WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные Лектор Рожкова С.В. 2012 г. ГЛАВА III. Функции нескольких переменных §12. Определение функции ...»

Математический анализ

Раздел: Функция нескольких переменных

Тема: Определение ФНП.

Предел и непрерывность ФНП.

Частные производные

Лектор Рожкова С.В.

2012 г.

ГЛАВА III. Функции нескольких переменных

§12. Определение функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность ФНП

1. Определение функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть X = {(x1, x2, …, xn) | xiXi }, U.

Функция f : X U называется функцией n переменных.

Записывают: u = f(x1, x2, …, xn), где f – закон, задающий соответствие между x1, x2, …, xn и u.

Значение u = f(x1, x2, …, xn) при x1 = x01, x2 = x02, …, xn = x0n записывают в виде u = f(x01, x02, …, x0n) или u x1 = x01, x2 = x02,K, xn = x0 n

Называют:

X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2, …, xn – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u) ), u (u U) – зависимая переменная (функция).

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП

1) словесный;

2) табличный;

3) аналитический:

а) явное задание (т.е. формулой u = f(x1, x2, …, xn) )

б) неявное задание (т.е. уравнением F(x1, x2, …, xn,u) = 0 ).

4) Функцию z = f(x,y) можно задать графически.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции z = f(x,y) называется геометрическое место точек пространства с координатами (x; y; f(x,y)), (x,y)D(z).



График функции z = f(x,y) будем также называть «поверхностью z = f(x,y) ».

Линией уровня функции z = f(x,y) называют геометрическое место точек (x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение C.

1) Линия уровня – линия в D(z), которая имеет уравнение f(x,y) = C.

2) Линия уровня – проекция на плоскость xOy линии пересечения графика функции z = f(x,y) и плоскости z = C.

Полагаем C равными C1, C1 + h, C1 + 2h, …, C1 + nh.

Получим линии уровня, по расположению которых можно судить о графике функции и, следовательно, о характере изменения функции.

z y x Таким образом, там, где линии «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче).

Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называют геометрическое место точек пространства Oxyz, в которых функция принимает одно и то же значение C.

Уравнение поверхности уровня: f(x,y,z) = C.

2. Предел функции нескольких переменных

Напомним:

Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если 0 0 такое, что если xU*(x0, ), то f(x)U(A, ).

y (x,y) MxOy ;

z = f(x,y) = f(M), где MDxOy. M ( x; y ) x (x,y,z) MOxyz

–  –  –

3) Так как формально определение предела функции n переменных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной, то все утверждения, которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела функции n переменных.

4) Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно (сформулировать самостоятельно).

3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M0 n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M0 если справедливо равенство lim f ( M ) = f ( M 0 ) M M 0 или, иначе говоря, если 0 0 такое, что (т.е. | MM0 | ), если MU(M0,) f(M)U(f(M0), ) (т.е. | f(M) – f(M0) | ).





то

Справедливы утверждения:

1) арифметические операции над непрерывными в точке M0 функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль);

2) сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, тоже будет непрерывной.

Если функция u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M0 (за исключением, может быть, самой M0), но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M0, а саму точку M0 – точкой разрыва.

Пусть G – некоторое множество точек в n и M0G.

Точка M0 называется внутренней точкой множества G, если U(M0,)G.

Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется открытым.

Точка M0 называется граничной точкой множества G, если в любой ее -окрестности есть как точки из G, так и точки, не принадлежащие G.

Множество всех граничных точек множества G называется его границей.

Множество, содержащее свою границу, называется замкнутым.

Множество G называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек этого множества.

Замечание.

Непрерывной кривой в n-мерном пространстве называется геометрическое место точек M(x1, x2, …, xn), координаты которых удовлетворяют уравнениям x1 = x1(t), x2 = x2(t), …, xn = xn(t), где x1 = x1(t), x2 = x2(t), …, xn = xn(t) – непрерывные функции параметра t(;).

Связное открытое множество называется областью.

Связное замкнутое множество называется замкнутой областью.

Область, целиком лежащая в некоторой -окрестности точки O(0,0,…,0), называется ограниченной.

ТЕОРЕМА (аналог теорем Вейерштрасса и Коши для ФНП).

Если функция n переменных u = f(M) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то она

1) ограничена;

2) достигает в D своего наибольшего и наименьшего значения;

3) принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.

§13. Частные производные

–  –  –



Похожие работы:

«В.Н.Кузнецов Эра Разума (религия и реальность) Днепропетровск Издательство "Литограф" УДК 001.92 ББК 86.30 К 64 Кузнецов В.Н.К64 Эра Разума: религия и реальность. – Днепропетровск: Издательство "Литограф", 2013.-212с. ISBN 978-966-226...»

«Борис Хасапов Кто Вы, барон Шиллинг? К биографии изобретателя электромагнитного телеграфа Павел Львович Шиллинг (1786 – 1837), член-корреспондент Петербургской академии наук, был физиком и востоковедом, криптографом и основателем русской литографии. Он изобрел первый минный электрический запал и создал пе...»

«Геология и геофизика, 2013, т. 54, № 8, с. 1275—1279 УДК 553.98 (268.53) НАЧАЛЬНЫЕ ГЕОЛОГИЧЕСКИЕ РЕСУРСЫ УГЛЕВОДОРОДОВ ШЕЛЬФА МОРЯ ЛАПТЕВЫХ А.Ф. Сафронов, А.И. Сивцев, О.Н. Чалая, И.Н. Зуева, А.Н. Соколов, Г.С. Фрадкин Институт проблем нефти и газа СО РАН, 677891...»

«КРАТКИЙ ОБЗОР РАБОТ КОМПАНИЙ ХОЛДИНГА HOOD RIVER FINLAND LTD Основным направлением деятельности компаний Холдинга Hood River Finland LTD в лице ООО Акваджет и ЗАО ЭРГ является решение вопросов водоснабжения, водоподготовки питье...»

«ХИМИЯ, 11 (12) класс Анализ результатов, Ноябрь 2016г. Анализ результатов краевой диагностической работы по химии для учащихся 11 (12) классов ОО Краснодарского края 1. Общая характеристика заданий и статистика результатов 14 ноября 2016 г. в Краснодарском крае в соответствии с приказом МОН и МП КК № 4704 от 04.10.2016...»

«с. 5. Феропатнов А. П. Новый подход к оценке качества продукции [Текст] / А. П. Феропатнов // Стандарты и качество. – 1993. – №10. – С. 55–57. 6. Липатов Н. Н. Методологические подходы к проэктированию рецептур многокомпонентных пищевых продуктов III поколения [...»

«Theoretical Research, 30.07.2013 SECTION 31. Economic research, Finance, innovation. Naumov Anatoly Aleksandrovich candidate of technical Sciences, аssociate Professor, Center of Applied Mathematical Research, Novosibirsk, Russia MATHEMATICAL MODEL OF THE SYSTEM OF CAREER MANAGEMENT OF IT-PRODUCTS OF THE BANK The article d...»

«А КАД ЕМИЯ Н А У К СССР С И Б И Р СКО Е О ТД ЕЛЕ Н И Е ТРУДЫ ИНСТИТУТА ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ Выпуск.• О Н. КО У ХИ, И. Т. БАК У М Е КО, В. П. Ч У ПИН. С Н Н МАГМАТИЧЕСКИЙ ЭТАП ФОРМИРОВАНИЯ ГРАНИТНЫХ ПЕГ...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.