WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«43. Радченко С.Г. Планирование эксперимента в нестандартных областях факторного пространства // Международная конференция «Компьютерная математика в образовании и научных исследованиях» ...»

43. Радченко С.Г. Планирование эксперимента в нестандартных областях

факторного пространства // Международная конференция «Компьютерная математика

в образовании и научных исследованиях» (КМ’2007). – Вестник ХНТУ. – 2007. –

№ 2(28). – С. 281–285.

УДК 519.242:519.233.5

С.Г. Радченко

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В НЕСТАНДАРТНЫХ

ОБЛАСТЯХ ФАКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

Постановка проблемы. Многофакторные статистические модели получили значительное распространение в научных и прикладных исследованиях. Они используются при создании и совершенствовании различных сложных систем.

Статистические модели особенно необходимы в тех случаях, когда возможности конструирования, производства и эксплуатации, основанные на традиционных физических принципах, исчерпаны или приводят к нецелесообразно большим затратам.

При получении статистических регрессионных моделей необходимо использовать методологию теории планирования эксперимента [1, 2]. Известные традиционные методы планирования многофакторного эксперимента предполагают формы факторных пространств в виде многомерных прямоугольного параллелепипеда (куба), сферы и симплекса. В нестандартных областях факторного пространства поиск наилучших условий получения моделей в общем виде по публикациям не известен, кроме метода регуляризации. Единичные случаи таких задач решались численными методами.



Анализ достижений и публикаций по теме исследования.

Причины возникновения нестандартных областей факторного пространства следующие:

1) параметры (факторы) однородного ряда технических и технологических объектов связаны зависимостью близкой к линейной [3, с. 338], 2) обработка результатов эксперимента при условии, что уровни факторов не могут быть достаточно точно выдержаны по матрице плана эксперимента, 3) Обработка результатов пассивного (специально не организованного) эксперимента.

В нестандартных областях факторного пространства наблюдается корреляция факторов и, следовательно, их главных эффектов и взаимодействий при построении регрессионных моделей. Мультиколлинеарность эффектов (взаимная сопряженность их) затрудняет или делает невозможным устойчивое определение структуры и коэффициентов уравнения регрессии, содержательную интерпретацию причинных и структурных связей между эффектами и моделируемым откликом. При значительной мультиколлинеарности эффектов задача является некорректно поставленной и целесообразное использование уравнения регрессии теряет смысл.

Редактор русского перевода сборника статей [4] д.ф.-м.н. Н.Г. Волков считает, что «необходимы устойчивые методы и алгоритмы, обладающие ясными математическими свойствами в смысле их оптимальности» [4, с. 6].

Особенностью широко используемого при получении статистических моделей метода наименьших квадратов является его неустойчивость, «если не делать каких-то дополнительных предположений, которые трудно проверяемы» [5, с. 94]. Поэтому при решении прикладной задачи необходимо, по мнению исследователя, не только сформулировать систему необходимых предпосылок, но и методики их проверок [6];

устойчивость предпосылок и метода получения моделей к сравнительно малым нарушениям принятых условий; систему действий исследователя, если принятые предпосылки не выполняются фактически [7, с. 55–65].

Ведущий научный сотрудник механико-математического факультета МГУ им.





М.В. Ломоносова А.М. Шурыгин, обсуждая проблему устойчивости оценивания параметров распределения и статистических моделей, приходит к следующему выводу.

«В классической статистике отсутствует понятие устойчивости решения, и этим она невыгодно отличается от других ветвей прикладной математики. Предполагается, что если решение оптимально в рассматриваемой модели, то в похожей модели оно будет близко к оптимальному. Но такое предположение не обосновано. На “неуниверсальность” оценок максимума правдоподобия указывал А.Н. Колмогоров» [8, c. 161].

Некоторые специалисты констатируют сложность и трудность решения проблемы мультиколлинеарности: «Однозначного ответа на этот вопрос нет» [9, c. 94].

Цель статьи. Обоснование методов устойчивого оценивания структуры и коэффициентов многофакторных статистических моделей для произвольных (нестандартных) форм факторного пространства с наилучшими возможными критериями качества полученных моделей.

Основная часть. Факторное пространство, соответствующее многомерному прямоугольному параллелепипеду, принимается за прообраз факторного пространства Rпр. Используя методы планирования эксперимента, в прообразе всегда можно получить статистические модели с наилучшими характеристиками. Произвольная область факторного пространства, не соответствующая стандартной форме, принимается за образ факторного пространства Rо. Получить в нем статистические модели с наилучшими характеристиками традиционными методами не представляется возможным. Необходимо найти метод перехода от заданного плохо обусловленного факторного пространства Rо образа к хорошо обусловленному факторному пространству Rпр прообраза, в котором и необходимо решать поставленную задачу.

Впервые предложено использовать топологическое отображение прообраза факторного пространства в образ факторного пространства [7, c. 190– 197]. Две системы Rпр и Rо при взаимно однозначном и взаимно непрерывном отображении будут изоморфными, т. е. равными по виду, форме. Понятие изоморфизма включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма.

Гомеоморфные пространства топологически эквивалентны. При рассмотрении топологического отображения метрические свойства множеств Xпр (прообраз) и Xо (образ) не используются. Следовательно, отображаемые множества Xпр, Xо могут характеризоваться различными метрическими свойствами.

Сформулированы в общем виде пять методов ортогонального представления коррелированных факторов.

1) Ортогональность представления коррелированных факторов путем отображения точек прообраза – значений уровней факторов Xiuпр в соответствующие им точки образа – значения уровней факторов Xiuо (1 i k, 1 u N) [7, c. 195].

Xiо = f iотоб (X1пр,..., Xkпр). (1) Функции f iотоб и обратные функции fiотоб должны быть непрерывны.

Функции отображения f iотоб впервые предлагается для случая линейного ограничения формы образа задавать в виде структуры полного факторного эксперимента 2k.

(1 + x1)(1 + x2)…(1 + xk) NП.

Для случая криволинейного ограничения формы образа впервые предлагается использовать ограничительные линии второго порядка и криволинейные поверхности, полученные на основе структуры многофакторного эксперимента 3k или 3k-p.

(1 + x1 + z1)(1 + x2 + z2)…(1 + xk + zk) NП(NД), где 1 – значение фиктивной независимой переменной x0 1; x1, x2, …, xk – линейные ортогональные контрасты факторов X1, X2, …, Xk; z1, z2, …, zk – квадратичные ортогональные контрасты факторов X1, X2, …, Xk; k – число факторов; NП(NД) – общее число структурных элементов, равное соответственно 2k, 3k или 3k–p; p – дробность реплики; p = 1; 2 для k = 4; 5. Предполагается, что k = 2, …, 5.

Коэффициенты функции отображения fiотоб определяют, используя метод наименьших квадратов.

На рис. 1, 2 и рис. 3, 4 показаны области образа и прообраза соответственно при линейных и криволинейных ограничениях образа для k = 2; 3. Коэффициенты парной корреляции факторов rij(Xiо, Xjо) в образе отличны от нуля, а в собственных кодированных координатах образа rij(xiо, xjо) и в прообразе rij(Xiпр, Xjпр) равны нулю.

Рис. 1. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 2 Рис. 2. Области образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 3 Отображение точек плана эксперимента Xiuпр прообраза в точки Xiuо образа с использованием моделей отображения (1) фактически представляет получение плана эксперимента в образе при условии использования в прообразе и образе собственной кодированной системы координат (рис. 3).

Хорошие свойства оценок коэффициентов статистических моделей в области прообраза и их единственность сохраняется при топологическом отображении и в области образа, что следует из доказанной проф. Т. Андерсоном леммы 3.2.3 и следствия из нее 3.2.1 [10, c. 69].

Рис. 3. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k = 2 Рис. 4. Области образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k = 3 В основу исследования и обоснования топологического отображения принята теория групп преобразований. Фигуры прообраза Фпр и образа Фо находятся в отношении эквивалентности, т. е. Фпр Фо, так как для них выполняются бинарные отношения эквивалентности: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

Гомеоморфность фигур Фпр и Фо была подтверждена проведенным вычислительным экспериментом [7, c. 295–298].

Другие методы и подходы устойчивого оценивания статистических моделей:

2) установление собственной кодированной системы координат в области прообраза и в области образа [7, c. 286–289], 3) планирование эксперимента с использованием фиктивных факторов [7, c. 328–341], 4) применение сложных функций [7, c. 341–344],

5) выбор оптимальных координат факторного пространства [7, c. 344–351].

Выводы и перспективы дальнейших исследований.

1. Впервые предложен, разработан и обоснован метод гомеоморфного отображения для построения оптимальных планов экспериментов и повышения устойчивости регрессионных моделей в условиях взаимной сопряженности факторов.

2. При использовании разработанного метода устойчивого оценивания в произвольной по форме факторном пространстве образа можно планировать эксперимент и получать наилучшие возможные критерии качества статистических моделей.

В дальнейшем необходимо продолжить разработку анализа вкладов эффектов факторов Xiо по полученным статистическим моделям в области образа.

ЛИТЕРАТУРА:

Налимов В.В. Теория эксперимента. М.: Наука. – 1971. – 208 с. – (Физикоматематическая библиотека инженера).

Налимов В.В., Голикова Т.И. Логические основания планирования 2.

эксперимента. – 2-е изд., перераб. и доп.– М.: Металлургия, 1981. – 152 с.

Половинкин А.И. Основы инженерного творчества: Учеб. пособие для студентов 3.

втузов. – М.: Машиностроение, 1988. – 368 с.

Устойчивые статистические методы оценки данных / Пер. с англ.

4.

Ю.И. Малахова; Под ред. Н.Г. Волкова. – М.: Машиностроение, 1984. – 232 с.

Тихонов А.Н. [Выступление на годичном общем собрании Академии наук

5.

СССР] // Вестн. Акад. наук СССР. – 1989. – № 2. – C. 94–95.

Радченко С.Г. Система предпосылок регрессионного анализа и ее выполнение 6.

при проведении прикладных исследований // Вестн. Нац. техн. ун-та Украины «Киев. политехн. ин-т». Машиностроение. – 2001. – Вып. 41. – С. 20–27.

Радченко С.Г. Устойчивые методы оценивания статистических моделей:

7.

Монография. – К.: ПП «Санспарель», 2005. – 504 с.

Шурыгин А.М. Прикладная стохастика: робастность, оценивание, прогноз. – М.:

8.

Финансы и статистика, 2000. – 224 с.

Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начал. курс:

9.

Учебник. – 5-е изд., испр. – М.: Дело, 2001. – 400 с.

Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Пер. с англ.

10.

Ю.Ф. Кичатова; Под ред. Б.В. Гнеденко. – М.: Физматгиз, 1963. – 500 с.

РАДЧЕНКО Станислав Григорьевич – к.т.н., доцент кафедры технологии машиностроения Национального технического университета Украины «КПИ».

Научные интересы:

– высокая технология проведения наукоемких исследований, теория планирования эксперимента, многофакторный регрессионный анализ.



Похожие работы:

«УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 156, кн. 3 Физико-математические науки 2014 УДК 519.7 СЛОЖНОСТЬ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОГРАММ ДЛЯ ЧАСТИЧНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ А.Ф. Гайнутдинова Аннотация Упорядоченные ветвящиеся диаграммы реше...»

«Некоторые алгебро-геометрические методы в математической физике В.В. Жаринов 21 января 2008 г. 1 E-mail: zharinov@mi.ras.ru 2 Буду рад любым замечаниям, указаниям на ошибки, неточности, опечатки. Оглавление 1 Алгебраический минимум 7 1.1 Язык категорий......................... 8 1.1.1 Категории....»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ ГЕОЛОГИЯ И ГЕО ФИЗИКА Геология и геофизика, 2011, т. 52, № 12, с. 1974—1986 РОЛЬ ПЛЮМОВ В ТЕКТОНИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ, МАГМАТИЗМЕ И ОРУДЕНЕНИИ УДК 552.3+550.42+553.43 СОРCКОЕ Cu-Mo-ПОРФИРОВОЕ МЕСТО...»

«I ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ ФИЗИКИ О. Е. Баксанский (Москва) О. Е. Баксанский Физика и математика: методология современного естествознания Физика и математика: методология современного естествознания Современная...»

«САЛЬНИКОВ Сергей Георгиевич СПИНОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В ЭЛЕКТРОН-ПРОТОННОМ И НУКЛОН-АНТИНУКЛОННОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ 01.04.02 – теоретическая физика АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук НОВОС...»

«116 Геология. Химия. Природные ресурсы УДК 553.411 (576.61) А.В. Мельников, В.А. Степанов, А.С. Вах БЕРЕЗИТОВЫЙ РУДНО-РОССЫПНОЙ УЗЕЛ: ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ СТРОЕНИЕ И ПЕРСПЕКТИВЫ ЗОЛОТОНОСНОСТИ Установлена интрузивно-купольная структура Березитового руднороссыпного узла. Определены основные закономе...»

«Perfection Plus Varnish Лаки ОПИСАНИЕ ПРОДУКЦИИ Лак с предельно высокими характеристиками, сочетающий стойкость к химическому воздействию и износоустойчивость с превосходным  глянцем. Улучшенная форма лака Perfection Plus Varnish, который содержит фильтр от ултрафиолета, даст максимально возможный срок жизни. * В четы...»

«ЭПИСТЕМОЛОГИЯ & ФИЛОСОФИЯ НАУКИ · 2010 · Т. XXVI · № 4 Платон и современная космология В.В. КАЗЮТИНСКИЙ Отмечается большое влияние некото рых идей Платона на философские основа ния современной космологии. Но одни ис следователи прибегаю...»

«ISSN 2413-516Х ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН ТАДЖИКСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПАЁМИ ДОНИШГОЊИ МИЛЛИИ ТОЉИКИСТОН (маљаллаи илмї) БАХШИ ФИЛОЛОГЇ 4/6 (97) ВЕСТНИК ТАДЖИКСКОГО НАЦИОНАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА (научный журнал) СЕРИЯ ФИЛОЛОГИЯ ДУШАНБЕ: "СИНО"   ДОНИШГОЊИ МИ...»

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _ В.С.Бухмин ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ ОБЩАЯ АСТРОФИЗИКА 2: ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ АСТРОФИЗИКА Цикл СД.7 Специальность: 010900 Астрономия Принята на заседании кафедры кафедра астрономии и космической гео...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.