WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«УДК 57.087 Л.В. Уткин, И.Л. Уткина БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ПОЛНОГЕНОМНОГО ПОИСКА АССОЦИАЦИЙ ПО СХЕМЕ СЛУЧАЙ–КОНТРОЛЬ Введение. Цель ...»

5. ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ

УДК 57.087

Л.В. Уткин, И.Л. Уткина

БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ПОЛНОГЕНОМНОГО ПОИСКА

АССОЦИАЦИЙ ПО СХЕМЕ СЛУЧАЙ–КОНТРОЛЬ

Введение. Цель полногеномного поиска ассоциаций (a genome-wide

association study – GWAS) заключается в поиске связи или ассоциации между значениями фенотипа и генотипом. Полногеномный поиск ассоциаций можно рассматривать как один из методов для решения известной задачи отбора признаков, где признаками являются однонуклеотидные полиморфизмы (single nucleotide polymorphisms – SNP) или молекулярные маркеры.

SNP обычно используются как маркеры и определяются как вариации последовательностей ДНК, в которой отдельные нуклеотиды (А, Т, Г, Ц) в геномной последовательности различаются среди объектов биологических видов. Необходимо отметить, что большинство SNP не влияют на значения фенотипа или их влияние крайне несущественно. Однако есть SNP, которые могут быть исключительно важны при установлении связи между SNP и фенотипами. Поэтому можно иначе сформулировать основную цель GWAS как идентификацию или отбор наиболее значимых SNPs, благодаря которым одна группа объектов отличается от другой.

Отметим некоторые сложности решения задачи GWAS [Goddard и др., 2009; Zhang и др., 2012]. Во-первых, число SNP р обычно очень большое.



Оно в десятки и сотни раз больше, чем число объектов n в популяции. Вовторых, SNP могут быть ассоциированы с фенотипом неизвестным образом, например, отдельные SNP только при взаимодействии друг с другом оказывают значительное влияние на значения фенотипа, что называется эффектом эпистаза [Goddard и др., 2009]. Кроме того, генетические механизмы могут включать достаточно сложные взаимодействия между генами и условиями окружающей среды, которые не могут быть описаны обычными аддитивИзвестия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2015. Вып. 213 ными моделями. В-третьих, несмотря на высокий технологический уровень современных методов генотипирования, часть данных может быть потеряна, что также затрудняет решение задачи GWAS.

Огромное число статистических моделей и методов для решения задачи отбора SNP-маркеров было предложено в последние десятилетия. Часть методов можно отнести к методам фильтрации [Altidor и др., 2011], которые используют статистические свойства SNP-маркеров для отбрасывания наименее информативных маркеров. К ним относятся известные методы, основанные на использовании критерия Стьюдента, критерия Фишера, дисперсионного анализа и т.д. Методы фильтрации в GWAS исследуют, насколько значения генотипа каждого SNP-маркера и соответствующие им значения фенотипа образуют различные распределения вероятностей, т. е.

насколько различные значения генотипа разделяют значения фенотипа.

Другая часть методов называется методами упаковки [Kohavi and John, 1997]. Они обеспечивают более точное решение по сравнению с методами фильтрации, но одновременно являются более сложными с вычислительной точки зрения. Третья группа методов – упаковочные методы. К ним относятся методы для построения регрессионных моделей, включая известный метод Лассо [Hastie и др., 2009], который является наиболее популярным и эффективным методом в задачах отбора SNP-маркеров.





Основная часть методов GWAS для идентификации наиболее значимых SNP анализирует каждый SNP в отдельности. Однако, как уже было отмечено, важной задачей является анализ эпистатического эффекта или взаимодействия SNP. Существуют различные интерпретации такого взаимодействия и определения эпистаза. Со статистической точки зрения, эпистаз можно рассматривать как значительное изменение значений фенотипа вследствие совместного действия двух и более локусов на фенотип. Совокупность методов GWAS, учитывающих эпистаз, например, FastANOVA, FastChi, COE, TEAM, представлена в обзорной работе [Zhang и др., 2012].

В представленной работе предлагается простой и быстрый с вычислительной точки зрения алгоритм GWAS. Он основан на интуитивном предположении, что изменения аллелей, соответствующих значимым SNP в парах объектов приводят к изменению значения фенотипа этих объектов. Основное преимущество предлагаемого алгоритма заключается в том, что он слабо зависит от числа SNP в матрице генотипов, а зависит в основном от числа объектов n, которое обычно мало по сравнению с числом SNP.

Л.В. Уткин, И.Л. Уткина Предлагаемый алгоритм Начнем с общего определения задачи поиска ассоциаций. Пусть X = [X1, …, Xp] – матрица генотипов для n объектов и p SNP. Со статистической точки зрения SNP можно рассматривать как независимые переменные, т. е., X j ( x1 j,..., xnj )T – переменная, представляющая j-й SNP, j = 1, …, p.

Каждая переменная xij – аллель i-го объекта на локусе j-го SNP. Переменная может принимать значения {0, 1}, где 0 и 1 определяются, исходя из частоты аллелей. Генотип может быть представлен также одним из чисел {0,1,2}.

В частности, для представления гомозиготных аллелей используется обозначения (AA = 0) и (aa = 2), для гетерозиготных – (Aa/aA = 1). Вектор аллелей, соответствующих i-му объекту будет обозначаться x T ( xi1,..., xip ), i i = 1, …, n. В работе выполняется исследование по типу случай-контроль, когда фенотип принимает только два значения 0 и 1, например, болен и здоров. Также обозначим вектор значений фенотипа всех объектов Y ( y1,..., y n )T. Таким образом, цель GWAS заключается в поиске SNP в X, от которых сильно зависит Y. Мы будем называть такие SNP значимыми.

Основная идея, лежащая в основе предлагаемого алгоритма, основана на сравнении генотипов пар объектов и сравнении соответствующих значений фенотипов этих объектов в паре. При этом мы используем следующее интуитивное предположение. Если генотипы двух объектов близки друг к другу, и соответствующие значения фенотипов этих двух объектов различны, то SNP-маркеры, которые соответствуют различным элементам рассматриваемых двух генотипов, могут быть значимыми. Действительно, если два объекта различаются малым числом элементов генотипов, то естественно ожидать, что их фенотипы близки или равны. Однако если соответствующие фенотипы различны, то можно предположить, что это малое число различных элементов генотипов и определяет различие фенотипов.

Конечно, различие фенотипов может быть вызвано шумом или другими случайными факторами. Поэтому нельзя делать заключение только на основе одной пары объектов. Вот почему словосочетание могут быть, использованное выше, означает, что предположение может не выполняться для каких-то пар. Но мы делаем заключение, анализируя все пары объектов.

Неформально предлагаемый алгоритм можно записать следующим образом. Прежде всего, находим все пары (xi, x j ) векторов аллелей и оставляем только те пары, которые имеют различные значения фенотипов. Затем из полученного множества выбираем некоторое заданное количество пар, которые имеют различные значения фенотипов и наименьшее расстояние меИзвестия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2015. Вып. 213 жду векторами аллелей для каждой пары в соответствии с некоторой метрикой расстояния. Следующий шаг – принятие решений, какие SNP делают вклад в различие между векторами аллелей для лучших пар.

Формально алгоритм может быть представлен следующим образом.

1. Выделим все различные пары объектов популяции, в которых первый объект имеет значение фенотипа 1, а второй – 0. Число таких пар равно n0 n1, где n0 и n1 – количество объектов с фенотипами 0 и 1 соответственно. Обозначим соответствующие множества индексов объектов из разных групп J0 и J1, J0 J1 = {1, …, n}.

2. Для каждой пары объектов с индексами i и j вычисляется расстояние (xi, x j ) между векторами аллелей xi и xj, i J1, j J 0. Метрика расстояния зависит от набора значений аллелей. Простейшая метрика – расстояние Хэмминга, которое определяется как число позиций, в которых соответствующие элементы двух векторов одинаковой длины различны. Однако могут использоваться и другие метрики различия, например, расстояние Левенштейна, расстояние Джаро-Винклера и др.

3. Отбираем N наименьших значений расстояний (xi, x j ) из n0 n1 вариантов. Обозначим эти значения как (i, j ) и множество соответствующих N пар индексов (i, j) как J*. Величину N можно рассматривать как настраиваемый параметр алгоритма.

4. Для каждой пары (i, j) из J* определяем подмножество элементов векторов xi и xj, которые отличают эти векторы. В частности, если xij {0,1}, то просто находим вектор z ij xi x j. У вектора zij элемент –1 расположен на k-й позиции, если на этой позиции имеет место переход из xi ( k ) 0 в x j (k ) 1, и элемент 1 расположен на k-й позиции, если на этой позиции имеет место переход из x i ( k ) 1 в x j (k ) 0. В остальных случаях элемент вектора zij равен 0. Другими словами, вектор zij имеет ненулевой элемент на k-ой позиции, если на этой позиции векторы xi и xj имеют разные значения. Формально можно записать 1, если xi (k ) 0, x j (k ) 1, z ij (k ) 1, если xi (k ) 1, x j (k ) 0, 0, если x (k ) x (k ).

i j

–  –  –

0 2; 1 0; 1 2; 2 0; 2 1, пронумерованных как –3; –2; –1; 1; 2; 3, и три перехода 0 0; 1 1; 2 2, обозначенных как 0.

6. Для k-го SNP при условии xij {0,1} используем обратную величину 1/ (i, j ) для вычисления весовой суммы элементов –1; 0; 1 на k-й позиции z(i, j), обозначенной как ak(–1), ak(0), ak(1), т. е. вычисляем 1(z ij (k ) t ) / (i, j ), t 1,0,1.

ak (t ) (i, j )J Здесь 1( z ij ( k ) t ) – индикатор функции, принимающей значение 1, если z ij (k ) t, и 0 – в других случаях. Можно не использовать отношение 1/ (i, j ) в вычислении приведенной выше суммы. В этом случае просто вычисляется количество элементов –1; 0; 1 на k-й позиции вектора zij (i, j ) J. Если xij {0, 1, 2}, то переменная t принимает значения из множества T {3; 2; 1; 0;1; 2; 3} и выражение для ak(t) остается без изменений.

7. Для k-го SNP сравниваем два числа ak(t = 0) и t 0 ak (t ), т. е. сравниваем суммарные веса переходов, которые не отличают векторы xi, xj, с суммарными весами переходов 0 0; 1 1. Если второй элемент больше первого, то k-й SNP является значимым, иначе он не принадлежит искомому подмножеству.

8. Для каждого полученного значимого SNP вычисляем величину S k arg max t {1,1} ak (t ). S k 1 или 1 означает, что аллель, соответствующий k-му SNP и имеющий значение 1 или 0 соответственно, влияет на изменение значения фенотипа в сторону его уменьшения, т. е. с 1 к 0.

–  –  –

Покажем в качестве иллюстрации работу алгоритма посредством условного примера. Имеется n = 4 объекта (n0 = 2 и n1 = 2), матрица генотипов которых для 5 SNP представлена символами {0, 1}. Исходные данные показаны в табл. 1. Пары объектов и переходы из xi(k) в xj(k) показаны в табл. 2. Табл. 2 содержит также расстояния Хэмминга для каждой пары. Из таблицы видно, что минимальные расстояния имеют пары (1,3) и (2,3), которые используются в табл. 3 для принятия решений о значимости SNP. Из таблицы видно, что только SNP с номером 3 имеет наибольший суммарный вес 1 + 1/3. Поэтому этот маркер является наиболее значимым.

–  –  –

го, его сложность практически не зависит от числа SNP p, а зависит в основном от числа объектов n. Необходимо также отметить, что алгоритм не требует использования таких специальных процедур, как, например, Лассо, реализация которых затруднительна, когда число SNP очень большое.

– Предлагаемый алгоритм не зависит от множества значений аллелей.

Более того, алгоритм может быть с небольшими изменениями применен к анализу экспрессии генов в геномах живых организмов на основе данных экспрессионных микрочипов. В этом случае xij R.

– Алгоритм работает с пропущенными данными в матрице генотипов без их предварительного доопределения. Пропущенные данные просто расширяют множество значений xij.

– Эпистатический эффект не требует отдельного анализа. Анализ эпистаза неявно включен в алгоритме. Действительно, не рассматриваются отдельные SNP. Для каждой пары векторов аллелей различие между векторами вычисляется одновременно для всех SNP. Это – важнейшее свойство, которое позволяет значительно упростить вычислительную сложность, необходимую для рассмотрения огромного количества пар или троек SNP.

– Предлагаемый алгоритм может настраиваться при помощи параметра N (число наименьших значений расстояния ).

– Алгоритм достаточно гибкий, т. е. его элементы могут быть заменены.

Например, расстояние Хэмминга может быть заменено другой метрикой.

Недостатки алгоритма и пути их устранения Коррелированные соседние SNP. Многочисленные численные эксперименты с реальными данными показали, что предлагаемый алгоритм отбирает группы соседних коррелированных SNP на одной и той же хромосоме, которые обусловлены неравновесным сцеплением (linkage disequilibrium).

Одним из методов, который позволяет отобрать единственный SNP из группы коррелированных, является метод Лассо или его модификации.

Поэтому естественным путем устранения этого недостатка является на втором этапе использование метода Лассо, исходными данными для которого будут значимые SNP, отобранные на первом этапе.

Более того, целесообразно использовать модификацию Лассо, учитывающую эпистатический эффект (см. для примера работу [Bocianowski, 2014]). Другим способом обработки является применение критериев статистической проверки гипотез о наличии связи между отдельными SNP и фенотипом, например, ANOVA. Использование тестов позволяет ранжировать коррелированные SNP в соответствии с P-значениями, с помощью которых можно Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2015. Вып. 213 проверить нулевую гипотезу о том, что анализируемый SNP-маркер не связан с фенотипом. SNP-маркер с наименьшим P-значением можно считать значимым в ассоциации SNP и фенотипа. Аналогичные методы анализа могут быть использованы и для идентификации взаимодействующих SNP (см. обзор [Zhang и др., 2012]). Таким образом, алгоритм целесообразно использовать в сочетании с методом Лассо или дополнительной проверкой гипотез так, что предлагаемый метод используется на первом этапе для сужения множества SNP, а дополнительные средства – на втором этапе.

Скрытые значимые SNP. Необходимо отметить еще одну проблему, которая наблюдалась в численных экспериментах. Так как число SNP намного больше, чем число объектов, то мы можем наблюдать только малую часть возможных векторов xi. Отсюда следует, что вклад некоторых значимых SNP в паре векторов (xi, xj) может быть скрыт, когда имеются многочисленные переходы в этой паре. В этом случае расстояние между векторами становится большим, и пара не попадает в множество N лучших пар с наименьшими значениями (xi, xj). Одним из путей устранения этого недостатка является комбинация метода баггинга [Breiman, 1996] и метода случайного подпространства признаков [Ho, 1998]. Баггинг основан на случайной выборке с возвращением части объектов популяции, т. е. n* объектов случайно выбираются из популяции, n* n. Значимые SNP определяются после многократного повторения процедуры с использованием схемы голосования. Метод случайного подпространства признаков может рассматриваться как разновидность баггинга. Его отличие заключается в том, что он случайно выбирает не объекты популяции, а p* SNP, p* p. Результаты многократного повторения процедуры комбинируются аналогичным образом. Посредством случайной выборки SNP уменьшается эффект SNP, которые маскируют эффект значимых SNP. Другой путь для поиска скрытых SNP – это направленное сокращение пространства SNP на каждой итерации, аналогично тому, как это показано в работе [Utkin, 2015].

Заключение. Предложенный алгоритм является одним из самых простых алгоритмов GWAS с вычислительной точки зрения. В отличие от многих известных алгоритмов, которые анализируют отдельные SNP, их пары или подмножества, данный алгоритм анализирует вектора аллелей, количество которых обычно незначительно. Эта особенность делает алгоритм независимым от числа SNP, что и обеспечивает его эффективность.

Многочисленные численные эксперименты с реальными данными были проведены для верификации алгоритма. Они показали, что в большинЛ.В. Уткин, И.Л. Уткина стве случаев алгоритм дает решение, сравнимое с решением других алгоритмов, но за существенно более короткое время.

Направлением дальнейших исследований является обобщение и исследование алгоритма для случая, когда значения фенотипа являются произвольными числами, а не только бинарными, как в предложенном в работе варианте. Кроме того, представляет большой интерес адаптация алгоритма к задачам GWAS экспрессии генов в геномах живых организмов на основе данных экспрессионных микрочипов, что является другим направлением исследований и обобщением алгоритма.

Библиографический список Altidor W., Khoshgoftaar T., Hulse J.V., Napolitano A. Ensemble feature ranking methods for data intensive computing applications // Handbook of Data Intensive Computing / Ed. by B. Furht, A. Escalante. New York: Springer, 2011, pp. 349–376.

Bocianowski J. Estimation of epistasis in doubled haploid barley populations considering interactions between all possible marker pairs // Euphytica, 2014, vol. 196, no. 1, рp. 105–115.

Breiman L. Bagging predictors // Machine Learning, 1996, vol. 24, no. 2, рp. 123–140.

Goddard M., Wray N., Verbyla K., Visscher P. Estimating effects and making predictions from genome-wide marker data // Statistical Science, 2009, vol. 24, no. 4, рp. 517–529.

Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. New York: Springer, 2009.

Ho T. The random subspace method for constructing decision forests // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1998, vol. 20, no. 8, pp. 832–844.

Kohavi R., John G. Wrappers for feature subset selection // Artificial Intelligence, 1997, vol. 97, no. 1–2, pp. 273–324.

Utkin L.V. The imprecise Dirichlet model as a basis for a new boosting classification algorithm // Neurocomputing, 2015, vol. 151, рp. 1374–1383.

Zhang X., Huang S., Zhang Z., Wang W. Chapter 10: Mining genome-wide genetic markers // PLoS Computational Biology, 2012, vol. 8, no. 12, рр. e1002828.

Bibliography

Altidor W., Khoshgoftaar T., Hulse J.V., Napolitano A. Ensemble feature ranking methods for data intensive computing applications. Handbook of Data Intensive Computing. Ed. by B. Furht, A. Escalante. New York: Springer, 2011, pp. 349–376.

Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2015. Вып. 213 Bocianowski J. Estimation of epistasis in doubled haploid barley populations considering interactions between all possible marker pairs. Euphytica, 2014, vol. 196, no. 1, рp. 105–115.

Breiman L. Bagging predictors. Machine Learning, 1996, vol. 24, no. 2, рp. 123–140.

Goddard M., Wray N., Verbyla K., Visscher P. Estimating effects and making predictions from genome-wide marker data. Statistical Science, 2009, vol. 24, no. 4, рp. 517–529.

Hastie T., Tibshirani R., Friedman J. The Elements of Statistical Learning. New York: Springer, 2009.

Ho T. The random subspace method for constructing decision forests. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1998, vol. 20, no. 8, pp. 832–844.

Kohavi R., John G. Wrappers for feature subset selection. Artificial Intelligence, 1997, vol. 97, no. 1–2, pp. 273–324.

Utkin L.V. The imprecise Dirichlet model as a basis for a new boosting classification algorithm. Neurocomputing, 2015, vol. 151, рp. 1374–1383.

Zhang X., Huang S., Zhang Z., Wang W. Chapter 10: Mining genome-wide genetic markers. PLoS Computational Biology, 2012, vol. 8, no. 12, рр. e1002828.

Уткин Л.В., Уткина И.Л. Быстрый алгоритм полногеномного поиска ассоциаций по схеме случай-контроль // Известия Санкт-Петербургской лесотехнической академии. 2015. Вып. 213. С. 263–273.

В представленной работе предлагается простой и быстрый, с вычислительной точки зрения, алгоритм полногеномного поиска ассоциаций. Он основан на интуитивном предположении, что изменения аллелей, соответствующих значимым однонуклеотидным полиморфизмам в парах объектов приводит к изменению значения фенотипа этих объектов. Основное преимущество предлагаемого алгоритма заключается в том, что он слабо зависит от числа однонуклеотидных полиморфизмов в матрице генотипов, а зависит в основном от числа объектов, которое обычно мало по сравнению с числом полиморфизмов.

К л ю ч е в ы е с л о в а : полногеномный поиск ассоциаций, однонуклеотидный полиморфизм, эпистаз, Лассо, расстояние Хэмминга, фенотип, генотип, баггинг.

Utkin L.V., Utkina I.L. A fast algorithm of a case-control genome-wide association study. Izvestia Sankt-Peterburgskoj Lesotehniceskoj Akademii, 2015, is.

213, pp. 263–273 (in Russian with English summary).

A fast and computationally simple algorithm of genome-wide association study is proposed. It is based on an intuitive assumption that the changes of alleles, corresponding to important single nucleotide polymorphisms, in pairs of individuals, Л.В. Уткин, И.Л. Уткина lead to changing the phenotype values of these individuals. A main advantage of the proposed algorithm is that it weakly depends on the number of single nucleotide polymorphisms in the genotype matrix, but depends mainly on the number of individuals whose number is usually small in comparison with the number of polymorphisms.

K e y w o r d s : genome-wide association study, single nucleotide polymorphisms, epistasis, Lasso, Hamming distance, phenotype, genotype, bagging.

УТКИН Лев Владимирович – заведующий кафедрой управления, автоматизации и системного анализа Санкт-Петербургского государственного лесотехнического университета, доктор технических наук, профессор. SPIN-код: 6420-0722.

194021, Институтский пер., д. 5, Санкт-Петербург, Россия.

E-mail: lev.utkin@gmail.com UTKIN Lev V. – Prof., D.Sc., Head of the Department of Control, Automation and System Analysis, St. Petersburg State Forest University. SPIN-code: 6420-0722.

194021. Institute per. 5. St. Petersburg. Russia. Е-mail: lev.utkin@gmail.com УТКИНА Ирина Львовна – студент Института физики, нанотехнологий и телекоммуникаций Санкт-Петербургского политехнического университета имени Петра Великого.

195251, Политехническая ул., д. 29, Санкт-Петербург, Россия.

E-mail: ira.l.utkina@gmail.com UTKINA Irina L. – student of the Institute of Physics, Nanotechnology and Telecommunications, Peter the Great St.Petersburg Polytechnic University.

195251. Polytechnicheskaya, 29. St. Petersburg. Russia.

Е-mail: ira.l.utkina@gmail.com



Похожие работы:

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ ТЕРМОБАРОГЕОХИМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НОВОСИБИРСК-1981 УДК 552. I :548...»

«ДОГОВОР № 2-12/2016 г. Черноголовка "" 2016 г. государственное бюджетное учреждение науки институт теоретической физики им. Федеральное Л.Д. Ландау Российской академии наук (ИТФ им. Л.Д. Ландау РАН), именуемый в дальнейшем "Заказчик", в лице Директора Лебедева Владимира Валентиновича, действующего(ей) на основании У...»

«Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ" Кафедра №7 экспериментальной ядерной физики и космофизики А.И. Болоздыня Экспериментальная ядерная физика Лекция №28 Стандартная модель Лекция №28 Стандартная модель Законы сохранения 1. Ква...»

«Аннотация к рабочим программам УМК "Начальная школа XXI века" МАТЕМАТИКА Место программы в учебном плане В 1-4 классах на изучение предмета отводится по 4 часа в неделю. Общее количество учебных часов – 540 часов. УМК: "Математика...»

«НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК КРЫМА, 3(3) 2016 УДК 681.3: 330.131 Акинина Людмила Николаевна, старший преподаватель КФУ имени В.И. Вернадского e-mail: akininal18@mail.ru Попов Виталий Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент КФУ имени В.И. Вернадского e-mail: pvb55@mail.ru Перехрест Роман Дмитриевич, магис...»

«Межрегиональная предметная олимпиада КФУ по предмету "Физика" Очный тур 2015-2016 учебный год 9 класс Задача 1. (20 баллов) Длинную тонкостенную трубку радиусом 0,5 см, закрытую снизу однородной круглой пластмассовой пластиной, аккуратно, придерживая пластину, погружают в во...»

«ХФТИ 91-44 Харьковский физико-техняческий институт МАЭП СССР В,В.Ненов РАСЧЕТЫ КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ИЕРСЬЕ В СТЕЛЛАРАТОРАХ Препринт Харьков-1991 УДК 533.9.07 НЕНОВ В.В. Расчеты критерия устойчивости Нерсье в стеллараторах: Препринт Х М И 91-44. Харько...»

«216 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2012. №11(130). Вып. 27 УДК 539.1.074.6, 539.1.074.3 ГОДОСКОП СЦИНТИЛЛЯЦИОННЫХ СЧЕТЧИКОВ ДЛЯ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА ВЫВЕДЕННОМ ПУЧКЕ НУКЛОТРОНА ОИЯИ А.А. Терехин, В.П. Ладыгин, И.Е. Внуков, С.М. Пиядин,, С.Г. Резников, А.Н. Хренов Белгородский государствен...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.