На рис. 2 проиллюстрировано движение КА из околоземного пространства в окрестность коллинеарной точки либрации при координатах x1 (0) = 0, 0047; x2 (0) = 0; x3 (0) = 0; y1 (0) = 5, 5;

y2 (0) = 35, 234; y3 (0) = 0 и времени t = 0, 36.

–  –  –

Из таблицы видно, что функция опасности меняет знак, с другой стороны, это непрерывная функция импульсов в начальной точке траектории. Поэтому импульсное воздействие можно выбрать так, чтобы в конечном значении функция опасности оказалась равной нулю. Это позволяет надеяться на то, что возможно КА прилетит в точку либрации, используя только один импульс.

Заключение. На основании проведенного численного эксперимента можно сделать вывод, что полеты в точку либрации с использованием одного импульса возможно, так как функция опасности обращается в ноль. Этот результат может иметь значение при практической реализации космических полетов в коллинеарную точку либрации.

–  –  –

1. Белова О. А. Об одном семействе траекторий соударения // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред.

А. С. Ерёмина, Н. В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб.

гос. ун-та, 2011. С. 409–415.

2. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2005. Вып. 2.

С. 193–199.

3. Шиманчук Д. В. Моделирование орбитального управляемого движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1 // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2010. Вып. 3.

С. 86–92.

Богданов1 А. А., Головкина2 А. Г., Кудинович2 И. В.

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Введение. Электроядерный метод генерации нейтронов заключается в производстве нейтронов при бомбардировке мишеней из различных элементов пучком высокоэнергетических заряженных частиц. Успехи в области ускорительной техники позволяют создать мощные электроядерные источники нейтронов с интенсивностью на несколько порядков превышающей интенсивность радиоактивных источников нейтронов.

Электроядерный метод энергетически выгоден в случае, если энергозатраты на производство нейтронов меньше, чем энергия, выделяемая при их использовании. Это условие может быть выполнено в системах, в которых реакция деления осуществляется в подкритическом реакторе, а необходимая плотность нейтронного потока обеспечивается за счет внешнего источника нейтронов.

Основным достоинством энергетической электроядерной установки (ЭЛЯУ) является ядерная безопасность: в таких системах принципиально исключена возможность возникновения неконтролируемой цепной ядерной реакции, так как реакция деления ядер осуществляется в подкритическом реакторе [1]. Дополнительное качество ЭЛЯУ, повышающее ядерную безопасность, связано с возможностью прекращения генерации ней-тронов значительно быстрее, чем в обычном реакторе. Время отключения внешнего источника нейтронов (ускорителя) ограничивается лишь временем прохождения электрических сигналов. При прекращении электроснабжения ЭЛЯУ реактор гарантированно находится в подкритическом состоянии. Стоит отметить, что в ЭЛЯУ возможно более полное выжигание ядерного топлива, загруженного в реактор, в отличие от традиционных реакторов, в которых необходим запас топлива на поддержание критичности.

Целью работы является определение оптимальных размеров нейтронопроизводящих мишеней из различных материалов, облучаемых протонами с энергией от 0,2 до 0,9 ГэВ и оценка мощности ЭЛЯУ при размещении внешнего источника нейтронов с различной энергией в центре активной зоны.

Оптимальные размеры мишени. Определение оптимальных размеров мишени по максимальному выходу нейтронов с ее поверхности производился методом Монте-Карло с использованием программного комплекса Geant4 [2]. При моделировании учитывались следующие процессы: рассеивание протонов на ядрах, ионизационные потери заряженных частиц, возникновение внутриядерных каскадов (модель Бертини), расщепление возбужденного ядра (для тяжелых ядер применялась испарительная модель, а для легких ядер и высоких энергий возбуждения модель взрывного распада Ферми).

Таблица. Оптимальные диаметр мишени D (см), длина мишени L (см), заглубление точки ввода пучка Z (см) и удельный выход нейтронов N из мишени (нейтрон/протон) в зависимости от энергии протонов

–  –  –

Необходимость определения оптимальных (по выходу нейтронов) размеров мишеней вызвана тем, что при малых размерах мишеней значительная доля вторичных частиц, способных вызвать деление ядер с образованием нейтронов, покидает мишень, при больших существенную роль играет радиационный захват нейтронов материалом мишени. Кроме того, следует отметить, при вводе пучка непосредственно на торцевую поверхность имеет место большая утечка протонов и образующихся нейтронов с этой поверхности, что приводит к необходимости оптимального заглубления точки ввода пучка относительно торцевой поверхности мишени [3].

Расчетные исследования по выходу нейтронов проводились для цилиндрических мишеней из различных материалов (Fe, Ta, W, Pb, Bi, природный U) при облучении протонами с энергией Ep = 0, 2 0, 9 ГэВ. В таблице приведены оптимальные геометрические размеры мишеней (диаметр, длина, величина заглубления точки ввода пучка), а также представлены расчетные данные по удельному выходу нейтронов из мишеней (на один первичный протон).

Влияние пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника на мощность ЭЛЯУ. Мощность подкритического реактора зависит от пространственно-энергетического распределения внешнего источника нейтронов заданной интенсивности. В частности, локализация внешнего источника нейтронов в центре активной зоны позволяет увеличить мощность реактора, благодаря уменьшению утечки нейтронов внешнего источника из активной зоны, также на ценность нейтронов источника влияет их первоначальная энергия.

В общем случае стационарное пространственно-энергетическое распределение потока нейтронов (r, E) в подкритической активной зоне с внешним источником нейтронов описывается линейным неоднородным уравнением [2]:

–  –  –

Для решения системы уравнений (3)–(11) использовался метод разложения по собственным функциям оператора Лапласа. В результате было получено выражение для определения интенсивности генерации нейтронов деления в зависимости от пространственного распределения и энергии нейтронов внешнего источника.

Заключение. Расчеты показали, что локализация внешнего источника быстрых нейтронов в центре активной зоны позволяет увеличить мощность реактора по сравнению со случаем равномерного распределения источника по всей активной зоне в 3,4 раза, а для тепловых нейтронов в 4,8 раза.

Литература

1. Герасимов Л. Н., Кудинович И. В., Струев В. П., Свистунов Ю. А. Малогабаритная энергетическая электроядерная установка: возможные технические решения // Изв. РАН. Энергетика, 2005. № 2. С. 3–16.

2. Physics Reference manual, ver. Geant4.9.4, 2009 (17 December, 2010). http://geant4.cern.ch/support/index.shtml

3. Kolevatov R. S., Kudinovich I. V., Svistunov Yu. A. Calculations of targets for ADS using GEANT-4 // Proceedings of LINAC08, Victoria, BC, Canada, 2008. P. 272–274.

4. Едаменко Н. С.,Кудинович И. В. Влияние пространственного распределения внешнего источника нейтронов на мощность подкритического реактора различной геометрической формы // Вестник СПБГУ. Сер. 10, 2006. Вып. 2. C. 100–105.

Васильев А. А., Бедрина М. Е.

Санкт-Петербургский государственный университет Зависимость результатов расчетов по методу DFT от способа представления волновой функции

1. Введение. Целью работы является выявление зависимости результатов расчетов по методу функционала электронной плотности от способа представления волновой функции базисов. Теория функционала плотности (англ. density functional theory, DFT) метод расчета электронной структуры систем многих частиц в квантовой физике и квантовой химии. В частности, он применяется для расчета электронной структуры молекул и конденсированного вещества и является одним из наиболее широко используемых и универсальных методов в вычислительной физике и вычислительной химии. В расчетах квантовой химии одним из распространенных является вид обменного функционала, называемый BLYP (Becke, Lee, Yang, Parr). Еще более широко распространено приближение B3LYP [1], которое основано на гибридном функционале, в котором обменная энергия рассчитывается с привлечением точного результата, полученного методом Хартри Фока. В целом, текущее состояние метода теории функционала плотности таково, что невозможно оценить погрешность расчета, не сравнивая его результаты с другими подходами или с результатами экспериментов.

2. Базисные функции. Базисные функции можно моделировать различными способами. На практике для решения уравнения Шредингера F µ = µ µ необходимо представлять молекулярную орбиталь (волновую функцию исследуемой системы) в виде комбинации атомных орбиталей (АО) (волновых функций атомов, входящих в систему), которые, в свою очередь, представимы как линейная комбинация конечного числа базисных состояний :

q = Cpq. (1) p

Выбор базисных атомных функций является важной задачей, так как именно он определяет, насколько точно разложение (1) аппроксимирует молекулярную орбиталь Хартри Фока. Этот ряд должен достаточно быстро сходиться, т. е. малое число атомных орбиталей должно аппроксимировать молекулярную орбиталь с требуемой точностью.

На данный момент широко используются следующие наборы базисных функций:

• плоские волны eikr ;

• слэтеровские орбитали er ;

• гауссовы орбитали er ;

• численные орбитали, форма которых оптимизируется из атомных расчетов.

В работе построены модели фуллеренов С60 с 9, 10 и 11 молекулами водорода в полости фуллерена. Для этого произведены расчеты данных моделей в различных базисных функциях (в различных представлениях волновой функции в базисах).

Для данных расчетов мы выбрали три наиболее интересных базиса:

• 6-31G базис дважды расчетной валентной орбитали где внутри электронная орбиталь 6 гауссовых орбиталей [2];

• SDD валентный базисный набор [3];

• Lanl2DZ биэкспоненциальный базис, моделирующий действие остовных электронов [4].

Слэтеровские орбитали являются наиболее естественными, если расчет начинается с изолированных атомов, так как функции слэтеровского типа являются точным решением водородоподобного атома. Однако некоторые интегралы кулоновского типа не могут быть решены аналитически при использовании этого набора. Радиальные функции слэтеровского типа недостаточно точно описывают поведение атомных орбиталей Хартри Фока на небольших расстояниях от ядра. Этот недостаток можно устранить аппроксимацией каждой из этих АО, по крайней мере, двумя слэтеровскими функциями с разными орбитальными экспонентам. Например,

–  –  –

Функции (2) называются дубль-зета-функциями, а соответствующий базисный набор дубль-зета-базисом (DZ). Одна слэтеровская атомная орбиталь аппроксимируется обычно несколькими гауссовыми функциями. Поэтому базис гауссовых функций всегда больше базиса слэтеровских атомных орбиталей. Наиболее простым типом базисных наборов является ОСТ-nГФ (STO-nG), где каждая атомная орбиталь состоит из суммы n (обычно от двух до шести) функций гауссова типа, причем коэффициенты гауссовых функций подобраны таким образом, чтобы их линейные комбинации приближенно описывали поведение орбиталей слэтеровского типа. В нем используются функции гауссова типа, имеющие вид 1 4n+ 2 2 G (, r) rn1 er Ylm (, ).

= nlm 2 (2n 1)!!

В качестве основной причины недостатков базиса STO-3G можно выделить малый размер, который влечет за собой неудовлетворительные результаты расчетов соединений электроположительных элементов третьего периода и переоценку стабильности малых циклов и -акцепторной способности электроположительных элементов второго периода. Перечисленные недостатки можно устранить, используя более широкие валентно-расщепленные и биэкспоненциальные базисы (LanL2DZ). В этих базисах атомные орбитали составлены из двух частей: внутренней, более компактной, и внешней более диффузной. В валентно-расщепленных базисных наборах на компактную и диффузную составляющие разделены только валентные орбитали. Схему можно записать как m-npG (6-31G), где m число гауссовых функций, заменяющих каждую внутреннюю АО, n и p число гауссовых функций с разными значениями экспонент, аппроксимирующих каждую валентную атомную орбиталь. В биэкспоненциальных базисах расщеплены как валентные, так и внутренние орбитали остова. Для улучшения описания молекулярных орбиталей на больших расстояниях от ядра можно использовать базисные наборы с включением поляризационных функций. Поляризационные функции это дополнительные волновые функции, включающие слагаемые с показателем экспоненты для l + 1, где l + 1 орбитальное квантовое число первых незанятых атомных орбиталей. Были получены следующие результаты, представленные в таблице 1.

–  –  –

Из таблицы 2 видно, что при использовании базиса SDD и Lanl2DZ расчеты производятся более длительное время. Учитывая незначительную погрешность в расчетах при использовании базиса 6-31G, было принято решение использовать именно это базисное представление в качестве основного при проведении расчетов.

3. Заключение. Компьютерное моделирование процесса объясняет, почему в технологиях водородной энергетики невозможно добиться заполнения наноуглеродных систем водородом больше, чем на 2,5–2,7% по массе. Более значительному заполнению препятствуют межмолекулярные силы.

–  –  –

1. Lee C., Yang W., Parr R. G. Development of the Colle-Salvetti correlation-energy formula into a functional of the electron density // Phys. Rev. B., 1988. Vol. 37, No 12. P. 785–789.

2. Francl M. M, Pietro W. J., Hehre W. J. et. al. Self-consistent molecular orbital methods. A polarization-type basis set for secondrow elements // J. Chem. Phys., 1982. Vol. 77, No 3654. P. 338–411.

3. Leininger T., Nicklass A., Stoll H. et. al. The accuracy of the pseudopotential approximation. A comparison of various core sizes for indium pseudopotentials in calculations for spectroscopic constants of InH, InF, and InCl // J. Chem. Phys., 1996. Vol. 80, No 105.

P. 1052–1059.

4. Wadt W. R., Hay P. J. Ab initio eective core potentials for molecular calculations. Potentials for the transition metal atoms Sc to Hg // J. Chem. Phys., 1985. Vol. 82, No 270. P. 883–897.

Викулина Ю. И., Греков М. А., Костырко С. А.

Санкт-Петербургский государственный университет Напряженно-деформированное состояние упругого тела со слабо искривленной поверхностью при учете поверхностного напряжения1

1. Введение. Физико-механические свойства приповерхностных слоев реальных тел существенно отличаются от аналогичных свойств в глубине тела [1], однако на макроуровне это практически не отражается на свойствах и поведении всего тела в целом. Вместе с тем, в случае наноразмерных структур это различие проявляется, в частности, в заметном влиянии поверхностных напряжений на физические свойства материала. Кроме того, поверхностные напряжения являются причиной размерных эффектов, т. е. зависимости характеристик материала от параметра размерности длины.

Как правило, влияние поверхностного напряжения на состояние идеально упругого тела не учитывается на макроуровне, так как оно практически незначительно в сравнении с влиянием других нагрузок. Моделью, учитывающей свойства поверхности в нанообъектах, служит теория упругости с поверхностными напряжениями, получившая бурное развитие в последние годы [2, 3]. Цель данной работы исследовать эффект воздействия поверхностного напряжения на напряженное состояние слабо искривленной границы.

2. Постановка задачи. Рассмотрим упругую среду, занимающую полупространство, поверхность которого близка к плоской форме и обладает упругими свойствами, отличными от аналогичных свойств объема. Предполагаем, что среда находится в условиях плоской деформации под действием внешних сил и дополнительРаботавыполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 11-01-00230, и СПбГУ, НИР № 9.37.129.2011 ных поверхностных напряжений. Таким образом, приходим к формулировке краевой задачи о деформации полуограниченной области = {z : Im z f (x1 ), Re z R1 } с границей = {z : z = = x1 + if (x1 )} в плоскости комплексного переменного z = x1 + ix3.

Здесь f (x1 ) непрерывно дифференцируемая периодическая функция с периодом, удовлетворяющая условиям max |f (x1 )| =, |f (x1 )| 1/, 0 1. Таким образом, максимальное отклонение точек поверхности от плоскости x3 = 0 равно.

Согласно обобщенному закону Лапласа Юнга [2], граничное условие в случае плоской деформации [4] имеет вид

–  –  –

где 0 остаточное поверхностное напряжение, действующее при отсутствии деформаций; s, µs модули поверхностной упругости, аналогичные постоянным Ламе, µ; ij компонента объемной деs формации; поверхностная деформация в плоскости x1, x3.

Соотношения (1)–(6) замыкаются условием совместности деформаций поверхности и основного материала

–  –  –

которое следует из условия непрерывности смещений на границе контакта.

3. Метод возмущений. Для решения поставленной задачи воспользуемся равенством [6]

–  –  –

Перейдем в (8) к пределу при z, направив ось t по касательной к (т. е. tg = f (x1 ) в точке ). Тогда, используя (9)–(12) и разложение функции exp(2i) по, приходим в n-ом приближении (n = 0, 1,...) к краевой задаче Римана Гильберта

–  –  –

где D = (s + 2µs 0 )/(2µ), функция G0 зависит от нагрузки p (G0 = 0 при p = 0), а Gn при n 0 выражаются через все предыдущие приближения.

Заметим, что уравнение (15) получено без использования свойства периодичности функций f (x1 ), p(x1 ), т. е. оно справедливо для любой формы поверхности и любой нагрузки. В случае непериодической нагрузки функция p должна исчезать на бесконечности и ее производные должны удовлетворять условию Гёльдера на.

–  –  –

= 3 4.

На рис. 1, 2 приведены результаты решения задачи, полученные в первом приближении по приведенным выше формулам. Были взяты следующие значения постоянных, содержащихся в выражении (19) и характерных для алюминия: = 0, 3; 1 = 1 МПа; D = 0,1 нм;

0 = 0. Графики на рис. 2 построены при = 1 нм. Из приведенных зависимостей следует, что учет поверхностного напряжения существенно уменьшает концентрацию напряжений на границе (рис. 2).

Кроме того, наблюдается масштабный эффект, который проявляется в зависимости напряжений от длины периода рельефа поверхности в диапазоне от 1 до 100 нм (рис. 1).

Литература

1. Подстригач Я. С., Повстенко Ю. З. Введение в механику поверхностных явлений в деформируемых твердых телах. Киев: Наукова думка, 1985. 200 с.

2. Gurtin M. E., Murdoch A. I. A continuum theory of elastic material surfaces // Arch. Ration. Mech. and Anal., 1975. Vol. 57, № 4.

P. 291–323.

3. Альтенбах Х., Еремеев В. А., Морозов Н. Ф. Об уравнениях линейной теории оболочек при учете поверхностных напряжений // Изв. РАН. Сер.: Механика тв. тела, 2010. № 3. С. 30–44.

4. Греков М. А, Костырко С. А. Потеря устойчивости плоской формы пленочного покрытия при поверхностной диффузии // Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007. Вып. 1. С. 46–54.

5. Duan H. L., Wang J., Karihaloo B. L. Theory of elasticity at the nanoscale // Advances in Applied Mechanics, 2009. № 42. P. 1–68.

6. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН.

Сер.: Механика тв. тела, 2004. № 6. С. 53–61.

7. Викулина Ю. И., Греков М. А., Костырко С. А. Модель пленочного покрытия со слабо искривленной поверхностью // Изв.

РАН. Сер.: Механика тв. тела, 2010. № 6. С. 16–28.

8. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

Гаёва Е. С., Кривовичев Г. В.

Санкт-Петербургский государственный университет Сравнение разностных схем решения задач для системы решеточных кинетических уравнений

1. Введение. В настоящее время одним из актуальных направлений в вычислительной гидродинамике является разработка так называемых кинетических вычислительных схем [1, 2]. Данные схемы отличаются от других тем, что они основаны на дискретизации кинетических уравнений, а не уравнений механики сплошной среды.

Известно [1], что при стремлении к нулю числа Кнудсена из кинетических уравнений с использованием метода Энскога Чепмена может быть получена система уравнений газовой динамики, что и учитывается при практическом использовании кинетических схем.

В настоящей статье проведено сравнение эффективности предложенной авторами модифицированной разностной схемы типа Лакса с известными из литературы схемами при решении двух известных задач: задачи о течении в каверне и задачи Куэтта.

–  –  –

Аналогично заменяются и значения равновесных функций распределения. Производная по t аппроксимируется правой разностной производной, а производные по пространственным переменным аппроксимируются центральными разностными производными. Авторами доказано, что получающаяся разностная схема аппроксимирует (2) с первым порядком по t и со вторым по пространственным переменным. Эта разностная схема является модифицированным вариантом хорошо известной в вычислительной гидродинамике схемы типа Лакса (см. [7]).

4. Сравнение разностных схем. Сравнение эффективности разностных схем проводилось при решении двух известных задач гидродинамики. Цель заключалась в нахождении для каждой из них для различных пространственных сеток и чисел Рейнольдса Re t максимально возможного значения параметра =, при котором h разностные схемы будут устойчивы. Для задачи о течении в каверне было проведено сравнение решений, полученных по рассмотренным схемам, с решением аналогичной задачи для системы уравнений гидродинамики в переменных завихренность функция тока. Для сравнения использовались среднеквадратичные отклонения значений полученных решений в узлах сетки, лежащих на прямых, соответствующих фиксированным значениям x (для сравнения значений

ux ) и y (для сравнения значений uy ):

N ux (T, x, yi ) Vx (T, x, yi ) Ix =, N i=1

–  –  –

4.2. Задача Куэтта. Задача состоит в расчете течения в прямоугольной области, у которой нижняя граница неподвижна, верхняя движется с постоянной скоростью, а на боковых границах скорость меняется линейно.

Таблица 3. Сравнение величины для сетки 200 200 Модиф.

Схема № 1 Схема № 2 Схема № 3 Лакс Re = 1 0,4 0,04 0,4 0,229 Re = 30 0,4 0,04 0,267 0,2 Re = 100 0,32 0,04 0,229 0,107 Re = 400 0,178 0,036 0,146 0,087 Как и в первой задаче, сравнение величин (таблица 3) показывает, что наиболее эффективна модифицированная схема типа Лакса, так как именно у данной схемы значения превышают остальные.

5. Заключение. Рассмотрены четыре разностные схемы решения задач для системы решеточных кинетических уравнений, в том числе, модифицированная схема типа Лакса, предложенная авторами работы. В результате численных расчетов показано, что значение для предложенной схемы типа Лакса больше, чем для других разностных схем. Помимо этого, при решении задач выяснилось, что величина среднеквадратичного отклонения для данной схемы минимальная.

Литература

1. Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные схемы в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1999. 232 с.

2. Wolf-Gladrow D. A. Lattice-gas cellular automata and lattice Boltzmann models an introduction. Berlin: Springer, 2005. 311 p.

3. Кривовичев Г. В. О применении интегро-интерполяционного метода к построению одношаговых решеточных кинетических схем Больцмана // Вычислительные методы и программирование,

2012. Т. 13. C. 19–27.

4. Mei R., Shyy W. On the nite dierence-based lattice Botzmann method in curvilinear coordinates // Journal of Computational Physics, 1998. No 143. P. 426–448.

5. Seta T., Takahashi R. Numerical stability analysis of FDLBM // Journal of Statistical Physics, 2002. Vol. 7, No 1/2. P. 557–572.

6. Sofonea V., Sekerka R. F. Viscosity of nite dierence lattice Boltzmann models // Journal of Computational Physics, 2003.

No 184. P. 422–434.

7. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 618 c.

8. Zou Q., He X. On pressure and velocity boundary conditions for the lattice Botzmann BGK model // Physics of Fluids, 1997. No 9.

P. 1591–1598.

Громов А. О.

Санкт-Петербургский государственный университет Штеккелевские изотермические модели галактик Рекомендовано к публикации доцентом Осипковым Л. П.

–  –  –

Рис. 3. Распределение плотности на оси симметрии (R = 0) На рис. 3 можно видеть возрастание функции плотности в окрестности точки z0, что свидетельствует о наличии плотной оболочки у рассматриваемой модели.

Рис. 4. Распределение плотности в экваториальной плоскости (z = 0) Кузминым Г. Г. было получено, что функция плотности должна монотонно убывать в экваториальной плоскости [1]. Это наблюдается на рис. 4.

Таким образом, в статье предложена модель несферической звездной системы с квазиизотермическим потенциалом. Построены графики распределения плотности в экваториальной плоскости и на оси симметрии, а также эквиденситы, дающие представление о некоторых свойствах данной модели. В силу того, что для такого потенциала существует третий квадратичный по скоростям интеграл движения, можно полагать, что построенная модель имеет сходство с реальными галактиками.

Литература

1. Кузмин Г. Г. Третий интеграл движения звезд и динамика стационарной Галактики // Публикации Тартуской обсерватории, 1952.

С. 332–368.

2. Кузмин Г. Г., Велтманн Ю.-И. К., Теньес П. Л. Квазиизотермические модели сферических звездных систем // Публикации Тартуской обсерватории, 1986. С. 232–242.

3. Кузмин Г. Г. Модель стационарной Галактики, допускающая трехосное распределение скоростей // Астрономический журнал,

1956. С. 27–45.

Елаев Е. В.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

где первое слагаемое характеризует отклонение энергии от среднего ее значения на выходе из ускорителя, второе фазы. Отметим, что ML,u сечение пучка траекторий, соответствующих управлению u = (, µ),, средние энергия и фаза.

Известны номинальные значения параметров µ0 = (µ01,..., µ0m ).

Требуется теоретически по заданному 0 определить допуски i 0, где i = 1, m, такие что

–  –  –

где, средние энергия и фаза пучка.

4. Статистическая проверка. По итогам расчетов были получены результаты и найдены допуски на каждый i-ый параметр ускоряющей структуры, в пределах которых структура должна обеспечивать требуемые характеристики пучков заряженных частиц и отклонение функционала, не превышающее заранее заданной величине. Проведем статистическую проверку и оценим, как будет себя вести ускоряющая структура в пределах поля допусков.

Пусть µi, i = 1, m, случайная величина, распределенная по нормальному закону с квадратичным отклонением i и математическим ожиданием M [µi ] = µi0, i = 1, m. Не будем учитывать взаимную корреляцию случайных величин µ1,..., µm. Напомним, что µi0, i = 1, m, являются номинальными, расчетными параметрами системы. По правилу трех сигм, с вероятностью 0, 997 нормально распределенная случайная величина принимает значения из интервала [µi0 3, µi0 + 3]. Необходимо, чтобы все возможные значения параметра µi, т. е. его возможные отклонения, находились в пределах поля допусков, что должно обеспечить нормальное функционирование системы. Отсюда следует, что границы поля допусков должны быть равны трем сигма, т. е. i = 3i и соответственно i = 3i. Для каждой случайной величины смоделируем ее нормальное распределение с математическим ожиданием M [µi ] = µi0 и квадратичным отклонением i = 3i. В результате получаем, что все возможные значения каждого i-го параметра будут находиться в пределах поля допусков [ i ; i ].

Статистическое моделирование реализуем следующим образом:

• генерируем значения случайных величин µ1,..., µm ;

• моделируем динамику продольного движения пучка заряженных частиц с новыми значениями управляющих параметров µi,..., µm и находим соответствующее этой динамике значение функционала качества I, который также полагаем случайной величиной;

• после реализации N таких опытов получаем выборку (I1,... IN ) значений для функционала и находим квадратичное отклонение [3] N (IM Ij )2, I = (10) N i=1 где IM математическое ожидание.

В случае, если найденное таким образом квадратичное отклонение I меньше изначально заданного отклонения функционала, то допуски можно увеличить и, как следствие, расширить поле допусков, пока I и не будут сопоставимы; если же I, то наоборот, уменьшить.

5. Результаты. На основе принципа равных влияний был проведен расчет допусков и осуществлена их статистическая проверка. Рассмотрен случай, когда обе части функционала (2) имеют равное влияние на результат. Для этого при весовых коэффициентах b = 1, a = 2, 929 · 106, были найдены допуски, при которых значение функционала не должно превышать 5%, что равносильно I 1, 110 · 108.

Статистическая проверка полученных результатов показала, что квадратичное отклонение функционала I = 2, 8838 · 1010, это составляет примерно 0,129%, что существенно меньше, чем 5%. Таким образом, можно расширить поле допусков. При увеличении допусков в 5,9 раз получены следующие результаты I = 7, 9668·109, что составляет примерно 3,6% (см. рис. 1).

4 0.014 3.5 0.012

–  –  –

0.006 1.5 0.004 0.002 0.5

–  –  –

В случае с весовыми коэффициентами a = 1, b = 0 аналогично были найдены допуски при условии, что отклонение функционаСтатистичела не будет превышать 5%, т. е. I ская проверка показала, что квадратичное отклонение функционала I = 1, 383 · 1016 0, 36%. Полученное отклонение функционала значительно меньше заданного, что позволяет увеличить поле допусков. При увеличении допусков в 1,5 раз получено I = 1, 666·1015 4, 4%.

Рассмотрен также случай с весовыми коэффициентами b = 1, a =

0. Найдены допуски, при которых значение функционала должно измениться не более, чем на 5%. Таким образом, I 5, 554 · 109.

Статистическая проверка показала, что квадратичное отклонение функционала I = 1, 041 · 109 0, 93%, это существенно меньше заданного I, что позволяет увеличить поле допусков. При увеличении допусков в 5 раз получены следующие результаты I = 5, 506 · 109 4, 96%.

На основе принципа равных допусков, был произведен расчет допусков и произведена их статистическая проверка. Отклонения функционалов качества задавались аналогичным образом, как и в рассмотренных выше примерах, т. е. I не должен превышать 5%.

В случае, когда обе части функционала (2) имеют равное влияние на результат, т. е. при весовых коэффициентах b = 1, a = 2.929 · 106, были получены допуски, равные = 0, 00019002 см. Статистическая проверка полученных результатов показала, что квадратичное отклонение функционала I = 6, 780·1011, это составляет примерно 0,03%, что значительно меньше 5%. Таким образом, можно расширить поле допусков. При увеличении допусков в 19 раз получены уже следующие результаты I = 6, 733 · 109, что составляет примерно 2,39%, а сам допуск стал равным = 0, 00361039 см.

В случае с весовыми коэффициентами b = 1, a = 0 были получены следующие значения = 0, 00012022 см. Статистическая проверка показала, что при таких допусках квадратичное отклонение функционала составило I = 3, 766 · 1011 0, 03%, что позволяет увеличить поле допусков. При увеличении допусков в 20 раз получены уже следующие результаты I = 1, 5827 · 109 1, 4%, а сами допуски стали равны = 0, 002404 см.

Рассмотрен также случай с весовыми коэффициентами a = 1, b = 0. Были получены допуски = 0, 000367 см. При этом статистическая проверка показала, что квадратичное отклонение функционала I = 1, 056 · 1017 0, 027%. Полученное отклонение функционала значительно меньше заданного, что позволяет увеличить поле допусков. При увеличении допусков в 9 раз получено I = 7, 637 · 1016 2, 07%, а сами допуски = 0, 003307 см.

6. Заключение. В статье была исследована методика определения допусков, проведена статистическая проверка допусков на примере продольного движения заряженных частиц в ускорителе с трубками дрейфа.

–  –  –

1. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками.

Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. 228 с.

2. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем управления. М.: 1986. 463 c.

3. Гурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.

М.: Высшая школа, 2003. 479 с.

Климаков А. А., Виноградова Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

Введение. Явление полевой электронной эмиссии может использоваться для создания широкого круга приборов и устройств. В первую очередь, это источники электронов, применяемые в электронных микроскопах, плоских дисплеях на основе полевой эмиссии, системах диагностики поверхности, высокочастотных радиопередающих системах, приборах микро- и нано-электроники [1].

На развитие концепции эмиссии электронов сильно влияет развитие фундаментальных и прикладных наук: математического моделирования, физики поверхности, ускорителей, нано-электроники и т. д.

Как известно, источники электронов на основе полевой электронной эмиссии по своим основным характеристикам превосходят широко применяемые на практике источники на основе термоэлектронной эмиссии [2].

Более узкий энергетический спектр полевых электронов, малые размеры эмитирующей области, безынерционность, компактность, экономичность (отсутствие расхода энергии на принудительный нагрев) основные отличия полевых катодов от наиболее широко применяющихся сегодня термокатодов заключаются в следующем. Некоторые из вышеперечисленных характеристик не являются свойством полевой эмиссии как физического феномена, а обусловлены техническими приемами, применяемыми для создания условий, необходимых для ее возникновения. А именно, необходимые значения напряженности поля в большинстве практических случаев возможно получить, лишь придав эмиттеру форму острия [3].

При проектировании различных устройств возникает необходимость расчета электростатического поля проводников различной конфигурации. В данной работе рассматривается электростатическая задача для электронной пушки на основе полевого острия [4].

Физическая модель. Необходимо найти распределение потенциала в диодной системе (рис. 1) с осевой симметрией в ограниченной области (a = const). Острие диодной системы заданно полуэллипсоидом. В силу осевой симметрии были введены цилиндрические координаты (r, z).

z Z1

–  –  –

Воспользовавшись полученными формулами, можно найти распределение потенциала в диодной системе (рис. 1) в неограниченной области.

Результаты численного эксперимента.

В качестве примера рассмотрим физическую модель электронной пушки со следующими параметрами:

–  –  –

Интегралы для нахождения коэффициентов bn, cm, dm для функции u2 вычислялись с помощью метода Симпсона. Распределение электростатического потенциала найдено во всей области исследуемой диодной системы. На рис. 2 представлены картины эквипотенциалей вблизи острия.

55,25 51,48 62,80 47,70

–  –  –

Рис. 2. Распределение потенциала в ограниченной области (a = 102 мкм) вблизи острия. Параметры системы: a = 100 мкм, z1 = 1500 мкм, U0 = 0, U1 = 100, R1 = 0,15 мкм, L = 1120 мкм Заключение. Найдено распределение потенциала в диодной системе (рис. 1) с осевой симметрией в ограниченной области. Задача решена с помощью метода разделения переменных. Распределение потенциала найдено в аналитическом виде. Произведено численное моделирование результатов исследования.

Литература

1. Ильин В. П. Алгоpитмы и методы pасчета электpонно-оптических систем. Новосибиpск: ИТМ, 1983. 215 с.

2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2003. 310 с.

3. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 285 с.

4. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 165 с.

5. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical model of electron gun on the eld emission electron basis // Vacuum, 2000. № 57.

P. 267–281.

6. Шушкевич Г. Ч. Электростатическое поле тонкой незамкнутой сферической оболочки и тора // Журнал технической физики,

1998. Т. 68, № 7. С. 177–179.

Кривошеев А. Г., Касикова П. В.

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики Решение нелинейных динамических уравнений методом многочленных преобразований1 Введение. Рассмотрим одномерную нелинейную механическую систему (МС), находящуюся под действием внешних периодических сил.

Допустим, что ее движение описывается следующим дифференциальным уравнением:

–  –  –

где = A1 PA матрица, приведенная преобразованием подобия с использованием матрицы A к жордановой канонической форме.

Конкретный вид матрицы зависит от условия выполнения резонансного соотношения | 0 |.

Далее изложены аналитические алгоритмы вычисления матрицы A в нерезонансном и резонансном случаях.

Нерезонансный случай. При отсутствии резонанса, т. e.

при выполнении условия | 0 | характеристическое уравнение матрицы P имеет четыре попарно комплексно сопряженных корня:

1, 1 = ± i1, где 1 = 2 2 и 0, 0 = ±i0. Этим корням соответствуют четыре линейно независимых попарно комплексно сопряженных собственных вектора. После нормировки этих векторов из них по столбцам формируется матрица линейного преобразования

–  –  –

Этому решению соответствует решение x(t) = Ay(t) дифференциальной системы (3), из которого получается решение линеаризованного уравнения (1) в следующем известном виде [3]:

–  –  –

описывает затухающие ( 0) свободные колебания МС с частотой 1, возникающие вследствие ее начального возмущения с параметрами q0, q0 ; функция

–  –  –

описывает вынужденные колебания МС с частотой возмущающих сил 0, которые происходят с постоянной во времени амплитудой a = a1 2 + a2 2 = h1 2 + h2 2 /|d| и представляют собой установившийся режим колебания МС.

Приведем формулу для вычисления определителя матрицы A:

–  –  –

Резонансный случай. При частотах, 0, близких к резонансным (| 0 | ), собственные векторы матрицы (6) становятся близкими к линейно зависимым, и ее определитель согласно формуле (8) становится малой величиной det A, а det A1 1/. В этих случаях линейное преобразование дифференциальной системы (3) с подобной матрицей A является недопустимым. Поэтому в резонансных случаях необходимо использовать другие матрицы линейного преобразования.

Рассмотрим случай строгого резонанса ( = 0, = 0 ). В этом случае матрица 0 0 h1 h2 /0 Pr = 0 имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел 0, 0 = = ±i0 кратности два. Каждому из них отвечают собственные векторы v, v = (1, ±i0, 0, 0)T соответственно. Чтобы привести матрицу Pr преобразованием подобия к канонической форме, требуется найти присоединенные векторы. Собственному вектору v соответствует вектор w = (1, 1 + 0, 20 /h, 20 /h)T, удовлетворяющий алгебраи

–  –  –

1. Мельников Г. И. Динамика нелинейных механических и электромеханических систем. Л.: Машиностроение, 1975. 200 c.

2. Кривошеев А. Г., Мельников Г. И. Вынужденные колебания механических систем с нелинейными характеристиками полиномиального вида // Прикладная механика, 1990. Т. 26, № 1. С. 108–113.

3. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. Том

2. Изд. 6-е, перераб. и доп. М.: Наука, 1983. 640 c.

4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004. 559 c.

5. Кривошеев А. Г. Вынужденные колебания нелинейной системы при резонансах высших порядков // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, 2005. № 2(19). С. 12–15.

6. Кривошеев А. Г. Критерий устойчивости резонансных колебаний нелинейной механической системы // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО, 2006. № 8(31). С. 18–21.

Куруч О. С., Виноградова Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

1. Введение. В настоящее время пучки заряженных частиц широко используются во многих областях науки и техники. Полевой электронной эмиссией (ПЭЭ) называется явление испускания электронов в вакуум с поверхности твердого тела или другой среды под действием очень сильного электрического поля напряженностью F = 107 108 В/см. Практически ПЭЭ можно возбудить при гораздо меньших напряжениях, если придать катоду форму тонкого острия с радиусом вершины в десятые или сотые доли микрона. Открытие ПЭЭ привело к появлению совершенно новой области микро- и наноэлектроники, так называемой вакуумной нано- и микроэлектроники.

Целью данной работы является построение математической модели полевой эмиссионной системы, в которой значение радиуса кривизны на вершине острия является заданной величиной. Одной из часто встречающихся форм остриёв, описанных в литературе, является сфера на конусе [1–3].

В работе рассматривается математическая модель системы формирования пучков электронов, представляющая собой диодную систему (с диэлектриками): катод специальной формы (сфера на конусе) на сферической подложке анод (часть сферы). Диодные системы можно рассматривать как простейшие электронно-оптические системы при расчете катодных узлов электронных пушек.

В данной работе требуется найти распределение электростатического потенциала во всей области исследуемой эмиссионной системы.

Для решения задачи используется метод парных рядов по функциям Лежандра.

2. Физическая постановка задачи. Данная осесимметричная задача решается в сферической системе координат (r, ).

На рис. 1 представлено схематическое изображение диодной эмиссионной системы с острием в виде сферы на конусе. Поверхность катода, тонкого полевого острия, представляет собой сферу на конусе. Поверхность анода моделируется сферическим сегментом радиуса r = R1, 0 1, поверхность вершины катода моделируется сферой радиуса r = R0, поверхность тела катода моделируется усеченным конусом = 0 (R0 r R1 ). В систему входят два диэлектрика, которые разбивают всю область диодной системы на две подобласти: 1) R0 r R1, 2) r R1.

–  –  –

3. Математическая модель диодной эмиссионной системы с диэлектриками с катодом в виде сферы на конусе. По данной физической модели строится математическая модель, которая заключается в нахождении функции U (r, ), удовлетворяющей

–  –  –

5. Заключение. В данной работе построена математическая модель диодной эмиссионной системы с полевым острием (в виде сфера на конусе ). Распределение электростатического потенциала для диодной системы с диэлектриками (7) ищется в виде разложения по функциям Лежандра. Задача нахождения неизвестных коэффициентов (12) сведена к решению уравнения Фредгольма второго рода (13) с ядром (14) и правой частью (15).

–  –  –

1. Chen P Y, Cheng T C, Tsai J H, Shao Y L. Space charge eects in eld emission nanodevices // Nanotechnology, 2009. Vol. 20.

P. 405202–405210.

2. Egorov N. V., Vinogradova E. M. Mathematical modeling of the electorn beam formatting systems on the basis of eld emission cathodes with vatious shapes // Vacuum, 2004. Vol. 72. P. 103–111.

3. Hazra K. S., Koratkar N. A., Misra D. S. Improved eld emission from multiwall carbon nanotubes with nano-size defects produced by ultra-low energy ion bombardment // Carbon, 2011. Vol. 49.

P. 4760–4766.

4. Виноградова Е. М. Математическое моделирование электроннооптических систем. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2005. 110 с.

5. Гобсон Е. В. Теория сферических и эллипсоидальных функций.

М.: ИЛ, 1952. 476 c.

6. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. Л.: Наука, 1977. 220 c.

7. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. Абрамовица М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 832 с.

Ларионов С. Г., Виноградова Е. М.

Санкт-Петербургский государственный университет

–  –  –

1. Введение. Развитие электронной оптики тесно связано с ее разнообразными практическими применениями. Например, в сфере научных исследований электронная оптика применяется при исследовании микроструктуры материалов, создании изображений высокого разрешения, а также тестировании и снятии параметров различных устройств.

В электронном микроскопе электростатическая линза используется для формирования ускоренного пучка электронов. Даже очень малые изменения электростатического поля линзы могут существенно повлиять на результаты измерений. В частности, необходимо учитывать влияние оседающих зарядов на поверхности крепежных элементов.

2. Нахождение распределения электростатического потенциала для исследуемой области в аналитическом виде без учета заряженных частиц. Решается уравнение Лапласа с ненулевыми граничными условиями.



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 6 |
Похожие работы:

«№ТКО АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ УДК 5 3 9. 1 0 8, 681.3;& ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК И РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ЯДЕР ОТДАЧИ НА БЫСТРЫХ НЕЙТРОНАХ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ СИСТЕМ ВОДОРОД-МАТЕРИАЛ С п е ц и а л ь н о с т ь : 0 1. 0 4. 1 6 физика ядра и элементарных частиц А ВТ ОРЕФЕРАТ д и с с е р т а ц и и н а соискание ученой степени кандидата технических...»

«ИНЖЕНЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ЗДАНИЙ Великой 11обеды Е. В. Стефанов ВЕНТИЛЯЦИЯ И КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА „„, | 5 | W | Го Л У№ АРКТИКА II 02 0 3 05 19 1.5 1" 315 &5 (В. м/с ИНЖЕНЕРНЫЕ СИСТЕМЫ ЗДАНИИ Е. В. Стефанов ВЕНТИЛЯЦИЯ И КОНДИЦИОНИРОВАНИЕ ВОЗДУХА хзчп sVAEl А Р К Т И К А ' **_и_ W W W A R K T I K A. R U ИЗДАТЕЛ...»

«ФЭИ-1542 ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Д. И. ТАМБОВ ЦЕ В, И. Н. Г ОН ИИ, В. И. РОДИОНОВ Рефрижератор растворения Не— Не для экспериментов с ориентированными ядрами Обнинск — 1984 УДК 536.483 Д. И....»

«25.05.2011 ДОЛГОВОЙ РЫНОК Монитор первичных размещений ОАО "ФСК ЕЭС": энергетика Облигации от 25 мая 2011 г. с высокой добавленной стоимостью Завершенные и текущие первичные сделки на рублевом В ВЫПУСКЕ долговом рынке Акрон (-/В1/В+): химия с большими амбициями Объем, Доходность12 @ Выпуск млрд руб. @ срок...»

«Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Уральский государственный университет им. А.М.Горького ФИЗИКА КОСМОСА Программа, тезисы докладов и сообщений 25-й студенческой научн...»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ГЕОЛОГИЯ И ГЕО ФИЗИКА Геология и геофизика, 2011, т. 52, № 2, с. 289—298 ГЕОЛОГИЯ НЕФТИ И ГАЗА УДК 553.98:550.834.05(571.51) ОСОБЕННОСТИ ГЕОЛОГИЧЕСКО...»

«НАУКИ О ЗЕМЛЕ "Загробная" жизнь липидов водорослевой клетки " ЗА Г РО Б НА Я " Ж И З НЬ ЛИ П ИД ОВ ВОД О РОСЛЕ ВО Й КЛЕ Т КИ " ЗА Г РО Б НА Я " Ж И З НЬ ЛИ П ИД ОВ ВОД О РОСЛЕ ВО Й КЛЕ Т КИ Ю.В. Рокосов Юрий Вас...»

«Известия вузов. Математика http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/ Гос. номер статьи по НТЦ Информрегистр 0421200123 \0032 2012, № 3, c. 62–73 А.В. ЧЕРНОВ О МАЖОРАНТНО-МИНОРАНТНОМ ПРИЗНАКЕ ТО...»

«1977 г. Март, Том 121, вып. S УСПЕХИ ФИЗИЧВСКИX HAV К ^СОВЕЩАНИЯ И КОНФЕРЕНЦИИ 53.0(048) НАУЧНАЯ СЕССИЯ ОТДЕЛЕНИЯ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ АКАДЕМИИ НАУК СССР (29—30 сентября 1976 г.) 29 и 30 сентября 1976 года в конференц-зале Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР состоялась научная сессия О...»

«КАМАЛОВА Дина Илевна ИК-СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИЙ МЕТОД КОНФОРМАЦИОННЫХ ЗОНДОВ В ИЗУЧЕНИИ ЛОКАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ ПОЛИМЕРОВ Специальность: 01.04.05 Оптика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Казань – 2006 Работа выполнена на кафедре оптики и нанофотоники Государствен...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор института, академик _Н.С. Бортников "_" _2013 г. ОДОБРЕНО Ученым советом института Протокол № 5 от 27.03. 2013 г. Председатель Ученого совета академик Н.С. Бортников ПОЛОЖЕНИЕ ОБ А...»

«УДК 628.973 К.К. ПРИВАЛИХИНА, студентка (КузГТУ) Е.В. БИЯТТО, студентка (КузГТУ) Науч. руководитель: Т.Л. ДОЛГОПОЛ, доцент кафедры ЭГПП (КузГТУ) г. Кемерово РЕКОНСТРУКЦИЯ ОСВЕТИТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ КРЫТОГО МОДУЛЯ СТАДИОНА МСАУ "ХИМИК" С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОТЕЧЕСТВЕННОГО ОБОРУДОВАНИЯ Спортивные объекты имеют специфические требовани...»

«ЛИСТ БЕЗОПАСНОСТИ Дата выпуска 30-янв-2012 Дата Ревизии 30-янв-2012 Номер редакции 1 готовой спецификации РАЗДЕЛ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ Идентификатор продукта Описание продукта CLAUSEN MEDIUM Соответствующие установленные обл...»

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ФИЗИКА ЗАДАЧИ ПРОФИЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА И ОЛИМПИАД ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ В МГУ – 2012 (с подробными решениями) Москва Физический факультет МГУ УДК 530...»

«Уступчивый SDS для GHSРоссия ПАСПОРТ БЕЗОПАСНОСТИ Oxime Gray RTV Silicone Раздел 1. Идентификация химической продукции и сведения о производителе или поставщике Идентификатор продукта : Oxime Gray RTV Silicone в соответствии с СГС Другие сре...»

«SMOW объединенный ИНСТИТУТ ядерных исследовании дубна 13-87-818 А.М.Артыков*, В.В.Глаголев, В.Глинка, Э.Кладива, Б.Ситар ПАРАМЕТРЫ ДИЭЛЕКТРИКА И ФОРМИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В БЕЗЭЛЕКТРОДНЫХ ДРЕЙФОВЫХ КАМЕРАХ Направлено в журнал Приборы...»

«ЛИСТ БЕЗОПАСНОСТИ Дата выпуска 12-дек-1997 Дата Ревизии 05-дек-2011 Номер редакции 5 готовой спецификации РАЗДЕЛ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ Идентификатор продукта Описание продукта Soap powder Cat No. S/1450/5...»

«Математика в высшем образовании 2008 №6 СОДЕРЖАНИЕ И ТЕХНОЛОГИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВУЗЕ УДК 512.64 В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ: МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛ...»

«0503067 ПЛАСТИНЧАТЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ ХИМИЧЕСКАЯ ПРОМЫШЛЕННОСТЬ гибкое использование, многоцелевое применение Требования современной химии В последние годы нефтехимия и нефтепереработка претерпели значител...»

«Левит Галина Львовна АМИНОКИСЛОТЫ В РЕГИОИ СТЕРЕОНАПРАВЛЕННОМ СИНТЕЗЕ ФИЗИОЛОГИЧЕСКИ АКТИВНЫХ СОЕДИНЕНИЙ 02.00.03 Органическая химия Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора химических наук Екатеринбург – 2009 Р...»

«Math-Net.Ru Общероссийский математический портал В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Л. С. Понтрягин, Теория оптимальных процессов. I. Принцип максимума, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1960, том 24, выпуск 1, 3–42 Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с п...»

«RU0010114 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ В ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ 96-7 ОУНК С В. Иванов, А.Ю. Маловицкий СИСТЕМА ПРОДОЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО ПУЧКУ В УНК Протвино 1996 УДК 621.384...»

«ОГЛАВЛЕНИЕ Введение............................................. 5 Глава 1 Методология системного анализа и исследование операций................................ 7 1.1. Системный анализ, система, оптимизация........»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.