WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Тема: Определение ФНП. Предел и непрерывность ФНП. Частные производные Лектор Пахомова Е.Г. 2012 г. ГЛАВА III. Функции нескольких переменных §12. Определение ...»

Математический анализ

Раздел: Функция нескольких переменных

Тема: Определение ФНП.

Предел и непрерывность ФНП.

Частные производные

Лектор Пахомова Е.Г.

2012 г.

ГЛАВА III. Функции нескольких переменных

§12. Определение функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность ФНП

1. Определение функции нескольких переменных

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.

Пусть X = {(x1, x2, …, xn) | xiXi }, U.

Функция f : X U называется функцией n переменных.

Записывают: u = f(x1, x2, …, xn), где f – закон, задающий соответствие между x1, x2, …, xn и u.

Значение u = f(x1, x2, …, xn) при x1 = x01, x2 = x02, …, xn = x0n записывают в виде u = f(x01, x02, …, x0n) или u x1 = x01, x2 = x02,K, xn = x0 n

Называют:

X – область определения функции (Обозначают: D(u) ), x1, x2, …, xn – аргументы (независимые переменные), U – область значений (Обозначают: E(u) ), u (u U) – зависимая переменная (функция).

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФНП

1) словесный;

2) табличный;

3) аналитический:

а) явное задание (т.е. формулой u = f(x1, x2, …, xn) )

б) неявное задание (т.е. уравнением F(x1, x2, …, xn,u) = 0 ).

4) Функцию z = f(x,y) можно задать графически.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции z = f(x,y) называется геометрическое место точек пространства с координатами (x; y; f(x,y)), (x,y)D(z).



График функции z = f(x,y) будем также называть «поверхностью z = f(x,y) ».

Линией уровня функции z = f(x,y) называют геометрическое место точек (x,y) плоскости, в которых функция принимает одно и то же значение C.

1) Линия уровня – линия в D(z), которая имеет уравнение f(x,y) = C.

2) Линия уровня – проекция на плоскость xOy линии пересечения графика функции z = f(x,y) и плоскости z = C.

Полагаем C равными C1, C1 + h, C1 + 2h, …, C1 + nh.

Получим линии уровня, по расположению которых можно судить о графике функции и, следовательно, о характере изменения функции.

z y x Таким образом, там, где линии «гуще», функция изменяется быстрее (поверхность, изображающая функцию, идет круче).

Поверхностью уровня функции u = f(x,y,z) называют геометрическое место точек пространства Oxyz, в которых функция принимает одно и то же значение C.

Уравнение поверхности уровня: f(x,y,z) = C.

2. Предел функции нескольких переменных

Напомним:

Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0 (пределом функции f(x) в точке x0), если 0 0 такое, что если xU*(x0, ), то f(x)U(A, ).

y (x,y) MxOy ;

z = f(x,y) = f(M), где MDxOy. M ( x; y ) x (x,y,z) MOxyz

–  –  –

3) Так как формально определение предела функции n переменных ничем не отличается от определения предела функции одной переменной, то все утверждения, которые были получены о пределах функции одной переменной и в которых не используется упорядоченность точек числовой прямой, остаются верными и для предела функции n переменных.

4) Определение бесконечно большой функции переносится на случай функции n переменных тоже дословно (сформулировать самостоятельно).

3. Непрерывность функции нескольких переменных Пусть u = f(M) определена в некоторой окрестности M0 n.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция f(M) называется непрерывной в точке M0 если справедливо равенство lim f ( M ) = f ( M 0 ) M M 0 или, иначе говоря, если 0 0 такое, что (т.е. | MM0 | ), если MU(M0,) f(M)U(f(M0), ) (т.е. | f(M) – f(M0) | ).





то

Справедливы утверждения:

1) арифметические операции над непрерывными в точке M0 функциями приводят к непрерывным в этой точке функциям (при условии, что деление производится на функцию, не обращающуюся в ноль);

2) сложная функция, составленная из нескольких непрерывных функций, тоже будет непрерывной.

Если функция u = f(M) определена в некоторой окрестности точки M0 (за исключением, может быть, самой M0), но не является в этой точке непрерывной, то ее называют разрывной в точке M0, а саму точку M0 – точкой разрыва.

Пусть G – некоторое множество точек в n и M0G.

Точка M0 называется внутренней точкой множества G, если U(M0,)G.

Множество, каждая точка которого – внутренняя, называется открытым.

Точка M0 называется граничной точкой множества G, если в любой ее -окрестности есть как точки из G, так и точки, не принадлежащие G.

Множество всех граничных точек множества G называется его границей.

Множество, содержащее свою границу, называется замкнутым.

Множество G называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, состоящей из точек этого множества.

Замечание.

Непрерывной кривой в n-мерном пространстве называется геометрическое место точек M(x1, x2, …, xn), координаты которых удовлетворяют уравнениям x1 = x1(t), x2 = x2(t), …, xn = xn(t), где x1 = x1(t), x2 = x2(t), …, xn = xn(t) – непрерывные функции параметра t(;).

Связное открытое множество называется областью.

Связное замкнутое множество называется замкнутой областью.

Область, целиком лежащая в некоторой -окрестности точки O(0,0,…,0), называется ограниченной.

ТЕОРЕМА (аналог теорем Вейерштрасса и Коши для ФНП).

Если функция n переменных u = f(M) непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то она

1) ограничена;

2) достигает в D своего наибольшего и наименьшего значения;

3) принимает все промежуточные значения между любыми двумя своими значениями.

§13. Частные производные

–  –  –



Похожие работы:

«ЛИСТ БЕЗОПАСНОСТИ Дата выпуска 30-апр-2012 Дата Ревизии 30-апр-2012 Номер редакции 1 готовой спецификации РАЗДЕЛ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ Идентификатор продукта Описание продукта POWERED LIVER BACTERIOLOGICAL Cat No...»

«Озеро Сямозеро (Пряжинский район, Республика Карелия) Автор: М.В. Балагурова  Озеро Сямозеро одно из крупных озер южной Карелии. Находится в бассейне реки Шуи, впадающей в Онежское озеро. Географические координ...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ TP\\I ДЫ ИНСТИТУТА. ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ Выпуск Б. Б. БЕЛИНСКИй. АЛЬПИНОТИПНЫЕ ГИI1ЕРБАЗИТЫ ПЕРЕХОДНЫХ ЗОН ОКЕАН КОНТИНЕНТ ОТJ3етственный редактор д-р геОЛ.-МIIН. наук проф. Г. В. Пunус З Д А Т Е Л Ь С Т В О "Н А У К А" н СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ I-IОВОСIl6ирс...»

«Ермаков Виктор Сергеевич Особенности образования и отжига радиационных дефектов в n-GaN(Si) и p-GaN(Mg) при воздействии различного вида излучения специальность 01.04.07 "Физика конде...»

«НОВЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРЕССИВНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ЛИТЬЯ УДК 621.771.23.669.71 А. В. Ноговицын, И. Р. Баранов Физико-технологический институт металлов и сплавов НАН Украины, Киев СКОРОСТЬ ЛИТЬЯ АЛЮМИНИЕВЫХ И СТАЛЬНЫХ ПОЛОС НА ДВУХВАЛКОВЫХ МАШИНАХ Проведен ан...»

«кж^титут атомной энергии им. И. В. Курчатова В.П. Власов, А.В. Чепкасов ИАЭ-4142/7 ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТНОГО СОСТАВА ПОВЕРХНОСТИ НЕПОДВИЖНОЙ ГРАФИТОВОЙ ДИАФРАГМЫ ТОКАМАКА Т-10 МЕТОДОМ ОБРАТНОГО РАССЕЯНИЯ ИОНОВ СРЕДНИХ ЭНЕРГИЙ Москва 1985 РУБРИКАТОР ПРЕПРИНТОВ ИАЭ 1. Общая, теоретическая и математическа...»

«ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2015, том 58, №5 АСТРОФИЗИКА УДК 523.6 А.М.Буриев, С.Х.Абдуллоев, У.Х.Хамроев, А.А.Ибрагимов, Д.К.Аюбов, Х.Г.Асоев РЕЗУЛЬТАТЫ НАБЛЮДЕНИЙ ДОЛГОПЕРИОДИЧЕСКОЙ КОМЕТЫ C/2011 L4 (PANSTARRS) Институт астрофизики АН Республики Таджикистан (Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х....»

«Государственное образовательное учреждение высшего профессионального обазования "КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Учебно-методическое пособие к практическим работам по курсу "Ядерная геофизика" Казань 2009 Печатается по решению Редакционно-издательского совета ГОУ ВПО "Казанский государственный универси...»

«Химия растительного сырья. 2005. №4. С. 45–52. УДК 541. 183 ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ ФЕРМЕНТАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ КОРОТКОГО ЛЬНЯНОГО ВОЛОКНА НА ЕГО СОРБЦИОННУЮ СПОСОБНОСТЬ Т.Е. Никифорова1*, В.А. Козлов1, Н.А. Багровская2 © Ивановский химико-технологический университет, пр. Ф. Энгельса, 7, Иваново, 153000 (Россия) Е-...»

«12 Прикладная дискретная математика. Приложение на следующий вопрос: насколько велико может быть различие мощностей полных тупиковых (несокращаемых) множеств S, S An ? Например, как ведёт себя (по n при фиксированном m) функция f (m, n) = max |S1 |/|S2 |, где m = |A|, а максимум берётся...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.