«ОЗТ ЛЕКЦИЯ 1 Вводная лекция второй части курса лекций по математическому моделированию теплофизических процессов. Состав второй части курса лекций. Задачи ...»

PHOENICS хорошо себя зарекомендовал как средство для моделирования физических полей по данным о краевых условиях и свойствах объекта или, другими словами, для решения прямых задач математической физики. Однако очень часто возникает необходимость в многовариантном моделировании при решении задач оптимизации, идентификации и управления. Пользователям пакета PHOENICS такие задачи приходится решать путем простого перебора вариантов оптимизируемого процесса и выбирать наилучший с помощью упрощенных критериев анализа результатов моделирования. Это трудоемкий и длительный процесс, результат которого напрямую зависит от опыта постановщика задачи и поэтому может быть отягощен значительным погрешностями.

Мы предлагаем добавить необходимые средства автоматизации подбора оптимальных параметров моделируемого процесса, опираясь на регуляризирующие алгоритмы решения обратных задач.

Вначале формализуем постановку обобщенной обратной задачи следующим образом. Имеется математическая модель исследуемого физического явления. Среди данных, которые могут служить исходной информацией для моделирования этого явления (краевых условий, геометрических параметров и свойств объекта), есть одна (в некоторых случаях - не одна) физическая величина (в общем случае - функция переменных модели), которая требует количественного уточнения своих значений. Обозначим ее, как (X), где под X будем понимать одну или несколько переменных, среди которых могут быть как независимые (время и пространственные координаты), так и зависимые переменные (температура, давление и т. п.).

Обычно как в прямой, так и в обратной задаче вид такой зависимости заранее задается в форме аналитической функции с параметрами:

N Ai i(X), (X) = i =0 где Ai - постоянные параметры (коэффициенты), известные в прямой задаче и неизвестные в обратной;

i(X) - некоторые известные базисные функции, например, полиномы Чебышева или сплайны.

Тогда искомыми величинами при решении обратной задачи будут вектор параметров A = (A1, A2,... AN) или часть его компонент, а также число параметров N (как в предлагаемом подходе, хотя большинство методов решения обратных задач предполагают, что N известно). Определение этих величин и даст решение задачи идентификации, оптимизации или управления, которая сводится к данной обратной задаче.

Таким образом, по сравнению с прямой задачей обратная задача среди условий однозначности имеет некоторый пробел. Для его заполнения, т. е. для обеспечения однозначного решения обратной задачи необходимы дополнительные исходные данные. Ими являются опорные точки и условия регуляризации решения. В задачах идентификации опорные точки задаются на основе экспериментальных данных об исследуемом процессе. В задачах оптимизации и управления они являются отражением рабочих критериев достижения цели процесса оптимизации или управления.

В общем случае каждая опорная точка представляет собой совокупность известного значения рассматриваемого поля, координат пространства и времени, к которым это значение относится, и погрешности измерения или задания этой опорной величины.

Назовем набор опорных значений вектором * = ( 1, 2,... K ). Число компонент этого * * * вектора для обеспечения однозначности решения обратной задачи не должно быть меньшим числа искомых параметров, т.е. должно быть K N. Причем для обеспечения большей точности решения, что особенно важно в задачах идентификации, разница между этими числами должна быть как можно большей.

Будем считать, что вариации опорных значений заданы для всех опорных точек в виде одного среднеквадратичного относительного отклонения от их действительных значений. Эта величина очень важна для организации регуляризированного решения обратной задачи. Кроме нее в процессе регуляризирующего решения могут использоваться условие ограничения на величину искомой функции (X) или ее параметры. Надо выбирать такое решение из всех возможных, для которого (X) или ее производные минимальны, что диктуется желанием получить наиболее устойчивое решение при заданной точности. При этом точность решения обратной задачи может быть оценена по тому, насколько полно удовлетворяется главный критерий качества решения, а именно, насколько мало среднее значение отклонений опорных величин * от значений j, полуj ченных для j-й реперной точки путем моделирования исследуемого процесса при данных значениях вектора искомых параметров A. Другими словами, цель решения обратной задачи методом автоматизированного подбора состоит в том, чтобы выбрать такой вектор A, при котором достигается минимум усредненного отклонения * от, например, среднеквадратичного K ( * j ) 2 / K.

E(A) = (1) j j =1 При этом нельзя забывать о необходимости согласования величины E с уровнем погрешности. Так, соблюдение условия E (2) в значительной мере гарантирует получение устойчивого или наиболее устойчивого решения из возможных его вариантов. Когда достигнут оптимум функции E(A) и соблюдается условие (2), можно не заботиться о регуляризации получаемых решений.

С другой стороны, стремление получить при этом наиболее точный результат заставляет уменьшать E (естественно, если такая возможность есть, например, за счет увеличения N). Тогда условие (2) превращается в равенство, выполнение которого при обязательном обеспечении максимально возможной в этих условиях гладкости функции (X) может служить сигналом получения окончательного решения. При этом есть все основания считать, что соответствующие этому условию размерность и значения вектора A представляют собой оптимальный набор параметров аналитического представления искомой функции (X), т. е. являются решением задачи.

Из постановки задачи следует общая стратегическая линия решения задачи: варьирование функцией (X) до тех пор, пока величина (1), которая зависит от параметров A, не станет равной заданному уровню, а сама (X) - наиболее гладкой из всех возможных в этом случае вариантов ее представления. Кроме этого, успех решения зависит от того, какое время и материальные затраты необходимы для его получения. Поэтому важно должным образом выбрать тактику численного решения, и поскольку PHOENICS был выбран в качестве процедуры численного решения, структура алгоритма управления моделированием должна принимать в расчет и его особенности.

Как показывает опыт решения обратных задач методом автоматизированного подбора, наиболее приемлема структура алгоритма, приведенная на рис. 3.

Рис. 3. Общая структура алгоритма решения обратной задачи.

Алгоритм предполагает последовательное изменение количества базовых функций N от единицы до числа опорных точек K, если до этого не произойдет нарушения условия (2), вызывающего останов варьирования числом N из-за достижения необходимой точности решения обратной задачи. Для каждого значения N решается задача нахождения такого вектора параметров A, который обеспечивает оптимальное представление набора опорных значений * вектором, т.е. выполнение условия *. (3) При этом определение осуществляется путем моделирования на PHOENICSе, а весь процесс решения обратной задачи выглядит как серия обращений к PHOENICSу блока оптимизации (X), который, в свою очередь, подвергается итеративным настройкам со стороны блока выбора N.

Когда выбор N сделан, подключается блок алгоритма, осуществляющий регуляризацию решения путем поиска такого набора параметров A, который обеспечит выполнение условия (2) при максимальной гладкости аппроксимирующей функции (X). Максимально гладкой, как известно,