WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 |

«ОЗТ ЛЕКЦИЯ 1 Вводная лекция второй части курса лекций по математическому моделированию теплофизических процессов. Состав второй части курса лекций. Задачи ...»

-- [ Страница 1 ] --

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 1

Вводная лекция второй части курса лекций по математическому моделированию

теплофизических процессов. Состав второй части курса лекций. Задачи математической

физики на примере задач теплопроводности. Математическая модель явления

теплопроводности. Причинно-следственные связи. Классификация обратных задач.

Вторая часть курса лекций по математическому моделированию теплофизических процессов посвящена применению методов математического моделирования для решения такого важного класса задач оптимизационного типа, как обратные задачи теплопроводности (ОЗТ). Общая постановка ОЗТ и примеры их решения были даны в последних лекциях первой части курса. Вторая часть курса лекций посвящена детальному ознакомлению с существующими методами решения ОЗТ и освещает новое направление в решении некорректно поставленных задач идентификации, оптимизации и управления, сложившееся в последние десятилетия благодаря усилиям большого числа ученых со всего мира, среди которых далеко не последнее место занимает научная школа, сформировавшаяся в ИПМаш НАН Украины во главе с академиком Ю. М. Мацевитым. Сведения, полученные из курса лекций, несомненно, будут полезны всем специалистам, прошедшим подготовку по данной специальности, поскольку рассматриваемая тематика касается очень широкого круга теоретических и прикладных проблем.

Список лекций:

1 Вводная лекция второй части курса лекций по математическому моделированию теплофизических процессов. Состав второй части курса лекций. Задачи математической физики на примере задач теплопроводности. Математическая модель явления теплопроводности. Причинно-следственные связи. Классификация обратных задач.



2 Виды постановок ОЗТ. Корректность обратных задач. Единственность решения.

3 Устойчивость и принципы регуляризации решений ОЗТ. Метод регуляризации, разработанный академиком А. Н. Тихоновым.

4 Классификация методов решения обратных задач. Классифицирующие признаки. Отличие в классификации внутренних (коэффициентных) и внешних (граничных) ОЗТ. Неэкстремальные и экстремальные методы. Преобразования модели.

5 Неэкстремальные методы решения внешних (граничных) и внутренних (коэффициентных) ОЗТ.

6 Экстремальные методы решения внешних (граничных) и внутренних (коэффициентных) ОЗТ.

7 Метод автоматизированного подбора. Параметризация. Минимизация. Регуляризация.

8 Метод спектральных функций влияния.

9 Градиентные алгоритмы решения ОЗТ школы проф. О. М. Алифанова. Итерационная регуляризация.

10 Метод оптимальной динамической фильтрации.

11 Планирование эксперимента для решения ОЗТ.

12 Общий инженерный подход к решению ОЗТ, разработанный профессором Круковским П. Г.

13 Получение исходных данных для решения ОЗТ путем проведения теплофизического эксперимента.

14 Пакет программ «MEASURES» для автоматизации теплофизического эксперимента.

15 Технические и программные средства для решения ОЗТ

Рекомендуемая дополнительная литература:

1. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности в 2-х т. - Киев: Наук. думка, 2002. с.

2. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клер Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. - 312 с.

3. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

4. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассопереноса (общий инженерный подход). Киев:





Ин-т техн. теплофизики НАН Украины, 1998. -224 с.

Математическая модель явления теплопроводности

–  –  –

Причинно-следственные связи В зависимости от того, что задано в задаче и что требуется в ней определить, задачи мат.

физики делятся на прямые и обратные. В прямой задаче по известному уравнению физического процесса и условиям однозначности определяется поле, например температур. Если имеются данные о температурах, а требуется определить какое-либо из условий однозначности или уточнить саму математическую модель явления, то такая задача называется обратной. При этом направление потока информации в прямой задаче совпадает с направлением причинно-следственных связей процесса теплопроводности, а в обратной он противоположен им, что иллюстрируется схемой:

Классификация прямых и обратных задач. Задачи идентификации, оптимизации и управления. Примеры ОЗТ По классификации ОЗТ они разделяются в соответствии с принадлежностью искомых параметров к условиям однозначности на внешние, внутренние, геометрические, временные и модельные. При решении внешних ОЗТ (граничных или просто обратных) по известной информации о температурном поле, известным ТФХ, начальным условиям и геометрии области определяются граничные условия теплообмена. Внутренняя ОЗТ (коэффициентная или инверсная) состоит в идентификации ТФХ и мощностей внутренних тепловых источников при заданных краевых условиях, геометрии и отдельных (опорных) значениях температурного поля. В геометрической ОЗТ определяются геометрические параметры объекта, а во временной (ретроспективной или обращенной) - более раннее тепловое состояние (как бы происходит обращение времени). В отличие от упомянутых ОЗТ, относящихся к задачам параметрической идентификации, модельная (или индуктивная) ОЗТ, состоящая в уточнении структуры уравнений в математической модели процесса по известным условиям однозначности и сведениям о температурном поле, составляет предмет структурной идентификации. Кроме того, в последнее время вошел в обиход еще один термин комбинированные ОЗТ, задачи, решение которых позволяет провести одновременную идентификацию параметров, входящих в различные условия однозначности (например, ТФХ и ГУ).

–  –  –

Виды постановок ОЗТ. Корректность обратных задач. Единственность решения.

Как уже упоминалось в предыдущей лекции, в зависимости от того, что задано в задаче и что требуется в ней определить, задачи теплообмена и гидродинамики делятся на прямые и обратные. Если для конкретности ограничится только рассмотрением явления теплопроводности (теплопереноса в твердых телах), то в прямой задаче по известному уравнению теплопроводности и условиям однозначности определяется температурное поле. Если имеются данные о температурах, а требуется определить какое-либо из условий однозначности или уточнить саму математическую модель явления, то такая задача называется обратной. При этом направление потока информации в прямой задаче совпадает с направлением причинно-следственных связей процесса теплопроводности, а в обратной он противоположен им.

По классификации ОЗТ, принятой в научной школе, возглавляемой академиком Ю. М. Мацевитым, они разделяются в соответствии с принадлежностью искомых параметров к условиям однозначности на внешние, внутренние, геометрические, временные и модельные. При решении внешних ОЗТ (иначе называемых граничными или просто обратными) по известной информации о температурном поле, известным ТФХ, начальным условиям и геометрии области определяются граничные условия теплообмена. Внутренняя ОЗТ (коэффициентная или инверсная) состоит в идентификации ТФХ и мощностей внутренних тепловых источников при заданных краевых условиях, геометрии и отдельных (опорных) значениях температурного поля. В геометрической ОЗТ определяются геометрические параметры объекта, а во временной (ретроспективной или обращенной) - более раннее тепловое состояние (как бы происходит обращение времени).

В отличие от упомянутых ОЗТ, относящихся к задачам параметрической идентификации, модельная ОЗТ (индуктивная по другой классификации), состоящая в уточнении структуры уравнений в математической модели процесса по известным условиям однозначности и сведениям о температурном поле, составляет предмет структурной идентификации. Кроме того вошел в обиход еще один термин - комбинированные ОЗТ, задачи, решение которых позволяет провести одновременную идентификацию параметров, входящих в различные условия однозначности (например, ТФХ и ГУ).

В терминах теории автоматизированных систем граничные и временные ОЗТ часто относят к задачам оптимизации и управления, особенно в тех случаях, когда их решение позволяет в реальном масштабе времени обеспечить желаемый или оптимальный тепловой режим. Граничная ОЗТ - типичный пример задачи оптимального проектирования, тогда как внутренняя ОЗТ по всем признакам относится к задачам идентификации и неразрушающего контроля.

А вместе с ПЗТ решение внутренней ОЗТ может составлять ядро тепловой диагностики. Причем среди обратных задач решение внутренней ОЗТ является, пожалуй, наиболее ответственной процедурой, поскольку она дает результаты, характеризующие не какой-то частный тепловой режим, а тепловые свойства, присущие всем случаям тепловой нагрузки данного материала. И если при информационной поддержке математического моделирования без решения, например, граничных (внешних) ОЗТ можно обойтись, задавая только ГУ I рода (граничные температуры), которые легко определяются чисто экспериментальным путем, то без ТФХ обойтись никак нельзя. В связи особой важностью внутренних (коэффициентных) ОЗТ будем в дальнейшем при рассмотрении общих принципов решения обратных задач в качестве примера брать этот их вид.

Для исследования обратных задач удобной записью математической модели является операторное уравнение первого рода Ag = f, g G, f F, где g и f обозначают соответственно искомые и наблюдаемые характеристики модели, принадлежащие некоторым метрическим пространствам G и F.

Оператор A, действующий из G в F, формализуя совокупность операций, определенных исходной математической моделью явления и условиями однозначности, устанавливает причинноследственные связи между искомыми величинами и входными (наблюдаемыми) параметрами. В применении к внутренней ОЗТ величина g может представлять собой вектор (например, вектор коэффициентов A0, A1, … AN при полиномиальном представлении искомой ТФХ) или векторфункцию. В качестве f фигурирует вектор состояния (в данном случае - температурное поле объекта).

Обычно при решении ОЗТ входные величины не могут быть отождествлены с вектором температурного поля f, т. к. представляют собой лишь частичную информацию о тепловом состоянии объекта (т. е. данные о температурах в определенных внутренних и граничных точках или о пространственном распределении температур в фиксированные моменты времени), полученную к тому же с ощутимой погрешностью. Поэтому более правильно операторное уравнение переписать в виде A*g = f*, g G, f* F*, где f* - совокупность входных величин; F* - включающее их нормированное пространство; A* - оператор, отображающий G на F*.

Определяющее значение для решения ОЗТ имеют их вычислительные постановки. Хотя каждая задача имеет свою специфику и всегда можно говорить об особенностях ее постановки, обобщенно все постановки ОЗТ можно разделить на экстремальные (или вариационные) и неэкстремальные.

В экстремальной постановке ОЗТ рассматривается как задача оптимального управления, которая предполагает построение целевого функционала с последующим отысканием его экстремума. Для приведенного выше операторного уравнения это сводится к минимизации функционала невязки E(g) = ||A*g - f*||F*.

Решением ОЗТ в этом случае будет такое значение g, при котором E(g) достигает минимального или близкого к нему заранее обусловленного уровня. Например, в одномерном случае для идентификации теплопроводности (T) путем решения внутренней стационарной ОЗТ по известным краевым условиям (q(0) = q1, T() = T2), геометрии (толщина пластины ) и температуре внутри пластины T* можно минимизировать следующий целевой функционал E() = [ T(x, q1, T2, ) - T*(x) ]2 dx.

В отличие от экстремальной неэкстремальная постановка предполагает возможность решения непосредственно приведенного выше операторного уравнения путем обращения математической модели или алгоритма решения ПЗТ. Тогда это операторное уравнение трансформируется в уравнение g = (A*)-1 f*.

Корректность Внутренняя ОЗТ, как и любая другая математическая задача, может быть успешно решена, если она поставлена корректно.

Задача решения приведенного выше операторного уравнения называется корректно поставленной по Адамару, если:

- для любого f F существует решение g (условие существования решения);

- решение является единственным в G (условие единственности решения);

- решение непрерывно зависит от f (условие устойчивости решения).

Невыполнение хотя бы одного из этих условий свидетельствует о некорректности постановки задачи. Решением некорректно поставленных задач долгое время не занимались, считая их, вслед за Адамаром, лишенными физического смысла. Между тем многие исследования приводят к необходимости решать некорректно поставленные задачи, а, следовательно, требуют развития теории этих задач и методов их решения.

Обратные задачи также относятся к некорректно поставленным. Некорректность постановки ОЗТ обычно заключается в нарушении третьего условия корректности, т. е. в том, что малым погрешностям входных величин f могут соответствовать сколь угодно большие возмущения идентифицируемого элемента g. Это обусловлено спецификой ОЗТ, в которых нарушаются причинноследственные связи. В тепловых процессах температурное поле объекта представляет собой следствие, порождаемое тепловыми воздействиями и другими физическими параметрами, входящими в условия однозначности, которые являются причинными характеристиками, а решение ОЗТ требует определения этих характеристик по их известному следствию, т. е. - налицо физическая некорректность постановки задачи.

Хотя основное внимание обычно уделяется борьбе с неустойчивостью решений ОЗТ, необходимо анализировать все условия корректности: существование решения, его единственность и устойчивость. Существование решения ОЗТ тесно связано с правильным выбором математической модели (оператор A) и наблюдаемостью физического явления (опорные величины f). В математическом смысле вопрос о существовании решения сводится к доказательству принадлежности f области значений оператора A. Для обеспечения этого условия пространства G и F должны быть согласованы между собой. При одном и том же операторе A условие существования решения может выполняться для одной пары пространств G и F и не выполняться для другой.

Единственность Вопрос об однозначной разрешимости каждой конкретной ОЗТ касается многих аспектов ее постановки, которые, естественно, должны быть рассмотрены до непосредственного решения задачи. Проводимые с этой целью математические исследования должны показать, достаточны ли условия, соответствующие выбранной схеме эксперимента, для определения одного реального набора причинных характеристик процесса по наблюдаемому следствию. При этом, как правило, возникают дополнительные требования к искомым функциям и опорным величинам. Эти требования, являющиеся ограничениями на постановку задачи, формулируются в виде теорем единственности решения ОЗТ. Не касаясь чисто математических вопросов, приведем в качестве примера следующие основные требования к исходной информации, приводящие к однозначному решению внутренней ОЗТ (определению (T) и cV(T)).

При одновременной идентификации (T) и cV(T) в нестационарном процессе или определении (T) в стационарном случае исходные данные должны содержать в своем составе хотя бы одну калорическую величину: плотность теплового потока в ГУ II рода, коэффициент теплоотдачи в ГУ III рода, ТФХ эталона в ГУ IV рода или мощность внутренних источников теплоты.

Если рассматривается однородное уравнение теплопроводности (для несоставного объекта, без эталона) и заданы только ГУ I рода, то должна быть известна хотя бы одна реперная точка, т. е. известное значение (T) или cV(T).

При поиске одного из этих свойств при известном втором в нестационарном процессе могут быть заданы только ГУ I рода (калорической величиной является известное свойство).

Необходимое число опорных точек должно быть равно числу искомых параметров.

Причем этим определяется минимально необходимый объем входной информации. Большее число опорных и реперных величин не только допустимо, но и желательно, поскольку позволяет повысить точность решения ОЗТ.

Общее правило: поскольку (T) [Вт/(м К)] и cV(T) [Дж/(м3 К)] - калорические величины, в числе исходных данных тоже должны быть калорические величины.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 3 Устойчивость и принципы регуляризации решений ОЗТ. Метод регуляризации, разработанный академиком А. Н. Тихоновым.

Физическая природа неустойчивости решения обратных задач может быть объяснена в на примере решения внешней ОЗТ. Дело в том, что процессам теплопроводности свойственны сильное сглаживание и существенное запаздывание реакции на граничное воздействие, увеличивающееся по мере удаления точки наблюдения от поверхности теплообмена вглубь тела. На некоторой глубине колебания температуры, вызванные изменением ГУ, затухают практически полностью. Существует предельная глубина расположения измерителя, дальше которой он попадает в зону нечувствительности, когда влияние ГУ оказывается меньше чувствительности измерительной системы. Восстановить условия на границе по показаниям температурного датчика, находящегося в этой зоне, принципиально невозможно.

Что касается внутренней ОЗТ, то устойчивость ее решения в значительно меньшей степени зависит от координат термометрирования, поскольку влияние ТФХ на температурное поле носит более распределенный характер. Тем не менее, потеря устойчивости решения внутренней ОЗТ изза неудачного выбора места расположения датчика температур тоже может произойти, причем тем скорее, чем ближе он находится к границе. Из других причин неустойчивости во внутренних ОЗТ можно назвать необоснованный выбор параметров алгоритма вычислений и вида искомых зависимостей. Так, если при конечно-разностной аппроксимации математической модели выбран слишком мелкий шаг дискретизации времени, то влияние теплоемкости на опорные величины может оказаться несущественным на фоне измерительного шума и погрешности вычислений. Аналогичные трудности возникают и при попытке выявить тонкие особенности ТФХ выбором излишне гибких аппроксимирующих функций без достаточного согласования такого выбора с качеством измерений и спецификой физического процесса.

Несмотря на то, что ОЗТ свойственны все признаки некорректности, они успешно решаются, причем методами, предназначенными для решения корректных задач. Это оказывается возможным, если ввести дополнительные, основанные на физических соображениях ограничения на исходную постановку задачи. В этом смысле важнейшую роль играют условия корректности по Тихонову, выполнение которых позволяет свести некорректную задачу к корректной.

Задача корректна по Тихонову, если выполняются такие условия:

- априори известно, что решение уравнения Ag = f существует и принадлежит множеству допустимых решений M из области определения оператора A;

- решение единственно на множестве M;

- бесконечно малым вариациям f, не выводящим решение из класса M, соответствуют бесконечно малые вариации g.

Множество M, на котором некорректная задача становится корректно поставленной, называется множеством или классом корректности.

Легко заметить, что условия корректности по Адамару и Тихонову совпадают, если G = M, т. е. корректность по Тихонову достигается сужением множества G до класса корректности. Поскольку задача становится корректной по Тихонову только при условии сужения множества искомых решений, ее иногда называют условно-корректной, а устойчивость ее решения - условной.

Одним из путей достижения корректности по Тихонову является сужение множества возможных решений до компактного множества, т. е. такого, в котором можно найти последовательность элементов, сходящихся к элементу этого множества. Вопрос о выборе компактного множества решается в каждой конкретной задаче, исходя из физических соображений. Например, при решении задачи об идентификации постоянного теплового потока при одностороннем нагреве пластины используются свойства тепловой регулярности, что существенно облегчает определение идентифицируемого параметра. В этом случае для сужения множества допустимых решений привлекаются априорные сведения о характере искомой функции (ее постоянство). Кстати сказать, очень часто бывают известны свойства идентифицируемых функций (например, дифференцируемость, знакоопределенность, непрерывность и т. п.). Их учет служит основанием для выделения класса корректности. К методам, использующим указанный подход, относятся методы квазирешений В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева, подбора в интерпретации А. Н. Тихонова, квазиобращения и др.

Изменение исходной постановки путем наложения ограничений на область искомых величин, т. е. сведением некорректных задач к условно-корректным, - не единственный путь получения устойчивых решений ОЗТ. Наибольшее распространение получили методы, предусматривающие регуляризацию решения существенно некорректных задач в их исходной постановке, т. е. без априорного назначения класса корректности. Часть из них опираются на общую теорию регуляризации, разработанную А. Н. Тихоновым. Его метод регуляризации предусматривает построение регуляризирующего алгоритма, позволяющего получить устойчивые решения некорректно поставленных задач.

Известны различные способы построения регуляризирующих алгоритмов, из которых наиболее известен способ, предполагающий минимизацию сглаживающего функционала, в который заложена качественная априорная информация о решении, обычно определяющая степень его гладкости. В структуру сглаживающего функционала J(g, f, A*, ) = || A*g - f ||2 + (g) помимо функционала невязки входит стабилизирующий функционал (g) с параметром регуляризации, величина которого должна выбираться из условия согласования невязки с уровнем погрешности исходных данных.

Метод регуляризации А. Н. Тихонова наиболее универсален и применяется, как правило, тогда, когда получение устойчивых решений ОЗТ оказывается не под силу более простым методам методам естественной регуляризации. Последние также относятся к методам, не предусматривающим изменение исходной постановки обратных задач. Устойчивость получаемых решений в них обеспечивается наложением ограничительных условий на параметры вычислительных алгоритмов. Наиболее часто ограничения накладываются на шаг аппроксимации (шаговая регуляризация), степень аппроксимирующего полинома (степенная регуляризация) и число итераций (итерационная регуляризация). Термин «естественная регуляризация», с одной стороны, можно считать удачным, поскольку для получения решений нет необходимости искусственно менять постановку задачи или предварительно сужать множество искомых решений. Регулярность здесь определяется естественными особенностями физического процесса (например, эффектом регуляризации теплового режима, связанным с инерционностью распространения теплоты) и «вязкостными» (демпфирующими) свойствами вычислительных алгоритмов. С другой стороны, поскольку эти методы фактически ограничивают точность получаемых решений загрублением математической модели или вычислительного процесса, то лучше их объединить термином «точностная регуляризация»

или «регуляризация загрублением», тем более что все способы ограничения шага, степени или числа итераций представляют собой не естественные, а искусственные приемы. В отличие от них ограничение точности, получающееся при решении ОЗТ на аналоговых устройствах, действительно является естественным, поскольку обусловливается сравнительно низкой точностью таких вычислительных средств. Так их недостатки оборачиваются достоинствами при решении некорректных задач. Фактически весь опыт решения ОЗТ на аналоговых вычислителях говорит об устойчивости получаемых решений.

Вопрос о точности регуляризации важен не столько в терминологическом плане, сколько в плане рационализации вычислительных процессов при использовании методов естественной (или точностной) регуляризации. Поскольку в них обеспечение устойчивых решений сводится к ограничению точности вычислительного процесса, то должна существовать связь между размерами зоны возможной потери устойчивости (охватывающей точное решение области, внутри которой приближенное решение ОЗТ оказывается неустойчивым) и погрешностью исходных данных. Эта связь, найденная для исследуемого объекта с учетом применяемого метода решения и расположения точек наблюдения, должна еще до начала математического эксперимента дать рекомендации, до какой точности следует доводить вычисления без риска попасть в зону возможной потери устойчивости.

Сама такая связь и пути ее установления имеют свои особенности, специфические для применяемого метода и исследуемого объекта. То же можно сказать и о способах повышения точности получаемых таким образом решений, свойственных тому или иному методу. В частности, возвращаясь к упомянутому выше методу спектральных функций влияния, отметим, что его использование совместно с регионально-структурным подходом к решению тепловых задач - пример удачного сочетания достаточно высоких точностных показателей с хорошей устойчивостью получаемых решений. Это достигается, с одной стороны, более корректной аппроксимацией искомых граничных воздействий (функции влияния содержат в себе точные сведения о геометрии объекта), что в сочетании с аналитическим определением основных составляющих спектральных функций влияния повышает точность идентификации. С другой стороны, разбивка объекта исследований на регионы и применение региональных спектральных функций влияния оказывают регуляризирующее действие на получаемые решения, поскольку функция граничного воздействия в пределах региона может аппроксимироваться достаточно грубо, например, полиномом от первого до третьего порядка. Вместе с тем указанная аппроксимация по отношению к поверхности всего объекта оказывается весьма точной, а, следовательно, очень слабо влияет на точностные показатели идентифицируемых параметров. В частности, при решении этим методом многопараметрической ОЗТ по определению поверхностных тепловых воздействий в призматическом теле прямоугольного сечения признаки потери устойчивости стали проявляться лишь при увеличении точности вычислений до четырех десятичных знаков.

Переходя к обзору методов регуляризации решений внутренних ОЗТ, следует отметить, что не все методы идентификации ТФХ требуют привлечения регуляризирующих вычислительных алгоритмов. Это связано со спецификой внутренних ОЗТ, многие из которых можно считать корректно поставленными по Тихонову. В отличие от других ОЗТ, в этих задачах почти всегда имеется априорная информация об искомых величинах, достаточная для того, чтобы, формализуя ее в виде ограничений классов допустимых решений, придти к условно-корректной постановке задачи.

Однако при изучении принципиально новых материалов со сложными температурными зависимостями теплофизических свойств видоизменение начальной постановки задачи недопустимо. В этом случае задачу необходимо решать как некорректно поставленную с привлечением методов регуляризации.

При решении внутренних ОЗТ экстремальными методами наиболее просто осуществить итерационную регуляризацию. На каждой итерации значение невязки E сравнивается с погрешностью исходных данных. Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие E.

Если итерации продолжать, то может возникнуть неустойчивость, которая проявляется в непредсказуемом изменении результата, раскачке решения, зацикливании вычислительного процесса и выходе получаемых значений за пределы допустимого для данного компьютера интервала изменения чисел. Даже если этого не произойдет, продолжение итераций из-за накопления погрешности вычислений ведет к ухудшению точности расчетов.

Другим распространенным приемом является степенная регуляризация (или регуляризация усечением ряда), связанная с использованием сглаживающих аппроксимаций исходных данных, искомых функций и различных зависимостей на промежуточных этапах идентификации. Обычно такая регуляризация дает ощутимый эффект при наличии других регуляризирующих факторов.

Так, если проведено сглаживание входной информации с учетом погрешности измерений, то для получения устойчивого решения можно применять процедуры градиентного поиска без ограничения числа итераций. Демпфирующие свойства итерационных методов в этих условиях оказываются достаточными для обеспечения регуляризации решения. Хорошие результаты дает также сочетание сплайн-аппроксимации искомых функций с приемами шаговой или итерационной регуляризации, заложенными в алгоритм динамической фильтрации.

В классическом методе регуляризации А. Н. Тихонова совместная минимизация функционала невязки и стабилизирующего функционала позволяет найти компромиссное решение, в котором обеспечено достижение невязкой уровня суммарной погрешности измерений и искомые функции обладают наибольшей гладкостью. Например, в качестве стабилизирующего функциона

<

Tmax

ла при поиске (T) можно использовать функционал = [(T)/T]2 dT. Оптимальное значеTmin ние параметра регуляризации находится из условия равенства погрешности измерения одномерного стационарного теплового потока в образце величине невязки между рассчитанным и измеренным значениями этого потока (интегральный метод). Условия достижения минимума регуляризирующего функционала сводят задачу к решению системы алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов полиномиального представления (T).

В работах М. Р. Романовского исследовано влияние стабилизирующих функционалов различных видов на погрешность идентификации a(T).

При этом использовался стабилизирующий функционал степени i, j, класса k следующего вида:

–  –  –

ность была получена при i = j = 1.

Несколько иная схема регуляризации использована в кандидатской диссертации М. Р. Романовского, в которой минимизируется стабилизирующий функционал = max |Ai| (Ai искомые параметры), а невязка вычисляется только для проверки условия E. При этом в каждой точке термометрирования учитывается свое значение погрешности измерений, а не среднее, что существенного сказывается на точности. Хотя такое решение вопроса об учете данных термометрирования представляется спорным, используемая форма стабилизирующего функционала подкупает своей простотой и, вместе с этим, достаточной для большинства случаев регуляризированного решения внутренней ОЗТ эффективностью. Поэтому похожий прием совместно с математически обоснованным ограничением порядка аппроксимирующих функций выбран в качестве регуляризирующего ядра алгоритма автоматизированного подбора, подробно рассматриваемого в последующих лекциях по ОЗТ.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 4 Классификация методов решения обратных задач. Классифицирующие признаки. Отличие в классификации внутренних (коэффициентных) и внешних (граничных) ОЗТ.

Неэкстремальные и экстремальные методы. Преобразования модели.

Все методы решения ОЗТ в соответствии с постановками задачи делят на экстремальные и неэкстремальные. Принципиальное различие между ними состоит в способе использования измеренных температур Т*. В экстремальных методах Т* сравниваются с вычисленными значениями температур Т. Невязка между ними является управляющим элементом в процедуре поиска решения и важным параметром многих способов регуляризации. В неэкстремальных методах Т* подставляется в математическую модель или выражение аналитически полученного решения прямой задачи. При этом Т фактически отождествляются с Т*, т. е. невязка между ними априори принимается равной нулю. Решение сводится к одноразовому решению уравнения или системы уравнений, иногда с привлечением итерационных процедур для учета нелинейностей. В то время как стержнем экстремальных методов является поиск минимума невязки, в процессе которого многократно осуществляется математическое моделирование процесса теплопроводности.

Очень важно, в какой мере метод нагружен решением прямой задачи теплопроводности. По этому признаку неэкстремальные методы, в частности, могут быть разделены на методы обращения решения прямой задачи и методы обращения модели. В первом случае расчетные формулы для искомых характеристик (например, ГУ или ТФХ) получаются из аналитических решений прямых задач теплопроводности. В методах второй группы Т* подставляются в уравнения математической модели, которые затем решаются относительно этих искомых характеристик.

Таким образом, разделим все методы решения обратных задач на четыре группы Классификация методов решения внутренних (коэффициентных) ОЗТ Если в граничных обратных задачах наиболее важным для выбора приемов решения является наличие или отсутствие зависимости искомых параметров ГУ (например, ) от температуры или стационарный наблюдаемый в эксперименте тепловой процесс или нет, то во внутренних (коэффициентных) ОЗТ еще одним признаком, который в значительной степени определяет ход расчетов, погрешность результата и технические средства вычислений, выступает вид математической модели - исходный нелинейный или преобразованный упрощенный. Подразделяя каждую из перечисленных выше групп методов на две подгруппы в соответствии с этим признаком, получим восемь существенно различающихся по методическим приемам разновидностей методов решения внутренних (коэффициентных) ОЗТ.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВНУТРЕННИХ ОЗТ и методические приемы

–  –  –

Преобразование математической модели Преобразование математической модели процесса теплопроводности проводится с целью приведения ее к виду, более удобному для вычислительной реализации. К традиционно применяемым в моделировании преобразованиям относится, в первую очередь, перевод математической модели из одной координатной системы в другую. Реже применяется конформное преобразование плоской области. В случае линейных тепловых процессов используются различные интегральные, дифференциальные или линейные функциональные преобразования.

При решении нелинейных задач используются преобразования, полностью или частично линеаризирующие исходную математическую модель. К таким преобразованиям относятся подстановки Кирхгофа, Гудмена, Шнейдера, Больцмана и др.

Наиболее часто уравнение теплопроводности линеаризируется с помощью преобразования T (T ) dT..

Кирхгофа = Оно дает возможность избавиться от нелинейности в левой части уравнения теплопроводности. Правда, уравнения граничных условий из-за этой операции иногда становятся сложнее. Тем ни менее существенно сокращается объем вычислений, появляется возможность упростить структуру моделирующих средств. Так, уравнение теплопроводности и его начальные и граничные условия

–  –  –

Неэкстремальные методы с обращением решения прямой задачи без преобразования модели Идея использования для расчета ТФХ или ГУ решения прямой задачи достаточно очевидна.

Если такое решение получено, то подстановкой в левую часть выражения измеренной температуры и записью этого выражения относительно искомой ТФХ или ГУ можно получить требуемый алгоритм.

Например, решение прямой задачи для длинного цилиндра радиуса r при регулярном тепловом режиме II рода выглядит следующим образом:

T() = T(r, ) - T(0, ) = br2/(4a), T(),

где b - скорость изменения T(r, ).

Отсюда получаем выражение для расчета температуропроводности a = br2/(4T).

Зная средние температуры образца в различные моменты времени, находим зависимость a(T). Чем сильнее зависимость a от T, тем больше погрешность ее определения, поскольку решение приведенной прямой задачи, как и вся классическая теория регулярных режимов, основано на линейной модели теплопроводности. Тем не менее, методы регулярного режима II рода (квазистационарные методы) достаточно широко используются в теплофизических исследованиях благодаря исключительной простоте расчетных формул. Методическая погрешность может быть снижена за счет уменьшения перепада температур T.

Развитием квазистационарных методов стали методы измерений в монотонном режиме. Они не требуют постоянства скорости нагрева или плотности теплового потока на поверхности в течение всего эксперимента. Это позволяет отказаться от систем автоматического управления тепловым режимом. Достаточно обеспечить разогрев образца в заранее нагретой печи, свободное охлаждение в среде постоянной температуры или нагрев внутренним тепловым источником. Условие монотонности изменения температуры образца во времени в этом случае единственное. В большинстве методов монотонного нагрева используется нелинейная модель теплопроводности. Это позволяет отнести их к методам решения ОЗТ.

В первых публикациях, посвященных методам монотонного нагрева, рассматривался симметричный нагрев простейших тел: неограниченной пластины, бесконечного и ограниченного цилиндров. Решение нелинейных уравнений отыскивалось в виде ряда по степеням пространственной переменной с зависимыми от времени коэффициентами. Из усеченных решений прямой задачи получены выражения для расчета a(T). В качестве примера приведем выражение для цилиндрического образца:

a = (1 + a + b)r2/(4), где - время запаздывания T(0, ) относительно T(r, ).

Это выражение, в отличие от a = br2/(4T), содержит в себе поправки, учитывающие непостоянстa = (1/(4a)) T (da/dT) во температуропроводности и скорости нагрева b = - (1/(4T)) (d(T)/d). Эти поправки учитывают степень несоответствия условий рассматриваемого процесса квазистационарному режиму.

Упростить эксперимент и расчеты при исследованиях в монотонном режиме позволяют также специальные условия эксперимента, близкие к квазистационарным. Так, например, предлагается измерять электрическое сопротивление монотонно нагреваемого металлического цилиндра на разных частотах. Сопротивление на низкой частоте соответствует среднеобъемной температуре образца, а на высокой при наличии скин-эффекта - температуре поверхности. Техника эксперимента при этом упрощается, т. к. не требуется устанавливать датчики внутри образца, а расчеты ведутся по простым формулам для регулярного режима.

Неэкстремальные методы с обращением решения прямой задачи и преобразованием модели Для упрощения выкладок или получения более простых алгоритмов в ряде случаев используются преобразования исходной математической модели. Есть более удобная, чем a = (1 + a + b)r2/(4), формула для расчета температуропроводности. Она получена сведением нелинейного уравнения теплопроводности к линейному уравнению более высокого порядка с помощью представления a(T) рядами Фурье. Так, для симметричного монотонного нагрева неограниченной пластины получено выражение

a[T(0,)] = [T(0,)/]r2 / [2(T(r,) - T(0,)) - (T(r,)/ - T(0,)/)r2/(6aн)],

где aн - известное значение температуропроводности при начальной температуре образца.

Хотя приведенная зависимость, в отличие от a = (1 + a + b)r2/(4), не требует итерационных вычислений и при этом идентифицируемая характеристика относится к определенной температуре (нет проблем с температурой отнесения), назвать ее безупречной нельзя, т. к. получена она приближенным методом на основе решения эквивалентного линейного уравнения третьего порядка.

Метод определения ТФХ, основанный на линеаризации уравнения теплопроводности, получил свое дальнейшее развитие и применялся для идентификации не только температуропроводности, но и других теплофизических свойств. Кроме того, применительно к решению внутренней ОЗТ рассмотрены другие способы линеаризации уравнения теплопроводности, в том числе способы, связанные с подстановками типа Кирхгофа и Гудмена. Аналогичные приемы, позволяющие значительно упростить решение нелинейного уравнения, использовались при разработке алгоритмов и для обоснования квазистационарного подхода при монотонном нагреве. Например, для определения зависимой от времени температуропроводности химически реагирующих материалов уравнение теплопроводности приводится к линейному подстановкой = a ( ) d. В других слуT чаях применяется подстановка Кирхгофа = (T ) dT. При этом искомые ТФХ представляются в виде функций a() = a0 e и () = 0 e. Такая процедура облегчает не только получение решения, но и обращение его относительно искомых параметров a0, 0, и. Температуры, полученные в экспериментах с нагревом и охлаждением образца, переводятся в значения новой переменной = - ln(1-0T)/ и подставляются в решение прямой задачи. Искомые параметры определяются решением системы алгебраических уравнений.

Неэкстремальные методы с обращением модели без ее преобразования В ряде случаев для установления явной связи между полем температур и ТФХ или ГУ можно обойтись без трудоемкого получения решения прямой задачи теплопроводности. Достаточно уравнение математической модели представить так, чтобы искомые параметры выражались явными зависимостями от условий однозначности и температурного поля. Правда, такая операция далеко не всегда дает удачный алгоритм, т. к. многое зависит от схемы эксперимента и от методики измерений. Сравнительно простые и в ряде случаев точные решения удается получить для стационарных и автомодельных режимов или тогда, когда можно использовать в обращаемой модели в качестве исходных данных не температуры, а их интегральные характеристики.

Некоторые общие схемы обращения математической модели нестационарной теплопроводности рассмотрим на примере одномерного уравнения теплопроводности без внутренних источников. Если функция T(x, ) является дифференцируемой по x и требуемое количество раз, то из уравнения теплопроводности можно получить выражение cV = [(T) (T/x)2 + (T) (2T/x2)] / (T/). Для реализации алгоритма необходимо представить данные термометрирования в удобной для дифференцирования форме. Например, T*(x, ) можно аппроксимировать двумерными кубическими сплайнами. По сплайн-функции легко получить T/x, 2T/x2 и T/ в виде функций x и, и, зная (T), найти cV(T) или, зная cV(T), найти (T).

Алгоритм идентификации ТФХ можно построить обращением системы конечно-разностных уравнений, описывающих процесс теплопроводности, если для всех внутренних узловых точек известно изменение температуры во времени. При этом для обеспечения единственности решения должно быть задано хотя бы одно локальное значение (T) или cV(T) и проведена параметризация искомых ТФХ с количеством параметров, не большим общего числа пространственно-временных точек численной модели.

Рассмотренные методы обращения модели не нашли широкого применения, поскольку в них зачастую игнорируется проблема получения экспериментальной информации в требуемом объеме.

Измерение зависимости T*(x) в фиксированной точке образца выполняется достаточно просто, а вот получить пространственное распределение температуры, особенно в нестационарном тепловом процессе, задача очень сложная. Еще сложнее получить информацию, достаточную для построения T/x и 2T/x2 в виде функций от x и.

Один из способов повышения достоверности результатов определения ТФХ состоит в выборе рациональных режимов эксперимента. Высокую точность определения (T) проще всего обеспечить в стационарном режиме. Необходимые в этом случае данные о температуре и тепловых потоках могут быть уточнены с помощью статистической обработки результатов многократных измерений. Правда, для достижения стационарного режима и многократного повторения опытов при разных интервалах температур может потребоваться значительное время. Методы идентификации (T) в стационарном режиме опираются на простое выражение = - q/(T/x), получающееся из закона Фурье для одномерного теплового потока. Эта формула используется в так называемых дифференциальных методах. В этих методах T/x определяется в виде функции из аналитического или графического представления T(x), что усложняет схему эксперимента. Аналогичные сложности возникают при использовании разностных методов - второй разновидности стационарных методов, дающих некоторое среднее для интервала [T1, T2] значение = - q x / (T2 - T1). Третьей разновидностью рассматриваемых методов являются интегральные методы. Они опираются на выражение для одномерного теплового потока в виде S ( x2 x1 )(пластина ), T1 W = Aф (T ) dT, Aф = 2l ln (r2 / r1 )(цилиндр ), 4r r (r r ) (шар ), T2 где Aф - коэффициент формы; S, x1, x2 - площадь пластины и координаты ее границ; l, r1, r2 - длина цилиндра и координаты границ в цилиндре или шаре.

В этом случае достаточно измерить только W, T1 и T2 в нужном числе вариантов эксперимента.

N Ai Ti, то решение ОЗТ сводится к реЕсли искомую зависимость представлять полиномом = i =0 N [ Ai (T1iv+1 T2iv+1 ) /(i+1)], v = 1, … V.

шению системы уравнений Wv = Aф i =0 Когда число вариантов эксперимента V больше чем N+1, эта система решается методом наименьших квадратов. При этом рекомендуется последовательно увеличивать порядок аппроксимации и находить полином такой степени, при которой минимальное значение осредненной относительной невязки системы соизмеримо с погрешностью измерений.

Прием прямого интегрирования может быть применен для численно-аналитического решения как прямой, так и обратной задачи. Путем интегрирования уравнения теплопроводности по пространственной и временной переменной математическая модель сводится к системе алгебраических уравнений энергетического баланса, где в качестве неизвестных могут выступать параметры аппроксимации как поля T(x, ), так и искомых ТФХ или ГУ. Поскольку в этом случае порядок аппроксимации температурного поля ограничен, алгоритм мало пригоден для получения окончательного решения ОЗТ. Его лучше применять в процедурах решения пробных ПЗТ или для получения начального приближения при решении ОЗТ более совершенными методами.

Неэкстремальные методы с обращением модели и ее преобразованием.

Наряду со стационарными легко поддаются математическому анализу автомодельные режимы. Температурные поля в этих нестационарных режимах отличаются от других тем, что они могут быть представлены в виде функции одной переменной = х/. Примеры автомодельных режимов: в бесконечном массиве действует точечный источник теплоты мощностью W0 или линейный источник постоянной мощности; из центра бесконечного массива движется плоский, цилиндрический или сферический фронт температуры или потока со скоростью c/. Во многих случаях рассматривается равномерно прогретый образец, форма и размеры которого позволяют считать его одномерным или полубесконечным. На поверхности такого образца скачком устанавливается и в дальнейшем поддерживается заданная температура. Уравнение теплопроводности для = x/( ), этого процесса сводится, например, подстановкой Больцмана к виду 2d dT dT () = cV.

d d d Отсюда легко получить выражение dT, (T ) = cV () d d dT 0 d пользуясь которым по измерениям в любой точке образца и данным о cV определяется (T).

Методы, в которых используются автомодельные режимы, позволяют решать достаточно сложные задачи. В них не требуется большого объема вычислений и не надо определять производные от температуры по координатам. Это выгодно отличает их от описанных выше методов идентификации ТФХ в нестационарных режимах. Однако необходимость выполнять дифференцирование температуры по времени приводит к существенным ошибкам и неустойчивости решения.

В автомодельном режиме можно одновременно определить (T) и cV(T), если кроме температуры измерять еще и плотность теплового потока.

При этом в соответствующих выражениях (T) = - q/(T/x), cV(T) = - (q/x)/(T/) нужно заменить производные по x, плохо поддающиеся определению, на производные по :

–  –  –

Для облегчения процедуры обращения модели теплопроводности эффективно используются интегральные преобразования Лапласа и Фурье. В области изображений несложно найти явные выражения для определения ТФХ. В общем случае определение (T), c(T) и a(T) или (x) и c(x) сводится к решению функционально-интегральных уравнений.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 6 Экстремальные методы решения внешних и внутренних ОЗТ.

Граничные ОЗТ. Экстремальные методы с неавтоматизированным подбором Наиболее сложные ОЗТ решаются экстремальными методами. Их название связано, конечно, не с тем, что они справляются даже с экстремально сложными задачами, которые не поддаются описанным в предыдущей лекции неэкстремальным методам решения, хотя это тоже верно, а с тем, что в математическом плане они сводят решение к поиску экстремума (обычно минимума) функции невязки. Невязка показывает, насколько близки вычисленные значения температур тем, которые получены из эксперимента (в задачах идентификации), или тем, которые должны быть (в задачах оптимизации и управления). Если при каком-то наборе искомых параметров граничных условий достигнут минимум невязки, то этот набор параметров и будет решением задачи. Поэтому основными составляющими любого экстремального метода являются процедура поиска минимума, как звено, управляющее расчетами, и алгоритм моделирования (решения ПЗТ), как наиболее нагруженная в вычислительном плане часть метода. Причем, не очень принципиально для самого решения, какой метод моделирования будет выбран – аналитический или численный. Это зависит, в основном, от степени сложности геометрии рассматриваемого температурного поля и того, линейная задача или нет. Поскольку развитым методам численного моделирования по плечу практически любая постановка, чего не скажешь об аналитических и даже численно-аналитических методах, на которые большей частью ориентируются неэкстремальные методы решения ОЗТ, мы говорим об их меньшей универсальности по сравнению с экстремальными методами.

Основным фактором, определяющим эффективность решения ОЗТ экстремальным методом, является выбор процедуры математического программирования. От нее в первую очередь зависит степень автоматизации решения. Если используются методы, основанные на простом переборе искомых параметров, их ручном подборе или самых простых и мало эффективных методах минимизации, например, на покоординатном спуске, можно считать, что решение такой задачи не автоматизировано, хотя моделирование при этом может осуществляться очень эффективным способом.

Как раз такие быстродействующие средства моделирования, как аналоговые и гибридные процессоры, и обеспечили на ранних этапах развития теории и средств решения ОЗТ конкурентоспособность методов неавтоматизированного подбора на фоне автоматизированных методов, реализованных на цифровых процессорах, тогда малопроизводительных и дорогих в эксплуатации.

Внутренние ОЗТ. Экстремальные методы с неавтоматизированным подбором без преобразования модели.

Основная нагрузка в задачах идентификации ТФХ тоже ложится на экстремальные методы решения ОЗТ. Эти методы отличаются друг от друга процедурами численного моделирования и поиска минимума функционала невязки, видом этого функционала и формой представления искомых ТФХ. Каждый из этих элементов существенно влияет на эффективность решения задачи. Однако определяющим, на наш взгляд, является выбор процедуры минимизации, которая выполняет функции организатора решения. Используются как самые простые методы поиска минимума, основанные на переборе с заданным шагом допустимых значений параметров, так и очень сложные методы нелинейного математического программирования, позволяющие, в частности, эффективно решать задачи на условный минимум, характерные для большинства регуляризирующих алгоритмов. Применение быстродействующих процедур минимизации дает возможность задавать достаточно большое количество искомых параметров для восстановления сложных ТФХ. С другой стороны, методы типа простого перебора имеют свои преимущества. Они экономичны, не требуют сложной вычислительной техники, могут быть реализованы в автоматизированных измерительных приборах и специализированных вычислительных устройствах. Кроме того, они в отличие от большинства других методов могут эффективно работать при сложных формах целевого функционала. Широкому диапазону стратегий поиска минимума соответствует большой набор методических приемов решения ОЗТ. Как правило, чем совершеннее метод минимизации, тем большее число приемов ему сопутствуют. В связи с этим будем рассматривать методы и наиболее характерные приемы решения ОЗТ в соответствии со степенью сложности процедур минимизации.

В наиболее простых методах неавтоматизированного подбора основная нагрузка ложится на моделирование поля температур.

В этих методах функции управления решением обычно выполняет оператор. Он изменяет параметры моделей таким образом, чтобы добиться наилучшего совпадения рассчитываемых температур T с экспериментальными T*. Эффективность этого трудоемкого процесса во многом зависит от квалификации оператора. Действенность подбора можно увеличить, если использовать быстродействующие вычислительные средства, в том числе, аналоговые сеточные модели. На резистивных моделях (R-сетках) внутренние ОЗТ решаются поэтапно на каждом временном слое подбираются проводимости временных и пространственных резисторов. Критерием качества подбора может служить условие max |Ti - Ti*| Eд, где i - номер точки измерения; Eд - допустимая невязка на данном временном слое. Минимизация максимальной (или суммарной) невязки требует многократного моделирования температурного поля во всей пространственно-временной области и вряд ли осуществима на R-сетках. Опыт показывает, что подбор даже на одном временном слое - процедура очень трудоемкая, и если решение ОЗТ на неавтоматизированных аналоговых средствах все же оказывается эффективным, то только благодаря низкой стоимости и высокому быстродействию этих средств.

Из методов, ориентированных на ЦВМ, наиболее простые алгоритмы используют замеры в цилиндрическом или в плоском образцах. Искомые функции аппроксимируются рядами по степеням температуры. Минимум функционала невязки обычно достигается простым перебором. Был также предложен такой же простой, но более производительный метод. Минимум квадратичного функционала невязки находится с помощью случайного поиска. (T) и cV(T) представляются линейными и кубическими сплайн-функциями с пятью интервалами аппроксимации. Кубические сплайны оказались более предпочтительными. Также выяснилось, что определение (T) и cV(T) в результате решения отдельных задач более эффективно, чем одновременная их идентификация.

Внутренние ОЗТ. Экстремальные методы с неавтоматизированным подбором и преобразованием модели После преобразования математической модели нелинейная задача, в том числе обратная, может быть решена на простых по своей структуре, но очень надежных и быстродействующих аналоговых вычислительных средствах. Например, внутренние ОЗТ после этого можно решать с помощью статического электроинтегратора. Если определяется cV(T), то перед решением должно быть осуществлено преобразование Кирхгофа, а если искомая функция (T), то необходимо преобразование Гудмена. Значение опорной функции T*(), соответствующее данному временному слою, подается в виде электрического напряжения на решающие элементы интегратора. Настройкой резисторов добиваются баланса токов в узловых точках. По проводимости этих резисторов определяются локальные значения (T) или cV(T). Похожим способом решают внутреннюю ОЗТ с помощью современных компьютеров. Решение ускоряется за счет исключения нелинейностей.

Граничные ОЗТ. Экстремальные методы с автоматизированным подбором Эффективность метода автоматизированного подбора зависит не только от того, насколько совершенный метод минимизации в нем применен, но и от того, как осуществляется регуляризация решения, применим ли метод для решения нелинейных задач, используется ли в нем функциональная аппроксимация искомых параметров ГУ и на какой способ решения уравнения теплопроводности он опирается. Очень существенным фактором является также степень охвата временной области. При локальном подходе повременное (для каждого временного слоя) решение ведется по результатам измерений, выполненных от начала процесса и до текущего момента времени, или по измерениям только для этого момента. Глобальный подход предполагает, что при получении результата на любом шаге по времени принимается во внимание вся временная область. Есть еще компромиссный подход, предложенный Дж. Бэком. При расчетах учитываются исходные данные, полученные не только до этого, но и для нескольких будущих моментов времени.

Ранние аналитические подходы к автоматизированному решению граничных ОЗТ по своей структуре мало отличаются от методов обращения модели. Только более широкое использование метода наименьших квадратов (МНК) и регуляризации решения позволяет отнести их к экстремальным методам. Существенно большую, чем в аналитических методах, гибкость решению ОЗТ придает использование в нем конечно-разностной аппроксимации уравнения теплопроводности.

Среди часто используемых стратегий математического программирования, которые выполняют функции процедур-организаторов решений граничных ОЗТ, на первом месте стоят методы сопряженных градиентов. Их теоретические основы и вычислительные алгоритмы, включая процедуры вычисления оптимальных направлений поиска на основе решения сопряженных в математическом смысле задач и итерационную регуляризацию решения с остановом по заранее рассчитанному номеру итерации, были разработаны усилиями коллектива ученых Московского авиационного института под руководством О. М. Алифанова. Эти и подобные им алгоритмы решения ОЗТ, основанные на градиентных методах поиска минимума невязки, были затем успешно применены для идентификации и оптимизации ГУ при решении целого ряда важных проблем.

Не менее успешно, чем градиентные методы, для решения граничных ОЗТ применяются методы регуляризации, сглаживания и оптимизации, объединенные в единую вычислительную стратегию в форме цифрового фильтра. Другой пример стохастического подхода к решению такого рода задач - применение метода Монте-Карло.

Среди иных способов оптимизации, применяемых для решения граничных ОЗТ, – метод оптимального управления, динамическое программирование с использованием собственных значений исходной системы уравнений для уменьшения ее порядка, методы математического (в том числе динамического) программирования с оптимальным выбором параметра регуляризации и решением задачи теплопроводности методом конечных элементов, метод Гаусса-Ньютона в сочетании с разложением по сингулярным значениям и модифицированным методом Грамма-Шмидта, регуляризированный метод Ньютона, метод Левенберга-Макуарда и эволюционные алгоритмы. К ним примыкают методы, которые их авторы относят к итерационным алгоритмам (решениям с помощью последовательных приближений). Особняком стоят работы, где для получения регуляризированного решения применяется метод квазирешений В. К. Иванова, и методы, где используется такое, пока еще непривычное средство решения ОЗТ, как искусственная нейронная сеть.

Экстремальные методы, использующие предварительное преобразование модели теплопроводности для упрощения моделирования и в целом всего решения ОЗТ, представлены достаточно широко. Например, предложен метод, основанный на совместном использовании интегрального преобразования и разложения неизвестной температуры на границе по системе базисных функций, в качестве которых использованы периодические B-сплайны.

Внутренние ОЗТ. Экстремальные методы с автоматизированным подбором без преобразования модели.

Наибольшее применение в алгоритмах внутренних ОЗТ получили процедуры минимизации, в которых анализируется и учитывается форма функционала невязки. Направление поиска в этих процедурах выбирается или в результате вычисления производных целевого функционала (градиентные и подобные им методы), или из анализа пройденной траектории спуска к минимуму (поисковые методы). Поисковые методы имеют меньшую скорость сходимости, чем градиентные. Градиентный поиск сходится примерно в 1,5 раза быстрее, чем поиск по деформируемому многограннику. Тем не менее, поисковые методы часто оказываются предпочтительными в тех случаях, когда сложно получить выражения для вычисления градиентов. Они более надежны, в них практически исключен останов, когда минимум еще не достигнут, что бывает при градиентном спуске.

В ранних публикациях, посвященных решению внутренних ОЗТ с помощью градиентного спуска, основное внимание уделялось выбору стратегии минимизации и упрощению расчетов невязки.

Была обоснована необходимость согласования параметров алгоритма с качеством измерений. Предлагалось последовательно увеличивать число параметров искомой функции (в данном случае коэффициентов разложения по полиномам Чебышева) до тех пор, пока минимум среднеквадратичной невязки не станет меньше погрешности исходных данных или не перестанет уменьшаться. Но в этих работах не был решен важный для градиентной минимизации вопрос об эффективном определении градиента невязки. Для получения конечно-разностного приближения каждой компоненты вектора градиента приходится обращаться к моделированию температурного поля образца, а связанные с этим вычисления занимают бльшую часть времени решения задачи.

Ускорить решение позволяет значительно менее трудоемкий способ вычисления градиента невязки, предложенный для линейной математической модели. Компоненты градиента рассчитываются по выражениям, полученным из решения прямой краевой задачи, сопряженной в математическом смысле с исходной. Позже такой подход с привлечением метода проекции градиентов был распространен и на нелинейные ОЗТ. При этом анализ эффективности различных градиентных методов минимизации позволил отдать предпочтение методу сопряженных градиентов.

В последние 2 десятилетия поиск минимума методом сопряженных градиентов стал наиболее часто применяемым методом-организатором численного решения внутренних ОЗТ. С привлечением решения сопряженной задачи для расчета градиентов и численных методов моделирования этот метод используется для идентификации ТФХ широкого класса твердых тел: металлических и теплоизоляционных, пористых и полупрозрачных, композиционных изотропных и анизотропных материалов. При этом в зависимости от особенностей материалов искомые ТФХ представляются таблицами, степенными полиномами, полиномами Лагранжа, экспонентами с полиномиальными показателями и кубическими B-сплайнами или не нуждаются в предварительной аппроксимации.

Популярной формой представления искомых функций в последнее время стали степенные сплайны. Они обладают высокой аппроксимационной гибкостью, вычислительной устойчивостью и хорошо сочетаются с различными процедурами математического программирования. Благодаря этому сплайн-идентификация стала эффективным методом решения сложных внутренних ОЗТ.

Кроме градиентных алгоритмов при экстремальном подходе к решению внутренних ОЗТ применяются ставшие уже стандартными средствами математического программирования методы Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, Левенберга - Макуарда, деформируемого многогранника (Нелдера

- Мида), Ньютона - Рафсона и генетический алгоритм. Используются и нестандартные методы итерационного поиска минимума функционала невязки между измеренными и рассчитанными потенциалами поля, которые их авторы относят к новым модификациям МНК или итерационных оптимизирующих алгоритмов. К МНК, который в своей классической постановке сводит к решению системы алгебраических уравнений условие достижения минимума невязки, близки методы, оперирующие понятием чувствительности потенциала исследуемого поля к изменениям искомых параметров, так называемые методы коэффициентов (функций) чувствительности.

Для идентификации ТФХ применяются также методы теории оптимального управления. В них, например, после дифференциально-разностной аппроксимации математической модели зависимости (T) и cV(T) отыскиваются по схеме, построенной с применением принципа максимума Л. С. Понтрягина. Из другой смежной с теплофизикой области, математической статистики и теории измерений, в ОЗТ пришли стохастические методы максимальной апостериорной вероятности и оптимальной динамической фильтрации. Впервые оптимальное оценивание с использованием непрерывного во времени динамического фильтра на основе критерия минимума средней квадратичной ошибки было проведено Р. Калманом и Р. Бьюси в 1961 году при решении задачи управления системой с сосредоточенными параметрами. В 70-х годах динамическая фильтрация стала применяться для решения задач теории поля, в частности, тепловых задач. Особенно эффективной она оказывается при решении ОЗТ. Предложено несколько модификаций фильтра, в том числе итерационный и усеченный фильтры, которые позволяют получить точные и устойчивые результаты при умеренных требованиях к быстродействию и объему памяти вычислительных средств.

Внутренние ОЗТ. Экстремальные методы с автоматизированным подбором и преобразованием.

Экстремальные автоматизированные методы решения внутренних ОЗТ позволяют привлекать для получения ТФХ данные широкого круга теплофизических экспериментов, в том числе и специально непредназначенные для изучения этих свойств. При этом, как правило, приходится моделировать нестационарные многомерные температурные поля. Учитывая многократно повторяемую трудоемкую процедуру решения нелинейного уравнения теплопроводности, надо предусмотреть приемы, позволяющие ускорить решение. Большой эффект дает преобразование математической модели. Так, подстановка Кирхгофа позволяет получить систему конечно-разностных уравнений с линейной матрицей коэффициентов. Это, правда, не освобождает от необходимости итерационного поиска решения, т. к. правая часть в общем случае нелинейная. Матрицу коэффициентов достаточно привести к верхней треугольной матрице один раз на каждом временном слое. На эти принципы опирается разработанный в ИПМаш метод автоматизированного подбора.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 7 Метод автоматизированного подбора. Параметризация. Минимизация. Регуляризация.

Материал, включенный в эту лекцию, является результатом проведенных в ИПМаш исследований, цель которых - отработка методики решения ОЗТ, ориентированной на широкий спектр средств вычислительной техники. За основу взят методологический подход, характерный для способов решения ОЗТ в экстремальной постановке, который предусматривает минимизацию функционала, являющегося мерой соответствия рассчитанного температурного поля данным эксперимента. При этом подбираемые температурные зависимости ГУ или ТФХ, как правило, представляются многочленами. Такая постановка позволила часть алгоритма идентификации ТФХ, отлаженного на ЦВМ, которая осуществляет управление моделированием, практически без изменений использовать в программе для гибридных систем и, в частности, для АЦВК «Нептун». Благодаря этому появилась возможность распространить на аналоговые и гибридные способы идентификации рекомендации по выбору условий проведения эксперимента и параметров алгоритмов, которые были найдены в результате компьютерных вычислительных экспериментов.

Метод автоматизированного подбора, обладает следующими отличительными признаками:

- решение пробной прямой задачи в рамках этого метода предполагается начинать с преобразования математической модели с помощью подстановок Кирхгофа или Гудмена, что хотя и усложняет процедуры моделирования ГУ и расчета целевой функции, в целом позитивно сказывается на эффективности решения ОЗТ;

- представление ТФХ рекомендуется осуществлять в виде одного (для теплопроводности) или двух (для теплоемкости) отрезков полиномов Чебышева, т. к. другие формы аппроксимации искомых функций, например, сплайны, хуже отражают характер этих физических величин, не соответствуют выбранным принципам регуляризации или просто избыточны для данного случая;

- в процессе решения обратной задачи подбираются не только значения коэффициентов полиномиальной аппроксимации, но и степень полинома - она последовательно увеличивается на единицу, начиная с нулевой, до тех пор, пока получаемое минимальное значение функционала невязки не станет меньшим погрешности измерений, что дает сигнал прекращения подбора степени и начала регуляризации;

- решение сопровождается регуляризацией, поэтому кроме невязки минимизируется стабилизирующий функционал и учитывается ряд регуляризирующих ограничений, для чего применяются поиск минимума методом деформируемого многогранника и метод штрафных функций, хорошо улавливающий нарушения условий;

- поскольку взятый на вооружение метод минимизации сам по себе не гарантирует в сложных случаях выход на глобальный минимум, предусмотрены меры теплофизического характера для надежного попадания (уже на стадии выбора начального приближения) в окрестность глобального минимума с помощью предварительного решения обратной задачи упрощенным (например, аналитическим или численно-аналитическим) методом; помогает также соблюдение в процессе решения условий (T) 0 и cV(T) 0, вытекающих из физического смысла этих функций;

- структура метода (простая конечно-разностная модель, внутренние параметры которой не зависят благодаря преобразованиям от потенциала поля, и оптимизированные по быстродействию несложные процедуры идентификации и регуляризации) позволяет обеспечить возможность решения задачи средствами аналоговой, цифровой и аналого-цифровой вычислительной техники.

Точностные характеристики предложенного метода определялись по результатам решения большой серии методических обратных задач.

Было показано, что при обработке экспериментально полученных данных, погрешность которых характерна для большей части измерительных средств (от 0,1 до 1 %), достоверные результаты могут быть получены на сетке средних размеров (несколько сотен узлов). Наилучшие результаты получены в случае квадратичного функционала невязки. Другие рациональные параметры решения внутренней ОЗТ попали в диапазон, вполне приемлемый для реализации таких решений любыми типами вычислительных средств.

Предложено несколько подходов к организации решения обратных задач с помощью известного пакета программ PHOENICS британской фирмы CHAM. Предполагается пробное моделирование, ввод исходных данных и анализ полученных результатов осуществлять средствами этого пакета, а управление моделированием в процессе серии решений прямых задач возложить на дополнительный блок решения обратной задачи ОПТИМИЗАТОР (рис. ниже). Кроме метода автоматизированного подбора, он поддерживает способ идентификации, основанный на использовании функций влияния искомых параметров на моделируемое поле. Рассматриваются пути изменения пакета PHOENICS при введении в него оптимизирующих средств и вариант его «неразрушающего» использования в режиме решения обратной задачи.

Структура программного комплекса «ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА - PHOENICS».

–  –  –

||* - || T T Применение разработанного метода автоматизированного подбора не только для решения ОЗТ, но и для другого способа информационной поддержки теплофизических исследований - аппроксимации таблично заданных функций - позволило создать эффективную базу данных о ТФХ.

При разработке процедуры аппроксимации таблично заданной ТФХ были поставлены такие цели (формализованные в алгоритме в виде соответствующих целевых функций или условий, представленных в виде неравенств):

- получить наилучшее аналитическое приближение входных табличных данных в виде гладкой одиночной функции;

- выполнить условие максимальной устойчивости такого приближения путем согласования порядка приближающей функции с погрешностью исходных данных;

- выполнить условие максимальной гладкости такой функции.

Этим целям при аппроксимации служит следующая последовательность алгоритмических действий:

- предварительное приближение полиномом Чебышева минимального (нулевого) порядка;

- минимизация среднеквадратичной относительной невязки между значениями табличной функции и теми, которые получены в результате функционального приближения при тех же табличных температурах;

- сравнение минимального значения полученной невязки со среднеквадратичной погрешностью измерения исходных данных (значений таблично заданной функции);

- увеличение порядка полинома на единицу, если погрешность исходных данных меньше минимальной невязки, что в случае полинома нулевого порядка происходит практически всегда;

- повторение минимизации функционала невязки с увеличенным порядком полинома;

- продолжение такой последовательности действий до тех пор, пока порядок полинома не сравняется с числом узлов таблицы или минимум невязки не станет равным или меньшим погрешности исходных данных (когда это случится, первые две из указанных выше целей будут достигнуты);

- выполнение процедур, осуществляющих регуляризацию решения путем поиска такого набора полиномиальных коэффициентов, при котором не только достигается равенство значений указанной невязки и погрешности, но и обеспечивается максимальная гладкость аппроксимирующей кривой; как известно, среди кривых одного и того же порядка наиболее гладкой будет та из них, у которой длина вектора коэффициентов минимальна; для получения такого набора коэффициентов нужно минимизировать еще один функционал, величина которого пропорциональна среднеквадратичному значению относительных величин полиномиальных коэффициентов;

- проверка основного условия регуляризации: для любого набора коэффициентов невязка между табличными и сглаженными значениями идентифицируемой функции не должна быть меньше погрешности исходных данных (если это подтверждается, то получен конечный регуляризированный результат аппроксимации).

РЕГУЛЯРИЗИРОВАННАЯ АППРОКСИМАЦИЯ

ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

E=||* - || Структура: N= N = Ai Pi (T ) Aопт = arg(min||A||) i=0

–  –  –

Среди обычно применяемых методов решения ОЗТ можно выделить методы, предполагающие априорное исследование влияния условий однозначности на температурное поле объекта. Если, например, граничную ОЗТ рассматривать как задачу управления, в которой роль объекта управления играет его модель, в качестве входных величин принимаются граничные условия, а в качестве выходных – температуры в точках наблюдения, то можно полагать, что между распределенными входными и выходными величинами существует взаимосвязь. Она может быть выражена в виде передаточных функций или функций влияния (термин в большей степени, на наш взгляд, отражающий физический смысл упомянутой взаимосвязи). В каком-то смысле коэффициенты чувствительности также являются аналогами функций влияния.

В частном случае определение передаточных функций объектов с распределенными параметрами (РП-объектов) заключается в решении уравнения теплопроводности для единичного входного воздействия в одной из граничных точек при нулевых воздействиях в остальных точках поверхности. При этом получается распределенная передаточная функция от единичного источника в данной граничной точке к ограниченному множеству внутренних точек рассматриваемого объекта.

Если для каждого точечного граничного воздействия с амплитудой fi в сеточной модели объекта определить распределенную функцию Wi(х, у, z), где i = 1, 2,...

N, то для ее внутренних узлов при условии линейности РП-объекта можно, используя функции Wi, записать связь его температуры со всеми входными граничными воздействиями:

N T(x, y, z) = fi Wi(x, y, z).

i Решение ОЗТ в этом случае сводится к определению амплитуд fi.

Для однозначного определения fi(х, у, г) необходимо иметь информацию о температурах в N внутренних точках РП-объекта и решить систему из линейных алгебраических уравнений:

N Тj* = fi Wij; j = 1, 2, … N, i где Тj* – температуры в точках наблюдения РП-объекта.

Такой подход, в принципе логичный и достаточно удобный для решения одномерных задач, становится существенно затрудненным при переходе к многомерным задачам, к объектам сложной конфигурации, когда объем необходимой для решения информации намного превышает имеющиеся данные о температурном состоянии тела.

Для повышения точности решения ОЗТ требуется увеличение количества точек наблюдения, что приводит к усложнению и удорожанию эксперимента, к необходимости хранить большой объем информации, к сложностям, связанным с ее обработкой и анализом; кроме того, в принципе, далеко не всегда увеличение объема и улучшение качества информации возможно.

В этой ситуации необходим качественно новый уровень учета априорной информации об идентифицируемых зависимостях. Решение этого вопроса можно осуществить путем введения спектральных функций влияния. При этом точность решения ОЗТ возрастает, так как указанные функции влияния точно на аналитическом уровне отражают информацию о спектральных составляющих граничных воздействий для неканонических областей.

Если, например, функцию распределения входных граничных воздействий i-го участка границы аппроксимировать полиномом ni-й степени:

ni aij ;

j fi() = i = 1, 2,... m, (1) i а в качестве параметров граничных воздействий взять коэффициенты этого полинома аij, то температура в любой внутренней точке объекта может быть определена как

–  –  –

По известной функции T(x, ) рассчитывается плотность теплового потока в точке x = d:

q*() = - T(d, )/x и тем самым окончательно формулируются условия IV рода.

Наряду с этой, рассматриваются две другие экстремальные формы обратной задачи (3), отличающиеся между собой выбором меры близости измеренных и рассчитанных температур.

В первом случае по аналогии с задачей I вводится критерий m [ T~(q, d, ) - T*()]2 d.

J2(q) = (5) Здесь температура T~(q, d, ) соответствует тепловым потокам плотностью q() и g*(), действующим на границах x = 0 и x = l.

Итерационный принцип регуляризации. Чтобы завершить любую из указанных выше постановок экстремальной задачи, надо определить допустимое множество функций управления Q и считать, что все управляющие воздействия принадлежат этому множеству (q Q).

Если предположить, что исходная задача, для которой формулируется экстремальная постановка, корректна, то область допустимых решений можно выделить в основном из чисто физических соображений.

Например, в некоторых тепловых экспериментах заранее известно, что в течение определенных временных промежутков искомая функция или ее производная знакоопределены. С той или иной степенью точности можно также прогнозировать наибольшее или наименьшее значения q(), примерные времена появления экстремумов и т. д. Однако ОЗТ по своей физической сущности являются неустойчивыми, и подобного рода ограничений может оказаться недостаточно для формулирования математически корректной задачи оптимального управления. Более того, априорное задание чисто физических ограничений на класс искомых функций подчас невозможно сделать с требуемой точностью. В результате приходится мириться с этой неопределенностью и пытаться решать задачу без ограничений. Вполне естественно, что полученное решение может не иметь ничего общего с действительным.

Таким образом, если не вводить специальных ограничений на множество допустимых функций q(), то устойчивое решение ОЗТ может быть основано только на использовании естественных регуляризирующих свойств процесса теплопроводности и вычислительных алгоритмов, например, выбором шага по времени.

Еще одну возможность регуляризации предоставляют некоторые итерационные алгоритмы оптимизации, в которых происходит последовательное уточнение решения в соответствии с формулой qk+1() = qk() + qk(), k = 0, 1, …, где q0() - начальное приближение. Поправка qk() на каждой итерации вычисляется из условия убывания целевого функционала: J(qk+1) J(qk).

Можно предположить, что методы, позволяющие эффективно начинать итерационный процесс от далекой оценки q0() и резко замедляющиеся при приближении к минимуму функционала, окажутся полезными для решения ОЗТ. Такой способ демпфирования неустойчивости при определении приближенного решения некорректной задачи основывается на «вязкостных» свойствах численных алгоритмов оптимизации.

Надо иметь в виду, что по мере увеличения числа итераций решение ОЗТ может ухудшаться, постепенно теряя гладкий характер. Появляющаяся волнообразность в qk() будет усиливаться тем быстрее, чем большими флуктуационными погрешностями отягощены исходные температурные данные и чем больше расстояние между границей с искомым условием и точкой измерения T.

В связи с этим возникает предложение остановить итерационный процесс на некоторой итерации k = k-, не допустив появления больших осцилляций в решении, т.е. будем говорить о допустимом уровне минимизации интегральной невязки температуры.

Главный вопрос в таком подходе заключается в выборе критерия останова. С этой целью введем дополнительное условие, определяющее допустимую степень близости искомого приближения к точной функции qT(), соответствующей возмущенным входным данным. Таким условием может быть ограничение на уровень невязки, задаваемое как суммарная погрешность, включающая в себя ошибку температурной информации T и ошибку аппроксимации краевой задачи A.

Тогда итерационная последовательность ограничивается условием J(q) 2, где 2 = 2T + 2.

Параметрическая оптимизация при решении ОЗТ. Вместо непрерывной функции q() рассматривается ее конечно-мерный аналог в виде вектора q = [q1, q2, …, qm]T, компоненты которого получены дискретизацией на выбранной временной сетке qn = q(n), n = 1, … m. Будем считать, что временной ряд { qn} используется для кусочно-полиномиальной аппроксимации искомой функции q(). Тогда исходную экстремальную постановку ОЗТ можно переформулировать в задачу параметрической оптимизации. Для определенности остановимся на второй экстремальной задаче с функционалом (5). В данном случае задача I будет следовать из нее как частная постановка.

Отвлекаясь временно от свойства некорректности ОЗТ и полагая, поэтому, что можно допустить минимизацию функционала (5) без специальных ограничений, получим параметрический эквивалент исходной задачи: определить такой набор значений параметров { qn} из некоторой области G, который оптимизирует критерий качества J2(q).

В практической реализации в компьютерных расчетах интегральный критерий качества заменяется конечной суммой, например, так m [ T~(q, d, n) - T*(n)]2 ||A[q] - f||2, J(q) = n=1 где n - точки равномерной дискретизации непрерывных функций T~() и T*(); - шаг по времени; A[q] T~ = [T1~, T2~, …, Tm~]T - вектор температурных измерений; ||y|| евклидова норма некоторого вектора y.

Таким образом, ОЗТ в экстремальной постановке можно свести к минимизации невязки min || A[q] - f||2. (6) Для решения задачи (6) можно воспользоваться дискретным итерационным процессом qk+1 = qk + qk, k = 0, 1, …, где q0 - начальная оценка искомого вектора.

В качестве приращения qk при переходе к следующему приближению используется вектор qk = - kk, где k - направление от точки qk; k - длина шага вдоль этого направления.

Вводится в рассмотрение градиент целевой функции J(q). Его компонентами являются частные производные J(q) по искомым параметрам J(q) = [J/q1, J/q2, …, J/qm]т.

Допустимое направление спуска k должно задаваться таким образом, чтобы угол между ним и направлением, противоположным градиенту -J(qk) в точке qk был острым, т.е. отвечал условию cos k = (Jk, k) / {||Jk|| · ||k||} 0, где (, ) - скалярное произведение в евклидовом пространстве; Jk = J(qk).

В оптимальных методах глубина спуска k, характеризующая величину шага при переходе к следующему приближению, выбирается как неотрицательное значение, локально минимизирующее целевую функцию по направлению k.

Рассмотренный метод спуска позволяет шаг за шагом корректировать управление q, последовательно уменьшая значение функции, т.е. J(qk+1) J(qk). В предположении единственности решения ОЗТ функция J(q) имеет один минимум, и если исходный функционал является выпуклым (это условие заведомо выполняется для линейных задач), построенная последовательность будет сходиться к этой экстремальной точке.

Итерационная последовательность для минимизации целевой функции строится в соответствии с методами скорейшего спуска и сопряженных градиентов. В методе скорейшего спуска k = Jk и глубина спуска, если оператор A линейный, k = ||Jk||2/{2 ||A[Jk]||2}. В методе сопряженных градиентов k = Jk + kk-1, 0 = 0. Здесь k - числовые параметры, которые в зависимости от выбранного варианта рассчитываются по одной из следующих формул: k = ||Jk||2/||Jk||2, k = (Jk, Jk-1 Jk)/||Jk-1||2. Шаг спуска k определяется из условия минимума функции J(qk+1). В линейном случае будем иметь формулу k = (Jk, k)/{2 ||A[k]||2}.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 10

–  –  –

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 11 Планирование эксперимента для решения ОЗТ При решении ОЗТ предварительным этапом является планирование эксперимента, служащего источником исходной информации для такого решения. В большинстве случаев этот этап основан на параметрическом анализе чувствительности исследуемой модели по совокупности входных параметров и выходных характеристик, которые определяют диапазон и область применения модели. Под термином "параметрический анализ чувствительности" подразумевается качественный и количественный анализ величин первых производных выходных переменных математической модели Т, например температуры, к вектору входных параметров этой модели P, например тепловому потоку. Величину чувствительности (влияния) обозначим через Z = Т/Р.

Анализ чувствительности тесно связан с вопросами управляемости и наблюдаемости систем, в том числе и тепловых. Система считается управляемой, если выходные величины системы "чувствуют" влияние (изменение) входных параметров системы. Если такого влияния по ряду параметров нет или оно очень мало, то такие параметры невозможно определить (идентифицировать решением ОЗТ). В связи с этим параметрический анализ чувствительности является очень важным, а в ряде случаев обязательным этапом предварительного исследования математической модели. Поэтому, как показано на рис. 1, анализ чувствительности предшествует идентификации, исследованию процессов тепломассообмена и проектированию изделий новой техники.

Рис. 1. Методическая схема решения обратных задач в целях исследования, прогнозирования и оптимизации процессов тепломассопереноса (по П. Г.

Круковскому) Проведение параметрического анализа чувствительности позволяет дать ответы на следующие важные вопросы:

1) Проведение оперативного количественного сравнительного анализа влияния всех и части входных параметров с целью определения наиболее и наименее влияющих параметров.

2) Определение пространственно-временных диапазонов влияния или отсутствия влияния тех или иных параметров.

3) Выработка рекомендаций по усилению или ослаблению влияния тех или иных параметров с целью планирования условий проведения эксперимента, усиления или ослабления управляемости тепловых объектов, повышения устойчивости решения обратных задач и т.д.

Инженеры, занимающиеся математическим моделированием процессов тепломассообмена, зачастую тратят многие месяцы на исследование влияния входных параметров на выходные характеристики модели. Такое исследование можно проводить с меньшими затратами времени и в большем объеме, если использовать методику параметрического анализа чувствительности в автоматическом режиме, когда формально задается перечень входных параметров модели, подлежащий исследованию, проводится n+1 решение прямой задачи и анализируется таблица чувствительности выходных характеристик модели к этим параметрам. В такой таблице функции чувствительности располагаются в порядке убывания абсолютных величин их значений. Из таблицы сразу видны наиболее влияющие параметры, что означает, что точности их задания следует уделять особое внимание, если мы хотим получить точные результаты моделирования. Такие параметры (например, коэффициент переноса) следует уточнить по литературным источникам, либо идентифицировать решением ОЗТ после планирования и проведения соответствующего теплофизического эксперимента.

Анализ чувствительности сам по себе является основой планирования условий проведения эксперимента. Например, анализ функций чувствительности температуры на поверхности исследуемого образца к коэффициенту теплоотдачи позволяет выбрать такие геометрические и теплофизические характеристики образцов, которые дают наименьшие погрешности результатов решения ОЗТ по определению этих коэффициентов теплоотдачи. Техника определения функций (коэффициентов) чувствительности Z достаточно проста, если величины Zij определять по соотношению Zij = (Tjм(p1,…, pi+pi,…, pn) - Tjм(p1,…, pi,…, pn))/pi, или более сложная, если величины Zij определять решением так называемых уравнений чувствительности, которые вытекают из исходных уравнений математической модели процессов тепломассопереноса, если их записать не относительно Т, а относительно Z = Т/р., где р - параметр (характеристика), относительно которого определяется функция чувствительности Z. Уравнения чувствительности имеют структуру (форму), аналогичную исходным уравнениям математической модели, но в отличии от исходных уравнений они всегда линейные.

В большинстве случаев решения ОЗТ является возможным использование более простой техники вычисления функций чувствительности по приведенному выше соотношению. Величины функции чувствительности часто естественным образом входят в алгоритм решения ОЗТ и содержатся в матрице А системы линейных алгебраических уравнений типа той, к решению которой приводит рассмотренный в лекции 8 метод спектральных функций влияния. Таким образом, анализ абсолютных значений величин Z матрицы А, их сортировка в порядке убывания и отображение на экране компьютера и составляет алгоритм параметрического анализа чувствительности, который очень важен для решения как ПЗТ, так и ОЗТ. Вид анализируемой матрицы А в зависимости от характера анализа может быть различный. Например, если мы получаем функции чувствительности температуры в какой-либо одной стационарной пространственной точке исследуемой модели или процесса к различным входным параметрам (например коэффициенту теплоотдачи, теплопроводности и теплоемкости) теплопроводного материала, то матрица А имеет вид матрицыстроки, состоящей из трех компонент - значений чувствительности. В противоположном случае случае исследования влияния теплового потока, зависящего от времени, на температуру в какойлибо точке образца - матрица А будет иметь вид матрицы-столбца, содержащей функции чувствительности температуры к тепловому потоку в различные моменты времени. Во втором случае величина чувствительности является функцией времени.

Вторым важным методическим этапом решения ОЗТ является этап оптимального планирования теплофизического эксперимента, обработка результатов которого должна обеспечить максимально устойчивое и, следовательно, качественное решение этой ОЗТ. Возможность планирования эксперимента обычно присутствует в каждом эффективном походе и методе решения ОЗТ (см. рис. 1).

Основой решения вопросов планирования эксперимента тоже является наличие в алгоритме матриц чувствительности А и АтА, которые естественным образом отражают все свойства рассматриваемой модели в плане взаимосвязи выходных характеристик с входными параметрами. Элементы матрицы А отражают все свойства оператора F прямой задачи, а также все условия однозначности на качественном и количественном уровне. Матрица (АтА)-1, обратная матрице АтА в свою очередь несет в себе все свойства обратного к F оператора F-1 и связанную с этим плохую или хорошую устойчивость решаемой ОЗТ. Сравнительный анализ степени обусловленности матрицы АтА является основой сравнения различных условий проведения эксперимента, моделируемых с помощью решения ПЗТ и полученных матриц чувствительности А.

Матрицу А называют матрицей Грамма, которая близка к так называемой информационной матрице Фишера, используемой в теории планирования эксперимента. Смысл оптимального планирования эксперимента (имея в виду температурные измерения для ОЗТ) заключается в том, чтобы, варьируя схемой измерений, добиться максимальной чувствительности параметров состояния (выходных характеристик) анализируемого процесса (в пространстве Т наблюдаемых функций) к вариациям вектора искомых параметров Р и обеспечить, тем самым, наилучшую обусловленность матрицы А.

В дополнение к этому необходимо добавить, что кроме параметров, характеризующих схему измерения, включающую в себя количество и координаты размещения измерительных датчиков, следует рассматривать весь перечень условий однозначности, которые в не меньшей, а может быть и в большей мере влияют на выходные характеристики исследуемого процесса. В качестве примера можно привести метод решения ОЗТ, в котором оптимизируется не схема измерений (она не может изменяться), а геометрические и теплофизические характеристики охлаждаемого образца. Вариация различных толщин и материалов охлаждаемого образца и анализ характеристики матрицы А позволил в этом случае выбрать оптимальную геометрию и материал образца. В этой задаче матрица чувствительности А имела вид матрицы-столбца, а вычисление ее обусловленности сводилось к вычислению интеграла от функции чувствительности по времени.

Алгоритм оптимального планирования теплофизического эксперимента рационально строить следующим образом:

1. Выбираются различные варианты условий (условий однозначности и схемы измерений) проведения эксперимента.

2. Для этих вариантов путем многократного решения ПЗТ со своими вариантами условий однозначности или схемами измерений вычисляются матрицы чувствительности А и АтА.

3. Вариант условий проведения эксперимента, для которого число обусловленности (отношение максимального собственного числа к минимальному) минимально, принимается в качестве оптимального.

Такая методическая и алгоритмическая схема планирования эксперимента применяется в общем инженерном подходе к решению ОЗТ, разработанном профессором Круковским П. Г. Этот подход будет рассмотрен в следующей лекции.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 12 Общий инженерный подход к решению ОЗТ, разработанный профессором Круковским П. Г.

Этот подход предполагает решение широкого круга инженерных ОЗТ с использованием наиболее общего (единого, в какой-то мере универсального) метода, опирающегося на имеющиеся модели и программы решения ПЗТ. Подход отвечает таким требованиям К методу: 1. Инвариантность к смыслу и типу искомых параметров, а также к виду содержащей их математической модели ПЗТ.

2. Неизменность расчетных соотношений алгоритма и метода при различных ОЗТ.

3. Устойчивость к ошибкам в Т*.

4. Эффективность вычислений.

К программе 1. Модульность - независимость от программы решения ПЗТ.

2. Совместимость - способность взаимодействовать с программой решения ПЗТ как с «черным ящиком» через входные и выходные файлы.

Что касается метода решения ОЗТ, то более детально эти требования к нему выглядят так:

1. Метод должен относится к групп экстремальных методов решения ОЗТ. Только на базе этих методов представляется возможным построить алгоритм, удовлетворяющий сформулированным требованиям подхода, поскольку только эти методы потенциально безразличны (инвариантны) к виду математической модели и смыслу искомых характеристик или параметров. Напомним, что формулировка экстремального метода уже сама по себе универсальна, найти такие значения вектора искомых параметров Р, которые минимизируют величину невязки. Функциональная связь между величиной и Р всегда определена одной и той же зависимостью (Р) = ||F(Р) - Tэ|| min, а зависимость между решением ПЗТ Tм и параметрами Р произвольным оператором. Другими словами, функционал (Р) одинаков (универсален) для поиска любых величин Р из условий однозначности. Для математической модели, алгоритма или компьютерной программы, моделирующих исследуемый процесс тепломассообмена и имеющих функциональный вид F(Р) = Tм, метод, алгоритм и вычислительная программа решения ОЗТ, опирающиеся на минимизацию невязки, также одинаковы для поиска любых Р. Только если меняется вид оператора F, т. е. исследуются другие процессы тепломассообмена, то надо изменить вид F(Р). При использовании же прямых (неэкстремальных) методов решения ОЗТ приходится видоизменять обратный оператор F-1 каждый раз при переходе от поиска одной величины из Р к другой, что делает эти методы неуниверсальными.

2. Метод, алгоритм и программа, их реализующая, методически и программно являются частями и модулями, независимыми от модели и программы решения ПЗТ. Другими словами, метод и программа решения ОЗТ являются ведущей (главной) и взаимодействует с математической моделью и программой ПЗТ как с «черным ящиком». Метод решения ОЗТ может для поиска входных (варьируемых) величин Р использовать только значения выходных величин Tм. Величины производных первого Tм/Р и более высокого порядков могут быть получены только численно на основе вариации искомых Р и расчета соответствующих им Tм решением ПЗТ.

3. Метод должен включать в себя эффективные процедуры (методы) борьбы с неустойчивостью ОЗТ.

4. Метод должен быть максимально экономичен в вычислительном плане. При этом основным критерием экономичности является необходимое число решений ПЗТ для получения решения ОЗТ. Это свойство метода особенно важно при решении совместных, многомерных, нелинейных, нестационарных ОЗТ.

5. Метод должен включать в себя процедуры оценки точности полученного решения.

–  –  –

может использоваться как один из самых эффективных методов для решения нелинейных ОЗТ.

Его можно также записать в виде следующей реку рентной формулы Рl+1 = Рl + l (Aт A)-1 Aт[Tэ - Tlм(Р)]. (8) Более гибким является так называемый модифицированный метод Ньютона-Гаусса, в котором величина шага приращения искомых параметров на каждой итерации выбирается оптимальной. Одним из эффективных методов выбора этой величины шага является метод, предложенный Х. Хартли, согласно которому оптимальный шаг l на каждой итерации выбирается способом квадратичной интерполяции функции l(Рl, l). Для этого вдоль направления l вычисляются по (2) значения l(Рl) для = 0; 0,5; 1. Найденные l0, l0,5 и l1 аппроксимируются параболою Q() = a2 + b+c и определяется точка минимума этой параболы. Значение, при котором парабола имеет ми ним ум, берется в качестве оптимальной величины данной итерации l = 0,5 + 0,25 (l0-l1)/( l1-2l0,5+l0). (9) Это приводит к увеличению скорости сходимости метода, но на каждой итерации приходится лишний раз решать ПЗТ для вычисления l0,5.

Функции чувствительности Zj,i, представляющие собой частные производные Tjм/Рi в общем случае вычисляются численно Zj,i = (Tjм(Р1,…Рi+Рi,…Рn) - Tjм(Р1,…Рi,…Рn))/ Рi. (10) Величина возмущения для i-го параметра вычисляется, например, как Рi = 0,001 Рi. Значение 0,001 подобрано эмпирически так, чтобы с одной стороны обеспечить приемлемую точность вычисления Zj,I, а с другой стороны избежать влияния машинных ошибок округления.

Метод (1) - (10), как итерационный экстремальный метод удовлетворяет требованиям общего инженерного подхода. Для его реализации не требуется его перестройки или модификации при переходе от поиска одного параметра к другому или от одной группы параметров к другой.

Использование численного способа вычисления функций чувствительности также делает метод независимым от структуры модели ПЗТ. Такому методу решения ОЗТ достаточно обращаться к модели и программе, реализующей ПЗТ, как к «черному ящику», варьируя входными параметрами, входящими в ящик и используя его выходные расчетные величины.

–  –  –

В настоящее время расчетные и экспериментальные исследования явления теплопроводности в технологических процессах немыслимы без электронных средств автоматизации и вычислительной техники. Электроника во многом определяет степень достоверности теплофизического эксперимента. Она позволяет с достаточной степенью точности передать и отобразить информацию в удобной для исследования форме и получить путем последующей обработки данных дополнительные сведения о процессе. Можно с уверенностью сказать, что появление многих способов косвенных теплофизических измерений, в том числе методов решения обратных задач, стало возможным лишь на определенном этапе развития вычислительной техники. Причем необходимость все более детального изучения физических процессов стимулирует развитие средств автоматизации эксперимента и техники вычислений.

В современной технической теплофизике находят применение как аналоговые технические средства, действие которых предполагает непрерывное представление сигнала, так и цифровые, оперирующие с дискретными величинами. Аналоговые сигналы датчиков усиливаются и отображаются графически на магнитной или бумажной ленте, как правило, без привлечения элементов цифровой техники. Преимущественно аналоговыми выполняются электронные следящие системы, обеспечивающие заданный режим эксперимента. Однако дальнейшее совершенствование систем автоматизации экспериментальных исследований вряд ли возможно без включения в их состав цифровых компонентов. Часто средства измерений, автоматизации и вычислений объединяются в единый информационно-вычислительный комплекс. Соотношение цифровых и аналоговых элементов в таком комплексе определяется его назначением.

Что касается структуры аппаратных средств обработки данных теплофизического эксперимента, то и здесь, по-видимому, не может быть отдано предпочтение какому-то одному виду вычислительной техники. Так, решение прямой или обратной задачи теплопроводности с помощью неавтоматизированного аналогового вычислительного устройства может оказаться более эффективным, чем с привлечением быстродействующего цифрового компьютера общего назначения.

Многое зависит от того, насколько особенности того или иного средства вычислений отвечают структуре эксперимента и его целям.

В целом состав набора средств теплофизического исследования опирается на следующие технические и программные средства:

- установку для проведения эксперимента, снабженную средствами поддержания нужного теплового режима, датчиками, измерительными приборами и исследуемым образцом;

- оборудование для первичной обработки данных эксперимента, включающее в себя усилители выходных сигналов датчиков или другие согласующие звенья, аналого-цифровые преобразователи, коммутатор измерительных сигналов и устройство управления, представляющее собой аналоговый или цифровой контроллер или компьютер, который, ко всему прочему, может выполнять функции регистратора, осуществляя пересчет результатов, например, в случае косвенных измерений, и их хранение;

- средства автоматизации расчетного определения теплофизических характеристик и параметров граничных тепловых воздействий, выполненные в виде аналоговых, гибридных или цифровых вычислителей специального или общего назначения, которые в гибридном и цифровом вариантах снабжаются программным обеспечением для управления решением обратной задачи;

- электронные базы данных о теплофизических характеристиках теплотехнических материалов, как правило, позволяющие заносить новые данные, сортировать, просматривать и передавать хранимую информацию в качестве элементов исходных данных для моделирования тепловых процессов;

- вычислительные средства и компьютерные программы, осуществляющие математическое моделирование теплового процесса;

- средства оптимизации, диагностики и тестирования, предназначенные для оптимального проектирования, прогнозирования ресурсных показателей и проверки работоспособности как самого изделия, так и технических и программных средств его теплофизического исследования.

Что касается теплофизического эксперимента, то простейший вариант экспериментальной установки, с помощью которой можно получать теплофизическую информацию, состоит из исследуемого образца с термодатчиками и измерительного прибора, как правило, цифрового. Причем при сборе информации для решения прямой задачи нет необходимости вводить в схему эксперимента дополнительные источники тепла или другие элементы, изменяющие сложившееся в результате протекания технологического процесса температурное поле. Более того, прилагаются усилия для минимизации искажений поля из-за датчиков и каналов их заделки. Для этого применяются клеи и пасты с высокой или аналогичной материалу образца теплопроводностью, бесконтактные измерители (например, пирометры), пленочные термопары и другие миниатюризированные термодатчики. Такие же меры при проведении измерений предпринимаются и в случае сбора информации для решения обратной задачи.

Чтобы можно было опираться на одномерную модель теплопроводности, образец и эталон выполняются в виде цилиндров, и с помощью теплоизоляции или введения охранных нагревателей сводится к минимуму отвод тепла с цилиндрических поверхностей. Для управления охранными нагревателями нужна система регулирования, в состав которой очень желательно ввести компьютер. Он пригодится и для управления заданием режимных параметров эксперимента. Кроме того, и это главное, с помощью компьютера очень удобно управлять самим процессом измерений, хранить и обрабатывать его результаты.

В качестве примера рассмотрим состав экспериментальной установки для идентификации теплофизических свойств (рис. 1). Эти неизвестные на стадии эксперимента свойства представлены образцом изучаемого материала. В нем нужно создать тепловой поток, обеспечивающий температурный режим в заданном диапазоне. Для этого в установку вводится управляемый источник тепла – нагреватель. В зависимости от природы образца и нужного уровня температур нагреватель может представлять собой газовую горелку, плазмотрон, лазер и т. п.

Рисунок 1 – Схема теплофизического эксперимента В нашем случае все измерения проводились в диапазоне средних температур. Поэтому в качестве нагревателя всегда применялся наиболее удобный как для ручного, так и автоматизированного задания температурного режима электрический нагреватель. Варьированием напряжения питания нагревателя можно выбрать нужную максимальную температуру. Но для создания как можно более широкого перепада температур в образце нужно еще подумать об эффективном отводе тепла. По этой причине в экспериментальную установку вводят теплоприемники (холодильники).

Чаще всего они выполнены в виде жидкостного теплообменника или радиатора, как показано на рис. 1. Обеспеченный таким образом температурный режим в образце фиксируется с помощью термодатчиков. Если все они представляют собой только измерители температуры (как это чаще всего и бывает), то в состав экспериментальной установки надо вводить эталонный образец с известными теплофизическими характеристиками. Образец и эталон защищают от утечек тепла с их цилиндрических поверхностей с помощью теплоизолятора. Под этим понимают как пассивную теплоизоляцию, так и целый комплекс мероприятий и технических средств, применение которых позволяет считать тепловой поток в образце и эталоне строго осевым, а наблюдаемое температурное поле – одномерным. В качестве теплоизолятора мы применяли материалы с низкой теплопроводностью, а также высокоэффективную экранно-вакуумную изоляцию или слой разреженного воздуха, образующийся вокруг образца и эталона при помещении экспериментальной установки в вакуумную камеру. А для минимизации радиационной составляющей радиальных утечек использовались активные защитные экраны.

Управление заданием температурного режима обычно осуществляется вручную с помощью задатчика, представляющего собой устройство потенциометрического типа, которое подает напряжение нужной величины на нагреватель. Этот процесс может быть автоматизирован путем подключения задатчика к компьютеру. В этом случае для расшифровки управляющих сигналов компьютера понадобится цифро-аналоговый преобразователь и, если нагревателей несколько или имеются цепи управления еще и теплоприемником, – коммутатор. Другой коммутатор нужен (практически в любом эксперименте) для поочередного подключения измерительных каналов (термодатчиков с линиями связи) к измерительному прибору или аналого-цифровому преобразователю.

Часто функции коммутатора и аналого-цифрового преобразователя совмещаются в одном компактном и удобном для автоматизации измерений устройстве. Такими качествами обладает имеющийся в нашем распоряжении измерительный цифровой многоканальный преобразователь Ш711/1И. Кроме коммутации и преобразования он позволяет с помощью своей панели управления задавать режим опроса каналов и выдавать результаты измерения на табло или во внешние цепи через стандартный интерфейс. Это позволило подключить его к компьютеру и, тем самым, существенно облегчить и ускорить проводящиеся у нас экспериментальные теплофизические исследования. Причем программу, предназначенную для управления совместной работой компьютера и Ш711/1И, удалось сделать достаточно универсальной по отношению к схеме эксперимента и гораздо более многофункциональной, чем сам этот прибор.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 14 Пакет программ «MEASURES» для автоматизации теплофизического эксперимента Представление о том, как должно осуществляться теплофизическое исследование на его начальном этапе, было окончательно сформировано в процессе разработки программного комплекса MEASURES [1]. Он поддерживает все основные операции предварительной обработки экспериментальных данных, с которыми приходится сталкиваться перед решением как прямых, так и обратных задач. Хотя само решение таких задач средствами MEASURES не предусмотрено, есть возможность передавать собранную информацию в специализированные программы для дальнейшей обработки.

Перечислим основные функции программы, давая краткие комментарии и самые необходимые иллюстрации:

- выдача динамически меняющихся данных эксперимента на фоне его схемы. Этот режим визуализации результатов измерений наиболее удобен в случае большого числа измерительных каналов. Дается привязка номера и данных каждого канала к показанной на схеме точке экспериментальной установки, где установлен датчик этого канала (см. рис. 1, копия экрана при работе в данном режиме вставлена на этом рисунке в изображение монитора);

- представление результатов в виде таблиц. Используется тогда, когда при проведении эксперимента достаточно видеть на экране компьютера только сами результаты измерений и номера их каналов (рис. 2). Этот режим работы программы удобен тем, что в поле зрения может находиться сразу несколько представленных в компактной форме групп результатов, и есть возможность их размещения в большом количестве отдельных, легко перемещаемых по экрану окон. Каждое окно имеет свои средства управления просмотром и сохранением демонстрируемых результатов, что позволяет, например, одновременно держать на экране «замороженные» в какой-то момент времени данные выбранной группы каналов и в другом окне видеть их же, но в динамике;

Рисунок 2 – Программа MEASURES в режиме табличного представления результатов измерений

- визуализация значений функций, аргументами которых являются результаты измерений.

Введена в программу MEASURES для предоставления экспериментатору возможности видеть не только данные непосредственных измерений, но и результаты их предварительной аналитической обработки. При этом речь не идет о сложных алгоритмах численной обработки данных эксперимента, таких как методы решения обратных задач теплопроводности. Но те из них, которые могут быть записаны без операторов сравнения, скажем, выражения для аналитического решения обратных задач теплопроводности, вполне могут быть реализованы. Для этого в меню программы надо выбрать «Ввод» / «формул функций замеров». Появится диалоговое окно (рис. 3);

- построение графиков, отражающих динамику результатов и их функций. По опыту эксплуатации программы MEASURES – это самая востребованная ее процедура. Она позволяет контролировать ход эксперимента в наиболее удобной для принятия оперативных решений форме – в виде графиков зависимостей результатов измерений или их функций от времени. Как это выглядит в случае отображения динамики результатов расчета функций 1, 3, 11 и 13 (T01, T03, T11 и T13 на рис. 3), показано на рис. 4;

Рисунок 3.3 – Окно для задания функций от результатов измерений

- ведение протоколов измерений в течение заданного времени. В этом режиме можно записывать в долговременную память компьютера результаты измерений или вычислений функций этих измерений в выбранных каналах, в заданный период и с указанной частотой повторения. Начало и конец периода такой фиксации результатов определяются нажатием кнопки «Фикс» (фиксация). Можно предварительно задать точное время начала и конца фиксации для каждой таблицы отдельно. Тогда пуск и останов фиксации будет выполняться в заданное время автоматически;

Рисунок 3.4 – Работа в режиме отображения динамики измерений

- отображение ранее записанных протоколов как в текстовом, так и в графическом виде. Поскольку протоколы хранятся в компьютере в виде текстовых файлов, их легко вызвать из программы для просмотра, не прерывая индикацию и фиксацию новых результатов. Кроме того, старые протоколы можно преобразовывать в семейство графиков, отражающих динамику записанных в этих протоколах результатов аналогично тому, как это показано на рис. 4;

- автоматизация настройки измерительного цифрового многоканального преобразователя Ш711/1И. Эта функция предусмотрена для облегчения перепрограммирования Ш711/1И на другие типы датчиков, чем те, что подключались к нему ранее. Хотя в приборе есть свои средства установки таких настроек, программа позволяет значительно ускорить этот трудоемкий процесс и сделать его более наглядным и менее подверженным случайным ошибкам;

- обеспечение возможности работы сразу с двумя приборами Ш711/1И. Расширяет максимальное число контролируемых экспериментатором измерительных каналов с 60 до 120;

- поддержка проверки измерительных каналов прибора Ш711/1И (рис. 5). Делает эту важную процедуру почти полностью автоматизированной, что приводит к получению максимально объективных оценок качества измерений;

- решение задач не только предварительной, но и полной обработки данных эксперимента.

Это стало возможным после введения в программу блоков для поддержки диагностики системы охлаждения мощных электрогенераторов. Была показана реальность полной обработки результатов эксперимента одновременно с его проведением.

Рисунок 5 – Вид экрана при тестировании измерительных каналов

После проведения тестирования всех измерительных каналов можно приступать к ответственным теплофизическим измерениям. К их числу относится тепловой контроль мощных турбогенераторов и диагностика проходимости гидравлических каналов их систем охлаждения. Для компьютерной поддержки этих важных элементов проверки качества готовой продукции госпредприятия завод «Электротяжмаш» в программу MEASURES были введены два дополнительных модуля, решающие задачи «Теплоконтроль» и «Проходимость».

При решении задачи «Теплоконтроль» выводятся на экран компьютера и записываются в протокол результаты термометрирования, снятые через заданный временной интервал в большом числе точек турбогенератора (до 120), объединенных в группы (кадры). Один из таких кадров показан на рис. 6. Превышение допустимого уровня (уставки) выделяется цветом. Похожим образом решается задача «Проходимость», но в ней объем вычислений больше из-за необходимости определять (путем косвенных измерений) состояние систем охлаждения в обмотках статора турбогенератора.

Рисунок 6 – Кадр задачи «Теплоконтроль» и окно помощи пользователю.

ОЗТ ЛЕКЦИЯ 15 Технические и программные средства для решения ОЗТ

АНАЛОГОВАЯ ТЕХНИКА

В течение многих десятилетий наиболее эффективными средствами решения задач теории поля (особенно многомерных, нелинейных, нестационарных, со сложными границами) являлись аналоговые электронные вычислительные устройства. Все они независимо от принадлежности к структурным аналоговым вычислительным машинам (АВМ) или электрическим моделяманалогам оперируют, в отличие от ЦВМ, информацией, представленной в непрерывной форме.

Эта информация может быть в виде электрических напряжений (в обоих упомянутых выше классах АВМ) и в виде других электрических параметров: тока, проводимости, сопротивления, емкости и индуктивности (в моделях-аналогах), а также таких величин, как коэффициенты передачи операционных блоков, и т. п. Под электронными АВМ понимают, прежде всего, структурные АВМ, в которых вычисления происходят с помощью операционных блоков (табл. 1), отрабатывающих отдельные математические операции. Поскольку бльшая часть таких блоков построена на базе активных элементов (операционных усилителей), составленные из них аналоговые вычислительные цепи называют активными или структурными моделями. В отличие от них моделианалоги отражают поведение исследуемого объекта в целом, благодаря подобию структуры и свойств объекта и его модели.

Операционные блоки структурных АВМ Таблица 1 Элемент АВМ Операция Схема Обозначение

–  –  –

В моделях-аналогах, как правило, не используются активные элементы, поэтому их еще называют пассивными моделями. Такое деление на активные и пассивные модели весьма условно, поскольку в структурных АВМ находят применение пассивные элементы - различные решающие устройства на потенциометрах, а в состав сеточных моделей-аналогов иногда включаются активные элементы: кодоуправляемые резисторы и источники напряжения.

Пример системы автоматического подбора параметров сеточной электромодели для идентификации коэффициента теплопроводности в одномерном случае показан на рис. 1. Элементы Rмодели, сопротивления которых должны подбираться в процессе решения, выполняются управляемыми. Настройка каждого резистивного элемента R осуществляется следящей системой, содержащей чувствительный элемент (блок сравнения БС), элемент памяти (интегратор И) и преобразователь П электрического потенциала в сигнал другой физической природы, соответствующей типу управляемого резистивного элемента. Из блока исходных данных БИД в схему подаются напряжения - электрические аналоги температур в опорных точках (температура в них известна, например, из эксперимента). Сопротивление управляемого элемента изменяется до тех пор, пока потенциал узловой точки модели не станет равным соответствующему сигналу БИД. При этом поступающий на вход интегратора нулевой сигнал обеспечивает в схеме режим хранения решения.

Получение окончательного результата связано с замером установившихся проводимостей элементов модели и расчетом по этим данным теплофизических характеристик.

Рис. 1. Схема реализации метода автоматизированного подбора при определении теплопроводности.

Данная схема, приведенная для пояснения предлагаемого принципа автоматизации решения, имеет ограниченное практическое применение, т. к. предполагает наличие данных термометрирования образца для всех узловых точек дискретного пространства. Кроме того, такая постановка задачи требует дополнительной информации - реперных значений искомой функции (T).

АНАЛОГО-ЦИФРОВАЯ ТЕХНИКА

Сложность численных алгоритмов решения ОЗТ, определяемая большим объемом вычислений и широким разнообразием арифметических и логических операций и процедур, требует повышенной производительности и структурной гибкости технических средств, предназначенных для реализации этих алгоритмов. По нашему мнению, наиболее эффективным путем создания таких средств является гибридизация вычислений, т.е. совместное использование принципов аналоговой и цифровой обработки информации. Очевидно, что управляющие функции надо возложить на цифровые элементы, а основной объем вычислений проводить с возможно большей степенью их распараллеливания на аналоговых вычислительных элементах.

Гибридное устройство для идентификации теплопроводности по данным о стационарном одномерном поле температур в составном теле (рис. 2) представляет собой автоматизированную сеточную электрическую модель, составленную из кодоуправляемых резисторов. В устройстве реализован алгоритм идентификации ТФХ, характерный для ситуаций, когда невозможна или нежелательна линеаризация математической модели наблюдаемого теплового процесса. Например, преобразование математической модели теплопередачи в составном теле с неидеальным контактом между его частями с помощью линеаризирующих подстановок (типа подстановки Кирхгофа) влечет за собой значительное усложнение схемы вычислений.

Рис. 2. Гибридная схема для определения (T).

Решение задачи совмещено с проведением эксперимента, поэтому для задания ГУ I рода в узловые точки модели через дифференциальные усилители ДУ могут подаваться сигналы с термопар, установленных в крайних точках исследуемого составного тела. Для автоматической настройки кодоуправляемых резисторов R в процессе моделирования в цепь коррекции каждого резистора сетки включены сумматор Сум1 и аналого-цифровой блок вычисления полинома БВП.

На БВП, обслуживающий пассивную модель ПМ2, из БИД поступают потенциалы, соответствующие полиномиальным коэффициентам температурной зависимости теплопроводности эталона. А сигналы, пропорциональные полиномиальным коэффициентам A0, A1, и A2 данного приближения искомой функции (T), подаются на входы соответствующих БВП с выхода устройства. Потенциалы заданных точек составной модели с помощью БС1 сравниваются с результатами термометрирования в тех же точках объекта. Суммарная невязка, вычисленная блоками выделения модуля М и сумматором Сум2, сравнивается блоком сравнения БС2 с допустимой величиной невязки, хранящейся в БИД. Выходной потенциал БС2 является управляющим сигналом для схемы, осуществляющей последовательный подбор искомых параметров A0, A1, и A2. Эта схема состоит из формирователя импульсов ФИ, циклического регистра сдвига ЦРС, ключевых элементов К и интеграторов И. Ход процесса подбора полиномиальных коэффициентов может быть изменен сигналом со схемы, контролирующей физичность искомой функции (T). Настроенные на вычисление (Tmin) и (Tmах) сумматоры Сум3 в случае (Tmin) 0 или (Tmах) 0 выдают отрицательный потенциал на пороговые блоки ПБ. Возникающий при этом импульсный выходной сигнал ПБ через схемы ИЛИ подается на ЦРС и Сум2, чем обеспечивается уход от неестественных значений искомых параметров. Выходные потенциалы устройства будут соответствовать коэффициентам полиномиального приближения искомой функции (T), когда процесс их подбора установится и невязка между моделируемыми и измеряемыми температурами достигнет уровня, согласованного с погрешностью термометрирования. Описанное гибридное устройство, как и большинство аналоговых вычислительных схем, предназначено для обработки информации об одномерном поле температур с ГУ I и IV рода. Хотя это положительно сказывается на простоте, надежности и экономичности устройств, качество исследований в целом может пострадать из-за сужения круга возможных постановок эксперимента.

ЦИФРОВАЯ ТЕХНИКА

Для решения задач теории поля используется широкий спектр цифровых вычислительных средств. Это, прежде всего, наиболее распространенные в настоящее время однопроцессорные ЦВМ общего назначения. Благодаря непрерывному совершенствованию их элементной базы (за 50 лет сменили друг друга пять поколений ЦВМ), достигнута вычислительная производительность в несколько миллиардов операций в секунду. Появилась возможность, например, решать системы конечно-разностных уравнений, состоящие из десятков миллионов уравнений. Однако принцип последовательной обработки информации, заложенный в структуру однопроцессорных машин, становится тормозом на пути дальнейшего совершенствования цифровой вычислительной техники. В многопроцессорных (параллельных) ЦВМ содержится несколько арифметико-логических устройств со своими блоками памяти и один (в системах с общим управлением) или несколько (в системах с раздельным управлением) устройств управления. Параллельные вычислительные системы с общим управлением проще, дешевле, но они обычно имеют узкую ориентацию, чаще всего на численное решение уравнений в частных производных. В них одновременно выполняется одна и та же процедура над несколькими потоками данных. Для решения задач повышенной сложности предназначены более сложные и дорогие параллельные цифровые вычислительные системы с раздельным управлением. В этих системах разные процессоры могут одновременно выполнять различные последовательности операций.

Усовершенствованная версия метода автоматизированного подбора, как и бльшая часть экстремальных методов решения обратных задач, допускает широкий выбор в отношении использующейся в нем процедуры математического моделирования. Пробные прямые задачи могут решаться любым численным методом, реализованным как в виде специализированной программы, рассчитанной только на данную постановку задачи, так и в виде пакета, настраиваемого на постановки широкого круга прикладных задач. А поскольку наш метод рассчитан на обработку данных самых разных экспериментов путем решения не только внутренних ОЗТ, но и других обратных задач (причем не обязательно тепловых), то и процедура моделирования для него должна обладать необходимой для этого многоплановостью, т. е. способностью моделировать в наиболее реалистичной постановке широкий спектр физических процессов. Удовлетворяющих этому требованию программных продуктов много, но далеко не все они обладают нужной вычислительной мощностью, гибкостью постановок задач, развитым пользовательским сервисом и доступностью по цене.

Оптимальным вариантом для проверки работоспособности нашего метода автоматизированного подбора при решении сложных обратных задач общего плана оказались версии 1.4, 1.5 и 1.6 программного комплекса PHOENICS.



Pages:   || 2 |
Похожие работы:

«Всероссийская олимпиада школьников по химии Заключительный этап Решения заданий обязательного тура Одиннадцатый класс Задача 11-1 (автор В.В.Космынин) 1. С : Н : О = (6/12) : (1/1) : (2/16) = 0,5 : 1 : 0,125 = 4 : 8 : 1. Отсюда следует, что молекулярная формула соединения А – (С4Н8О)n. Для мо...»

«Олимпиада "Курчатов" — 2014 Отборочный этап по физике 7 класс Задача 1. Пакет с яблоками подвесили на пружинных весах и нечаянно положили на электронные. Сколько весил пакет с яблоками, если электронные ве...»

«XJ0300053 Письма в ЭЧАЯ. 2002. № 5[114] Particles and Nuclei, Letters. 2002. No. 5[114] УДК 65.011.56 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНТРОЛЯ СИСТЕМЫ МЮОННЫХ СЦИНТИЛЛЯЦИОННЫХ СЧЕТЧИКОВ CDFII О. Пухов а, А. Артиков а, Ф. Прокошин а, Д. Чохели, Дж. Паулетта б, Г...»

«ЗАХАРОВА Анна Сергеевна АМПЛИТУДНЫЕ И ФАЗОВЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ГЕНЕРАТОРАХ ХАОСА И ЗАШУМЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 01.04.03 радиофизика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-мате...»

«УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 155, кн. 4 Физико-математические науки 2013 УДК 81.32+519.257+519.246.2 ПРОВЕРКА ЗАКОНА ХИПСА ПО ДАННЫМ КОРПУСА GOOGLE BOOKS NGRAM В.В. Бочкарев, Э.Ю. Лернер, А.В. Шевлякова Ан...»

«ХИМИЯ РАСТИТЕЛЬНОГО СЫРЬЯ. 2010. №2. С. 31–36. УДК 676.164 СВОЙСТВА ПОРОШКООБРАЗНЫХ И ТАБЛЕТИРОВАННЫХ ПРЕПАРАТОВ НА ОСНОВЕ ЭНТЕРОСОРБЕНТА ИЗ ЛУБА КОРЫ БЕРЕЗЫ Е.В. Веприкова, М.Л. Щипко*, Е.Н. Чунарев © Институт химии и химической технологии СО РАН, ул. К. Маркса, 42, Красноярск 660049 (Россия) e-mail: shchipko@krsk.info Исследованы...»

« Центральная Азия:   Субрегиональная программа  действий НПО по содействию  реализации цели 2020 "Будущее без  токсичных веществ!"  (Цель поставлена на Всемирном саммите по устойчивому развитию в 2002 году: ". сведение к минимуму к 2020 году вреда, причиняемого использованием и производств...»

«РАЗДЕЛ I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ Задача 1 Юный химик Вася взвесил 1.5 г железных кнопок и нагрел их HO O OH OH со 100 мл раствора лимонной кислоты H3Cit (см. рисунок). Сразу после O исчезновения ржавчины (но пока железо еще не начало растворяться) HO O он слил всю жидкость и повторил на...»

«ИССЛЕДОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА СОВРЕМЕННЫХ СИСТЕМ А К А Д ЕМ И Я Н А У К СССР ОРЛЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ В. А. ИЛЬИН ИССЛЕДОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА СОВРЕМЕННЫХ ГИДРОТЕРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ИЗДАТЕЛЬСТВО ’’НАУКА” МОСКВА УДК 551.491.4 Исследование энергетического баланса современных...»

«УДК 519.95:612.018 ПРОСТАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПТТГ ДЛЯ РАННЕЙ ДИАГНОСТИКИ САХАРНОГО ДИАБЕТА ТИПА 2 О.И. Соловьёва, к.ф-м.н. С.И. Лапта (представил д.ф-м.н., проф. А.Г. Нерух) Проведена модификация математической модели перорального теста толерантности к глюкозе и получена ее новая форма в в...»

«Структурная совместимость гидратных оболочек как критерий взаимного распознавания реагирующих биомолекул C.Д. Захаров, В.И. Денисов, М.В. Зюзин, И.В. Мосягина Федеральное государственное бюджетное учреждение...»

«1 Тема 5. Методы определения действующего вещества в хлорсодержащих препаратах, используемых для дезинфекции объектов ветеринарного надзора Время – 90 минут. Место проведения – практикум. Цель занятия: ознакомление с физико-химическими и бактерицидными свойствами хлорсодержащих препаратов, отработка методов определения соде...»

«Технология переработки 5. Ушанова В.М., Ушанов С.В., Репях С.М. Состав и переработка древесной зелени и коры пихты сибирской: моногр. – Красноярск, 2008. – 257 с.6. Ушанова В.М., Ушанов С.В. Экстрагирован...»

«Карпо Алексей Бориславович НЕЛИНЕЙНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА В ДИФТАЛОЦИАНИНАХ РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ 01.04.21 – Лазерная физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2013 Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учрежден...»

«fUtwosfiff сообщения объединенного института ядерных исследовании дубна Р1-92-376 Г.В.Велев*, НЛ.Русакович АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИИ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ПО ИЗУЧЕНИЮ РАСПАДА 1С -* л°е\ НА УСТАНОВКЕ ГИПЕРОН щ Jrjjf * "•Компьютерный центр по физике" БАН, София, Болгария л: •...»

«ЛАМПА С БЕГУЩЕЙ ВОЛНОЙ Изучаются основные свойства лампы с бегущей волной (ЛБВ) маломощного электроннолучевого усилителя электромагнитных колебаний сантиметрового диапазона длин волн. Задача знакомит с физикой усиления слабого сигнала и преобразования шумов в ЛБВ. Дается пред...»

«2 016 ’ 12 Власть 19 5 БАРАНЕЦ Наталья Григорьевна – доктор философских наук, доцент; профессор кафедры философии, социологии и политологии Ульяновского государственного университета (432017, Россия, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42; n_bara...»

«УДК: 539.21: 621.315.592, 539.199 ТУРАЕВА НИГОРА НАЗАРОВНА ЭЛЕКТРОННО-СТИМУЛИРОВАННЫЕ НАНОМАСШТАБНЫЕ АТОМНЫЕ ПРОЦЕССЫ В КЛАССИЧЕСКИХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ И ПОЛИМЕРАХ 01.04.07 физика твердого тела 01.04.19 физика полимеров АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой...»

«Жумалиева Айпери Сталбековна СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ И ДИНАМИКА ГЕОСИСТЕМ ВЫСОКОГОРНОЙ АКСАЙ-ЧАТЫРКУЛЬСКОЙ ВПАДИНЫ И ХРЕБТА АТ-БАШИ (ВНУТРЕННИЙ ТЯНЬ-ШАНЬ) 25.00.23Физическая география, биогеография, география почв и геохимия ландшафтов Диссертация на соискание ученой степени...»

«ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ПОВЕРХНОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ЦИТРАТНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА, ИСПОЛЬЗУЕМОГО ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ КОБАЛЬТ-ВОЛЬФРАМОВЫХ ПОКРЫТИЙ С.С. Белевский*, А.П. Косова**, С.П. Ющенко*,**, Е.А. Яхова**, А.И. Шульман**, А.И. Дикусар*,** *Институт прикладной физики АН Республики Молдова,...»

«P2-2013-11 Д. И. Казаков ПЕРВЫЕ УРОКИ LHC: ХИГГСОВСКИЙ БОЗОН И СУПЕРСИММЕТРИЯ Доклад на научной сессии секции ядерной физики Отделения физических наук РАН 12 ноября 2012 г. Направлено в журнал "Ядерная физика" Казаков Д. И. P2-2013-11 Первые уроки LHC: хиггсовский бозон и суперсимметрия Обсуждаются последние результаты по открытию х...»

«СТАРЧИКОВ СЕРГЕЙ СЕРГЕЕВИЧ Магнитные, структурные и электронные свойства наночастиц сульфидов и оксидов железа с различной кристаллической структурой Специальность 01.04.07 физика конденсированного состояния Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических нау...»

«Олимпиада школьников СПбГУ по физике 2011-2012 отборочный этап (11 класс) ЗАДАЧА № 1 "Лиха беда – начало" Действующая микромодель автомобиля имеет двигатель внутреннего сгорания и два топливных бака – один с бензином, другой с газом. На газе двигатель развивает ускорение аг = 3 м/с2, и газа в баке хватает на работу в течение tг = 6 с. На...»

«БОРОДИН АЛЕКСАНДР ВАЛЕРЬЕВИЧ ГЕНЕРАЦИЯ ТЕРАГЕРЦОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ДВУМЯ ФЕМТОСЕКУНДНЫМИ ЛАЗЕРНЫМИ ИМПУЛЬСАМИ С РАЗЛИЧНЫМИ ЧАСТОТАМИ В УСЛОВИЯХ ОПТИЧЕСКОГО ПРОБОЯ ГАЗОВЫХ СРЕД 01.04.05 – оптика АВТОРЕФЕРА...»

«ПАСПОРТ БЕЗОПАСНОСТИ в соответствии с Постановлением (EU) No.1907/2006 Трансмиссионное масло 75W-90 BO Ford Internal Ref.: 144844 Дата Ревизии 27.08.2010 Версия 1.1 RU / RU 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ Коммерческо...»

«34 / 1 (82), 2016 Поступила 04.12.2015 УДК 621.744.072.2 ПРИМЕРЫ 3D-ТЕХНОЛОГИИ В ЛИТЕЙНЫХ ПРОЦЕССАХ. СНИЖЕНИЕ МЕТАЛЛОЕМКОСТИ ОТЛИВОК EXAMPLES OF 3D-TECHNOLOGIES IN FOUNDRY PROCESSES. DECREASE IN METAL CONSUMPTION IN C...»

«ПАСПОРТ БЕЗОПАСНОСТИ в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 и 453/2010 ТАНОС® Версия 2.0 Дата Ревизии 18.02.2014 Ссылка. 130000000560 MSDS (Листок данных опасного материала) соответствует стандартам и отвечает нормативным требованиям, действующим в Европейском Сообщест...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ" Кафедра физики В.А.Степанова ФИЗИКА. ЭЛЕТРОМАГНЕТИЗМ Описание...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ВНЦ РАН И РСО-А ПОРЯДКОВЫЙ АНАЛИЗ И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Тезисы докладов международной научной конференции (Владикавказ, Россия, 19–24 июля 2010 г.) Владикавказ ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А УДК 517 + 519 Порядков...»

«Методические указания (материалы) студентам Рекомендуется изучить материал каждого занятия с использованием учебной литературы, проверить полученные знания по предлагаемым к каждому занятию вопросам для самоконтроля. V семестр На самоподготовку студенто...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.