WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 |

«Физический факультет А. Ф. Курбацкий ЛЕКЦИИ ПО ТУРБУЛЕНТНОСТИ Часть 2. Моделирование турбулентных течений Учебное пособие Новосибирск Введение Несмотря на непрерывные ...»

-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет

А. Ф. Курбацкий

ЛЕКЦИИ ПО ТУРБУЛЕНТНОСТИ

Часть 2. Моделирование турбулентных течений

Учебное пособие

Новосибирск

Введение

Несмотря на непрерывные исследования в течение истекшего столетия

турбулентность по-прежнему остается главной нерешенной проблемой

классической физики. В то время как большинство исследователей согласно с тем, что основой физики турбулентности являются уравнения Навье Стокса, ограничения мощности компьютеров не позволяют как теперь, так и в обозримом будущем непосредственно решать эти уравнения для сложных турбулентных течений, представляющих практический интерес. Следовательно, фактически все исследовательские и инженерные вычисления нетривиальных течений при высоких числах Рейнольдса основываются на определенном типе моделирования. Такое моделирование может принимать различную форму:

• модели турбулентных напряжений, предназначенные для вычисления одноточечных моментов первого и второго порядков, таких как средняя скорость, среднее давление и кинетическая энергия турбулентности;

• подсеточные модели, в которых крупномасштабные турбулентные вихри вычисляются непосредственно, а эффект мелкомасштабных вихрей более изотропных и универсальных по характеру моделируется;



• двухточечные схемы замыкания или спектральные модели, предназначенные для получения более детальной информации о структуре турбулентности, поскольку они основаны на двухточечном корреляционном тензоре поля скорости;

• модели совместных функций плотности вероятностей (ФПВ).

Метод моделирования турбулентности с выделением крупных вихрей (Large Eddy Simulation Method или LES-метод) основан на концепции «фильтрования» турбулентности осреднении уравнений Навье Стокса по пространству с некоторым весом «фильтром». В результате такой операции зависимые переменные изменяются гладко на расстояниях порядка «ширины окна фильтра», что позволяет при решении отфильтрованных уравнений гидродинамики использовать довольно грубую сетку. Исторически LES-метод был введен метеорологами для целей прогноза погоды и других атмосферных исследований. Поскольку минимальные масштабы турбулентных движений в атмосфере порядка нескольких сантиметров, то, очевидно, что детальное определение всех характеристик атмосферы является заведомо безнадежным делом. LES-метод требует для своей реализации эффективных алгоритмов численного решения трехмерных нестационарных уравнений аэрогидродинамики, основанных на использовании конечно-разностных и спектральных методов.

LES-метод смог пролить свет на физику некоторых основных турбулентных течений, таких как течение с однородным сдвигом, течение в канале при высоких числах Рейнольдса, которые недоступны для прямого численного моделирования уравнений гидродинамики. Однако имеются серьезные проблемы применения LES-метода к турбулентным течениям, ограниченным твердыми стенками, и, фактически, все приложения LESметода относятся к течениям простых геометрий, где могла быть использована демпфирующая коррекция Ван Дрийста (эмпирическое приближение, которое, вообще говоря, не работает хорошо там, где имеется отрыв течения). Похожие проблемы возникают при применении метода ФПВ в пристенных течениях, ограничивая приложение этого метода свободными турбулентными течениями, для которых он оказывается достаточно полезным в описании химически реагирующей турбулентности.





Двухточечные замыкания, также как квазинормальное марковское демпфирование вихрей, оказались довольно успешными в анализе однородных турбулентных течений. Однако имеется целый ряд теоретических и операционных проблем при использовании двухточечных схем замыкания и моделирования крупномасштабных турбулентных вихрей. Применение этих методов к неоднородным турбулентным течениям оказывается делом довольно трудным, если не невозможным, особенно в нерегулярных геометриях с твердыми границами.

Большинство течений инженерной практики имеет сложную геометрию с твердыми границами, а числа Рейнольдса значительно превышают значения, с которыми может справиться прямое численное решение уравнений гидродинамики. Поэтому предпочтительным методом вычисления характеристик таких течений остается метод уравнений переноса турбулентности. Этот метод применяется для описания поведения потоков импульса (турбулентных напряжений) и скаляра (температуры, концентрации вещества) и, как и LES-метод, базируется на концепции равновесной турбулентности, краткое изложение фундаментальных основ которой дано в гл. 1.

1. Фундаментальные основы физики турбулентных течений Турбулентность, вообще говоря, может быть охарактеризована рядом линейных масштабов: по крайней мере, одним из них для энергосодержащей области, другим для диссипативной области. Имеются и другие масштабы, но они могут быть выражены через эти. Может турбулентность рассматриваться простой или нет, зависит от того, как много масштабов необходимо для описания энергосодержащей области. Если турбулентность генерируется под воздействием более чем одного механизма порождения, например сдвига и плавучести или сдвига и переменной плотности в центростремительном силовом поле, то будет наличествовать более чем один линейный масштаб. Даже если имеется один-единственный механизм генерации, скажем сдвиг, турбулентность, которая порождена при одной системе условий, может быть подчинена другой системе условий. Например, турбулентность может генерироваться в пограничном слое и подвергаться к тому же воздействию скорости деформации. На время такая турбулентность будет иметь два линейных масштаба: один, соответствующий начальному турбулентному пограничному слою, и другой, связанный со скоростью деформации, воздействию которой подвергается течение. Или, турбулентность может иметь различные линейные масштабы в разных направлениях. Обычно моделирование турбулентности ограничивается ситуациями, которые могут быть аппроксимированы как имеющие один масштаб длины и один масштаб скорости. Турбулентность с множеством масштабов оказывается более сложной для описания.

Некоторый прогресс может быть достигнут применением теории быстрого искажения или другого вида теории устойчивости к начальной турбулентности и предсказании вида структур, которые индуцируются приложенным искажением. Далее рассмотрение ограничивается, по большей части, турбулентностью, которая имеет один масштаб длины в энергосодержащей области.

Этот масштаб длины может быть взят в виде интегрального масштаба турбулентности:

l = 0 (r ) d t, (1.1) где (r ) = u ( x1 + r, x2, x3 )u ( x) / u ( x) (1.2) коэффициент автокорреляции турбулентного поля скорости в некотором направлении. В выражении (1.2) x = {x1, x2, x3} и индекс отмечает произвольное направление.

Любая турбулентность будет иметь, по крайней мере, два масштаба скорости: один для энергосодержащих вихрей, другой для диссипативных вихрей. Эти замечания относятся ко многим технологическим течениям и можно ожидать, что они будут иметь более одного масштаба скорости для энергосодержащей части спектра. Тем не менее в гл. 1 речь пойдет о течениях, которые имеют только один масштаб скорости в энергосодержащей области. В качестве такого масштаба выбирается среднеквадратичная скорость пульсаций u = ui ui 1/ 2 ; по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Символ обозначает осреднение по большому промежутку времени, или осреднение по пространству, или осреднение по ансамблю реализаций.

В основе концепции равновесной турбулентности А.Н. Колмогорова лежат представления о спектральном переносе энергии турбулентности, которые имеют первостепенное значение для моделирования турбулентности. Поэтому в гл. 1 рассмотрены фундаментальные вопросы физики спектрального переноса на основе современной теории вейвлет-динамики, позволяющей детально проследить за трансформацией энергии турбулентности в спектре равновесных и неравновесных течений.

1.1. Вейвлет – модель турбулентного вихря в волновом пространстве Фурье-моды являются слишком узкими в волновом пространстве для представления физических величин. В физическом пространстве соответствующее утверждение гласит, что фурье-моды простираются без затухания до бесконечности, в то время как известно, что наибольшая величина любой физической значимости в турбулентном течении имеет размер ненамного больше, чем интегральный масштаб турбулентности l. Следовательно, нужно искать другую физическую величину. Традиционно речь идет о «вихрях», но для них не имеется ясного определения. Можно, следуя Теннекесу и Ламли [4], ввести в рассмотрение «небольшую волну»

(wavelet). Понятие вейвлета может быть использовано и для полного представления поля скорости, и конструирования физических моделей, в которых используется это понятие. В данних лекциях достаточно будет рассмотреть лишь простейшие свойства вейвлетов.

Если корреляционная функция скорости есть функция пространства, то соответствующий ей спектр функция волнового числа. Некоторое количество завихренной жидкости с линейным размером l связано, таким образом, с некоторым волновым числом k. Тогда «вихрь волнового числа k » можно представить в виде некоторого возмущения, содержащего энергию в окрестности волнового числа k. Если представить себе такое возмущение в виде узкого пика в спектре энергии, то он будет порождать в корреляции медленно затухающие осцилляции длины волны 2 / k. Такая корреляция будет характеризовать скорее волноподобные возмущения, а не вихревые образования Концепция спектрального переноса Колмогорова исходит из того, что турбулентные вихри теряют свою индивидуальность вследствие взаимодействия с другими вихрями на протяжении одного-двух периодов длины волны. Значит, вклад вихревого возмущения в спектре должен иметь сравнительно широкий пик, чтобы избежать осциллирующего поведения («звона») в корреляции. Поэтому вихрь волнового числа k можно определить как возмущение, содержащее энергию между значениями волнового числа 0,62k и 1,62k, что в логарифмическом масштабе центрирует энергию около волнового числа k. Такой выбор делает ширину возмущения в спектре равной k (рис. 1).

Рис. 1. Вейвлет модель вихря в волновом пространстве Преобразование Фурье узкой полосы около волнового числа k дает волну, длина которой 2 / k, а огибающая имеет ширину, обратную ширине полосы. Такую небольшую волну, следуя [4], и будем называть вейвлетом. Здесь уместно подчеркнуть различие между «вихрем в волновом пространстве» вейвлетом и волнами. Фурье-преобразование турбулентного поля скорости дает разложение на волны с различными значениями длины волны (каждая волна связана с одним коэффициентом Фурье).

Вихрь, однако, связан со многими фурье-коэффициентами и их фазовыми соотношениями. Фурье-преобразования используются просто из-за их удобства, так как легко может быть получен спектр.

Теперь можно обсудить, как эти вейвлеты взаимодействуют в фурьепространстве. Рассуждая грубо, вейвлет существует в поле скорости деформации всех вейвлетов, больших по размеру. Это поле скорости деформации индуцирует анизотропию в вейвлете, что позволяет ему извлекать энергию из более крупных вейвлетов. Этот процесс извлечения энергии связывается с растяжением вихрей. Когда вихрь подвергается растяжению, поле скорости деформации совершает над вихрем работу, увеличивая его энергию за счет потери своей энергии. Этот процесс извлечения энергии из наиболее крупных вейвлетов и питание ею меньших по размеру вейвлетов известен как каскад энергии. Далее будет показано, что каскад не очень плотен: данный вейвлет получает половину своей энергии от всех вейвлетов из окружения, а половину энергии от вейвлета, большего по размеру. Из полной величины энергии, проходящей через данное волновое число, три четверти передается ближайшему меньшему по размеру вейвлету, а оставшаяся энергия распределяется по всем остальным меньшим вейвлетам. Кроме того, в качестве грубого приближения можно принять, что энергия, поступающая в спектр на энергосодержащих масштабах, передается затем по спектру от вейвлета к вейвлету, пока она не достигнет диссипативной области, где рассеивается в тепло.

В литературе обсуждается вопрос о том, что называть «обратным рассеянием» («backscatter»). На самом деле это не более чем игра слов, так как предполагается, что энергия, стартуя в одном направлении, меняет свое направление и идет в другом направлении. Неясно, что это означает. Скорее всего, это относится к переносу энергии в спектре в направлении от малых вейвлетов к большим вейвлетам. Теперь нет вопроса о том, что при осреднении по большому промежутку времени или большим областям пространства перенос энергии в спектре трехмерной турбулентности идет в направлении от больших масштабов движений к движениям малых масштабов. В двухмерной турбулентности, однако, каскад энергии идет в обратном направлении, поскольку механизм его совсем иной. В таком случае отсутствует растяжение вихрей; вместо этого вихри объединяются в более крупные вихри, и это и есть механизм для передачи энергии. Такая ситуация вполне возможна в трехмерной турбулентности, если рассматривать короткие временные периоды осреднения или осреднение в пределах только малой области физического пространства, т.е. объединение вихрей, и, следовательно, локально, временно, перенос энергии может идти в «ошибочном» направлении. Некоторые начальные неустойчивости являются двухмерными, и временно перенос энергии, несомненно, будет идти в ошибочном направлении, пока течение до конца не «трехмеризируется»

и перенос энергии сможет осуществляться в обычном направлении. Вероятно, многие течения, важные в технологических приложениях, являющиеся не полностью развитыми, обладают анизотропными остатками начальных возмущений и турбулентными структурами, которые сильно анизотропны и могут иметь на ограниченных промежутках времени или в пределах ограниченных областей пространства перенос энергии в «ошибочном направлении». Нетрудно создать такой процесс в модели переноса энергии, используя идеи, которые, возможно, связаны с двухмерностью.

Рассмотрим теперь перенос энергии от одного вейвлета к другому. Для этого разделим логарифмически непрерывный спектр энергии турбулентности на вихри (вейвлеты), центрированные при ak, a 3 k,..., где a = (1 + 5 ) / 2 (рис. 2). Все вейвлеты при таком разбиении имеют ширину, одинаковую с вейвлетом центрального волнового числа k ( k a k / a = k, откуда a 1,62).

Рис. 2. Идеализированная схема спектрального потока энергии от вейвлета квейвлету

Если v(ak ) типичная скорость вейвлета, центрированного около a k, линейный размер которого приближенно равен 2 / ak, энергия вейвлета (на ед. массы) равна величине v 2 ( a k ) и типичная скорость переноса энергии будет устанавливаться, главным образом, скоростью деформации вейвлета с волновым числом k / a. Эта скорость деформации равна величине v(k / a) /(2a / k ). Следовательно, скорость переноса энергии будет приближенно равна v 2 ( a k ) v( k / a ) /( 2 a / k ). Если число Рейнольдса велико и турбулентность находится в состоянии равновесия, можно ожидать, что эта величина приближенно постоянна в пределах рассматриваемой области волновых чисел в средней части спектра, и она должна быть равна скорости диссипации. Итак, поскольку a небольшое число, можно, вероятно, скорость переноса аппроксимировать выражением v 3 ( k ) /( 2 a / k ) =. Следует, по-видимому, включить константу для надежности. Но, с другой стороны, можно ожидать, что ее величина будет порядка единицы, поскольку с физической точки зрения обе части равенства должны быть величинами одного порядка. Экспериментальное значение этой постоянной таково, что левая сторона равенства оказывается величиной приближенно равной 0,3. Все это в действительности дает классическую форму равновесного спектра в инерционной подобласти при больших числах Рейнольдса: спектральная плотность энергии равна E ( k ) = 2 / 3 k 5 / 3, а E ( k ) k = v 2 ( k ), поскольку ширина вейвлета в фурьеak k / a E (k ) dk E (a k k / a) = E k.

пространстве равна k и

1.2. Спектральный трубопровод равновесных течений Введенная в рассмотрение модель вейвлета позволяет представить турбулентное поле скорости разделенным на вейвлеты меньшие и большие относительно данной величины. Меньшие вейвлеты подвержены действию скорости деформации больших по размеру вейвлетов. Вследствие растяжения завихренности вейвлеты меньших размеров получают энергию от вейвлетов больших размеров, что и обусловливает существование потока энергии от крупных вейвлетов к малым.

Модель вейвлета данного волнового числа оказывается чрезвычайно полезной, т.к. она дает возможность представить картину спектрального потока энергии детально, рассматривая скорости деформации вейвлетов различных размеров. Для дальнейшего полезно обратить внимание на то, как процесс растяжения завихренности влечет за собой обмен энергией. С этой целью рассмотрим процесс растяжения завихренности на простом примере плоского поля скорости деформации (рис. 3).

Изображенные на рис. 3 две цилиндрические вихревые нити подвергаются действию плоской скорости деформации вида s11 = s22 = s = const, s12 = 0. Деформация s11 действует в горизонтальном направлении, а деРис. 3. Растяжение завихренности в поле плоской скорости деформации

–  –  –

лых значений s t, полное количество завихренности в направлении растяжения ( s11 0 ) быстро возрастает, в то время как компонента завихренности в направлении сжатия ( s22 0 ) медленно убывает при больших значениях s t. Этот процесс подобен расширению пятна примеси, например дыма в воздухе; конечно, при этом имеет место тот же самый механизм растяжения. Следует отметить, что эффекты вязкости при этом не учитываются.

Растяжение завихренности влечет за собой обмен энергией, потому что скорость деформации совершает работу над завихренностью, подвергающейся растяжению. Так как энергия, приобретаемая возмущением с компонентами скорости ui и u j, равна ui u j sij, то в поле плоской скорости деформации скорость обмена энергией равна T = s (u2 u12 ).

(1.3) Итак, возрастание компоненты завихренности 1 влечет за собой увеличение значений компонент турбулентной скорости u 2 и u3 ; компонента же 2 убывает, что ведет к уменьшению значений компонент скорости u1 и u3. Можно ожидать, что u2 увеличивается, а u12 уменьшается, в то время как u3 возрастает довольно медленно. Следовательно, разность u 2 u12 хотя и начинает свое изменение с нулевого значения в начальный момент времени, с течением времени становится положительной. Положительной получается и величина T, и можно ожидать, что и полная энергия вейвлетов с большими волновыми числами возрастает.

Рассмотрим теперь более детально работу спектрального трубопровода.

Энергия всех вейвлетов размера 2 / k, грубо говоря, пропорциональна спектральной плотности энергии E (k ), умноженной на ширину вейвлета, равную k, а характерная скорость, следовательно, равна величине ( k E ( k ))1 / 2. Характерная скорость деформации вейвлета волнового числа k есть величина s (k ) = [k E (k )]1/ 2 /(2 / k ) = k 3 E (k ) / 2 k 2 / 3. (1.4) Поскольку скорость деформации энергосодержащих вихрей порядка величины u / l, а мелкомасштабных вихрей порядка величины u /, можно ожидать, что скорость деформации s (k ) увеличивается с ростом волнового числа согласно (1.4).

Теперь можно использовать модель вейвлета и рассмотреть непрерывный спектр турбулентности, образованный из вейвлетов дискретных образований, локализованных в волновом пространстве (см. рис. 2).

Скорость деформации, приложенная к вейвлету волнового числа k со стороны вейвлета несколько большего размера, равна величине s (0,38 k ) s (k ). Вейвлет из интервала от 0,24k до 0,62 k центрирован около волнового числа 0,38k. Скорость деформации, обусловленная вейвлетом, двумя размерами больше, чем 2 / k, снова примерно в 2 раза меньше. Вейвлет из интервала волновых чисел от 0,09k до 0,24k центрирован около волнового числа 0,15k. Прибавляя скорости деформации всех вейвлетов с размерами большими, чем 2 / k приходим к заключению, что из полной скорости деформации, испытываемой вейвлетом волнового числа k, половина приходится на вейвлеты несколько большего размера, а четверть на вейвлеты последующего большего размера. Поэтому можно ожидать, что большая часть энергии, переносимая через данное волновое число, приходит от вейвлетов со слегка меньшими волновыми числами.

Как распределяется энергия, переносимая через данное волновое число, далее по спектральному трубопроводу?

Перенос энергии T зависит от способности скорости деформации выстраивать малоразмерные вейвлеты так, чтобы значения u2 и u12 получались различными. Скорость деформации, таким образом, преодолевает необратимую тенденцию вейвлетов к выравниванию их интенсивностей u12, u 2, u3. Эта тенденция называется стремлением к изотропии. Отсутствие изотропии, или анизотропия, которая может создаваться скоростью деформации, зависит от масштаба времени релаксации к изотропному состоянию относительно того же масштаба для деформационного движения.

Масштаб времени релаксации к изотропному состоянию есть величина порядка 1 / s(k ) для вейвлетов волнового числа k. То есть вейвлеты будут «стремиться» к возвращению в изотропное состояние за время порядка 1 / s(k ), если скорость деформации снять. Поскольку малые вейвлеты обладают большей скоростью деформации, они способны быстрее перейти в изотропное состояние. Если J есть полная скорость деформации всех вейвлетов с волновым числом меньшим k, масштаб времени приложенной скорости деформации будет величиной порядка 1 / J. Если величина J велика по сравнению с s (k ), то велика и анизотропия, если величина J мала по сравнению с s (k ), относительно быстрое стремление к изотропии мешает созданию большой анизотропии. Можно полагать, что степень анизотропии пропорциональна отношению J / s (k ).

Энергия, передаваемая от всех крупных вейвлетов к вейвлету волнового числа k, будет тогда приближенно определяться согласно (1.3) выражением J 2 k E (k ) / s (k ).

В таком случае энергия, поглощенная ближайшим вейвлетом меньшего размера (с энергией, заключенной между 1,62k и 4,2 k ), центрированном около волнового числа 2,6k, будет приближенно равна J k E (k ) / s (k ), т.к. s (2,6k ) 2 s(k ), а 2,6 k E (2,6 k ) kE (k ),если E (k ) k 5 / 3.

Итак, вейвлеты волнового числа k получают около 2 / 3 полной энергии переносимой по спектральному трубопроводу, ближайшие меньшие по размеру вейвлеты получают около 1 / 6 всей переносимой через волновое число k энергии, а все остальные вместе взятые малые вейвлеты также получают около 1 / 6 части переносимой энергии. Таким образом, общая картина спектрального трубопровода представляется в следующем виде.

Большая часть энергии в спектральном трубопроводе, проходящая через данное волновое число k, приходит, по-видимому, от ближайших крупных вейвлетов и идет к ближайшим вейвлетам, меньшим по размеру.

Спектральный трубопровод может мыслиться в виде каскада «водопадов», каждый из которых наполняет «бассейн», из которого энергия «переливается» в ближайший бассейн, расположенный ниже.

Эта концепция, впервые сформулированная А.Н.Колмогоровым в 1941г. и развитая далее Теннекесом и Ламли [4], оказывается чрезвычайно полезной при моделировании турбулентности. В явном виде построенный спектральный трубопровод работает в режиме, когда наибольшие и наименьшие вейвлеты не оказывают прямого влияния на перенос энергии при промежуточных волновых числах. Однако каскад такого спектрального трубопровода обладает и значительной «течью»: половина энергии, пересекающая данный уровень, приходит от всех других «бассейнов», расположенных «выше в гору». Кроме того, для всего спектрального трубопровода, конечно, несправедливым является и допущение о невязкой его природе. Действительно, масштаб времени вейвлета оценивается как 1 / s (k ).

Однако имеется нижний предел, устанавливаемый вязкостью: наименьший масштаб времени равен ( / )1 / 2, а скорость деформации наименьших вейвлетов порядка величины ( / )1 / 2. Следовательно, сконструированный здесь спектральный трубопровод не будет работать, если s (k ) и ( / )1 / 2 окажутся величинами одного порядка. Чтобы трубопровод функционировал, число Рейнольдса s ( k ) /( k 2 ) должно быть очень большим.

1.3.Колмогоровские масштабы турбулентности Колмогоров был первым, кто предположил, что при прохождении энергии от одного вейвлета к другому ею будет теряться информация о механизме её генерации. Если число шагов в энергетическом каскаде велико, можно предположить, что будет утеряна вся информация. Наименьшие масштабы «могут знать» только о том, как много энергии ими приобретается и, как можно ожидать, они будут изотропными, потерявшими всю информацию об анизотропии энергосодержащих масштабов. Отметим, что это состояние изотропии будет существовать только при бесконечно больших числах Рейнольдса (бесконечно большом числе шагов в энергетическом каскаде). При любом конечном числе Рейнольдса наименьшие масштабы, как следует ожидать, будут менее анизотропны, чем энергосодержащие масштабы, но все же до некоторой степени анизотропны. Заметим, что эти идеи не могут быть прямо применены к спектру пассивного скаляра. Можно показать, что в присутствии среднего градиента скаляра динамические вихри могут порождать резкие фронты или поверхности раздела между различными значениями скаляра и ориентация появляющихся скачков определяется ориентацией среднего градиента. Следовательно, серьезная анизотропия вводится в наименьшие масштабы.

Перманентная анизотропия даже в наименьших масштабах спектра скорости сдвигового течения существует потому, что энергия из среднего течения передается одной компоненте турбулентной скорости и должна перераспределяться к двум другим компонентам. Однако в то время как степень анизотропии остается фиксированной при возрастании числа Рейнольдса, она устойчиво уменьшается, когда рассматривается как часть полного среднего квадрата градиента скорости. Следовательно, корректно говорить (по крайней мере, имея в виду общий характер рассуждений), что спектр скорости получается все более изотропным для наименьших масштабов движения, когда число Рейнольдса возрастает.

С этими оговорками допустимо предполагать, что в равновесной ситуации при очень больших числах Рейнольдса наименьшие масштабы в спектре скорости будут знать только о величине энергии, получаемой ими.

Следовательно, можно считать масштабы зависящими только от величин и, и они известны как колмогоровские микромасштабы:

= ( 3 / )1/ 4, v = ( )1/ 4, = ( / )1/ 2. (1.5) Если принять во внимание уточнения Колмогорова 1962 г. и рассмотреть диссипацию r осредненной по сфере радиуса r, можно определить масштабы r и r, основанные на локальном значении диссипации r.

Далее, если рассматривать, что внутри каждой материальной области имеется каскад энергии, зависящий от локального значения r, спектр Колмогорова будет генерироваться локально. Осреднение этого спектра с некоторыми допущениями о распределении величины r будет порождать небольшие изменения в показателе степени волнового числа k.

1.4. Равновесная оценка диссипации энергии турбулентности Теперь легко распространить идеи, изложенные в разд. 1.2, на энергосодержащую область спектра. Предположения о том, что скорость переноса энергии всецело определяется скоростью деформации ближайшего большего по размеру вейвлета, оказывается недостаточным, когда речь идет об области волновых чисел, где вейвлеты находятся под прямым влиянием также и среднего течения. Однако можно, конечно, спросить, является ли величина u 2 u / l константой и, возможно, равной. Оказывается, что в пределах примерно 10 процентов это действительно имеет место, что является первым сюрпризом. Более обдуманное рассмотрение предполагает, что это, возможно, справедливо только в течениях, которые находятся в равновесии, т. е. являются, скажем, теми течениями, в которых скорость деформации, связанная с энергосодержащими вихрями, равна скорости деформации, связанной со средним течением. Можно ожидать, что любое турбулентное течение пытается уравновесить все эти скорости и в конечном счете они все будут равны (или, по крайней мере, между ними развивается пропорциональность). Оценку u3 / l (1.6) можно использовать для образования подходящих выражений для различных масштабов. Например, / l = ( 3 / l 4 )1 / 4 = ( 3 / u 3l 3 )1 / 4 = Rel3 / 4.

(1.7) Можно также использовать эти идеи для получения верхней границы на вариацию как функцию числа Рейнольдса. Предположим, что диссипация оказывается столь неравномерно распределенной, что вся она оказывается в крошечной области. Пусть её максимальное значение равно m. Эта область должна иметь размер порядка величины колмогоровского микромасштаба m, основанного на величине m. Следовательно, полная диссипация должна быть величиной, равной m m 3 = l 3, где значение диссипации определяется осреднением в пределах области с линейным размером порядка интегрального масштаба турбулентности l. Это справедливо для большинства течений, поскольку интегральный масштаб турбулентности есть величина порядка характерного размера течения. Используя определение масштаба m, легко находим, что m / = R el9 / 4, где Rel = (u l ) /.

Равновесные течения. Кратко изложенные выше основные идеи теории универсального равновесия Колмогорова сводятся к следующему важному для моделирования турбулентных течений выводу. В равновесном турбулентном течении уровень диссипации определяется скоростью, с которой кинетическая энергия турбулентности переходит от энергосодержащих вихрей к следующим меньшим по размерам вихрям, т. е. скоростью, с которой энергия поступает в спектральный трубопровод и в конечном счете будет поглощена вязкостью, когда она достигнет диссипативных масштабов (рис. 4).

Рис. 4. Спектральный перенос энергии в равновесной турбулентности. Величины скорости поступления энергии в спектральный трубопровод, переноса по трубопроводу и рассеяния молекулярной вязкостью в области диссипативных масштабов равны Следовательно, величина спектрального потока энергии оказывается лишь опосредованной (вторичной) диссипацией и может быть названа чем-то вроде спектрального расходования энергии (spectral consumption).

Эта картина имеет своим следствием то, что уровень диссипации будет не зависящим от числа Рейнольдса. Изменение же турбулентного числа Рейнольдса будет изменять только волновое число, при котором происходит диссипация.

Именно эта концепция равновесного течения Колмогорова лежит в основе большинства современных методов физико-математического моделирования турбулентности, основанных на статистических моделях «первых принципов» уравнений гидродинамики.

1.5. Спектральный перенос энергии турбулентности в неравновесных течениях В согласии с теорией универсального равновесия Колмогорова величина диссипации энергии турбулентности в установившемся течении определяется скоростью передачи кинетической энергии турбулентности от энергосодержащих вихрей к меньшим по размерам вихрям, или скоростью поступления энергии в спектральный трубопровод, в котором она благодаря резонансному механизму передачи достигает диссипативных масштабов, где и поглощается вязкостьюю. В такой картине трансформации энергии турбулентности нет большого вопроса в том, что уровень диссипации в установившемся течении определяется масштабами турбулентного движения энергосодержащей области спектра.

Большой вопрос, однако, в том, каково поведение диссипации при изменяющихся условиях, как в пространстве, так и во времени. Необходимо, следовательно, динамическое уравнение для спектрального потока энергии турбулентности. Можно записать точное уравнение для диссипации энергии турбулентности. Но оно, как в этом можно убедиться (см. ниже п. 3.1.2), всецело выражается через величины, относящиеся к малым масштабам турбулентного движения. В первом приближении имеется баланс между двумя главными членами, представляющими растяжение флуктуирующей завихренности скоростью деформации и деструкцию флуктуирующей завихренности молекулярной вязкостью (см. уравнение (3.92) в «Лекциях по турбулентности» * ). В следующем порядке (см. уравнения (3.84) (3.91) там же) эти члены слегка несбалансированы, и небаланс связан, конечно, с энергосодержащими масштабами, но в известном смысле полного понимания здесь нет. В тот момент, когда все уравнение должно моделироваться феноменологически, фактически по аналогии с уравнением баланса энергии турбулентности, мы предполагаем, что генерация диссипации «не отстает» от генерации энергии турбулентности, в то время как деструкция диссипации будет «идти в ногу» с деструкцией энергии турбулентности. И эта концепция дает нам модель уравнения для спектрального потока энергии турбулентности (см. далее п. 3.1.2). Все кто используют эту модель, имеют в виду именно такие аргументы.

Замедление в спектральном переносе. Величина в уравнении баланса кинетической энергии турбулентности (см. уравнение (3.19) в «Лекциях…», часть 1-ая) E E 1 1 = PE +Uj ( pu j + ui ui u j ) + t xj x j 0 2 (1.8) + G + E,

–  –  –

G = g i ui генерация энергии турбулентности плавучестью, есть истинная диссипация энергии турбулентности, в противоположность * А.Ф. Курбацкий, Лекции по турбулентности. Новосибирск: НГУ, 2000. Часть 1.

118 с.

скорости потери энергии в области энергосодержащих волновых чисел и передачи её к следующим, меньшим волновым числам. В установившемся состоянии эти скорости, конечно, равны, но в неустановившемся состоянии этого может и не быть.

Вполне вероятно, что будет отставание в развитии истинной диссипации энергии турбулентности, соответствующее времени приема энергии, теряемой в области энергосодержащих волновых чисел, до понижения её величины в диссипативных волновых числах (рис. 5).

Рис. 5. Спектральный перенос энергии в установившемся и неустановившемся состоянии Можно вычислить это время задержки в развитии истинной диссипации, используя модель переноса энергии от вейвлета к вейвлету, изложенную в п. 1.1 1.2.

Как отмечено в п. 1.1, энергетический спектр можно разделить логарифмически на вихри одинаковой ширины (см. рис. 2), равной величине волнового числа k.

Тогда время, требуемое для пересечения спектра, равно приблизительно следующей сумме:

–  –  –

Рис. 6. Более реалистическая картина спектрального потока Согласно схеме на рис. 6 большая часть энергии, пересекающей данное волновое число k, идет к вихрю волнового числа a k. Вместе с тем, уменьшенная фракция этого потока идет к вихрям волновых чисел a 3 k, a 5 k и т. д. В свою очередь (на втором шаге) та энергия, которая приходит к вейвлету волнового числа a k, перераспределяется к волновым числам a 3 k, a 5 k и т. д. В то же самое время, энергия, достигшая волнового числа a 3k, перераспределяется к волновому числу a 5 k и далее, а энергия, достигшая волнового числа a 5 k, перераспределяется к вейвлету волнового числа a 7 k, a 9 k и так далее. Так обстоит дело только на втором шаге. На третьем шаге каждая порция энергии должна быть снова перераспределена.

Таким образом, диссипативные волновые числа получают малую величину энергии почти непосредственно и нарастающую её величину по мере увеличения времени, получая всю энергию за время порядка величины T.

Развитие во времени истинной диссипации энергии турбулентности. Такая картина развития во времени спектрального переноса энергии турбулентности находит свое подтверждение при прямом численном моделировании эволюции энергии, вводимой в энергосодержащую область спектра изотропной турбулентности.

Рис. 7, приведенный из работы Meneveau et al. *, показывает эволюцию энергии в логарифмических полосах волновых чисел после импульсного ввода энергии в первую полосу.

Рис. 7. Результаты прямого численного моделирования эволюции во времени энергии, вводимой в энергосодержащую область спектра изотропной турбулентности Полоса n представляет энергию в интервале волновых чисел 2 n 1 k 2 n, нормализованную на начальное значение энергии (при t = 0 ).

Полоса n = 1 изображалась бы на этом рисунке горизонтальной линией при значении E / E0 = 1.

Рис. 7 полностью подтверждает сделанные выше предположения о спектральном переносе энергии турбулентности. То есть развитие во вреMeneveau, C., Lund, T.S. and Chasnov, J. On the local nature of the energy cascade.

Proceedings of the Summer Program, Center for Turbulence research. Stanford. NASA Ames: CTR, 1992.

–  –  –

Константа c в этом уравнении величина, предположительно, порядка единицы, поскольку генерация энергии турбулентности есть лишь аппроксимация энергии, поступающей в спектральный трубопровод. Второй же член в правой части уравнения (1.14) не представляет собой деструкции диссипации, а скорее отражает предполагаемый экспоненциальный рост энергии, достигающей диссипативных волновых чисел в ответ на ступенчатый ввод энергии в спектральный трубопровод. Следует также отметить, что в уравнении (1.14) величина T есть слабая функция числа Рейнольдса.

Это принципиальный момент, т. к., с одной стороны, оставляет возможность для дальнейшей модификации модели этого уравнения, а с другой стороны, позволяет провести некий водораздел между равновесными и неравновесными течениями.

В равновесной ситуации, когда все три скорости (рис. 4) трансформации энергии турбулентности поступления энергии в спектральный трубопровод, спектрального переноса, истинной диссипации энергии турбулентности молекулярной вязкостью в коротковолновой области спектра оказываются равными, время пересечения порцией энергии спектрального трубопровода имеет оценку T l / u E /, которая для равновесной турбулентности не зависит от числа Рейнольдса (поскольку Rel 1 ). С учетом этой последней оценки для масштаба времени T уравнение (1.14) приобретает фактически тот вид, который и используется при моделировании турбулентности. В гл. 3 мы вернемся к выводу уравнения (1.14), используя иные аргументы.

1.6. Эффекты нелокальности неравновесных турбулентных течений В равновесных турбулентных течениях генерация энергии турбулентности приближенно равна диссипации, а диссипация приближенно равна энергии, поступающей в единицу времени в спектральный трубопровод.

Генерация энергии турбулентности приближенно равна её диссипации, например, на краях струй, следов и слоев смешения.

Вместе с тем, во многих неоднородных турбулентных течениях имеются области, где генерация турбулентности равна нулю (или даже отрицательна!). Отчасти это происходит вследствие стремящейся к нулю скорости деформации S ij = 1 / 2(U i, j + U j, i ), но также и вследствие исчезновения турбулентных напряжений, как результат адвекции пульсационным полем скорости в рассматриваемую точку течения жидкости с различной предысторией деформации.

Перемешивание жидкости с различными предысториями развития. В неоднородном течении в данную точку приходят жидкие частицы из различных областей течения, где знак и величина скорости деформации оказываются различными (рис. 8).

Рис. 8. Зона влияния в турбулентном Рис. 9. Модель реального процесса, течении изображенного на рис. 8 Картина, изображенная на рис. 8, объясняет причину того, почему турбулентные напряжения, например, на оси следа за цилиндром, равны нулю. Каждый элементарный объем жидкости приносит в рассматриваемую точку (точка отмечена крестиком на рис. 8) свое собственное значение турбулентного напряжения, зависящее от его предыстории. А поскольку напряжения ui u j могут быть как положительными, так и отрицательными, то на оси следа оказываются равные количества жидкости, проведшие свое время жизни в областях с положительной и отрицательной скоростью деформации. Результирующее значение турбулентного напряжения на оси следа получается равным нулю.

Следовательно, скорость деформации должна быть осреднена в пределах тех областей течения, из которых жидкость приносится в рассматриваемую точку. Идеально такое осреднение должно быть выполнено «назад», вдоль средней траектории элементарного объема жидкости, проходящего через рассматриваемую точку, с расширяющейся зоной влияния и затухающей памятью. Реальный процесс на рис. 8 показывает зону влияния материальных частиц, попадающих со своей историей эволюции в рассматриваемую точку по траекториям в разные моменты времени. На рис. 9 показана модель, в которой точка (+) находится в «области влияния предыстории течения», которая может быть результатом, указанной выше процедуры осреднения. Осуществлению такой идеи нелокального переноса турбулентных напряжений может отвечать дифференциальное уравнение вида [ ] Dbij = T 1 bij Fij + T 2bij, (1.16) Dt ui u j ij тензор анизотропии турбулентности (девиаторгде bij 2E 3 ная часть тензора турбулентных напряжений ui u j ), а Fij тензор, пропорциональный генерации девиаторной части турбулентных напряжений.

Уравнение (1.16) определенно заключает в себе описанную выше картину. В гл. 3 исходя из «первых принципов» уравнений Навье-Стокса, показано, что одна из возможных моделей уравнений переноса турбулентных напряжений имеет по существу форму уравнения (1.16).

Следовательно, моделирование турбулентности с вычислением турбулентных потоков импульса (рейнольдсовых напряжений) и скаляра (температуры, концентрации вещества) из дифференциальных уравнений переноса представляет нелокальную модель турбулентности, по крайней мере, для статистических моментов гидродинамических полей второго порядка (при использовании для моментов третьего порядка локальных моделей).

Физическая картина генерации энергии турбулентности. Обратимся теперь к рассмотрению простой картины генерации энергии турбулентности ui u j Sij. Для этого представим поле скорости состоящим из случайно ориентированной завихренности с равными значениями по всем направлениям. Если записать выражение для генерации в главных осях средней скорости деформации, то оно будет иметь вид S11 u12 S 22 u2 S33 u3 = = S11 ( u12 u 2 ) S33 ( u3 u 2 ).

(1.17) Предполагается, что направление 1 есть направление положительной максимальной скорости деформации, в то время как направление 3 есть направление отрицательной максимальной скорости деформации. Скорость деформации в направлении 2 имеет промежуточное значение (между значениями первых из двух направлений). Эта скорость деформации может быть положительной или отрицательной, но по величине она меньше двух других. Итак, завихренность в направлении 1 будет подвергаться растяжению и сжатию в направлении 3. С завихренностью направления 1 связаны скорости направлений 2 и 3, которые будут интенсифицировать

–  –  –

меньше по величине, чем изменения, обусловленные компонентами завихренности 1 и 3. Будем это обозначать, ради простоты, как «без изменения», с помощью горизонтальной стрелки. Если начальная завихренность распределена более или менее равномерно, очевидно, что будет общее уменьшение в компоненте u12 и общее возрастание в компоненте интенсивности турбулентности u3, тогда как компонента u 2 будет оставаться существенно неизменяющейся. В результате разность u12 u2 окажется отрицательной, а разность u3 u 2 положительной. Следовательно, при S11 0 и S33 0 оба члена генерации турбулентности будут положительными.

Рассмотренная картина представляет равновесную ситуацию, в которой анизотропия турбулентности генерируется полем скорости деформации. И анизотропия находится, следовательно, в равновесии с полем скорости деформации.

Реально такое, конечно, иногда случается. Однако вполне реальна ситуация, когда турбулентность генерируется одним механизмом и эволюционирует, оставаясь с ним в равновесии в том смысле, что временные масштабы будут уравновешены, а затем эта турбулентность подвергается искажению совершенно иной природы. Например, пограничный слой, формирующийся на поверхности давления предкрылка крыла самолета (рис. 10) ситуация на взлете самолета внезапно подвергается действию скорости деформации, обусловленной прохождением потока воздуха через промежуток между предкрылком и крылом самолета. При этом генерация может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Рис. 10. Неравновесная турбулентность в пограничном слое между предкрылком и крылом самолета Другим хорошим примером служат несимметричные течения. Пристенная струя имеет максимум средней скорости, который не обладает симметрией (рис. 11).

Рис. 11. Противоградиентный перенос импульса в пристенной струе В окрестности максимума профиля скорости вещество, проносящееся мимо, иногда приходит в равновесие с полем скорости деформации на стороне максимума, обращенного к обтекаемой твердой поверхности, а иногда с другой стороны максимума, где скорость деформации имеет другой знак. Из-за отсутствия симметрии количества вещества обоих типов не равны, и, следовательно, полное значение напряжения Рейнольдса не обращается в нуль в экстремуме профиля средней скорости. Возникает узкая область A B (заштрихована на рис. 11), в пределах которой генерация турбулентности отрицательна.

Эффект той же самой природы наблюдается и в термическом слое смешения с асимметричным профилем средней температуры (рис. 12).

Рис. 12. Турбулентный термический слой смешения с асимметричным профилем средней температуры В этом течении отрицательной оказывается генерация турбулентных флуктуаций температуры вследствие асимметричного поперечного переноса крупномасштабных турбулентных вихрей в окрестности экстремума профиля средней температуры.

Рис. 13. Противоградиентный турбулентный перенос тепла в термическом слое смешения с асимметричным профилем средней температуры На рис. 13 точки различной конфигурации и сплошная линия для турбулентного потока тепла v (ковариации R v ) соответствуют экспериментальным данным. Сплошная линия для профиля средней температуры и штриховая линия для турбулентного потока тепла результаты моделирования на основе нелокальной модели турбулентности (см. далее п. 3.3.1). В пределах заштрихованной области на рис. 13 генерация турбулентных пульсаций температуры отрицательна, а перенос тепла происходит в направлении, противоположном тому, которое предписывается градиентной моделью.

Более внушительная ситуация может быть создана в специальной аэродинамической трубе. Пусть течение направлено вдоль оси x1, а в канале может быть создана положительная деформация в направлении оси x2 и отрицательная деформация в направлении оси x3. Если турбулентность подвергается такому искажению, её структура будет приходить в равновесие со скоростью деформации. После установления такого равновесия осуществляется реверс направления скорости деформации: наложение положительной деформации в направлении оси x3 и отрицательной деформации в направлении оси x2. Практически это нетрудно осуществить: направление, которое имело «сжатие», теперь подвергается «растяжению», и наоборот. Экспериментально обнаружено, что генерация немедленно становится при таком реверсе отрицательной по всему каналу и остается такой до тех пор, пока анизотропия турбулентности сможет сама приспособиться к новому значению поля скорости деформации, что требует некоторого времени.

Таким образом, можно сделать вывод, что любая модель турбулентности, которая стремится иметь дело с неравновесными ситуациями, должна обладать способностью адекватного описания эффектов нелокальности.

Это означает, что отдельное уравнение переноса должно быть для рейнольдсовых напряжений. Только в равновесных ситуациях значение напряжения может быть прямо связано с полем средней скорости деформации.

Выравнивание собственных векторов. Вопрос о том, можно ли считать поле турбулентности равновесным, т.е. находится ли оно в равновесии со средней скоростью деформации, возникает также в связи с собственными векторами. Реально это как раз другой путь рассмотрения того же вопроса, возможно более правильный путь.

В сдвиговом течении с распределением средней скорости вида U i = ( U1 ( x2 ), 0, 0 ) главные оси положительной скорости деформации располагаются под углом / 4, в то время как главные оси отрицательной скорости деформации направлены под углом 3 / 4. При чисто сдвиговой деформации (без вращения) главные оси турбулентных напряжений будут располагаться в направлении главных осей скорости деформации. В рассматриваемом же сдвиговом течении, однако, имеется вращение, а также и ненулевая скорость деформации. Действительно, отличная от нуля компонента завихренности 3 = (U 2 / x1 U1 / x2 ) = U1 / x2 и, следовательно, средняя угловая скорость вращения материального объема равна 1 / 2 U1 / x2. Материальная область непрерывно вращается по часовой стрелке в этом течении. Поэтому, хотя скорость деформации «пытается»

расположить главные оси турбулентных напряжений в направлении своих собственных главных осей, вещество с его главными осями вращается по часовой стрелке.

Следовательно, можно ожидать, что главные оси турбулентных напряжений вращаются по часовой стрелке относительно главных осей тензора скоростей деформации. Время релаксации турбулентности порядка величины l / u, а средняя угловая скорость вращения материального объема среды равна 1 / 2 U1 / x2. Полный угол, в пределах которого оси будут 1 l 1 U1 1 вращаться, составляет приближенно величину, или 2 u 2 x2 4 около 15°. Выбирая коэффициент 1 / 2, затруднительно объяснить тот факт, что реальный непрерывный процесс релаксации заменяется на исl кусственный, когда до значения релаксация отсутствует, а затем реu лаксация происходит полностью.

В действительности, главные оси турбулентных напряжений располагаются при 30° и 120°, т. е. поворачиваются по часовой стрелке в точности на 15° относительно главных осей средней скорости деформации. Согласие с проведенной грубой оценкой слишком хорошее, чтобы быть истинным, но, по крайней мере, оба направление и порядок величины представляются корректными и доверительными.

В распространенной двухпараметрической теории турбулентности, подробно излагаемой ниже, в разд. 3.1, напряжения Рейнольдса параметризуются выражением, пропорциональным средней скорости деформации (см. также аппроксимацию (2.41) в «Лекциях…», часть 1-я), которое означает, что два тензора оказываются принудительно имеющими одни и те же главные оси. Теория калибруется для получения корректных значений недиагональных (касательных) компонент тензора турбулентных напряжений. Однако при этом диагональные турбулентные напряжения интенсивности турбулентности ui ui должны быть некорректными.

При вычислении характеристик простых сдвиговых течений это не имеет большого значения, т. к. нормальные турбулентные напряжения обычно не используются. В более сложных ситуациях, однако, таких как отрывные течения, где любые компоненты турбулентных напряжений могут быть важны, корректное вычисление нормальных напряжений оказывается необходимым. В таких ситуациях остается неясным, как калибровать такие локальные аппроксимации для рейнольдсовых напряжений.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что в неравновесных ситуациях существенным оказывается использование уравнения переноса рейнольдсовых напряжений, чтобы вращение и релаксация главных осей тензора турбулентных напряжений могли бы постепенно приспосабливаться к предыстории средней скорости деформации. В любой момент времени главные оси тензора турбулентных напряжений, вероятно, не будут совпадать с направлением главных осей средней скорости деформации. Одна из распространенных статистических моделей уравнений переноса турбулентных напряжений излагается в разд. 3.2.

1.7. Сжимаемая турбулентность Вплоть до этого момента в лекциях ничего не говорилось о сжимаемости. В этом разделе кратко излагаются те основные физические механизмы, которые отличают сжимаемую турбулентность от несжимаемой.

Обратимся вначале к пограничному слою с низким значением числа Маха. Отношение средней скорости набегающего потока к скорости трения на обтекаемой поверхности, U / u*, имеет значение приблизительно равное 30 (для чисел Рейнольдса из диапазона от 107 до 5 108 ). Скорость турбулентного движения приближенно равна u 2,65 u*.

Следовательно, средняя скорость примерно в 11 раз больше турбулентной скорости. С увеличением числа Маха температура стенки растет, плотность, а вместе с ней и коэффициент трения, падают, и это отношение отчасти возрастает. Это означает, что флуктуирующее число Маха получается величиной порядка 1 / 11 или меньше числа Маха среднего течения.

Поэтому, если течение не является гиперзвуковым, со значением числа Маха в диапазоне 12 15, турбулентное число Маха не будет близким к 1.

Следовательно, при умеренных числах Маха среднего течения (скажем, ниже 5 ) можно ожидать, что эффекты сжимаемости на турбулентность будут относительно малы. Исключением, конечно, является взаимодействие с ударной волной; турбулентность пограничного слоя может быть несжимаемой, но если она переносится через ударную волну, эффекты сжимаемости будут заметными. Отметим также, что относительные флуктуации изэнтропической скорости звука порядка величины ( 1) m 2 / 4, где m флуктуирующее число Маха. Следовательно, даже при m 1, флуктуации в изэнтропической скорости звука не превышают 10% и могут игнорироваться при определении флуктуирующего числа Маха.

–  –  –

Осредненные (отрицательные) нормальные напряжения ii /3 не равны термодинамическому давлению, потому что имеется запаздывание между вращательной и поступательной температурами. При сжатии, 0, все температуры оказываются возрастающими, но вращательная температура оказывается запаздывающей по сравнению с поступательной температурой. Так что поступательная температура оказывается немного выше того, что дает термодинамическое соотношение. Таким образом, реальное нормальное осредненное напряжение оказывается выше, чем термодинамическое давление.

Выражение (1.21) показывает, что вязкие напряжения зависят от дилатции только через объемную вязкость. Для одноатомного газа такая зависимость отсутствует.

Обратимся теперь к уравнению энергии турбулентности однородного установившегося течения

–  –  –

Рассмотрим декомпозицию Гельмгольца, в соответствии с которой любое векторное поле ui может быть однозначно представлено в виде суммы двух компонент vi + wi, где vi есть соленоидальная (но вращательная) компонента, а wi есть безвихревая (но сжимаемая) компонента скорости.

Тогда компонента завихренности i оказывается связанной только с соленоидальной компонентой скорости vi, в то время как дилатация связана только с безвихревой компонентой wi.

Таким образом, представляется вполне надежным идентифицировать слагаемое i i в выражении (1.26) как обычную соленоидальную диссипацию, а слагаемое ( v + 4 / 3 ) 2 рассматривать как дилатационную диссипацию.

Заметим, что в неоднородной ситуации имеются другие члены в уравнении баланса энергии турбулентности, которые исчезают только в пределе бесконечно больших чисел Рейнольдса.

Для сжимаемой компоненты диссипации и дилатационной диссипации могут быть развиты подходящие модели для предсказания, например, скорости расширения сжимаемого слоя смешения (рис. 14), Рис. 14. Схематичная картина расширения сверхзвукового слоя смешения. Величина M c конвективное число Маха, a1, a2 значения местных скоростей звука в смешивающихся потоках, (x) условная ширина слоя смешения.

поскольку именно эффекты сжимаемости обусловливают меньший угол раскрытия сжимаемого турбулентного слоя смешения по сравнению с несжимаемым слоем смешения (рис. 15).

Рис. 15. Нормализованная скорость расширения сверхзвукового слоя смешения как функция числа Маха M c. Сплошной линией показаны результаты моделирования, полученные с помощью нелокальной модели турбулентности вторых моментов с дилатационными членами, штриховая линия без дилатационных членов.

Символами « » показаны экспериментальные результаты, полученные в NASA Langley (U.S.A.).

1.7.2. Вихревые шоклеты Классифицируя турбулентность, мы думаем, что в несжимаемой турбулентности уровень диссипации контролируется скоростью, с которой энергия поступает в спектральный трубопровод в крупномасштабной части спектра. Даже в том случае, когда флуктуирующее число Маха оказывается больше единицы, мы ожидаем обнаружить турбулентность, сравнительно несжимаемой, поле которой разделено случайно ориентированными шоклетами относительно тонкими разрывами плотности (скачками уплотнения или ударными волнами), которые, следовательно, отвечают высоким волновым числам.

Таким образом, можно ожидать, что энергосодержащая область спектра, характеризуемая движениями медленно изменяющимися через энергетику в пространстве, будет относительно несжимаемой и скорость, с которой энергия поступает в спектральный трубопровод, не будет отличаться от несжимаемого случая. Следовательно, обычная диссипация остается неизменной.

По-видимому, в сжимаемой турбулентности спектр 2 может характеризовать сжимаемость. Этот спектр можно предполагать возрастающим по мере роста волнового числа, так что сжимаемость будет проявляться, главным образом, в области высоких волновых чисел. Это подтверждается изложенными физическими аргументами и совместимо с тем, что ударные волны и/или скачки уплотнения тонкие.

Рассмотрим дилатационную диссипацию с физической точки зрения.

Энергонесущие вихри, которые локально превышают значение флуктуирующего числа Маха m =1, образуют шоклеты, и среда, проходящая через эти шоклеты, «удаляет» энергию из вихря. Дилатация оказывается почти полностью заключенной в шоклете, т. е. в высоких волновых числах. При этом энергия как-то доставляется от низких волновых чисел к высоким волновым числам, где и диссипируется. Конечно, это вряд ли похоже на обычный каскадный процесс передачи энергии, обусловленный растяжением завихренности. Скорее, при прохождении через скачок уплотнения (ударную волну) вихрь оказывается сжатым в направлении, нормальном к скачку уплотнения, что ведет к уменьшению его линейного масштаба и увеличивает волновое число. Кроме того, существование скачка уплотнения изменяет поле течения, достигающего скачка; течение «пытается избежать столкновения со скачком», поворачивая в сторону и двигаясь вокруг скачка, если такое оказывается возможным, и это также может давать в результате уменьшение линейного масштаба. Такая ситуация приводит в результате к переносу энергии от одной компоненты скорости к другой компоненте и предположительно отражает работу корреляции p.

Имеются указания также на то, что корреляция p «запасает» энергию в течение времени прохождения вихря через скачок уплотнения, а затем возвращает её в вихревую моду вниз по потоку от скачка, вызывая рост интенсивности турбулентности на «подветренной» стороне скачка. С другой стороны, некоторые простые модели предполагают, что при некоторых обстоятельствах член p будет иметь вид дополнительной диссипации.

Из приведенных выше соображений ясно, что p и v 2 являются двумя частями одного и того же: величина ( ii / 3 ) есть работа, которая выполняется нормальными напряжениями в течение процесса сжатия, но не вся она оказывается восстановленной.

2. Метод прямого физико-математического моделирования турбулентности В этом разделе дается краткая характеристика метода прямого математического моделирования турбулентности, основанного на численном решении полных нестационарных уравнений гидродинамики для чисел Рейнольдса, при которых наблюдается состояние развитой турбулентности (см. «Лекции…», часть 1). Рассматривается только идейная сторона метода с точки зрения способности этого метода воспроизвести физику реальных турбулентных течений. При этом совсем не обсуждается важный вопрос, связанный с эффективностью численных алгоритмов, необходимых для реализации метода для нетривиальных турбулентных течений.

2.1. Прямое численное решение уравнений Навье Стокса и турбулентность Прямое численное моделирование турбулентности основывается на предположении, что отдельная реализация турбулентного поля скорости удовлетворяет нестационарным уравнениям гидродинамики. Непосредственное решение на компьютере полных нестационарных уравнений Навье Стокса для больших чисел Рейнольдса связано с выполнением чрезмер Действительно, численное решение уравнений гидродинамики при больших числах Рейнольдса должно детально описывать процесс диссипации энергии, которая непрерывно вводится в турбулентность под действием внешних воздействий. В противном случае не будет обеспечен правильный «сток» энергии турбулентности во внутреннюю энергию структурных частиц жидкости (молекул). Поэтому пространственный шаг разностной сетки должен быть меньше линейного размера диссипативных турбулентных вихрей. Отношение масштабов (1.6) показывает, что для чисел Рейнольдса 10 6 10 7 масштабы l и могут различаться на пять порядков. Для достаточно аккуратного представления турбулентного поля скорости шаг разностной сетки должен быть значительно меньше в объеме, намного превышающем l 3. То есть число узлов вычислительной сетки (и уравнений!) должно намного превышать число (l / )3 Rel. При 9/4 числе Рейнольдса Rel 106 число объемных узлов разностной сетки составляет величину (l / ) 3 (10 6 ) 9 / 4 1014.

Эта простая оценка показывает, что прямое численное моделирование турбулентности сталкивается с очень серьезной проблемой разрешимости масштабов. Эта проблема порождает, в свою очередь, проблему получения устойчивой статистики таких вычислений, потому что однократное вычисление позволяет получить лишь одну реализацию из статистического ансамбля. Так, например, для нахождения статистических моментов поля скорости второго порядка с погрешностью в 10% необходимо выполнить около 200 независимых вычислений всех искомых величин для получения устойчивого статистического среднего значения.

Для метода прямого численного моделирования характерна сложность выбора начальных условий. А именно существование вычислительных погрешностей, в частности ошибок округления в компьютере, заставляет ограничиваться довольно нереалистичными начальными условиями для поля турбулентности. При этом большая часть времени тратится на установление более или менее реалистичной турбулентности. Однако к этому моменту средние начальные условия могут быть уже другими.

В силу указанных ограничений реально ограниченный успех, достигнутый этим методом, относится главным образом к моделированию однородной турбулентности при умеренных числах Рейнольдса.

Следует еще кратко отметить, что метод для своей реализации требует высокоэкономичных численных алгоритмов для решения уравнений Навье Стокса при высоких числах Рейнольдса. Даже если предположить, что таковые могут быть созданы, метод все равно требует огромных затрат компьютерного времени и содержит еще одно принципиальное ограничение по числу Рейнольдса.

Чтобы результаты численного решения уравнений гидродинамики в случае однородной турбулентности были пригодны для определения средних величин, вычисление должно быть выполнено для промежутка времени порядка l / u, а шаг по времени должен быть ограничен величиной порядка / u. Так что число шагов по времени составляет величину порядка l / Rel3 / 4. Такое же число «одномерных» шагов следует сделать и по пространству. Суммарное число операций по времени и по трем пространственным переменным составит величину порядка Rel9 / 4 Rel3 / 4 Rel3.

Отсюда вытекает малоутешительный вывод: увеличение мощности компьютера на порядок величины позволит увеличить расчетное число Рейнольдса лишь в 3 10 2,15 раза.

Поэтому, при разумных затратах число Рейнольдса моделируемого течения вряд ли может превышать значение 300.

Скорее всего, эта величина и есть тот примерный верхний предел применимости метода прямого численного решения уравнений гидродинамики для моделирования однородной турбулентности.

Таким образом, метод прямого численного решения уравнений гидродинамики вряд ли может быть прямо полезен для исследования реальных неоднородных турбулентных течений.

2.2. Метод моделирования турбулентности с выделением крупных вихрей Прямое численное решение уравнений гидродинамики при больших числах Рейнольдса для моделирования турбулентности оказывается практически неосуществимым из-за невозможности разрешить все динамически важные масштабы турбулентного движения.

Теория универсального равновесия Колмогорова, подробно изложенная в разд. 1, открывает возможность развития метода подсеточного моделирования турбулентности. Если нет реальной возможности разрешить все динамически важные масштабы турбулентного движения при непосредственном численном решении уравнений гидродинамики, следует прибегнуть к моделированию мелкомасштабных вихрей как приближенно изотропных по сравнению с анизотропными крупномасштабными вихрями.

Простейшая параметризация предполагает использование турбулентной вязкости для неразрешаемых турбулентных движений подсеточного масштаба (турбулентных вихрей с линейными масштабами много меньшего размера разностной ячейки), чтобы обеспечить работу спектрального трубопровода «размешивать» приходящую энергию по степеням свободы вихрей подсеточного масштаба.

Метод подсеточного моделирования турбулентности есть по существу метод «фильтрования» турбулентности. Хотя метод для своей реализации требует эффективных алгоритмов решения трехмерных нестационарных «отфильтрованных» уравнений гидродинамики с помощью конечноразностных и псевдоспектральных методов *, метод вполне реализуем на современных суперкомпьютерах.

Операция фильтрования турбулентности. Математическое разделение крупных и мелких вихрей осуществляется с помощью взвешенной по пространству операции осреднения уравнений гидродинамики

–  –  –

где ij = ui u j + ui u j + uiu j подсеточный эквивалент турбулентных напряжений Рейнольдса. Очевидно, что подсеточные турбулентные напряжения ij должны быть выражены через поле осредненной скорости. Прежде чем обратиться к такому выражению, рассмотрим некоторые свойства математической операции фильтрования.

Во-первых, проиллюстрируем рисунком 16 следующее допущение для отфильтрованных переменных: ui u j ui u j.

–  –  –

Выражение (2.8) не повышает порядок исходного дифференциального уравнения, что в свою очередь не добавляет трудностей с постановкой граничных условий.

Модель турбулентной вязкости для флуктуационного движения подсеточного масштаба. Другой путь учета остаточной диссипации включение её в параметризацию подсеточных турбулентных напряжений с помощью модели турбулентной вязкости ui u j ij = T ( ) = 2 T Sij, + (2.9) xj xi где Sij отфильтрованный тензор скорости деформации.

Турбулентная вязкость определяется из соображений размерности определяющих величин и имеет вид T = (c s ) 2 S, (2.10) где S = Sij Sij, линейный масштаб, связанный с фильтром (характерный масштаб длины, на котором явно разрешаемые «крупные» вихри отделяются от «мелких», явно не разрешаемых вихрей). Для изотропной турбулентности cs 0,2. С несколько различными значениями коэффициента cs модель (2.10) наиболее употребительна в конкретных вычислениях.

Сделаем несколько заключительных замечаний, касающихся метода моделирования турбулентности с выделением крупных вихрей.

При использовании операции фильтрования (2.1), (2.2) зависимые переменные изменяются гладко на расстояниях порядка ширины фильтра, что позволяет при реализации метода использовать относительно грубую разностную сетку. С вычислительной точки зрения операция фильтрования призвана нейтрализовать паразитные коротковолновые осцилляции в решении уравнений гидродинамики, возникающие вследствие нелинейного взаимодействия волн. Эти паразитные коротковолновые осцилляции будут создавать фиктивный перенос энергии в область малых волновых чисел, и численной схемой они будут ошибочно восприниматься за волны с небольшими волновыми числами. Фильтрование и призвано уменьшить влияние компонент решения с большими волновыми числами подавить паразитные коротковолновые осцилляции в решении, стабилизировать численный счет и повысить точность численного решения.

Модель подсеточной турбулентной вязкости (2.10) не учитывает демпфирующего влияния твердой границы (если таковая имеется) на турбулентные вихри и, следовательно, требует модификации. Однако такую модификацию трудно проверить и применить в течениях сложной геометрии. Кроме того, такая модификация еще должна включать, когда это необходимо, эффекты стратификации или вращения.

В анизотропной турбулентности, которая требует применения анизотропных фильтров, выбор линейного масштаба уже не так очевиден, как в случае изотропной турбулентности.

Кроме того, следует отметить, что модель турбулентной вязкости Смагоринского (1963) американского метеоролога, предложившего в 60-х годах прошлого столетия использовать модель (2.

10) для подавления в численной схеме интегрирования уравнений гидродинамики коротковолновых паразитных осцилляций, не может быть использована для корректного описания ламинарно-турбулентного перехода в пристенных течениях. Модель преждевременно диссипирует в моделируемом течении слишком много энергии. Для ослабления эффекта сильной диссипации можно, конечно, использовать операцию фильтрования двукратно, что даст более сглаженные результаты, чем однократная операция фильтрования.

Мы не будем более останавливаться на деталях этого метода, анализировать его сильные и слабые стороны и отсылаем читателя к специальным обзорам. Однако отметим, что операция фильтрования является весьма чувствительным элементом LES-метода и еще далека пока от своей корректной формулировки.

3. Метод моделирования уравнений переноса турбулентности Турбулентные течения при высоких числах Рейнольдса, встречающиеся в технологических приложениях и окружающей природной среде, включают столь широкую область возбужденных линейных и временных масштабов движения, что применение метода прямого численного моделирования или метода с выделением крупных вихрей (LES метода) представляется неосуществимым в настоящее время и в обозримом будущем.

Модели уравнений переноса турбулентности остаются жизнеспособным единственным средством для решения задач сложных турбулентных течений.

В то время как эта вера весьма сильна для старых моделей турбулентной вязкости, она представляется не столь оптимистичной относительно современного уровня развития моделей переноса для рейнольдсовых напряжений и вектора турбулентного потока скаляра. Однако далее будут приведены веские аргументы в пользу (и даже насущную необходимость) развития этого подхода. Будет показано, как уравнения переноса турбулентности (двухпараметрическая теория турбулентности в первую очередь) могут быть выведены с помощью математической процедуры из «первых принципов» уравнений Навье-Стокса, когда сделано основное предположение о том, что турбулентность является равновесной.

Двухпараметрическая теория турбулентности основана на простой и притягательной гипотезе Буссинеска о градиентном характере механизма турбулентного переноса и турбулентном коэффициенте вязкости. А поскольку турбулентные течения имеют линейные и временные масштабы, которые изменяются очень сильно от одного течения к другому, двухпараметрическая теория турбулентности представляют тот минимальный уровень универсасального моделирования турбулентных течений, который еще приемлем с физической точки зрения.

Однако теория в стандартном её варианте имеет принципиальный дефект, обусловленный использованием локальной связи турбулентных напряжений с градиентом средней скорости и невозможностью физически корректного описания анизотропного характера механизма турбулентного переноса. Универсальность теории достигается за счет решения уравнения для кинетической энергии турбулентности и скорости ее диссипации, и эти величины определяют турбулентные масштабы длины и времени. Тем самым устраняется необходимость в определении этих масштабов « ad hoc »

в той или иной модели турбулентной вязкости.

В то время как двухпараметрическая теория представляет минимально приемлемый уровень описания, теория, в которой турбулентные напряжения (моменты турбулентного поля скорости второго порядка) и турбулентные потоки скаляра (смешанные моменты второго порядка турбулентных полей скорости и скаляра) вычисляются из дифференциальных уравнений переноса, представляет нелокальную теорию турбулентности.

Эта теория устраняет отмеченные выше недостатки двухпараметрической теории и вполне реализуема при решении различных задач сложных турбулентных течений на имеющихся в настоящее время компьютерах.

Для слабо неоднородных турбулентных течений нелокальная теория может быть построена на основании гипотезы градиентного переноса для процессов турбулентной диффузии статистических моментов гидродинамических полей скорости и скаляра третьего порядка. Соответствующим образом откалиброванные версии этой теории дают неожиданно хорошее описание широкого класса двухмерных в среднем приближенно равновесных турбулентных течений.

Однако в нынешнем виде теория уравнений переноса вторых моментов неспособна надлежащим образом описать турбулентные течения, которые находятся в состоянии, далеком от равновесного состояния. Теория имеет основные проблемы применительно к течениям вблизи твердых ограничивающих течение поверхностей.

Высокоскоростные турбулентные течения представляют собой целую новую гамму проблем моделирования напряжений Рейнольдса. Модификаций моделей рейнольдсовых напряжений с учетом переменности плотности оказывается недостаточным для надежного вычисления характеристик высокоскоростных сжимаемых течений аэродинамики. Модели рейнольдсовых напряжений нуждаются во включении эффектов диссипации физически последовательным образом. Недавние попытки моделирования дилатационной диссипации и корреляций давление-дилатация для описания свободных сдвиговых течений при высоких числах Маха привели к осознанию преимуществ этой новой концепции моделирования. Однако ряд проблем все еще остается.

3.1. Двухпараметрическая теория турбулентности Основу двухпараметрической теории турбулентности образуют уравнения переноса для кинетической энергии турбулентности и еще одного скалярного параметра, который согласно равновесной оценке диссипации энергии турбулентности (1.5) может быть записан в общей форме Z = E m l n. В зависимости от значений показателей степени m и n параметр Z может иметь различный физический смысл. Далее, в качестве второго параметра рассматривается спектральный поток кинетической энергии турбулентности ( m = 3 / 2, n = 1 ).

В гл. 1 подробно проанализирована физика спектрального переноса энергии турбулентности, и результаты этого анализа будут использованы в этом разделе для получения дифференциального уравнения для спектрального потока энергии турбулентности. Базовым элементом теории, конечно, служит уравнение баланса кинетической энергии турбулентности. Поэтому теперь мы сделаем краткий комментарий, относящийся к энергетической динамике турбулентности.

3.1.1. Энергетическая динамика турбулентности

–  –  –

где DE = ( p / + q 2 / 2)u j, j турбулентная диффузия энергии турбулентности, q 2 = ui2 полная интенсивность турбулентности (удвоенная кинетическая энергия турбулентности), знак, как и ранее, обозначает среднее некоторого вида (по времени, одно или трехмерное осреднение по пространству, или осреднение по ансамблю реализаций). Для общности в этом пункте осреднение понимается как среднее по ансамблю. Течение предполагается несжимаемым, ui,i = 0. Используются также обознаx j = (•), j. PE ui u j S ij, чения: Генерация энергии где Sij = (U i, j +U j,i ) средняя скорость деформации, а = 2 sij sij диссипация энергии турбулентности ( sij скорость деформации флуктуационного движения). При высоком числе Рейнольдса диссипацию можно записать и в виде ui, j ui, j.

В уравнении (3.1) пренебрежено некоторыми членами, малыми при высоких числах Рейнольдса. Они все имеют вид членов переноса, т. е. записываются в виде дивергенции чего-то и, следовательно, проинтегрированные по замкнутой области, не дают вклада в результирующий баланс энергии турбулентности; они лишь перераспределяют энергию по объему, занятому жидкостью. Эти пренебреженные члены оказываются важными в непосредственной окрестности твердой обтекаемой поверхности, где локальные числа Рейнольдса малы. Напомним, что в случае неоднородной турбулентности осреднение переменных должно проводиться или по большому промежутку времени, или по ансамблю реализаций (в нестационарных течениях), но в любом случае осредненные величины будут гладкими функциями, а не случайными переменными. Этот вид осреднения был предложен в ранней работе Колмогорова (1941 г.). Имеются, конечно, и другие возможности. Например, возможно осреднение по сфере радиуса r с центром в точке x : ui, j ui, j r = r ( x). Теперь это уже случайная переменная, которая изменяется беспорядочно время от времени и от точки к точке в физическом пространстве; как сильно она изменяется, зависит от значения r.

Эта точка зрения была высказана Колмогоровым в 1962 г. И эти уточнения (важные сами по себе) привели к незначительному изменению в заключениях, сделанных Колмогоровым в 1941 г. В настоящих лекциях мы будем иметь дело с положениями теории универсального равновесия Колмогорова 1941 г.

Первый член в правой части уравнения (3.1) есть генерация энергии турбулентности, и этот член может быть также отождествлен с работой деформации произвольного объема жидкости, выполняемой против напряжений Рейнольдса, индуцируемых турбулентностью. (Физическая причина появления напряжений Рейнольдса обусловлена самовозбуждением поля скорости при больших числах Рейнольдса).

Такой член появляется в виде «утечки» энергии в уравнении баланса для кинетической энергии среднего движения. И, конечно, работа, выполняемая против этих напряжений, и обусловливает механизм генерации турбулентности. Имеется подобный член, описывающий работу деформации против напряжений, индуцируемых молекулярным движением. Легко показать, что эта работа при высоких числах Рейнольдса мала по сравнению с работой деформации, выполняемой против турбулентных напряжений. Это означает, что при высоких числах Рейнольдса энергия переходит от среднего течения к турбулентности и затем в энергию молекулярного движения.

Второй член в правой части уравнения есть перенос флуктуирующей энтальпии ( p / + q 2 / 2). Уравнение (3.1) может рассматриваться и как уравнение для средней флуктуирующей энтальпии p / + q 2 / 2, поскольку p 0.

Перенос любой величины турбулентностью может быть записан как ui,i. То есть, величина ui есть поток свойства в ед. времени через ед. поверхности с положительной нормалью в i направлении. Скаляр есть концентрация свойства в ед. объема, в то время как ui представляет объем среды, поступающий в ед. времени через ед. площадку поверхности.

Можно предполагать, что член pui / будет мал, поскольку он труден для измерения и моделирования. Однако теперь осознается, что этот член, вероятно, того же порядка величины, как и другой член и может быть обратным по знаку.

По крайней мере, модель для этого члена может иметь вид

pui / = c ( q 2 / 2)ui,

где c численный коэффициент пропорциональности, не превышающий единицы. Результаты прямого численного моделирования свидетельствуют, что указанная модель может быть неплохой догадкой для приближенно однородной турбулентности.

Однородная турбулентность оказывается согласно данным наблюдений * гауссовой в области энергосодержащих масштабов. Однако на малых * Frenkiel F. N., Klebanoff P. S. Higher-order correlations in a turbulent field // Physics of Fluids. 1967. 10(3), p. 507 520; 1967. 10(8), p. 1737 1747.

масштабах турбулентность не гауссова, вследствие спектрального переноса энергии турбулентности.

Гауссово распределение вероятностей турбулентного поля скорости имеет нулевые моменты третьего порядка (процессы турбулентной диффузии в уравнениях переноса для моментов второго порядка). Все потоки вида ui u j u k равны нулю, и, следовательно, ( q 2 / 2)ui также обращается в нуль. В однородном течении весь перенос пульсационным полем скорости обращается в нуль, поскольку члены переноса имеют вид дивергенции, а пространственные производные все равны нулю в однородном течении. Более того, на основании грубых соображений можно ожидать, что, вероятно, все потоки будут обращаться в нуль в однородном течении, если статистически повсюду в поле течения имеется однородность и отсутствует причина для какого-либо переноса из одного места в другое.

Таким образом, ненулевые потоки и перенос связаны с отклонением плотности вероятностей от гауссова вида. В частности, с асимметрией в функции плотности вероятностей, вызываемой неоднородностью. Для случая слабой неоднородности может быть развита процедура разложения *, связывающая третьи моменты с градиентами вторых моментов, и это приближение может неплохо работать на практике; примеры, подтверждающие этот вывод, приведены в разд. 3.3.

Наконец, величина в уравнении (3.1) есть скорость превращения кинетической энергии турбулентности ед. массы жидкости необратимо в тепло (энтропию). В уравнении (3.1) величина представляет истинную диссипацию энергии турбулентности. Напомним, что в гл. 1 подробно обсуждалось физическое понимание этой величины в случае равновесных и неравновесных течений, имеющее первостепенное значение для моделирования турбулентности.

3.1.2. Уравнение баланса кинетической энергии турбулентности Для записи уравнения баланса энергии турбулентности (3.1) в замкнутом виде необходима модель для члена турбулентной диффузии Ciij, который отличен от нуля в неоднородных течениях. В данном пункте этот член выражается через полную интенсивность турбулентности q 2 = ii (= 2 E ) с помощью градиентной гипотезы на основании замечаний, * Lumley J. L. 1978. Computational modeling of turbulent flows // Advances in Applied Mechanics 18, (ed. Chia-Shun Yin), p. 124 176.

–  –  –

Уравнение (3.6) содержит в правой части семь корреляций высокого порядка, которые определяются через величины, относящиеся к коротковолновой части спектра.

Для равновесной турбулентности мы воспользуемся результатами гл. 1, понимая под величиной спектральное расходование энергии турбулентности, поступающей в спектральный трубопровод (см. разд. 1.4 и рис. 4).

Представление истинной диссипации в уравнении баланса энергии турбулентности (3.3) как спектрального расходования энергии турбулентности позволяет получить уравнение для спектрального потока энергии турбулентности в форме уравнения баланса по аналогии с уравнением (3.3).

То есть мы полагаем, что в уравнение должна входить генерация диссипации, деструкция диссипации и турбулентная диффузия диссипации. И мы ожидаем, что генерация диссипации «не отстает» от генерации энергии турбулентности, в то время как деструкция диссипации будет идти «в ногу» с деструкцией энергии.

Уравнение баланса для функции можно, следовательно, записать в виде:

–  –  –

Из (3.19) следует, что энергия турбулентности затухает монотонно как функция времени, потому что в рассматриваемом течении нет никакого наложенного внешнего временного масштаба.

–  –  –

Существование однородной турбулентности с постоянным сдвигом скорости возможно, поскольку в такой ситуации отсутствует наложенный на течение внешний масштаб длины. Такое течение нельзя реализовать в лаборатории, но его можно аппроксимировать установившимся одномерным сдвиговым течением вдоль оси x1 и однородной турбулентностью в направлении, поперечном к основному потоку.

Для такого типа течения имеются экспериментальные данные. Поэтому можно провести калибровку теории для определения численного значения второго коэффициента c 1 в уравнении для спектрального потока энергии турбулентности (диссипации). В дальнейшем будут использованы для этой цели экспериментальные результаты выполненные Тавуларисом и Коррсиным * (далее как ТК-эксперимент).

Поскольку в экспериментах удавалось добиться реализации приблизительно однородного сдвига, то для средней скорости в x1 -направлении S. Tavoularis and S. Corrsin. Experiments in nearly homogeneous turbulent shear flow with a uniform mean temperature gradient. Part 1 // Journal of Fluid Mechanics. 1981.

104, p. 311 374.

S. Tavoularis. Asymptotic laws for transversely homogeneous turbulent shear flows // Physics of Fluids. 1985. 28, p. 999 1001.

–  –  –

где S = u1 u2 U1 / x2 генерация турбулентности сдвигом скорости.

Асимптотическое решение (3.25) показывает, что масштаб = E / получается не зависящим от координаты x1. Из этого следует, что производ

–  –  –

Рис. 18. Эволюция во времени турбулентной кинетической энергии в однородрезультаты LESном течении с наложенным сдвигом средней скорости:

метода *, сплошная кривая результаты, полученные по двухпараметрической теории. E (t * ) = E / E0 безразмерная энергия турбулентности, t = S t безразмерное время Недостатки двухпараметрической теории турбулентности.

Как уже выше подчеркивалось, основной недостаток теории заключен в принятии локальной изотропной связи (3.32) между тензором турбулентных напряжений и средней скоростью деформации. По этой причине теория лишена возможности, адекватно воспроизводить эффекты нелокальности и памяти на анизотропию турбулентных напряжений в сложных турбулентных течениях.

Выполненная выше калибровка теории показывает, что при её проведении принудительно выровнены собственные векторы главных осей средней скорости деформации и девиаторной части турбулентных напряжений. При этом диагональные компоненты тензора турбулентных напряBardina J., Ferziger J. H., Reynolds W. C. Improved turbulence models based on largeeddy simulation of homogeneous, incompressible turbulent flows. 1983. Stanford University Technical Report No. TF-19.

–  –  –

ние по радиусу трубы: W = W0 (r / R ) 2 (где W0 постоянная скорость вращения стенки трубы, R радиус трубы).

Приведенный пример наглядно показывает влияние процессов турбулентной диффузии в уравнении переноса для тензора ui u j на форми Рис. 19. Неадекватность двухпараметрической теории турбулентности для осесимметричного вращающегося потока. Сплошная кривая результаты моделирования с помощью нелокальной теории турбулентности вторых моментов (разд.

3.2); штриховая линия параболический профиль: W / W0 = ( r / R ) 2 ; экспериментальные данные: Kikuyama K., Murakami M., Nishibori K., Maeda K. Bull. JSME.

1983. 26(214), 506 513; Imao S., Ito M., Harada T. Int. J. Heat and Fluid Flow.

1996. 17(5), 444 451.

рование структуры турбулентных напряжений во вращающемся течении.

Ситуация с «исчезновением» касательного напряжения во вращающемся течении подобна таковой для течения в следе (см. разд. 1.5). Это, конечно, нелокальные эффекты.

Следовательно, локальная модель для турбулентных напряжений (3.32) оказывается бессильной даже в предсказании распределения средней скорости (статистического момента первого порядка).

Для сложных турбулентных течений, таких как, например, вращающиеся течения, требуется не столько модификация модели (3.32) и использование более точной, анизотропной модели для процессов турбулентной диффузии в уравнениях (3.34) и (3.35), сколько преодоление основного недостатка уравнения (3.35). Это уравнение дает во вращающейся изотропной турбулентности ту же самую скорость затухания энергии турбулентности, не зависящую от скорости вращения системы отсчета. В полном контрасте с этим результатом физические и численные эксперименты свидетельствуют, что скорость затухания кинетической энергии турбулентности может быть существенно подавлена наложенным вращением системы отсчета.

Различные же модификации уравнения (3.35), как например в работе * для учета вращательной деформации, носят характер «одноразовых» коррекций, которые не позволяют в полной мере воспроизвести структуру турбулентного вращающегося течения.

Результаты анализа вращающегося осесимметричного течения ** наводят на мысль, что необходимы более фундаментальные исследования о воздействии наложенного на турбулентный поток вращения, поскольку инерционные волны, генерируемые вращением, нарушают фазовую когерентность, необходимую для функционирования спектрального трубопровода.

3.1.3. Двухпараметрическая теория турбулентности для течений вблизи твердых границ В этом пункте дается вариант двухпараметрической теории турбулентности, модифицированный для учета демпфирующего воздействия твердой границы на механизм турбулентного переноса.

Для проведения такой модификации рассмотрим определяющую систему уравнений двухпараметрической теории:

ij U i U i P + 2U i + +U j =, (3.41) t xj xi xj

–  –  –

* А. Ф. Курбацкий, С. В. Поросева, С. Н. Яковенко. Вычисление статистических характеристик турбулентного течения во вращающейся круглой трубе // Теплофизика высоких температур. 1995. 33(5). С. 738 748.

** А. Ф. Курбацкий, С. В. Поросева. К моделированию предельного режима стабилизации средней скорости турбулентного потока во вращающейся прямой круглой трубе // Инженерно-физический журнал.1999. 72(2). С. 287-291.

–  –  –

где ai = ai ( x, z, t ), bi = bi ( x, z, t ), ci = ci ( x, z, t ), x, z координаты в плоскости, перпендикулярной нормали к твердой границе.

Вследствие условия «прилипания» на твердой границе (обращения в нуль вектора турбулентной скорости на твердой границе) в разложениях (3.52) отсутствуют члены с коэффициентами a0, b0, c0, а из уравнения неразрывности следует, что b1 = 0.

–  –  –

где ReT = E 2 /( ) турбулентное число Рейнольдса, y + u* y / безразмерная пристенная координата.

Вид функции (3.59) не является единственным. Однако любой друг вид непременно должен удовлетворять асимптотике функции f вблизи поверхности и данным измерений. Отметим, что функция f играет роль Рис. 20.

Демпфирующая функция f пристенного варианта двухпараметричеопытные данные * ; сплошная кривая результат ской теории турбулентности:

вычисления по двухпараметрической теории турбулентности «плавного сопряжения» линейного профиля средней скорости в вязком подслое с логарифмическим профилем скорости (см. «Лекции…», часть ).

Физический смысл формулы (3.59) ясен и из вида выражения для турбулентной вязкости (3.58). Вдали от твердой границы (стенки), где турбулентное число Рейнольдса велико, T E l, и турбулентная вязкость создается сравнительно крупномасштабными энергонесущими вихрями;

однако вблизи стенки T ( E 2 / ) / ReT = E 1/ 2, и турбулентная вяз

–  –  –

за исключением лишь зоны, непосредственно примыкающей к стенке канала ( y + 2 ), а в этой зоне турбулентная диффузия мала по сравнению с вязкой диссипацией и вязкой диффузией энергии турбулентности. Следовательно, если для турбулентной диффузии принимается аппроксимация в виде DE = ( ui ui u j ), (3.63) xi 2 то модель «градиентной диффузии» (3.62) становится асимптотически согласованной, поскольку правые части (3.62) и (3.63) обе асимптотически стремятся к нулю как y 3. Поэтому обычно исходят из допущения, что * Mansour N. N., Kim J., Moin P. Reynolds Stress and Dissipation Rate Budgets in Turbulent Channel Flows // J. Fluids Mech. 1988. 194, p. 15 44.

–  –  –

хотя и использовалось в различных приложениях теории, по существу произвольное, без какого-либо твердого обоснования, как теоретического, * Corrsin S. The decay of isotropic temperature fluctuations in an isotropic turbulence // J. Aero. Sci. 1951. 18 (6), p. 417 423.

–  –  –

где E1 значение энергии турбулентности в первом узле разностной сетки, расположенном от твердой границы на расстоянии y1 ( y1+ 0,1 ).

Изложенный в этом пункте вариант двухпараметрической теории турбулентности, модифицированный для учета демпфирующего влияния твердой границы на турбулентный перенос импульса, не может рассматриваться безукоризненным с физической точки зрения. Демпфирующие функции введены в теорию, по существу, из соображений феноменологического характера. И хотя такой способ демпфирования дает вполне удовлетворительные результаты для пристенных течений, требуется, конечно, развитие теории, которая основывалась бы на более фундаментальных свойствах структуры турбулентности в окрестности твердой границы.

На рис. 21 приведены результаты численного моделирования классического течения установившегося турбулентного пограничного слоя на плоской пластине как пример приложения пристенного варианта модифицированной двухпараметрической теории турбулентности.

Рис. 21. Результаты вычисления профиля средней скорости U /U 0, кинетической энергии турбулентности E / u* и скорости диссипации энергии турбулентности / u* в турбулентном пограничном слое на плоской пластине. Цифры у кривых отмечают результаты, полученные при различных числах Рейнольдса, а различные символы экспериментальные данные различных авторов ( результаты, полученные LES методом). Линия 5 на верхнем графике соответствует логарифмическому закону распределения средней скорости U / u* = ln y + / 0,41 + 5, 0 Результаты рис. 21, полученные в работе *, свидетельствуют о хорошем согласии между результатами вычисления турбулентных величин и опытными данными. Хотя можно отметить и расхождение в поведении скорости диссипации / u* в непосредственной окрестности стенки, что можно отнести на счет отсутствия естественного граничного условия для диссипации на твердой границе и, как следствие, использования приближенного граничного условия.

3.2. Нелокальная теория турбулентности Нелокальная теория турбулентности основана на полных уравнениях переноса турбулентных напряжений, вектора турбулентного потока скаляра (температуры, концентрации вещества) и дисперсии скалярного поля. В точном виде эти уравнения приведены в первой части «Лекций…» (см.

уравнения (3.17), (3.94) и (3.95)). Получение замкнутой формы этих дифференциальных уравнений переноса для неоднородной турбулентности, а также их упрощенного варианта в виде «градиентной диффузии», составляет основное содержание данного раздела.

3.2.1. Статистическая модель уравнений переноса турбулентных напряжений

Выпишем полученные в «Лекциях…», части 1-й, уравнения для статистических моментов второго порядка:

–  –  –

* A. F. Kurbatskii, S. N. Yakovenko. Diffusion of passive contaminant from a line source in a neutrally stratified turbulent boundary layer // Wind and Structures. 2000.

3(1), p. 11 21.

–  –  –

Уравнения (3.80) (3.82) записаны в наиболее общей форме, учитывающей неоднородность турбулентности, создаваемую не только под влиянием приложенного сдвига средней скорости, но также и за счет работы, выполняемой флуктуирующей силой плавучести. Уравнения (3.80) и (3.81) записаны в приближении Буссинеска (см. «Лекции…», часть 1).

В этом пункте формулируется статистическая модель уравнения переноса для тензора турбулентных напряжений ij.

Три статьи баланса в уравнении (3.80) требуют моделирования: диссипативные процессы ij, процессы турбулентной диффузии Cijk, k и корреляция Пij между пульсациями давления и градиентом турбулентной скорости.

Моделирование вязкой диссипации. Свертка тензора ij по индексам дает величину диссипации кинетической энергии турбулентности ( ui / xk ) 2. Основываясь на предположении теории универсального равновесия Колмогорова о локальной изотропии мелкомасштабной структуры турбулентности при больших числах Рейнольдса, можно принять изотропное выражение для тензора диссипации ij = ij. (3.83) Величина находится из решения уравнения переноса (3.46). Следует отметить, что, вообще говоря, анизотропия диссипации может сохраняться и на наименьших масштабах турбулентного движения. Однако в этих лекциях мы не будем рассматривать более сложные модели для тензора ij, имея в виду, что общая стратегия моделирования турбулентности в данних лекциях базируется на концепции равновесной турбулентности Колмогорова, подробно обсуждавшейся в разд 1.

u u j Моделирование корреляции Пij p i +. Корреляция x j xi Пij играет решающую роль в определении структуры турбулентности.

Развитие модели для этой корреляции представляет крайне трудную задачу ввиду сложного характера самой корреляции, а также и потому, что эта корреляция не может быть измерена в эксперименте. Физический смысл корреляции как обменного механизма по выравниванию энергии между пульсационными скоростями различных направлений обсуждался в п.3.3.2 «Лекций…», ч. 1.

Фактически все модели для этой корреляции использовавшиеся совместно с уравнением переноса для турбулентных напряжений, основываются на предположении слабо неоднородной турбулентности.

Для моделирования корреляции необходимо рассмотреть её структуру.

Применяя к уравнению Навье – Стокса

–  –  –

= Пij 1 + Пij 2, где величины со штрихом и без штриха вычисляются в точках x и x соответственно.

Выражение (3.89) показывает, что корреляция Пij включает два типа членов. Во-первых, двухточечные корреляции пульсаций скорости Пij,1 «обменного механизма» энергией между различными компонентами пульсационной скорости и, во-вторых, «быстрые члены» Пij, 2, отражающие воздействие средней скорости деформации U k ( x ) / xl на поле турбулентности.

–  –  –

Часть корреляции Пij1 содержит только турбулентные величины. Эксперименты показывают, что турбулентность за решеткой в аэродинамической трубе, подвергнутая быстрому искажению при прохождении её через сужение («фильтр»), становится неизотропной и будет возвращаться в изотропное состояние после снятия средней скорости деформации. В отсутствие какого-либо другого альтернативного процесса следует полагать, что Пij1 обеспечивает такое возвращение турбулентности в изотропное состояние.

Физическая модель части корреляции Пij1, как «обменного механизма», была предложена Ротта *. Для несжимаемой жидкости Пii = 0 в силу уравнения неразрывности, и, следовательно, это корреляция не дает вклада в общий баланс энергии турбулентности.

Следуя Ротта, представим себе, что два турбулентных элемента жидкости движутся навстречу друг другу со скоростью u1 в направлении оси x1 (рис. 22).

Рис. 22. Конвергенция и дивергенция продольной пульсации скорости При этом происходит замедление (конвергенция) их движения ( u1 / x1 0 ) и возрастание давления в точке 0, p 0. При удалении же двух элементов друг от друга возникает дивергенция продольной пульсации скорости ( u1 / x1 0) и понижение давления в точке 0, p 0. Таким * Rotta J. C. Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz // Zs. Phys. 1951. 129(5), s.

547 572; 131(1), s. 51 77.

образом, в обоих случаях величина p( u1 / x1 ) получается отрицательной, в то время как и p( u2 / x2 ), и p( u3 / x3 ) положительны.

Предположим далее, что u12 больше ( u 2 + u3 ), что может быть обусловлено механизмом генерации энергии турбулентности в уравнении баланса для продольной интенсивности турбулентности u12 (см.

п. 3.2.2 «Лекций…», часть 1). Тогда величина u12 будет уменьшаться с течением времени за счет действия корреляции p( u1 / x1 ), а интенсивности турбулентности u 2 и u3 возрастать за счет действия корреляций p ( u2 / x2 ) и p ( u3 / x3 ). Следовательно, корреляция Пii выполняет функцию «обменного механизма» энергией между пульсациями скорости различных направлений, способствуя выравниванию энергии всех трех пульсационных компонент скорости, и отражает необратимое стремление турбулентности к переходу в изотропное состояние. В каждом самому себе предоставленном турбулентном поле изотропное состояние оказывается наиболее вероятным.

Простейшие соображения о таком выравнивающем действии корреляции Пii сводятся к следующему. Энергия, передаваемая в единицу времени от пульсационной компоненты скорости ui к компоненте u j, пропорциональна разности содержащихся в них кинетических энергий, т. е. величине ( ui2 u 2 ) / 2. Поскольку корреляция Пii отражает общую j потерю энергии, которая передается пульсационной компонентой скорости ui пульсационным компонентам других направлений, можно принять, что

–  –  –

При определении конкретной формы тензорных функций alkij и Aij для рассматриваемого случая однородной турбулентности с постоянным сдвигом средней скорости будем предполагать, что достигнуто равновесное состояние ( bij 0 ), в котором bij, Aij /, alkij / E и E / принимают постоянные значения, не зависящие от начальных условий. Для тензора диссипации будет использоваться изотропная модель ij = ij. Тогда без потери общности можно указать конкретный вид тензорных функций Aij и alkij для двухмерного в среднем равновесного турбулентного течения.

В общем случае тензорные функции Aij и alkij являются функционалами тензора энергетического спектра в пространстве волновых чисел и времени. В рассматриваемом здесь одноточечном замыкании эти тензорные функции являются функционалами тензора турбулентных напряжений и скорости диссипации энергии турбулентности.

В пренебрежении эффектами памяти простые модели для Aij и alkij могут быть получены при использовании соображений размерности и в комбинации с предельным поведением корреляции Пij, которая обращается в нуль в изотропной турбулентности. Указанное ограничение тождественно удовлетворяется, если Aij (0) = 0 и alkij (0) = 0.

Линейная по тензору анизотропии bij модель (3.94) для тензорной функции Aij, сохраняющая инвариантность при преобразовании системы координат, удовлетворяет сформулированному ограничению. Модель Aij = c1 bij (3.97)

–  –  –

Кроме того, выражение (3.95) показывает, что уравнение неразрывности требует, чтобы alkii = 0, в то время как выражение (3.93), полученное в результате прямого интегрирования уравнения Пуассона, требует, чтобы alkik = 2 ul ui.

Каждое из этих ограничений даёт два соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты, и т. д.

Например, последнее из упомянутых выше ограничений требует выполнения следующих равенств:

(3 + 4 ) = 2 и (2 + 3 + 2v) = 0.

Таким образом, четыре условия, которым должна удовлетворять тензорная функция alkij, позволяют выразить четыре неизвестных коэффициента через один из них и записать модель для «быстрых членов» в виде

–  –  –

описывает релаксацию первоначально однородной турбулентности, подвергнутой внезапному искажению посредством наложения постоянного сдвига, к изотропному состоянию ( bij 0 ) при t *. Из этого решения вытекает ограничение, накладываемое на коэффициент c1, которое означает, что c1 2.

Рис. 23. Релаксация компонент тензора анизотропии bij однородной турбулентности, подвергнутой искажению к изотропному состоянию

–  –  –

* Choi K. S., Lumley J. L. Return to isotropy of homogeneous turbulence revisited // Turbulence and Chaotic Phenomena in Fluids, ed. T. Tatsumi. N. Y.: NorthHolland.1984, p. 267 272.

–  –  –

Напомним, что статистическая модель уравнения переноса для тензора турбулентных напряжений необходима при моделировании неоднородной турбулентности в ситуациях, когда существенны

• релаксационные эффекты,

• нелокальные эффекты, возникающие вследствие турбулентной диффузии, которая может приводить к противоградиентному переносу.

Тройные корреляции турбулентного поля скорости ui u j u k в (3.110) должны быть выражены через корреляции второго порядка. Для этого следует рассмотреть точное уравнение переноса для моментов поля скорости третьего порядка, которое может быть получено из уравнения Навье - Стокса путем конструирования момента третьего порядка u k (ui N u j + u j N ui ) = 0.

(3.111) Из (3.111) получается следующее уравнение для одноточечной тройной корреляции турбулентного поля скорости:

–  –  –

где тензор Dijklmn может анизотропно зависеть от напряжений ij.

Для многих несжимаемых турбулентных течений члены с диффузией давления в тензорной функции Cijk могут рассматриваться как пренебрежимо малые по сравнению с тройной корреляцией скорости ui u j u k.

При принятых упрощениях в уравнении переноса для моментов поля скорости третьего порядка (3.112), с учетом симметрии тензора Cijk по всем трем индексам, получается следующая градиентная модель для тройных корреляций турбулентного поля скорости:

–  –  –

Согласно теории универсального равновесия Колмогорова мелкомасштабная структура турбулентности при больших числах Рейнольдса может рассматриваться приближенно как изотропная. Следовательно, девиаторная часть тензора диссипации D ij = 0. При этом тензор диссипации принимает изотропный вид ij = (2 / 3) ij, и для скалярной диссипации должно решаться уравнение переноса (3.118).

Вблизи твердых границ необходима анизотропная коррекция выражения для корреляции Пij, поскольку необходимо учесть демпфирование турбулентных вихрей твердой границей.

Параметризация эффекта твердой границы на турбулентный перенос. В сдвиговом течении твердая граница видоизменяет поле давления, препятствуя переносу энергии от продольной компоненты турбулентной скорости к компоненте скорости, нормальной к границе. Уменьшается и соответствующая величина сдвигового напряжения.

Влияние твердой границы на пульсационное поле давления можно учесть путем добавления аддитивных слагаемых к трем составляющим вкладам корреляции Пij :

–  –  –

где n вектор единичной нормали к твердой границе, r положительный вектор, l характерный линейный масштаб турбулентности. Множитель 3 / 2 необходим для того, чтобы тензор имел нулевой след.

Наиболее простая демпфирующая функция имеет вид f = l / 2,5 y, где y координата по нормали к твердой границе. Вид функции f имеет феноменологическое происхождение и не может рассматриваться как универсальный.

В дополнение к трудной проблеме моделирования спектрального потока энергии турбулентности можно попытаться ответить на часто задаваемый вопрос: как можно при отсутствии надежных измерений величины говорить о том, возникают ли неточности в результатах вычисления турбулентных напряжений и средней скорости из ошибок в определении уровня диссипации энергии турбулентности или это связано со слабостью в моделировании сложных процессов, определяемых корреляцией Пij в ij уравнении?

Источник проблемы таких неточностей можно понять, исходя из физических соображений. Ошибки в определении величины будут иметь тенденцию давать слишком высокий или слишком низкий уровень энергии турбулентности E. Ошибки же в корреляции Пij будут иметь тенденцию давать ошибочные уровни отдельных компонент тензора турбулентных напряжений. Например, плохие результаты вычисления закрученной свободной струи могут проистекать из части корреляции давление деформация Пij 2, если корреляция между продольной и азимутальной компонентами турбулентной скорости получается неверной по знаку.

Для невращающейся осесимметричной струи сравнительно корректными вычисляются уровни турбулентных напряжений. А уровень энергии турбулентности оказывается слишком большим результат, указывающий на - уравнение переноса как на главный источник ошибки.

3.2.2. Перенос статистических характеристик скаляра в неоднородной турбулентности Перенос среднего значения скаляра (температуры, концентрации вещества), вектора турбулентного потока скаляра ui и дисперсии турбулентных флуктуаций скалярного поля 2 описывается уравнениями:

–  –  –

где k коэффициент температуропроводности, средняя плотность.

Уравнение (3.122) по своей структуре подобно уравнению переноса турбулентных напряжений (3.80). Член генерации Pi включает произведения корреляций моментов второго порядка и средних полевых величин и не требует моделирования. Диффузионный перенос потока скаляра ui, обозначенный как Di M и Di T, вызывается молекулярной диффузией и турбулентными корреляциями между пульсациями скорости и давления соответственно, в то время как пульсации давления играют важную недиспергирующую роль в корреляции Пi.

Сделаем существенное для моделирования замечание о генерации Pi турбулентного потока скаляра. Рассмотрим простой пример жидкости, движущейся в направлении оси x1 в условиях градиента температуры / x2. В изотропном поле турбулентных напряжений ( ui u k = ik u mu m ) единственное направление, в котором генерируется поток тепла, совпадает с направлением градиента средней температуры. В этом случае знак генерации Pi 2 обратен знаку градиента температуры. Это же имеет место в неизотропном поле турбулентных напряжений, если средний сдвиг полностью находится в плоскости, нормальной к градиенту температуры (последняя строка в таблице).

Когда направление градиента средней скорости совпадает с градиентом средней температуры, генерируется скалярный поток в направлении основного течения (нелокальный турбулентный перенос тепла). При этом вклад вносится как за счет Pi 1, так и Pi 2.

Если принять допущение о том, что напряжения и потоки скаляра будут иметь тот же знак, что и члены генерации, можно тогда ожидать, что

–  –  –

Модель основывается на простой идее: значение момента второго порядка равно скорости генерации, умноженной на временной масштаб турбулентности. По образному выражению Б. Лоундера (B. E. Launder, 1996), выражение (3.124) есть простая экстраполяция очевидной экономической идеи о том, что «богатство есть заработки, помноженные на время». Как таковое это утверждение представляется большим упрощением. Тем не менее оно скорее истинно, чем ложно, потому что «больше зарабатываешь лучше обеспечен; некто в 50 лет, с его оплаченным домом, будет богаче, чем некто в 25 лет, едва начинающий свою карьеру».

Рассмотрим отношение скалярных потоков:

u1 P + G1 =1. (3.125) u2 P2 + G2 В середине нагретого свободного сдвигового слоя, в отсутствие массовых сил и с единственными отличными от нуля компонентами градиентов температуры / x2 и скорости U1 / x2, опытные данные показывают, что левая часть выражения (3.125) равна приблизительно 1, 3, а правая часть приблизительно равна 1, 6. Вблизи же твердой границы отношение потоков равно приблизительно 2, 2, а отношение членов генерации равно 2,1. То есть наблюдается более чем случайная связь между левой и правой частями выражения (3.125).

Такие схемы градиентного переноса с коэффициентами вихревой диффузии будут давать нулевой (!) турбулентный поток тепла в направлении оси x1, вдоль которого градиент средней температуры равен нулю. Очевидно, что этот эффект нелокальности механизма турбулентного переноса простые модели «градиентной диффузии» в принципе не способны предсказать.

После сделанных замечаний можно перейти к получению замкнутой формы уравнений переноса скалярного свойства (3.122) и(3.123).

Диссипативный тензор ij, а вместе с ним и корреляция i возникают вследствие мелкомасштабных турбулентных движений, поскольку градиенты скаляра (температуры, концентрации) оказываются в них наиболее крутыми. Согласно теории универсального равновесия Колмогорова можно предполагать, что движения, вносящие наибольший вклад в обе диссипативные корреляции, оказываются изотропными. В изотропной турбулентности корреляция ui / xk / xk изменяет знак, если ось xi системы отсчета изменяет направление на противоположное. Однако статистические свойства изотропной турбулентности при таком преобразовании системы отсчета не изменяются.

Единственное значение корреляции ui / xk / xk, совместимое с изотропной турбулентностью, может быть только нулевым:

i = 0. (3.126)

–  –  –

– результат, уже установленный ранее.

Сущность представления (3.127) состоит в том, что в этом выражении нет вязкого стока напряжений сдвига. (Корреляция П ij есть единственный механизм, предотвращающий неограниченный рост недиагональных компонент тензора турбулентных напряжений ui u j ).

До сих пор отсутствуют надежные (экспериментальные) данные, которые позволили бы с уверенностью судить об адекватности представления диссипативных корреляций с помощью изотропных выражений. Прямые измерения недостаточно точны, чтобы можно было сделать однозначные заключения. Прямое численное моделирование, выполненное в Стэнфордском университете (США) в 1984 году (Reynolds W.C. et al.), показало систематическое отклонение от состояния локальной изотропии, однако эти исследования неизбежно ограничены относительно низкими числами Рейнольдса. Если же иметь в виду применение уравнений переноса для моментов второго порядка при решении конкретных задач, то трудно выпутаться из затруднений, связанных с отклонением выражений (3.124) и (3.125) от их изотропной формы из-за ошибок в описании процессов, определяемых корреляциями Пij и Пi. Так что обычной практикой остается принятие изотропных выражений для диссипативных корреляций ij и i и абсорбированием турбулентными частями корреляций Пij и Пi любого отклонения от изотропии в диссипативных процессах.

Модельные выражения для корреляции Пi формулируются на основе тех же принципов, которые были использованы для корреляции Пij.

Поэтому представим корреляцию Пi в виде суммы трех вкладов в неё от различных механизмов:

П i = П i 1 + П i 2 + П i 3. (3.128)

–  –  –

При значении коэффициента c2 = 0, 5 это выражение с успехом использовалось при численном моделировании сдвиговых неизотермических течений.

Эффект воздействия поля внешних массовых сил на турбулентное поле скаляра моделируется по аналогии с выражением (3.108):

Пi 3 = c3 Gi, (3.131) где значение коэффициента c3 = 0, 5 применялось для течений с действием сил плавучести. Точность, с которой эти простые модели могут помочь «поймать» реальный процесс, вряд ли оправдывает отдельную «численную оптимизацию» для каждого коэффициента.

Моделирование процессов турбулентного переноса D i и D2.

Имея в виду, что в данном лекционном курсе излагается по существу только введение в моделирование турбулентности, мы будем следовать той логике при моделировании процессов турбулентной диффузии, D i T и D 2, которая применялась выше при моделировании тройных корреляций скорости Cijk.

Таким образом, для моделирования процессов турбулентной диффузии в уравнениях переноса для моментов второго порядка ui и 2 скалярного поля (температуры, концентрации) может быть применена простая гипотеза обобщенного градиентного переноса

–  –  –

Следует отметить, что симметричные по индексам модели для моментов третьего порядка (3.116), (3.117), (3.134) и (3.135) в практике моделирования неоднородных течений не приводят к лучшему согласию с данными измерений по сравнению с более простыми моделями вида (3.132).

Частично это может быть объяснено, по крайней мере тем, что в уравнения переноса для моментов второго порядка, как правило, не включались какие-либо модели для диффузии давления

–  –  –

Отметим, что уравнение для дисперсии скалярного поля (3.123) вводит в рассмотрение характерный временной масштаб скалярного поля = 2 / 2, (3.137) где ( / x j ) 2 диссипация дисперсии турбулентного скалярного поля.

Для записи 2 уравнения (3.123) в замкнутой форме может быть использовано простое предположение о постоянстве параметра отношения временных масштабов турбулентности скалярного и динамического полей (характерных частот вращения «скалярных» и динамических турбулентных вихрей) R = / = ( 2 / ) /( E / ). (3.138) Согласно данным измерений параметр R в сдвиговых течениях оказывается величиной постоянной, равной приблизительно 0, 5 в центральной части течений, исключая области вблизи твердых границ *. Поэтому далее мы ограничимся использованием этой простой модели для получения замкнутой формы уравнения (3.123). Хотя надо иметь в виду, что, например, в стратифицированных течениях параметр R не остается величиной постоянной **. В плавучих осесимметричных струях этот параметр изменяется от значения 0, 3 при r / x = 0 до значения приблизительно равного 0,1 при r / x = 0,16, прежде чем он начнет быстро убывать по направлению к внешней границе струи ( r и x радиальная и осевая координата соответственно). Переменность параметра R можно учесть, вычисляя временной * Beguier C., Dekeyser I., Launder B. E. Ratio of scalar and velocity dissipation time scales in shear flow turbulence // Phys. Fluids. 1978. 21(3), p. 307 310.

** Shabbir A., Taulbee D. B. Evaluation of turbulence models for predicting buoyant flows // J. Heat Transfer. 1990. 112, p. 945.

масштаб скалярного поля или скалярную диссипацию из соответствующего уравнения переноса.

В отличие от уравнения переноса для турбулентных напряжений, член молекулярной диффузии Di M в уравнении (3.123) не имеет «замкнутой»

формы и нуждается в «моделировании». Его можно переписать в виде

–  –  –

Величина G пропорциональна i = ( + ) ( ui / xk )( / xk ). Корреляция i имеет смысл деструкции турбулентного потока скаляра ui в уравнении баланса (3.122). Как уже было отмечено, деструкция i должна быть равна нулю вдали от твердой границы, поскольку нет изотропного тензора первого порядка. Однако плавучесть генерирует возрастающую анизотропию и, таким образом, i может быть отлична от нуля даже вдали от твердой границы. Поэтому член плавучести должен быть в уравнении, даже если оно используется в ситуациях с большими числами Рейнольдса. Простейшая модель связывает G с G посредством введения коэффициента пропорциональности c 3. Для моделирования

–  –  –

3.3. Явные анизотропные градиентные модели для турбулентных потоков импульса и скаляра Как отмечалось в разд. 3.1 и 3.2, один из основных недостатков двухпараметрической теории турбулентности связан с локальной изотропной моделью для напряжений Рейнольдса (3.4). Напомним, что при калибровке модели принудительно совмещаются главные оси девиаторной части тензора турбулентных напряжений D ij ( = ij ui ui ij / 3 ) и среднего тензора скоростей деформаций. Как результат, нормальные компоненты тензора турбулентных напряжений ii оказываются заведомо неверными.

Действительно, в приближенно однородном течении с постоянным сдвигом скорости U1 / x2 = const 0 измерения * дают следующие значения для компонент тензора анизотропии aij = ui u j / E (2 / 3) ij :

a11 = 0,3 ; a22 = 0,18 ; a33 = 0,12 ; a12 = 0,33.

Вычисления по модели (3.4) дают в лучшем случае следующие значения для компонент тензора анизотропии:

a11 = a22 = a33 = 0, a12 = 0,33.

Таким образом, механизм, обеспечивающий неравенство нормальных турбулентных напряжений, не описывается изотропной моделью Буссинеска (3.4) факт, уже отмечавшийся в разд. 3.2. Вместе с тем, касательные турбулентные напряжения модель (3.4) вычисляет правильно в ситуациях, где приближение (3.4) оказывается справедливым.

Модель Буссинеска (3.4) может также нарушать очевидное условие реализуемости: ui ui 0. Например, легко видеть, что согласно модели (3.4) для продольной компоненты интенсивности турбулентности E 2 T S11 u12 = можно получить отрицательное значение, если средняя скорость деформации S11 окажется чрезмерно большой, хотя практически такие ситуации носят, скорее всего, исключительный характер.

Все вышеизложенное в полной мере относится и к турбулентному переносу скаляра. Гипотеза Буссинеска для турбулентного потока скаляра (температуры) имеет вид u i = kt ( / xi ), где kT = cT ( 2 R )1/ 2 ( E 2 / ) изотропный коэффициент турбулентной диффузии температуры (коэффициент турбулентной температуропроводности). Калибровочный коэффициент пропорциональности cT = 0,095. Его значение окалибровано при моделировании различных неизотермических турбулентных течений, в том числе и термически стратифицированных.

** Champagne F. M., Harris V. G., Corrsin S. Experiments on nearly homogeneous turbulent shear flow // J. Fluid Mech. 1970. 41, p. 81 139.

3.3.1. Явная анизотропная модель градиентного типа для турбулентных напряжений Механизм, приводящий к неравенству нормальных турбулентных напряжений, не может быть описан моделью Буссинеска с изотропной турбулентной вязкостью.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«Глаголев М.В., Фастовец И.А. 2012. Апология редукционизма (редукционизм – как. // ДОСиГИК. Т. 3. № 2(6). ОБЗОРЫ И ЛЕКЦИИ УДК 165.6 АПОЛОГИЯ РЕДУКЦИОНИЗМА (РЕДУКЦИОНИЗМ – КАК МИРОВОЗЗРЕНЧЕСКАЯ ОСНОВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ) Глаголев М.В.1,2,3), Фастовец И.А.3) 1) Институт лесоведения РАН (пос. Успенское, Моск...»

«В ЭТОМ ФАЙЛЕ СОДЕРЖИТСЯ ИНФОРМАЦИЯ ОБ ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЯХ ПРОФЕССОРА Н. О. МЧЕДЛОВА-ПЕТРОСЯНА Николай Отарович МЧЕДЛОВ-ПЕТРОСЯН Nikolay O. MCHEDLOV-PETROSSYAN Профессор, доктор химических наук Professor, Dr. Sci., Chemistry Заведующий кафедрой физической химии H...»

«Аннотация к рабочей программе по математике 5-6 класс под ред. Дорофеева Г.В., Петесрон Л.Г. Рабочая программа по математике линии УМК под ред. Дорофеева Г.В., Петесрон Л.Г. составлена на осн...»

«LATVUAS P J P 2IKATNU AXABEMUA FIZIKAS INSTITOTS ЛКЛД1 ЛШЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР ^7 Г 075 Г. Сильверстон, Р. Дамбург, Р. Протпш, В. Мартыщенко Й ВЫСОКОГО ПОРЯДКА ТЕОРИЯ ДНИ УГЛОВОГО КЖШ0ВСК0ГС СФЕРОИЩЛЬНОГО УРАВЕЕЙИЙ Салаепилс 1985 ИНСТИТУТ ФИЗИКИ Академии наук Латвийс...»

«1961 г. Апрель Т. LXXIII, вып. УСПЕХИ ФИЗЖЧЖС КЖХ НАУК НОВЫЕ ПРИБОРЫ И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИИ ИЗМЕРЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ СПЕКТРОВ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ Г. П. Мельников В настоящей статье излагаются основные способы измерения многомерных спектров в экспериментальной ядерной физике, а...»

«ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ УДК 66.011 В. А. Лашков, С. Г. Кондрашева ОБЗОР НАПРАВЛЕНИЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЭФФЕКТА, ВОЗНИКАЮЩЕГО ПРИ ПОНИЖЕНИИ ДАВЛЕНИЯ ПАРОГАЗОВОЙ СРЕДЫ Ключевые слова: испарение жидкости, сброс давления, кристаллизация, сублимация. Проанализированы области практи...»

«.. ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ЭЛЕКТРООСАЖДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ Yuliy D. Gamburg Giovanni Zangari Theory and Practice of Metal Electrodeposition Ю. Д. Гамбург Дж. Зангари ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА ЭЛЕКТРООСАЖДЕНИЯ МЕТАЛЛОВ Перевод с английского доктора химических наук, профессора Ю. Д. Гамбурга ЭЛЕКТРОННОЕ ИЗДАНИЕ Москва БИНОМ. Лаборатория...»

«Структурная совместимость гидратных оболочек как критерий взаимного распознавания реагирующих биомолекул C.Д. Захаров, В.И. Денисов, М.В. Зюзин, И.В. Мосягина Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Физический институт имени П.Н.Лебедева Российской академии наук Прежде,...»

«НПО УЧЕБНОЙ ТЕХНИКИ "ТУЛАНАУЧПРИБОР" СОВРЕМЕННЫЕ СРЕДСТВА ИЗМЕРЕНИЙ, ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ И ДАТЧИКИ. АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС (С ВЫВОДОМ ИНФОРМАЦИИ НА ДИСПЛЕЙ ПЭВМ) ФОИ-1 ПАСПОРТ. РУКОВОДСТВО ПО ЭКСПЛУАТАЦИИ. 2016 г.1. Назначение. Установка предназначена для проведения лабораторных работ по курсу РАДИОЭЛЕКТРОНИКА, "ФИЗИКА",...»

«ТУМАНЫ ЧЕРНЫХ ЛИЛИЙ   Евгений Головин ТУМАНЫ ЧЕРНЫХ ЛИЛИЙ Стихотворения ЭННЕАГОН ПРЕСС Москва 007  УДК 8- ББК 8-5 Г 6 КТК 60 Г 6 Головин Е. Туманы черных лилий. Стихотворения. — М.: Эннеагон Пресс, 007. — 96 с. Евгений Головин. Вы несомненно знакомы с его изящно-художественно эссеистикой: философия Непознанного — потуи посюст...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по математике составлена на основе федерального образовательного государственного стандарта, Примерной образовательной программы начального общего образования, авторской программы М. И. Моро,...»

«Leaching waste antimony production for the electrolytic solution Zemsky M.1, Kadyshеv S.2, Sаgyndykov Zh.3 Выщелачивание отходов сурьмяного производства с целью получения электролитического раствора Земский М. В.1, Кадышев С.2, Сагындыков Ж.3 1Земский Максим Вениаминович / Zemsky Maхim – инженер, Кадамжайский сурьмяный комбинат...»

«Ecology and Labor Safety УДК 519.6: 331.452 © Н.Н. Налисько ОЦЕНКА АДЕКВАТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УДАРНОЙ ТРУБЫ В ЧИСЛЕННОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ ВЗРЫВА ГАЗОВОЗДУШНОЙ СМЕСИ В ЗАКРЫТОМ ОБЪЕМЕ Обоснованы критерии оценки адекватности математической модели ударной трубы...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Геологический факультет Кафедра геофизики МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО КУРСУ "Региональная геофизика" Для студентовV курса специальностей – 011100 "Геология", 020302 "Геофизика" КАЗАНЬ 2009 Печатается по решению Учебно-методической комисс...»

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Юго-Западный государственный университет" (ЮЗГУ) Кафедра фундаментальной химии и химической технологии...»

«Математика оптимизации Оптимизация функции нескольких переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев ЛЭШ — 2015 23 августа 2015 г. План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной оптимизации Линии уров...»

«ЖУРНАЛ СТРУКТУРНОЙ ХИМИИ 2002, Том 43, № 4 Июль – август С. 605 – 628 УДК 621.382 А.М. БАДАЛЯН, В.И. БЕЛЫЙ, Н.В. ГЕЛЬФОНД, И.К. ИГУМЕНОВ, М.Л. КОСИНОВА, Н.Б. МОРОЗОВА, А.А. РАСТОРГУЕВ, Ю.М....»

«ООО ИВЦ "Инжехим" 420049, г. Казань, ул. Шаляпина, д. 14/83, Тел., факс: (843) 570-23-18, 570-23-28 E-mail: info@ingehim.ru, ingehim@kstu.ru Web: http://www.ingehim.ru ООО ИВЦ “Инжехим” 17 лет сотрудничает с предприятиями нефтехимического комплекса, газои нефтеперерабатывающими заводами в области модернизации технологического о...»

«Июль 1991 г. Том 161, № 7 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК 539[.184+196] ДИНАМИКА ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ ВЫСОКОВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ И.Ш. Авербух, Н.Ф. Перельман (Институт прикладной физики АН Респуб...»

«В. Б. АЛЕКСЕЕВ ТЕОРЕМА АБЕЛЯ в задачах и решениях МЦНМО, 2001 УДК 517.545, 512.54 А 47 ББК 22.144 Алексеев В. Б. А 47 Теорема Абеля в задачах и решениях — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с. 115 илл. ISBN 5...»

«ГОУ ВПО РОССИЙСКО-АРМЯНСКИЙ (СЛАВЯНСКИЙ) УНИВЕРСИТЕТ Составлен в соответствии с У Т В Е Р Ж ДАЮ : государственными требованиями к Директор института минимуму содержания и уровню Казарян Э.М. подготовки выпускник...»

«Н. Ф. Семенюта МАТЕМАТИКА ГАРМОНИИ: КОДЫ ГАРМОНИЧЕСКИХ ПРОПОРЦИЙ, ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРОПОРЦИИ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ Комментарий Алексея Стахова Приходится только удивляться, как глубоко проф. Семенюта проник в проблемы "ма...»

«.04.02 " " МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РА ЕРЕВАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АСМИК АШОТОВНА ШАГИНЯН НАЛИЧИЕ СТРАННОГО КВАРКОВОГО ВЕЩЕСТВА В СВЕРХПЛОТНЫХ НЕБЕСНЫХ ТЕЛАХ АВТ...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Маслянинская средняя общеобразовательная школа № 1 Маслянинского района Новосибирской области (МБОУ Маслянинская СОШ № 1) 633564, ул.Коммунистическая, 1, р.п...»

«Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук Лекционные курсы НОЦ Выпуск 14 Издание выходит с 2006 года Д. М. Чибисов Лекции по асимптотической теории ранговых критериев Москва УДК 519.23 ББК...»

«MetrolExpo-2011 • 17-19 мая 2011 • Москва • ВВЦ • Павильон №55 3-ий МОСКОВСКИЙ МЕЖДУНАРОДНЫЙ СИМПОЗИУМ "ТОЧНОСТЬ. КАЧЕСТВО. БЕЗОПАСНОСТЬ" ДЕЛОВАЯ ПРОГРАММА 17-19 мая, 2011 г., Москва, ВВЦ, па...»

«УДК 537.525 Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2010, вып. 2 Ю. И. Анисимов, А. Ч. Машек, К. Е. Метельский, Е. Л. Рябчиков ИМПУЛЬСНОЕ ПОЛУЧЕНИЕ ПАРОВ МЕТАЛЛОВ НА ОСНОВЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ДИСПЕРСНЫХ СРЕД Задача импульсного получения "чистых" паров металлов большой концентрации до сих пор актуальна в р...»

«Задания B16. Расчеты по формулам 1. B 16 № 46. Период колебания математического маятника (в секундах) приближенно можно вычислить по формуле, где — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды. Решение.Подс тавим в формулу значение : Ответ: 2,25.2. B...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.