WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |

«ТОМНАЯ ФИЗИКА ТОМ ВТОРОЙ ЭЛ ЕКТРОН Н АЯ О Б О Л О Ч К А АТОМА И АТОМ НОЕ ЯД РО ИЗДАНИЕ ВТО РО Е, П Е РЕРАБО ТА Н Н О Е Допущено Министерством высшего образования ...»

-- [ Страница 1 ] --

э. в. шпольский U /2 V /

ТОМНАЯ ФИЗИКА

ТОМ ВТОРОЙ

ЭЛ ЕКТРОН Н АЯ О Б О Л О Ч К А АТОМА

И АТОМ НОЕ ЯД РО

ИЗДАНИЕ ВТО РО Е, П Е РЕРАБО ТА Н Н О Е

Допущено Министерством высшего

образования СССР в качестве учебного пособия для высших учебных заведений Wnuninn л и м и т • с. ь а ^ с е м ь д м а 1к :н д а * ы г ы л ы м и ю т а п х а н а СИНЕК (ОТаЛТаР к,о? ы ФОНД РТПКИХ к н и г НАУЧНАЯ БИ вЛ И О Г(^А ИМ- С. 6СЙССМ8АВВА

•шдоа»»««ча пильни,

Ж ЭТЕКА

бибХ П а в л о »ТГ р с ко о педаи/гпвеского инв ти ту^т а

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1 9 5 0 ЛЕНИНГРАД ЦЦ58Щ #Iг С. T apenrv го з. --ы | Павлодар A.:-Aw.t.x.ifK у и и в е р с и т е п 'ж н Г ЫШ7МИ K iT ^ n X O H ftfcl :» бибдаотека Г •.*- ; р ; у о г о г-, •- V.

сггенгюго ун-.-г ~:'t г # м. С.- г--..«»•.1 • :лилх Редактор В. Л. Лешковце*. Техн. редактор Я. Я. Мурашова.

Подписано к печати 2 /III 1950 г, 45 печ. л. 49,21 у ч.-и зд. л.4 3 8 00 тип. зн. в се ч. л.

Т -00241. Тираж 35 ООО эк з. Цена книги 17 р. 25 к. П ереплёт 2 р. Заказ № 1696.

16-я типография Главполиграфиздата при Совете М инистров СССР.



М осква, Т рёхпрудны й п ер., У.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава X II. Основы квантовой м е х а н и к и

§153. Введение (9). § 154. Линейные операторы (10). §155. Соб­ ственные значения и собственные функции линейных операто­ ров (14). § 156. Самосопряжённые операторы (17). § 157. Ортогональ­ ность собственных функций самосопряжённых операторов (20).

§ 158. Разложение по ортогональным функциям (22). § 159. Волновая функция (26). § 160. Принцип суперпозиции (27). § 161. Основные постулаты квантовой механики (28). § 162. Квантование (32).

§ 163. Свободная частица (34). § 164. Средние значения (37). § 165. Ве­ роятности определённых значений механических величин (42).

§ 166. Простой пример (43). § 167. Общие собственные функции (45).

§ 168. Неравенства Гейзенберга (48). § 169. Общее уравнение Шредингера (52). § 170. Плотность и ток вероятности (55). § 171. «Ч и­ стые состояния» и смеси (58). § 172. Стационарные состояния (61).

§ 173. Теорема Эренфеста (64). § 174. Уравнения движения (66).

§ 175. Законы сохранения (71).

Глава X III. Движение в центральной п о л е

§ 176. Момент количества движения (75). § 177. Свойства момента количества движения (78). § 178. Собственные функции и собственные значения квадрата момента количества движе­ ния (81). § 179. Собственные функции я собственные значения оператора проекции момента количества движения (84). § 180. Опи­ сание различных состояний в центральном поле (85). § 181. Про­ странственное квантование (88). § 182. Графические изображе­ ния (91). § 183. Кеплерова задача {95}. § 184. Описание состоя­ ний водородоподобных атомов (101). ^185ггмодель^вален1нош элек­ трона (113). § 186. Спектралыщ^ серии щелочных металлов (118).

§ 187. Два электрона в центральном Золе § 18§\ Т ео­ рия возмущений для простых (невырожденных) собственных значений (128). § 189. Нормальное состояние атома гелия (133).

Глава X IV. Излучение

§ 190. Метод вариации постоянных (137). § 191. Поглощение и ис­ пускание света (140). § 192. Вычисление коэффициентов Эйнштейна (146). § 193.JПравила отбора (153). § 194. Магнетон Вора (157).

§ 195. Электрон в магнитном поле (161). § 196. Теория простого эф­ фекта Зеемана (163).

ОГЛАВЛЕНИ Е

Глава XV. Спин электрона

к 197 Гипотеза вращающегося электрона (167). § 198. Ольг»

Штерна и Герлаха (170). § 199. Магнито-мехпничег.кие ты (173). § 200. Спин и поляризация (1 /э ). | zul. Релятивистское волновЬе уравнение второго порядка (179). § 202. Уравнение Ди­ рака (181). § 203. Существование собственного магнитного момента и спина электрона (186). § 204. Формула тонкой структуры (194).

§ 205 Дублеты щелочных металлов (204). § 206. Квантовое число пол­ ного’ момента импульса (205). § 207. Правила отбора для кван­ (207). § 208. Аномальный эффект Зеемана (208).

тового числа § 209. Теория аномального эффекта Зеемана. Слабое поле (210).

§ 210. Теория аномального эффекта Зеемана. Сильное поле (215).

X VI. Атомы со многими электронами

Глава § 211. Спектр гелия. Паргелий и ортогелий (218). § 212. Об­ менное вырождение (220). § 213. Проблема гел ия (226). § 214.

Кулпновскне и обменные взаимодействия (231). 8 Zlb. Принцип Чяули с235И § 216. Сингулетные и тоиплетпые состояния^сетя § 217. Спектры атомов второй группы периодической системы (244). § 218. Некотбрые закономерности в сложных спек­ трах (251). § 219. Магнитные свойства атомов (253). § 220. Спектры нзоэлектронных ионов (256). § 221. Теория периодической системы Д. И. Менделеева (259). § 222. Строение отдельных периодов Стгстшы элементов Д. И. Менделеева (262). § 223. Рентгенов­ ские спектры (267). § 224. Схема уровней энергии для рентгенов­ ских спектров (270). § 225. Непосредственное определение рентге­ новских уровней энергии (274).

Глава XVII. Возбуждённые а т о м ы

§ 226. Оптическое возбуждение и резонансная флуоресценция.

(278). § 227. Ступенчатое возбуждение (281). § 228. Термическое возбуждение (283). § 229. Удары второго рода (285). § 230. Сен­ сибилизированная флуоресценция (286). § 231. Резонанс при пере­ даче энергии ударами второго рода (288). § 232. Время жизни возбуждённых состояний (293). § 233. Ширина уровней. Автоиони­ зация (295). § 234. Мета стабильные состояния (300). § 235. Запре­ щённые переходы (|304). § 236. Интенсивность спектральных ли­ ний (306).

Г л а в а XVIII. Общая характеристика атомного ядра 310 § 237. Заряд и масса ядра (310). § 238. Спин ядра (313).

§ 239. Магнитный момент ядра (319). § 240. Магнитный резонансный метод (321). § 241. Элементарные частицы (328). § 242. Элементар­ ные составные части ядра (331). § 243. Дефект массы и энергия связи (334). § 244. Электрическое поле и радиус ядра (341). § 245.

Энергия ядра (345). § 246. Дейтерон и а-частица (350). § 247.

Теория дейтерона (352). § 248. Ядерные силы, как обменные силы (357). § 249. Зависимость ядерных сил от спина (361). § 250.

Экспериментальные методы исследования отдельных частиц (362).

Глава X IX. Р а д и о а к т и в н о с т ь

§ 251. Естественная радиоактивность (374). § 252. Элемен­ тарный закон радиоактивных превращений (376). § 253. Статисти­ ческий характер закона радиоактивного распада (378). § 254. Тео­ рия последовательных превращений (382). § 255. Единица радио­ активности (386). § 256. Тепловой эффект (387). § 257. РадиоактивОГЛАВЛЕНИЕ ные семейства (390). § 258. Пробег я-частиц (394). § 259. Связь между пробегом и энергией а-частиц (398). §260. Теория а-распада (401). § 261. у-лучи, сопровождающие а-распад (405). § 262. {J-pacпад и {3-спектры (411). § 263. Нейтрино (415). § 264. Поглощение и рассеяние у-лучей (423). § 265. Позитроны (426). § 266. Свойства позитронов и теория Дирака (428). § 267. Образование пар. (431).

§ 268. Внутренняя конверсия и спектроскопия у-лучей (436).

Глава XX. Искусственное преобразование атомных ядер.. !

§269. Введение (443). § 270. Составное ядро (444). §271. Ядро как квантовомеханическая система (446). § 272. Вылет частицы из возбуждённого ядра (448). § 273. Захват частицы ядром (451).

§ 274. Источники частиц, производящих ядерные реакции (457).

§ 275. Циклотрон (459). § 276. Электростатический генератор (467).

§ 277. Ускорение электронов. Бетатрон (468). § 278. Синхротрон и фазотрон (477). § 279. Ядерные реакции и законы сохранения энергии и количества движения (479). § 280. Ядерные реакции, вызываемые а-частицами (484). § 281. Получение искусственно­ радиоактивных веществ (488). § 282. Ядерные реакции, вызы­ ваемые протонами и дейтеронами (489). § 283. Фоторасщепление ядер (497). § 284. Позитронная радиоактивность и захват Л'-электронов (500). § 285. Ядерная изомерия (503).

Глава X X I. Н е й т р о н ы

§ 286. Открытие нейтронов (506). § 287. Масса, спин и магнит­ ный момент нейтрона (508). § 288. Ядерные реакции, вызываемые нейтронами (512). § 289. Взаимодействие нейтронов с веществом.





Быстрые нейтроны (517). § 290. Медленнее нейтроны (519).

§ 291. Диффракция нейтронов (528). § 292. Некоторые «опти­ ческие» свойства нейтронов (535).

Глава X X I I. Деление ядер и использование атомной энергии.

§ 293. Открытие деления тяжёлых ядер (538). § 294. Теория деления атомных ядер (544). § 295. Энергия активации при деле* нии (548). § 296. Спонтанное деление (553). § 297. Различные спо­ собы осуществления деления (554). § 298. Продукты деления ядер.

Реакции под действием сверхбыстрых частиц (555). § 299. Ней­ троны, освобождаемые при делении (559). § 300. Трансурановые элементы (561). § 301. Ядерная цепная реакция (567). § 302.

Применение замедлителя. Ядерные реакторы (котлы) (570).

§ 303. Получение плутония. Применения ядерной энергии (577).

§ 304. Роль ядерной энергии в природе (581).

Глава X X III. Космические лучи.

§ 305. Введение (589). § 306. Основные экспериментальные дан­ ные (590). §307. Действие магнитного поля Земли на первичные космические лучи (геомагнитные эффекты) (595). § 308. Наблюдения в камере Вильсона (598). § 309. Открытие позитрона (605). § 310.

Спектр импульсов частип, входящих в состав космического излуче­ ния (608). §311. Липни (609). § 312. Взаимодействие быстрых ча­ стиц с веществом (612). §313. Образование каскадных ливней (615).

§ 314. Каскадные липни в свинце (616). § 315. Мягкая и жёсткая компоненты (619). § 316. Мезоны (622). § 317. Ливни, сопровожда­ ющие прохождение мезонов череа вещество (ионизационпыо и ра­ диационные ливни) (626). § 318.. Масса мезона (629). § 319. Распад меаона (635). § 320. Наблюдения над медленными мезонами с

ОГЛАВЛЕНИЕ

–  –  –

/

ЦРЕДИСЛОВИЕ

Второй том «Атомной физики» посвящён изложению основ квантовой механики и её применений к исследованию строения атомов.

Как и в соответствующих главах предыдущего издания, изло­ жение теоретических вопросов теснейшим образом перепле­ тено с описанием и обсуждением методов и результатов экспери­ ментальных исследований. Таким образом, по своему характеру и способу изложения этот том не отличается от первого издания книги, однако частью из методических соображений, частью в соответствии с ростом науки весь материал радикально пере­ работан.

Нововведением во втором издании книги, и в частности во вто­ ром её томе, являются задачи. Число их невелико (составление большого задачника по атомной физике потребовало бы ещё много труда и времени), но те задачи, которые приводятся, надеюсь, помогут более отчётливому усвоению текста. Задачи частью со­ ставлены вновь, частью— заимствованы из существующих спе­ циальных руководств.

Особенно существенные изменения претерпела вторая поло­ вина настоящего тома, посвящённая атомному ядру. Эта часть книги по объёму увеличилась почти в три раза, что оправдывается не только быстрым развитием ядерной физики, но и неизмеримо возросшим её значением. В отличие от первого издания, где изло­ жение в соответствующих главах главным образом ограничива­ лось описанием экспериментальных фактов, в настоящем издании с самого начала подчёркиваются теоретические точки зрения, изложенные, впрочем, почтит без применения слишком сложного в данном случае математического аппарата. В этой части, как и во всей книге, тщательно учтены опубликованные работы советских физиков.

Так как рукопись второго тома задержалась в редакции, то перед окончательной сдачей её в набор изложение было дополнено результатами важнейших последних работ, опу­ бликованных в научных журналах в \ конце 1948 и в начале 4949 гг.

ПРЕДИСЛОВИИ

Я очень обязан А. О. Вайсенбергу, взявшему на себя труд обработки последней главы книги—«Космические лучи». За исклю­ чением части текста, взятой из предыдущего издания, эта глава написана им заново. Большую помощь оказал мне также редактор книги В. А. Леш ко вдев, потративший много труда на тщательную подготовку рукописи к печати, контроль вы­ числений и цифровых данных и улучшение иллюстративного материала. Наконец, я выражаю благодарность официальному рецензенту Министерства высшего образования проф. Д. Д. Ива­ ненко за его доброжелательную критику и пенные указания.

–  –  –

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

§ 153. Введение В первой части этой книги мы рассмотрели эксперименталь­ ные основы квантовой теории и установили уравнение Шредингера, которое мы применили к решению простейш их задач.

Содержание первой части составляет, таким образом, первый круг сведений из атомной физики и квантовой механики. Теперь мы перейдём к более подробному ознакомлению с квантовой механикой в систематическом порядке.

Усвоение системы квантовой механики несколько затруд­ няется необычностью её математического аппарата и свое­ образием связанного с ней круга понятий.

Т от запас сведений, который приобрёл читатель при изучении предыдущ ей главы, поможет ему в усвоении этой системы. При этом на определён­ ном этапе мы, конечно, снова придём к уравнению Ш редингера, но оно предстанет уж е в ином аспекте. Этот новый аспект сущ ествен не только с точки зрения логической стройности, но и потому, что он откроет новые возмож ности обобщ ения и расширения круга применений квантовой механики.

При установлении уравнения Шредингера в предыдущ ей главе мы руководствовались волновыми свойствами микроскопи­ ческих частиц. К построению системы квантовой механики мы подойдём с иной стороны.

Руководящ ая точка зрения будет заключаться в том, чтобы логическая схема квантовой механики была возможно ближ е к схеме механики классической. Причина этого стремления понятна хотя бы уже потому, что так называемая «классическая механика» оправдала себя в применении к огромному кругу явлений; на основании принципа соответствия следует ож идать, кроме того, что механика макроскопических систем должна бы ть предельным случаем механики квантовой, микроскопиче­ ской: законы и результаты последней должны автоматически переходить в законы классической механики в тех случаях, когда можно положить постоянную Планка равной нулю.

10 ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [гл. XII Естественно поэтому ожидать, что основным понятиям и урав­ нениям классической механики соответствуют в квантовой ме­ ханике какие-то свои важные понятия и уравнения. Само собой разумеется, что это будут новые понятия, более общие, нежели понятия классической механики, так как последняя неприменима к движению очень малых частиц.

–  –  –

есть в этом случае оператор, применяемый к функции и.

Второй пример: если функция и получается из и путём умно­ жения на независимую переменную х (где через х обозначается любая из независимых переменных), то можно написать

–  –  –

Если какие-либо два оператора F и G применяются к функции и и результаты затем складываются, то это можно записать в виде Fu + Gu = (2^+ G) и.

Написав это равенство справа налево, { F + G ) u = Fu + Gu, (154,4) его можно рассматривать как определение суммы операторов.

*) Для квантовой механики представляют интерес также и операторы, которые переводят функцию одних переменных (например, декартовых координат) в функцию других переменных (например, составляющих коли­ чества движения). Однако в этой книге мы с такими операторами встре­ чаться не будем.

§ 154] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 11

–  –  –

Произведением операторов называется такой оператор, кото­ рый, действуя на функцию и, переводит её в функцию и, которая получается также путём последовательного применения операторов-сомножителей: если оператор К. есть произведение операторов F и G, то это означает Ku = F(G u). (154,5) Например, из рассмотренных операторов х и ^ можно соста­ вить оператор-произведение

–  –  –

Из сказанного следует, что с операторами можно поступать, как с алгебраическими величинами, помня, однако, что произ­ ведение их, вообще говоря, не коммутативно, ввиду чего необ­ ходимо строго различать умножение на оператор слева [см. (154,6)] от умножения справа [см. (154,7)].

Пример. П ользуясь алгеброй операторов, доказать, что если

–  –  –

(154,10) (154,11) Складывая (154,10) и (154,11), получаем

–  –  –

Если соотношение (155,1) имеет место и если и есть функция, непрерывная, конечная и однозначная при любых значениях х, то и называется собственной функцией оператора F, а X— собствен­ ным значением оператора, соответствующим собственной функСОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРОВ дни и. В нашем примере cos 4л; есть собственная функция оператора

- у а 16 — соответствующее cos 4ж собственное значение того — же оператора. Заметим, однако, что по определению собствен­ ных функций гиперболический косинус ch 4х не есть собственная функция оператора — -j—-, несмотря на то, что

–  –  –

Заметим, что в квантовой механике важнейшую роль играет некоторая функция координат которая определяется во всей J, области изменения независимых переменных. Если таковыми являются декартовы координаты, то ф должна быть определена в пределах, от — с о, до Ц оо по каждой из координат х, у, z;

если же независимыми переменными являются сферические полярные координаты г, 0, 9, то функция определяется !

в области изменения г от 0 до оо, 9-— от 0 до it и (р — от 0 до 2я. Совокупность требований конечности, непрерывности и однозначности во всей области изменения независимых перемен­ ных мы далее будем называть стандартными условиями. Усло­ вие однозначности играет особенно важную роль, когда неза­ висимыми переменными являются углы 0 и ср.

Совокупность собственных значений оператора называется его спектром. Задача о нахождении спектра собственных зна­ чений сводится к отысканию функции и, удовлетворяющей уравнению (155,1) и стандартным условиям. Если, как это бывает в большинстве интересующих нас случаев, F есть опера­ тор дифференциальный и т, п. V то задача сво­ дится к интегрированию дифференциального уравнения и отыска­ 16 [гл. XII

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

нию среди его решений таких, которые удовлетворяют стандарт­ ным условиям. Замечательно, что вследствие свойств линейных дифференциальных уравнений очень часто оказывается, что подоб­ ного рода допустимые решения (т. е. удовлетворяющие стандарт­ ным условиям) получаются лишь при избранных значениях параметра X, образующих дискретную совокупность чисел, на­ пример (см. ниже пример 3), состоящую из нечётных целых чисел 1,3, 5,... В этом случае спектр называется дискретным. Наряду с этим бывают случаи, когда решения обладают требуемыми свойствами при непрерывно изменяющихся значениях X. В этих случаях спектр называется сплошным. Для пояснения рассмот­ рим три примера.

1. Найдём спектр собственных значений оператора (155,2) Особенность этого оператора состоит в том, что в него входит мнимая единица i = у — 1. С такими операторами нам придётся иметь дело часто. Условие (155,1) в этом случае ведёт к урав­ нению

–  –  –

мы видим, что последнее совпадает с (155,5) при а = 1. Но уравнение (149,4) имеет решения, удовлетворяющие стандартному условию ограниченности лишь при избранных значениях пара­ метра ).:

а=. 2п+ 1, л = 0, 1, 2,...

Итак, оператор (155,4) |имеет дискретный спектр собственных значений, состоящий из нечётных положительных чисел 1, 3, 5,...

–  –  –

Среди линейных операторов нас будут интересовать опера­ торы, принадлежащие к классу самосопряжённых или эрмито еых операторов. Эти операторы удовлетв

–  –  –

где dX = dxxdx2 dx3... и интегрирование распространяется на всю область изменения независимых переменных. Если, в частности, эти независимые переменные суть декартовы координаты х, у, z, то интегрирование распространяется от — со до + °° и от функ­ ций и и у требуется, чтобы они были квадратично-интегрируемыми, т. е. чтобы они достаточно быстро убывали при прибли­ жении к пределам интегрирования.

Наш интерес к самосопряжённым операторам обусловлен тем, что такие операторы обладают действительными собствен­ ными значениями. Для доказательства выберем в качестве v какую-либо из числа собственных функций оператора F. В таком случае по определению собственных функций

–  –  –

Но это может быть только в том случае, ^когда л — число дей­ ствительное.

Рассмотрим несколько примеров.

Оператор умножения на независимую переменную F - x.

1.

Поскольку х есть величина действительная, то

–  –  –

Мы видим, что критерий (156,1) выполняется: оператор «неза­ висимая переменная» есть оператор самосопряжённый.

§ 156] САМОСОПРЯЖЁННЫЕ ОПЕРАТОРЫ

–  –  –

что и требовалось доказать.

У п р а ж н е н и я.

Для упражнения предлагаем доказать следующие полезные теоремы:

1. Если операторы F и в —самосопряжённые, то операторы F + G и FG + G F — также самосопряжённые.

2. Если операторы F и G — самосопряжённые, но не коммутирующие, то оператор F G — G F не обладает свойством самосопряжённости, ко опе­ ратор i (FG — GF) —самосопряжённый.

§ 157. Ортогональность собственных функций самосопряжённых операторов Собственные функции линейного самосопряжённого оператора обладают важным свойством: они друг к другу ортогональны.

С функциями, обладающими свойством ортогональности, нам уже приходилось иметь дело: таковы тригонометрические функ­ ции sin п р и cos п р (см. т. I, § 46), ортогональные в интервале — тс, +тс. Любые две функции ит и ип, принадлежащие к си­ стеме и„ и2,...., называются ортогональными, если

–  –  –

причём интегрирование распространяется на всю область изме­ нения независимых переменных. Приведённые выше функции

§ 157J ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕНН Ы Х Ф УН КЦ И И

–  –  –

причём интегрирование распространяется попрежнему на всю область изменения независимых переменных.

Наше утверждение состоит в том, что если "1» "si ••«I т ••• * есть система собственных функций линейного самосопряжённого оператора, обладающего дискретным (точечным) спектром соб­ ственных значений, и если этим функциям соответствуют нерав­ ные собственные значения, то любые две функции этой системы обладают свойством (157,2).

Для доказательства примем во внимание, что по опреде­ лению собственных функций = * П М л.

= (157,3) где кт и Хп— собственные значения, причём мы предполагаем, что \тФХп. Так как F — оператор самосопряжённый, то его собственные значения действительны, т. е. Хт = Х* и ХП==Х*.

Далее, ввиду самосопряжённости оператора F должно быть удовлетворено условие

–  –  –

= 0, (157,5) что и требовалось доказать.

§ 15S. Разложение по ортогональным функциям Функции, принадлежащие к ортогональным системам, обычно нормируют, т. е. приводят к такому виду, чтобы интеграл от квадрата модуля каждой из них равнялся 1:

= (158,1) Это достигается путём умножения функций на соответственно подобранные постоянные множители. Например, в случае sin пер и cos пер, замечая, что

–  –  –

нормированы. При этом «фазовая» постоянная 8„ остаётся не­ определённой, так как С подобной неопределённостью фазового множителя, как мы увидим дальше, в квантовой механике приходится встречаться нередко. Однако она не пмеет существенного значения, так как физический смысл имеют квадраты модулей соответствующих чисел.

Пусть нам дана полная система ортогональных нормиро­ ванных функций В математических руководствах доказывается*), что любая функция и( х), квадратично-интегрируемая во всей области из­ менения независимой переменной (в частности, от — оо до + ос),

• в остальном удовлетворяющая весьма широким математиче­ а ским условиям, может быть разложена в ряд

–  –  –

позволяет очень просто вычислять коэффициенты разложения (158,2): для отыскания какого-нибудь коэффициента ск при ик умножаем обе части на и% и интегрируем

–  –  –

к заданной функции, является полнота системы ортогональных функций, по которым производится разложение. Иначе может получиться ряд, хотя и сходящийся, но не к той функции, которая нас интересует.

^Нередко случается, что нескольким различным собственным функциям оператора соответствует одно и то1кё с0бственное значе­ ние. Такой случай называется вырождением. Собственные функций в случае вырождения не будут ортогональными, так как в этом случае в соотношении

–  –  –

Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Прежде всего мы должны определить, какие собственные функции мы бу­ дем считать различными. Это необходимо хотя бы потому, что без определения неясно, можно ли, например, считать раз­ личными функцию ип и ту же функцию, умноженную на по­ стоянную, т. е. сип. Мы будем называть собственные функции различными в том случае, если они * линейно независимы. Это означает следующее. Пусть мы имеем п функций их, ы2,..., и„;

эти функции называются линейно зависимыми в том случае, если при любых значениях переменных имеет место соот­ ношение CiUx + с2и2+... + спип — 0, (158,5) где по крайней мере одна из постоянных си..., сп не равна нулю. Если же соотношению (158,5) нельзя удовлетворить тож­ дественно, то функции цХ..., и л называются линейно, незавиеимыми.

Положим теперь, что какое-либо собственное значение опе­ ратора F, скажем Хп, вырождено. Это значит, что существует несколько собственных функций иП..., иПс, которым соот­ | з, ветствуют одинаковые собственные значения Х„. Число функции к в этом случае называется кратностью вырождения: мы гово­ рим о двукратном, трёхкратном и т. д. вырождении. Эти к собствен­ ных функций не будут ортогональны друг к другу. Оказывается, однако, что из таких вырожденных собственных функций мож­ но строить линейные комбинации, которые также будут соб­ ственными функциями того же оператора, но коэффициенты можно подобрать так, чтобы эти новые собственные функции) были ортогональны.

25’

s 158] РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ ФУНКЦИЯМ

–  –  –

Итак, ИЗ функций U\ И И2 МЫ построили функции Wt и и, «ортогональные и нормированные. Аналогичный процесс можно применить к ортогонализации трёх, четырёх и т. д. вырож­ денных собственных функций *).

Таким образом, можно считать, что условие ортогональности

•собственных функций самосопряжённого оператора выполнено всегда: в тех случаях, когда имеется вырождение, можно за­ менить вырожденные собственные функции их ортогонализированными линейными комбинациями. Надо только помнить, что при разложении в ряд по собственным функциям в случаях, когда некоторые из них вырождены, следует брать такое число ортогонализированных линейных комбинаций этих вырожденных собственных функций, какова кратность вырождения.

§ 159. Волновая функция Мы теперь в достаточной степени ознакомились с новым математическим языком и можем обратиться к формулировке ^основных положений квантовой механики.

Д ля этого удобно вернуться сначала к рассмотренному в гл. X первого тома движению свободной частицы. Мы видели там, что существующий в классической механике метод — харак­ теризовать движение при помощи одновременного задания коор­ динат и составляющих количества движения, вообщ е говоря, не­ применим для очень малых частиц, какими являются электроны, протоны и т. д. Поведение таких микроскопических частиц оказа­ лось необходимым представлять при помощи функции

–  –  –

приняли за меру вероятности найти частицу в малой области пространства с координатами, лежащими между х и x-\-d x, у E.y + d y, z и z + dz. Таким образом, функцию $ можно на­ звать амплитудой вероятности, а квадрат её модуля — плотно­ стью вероятности.

Этот результат, полученный для случая движения свободной частицы (т. е. в отсутствии поля), мы обобщим и в основ у развиваемой в дальнейшем системы положим следующее допу­ щение: существует комплексная функция координат и времени О (я, у, z, t), описывающая движение в силовом поле таким образом, что есть мера вероятности найти частицу в эле­ ментарном объёме dx (или, как мы будем говорить сокращённо, «в данном месте пространства»). Эту функцию мы иногда будем также называть волновой функцией, хотя для случая движения в силовом поле не только образ плоской волны, но даже и вообще волны с постоянной (т. е. не зависящей от координат) амплитудой оказывается, вообще говоря, уже непригодным.

Поскольку функция характеризует состояние физической системы, её математические свойства должны быть ограничены требованием конечности, непрерывности и однозначности во всей области изменения независимых переменных, т. е. теми требо­ ваниями, которые мы назвали в § 155 стандартными условиями.

Во многих случаях к этой функции предъявляется также тре­ бование квадратичной интегрируемости, которое вытекает из необходимости нормирования функции причём в тех случаях, когда независимыми переменными яв­ ляются декартовы координаты, интегрирование распространя­ ется от — оо до + оо.

Ниже мы увидим, впрочем, что бывают случаи, когда функ­ ция ) удовлетворяет стандартным условиям, но не убывает достаточно быстро на границах интегрирования. В таких слу­ чаях прибегают к более сложным приёмам нормирования, впро­ чем, вполне оправдываемым также и физическими соображениями (см. § 163).

§ 160. Принцип суперпозиции Вернёмся вновь к движению свободной частицы и вспомним опыт с прохождением пучка электронов через экран с двумя щелями. Мы видели в § 138, что для того, чтобы найти веро­ ятность попадания электрона в определённое место фотопла­ стинки или флуоресцирующего экрана, необходимо сложить амплитуды двух сферических волн, выходящих из обеих щелей,

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [гл. X II

–  –  –

Только таким образом можно понять описанные в главе X опыты с интерференцией электронов. Возможность суперпози­ ции, описываемой вообще несколько более общим соотношением

–  –  –

является самым характерным свойством волнового поля. Прини­ мая во внимание, что функции Ц, Ц •••характеризуют состояния »

2, частицы, мы формулируем принцип суперпозиции, выражаемый соотношением (160,2), следующим образом: если частица может •••, то она может находиться ])2, находиться в состояниях также и в состоянии являющемся результатом суперпози­ 1, 2, •• Этот принцип, обоснованный результа­ ] ции состояний тами экспериментов со свободными частицами, также распро­ страняется на движение в силовых полях.

Следует сейчас же отметить, что суперпозиция в квантовой механике существенно отличается от суперпозиции в класси­ ческой теории колебаний в следующем отношении: если состоя­ ние колебания описывается функцией и, то, складывая ее с самой собой, мы получим функцию и + и = 2и, описывающую другое состояние колебаний, а именно, состояние с удвоенной амплитудой. Напротив, в квантовой механике, умножая функ­ цию на какое-нибудь число с, мы получаем функцию с% ] которая описывает то ж е самое состояние, что и Это !).

следует уже из того, что n и Ц не являются линейно неза­ jj висимыми. По поводу физического смысла этого результата см. конец § 164.

§ 161. Основные постулаты квантовой механики*) В классической механике мы встречаемся с такими величи­ нами, как координаты частицы, составляющие её количества движения, энергия и т. д. Эти величины, а также их функции мы в дальнейшем будем для краткости иногда называть дина­ *) Для более глубокого ознакомления с принципиальными вопросами квантовой механики см. Д. И. Б л о х и н ц е в, Введение в квантовую меха­ нику, изд. II, Гостехиздат, 1949; К. В. Н и к о л ь с к и й, Квантовые про­ цессы, Гостехиздат, 1940.

§ 161] ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

мическими переменными. Между различными динамическими переменными в классической механике имеет место ряд тож­ дественных соотношений. Например, энергия может быть выра­ жена через составляющие количества движения и координаты следующим образом:

–  –  –

Поскольку система квантовой механики строится по анало­ гии с механикой классической, квантовая механика пользуется теми же динамическими переменными. Своеобразие законов движения в микроскопических системах проявляется в кванто­ вой механике в том, что эти динамические переменные в ней изображаются величинами иной математической природы, нежели в механике классической. Именно, в основе системы квантовой механики лежит следующая аксиома.

Каждой динамической переменной классической механики в квантовой механике сопоставляется определённый линейный оператор, действующий на функцию ф, и допускается, что между этими линейными операторами имеют место те же тожде­ ственные соотношения, какие существуют в классической меха­ нике между соответствующими величинами.

Для развития этого положения мы сначала установим вид основных операторов квантовой механики. Таковыми являются операторы координйт и составляющих количества движения.

Так как операторы квантовой механики действуют на функцию, !

которая является фунцией координат, последним, как незави­ симым переменным, сопоставляется оператор умножения. Напри­ мер, оператор, соответствующий координате х, переводит

tb-функцию в яф:

аеф= а !

:. (161,1)

–  –  –

Оператор полной энергии (функции Гамильтона), которы й в квантовой механике также называется оператором Гамильтопа

ОСНОВНЫ Е П О СТУЛА ТЫ К В А Н ТО В О Й МЕХАНИКИ

S 161]

–  –  –

(оператор U есть умножение «ji-функции на U\).

Заметим, что при установлении вида операторов мы всег­ да пользуемся выражениями в декартовых координатах.

Но после того, как оператор установлен, можно переходить к любым координатам. Например, в операторе Гамильтона (161,6) мы можем перейти от выражения оператора Лапласа Д и потенциальной энергии в декартовых координатах к выраже­ ниям их в цилиндрических или сферических, или любых других координатах.

Нам теперь необходимо связать операторы квантовой меха­ ники с теми числами, которые получаются при измерениях соответствующих механических величин.

Этой цели служит следующая аксиома:

Если при измерении некоторой механической величины каждый раз получается одно и только одно число X, то опера­ тор F, изображающий эту механическую величину, функция Ф, характеризующая состояние, в котором находится система, и число \ связаны соотношением F t y = Xj). (161,7 Наоборот, если имеет место соотношение (161,7), то при изме­ рении механической величины F в состоянии ф каждый раз (т. е. с достоверностью) должно получаться число X.

Оговорка относительно состояния, в котором при измере­ нии получается только одно число, очень существенна, так как ниже мы увидим, что микроскопические системы могут находиться и в таких состояниях, в которых при измерениях получается не одно число, но несколько различных чисел, каждое со своей вероятностью.

Мы теперь видим, что функция 6*, удовлетворяющая урав­ нению (161,7), есть собственная функция оператора Ш, а / ' —соответствующее ей собственное значение. Тем самым устанавливается искомая связь между операторами и числами, получаемыми при измерении механических величин; наша аксиома \ гверждает, что спектр собственных значений опера­ тора совпадает с совокупностью тех значений, которые полу­ чаются на опыте при измерении соответствующей механической величины.

32 [г а. X II

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ М ЕХАНИКИ

Для того чтобы убедиться в разумности формулированной аксиомы, мы должны прежде всего установить, что X явля­,ются действительными числами: результат измерения всякой физической величины обязательно должен быть числом действи­ тельным. В § 156 мы видели, что этому требованию удовлет­ воряют линейные самосопряжённые операторы. Но независимая переменная и оператор y д ~ (тЯе х — любая независимая пере­ менная) удовлетворяют критерию самосопряжённости (см. § 156), следовательно, операторы координат и составляющих количе­ ства движения — самосопряжённые. Пользуясь результатами § 156, легко доказать, что оператор энергии JE, а также опе­ T раторы составляющих момента количества движения — самосо­ пряжённые. Таким образом, операторы квантовой механики на самом деле имеют действительные собственные значения.

Доказать, что оператор энергии Н — самосопря­ У п р а ж н е н и я : 1.

жённый.

операторы составляющих момента кэличества движе­

2. Доказать, что ния — самосопряжённые. (Указание. Следует воспользоваться общими теоремами, доказанными в упражнениях к § 154.) § 162. Квантование В предыдущих главах этой книги мы видели, что в процессе исторического развития атомной механики сначала был форму­ лирован основной постулат Бора, согласно которому энергия атомной системы может принимать только дискретные значе­ ния. Далее, при решении конкретных задач пришлось формулиро­ вать другие постулаты для выбора квантованных значений меха­ нических величин (постулаты Бора—Зоммерфельда, см. т. 1, § 106).

Наши новые аксиомы значительно шире и глубже этих частных постулатов. В самом деле, во-первых, они указывают единый принцип, на основании которого должна отыскиваться совокуп­ ность всех возможных значений любой механической величины.

Во-вторых, из этих же аксиом непосредственно вытекает, какие из механических величин и при каких условиях могут прини­ мать сплошной ряд значений и какие — дискретный. Ответ на этот вопрос получается сам собой, в результате решения мате­ матической задачи на отыскание собственных функций того или иного оператора. Если при этом окажется, что спектр собственных значений дискретный, то соответствующая меха­ ническая величина квантуется, т. е. даёт при измерениях дискретный ряд чисел.

Поясним это примером. Рассмотрим оператор полной энер­ гии (оператор Гамильтона) J6T. Уравнение для собственных

•функций в этом случае таково:

(162,1) Щ = Ей, 162] КВАНТОВАНИЕ

–  –  –

Теперь мы можем пояснить, почему для операторовр х, р у, р г выбранвид, указанный в (161,2). Перепишем уравнение

Шредингера в следующем виде, тождественном с (162,2):

–  –  –

(163.1) Частные решения этого уравнения (163.2) удовлетворяют стандартным условиям в том и только в том случае, когда Е 0 (см. § 155, пример 2). Если, однако, это условие удовлетворено, то Е может иметь любые непрерывно меняющиеся значения: оператор энергии свободной частицы имеет сплошной спектр собственных значений. Из этого следует, что энергия свободной частицы может, принимать любые непре­ рывно изменяющиеся значения.

Очевидно, однако, что обеим собственным функциям соот­ ветствует только одно значение энергии Е. Это показывает, что мы имеем дело в данном случае с вырождением, а именно, с двукратным вырождением. Посмотрим теперь, не являются ли собственные функции (163,2) оператора энергии в то же время собственными функциями оператора проекции количества движения и каким собственным значениям рх они соответствуют.

Применяя оператор __ h д 25it дх ^ '*

СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА

S 163)

–  –  –

Однако прямой проверкой легко убедиться в том, что уравне­ ние для собственных функций оператора количества движения не удовлетворяется (163,3) действительными функциями и (163,4), но удовлетворяется только комплексными функциями (163,2). Мы имеем здесь дело с одной из простейших иллю­ страций того, что волновая функция Ф есть, вообще говоря, функция комплексная.

Заметим далее, что, поскольку действительная функция ]) [например (163,3)] неявляется собственной функцией оператора 36 ОСНОВЫ КВА Н ТО В О Й М ЕХАНИКИ 4гл. XII

–  –  –

Отсюда следует, что эти функции нельзя нормировать обыч­ ным способом.

Оказывается, что такое затруднение встречается во всех случаях, когда оператор имеет сплошной спектр собственных значений.

Это различие между собственными функциями сплошного и дискретного спектра очень характерно.В случае дискретного спектра мы имеем ряд функций, которые можно перенумеро­ вать 1, ф2,..., и соответствующий им дискретный ряд собственных значений Хх, Х2,... В случае же сплошного спектра собственная функция X) зависит от непрерывно меняющегося параметра X [см., например, формулу (163,2), где таким непрерывно меняющимся параметром является 2тЕ]. Такого рода функцию для одного определенного зна­ чения X нельзя сопоставлять с функциями дискретного спектра.

Это соответствует тому факту, что безграничная волна, описы­ ваемая формулой (163,2), есть математическая абстракция, подобно тому как математической абстракцией является строго монохроматическая волна. Реальная же квазимонохроматпческая волна (см. т. I, § 70) ость своего рода волновой пакет, образованный суперпозицией монохроматических волн с непре­ рывно меняющейся в определённом интервале Ду частотой.

Аналогично этому, в реальных физических условиях никогда не приходится иметь дело с частицами, положение которых неопределённо в интервале от — со до + о о, но можно утвер­ S 164] СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ

–  –  –

Оказывается, что такие интегралы ведут себя совершенно так­ же, как собственные функции дискретного спектра; они друг к другу ортогональны и их можно нормировать обычным спо­ собом *).

Ввиду значительной сложности вопросов, приводящих к сплошным спектрам собственных значений, мы ограничимся сделанными замечаниями и в дальнейшем будем рассматривать только случаи дискретного спектра.

У п р а ж н е н и е. Решить задачу о свободной частице, полагая, что ф есть функция всех трёх координат х, у, ъ.

Показать, что собственные функции оператора энергии в этом случае таковы:

–  –  –

Выше мы видели, что в тех случаях, когда функция ф, харак­ теризующая состояние системы, является собственной функ­ цией оператора какой-либо механической величины, эта вели­ чина имеет определённое значение (равное собственному зна­ чению оператора). Но, как мы видели в предыдущем параграфе, может случиться, что не будет собственной функцией интере­ j сующего нас оператора, или может случиться, что ф будет собственной функпией оператора одной динамической перемен­ ной, по не будет таковой для оператора другой. В тех случаях,

–  –  –

когда Ф не является собственной функцией оператора, соответ­ ствующая механическая величина не имеет определенного значе­ ния. Это значит, что если мы представим себе собрание очень большого числа систем, которые все находятся в одном и том же состоянии, характеризуемом данной функцией и если мы будем |, измерять в каждой из этих систем интересующую нас механиче­ скую величину, то мы будем получать каждый раз, вообще гово­ ря, различные числа. Поэтому здесь уже не приходится говорить об определённом значении механической величины, но можно поставить вопрос о её среднем значении.*). Это среднее значение можно, конечно, найти опытным путём, произведя достаточно большое количество измерений и позаботившись, чтобы при каждом измерении система находилась в одном и том же со­ стоянии; среднее значение будет тем более устойчивым и до­ стоверным, чем большее число измерений будет проделано для его определения.

Квантовая механика позволяет,. однако, предвычислять эти средние значения для всех механических величин, когда известна функция описывающая состояние системы. Для отыскания |, «рецепта» этого вычисления мы начнём со случая, когда на­ ходится среднее значение координаты х (то же относится, конечно, к любой координате). Так как !**dx есть вероятность найти частицу с координатой между х и x-\-dx, то среднее значение координаты будет (164.1)

–  –  –

ИЯ *) Следует помнить, что термин «среднее значение* употребляется в двух смыслах. Если мы измеряем, например, длину, то, как бы точно ни производилось измерение, получаемые цифры обнаруживают неко­ торый разброс, обусловленный случайными ошибками измерения. Для получения числа, наиболее близкого к измеряемой длине, мы находим среднее из всех измерений. В этом случае величина, характеризуемая средним значением, существует, но нам не известна. В других случаях термин «среднее значение» не соответствует чему-либо реально суще­ ствующему, но характеризует некоторый признак статистического кол­ лектива. Таков, например, средний рост определённой группы людей и т. п. В квантовой механике термин «среднее значение» употребляется имзнно в этом последнем смысле. Точнее говоря, в квантовой механике термин «среднее значение» применяется в смысле «математического ожи­ дания» теории вероятностей. См., например, С. Н. Б е р н ш т е й н, Тео­ рия вероятностей, гл. IV, Гостехиздат, 1946.

t 164]

СРЕДНИЕ ЗН АЧЕН И Я

–  –  –

Эта формула распространяется в квантовой механике на любой линейный оператор, являющийся функцией обобщённых коор­ динат и импульсов (qk и р*): среднее значение F {qk, ри) есть

–  –  –

Из этой формулы, между прочим, вытекает уже упоминавшееся следствие (§ 160): если функция «» описывает какое-либо со­ | стояние, то и функция ей»; где с — постоянное число, описывает то же состояние. В самом деле, из формулы (164,4) сразу сле­ дует, что средние значения всех механических величин в обоих состояниях одинаковы.

Из сказанного в этом параграфе видно, что формальный аппарат квантовой механики («^-функция и операторы) позво­ ляет описывать состояние механической системы со всех сторон, т. е. позволяет предвычислять значения всех механических величин. Однако это описание, как правило, статистическое, т. е. только для некоторых величин в данном состоянии можно указать их определённые значения, для всех остальных — получаются только средние значения.

У п р а ж н е н и я. 1. Пользуясь формулами § 150, вычислить средние значения х, хг, х*, х* для линеиного гармонического осциллятора в не­ скольких квантовых состояниях (п = 1. 2, 3,...). Верны ли здесь соот­ ношения a = ( ж)2, х* = (х*)*?

s* ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [гл. M l

2. При помощи нормированной функции и формулы для средних значений энергии убедиться в том, что средние значения энергии линей­ ного осциллятора в состояниях, описываемых собственными функциями ф й оператора энергии, совпадают с определёнными значениями энергии

–  –  –

Выше мы видели, что обычное для классической (макро­ скопической) механики утверждение «такая-то механическая величина имеет определённое значение» в квантовой механике имеет смысл только в том случае, когда функция является | одной из собственных функций оператора, соответствую щ его этой механической величине. Во всех остальных случаях меха­ нической величине нельзя приписать никакого определённого значения, и приходится говорить о среднем значении, вычи­ сляемом по формуле (164,3) предыдущего параграфа. Если, однако, мы говорим, что механическая величина не имеет опре­ делённого значения, то смысл этого утверждения состоит в том, что мы не можем приписать этой величине определённого зна­ чения с достоверностью.

Однако мы можем задаться вопросом:

какова вероятность того, что при измерении данной механиче­ ск ой величины мы получим некоторое определённое число?

Квантовая механика позволяет вычислить эти вероятности.

Пусть мы интересуемся динамической переменной, оператор которой есть F. Собственные функции и собственные значения этого оператора пусть будут, соответственно, Щ... и Х1 |2, т Х2,..., причём мы предполагаем, как это видно уже из обозна­ чений, что оператор имеет дискретный спектр собственных зна­ чений. Если система находится в состоянии, характеризуемом функцией ф, не являющейся собственной функцией оператора F, то при измерении величины F должны получаться различные числа, принадлежащие, однако, к ряду собственных значений Xlf Xf, так как согласно основному постулату квантовой механики спектр собственных значений оператора и даёт совокупность чисел, получаемых при измерений соответствующ ей мехавической величины. Вычислим среднее значение F в состоянии ф.

Если функция Ц нормирована, то среднее значение F будет »

(165,1)

–  –  –

... + С*С{Х, ^ С +...

?Т В силу условий ортогональности и нормирования все интегралы при к ф 1 равны нулю, а при к = 1 равны 1. Следовательно,

–  –  –

Соответствующие этим собственным функциям собственные значения энергии по формуле (147,8) таковы:

*.= & » • Щ щ Щ....... | f| i Следовательно, если электрон находится в потенциальном ящике в одном из состояний, описываемых собственными функциями (166.1), то он будет иметь определённое значение энергии, именно, одно из значений (166,2).

Представим себе, однако, что в момент t = 0 стенка ящика «открывается», мы впускаем внутрь его электрон с произволь­ ной энергией Е, после чего стенка ящика вновь закрывается.

Каково будет теперь состояние, в котором находится электрон?

Пока вторая стенка ящика открыта, состояние электрона описывается плоской волной

–  –  –

при краевом условии ty(0, t) — 0. В момент = 0 ящик «закры­ вается». Это означает, что для электрона теперь имеются два непреодолимых барьера: при х = 0 и при х = 1. Состояние его теперь описывается следующей функцией:

–  –  –

Заметим, что функцию (166,4) уже нельзя рассматривать как плоскую волну; это — волновой пакет и, следовательно, об опреh.., деленной длине волны к — — здесь говорить не приходится, а потому нет и определённых значений импульса и энергии.

Очевидно, что функция (166,4) не совпадает ни с одной из собственных функций (166,1). Поэтому при измерениях энер­ гии не должно получаться какое-нибудь одно значение из ряда (166.2) с достоверностью, но могут получаться любые значения этого ряда с определёнными вероятностями.

Эти вероятности § 167] ОБЩ И Е СОБСТВЕН НЫ Е Ф У Н К Ц И И мы найдём, если разложим функцию sin for в интервале от О д о I по собственным функциям (166,1):

sin кх ЦIlf + !|!| +... + р|| +... (166,5) Квадраты модулей |с х [*| |с2 |... и дадут нам искомые ве­ % роятности.

П оскольку задача о частице в потенциальном ящ ике фор­ мально аналогична задаче о струн е, закреплённой на двух концах, следую щ ая аналогия мож ет пояснить описанное поло­ жение дела. Представим себе струну (ри с. 227), которая вначале закреп­ лена только на одном конце А (одна стенка ящика открыта). В опреде­ лённый момент t = 0 мы закрепляем вторую точку струны в месте В. К а­ кая из собственных частот колеба­ ний установится при этом на струне?

Очевидно, что об одной частоте здесь говорить не приходится: возбудя тся одновременно все обертоны струны, каждый со своей интенсивностью. Д ля отыскания этих интен­ сивностей нуж но поступить следующ им образом: форма струны в момент закрепления второй её точки есть начальное условие.

Функцию f ( x, 0), изображ ающ ую эту форму в момент / = 0, нужно разложить в ряд Ф урье (которы й в этом случае совпа­ дает с рядом (166,5)). К вадраты коэффициентов этого ряда и дадут искомые интенсивности обертонов.

Т о, что частица, обладавш ая определённой энергией до за­ крывания ящ ика, переш ла в состояние с неопределённой энер­ гией после этого, не является парадоксом. В самом деле, выражение «стенка ящика» есть тол ько наглядный образ для поля, преп ятствую щ его вы ходу частицы. Если эта частица — электрон, то для того, чтобы его «запереть», нуж но создать соответствую щ ее электрическое поле. Но это поле, конечно, окаж ет сущ ественное воздействие на электрон и изменит его состояние в данном случае таким образом, что энергия станет неопределённой.

–  –  –

Это означает, что бгф есть собственная функция оператора F, принадлежащая собственном у значению X; нд, по условию и ф есть собственная функция F, иранад л еж ащая тому ж е собствен ­ ному значению, т. е. функции ф и (?ф описывают одно и то же состояние. Это мож ет бы ть только в том случае (см. § 160), если бгФ отличается от ф лишь постоянным множителем, на­ пример р., бгф = {*4»,

–  –  –

(167,7) Но динамические переменные, изображаемые некоммутиру­ ющими операторами, не могут иметь одновременно определён­ ных значений. Мы приходим, таким образом, к выводу, что не могут одновременно иметь определённых значений координаты и соответствующие им составляющие количества движения:

либо одна из них имеет определённое значение и тогда дру­ гая будёт неопределённа, либо обе они в известной степени неопределённы.

–  –  –

ыость измерений. Пусть мы произвели достаточно большое число измерений какой-либо величины а и получили при этом ряд чисел alt о 2, а8,... ; среднее из них пусть будет а. От­ клонения отдельных измерений от среднего будут ах— а, а, — а,..., ак— а,...

Но, как мы видели в т. I, § 109, среднее из этих откло­ нений равно нулю, ввиду чего пользуются квадратами откло­ нений е%— (ак— а)г, а мерой разброса численных значений слу­ жит среднее квадратичное отклонение

Легко видеть, далее, что имеет место следующее соотношение:

–  –  –

Отсюда следует также, что А 0, т. е. первое из условий (168,7) выполняется. Далее, принимая во внимание, что ф нор­ мирована к единице и выполняя интегрирование по частям, находим для В

–  –  –

Двойная подстановка от — оо до + оо даёт нуль ввиду того, что « » как функция квадратично-интегрируемая, убывает бы­ |, стрее, нежели х возрастает.

*) Действительно, имеем тождественно

–  –  –

В предыдущих параграфах мы встречались с операторами различных механических величин, которые зависели только от координат или заключали в себе дифференцирования по координатам. В соответствии с этим мы не интересовались зависимостью функции « от времени. Наиболее важным из расЬ сматривавшихся нами соотношений является уравнение Ш ре­ дингера, т. е.

уравнение для собственных функций оператора энергии:

(162,1) П оск ол ьк у оператор JB действует только на функцию коор­ T динат, и это уравнение не даёт никаких указаний на зависи­ м ость Ф от времени. Вспомним ещё, что это уравнение позво­ ляет находить функции, описывающие состояния, в которы х энергия имеет определённы е значения.

Однако уж е в т. I, § 143 для случая свободной частицы, т. е. частицы, движ ущ ейся в отсутствии внешнего поля, мы иолучили уравнение 1 4 3 ’6 Оператор, действующ ий на 0 в левой части этого уравнения, есть оператор энергии свободной частицы (в отсутствии внеш­ него поля потенциальная энергия равна нулю), так что урав­ нение можно переписать в виде

–  –  –

Теперь мы примем без доказательства, что уравнение (169,1) должно иметь место такж е и в том случае, когда движение происходит во внешнем силовом поле.

Гамильтониан Ш содерОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА § 169] жит в этом случае операторы и кинетической, и потенциальной энергий и уравнение (169,1) в явном виде таково:

R " - е т 4» + 17» — я®- ‘ 169’ 2 Если ф— собственная функция оператора энергии, то уравне­ ние (169,2) снова приведёт к обычному уравнению Шредин­ гера Ж1 = Ety.

Однако уравнение (169,2) имеет более общее значение, нежели (162,1): всякое решение (162,1) есть также решение (169,2), но обратное не имеет места — не всякое решение (169,2) удо­ влетворяет (162,1). Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим состояние, являющееся суперпозицией двух состояний с опре­ делёнными значениями энергий Е г и Ег\

–  –  –

Щ кф : = ° г Е Ь + с*Е*ЬСопоставляя этот результат со (169,4), видим, что Лф' = =— т. е. что уравнение (169,2) удовлетворяется функ­ цией ф'.

Поскольку в уравнение (169,2) входит оператор, зависящий от времени, это уравнение представляет собой динамический закон квантовой механики, определяющий изменение состояния во времени. Оно называется общим уравнением Шредингера.

Сделанное обобщение оправдывается хорошим согласием с опы­ том всех следствий, выводимых из уравнения (169,2). Его можно обобщить и дальше, распространив на случай потенциала, явно зависящего от времени. Это дальнейшее обобщение поз волит нам включить в общую схему квантовой механики также и процессы излучения света (см. гл. XIV).

Повкольку мы всегда рассматриваем наряду с функцией ф также ф*, следует написать уравнение также и для этой

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [гл. XII

сопряжённой функции. Оно таково:

–  –  –

Общее уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением в частных производных. Его решения мы подчиняем начальным и краевым условиям, соответствующим данной задаче. Так как уравнение Шредингера — первого порядка относительно времени, то достаточно одного начального условия, например, достаточно знать, 0) для того, чтобы d(g, t) | (д стала вполне определённой*). Поскольку описывает состояние !

микроскопической системы, это означает, что достаточно задать начальное состояние системы для того, чтобы все последующие состояния были определены. В этом выводе заключается, очевидно, количественная формулировка универсального закона причинности в применении к микроскопическим системам.

Нам необходимо теперь испытать, обладают ли решения общего уравнения Шредингера свойствами, необходимыми для того, чтобы можно было сохранить прежнее статистическое истолкование ^-функций: * ]dx есть вероятность найти частицу ] в элементарном объёме dx.

Проверка состоит в следующем:

если * d-t есть вероятность, то её можно нормировать, т. е.

! (!

потребовать, чтобы удовлетворялось условие (169,6) где интегрирование распространено на всё пространство. Смысл условия (169,6) состоит в том, что вероятность найти частицу где-нибудь в пространстве равна достоверности. Но в таком случае условие нормирования, раз установленное в какой-нибудь момент t = 0, должно сохраняться и на всё будущее время, т. е. интеграл, стоящий в левой части (169,6), не должен зависеть от времени.

Убедимся, что в самом общем случае интеграл J dx не за­ висит от времени, т. е.

–  –  –

*) Мы здесь не можем останавливаться на вопросе о том, каким обравом можно найти функцию ф для t = 0. См. по этому поводу Д. И. Бл о х и н ц е в. Основы квантовой механики, стр.' 113, Гостехиздат, 1949.

ПЛОТНОСТЬ И ТОК ВЕРОЯТНОСТИ

I 170] Выполним дифференцирование nog знаком интеграла

–  –  –

§ 170 Плотность и ток вероятности Согласно статистическому толкованию функции ф знание этой функции для определённого момента позволяет указать вероятность нахождения частицы в элементе объёма в этот момент t. Наглядное представление можно при этом осуществить, воспользовавшись «картиной распределения», которая строится следующим образом. Представим себе большое число N частиц, которые все находятся в одном я том же состоянии и между собой не взаимодействуют. Так как ф* фdx есть вероятность нахождения частицы в объёме dx, то Жф* фdx будет средним числом частиц в объёме dx, расположенном около определённой точки про­ странства, а АГф*ф — средней плотностью частиц в этой точке.

Вычислив эту среднюю плотность для достаточно большого числа точек, мы можем при помощи какого-либо геометрического образа—например, в виде облака большей или меньшей густоты — построить картину распределения плотности для дан­ ного, момента t. Если при этом частицы несут электрический заряд е, то произведение ТУеф ф будет средней плотностью * 56 [гл. X II

ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

заряда в данном месте, и мы можем построить также картину среднего распределения плотности электричества.

Значение общего уравнения Шредингера с этой точки зре­ ния состоит в том, что оно позволяет найти зависимость от вре­ ] мени, а зная эту зависимость, мы можем предсказывать картины распределения на будущее время и, таким образом, следить за изменениями, происходящими в системе.

Однако этот способ едва ли может вполне удовлетворить нашему желанию получить полную картину движения. Мы приблизимся к этой пели в большей степени, если сможем указать наряду с распределением частиц или с распределением плотности заряда также и среднее число частиц, проходящих в 1 сек. через площадку в 1 смг в направлении положитель­ ной нормали к площадке. Для этой цели происведение уже не пригодно, и нужно поискать другую комбинацию тех же функций, подходящую для этого назначения.

Эту комбинацию мы отыщем, если примем во внимание, что, поскольку есть непрерывная функция координат, Ь 3 *6 можно уподобить некоторой фиктивной жидкости, разлитой во всём пространстве. Эта «жидкость» подчиняется закону сохра­ нения. В самом деле, интеграл / tyd-c, взятый по всему про­ странству, от времени не зависит. Поэтому, если в определён­ ный момент плотность вероятности где-нибудь возрастает, 1 *6 то в другом месте она соответственно убывает: можно себе представить, что вероятность «течёт».

Принимая это во внимание, мы можем использовать для вывода интересующего нас выражения «плотности тока вероят­ ности» аналогию с уравнением непрерывности классической гидродинамики. Напомним это уравнение. Представим себе элементарный объём в виде параллелепипеда с гранями, парал­ лельными координатным плоскостям. Пусть в этот объём слева втекает жидкость; направление потока пусть будет параллельн* положительной оси х, а плотность тока s (х) зависит от коор­ динаты х. Количество жидкости, втекающей в объём в единицу времени через левую грань, будет поэтому s (х ) dy dz\ количестве жидкости, вытекающей за тот же промежуток времени через правую грань, будет — s { x + d x ) d y d z или с точностью до бес­ конечно малых второго порядка

–  –  –

Сравнивая соотношение (170,4) с гидродинамическим уравне­ нием (170,3), мы видим, что оба они имеют совершенно одина­ ковую структуру, только роль плотности жидкости р в (170,4) играет произведение 1* а роль плотности тока — выражение

–  –  –

Это значит, что частица имеет количество движения определён­ ной величины и определённого направления (в данном случае р совпадает с положительным направлением оси х ); коорди­ ната её, разумеется, остаётся совершенно неопределённой.

Написав комплексно сопряжённую функцию

–  –  –

Этот результат вполне разумен. В самом деле, если плотность тока вероятности равна у, то средняя плотность тока частиц должна быть N o. Представим себе теперь рой частиц плотно­ стью N, движущихся в одном направлении со скоростью v, заключённый в цилиндре с основанием в 1 смг и высотой, рав­ ной V. Число частиц в этом цилиндре будет N o и все они прой­ дут в 1 сек. через основание, т. е. создадут ток плотности N o в согласии с результатом, вычисленным при помощи фор­ мулы (170,5).

–  –  –

Коэффициенты а и Ь, входящ ие в (171,1), имеют, как мы знаем, следую щ ий смысл: |а | есть вероятность того, что, произведя измерение импульса частицы, мы найдём его равным щ р ;

16j* есть вероятность того, что, измеряя импульс, мы найдём его равным — р.

Найдём теперь явное выражение для тока вероятности в состоянии, описываемом функцией (171,1). Н ебольш ое вычис­ ление, которое может быть выполнено читателем самостоятельно (см. упражнение 1 в конце этого параграфа), даёт

–  –  –

Входящий в это выражение член с косинусом периодически меняется с изменением х. Наличие его обусловливает интерфе­ ренцию и он появляется потому, что для получения состояния 6 мы складываем амплитуды вероятностей и 2. Если же мы | имеем дело со смесью частиц, из которых одни находятся в состоянии, а другие — в состоянии ф2, причём доля первых |1 есть | |, а доля вторых— |6|2, то. вероятность найти частипу а* с координатой между х и х + d x есть просто ( | а Г ^ 0 1+ |6|г ф*62) ^ = (|а |*+|6|г)(/х. (171,6) В самом деле, вероятность найти частицу в состоянии « х !

есть | I2, а вероятность того, что в этом состоянии частица а имеет координату х, есть точно так же вероятность найти частицу в состоянии ф2 есть | | а вероятность иметь коорди­ & 2, нату х, находясь в этом состоянии, есть *2. Поэтому вероят­ ] | ность найти частицу в данном месте либо в состоянии,, ] либо в состоянии & по теоремам умножения и сложения веро­ ятностей есть I« I2 Ь ft 11Г f| Jj Iа | + 111 1* 2 * (171,7) (так как Ф 1 и ty* = ^)i что и требовалось доказать.

Сравнивая между собой формулы (171,5) и (171,6), мы видим, что в формуле (171,6) отсутствует интерференционный член, имеющийся в (171,5). Это и показывает, что состояние, описы­ ваемое функцией (171,5), существенно отличается от смеси со­ стояний, для которой вероятность выражается формулой (171,6).

Различие между обоими случаями такое же, как в оптике— между когерентной и некогерентной суперпозицией. В первом случае складываются амплитуды, во втором — интенсивности.

Состояние, описываемое функцией (171,1), называется чистым состоянием в отличие от смеси состояний. Со статистической точки зревия между чистым случаем и смесью имеется следу­ ющее существенное различие. Представим себе совокупность очень большого ч^сла частиц, которые все находятся в одном и том же состоянии. Выделим из этой совокупности подсово­ купность, содержащую всё же достаточно большое число частиц, и будем измерять, например, импульс этих частиц. Может § 172] СТАЦИОНАРНЫ Е СОСТОЯНИЯ случиться, что у одних частиц мы будем получать для им­ пульса значение Ц р, а у других — р. Подсчитав число тех и других случаев, мы найдём статистику этой подсовокупности, т. е. найдём вероятности частице иметь импульс + р или — р.

Из оставшейся совокупности выделим теперь новую подсово­ купность и опять, производя измерение, найдём её статистику.

Если, выделяя таким образом всё новые подсовокупности, мы каждый раз будем находить одну и ту же статистику, т. е.

одинаковые вероятности импульсов -| р и — р, то перед нами — чистый случай. Если же, выделяя наугад всё новые и новые подсовокупности, мы будем находить различную статистику, то это означает, что мы имеем дело со смесью. В этом послед­ нем случае, принципиально говоря, мы иногда можем выделить такую подсовокупность, для которой либо |а|2= 1 и |6|а= 0, либо |а 1 = 0, |6|2 = 1, т. е. все частицы дают при измерении * импульса одно и то же значение, зато в других подсовокуп­ ностях и |а | и |b | имеют отличные от нуля значения.

* 2 У п р а ж н е н и я 1. В случае, когда а = Ь формула (171,1) даёт, ф = 2a cos -j- рхе доказать, что в этом случае ток вероятности s равен нулю.

2. Доказать для общ его случая, что когда часть функции ф, завися­ щая от координат, действительна, ток вероятности равен нулю.

3. Среднее значение количества движения для одномерного движения вдоль оси х, как известно, выражается формулой

–  –  –

Левая часть этого равенства есть функция только ж, а пра­ вая— функция только t. Они могут быть равны друг другу 172] С Т А Ц И О Н А Р Н Ы Е СО СТО ЯН И Я

–  –  –

П остоянная а долж на иметь размерность энергии. В самом деле, h имеет разм ерн ость [энергия х врем я], a at должна быть безразмерной величиной, так как она входит в показатель (172,5). П олож ив а = Е, мы получим согл асн о (172,5)

–  –  –

При оты скании п рои зводной х по времени н еобход и м о помнить, что, как у ж е бы л о разъ я сн ен о, только Ф, но не х является функ цией времени. В сам ом дел е, в к ван товой м ехани ке в отличие от м еханики к л а сси ч еск ой координаты я в л я ю тся независимыми перем ен ны м и.

Итак,

–  –  –

Подставляя это в (173,1), находим Интеграл в правой части преобразуем интегрированием по частям н оИ ^Я И ^И ^В |*§*'Ш s|ф - ЩЩ Щ Двойная подстановка вследствие граничных условий даёт нуль, а остающийся интеграл можно преобразовать, разбивая его на алгебраическую сумму двух интегралов и выполняя в одном из них интегрирование по частям, которое даёт после подста новки пределов

–  –  –

Как показывает вычисление, первый интеграл равен нулю (сле­ дует написать этот интеграл в виде разности двух интегралов;

в первом выполнить дважды интегрирование по частям, при­ меняя краевые условия; остающийся интеграл сократится^ со вторым). Второй же интеграл, очевидно, равен среднему знаdU' „ чению дх. Итак,

–  –  –

в квантовой механике, вообще говоря, не имеет смысла.

Можно, однако, поставить вопрос иначе.

Предположим, что мы установили следующий факт: производная по времени от среднего значения F механической величины F для любого момента времени и для любого состояния равна среднему зна­ чению другой механической величины К :

(174,1) \

–  –  –

Поэтому (174,2) = В § 59 (т. I) мы видели, что в классической механике производная по времени от механической величины F (qk, рк) может быть выражена при помощи скобки Пуассона (Н, F)

–  –  –

т. е. соотношениям, выражающим теорему Эренфеста.

Мы видим, что задача, поставленная в начале этой г л а в ы,— развить систему квантовой механики возможно ближе к системе механики классической — полностью решена. В частности, результат этого параграфа можно формулировать следующим образом: динамические переменные в квантовой механике и в классической механике подчиняются одним и тем же урав­ нениям; разница только в том, что в квантовой механике эти уравнения имеют место для операторов (т. е. величин иной математической природы) и средних значений.

Д л я того чтобы в ещё большей степени подчеркнуть пол­ ную аналогию между динамическими переменными классиче­ ской механики и операторами квантовой механики, мы покажем, что классические и квантовые скобки Пуассона для канонически сопряжённых переменных имеют одно и то же численное зна­ чение.

В § 59 мы определили скобки Пуассона для любой пары функций координат и импульсов f ( q k, рк), g (q k, Рк), где дк и рк — совокупность всех-координат и импульсов, от которых зависят / и g :

–  –  –

В классической механике мы имеем ряд важных законов сохранения. Таковы законы сохранения энергии, количества движения, момента количества движения. В квантовой механике имеют место те же законы сохранения, только в их формули­ ровке учитываются особенности микроскопических систем.

Пусть оператор некоторой механической величины F не зависит явно от времени где q и р — совокупность всех координат и импульсов. Произ­ водная по времени среднего значения F согласно предыдуще­ му параграфу равна

–  –  –

Итак, необходимое и достаточное условие постоянства среднего значения F есть коммутативность оператора F с оператором энергии 2Г.

72 ОСНОВЫ К В А Н ТО В О Й М ЕХ АН И К И [гл. X II Для того чтобы понять смысл условия (175,1), применим его сначала к случаю, когда система находится в состоянии, описываемом собственной функцией оператора F. Итак, пусть при любых значениях координат

–  –  –

— закон сохранения энергии.

Если ф не является собственной функцией оператора F, то динамическая переменная F не имеет определённого зна­ чения. Поэтому и законы сохранения в этом случае должны быть формулированы иначе. Прежде всего из условия ком­ мутативности оператора F с оператором энергии 2Г вытекает постоянство среднего значения F. Однако в этом случае не только средние значения, но и вероятности определённых значений F не зависят от времени.

Действительно, согласно § 167 из условия

–  –  –

где правая часть представляет разложение функции 1(ж,0) по ортогональным функциям (ж),..., ( ж ) ( с м. § 158). Коэффи­ 1° циенты разложения clf с2,... имеют тот смысл, что квадраты их модулей |сп | представляют собой вероятности определённых значений Еп, а следовательно, и кп в момент i = 0. Обозначая можем переписать ряд (175,3) в виде

–  –  –

В этой главе мы займёмся изучением важной задачи кван­ товой физики: движением в поле центральных сил.

При изучении центрального движения материальной точки в ньютоновой механике важную роль играет механическая вели­ чина — момент количества движения относительно неподвижного центра (для краткости мы будем его иногда называть угловым моментом или моментом импульса). Такую же важную роль в кван­ товой механике играет оператор момента количества движения.

Операторы составляющих момента количества движения в де­ картовых координатах таковы (§ 161):

(176,1) В этой главе нам часто придётся пользоваться сферическими полярными координатами. Мы начнём поэтому с вывода необ­ ходимых формул в этих координатах. Выпишем для удобства формулы перехода к сферическим координатам от декартовых и обратно:

–  –  –

Аналогичным путём найдём (176,7) При помощи формул (176,6) и (176,7) можно быстро найти оператор квадрата момента количества движения. Легко прове­ рить, что (см. упражнение 5 § 154) Х* = Х| + Х * + Х * = = \ (X* + iL y) (Х х - iX a) + \ (X, - iL y) (Х х + Х„) + X*. (176,8) Для вычисления этого оператора следует воспользоваться фор­ мулами (176,6), (176,7), (176,3) и внимательно выполнить дифференцирования, точно соблюдая указанный порядок опе­ раторов-сомножителей. Например, (Х х + iliy) (X, ihg) ф—

–  –  –

1 7 6 - 1 7 [Указание. Следует воспользоваться формулами (176,12) —(176,14).]

3. Доказать, что

–  –  –

4. Показать, что каждый из операторов упражнения 2 коммутирует с X 2. Видно ли это без вычислений?

§ 177. Свойства момента количества движения Момент количества движения в квантовой механике обла­ дает некоторыми своеобразными свойствами, к исследованию которых мы и обратимся. Оказывается прежде всего, что три проекции Ьф, Ly, Lz не могут иметь одновременно определён­ ных значений: если одна из них определённа, то две осталь­ ные неопределённы. Это следует из того, что, как мы сейчас увидим, операторы _БХ, Х 9, L z некоммутативны. Для проверки вычислим, например, произведения ZjjJjy и L gL x и найдём оператор Zixh g — ЪУЪХ. При помощи формул (176,1) легко найдём

–  –  –

Итак, некоммутативность операторов Ъх, L y, Ъ2 доказана, а тем самым (§ 167) показано, что Lx, Lu и Lz не могут одно­ временно иметь определённых значений.

Однако каждый из этих операторов коммутирует с операто­ ром X*. Это доказывается так.

Умножим (177,1) справа на 1 /д:

–  –  –

где целое число I есть квантовое число момента количества движения. Поскольку, однако, непосредственно находятся соб­ ственные значения L2, мы ещё ничего не можем сказать отно­ сительно вектора L.

Собственные функции оператора Лежандра суть функции Y (Ь, р). В теории шаровых функций*) даются общие формулы, при помощи которых можно вычислить однородные полиномы любого порядка, являющиеся решениями уравнения Лапласа (178,5). Нам, однако, понадобится очень ограниченное число этих полиномов, ввиду чего мы не станем заниматься выводом общих формул, но получим несколько нужных нам решений непосредственно.

Для этого мы вернёмся к уравнению Лапласа (178,4) в декартовых координатах и перейдём от перемен­ ных х, у, г к следующим новым переменным:

l = x + iy, i\= x — iy, z.

Имеем д и _ ди д% ди дч\__ ди ди дх д% дх Щ дх д% - ду) ’

–  –  –

то, очевидно, полином (178,9) удовлетворит уравнению (178,8) при л ю бы х постоянны х коэффициентах а, Ь, с. Иначе говоря, мы имеем т ри линейно независимых решения первой степени ;, 7] и z, а (178,9) есть их линейная комбинация.

О днородный полином второй степени есть

–  –  –

Момент количества движения и все его три проекции, очевидно, равны нулю. Это — единственный случай, когда L x, L y, L. и L* имеют определённые значения; но эти значения — нуль.

–  –  –

ные значения проекции L. найдём так же, как в предыдущем случае; они таковы:

всего 5 возможных значений.

Состояние /, 1 = 3. Все вычисления должны быть выпол­ нены читателем самостоятельно (см. упражнение к § 178).

Результат таков: полиномы

–  –  –

Полученные результаты сопоставлены в таблице X XIII, где ф-функции даны в нормированном виде. По поводу этого нор­ мирования следует обратиться к руководствам по теории шаро­ вых функций.

У п р а ж н е н и е. Модель, состоящая из частицы, остающейся всё время на одном и том же расстоянии от неподвижного центра, назы­ вается ротатором.

Примером может служить вращающаяся двухатомная молекула, атомы которой жёстко связаны между собой на расстоянии г:

если заменить оба атома частицей, масса которой равна приведённой массе обоих атомов и которая всё время находится от неподвижного центра инериии на расстоянии г, то получится модель жёсткого ротатора. Дока^ зать, что уравнение Шредингера (уравнение для собственных значений энергии; для ротатора может быть приведено к виду

–  –  –

Д о сих пор в этой главе ваша работа носила преимущ е­ ственно вычислительный характер. Обратимся теперь к физи­ ческом у истолкованию полученных результатов. Эти результаты сведены в таблице, помещённой в конце преды дущ его параПРОСТРАНСТВЕННОЕ К В А Н Т О В А Н И Е

–  –  –

проекция Lz примет определённое значение, во о проекциях Lx и Lv мы ничего сказать не можем (это как раз соответствует тому факту, что + не является собствевной функцией опера­ } торов Jjx и L a). Если мы теперь захотим узнать проекцию на какое-нибудь другое направление, то мы должны будем включить поле, параллельное именно этому направлению. Тем самым предшествующее измерению состояние будет разрушено, и возникнет новое состояние, в котором определённа будет опять-таки только одна проекция.

На первый взгляд непонятно, чем объясняется преимуще­ ство оси z перед двумя остальными. В действительности это преимущество — кажущееся: j ни одна из осей не имеет никакого преимущества перед другими. Особое значение оси z в проде­ ланных вычислениях и рассуждениях объясняется только нашим выбором переменных % x + iy, ц = х — iy, г, вследст­ = вие которого уравнение Ди = 0 приняло вид

–  –  –

Эти собственные функции оператора X 2 были бы в то же время собственными функциями оператора Ъ х (но не Jjy и l j z), и определённые значения 0, ± -у— имела бы проекция Ъ х (см. упраж ­ нение 1 в конце параграфа), а две другие оставались бы неопределёнными. Наконец, при выборе переменных = ж+ iz, у, "==— iz определённой оказалась бы только проекция Ьц.

Читателю настоятельно рекомендуется проделать упражнения к этому параграфу и самостоятельно убедиться в правильности последних утверждений.

Упражнения: 1. Пользуясь выражениями операторов Х х, Х у, X, в полярных координатах [формулы (176,15) — (176,17)], показать, что соб­ ственные функции оператора X* (181,2) являются одновременно собствен­ ными функциями L x с собственными значениями 0, ± Л/2я, но не являются собственными функциями операторов L v и L t.

2. Выбрав в качестве переменных ‘ = x + i z, у, Z — x — iz, показать, что при таком выборе операторы X* и Х у в /^-состоянии имеют общие соб­ ственные функции.

3. Найти собственные функции оператора X 3 в состоянии d при выборе переменных упражнений 1 и 2 и собственные значения оператора X * (и, соответственно, L y) в этом состоянии.

§ 182. Графические изображения Для уяснения особенностей центрального движения в кван­ товой механике полезны графические изображения, которые мы приведём в этом параграфе. Будем рассматривать микроскопи­ ческую, частицу, которая обращается под действием центральной силы около неподвижного центра, оставаясь всё время на одном и том же расстоянии от него (ротатор). Вспомним, прежде всего, что макроскопическая частица, подчиняющаяся классической механике, при таком обращении всё время остаётся в црной плоскости, т. е. обращается по кругу, и её вектор момента количества движения сохраняет своё положение в пространстве, нормальное к плоскости орбиты.

В квантовой механике, как мы знаем, пространствевная ориентация вектора момента количества движения в извествых пределах неопределённа. Поэтому всегда имеется отличная от нуля вероятность найти частицу в точках, не лежащих в одной плоскости, а в состоянии s,^ как мы увидим, при опре­ делённом расстоянии от центра имеется даже одинаковая вероят­ ность найти частицу- в любом месте поверхности ~сфёрыI В5йду этого графики, которые приводятся в дальнейшем, изображают вероятность нахождения частицы на сфере, а не на плоскости. Так как радиус сферы остаётся постоянным, то его можно положить равным 1. Интересующая нас вероятность равна w da — 0* • dz = d* ф sin ft db d®, !

Д В И Ж Е Н И Е В Ц Е Н Т Р А Л Ь Н О М ПОЛЕ [гл. X III

где ds — элемент поверхности сферы единичного радиуса. Я вны е выражения для ^-функции при различных I и т приведены в таблице X X III. Их можно записать в виде = Фт 0 Ьт щ N e±tm* sinmv Р (cos 0), !

где N — нормирующий множитель, a P (co s tt) есть часть функции, зависящая только от cos ft. Очевидно, что Ф*Фс?р есть вероят­ ность найти частицу на сфере в области меж ду кругами долготы ср и cp-j-dcp. Но так как Ф ~ е*тр, то Ф*Ф = const., откуда следует, что имеется одинаковая вероятность найти частицу в одном и том же интервале углов d® у л ю бого круга долготы. В виду постоян­ ства Ф*Ф целесообразно проинтегрировать wda по от 0 до 2 г.

р Рис. 229. Полярная диаграмма распределения плотности вероятности mj* при т = ± / для 1= 3.

Полученная формула [ 9 brn]*27tsin0c?& даст тогда вероятность найти частицу в любом месте сферы между кругами широты S и 0+ Так как, наконец, площадь сферического пояса между этими кругами равна 2u sin Odd, то искомая вероятность, отнесён­ ная к единице площади сферы, есть Ф *Ф [вгт]*. Явные выраж е­ ния этой функции для различных I и т мы найдём при помощи таблицы X X III. Заметим, что постоянная величина произведения нормированных функций Ф*Ф есть ц у. П оэтому для получения интересующ ей нас функции распределения частиц на сфер по широте 10/,т ]2, сл едует умножать на 2п произве­ дения составленные по таблице X X III. Мы получим таким путём таблицу X X IV.

*) Нормированные функции е ‘ должны удовлетворять требованию N* J с*т* е~ * dy = 1, и следовательно, нормированная функция и s,82] ГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

–  –  –

В последнем столбце таблицы приведены суммы плотное! ей вероятности [в |т]* для всех возможных значений гп при дан­ ном /. Как видно, всегда выполняется требование т=+1

–  –  –

диаграмма рис. 229 построена так, что если провести радиусвектор из центра к любой точке кривой, то длина отрезка до пересечения с кривой даст плотность вероятности найти частицу на сфере в любом месте круга широты, соответству­ ющего углу 0 между радиусом-вектором и вертикальной осью (ось г). Мы видим, что для & = 9 0 °, соответствующего ориен­ тации боровских орбит, вероятность на самом деле имеет макси

–  –  –

малъное значение, но она отлична от нуля и для других углов.

Таким образом, ни о какой плоской орбите здесь говорить н$ приходится, хотя «размытое» соответствие с ориентацией боровских орбит имеется. На рис. 230 приведена серия полярных диаграмм [0 iim]2 для состояний, аналогичных рассмотренному, т. е. когда т = ± 1. Этот рисунок интересен тем, что он показывает улучшающееся соответствие с теорией Бора по ме­ ре возрастания I: при 1 = 0 (s-состояние) нет никакого соответ­ ствия, диаграмма—круг; с увеличением I диаграмма стано­ вится всё более сплющенной, и следовательно, распределение частиц концентрируется всё в большей степени вблизи плос­ кости ориентированной боровской орбиты.

§ 183] КЕ П Л ЕРО В А ЗА Д А Ч А Рис. 231 иллюстрирует то же для всевозможных случаев пространственного квантования в состояниях s, р, d и /. Под каждой диаграммой изображена такая ориентация боровских орбит, при которой проекция момента количества движения имеет соответствующее значение ^например, ± 2 ^, для = 2, т = 2 и т. д Л. Здесь опять-таки видно, что з исключением 1-0 s -элект Л роны

–  –  –

состояния 5, во всех остальных случаях соответствие между распределением вероятности и ориентацией орбит имеется:

максимальная вероятность всегда соответствует ориентации плоской орбиты. Однако во всех случаях наблюдается отмечен­ ная выше размытость. Напомним, что для получения простран­ ственного образа надо представить себе тело вращения,’ возни­ кающее путём вращения изображённых фигур около вертикаль­ ного направления.

§ 183. Кеплерова задача Теперь мы обратимся к задаче о движении заряженной частицы под действием кулоновской силы, т. е. силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. В § 49 (т. I) мы подробно рассмотрели решение этой задачи в классической механике.

96 Д ВИ Ж ЕН И Е В Ц ЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ [г л. X III. результаты которой применимы к движению больших тел; здееь мы покажем, каковы законы движения очень малых частиц в поле кулоновской силы. В том случае, когда заряженной частицей является электрон, а поле создаётся ядром с зарядом

-\-Ze, мы имеем дело с водородоподобным атомом, и мы увидим, что квантовдя механика даёт полную теорию этих атомов*).

Наша задача заключается в нахождении собственных зна­ чений и собственных функций оператора энергии, когда потен­ циальная энергия даётся формулой

–  –  –

Соответствующая потенциальная кривая изображена на рис. 232.

При достаточно больших г в (183,11) преобладает первый член, С 0 и при г — оо стремится к нулю; напротив, при малых г преобладает второй член и U' 0. Отсюда видно, что для 2? 0 форма кривой такова, что мы имеем «потенциальную яму», и следует ожидать, что движение в этом случае будет периодическим, а значения энергии — квантованными. Напротив, при Е~ 0 прямая, проведённая параллельно осп абсцисс па расстоянии от неё, равном данному значению энергии, переВ. Щпвльский, т. II, 98 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ [гл. X II )

–  –  –

Но это — формула бальмеровых уровней энергии, которую мы получили здесь без всяких новых гипотез, последовательным решением уравнения Шредингера.

§ 184. Описание состояний водородоподобных атомов Энергия электрона в кулоновском поле Т (1 8 4,1 )

–  –  –

Наименьшее значение I есть нуль; наибольшее (при задан­ ном п), очевидно, соответствует случаю, когда лг= 0 и равно, следовательно, п — 1.

Итак, возможные значения I приданном п следующие:

Z= 0, 1, 2,..., ( л - 1 ).

–  –  –

для одного определённого значения п, т. е. для каждого зна­ чения энергии, определяемого формулой (184,1), имеется столько различных собственных функций, какова величина суммы It — 1

–  –  –

Таким образом, каждый уровень энергии имеет вырождение кратности /г2.

Различные состояния принято обозначать символами, каж­ дый из которых содержит численный коэффициент, равный главному квантовому числу, и буквенное обозначение азиму­ тального квантового числа I по схеме § 180. Например, состо­ яние, для которого л — 1 и / = 0, обозначается символом Is;

при п = 2 имеем состояния 2s и 2р\ при п = 3 — состояния 3s, 3р, 3d и т. д.

Уровни энергии с одинаковыми п и различными I, как ска­ зано, между собою совпадают. Поэтому их можно изображать графически так, как это сделано на рис. 147 (т. I, стр. 314), т. е. в зависимости от одного квантового числа п. Однако удобно распо­ лагать последовательности уровней с одним и тем же азимуталь­ ным квантовым числом I и различными главными квантовыми числами одно под другим, как это показано на рис. 233. При этом у водородного атома все уровни с одинаковыми п будут, конечно, расположены на одной высоте.

Нормальное состояние. Рассмотрим теперь подробнее особен­ ности различных состояний. Собственные функции кеплеровой задачи являются произведениями трёх функций ф (г, ft, ) = R (г) е ± im* 0 1 т(0).

р ( (184,3) Очень интересны свойства нормальпого состояния Is (л = 1, 1= 0). В этом случае часть собственной функции, зависящая от углов, постоянна; состояние Is поэтому характеризуется сфе­ рической симметрией (§ 182). Решение радиального уравнения для случая состояния Is может быть получено без помощи.степенных рядов. В самом деле, так как в s-состояниях 1 = 0, то уравнение (183,9) принимает более простой вид

–  –  –

Плотность вероятности w (г) обращается в вуль при г = 0 и асим­ птотически стремится к нулю при г —» ос. Таким образом, вообще говоря, имеется определённая вероятность найти элек­ трон на любом расстоянии от ядра — между 0 и оо. Вычислим теперь расстояние, на котором вероятность достигает максимума.

Дифференцируя (184,9) по г и приравнивая нулю производную, получаем (после сокращения п z ьга e~2^i г\

–  –  –

«• -с т а - (184' 10 Как видно, длина аг выражается через универсальные кон­ станты е, т, h. С таким выражением мы уже встречались в тео­ рии Бора [см. т. I, § 100, формула (100,4)], где было найдено, что радиус первой водородной орбиты как раз равен длине ах (рис. 234). Азимутальное квантовое число теории Бора nv связано с квантовым числом I соотношением nv = l-\ -1, так что для 1 = 0 nv = 1. Соответствие с теорией Бора имеется, таким образом, и здесь, однако не следует забывать, что состояние Is характеризуется сферической симметрией, так что распреде­ ление вероятности представляет собой сферическое «облако», но отнюдь не плоский образ, соответствующий «орбите». Далее необходимо иметь в виду, что в состоявии Is момент количе­ ства движения равен нулю, и следовательно, мы имеем дело с чисто радиальным движением.

Вычислим ещё средние значения некоторых величин для состояния Is. Для этого нам нужно, прежде всего, нормировать нашу собственную функцию Is, т. е. вычислить значение мно­ жителя N так, чтобы взятый по всему пространству интеграл от нормированной функции равнялся 1. В данном случае имеем условие 2тс со Т -к оо г

–  –  –

т. е. значение полной энергии с обратным знаком.

Найденные выше результаты позволяют дать ответ на вопрос:

каким образом в квантовой механике объясняется устойчивость водородного атома в состоянии s, т. е. в отсутствии момента количества движения. Предположим, что электрон может на­ ходиться на среднем расстоянии от ядра, равном аи с неДВИЖЕНИЕ В Ц ЕН ТРА Л ЬН О М ПОЛЕ [гл. X III определённостью положения Дг, равной у aj. Из соотношений неопределённости имеем

–  –  –

или, принимая во внимание (184,17), как и следовало ожидать. Но (E k)is = E v а Е г есть определён­ ная для водородного атома энергия первого бальмерова уровня.

Поэтому ответ на поставленный вопрос таков: радиус той сферы, внутри которой мы представляем себе запертым электрон, не может быть меньше аг, так как иначе был бы нарушен закон сохранения энергии (рекомендуется сравнить аналогичное рас­ суждение для случая нулевого состояния линейного гармони­ ческого осциллятора, приведённое в т. I, § 150).

В связи с этим полезно рассмотреть ещё следующий кажу­ щийся парадокс. Так как вероятность нахождения электрона •' • ~2~~ в любом направлении между г и r + dr, равная 4тгr2 aidr, с e увеличением расстояния приближается к нулю асимптотически, то всегда имеется определённая вероятность найти электрон на достаточно большом расстоянии от ядра. Потенциальная энергия— — при больших г хотя и отрицательна, но мало отли­ чается от нуля. Кинетическая же энергия всегда положи­ тельна. Поэтому Е к-\-Ер 0, тогда как полная энергия водо­ родного атома (в частности, для состояния Is равная E t) всегда отрицательна. Получается как будто нарушение закона сохра­ нения энергии. Но это нарушение — только кажущееся.

3 184] О П И С А Н И Е СОСТОЯНИ И В О Д О Р О Д О П О Д О Б Н Ы Х А Т О М О В

В самом деле, для сколько-нибудь точного определения коорди­ наты электрона длина вслны света, которым мы его освещаем, должна быть настолько мала, что добавочная энергия, получа­ емая электроном при столкновении с фотоном (комптоновский отброс), с избытком покроет дефицит энергии.

Можно, однако, задать вопрос: нельзя ли всё-таки опреде­ лить положение электрона хотя бы приближённо где-нибудь достаточно далеко от ядра, пользуясь видимым, например, крае­ вым Светом, у которого импульс фотона очень мал. Парадокс тогда остался бы в силе. Оказывается, что определить положе­ ние электрона с красным светом нельзя по следующей простой причине: отдельный электрон не реагирует на красный свет*), а реагирует весь атом в целом по обычным законам теории дисперсии.

Возбуждённые состояния. Решения радиального уравнения для возбуждённых состояний получаются при помощи полиномов, к которым сводятся степенные ряды [с рекуррентной формулой {183,22)]. Отсылая читателей, интересующихся вычислениями, к специальным руководствам **), мы дадим эти решения для несколь­ ких состояний в готовом (нормированном) виде в таблице X X V.

Для удобства в ней введено сокращённое обозначение 1 а = — г.

На рис. 235 изображён ход радиальной составляющей плот­ ности вероятности D = 4тсг2 !ф для различных состояний водо­ * родного атома относительно расстояния, выраженного в еди­ ницах а,. Для всех состояний (кроме состояний типа s) при­ ведены соответствующие орбиты, вычисленные, исходя из величины момента импульса 1(1 + 1) у s Большие полуоси этих орбит, зависящие от одного только главного квантового числа п, такие же, как у соответствующих орбит в теории Бора.

Видно, что для состояний Is, 2р, 3d и i f максимумы плот­ ности вероятности приходятся у расстояний соответственно alt 4a,, 9a, и 16a, (в упражнении 1 в конце параграфа читателю предлагается доказать это вычислением). Следует вспомнить, что в теории Бора для перечисленных состояний (/ = 0, 1, 2, 3, вообще л — 1), у которых пч = 1 + 1, орбиты круговые и ради­ усы их точно равны ах, 4а,, 9ах, 16ах. Если принять во вни­ мание, что плотность вероятности существенно отлична от нуля только внутри расстояний порядка большой полуоси

–  –  –

орбиты, то станет я сн о, что и зд есь имеется такое ж е «разм ы ­ тое» соответстви е с классическими орбитами, как и во в с е х остал ьн ы х сл уч ая х.

Д л я получения пространственной картины плотности вероят­ н ости необходим о учесть угл овую часть собственной функции Y (ft, f). Я сн ое представление об этой картине можно п ол уч и ть, Р я с. 235. Графякя радиальной составляющей плотности вероят­ ности D — 4тег [R (га, Z)]2 для различных состояний водородоп одобно­ г о атома. Пунктиром изображён ход функции [ R( n, / ) ] а. Жирной вертикальной линией отмечено положение средней величины.

рассм атривая фотографии рис. 236, Эти фотографии были п ол у­ чены при помощи особ ого механического приспособления, с о ­ стоявш его из электрической лампочки, помещ авш ейся на конце стерж пя, которы й мог вращ аться около неподвиж ной точки, причём длина его свободной части соответственно менялась.

Смысл этих фотографий можно уя сн и ть себе следующ им обра­ зом. П редставим себе движ ущ ийся электрон, которы й мож ет находиться во всех тех частях пространства, где плотность вероятности отлична от нуля. Он будет, очевидно, чаще в сего попадать туда, гд е п лотность вероятности максимальна. П редДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ [ г *. X I.I ставим себе, далее, что нам удалосьсделать фотографию этого элек­ трона с продолжительной экспозицией. Изображение его тогда «размажется» и даст (в зависимости от состояния) одну из к ар­ тин рис. 236. П оскольку ed »*«j dx представляет собой среднюю 'плотность заряда в данном месте, можно также сказать, что эти фотографии представляют заряд электрона, «размазанный»

о о всему пространству в виде облака.

У п р а ж н е н и я : 1. Показать, что максимумы плотности вероятности в состояниях 2р и 3d находятся на расстояниях от ядра, соответственно равных 4ах и 9ах.

–  –  –

5. Средние значения расстояния электрона от ядра в любы х состоя­ ниях водородоподобного атома с атомным номером Z выражаются в кван­ товой механике и в теории Бора формулами:

в квантовой механике

–  –  –

Р асчёт сл ож н ы х атомов, п редставляю щ и х собой систему нескольких (или многих) электронов в центральном поле, является задачей, требую щ ей кропотливых и длительных

–  –  –

вычислений. И меется, одпако, грудпа^иногоал ектронны х атомов, спектральны е свойства которы х м огут бы ть легко объяснены при помощи приближённого расчёта, лиш ь пемного отличаю­ щ егося от рассмотренного решения кеплеровой задачи для водородоподобны х систем. Это — атомы щелочных металлов L i, Na, К, Rb, Cs, стоящ ие в первой группе м енделеевской си­ стемы элементов. В спектрах этих атомов—имеются серии, по внешнему виду в точности напоминающие серии водородного атомГ~На~~рйс7~237 "в~ качестве примера приведён спектр п огл о­ щения паров натрия (так называемая главная серия натрия, см. § 186). Мы видим здесь такое же закономерное сближение линий и падение их интенсивности по мере приближения к месту слияния, как и в случае водородны х серий.

Однако имеется и сущ ественное различие, которое состои т в следую щ ем : все серии водородного атома (и водородоподобных^ ионов) являю тся комбинациями одного типа терЭ. В. ШпольсхшИ, т. II.

114 ( г л. X I II

Д В И Ж Е Н И Е В Ц Е Н Т Р А Л Ь Н О М «П О Л Е

мов R/k* и имеют общий вид v= где п — постоянное, а пг — переменное целое число.- |Серии жег атомов щелочных металлов могут быть представлены в виде] комбинаций термов, сходных с R/k*, но не совпадающих с ними./ А именно, как показал уж е Ридберг путём анализа эмпириче­ ских данных, общий вид тер м ов, сложных атомов в первом приближении таков: j где R — та же "постоянная Ридберга R = 109 737,30 см~1, п — целое число, а о — некоторая поправка. Оказалось, что для ^представления формулами всех наблюдаемых серий спектральных линий необходимо пользоваться не одной серией тер­ емов Д /л2, но несколькими сериями вида (185,1), причём внутри ^каждой серии термов поправка а имеет одно и то же значение.

Эти особенности атомов щелочных металлов качественно могли быть объяснены уже в рамках теории Бора при помощи так называемой модели излучающего электрона. Рассматривая менделеевскую таблицу элементов, мы увидим, что щелочные металлы всегда следуют за благородными газами: литию пред­ шествует гелий, натрию — не о нит. д. и, наконец, цезию — ксенон.

Атомы благородных газов характеризуются своей высокой устойчивостью, тогда как атомы щелочных металлов, наоборот, ионизуются с особенной лёгкостью. Например, энергия, необхо­ димая для удаления первого электрона (первый ионизационный потенциал), у гелия составляет 24,45 eV, у лития— 5,37 eV, у. неона,— jl,48^eV, у натрия — 5,12..eV и т. д.

П усть мы имеем какой-либо атом щелочного металла, содер­ жащий Z электронов. Мы можем тогда утверждать, что ( Z — 1) электронов образуют устойчивую структуру благородного газа (например, первые два электрона лития образуют оболочку гелия, первые 10 электронов натрия — оболочку неона и т. д.), а.последний электрон связан с ядром атома слабо. В таком случае Z — 1 внутренних электронов с общим отрицательным зарядом — (Z — 1) е вместе с ядром с положительным заря­ дом 4 Ze образуют устойчивый «остов» или нечто, напоминаю­ щее ядро с зарядом -f-е. В поле этого «эффективного ядра»

движется последний слабо связанный электрон, обычно назы­ ваемый излучающим или валентным (потому, что он же обусло­ вливает химическую валентность атома).

Мы получаем, таким образом, систему, напоминающую водо­ родный атом с его ядром с зарядом + е и одним электроном.

Почему же тогда энергетические состояния этой системы,

МОДЕЛЬ ВАЛЕНТНОГО ЭЛЕКТРОНА

§185] вообще говоря, отличаются, а иногда и очень сильно, от водо­ родных? Причина в общих чертах заключается в следующем;

водородное ядро представляет собой опнуэлементарную частицу (протон); ядра, лодародоподвбнига иона, (например, Не+, L i +* и т. д.), правда, является системой частипг но силы, связыва юшие их, столь велики, что эту систему можно считать совер* шенно жёсткой, неизменяемой. Напротив, остов или «эффек­ тивное ядро» атомов щелочных металлов отнюдь не является1 неизменяемой системой; уж е сильное поле самого валентного электрона, когда он подходит достаточно близко к остову, может значительно его деформировать, отталкивая отрицательно заряженную часть остова и притягивая положительно заряжен­ ную. Поэтому только при определённых условиях можно с до­ статочной точностью считать, что движение излучающего элек­ трона происходит в центральном поле точечного заряда; во многих случаях на это поле накладывается ещё поле диполя или более слож ной системы зарядов.

Далее, необходимо вспомнить, что в поле точечного заряда уровни энергии вырождены. Так, например, в водородном атоме главному квантовому числу п = 2 соответствую т не один, а два одинаковых по высоте уровня энергии; главному кван­ товому числу п = 3 — три уровня и т. д. Однако при наличии возмущений, вызываемых деформацией остова, эти совпада­ ющие уровни возмущаются различным образом и потому разделя­ ю тся. В этом, по Бору и Д. С. Рождественскому, и состоит причина сущ ествования нескольких типов термов щелочных металлов.

в Эту качественную картиву мы можем использовать для приближённой количественной теории следующим образом.

П оскольку остов действует на электрон, вообще говоря, не как точечный заряд, но как сложная система зарядов, мы можем представить потенциальную энергию в виде ряда е* е* (185,2) U с* 7* С г* * г Коэффициенты clt с2, очевидно,'— не безразмерные числа, но дл я однородности всей суммы необходимо, чтобы коэффи­ циент с, имел размерность длины, с2— размерность [длина]* и т. д. Поэтому в написанной сумме первый член предста­ вляет потенциальную энергию алектрова в поле точечного заряда + е, второй — потенциальву|р энергию алектрова в поле el.

ди п оля, к оторая, как известно, равна е - j, где el — момент ди­ поля и z. д. Ддщ -первого приближения можно ограничиться д в у мя членами ряда (1?К,2) и д о л о ж и ть

–  –  –

Однако обратное, вообще говоря, имеет место не всегда:

не всякая комбинация термов соответствует реально наблюда­ емой спектральной линии. Мы увидим в дальнейшем, что сущ е­ ствуют определённые правила («правила отбора»), указывающие, какие комбинации термов возможны и какие невозможны. Серии, эмпирически установленные в спектрах щелочвых металлов задолго до появления квантовой механики, описаны в дальней­ шем.

Главная серия.. Эта серия возбуждается легче всего; она может быть получена также и в абсорбции, если пропускать свет какого-нибудь источника, дающего сплошной спектр, через холодные пары металла (лития, натрия и. т. д). Наиболее

| 186] СПЕКТРАЛЬНЫЕ СЕРИЩ Щ ЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ

известным её представителем является жёлтая линия (на самом деле — дублет) натрия 5890 А. Этой линией главная серия натрия только начинается (головная линия); следую щ ая линия той же серии лежит в ультрафиолете— Х==3302 А, за ней идёт Х = 2853 А и т. д.

I Из того, что главная серия легко наблюдается в абсорбции усолодных паров металлов, следует, что один из комбиниру­ ющихся для её возникновения термов (начальный для п огл о­ щения или конечный для испускания) соответствует нормаль­ ному,, т. е. невозбуждённому состоянию. Д ля щелочных металлЖ Г к®к это следует из предыдущ его параграфа, начальное ^состояние принадлежит к типу s-состояний (/ = 0 ). Ч то же (касается главного квантового числа излучающ его электрона в нормальном состоянии, то у различных щелочных металлов оно неодинаково. Установление этих главных квантовых чисел есть задача теории периодической системы элементов, с которой мы познакомимся в главе X V I. Здесь мы только приведём их значения.

–  –  –

Схемы уровней энергии и возможных переходов обычно строятся так, как это уже было показано на рис. 233: в одну колонку располагаются уровни с одним и тем же квантовым числом I и различными главными квантовыми числами. Подоб­ ного рода схема, называемая в спектроскопии диаграммой Гротриана, приведена на рис. 239.

Особый интерес представляют линии, возникающие при переходах между основным s-термом и ближайшим к нему /-термом (2s — 2р для лития, 3 s — 3р для натрия и т. д.). Оче­ видно, что для возбуждения этих линий требуется наименьшая энергия. Кроме того, переходы, соответствующие этим линиям, являются наиболее вероятными. Поэтому эти линии отличаются наибольшей интенсивностью. Если, например, освещать пары натрия светом со сплошным спектром, то в атомах натрия с наибольшей вероятностью будут происходить переходы 3s — 3р, которым соответствует линия поглощения Х ^ г 5 8 9 0 А. При возвращении в нормальное состояние этих возбуждённых ато­ мов должна^ испускаться линия, длина волны которой также • равна 5890 А (жёлтая линия D ). Так как испускаемая и погло­ щаемая длины волн для таких линий одинаковы, то эти линии называются резонансными.

Резонансное излучение паров металлов представляет собой один из видов флуоресценции паров. Оно тщательно и много­ кратно изучалось. В частности, резонансное излучение паров натрия изучено Вудом, который показал, например, что при освещении ультрафиолетовой линией 3302,34 А, соответствующей переходу 3s — 4р (рис. 240), кроме той же линии 3302,34А, всегда наблюдается ещё и жёлтая резонансная линия. ВозникS186] С П Е К Т Р А Л Ь Н Ы Е СЕРИ И Щ Е Л О Ч Н Ы Х М ЕТАЛ Л О В 121 <

–  –  –

новение её легко объяснить следующим образом: ач^зм, возбуж дённый до уровня 4р, может перейти в нормальное состояние 3s сразу: щ щ этой будет испускаться та же линия 3s— 4р = = 3302,34А. Но он может также спуститься до уровня 3s по ступеням (см. ри с. 240). 4р — 4s, 4s — З р и, наконец, 3 р — 3s.

При последнем переходе и будет испускаться жёлтая резонанс-1 ная линия, тогда как при промежуточных переходах испуска-if ются линии, лежащие в инфракрасной части спектра. На рис. 241 приведена аналогичная диаграмма для цезия.

Детали этих диаграмм, в частности расщепление р, Щ /,. 1.

уровней, бу д у т пояснены в дальнейшем (см. гл. X IV ).

Д р уги е серии щелочных металлов. Кроме главной серии, в спектрах щ елочных металлов наблюдается ещё и ряд других серий. Таковы, прежде всего, две серии, у которых основным термом является низший терм типа р { 2 р у L i, Зр у Na и т. д.).

Эти серии возникают при переходах на нижний ^-уровень с уровней s и d. Очевидно, что в том и другом случаях правило отбора Д/ = fg 1 удовлетворяется. Серии 2р — ms (пг = 2, 3,... ) У Li, 3 р — ms (т — 3. 4.... ) у Na и т. д. носят название вто­ рых побочных или резких ; серии.2 p — md (т = 3, 4,... ), Зр —



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 9 |
Похожие работы:

«ПРАВИЛА ДЛЯ АВТОРОВ ИЗДАНИЯ ВИР "Труды по прикладной ботанике, генетике и селекции" В издании "Труды по прикладной ботанике, генетике и селекции" публикуются обзорные, аналитические статьи, резу...»

«химическая промышленность казахстанский экспорт Содержание 1. Основные факты о Казахстане 2. Краткая информация о стране 5 3. Обзор отрасли Казахстана 6 4. Обзор производства продукции 8 5. Обзор экспорта 9 6. Оп...»

«ПОЛУЧЕНИЕ И ХАРАКТЕРИСТИКА ГУМИНОВЫХ ПРЕПАРАТОВ ДЕТОКСИЦИРУЮЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ Ли Сергей Павлович канд. хим. наук, доцент Кыргызский национальный университет имени Ж. Баласагына, 720033, Республика Кыргызстан, г. Бишкек, ул. Ф...»

«БАЙКИ И БЫЛИ 4 НИИГА ВНИИОКЕАНГЕОЛОГИЯ 1948 2016 На обложке использованы фотографии из фотоархивов В.А. Виноградова Е.А. Кораго В.Ф. Непомилуева П.В. Реканта ПОСВЯЩАЕТСЯ памяти наших соавторов по "Байкам и Былям – 1-3" и всех геологов-геофизиков НИИГА-ВН...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова" ОАО "Х...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уральский государственный университет им. А.М. Горького" ИОНЦ "Нанотехнологии и перспективные материалы" Химический факультет Кафедра физической химии А.Ю. ЗУЕВ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕАЛЬ...»

«ФИЗИКА, 11 класс Анализ результатов, Февраль 2016 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ краевой диагностической работы по ФИЗИКЕ 11 класс (11 февраля 2016г.) КДР в Краснодарском крае преследует несколько целей: выявление точек развития выпускников, моральная подготовка выпускников к условиям вып...»

«Сентябрь 1989 г. Том 159, вып. 1 УСПЕХИ ФИЗИЧЕСКИХ НАУК 539.171.112 АДРОННАЯ ФИЗИКА НА ПУЧКАХ АНТИПРОТОНОВ НИЗКИХ ЭНЕРГИЙ Б. О. Кербиков, Л. А. Кондратюк, М. Г. Сапожников (Институт теоретической и экспериментальной физики, Москва; Объединенный институт ядерных исследований, Дубна) СОДЕРЖАНИЕ Введение..............»

«СВЕДЕНИЯ ОБ ОППОНЕНТАХ И ВЕДУЩЕЙ ОРГАНИЗАЦИИ. ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: 1. Глушак Александр Васильевич, доктор физико-математических наук по специальности 01.01.02 (дифференциальные уравнения, динамические системы и опти...»

«Министерство общего и профессионального образования Ростовской области Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение Аксайского района Грушевская средняя общеобразовательная школа Электричество и проблема энергосбережения учебный проект Исполнители: ученицы 10 класса Барбаянова Е.В. и Цветова А.Р.Руководитель работы:...»

«134 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Я Серия: Математика. Физика. 2013. №19(162). Вып. 32 MSC 11J71 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Д РО БН Ы Х ДОЛЕЙ ЛИНЕЙНОЙ Ф УН КЦ И И Н А М Н О Ж Е С Т В А Х П О Л О Ж И ТЕЛ ЬН ОЙ КОРАЗМ ЕРНОСТИ А.В. Ш утов В ладим ирский государственный университет, пр. Строителей, 11, Вл...»

«паспорт безопасности GOST 30333-2007 Эритромицин 93%, для биохимии номер статьи: 4166 дата составления: 09.02.2017 Версия: GHS 1.0 ru РАЗДЕЛ 1: Идентификация химической продукции и сведения о производителе или поставщике 1.1 Идентификатор продукта Идентификация вещества Эритромицин Номер статьи 4166 Номер регистраци...»

«СТРАТИГРАФИЯ ПЛЕЙСТОЦЕНА СИБИРИ НОВОСИБИРСК 1985 АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ГЕОЛОГИИ И ГЕОФИЗИКИ СТРАТИГРАФИЯ ПЛ'ЕЙСТОЦЕНА СИБИРИ АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ И ЗАДАЧИ СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НОВОСИБИРСК 1985 удк 551.791 (571. 1/5) Стратиграфия IТJ1ейстоцена Сибири. Актуалън...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА" С. С. Владимиров МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ...»

«А. Л. Городенцев пучки и сопутствующая гомологическая алгебра вводный курс Это записки лекций, которые я читаю на факультете математики НИУ ВШЭ в весеннем семестре учебного года. Упраж...»

«ROWE MINERALOELWERK GMBH Паспорт Безопасности Вещества в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 HIGHTEC LHM-PLUS Дата печати: 09.02.2017 страница 1 из 9 Код продукта: 30501-998-00 РАЗДЕЛ 1: Идент...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2014 Т. 6 № 2 С. 189202 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 519.7 Эффективный ранг задачи оценивания элемента функционального пространства по измерению с ошибкой конечного числа ее линейных функционалов А. И. Чуличковa, Б. Юаньб Московский государств...»

«Департамент образования Вологодской области Бюджетное профессиональное образовательное учреждение Вологодской области "Череповецкий химико-технологический колледж" УТВЕРЖДЕНО приказом директора БПОУ ВО "Череповецкий химикотехнологи...»

«IS S N 0 1 3 0 1 6 1 6 ЕЖЕМЕСЯЧНЫЙ ЛИТЕРАТУРНО ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ И ОБЩЕСТВЕННО ПОЛИТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ выходит с января 1931 года содержание 8/2012 август Бахыт Кенжеев. Царская химия. Стихи Леонид Зорин. Из мемуарной прозы Алексей Ушаков. Семнадцать стихотворений Майя Кучерская. Тетя Мотя. Роман. Оконч...»

«ЛИСТ БЕЗОПАСНОСТИ Дата выпуска 13-дек-2011 Дата Ревизии 13-дек-2011 Номер редакции 1 готовой спецификации РАЗДЕЛ 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ХИМИЧЕСКОЙ ПРОДУКЦИИ И СВЕДЕНИЯ О ПРОИЗВОДИТЕЛЕ ИЛИ ПОСТАВЩИКЕ Идентификатор продукта Описание продукта LAB-LEMCO BROTH Соответствующие устан...»

«Выпускающий редактор: Павел Ильясов ПРЕТЕНЗИИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ: PIlyasov@1pku.ru info@1pku.ru;Корректор: Общие вопросы и предложения: Александр Беседин info@1pku.ru ABesedin@1pku.ru ТИРАЖ: 100 экз. Верстка: Подписано к печати 01.04.15 г. Игорь Шальнов Формат А5 ИЗДАТЕЛЬ: типография ФГКОУ "Оренбургское президентское кадетск...»

«Страница: 1/6 ЛИСТ ДАННЫХ ПО БЕЗОПАСНОСТИ в соответствии с Регламентом ЕС № 1907/2006 (REACH) Дата издания: Название 26.06.2009 LIGNOSTOP HOBBY изделия: Дата редакции: 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ВЕЩЕСТВА / ПРЕПАРАТА И КОМПАНИИ / ПРЕДПРИЯТИЯ название: LIGNOSTOP HOBBY химическое название...»

«ГІДРО ЕКО ЛО ГІЯ Водяний горіх плаваючий, який належить до температно меридіональної зональної групи, відноситься до терофітів з вузькою екологічною амплітудою. Його розвиток залежить в більшій мірі від гідрохімічних показників, а не від температури. Можливо, зміна гідрохімічних умов середовища призвела до процвітання виду на суча...»

«ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ СТАДИЙНОСТИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Глезер А.М. Институт металловедения и физики металлов ГНЦ ЦНИИчермет им. И.П. Бардина, Москва a.glezer@mail.ru Как хорошо и...»

«Лобинский Артем Анатольевич СИНТЕЗ МЕТОДОМ ИОННОГО НАСЛАИВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ НАНОРАЗМЕРНЫХ КРИСТАЛЛОВ МЕТАЛЛ-КИСЛОРОДНЫХ СОЕДИНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МАРГАНЕЦ, КОБАЛЬТ ИЛИ НИКЕЛЬ 02.00.21 Химия твердого тела АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Санкт-Петербург 2016 Работа...»

«Збірник наукових праць Інституту геохімії навколишнього середовища 2016 випуск 25 553.2: 553. 411: 553. 495 ГЕОЛОГО-ГЕНЕТИЧЕСКОЕ СОПОСТАВЛЕНИЕ РУД ЗОЛОТА И УРАНА ЮРЬЕВСКОГО МЕСТОРОЖДЕНИЯ КИРОВОГРАДСКОГО МЕГАБЛОКА (УКРАИНСКИЙ ЩИТ) Фомин Ю. А., Заборовская Л. П., Кравчук З. Н. Фомин Ю. А. к. г.-м. н., ст. н. с.,...»

«УДК [553.82 : 550.84] Яковенко Виктория Васильевна Изотопно-геохимическая систематика корундов и их генезис 25.00.04 петрология, вулканология Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата геолого–минералогических наук Владивосток 2013 Работа выполнена в Дальневосточном геологическом институте ДВО РАН Научный руководитель: доктор геолого-минералогическ...»

«Отзьтв официального оппонента на Диссертацию Кухаря Егора Ивановича Оптические и электрические свойства графеновых структур в сильных внешних полях, представленную на соискание ученой СТеПени ДокТора физико-математических наук по специЕlльности 01.04.04 физи...»

«ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ 201116 ОЭФ А.А. Волков, В.П. Ефремов, А.Ю. Калинин, Ю.Д. Карпеков, А.В. Кораблев, А.Н. Криницын, В.И. Крышкин, Н.В. Кулагин, В.В. Скворцов, М.М. Солдатов, В.В. Талов, Л.К. Турчанович, Н.А. Шаланда,...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования "САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА" С. С. Владимиров МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ Курс лекций...»








 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.