WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Даня Вишнев, Даня Евсеев ЛЭШ — 2015 23 августа 2015 г. План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной ...»

Математика оптимизации

Оптимизация функции нескольких переменных

Даня Вишнев, Даня Евсеев

ЛЭШ — 2015

23 августа 2015 г.

План

Функция двух переменных и ее график

Производная функции двух переменных

Задача двумерной оптимизации

Линии уровня

Более чем двумерные случаи

Review

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 2 / 36

План

Функция двух переменных и ее график

Функция

График

Производная функции двух переменных

Задача двумерной оптимизации Линии уровня Более чем двумерные случаи Review Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 3 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Функцией двух переменных называется отображение f, которое каждому элементу некоторого множества упорядоченных пар (x, y ) ставит в соответствие единственное действительное число. Ее обычно обозначают f (x, y ).

Примеры 1 y2 x2 f (x, y ) = f (x, y ) = x 2 + y 2 f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = x + y Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 4 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.



Примеры 1 y2 x2 f (x, y ) = Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.

Примеры 1 y2 x2 f (x, y ) = f (x, y ) = x 2 + y 2 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.





5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.




5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.




5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.




5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.





5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.




5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Определение Графиком функции двух переменных называется множество {(x, y, z) | z = f (x, y )}.

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 Функция двух переменных и ее график Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 5 / 36 План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной оптимизации

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 6 / 36 Производная функции двух переменных На плоскости мы проводили касательную к кривой в точке.

Какой аналог будет для поверхности в пространстве?

Касательная плоскость!

Как ее построить?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 7 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.

8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.
8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.
8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.
8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 Производная функции двух переменных Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 8 / 36 План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной оптимизации Постановка задачи: максимизация Решение задачи максимизации Теорема Пример 1 Пример 2 Пример 3 О существовании решения Последовательная оптимизация Пример 4 Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 9 / 36 Задача двумерной оптимизации Постановка задачи: максимизация

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 10 / 36 Задача двумерной оптимизации Постановка задачи: максимизация Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 10 / 36 Задача двумерной оптимизации Постановка задачи: максимизация

–  –  –

Решение задачи максимизации пара (x *, y * ), такая что для всех (x, y ) из X выполняется f (x *, y * ) f (x, y ) Обязательно ли решение существует?

Единственно ли решение?

Решить задачу максимизации — значит найти все ее решения (все различные пары (x *, y * )) или доказать, что их нет.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 10 / 36 Задача двумерной оптимизации Решение задачи максимизации Решение задачи максимизации пара (x *, y * ), такая что для всех (x, y ) из X (X D(f )) выполняется f (x *, y * ) f (x, y ) Можно было бы перебрать все (x, y ) из D(f ) и выбрать ту, которой соответствует наибольшее значение функции, но точек может быть много.

Нужно как-то оптимизировать перебор.

Например, разделить точки на группы и исключить некоторые из них из рассмотрения.

Но как это сделать?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 11 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Для задачи одномерной оптимизации мы сформулировали теорему.

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 12 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Немного об -окрестностях.

Каков аналог интервала на плоскости?

А в 3-мерном пространстве?

А в n-мерном?

-окрестность точки на прямой, плоскости и в пространстве Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 13 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Теорема (2.2) Если для каждой точки некоторого -круга (без границы) из D(f ) верно хотя бы одно из утверждений fx 0, fx 0, fy 0, fy 0, то (x *, y * ) не принадлежит этому -кругу.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Доказательство Предположим, от противного, что это не так. Пусть (x *, y * ) принадлежит этому -кругу. Мы знаем, что в этой точке выполняется хотя бы одно из неравенств fx 0, fx 0, fy 0, fy 0. Пусть, для определенности, это fx 0 (для других неравенств рассуждения аналогичны). Тогда, рассмотрим сечение той поверхности, на которой мы ищем самую высокую точку, плоскостью y = y *. Поверхность и эта плоскость пересекаются по некоторой кривой. В точке x * производная этой кривой по x положительна, то есть найдется окрестность точки x *, в которой данная кривая строго возрастает. Значит, найдется такое число, что f (x * +, y * ) f (x *, y * ). Но ведь по определению, (x *, y * ) для всех (x, y ) из D(f ) выполняется f (x *, y * ) f (x, y ).

Противоречие!

То есть (x *, y * ) не принадлежит этому -кругу, что и требовалось.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.

14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г.
14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Доказательство Предположим, от противного, что это не так. Пусть (x *, y * ) принадлежит этому -кругу. Мы знаем, что в этой точке выполняется хотя бы одно из неравенств fx 0, fx 0, fy 0, fy 0. Пусть, для определенности, это fx 0 (для других неравенств рассуждения аналогичны). Тогда, рассмотрим сечение той поверхности, на которой мы ищем самую высокую точку, плоскостью y = y *. Поверхность и эта плоскость пересекаются по некоторой кривой. В точке x * производная этой кривой по x положительна, то есть найдется окрестность точки x *, в которой данная кривая строго возрастает. Значит, найдется такое число, что f (x * +, y * ) f (x *, y * ). Но ведь по определению, (x *, y * ) для всех (x, y ) из D(f ) выполняется f (x *, y * ) f (x, y ).

Противоречие!

То есть (x *, y * ) не принадлежит этому -кругу, что и требовалось.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 14 / 36 Задача двумерной оптимизации Теорема Теорема (2.2) Если для каждой точки некоторого -круга (без границы) из D(f ) верно хотя бы одно из утверждений fx 0, fx 0, fy 0, fy 0, то (x *, y * ) не принадлежит этому -кругу.

Что из этого следует? Что можно сказать про точку (x *, y * )?

Внутренние точки области определения, в которых хотя бы одна частная производная положительна или отрицательна, не могут быть решением задачи оптимизации.

Это может быть либо внутренняя точка области определения с нулевыми частными производными по обеим переменным, либо граничная точка области определения, либо точка, в которой не существует хотя бы одной из частных производных (а вторая не положительна и не отрицательна).

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 15 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 1 Задача (q1, q2 ) = q1 q2 + 8q1 + 10q2 + 10 max q1,q2 R Решение Заметим, что (q1,q2 ) = f (q1 ) + g (q2 ) + 10, f (q1 ) = q1 + 8q1, g (q2 ) = q2 + 10q2.

Графики f (q1 ) и g (q2 ) — параболы, с ветвями вниз (с вершинами q1 = 4, q2 = 5), поэтому несложно убедиться, что f (q1 ) 16, g (q2 ) 25. Отсюда (q1,q2 ) 16 + 25 + 10 = 51, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда q1 = 4, q2 = 5.

** Значит, (q1, q2 ) = (4, 5).

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 16 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 17 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 18 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 18 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 18 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 18 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 18 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 2

–  –  –

Решение По Теореме 2.2 исключим из рассмотрения все точки, в которых хотя бы одна из частных производных не нулевая (т.к. все точки — внутренние, а частные производные везде существуют).

fx = 4x + 4 + 4y = 0 y = x 1, fy = 4x + 2 2y = 0 y = 2x + 1.

Точка (2, 3) — единственная точка, где обе частные производные нулевые.

Но мы снова не можем быть уверены в существовании решения.

Почему?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 20 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3

–  –  –

Решение По Теореме 2.2 исключим из рассмотрения все точки, в которых хотя бы одна из частных производных не нулевая (т.к. все точки — внутренние, а частные производные везде существуют).

fx = 4x + 4 + 4y = 0 y = x 1, fy = 4x + 2 2y = 0 y = 2x + 1.

Точка (2, 3) — единственная точка, где обе частные производные нулевые.

Но мы снова не можем быть уверены в существовании решения.

Почему?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 21 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3

–  –  –

Решение По Теореме 2.2 исключим из рассмотрения все точки, в которых хотя бы одна из частных производных не нулевая (т.к. все точки — внутренние, а производная везде существует).

fx = 4x + 4y + 4 = 0 y = x 1, fy = 2y + 4x + 2 = 0 y = 2x + 1. Точка (2, 3) — единственная точка, где обе частные производные нулевые. Но мы снова не можем быть уверены в существовании решения.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 22 / 36 Задача двумерной оптимизации О существовании решения Теорема (Вейерштрасса) Непрерывная функция на компакте ограничена и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема (следствие теоремы Вейерштрасса) Непрерывная функция от двух переменных на множестве упорядоченных пар (x, y ), где x [xmin, xmax ], y [ymin, ymax ], ограничена и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 23 / 36 Задача двумерной оптимизации Последовательная оптимизация

–  –  –

Решение задачи максимизации пара (x *, y * ), такая что для всех (x, y ) из X выполняется f (x *, y * ) f (x, y ) Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 24 / 36 Задача двумерной оптимизации Последовательная оптимизация

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 24 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 25 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 4

–  –  –

Решение fx = 2x + y = 0 y = 2x, поэтому если (x *, y * ) существует, то его координаты удовлетворяют y * = 2x *. То есть если решение задачи существует, то его координаты имеют вид (x, 2x). Подставим их в функцию.

f (x, 2x) = x 2 + 2x 2 4x 2 = 3x 2, ее график — парабола с ветвями вниз, поэтому (0, 0) — решение.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 26 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 4

–  –  –

Почему наше решение работает?

Можем ли мы что-то пропустить?

Можем ли мы найти что-то лишнее?

Всегда ли мы что-то найдем?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 27 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3

–  –  –

Решение fx = 4x + 4y + 4 = 0 y = x 1, поэтому если (x *, y * ) существует, то его координаты удовлетворяют y * = x * 1. То есть если решение задачи существует, то его координаты имеют вид (x, x 1). Подставим их в функцию.

f (x, x 1) = 2x 2 + 4x(x 1) + 4x (x 1)2 + 2(x 1) f (x, x 1) = x 2 + 4x 3, график — парабола с ветвями вверх, поэтому решения нет.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 28 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 28 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 28 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 28 / 36 Задача двумерной оптимизации Пример 3 Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 28 / 36 План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной оптимизации

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 29 / 36 Линии уровня Определение Линией уровня функции f (x, y ) называют кривую в плоскости xOy, которая задаются уравнением f (x, y ) = с, где с — какое-нибудь действительное число.

Пример Как будут выглядеть линии уровня функции f (x, y ) = x 2 + y 2 при с = 1, с = 4, с = 9?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 30 / 36 Линии уровня Пример 4 Задача Фирма владеет двумя заводами: TC1 (q1 ) = q1, TC2 (q2 ) = q2. Найдите функцию общих издержек фирмы TC (Q).

–  –  –

Построим в плоскости q1 Oq2 прямую q1 + q2 = Q (Q — const.) и семейство кривых q1 + q2 = c для разных c. График такой кривой представляет собой для каждого конкретного значения c множество точек, для которых издержки производства одинаковы и равны c.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 31 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 Линии уровня Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 32 / 36 План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной оптимизации

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 33 / 36 Более чем двумерные случаи Что если переменных больше, чем 2?

Что если множества точек, удволетворяющих fx = 0, не являются прямыми на плоскости?

Как проверять, не седловую ли точку мы нашли, если функция не является ’параболой с ветвями вниз’ относительно каждой переменной? А если переменных к тому же больше 2?

Правда ли, что метод последовательной оптимизации корректен?

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 34 / 36 План Функция двух переменных и ее график Производная функции двух переменных Задача двумерной оптимизации

–  –  –

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 35 / 36 Review Самое важное из рассказанного Теорема (2.2) Если для каждой точки некоторого -круга (без границы) из D(f ) верно хотя бы одно из утверждений fx 0, fx 0, fy 0, fy 0, то (x *, y * ) не принадлежит этому -кругу.

Теорема (следствие теоремы Вейерштрасса) Непрерывная функция от двух переменных на множестве упорядоченных пар (x, y ), где x [xmin, xmax ], y [ymin, ymax ], ограничена и достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

Даня Вишнев, Даня Евсеев Математика оптимизации 23 августа 2015 г. 36 / 36



Похожие работы:

«Геология и геофизика, 2014, т. 55, № 8, с. 1294—1313 УДК 551.248.2+550.34+550.348.098.32+551.3 ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОЯВЛЕНИЯ И МОДЕЛИ ЛОКАЛИЗАЦИИ ОПАСНЫХ ГЕОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ СЕЙСМОГЕННОЙ АКТИВИЗАЦИИ РАЗЛОМОВ НА ЮГЕ СИБИРИ И...»

«А.В. Гласко ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ МОДУЛЬ 1 "ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ" Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана Лекция 1 §1. Логическая символика. При записи математических выражений будем использовать следующие логические символы: Символ Значение Символ Значение, & и Для любого, для всякого, для всех (от англ. any) или Существует, найдется, и...»

«МАТЕМАТИКА СБОРНИК ЗАДАЧ по углубленному курсу ЕГЭ ОЛИМПИАДЫ ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗ МАТЕМАТИКА СБОРНИК ЗАДАЧ по углубленному курсу Учебно-методическое пособие 3-е издание (электронное) Под редакцией М. В. Федотова Москва БИНОМ. Лаборатория зна...»

«РАЗДЕЛ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Задача 1 Юный химик Вася взвесил 1.5 г железных кнопок и нагрел их HO O OH OH со 100 мл раствора лимонной кислоты H3Cit (см. рисунок). Сразу после O исчезновения ржавчины (но пока железо еще не начало растворяться) HO O он слил всю жидкость и повторил нагревание со с...»

«СОДЕРЖАНИЕ 1.Практическая работа №1. Расчет индивидуального риска.2 2. Практическая работа №2. Построение контуров обратной связи.12 3.Практическая работа №3 Оценка вероятности аварий и катастроф. Построение дерева с...»

«-й у г * * л г т \ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ) И нститут комплексной безопасности _ Кафедра химии М.Т. МЧЕДЛИДЗЕ, В.А. ПАШИ НИН, С.А. МАТАКОВА УГЛЕВОДОРОДЫ И КИСЛО...»

«Математическая Теория Игр и е Приложения, т.5, в.2, с. 3–45 е УДК 519.833 ББК 22.18 УРАВНОВЕШИВАНИЕ КОНФЛИКТОВ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. II. АНАЛОГ МАКСИМИНА Владислав И. Жуковский МГУ им М.В. Ломоносова 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, факультет ВМК e-mail: zhkvlad@yandex.ru Константин Н. Кудрявцев Южно-Уральский государстве...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.