WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«И Ф В Э 88-86 ОТФ Е.Б.Бердаиков, Г.П.Пронько ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА К0НЕЧН030ННЫХ КОШИГУРАЦИЙ СТРУНЫ Направлено в Т1№ Серпухов 1988 УДК 539.1.01 М-24 БердЕИКОв ...»

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ

ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ СССР

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

И Ф В Э 88-86

ОТФ

Е.Б.Бердаиков, Г.П.Пронько

ГАМИЛЬТОНОВА ДИНАМИКА К0НЕЧН030ННЫХ

КОШИГУРАЦИЙ СТРУНЫ

Направлено в Т1№

Серпухов 1988

УДК 539.1.01 М-24 БердЕИКОв Е.Б., Пронько Г.П. Гамильтонова динамика конечнозонных конфигураций струны: Препринт ШВд 88-86. - Серпухов, 1988.с, библиогр.: П.

Рассматривается классическая динамика струны Намбу-Гото с помощью метода вспомогательной спектральной задачи. Найдена сииплектическая структура фазового пространства, редуцированного на конечнсзонные конфигурации струны. С помощью лоренц-инвариантннх спектральных данных построены переменные действие-угол. Дана геометрическая интерпретация топологического заряда струны.

Abstract Berdnikov Б.В., Pron'ko G.P. Hamiltonian Dynamics of FiniteLacuna Configuratione of Relativistic String: IHEP Preprint 88-86.- Serpukhov, 1988.- p* 31, retа.r 11.

The claceicol dynamice of a Nambu-Goto string is considered using the auxiliary speotral problem. With the help of Lorents»

invariant spectral data we oonstruct action-angle variables.

The slapleotio struoture for the phase spaoe reduoed to finite



-lacuna configurations of the string has been found. A geometrioal meaning of the topologioal charge of the string is also discussed.

- ^статут физики высоких энергий, 1988 Ifti цродолсаш начатое в работах/1~^' исследование струны Намбу-Гото о помощью нютода вспомогательное спектральной задачи. В ванен подходе обратная задача рассеянна играет роль математического аппарата, позволяющего строить удобные для описания гамильтоновоя ^шяяшгп переменные. Первоначально метод обратно! задачи был разработан джя решения нелинейных оволищонннх уравнении.

Впоследствии Захаров и Фаддеев установили, что динамические системы, к которым он применим, являйся вполне интегрируемыми, а преобразование от данных Коли к данным рассеяния позволяет в явном виде строить переменные деивтвие-угаг ^. Именно згу сторону метода обратной задачи мы будем использовать, точнее его обобщение на случав периодических потенциалов, разработанное Новиковым, Матвеевым и Итсой/ 5 ' 6/.

Динамические переменные, описнващие струну, условно разделяются на внешние и внутренние. Внутренние переменные можно задать периодическими функциями параметра, опиояващего пространственную протяженность струны. Они входят в задачу рассеяния в качестве потенциалов. Отвечаюжи* задаче дшЦеревцильнни оператор задает отображение пространства походных гамихьтояовых переменных в пространство спектральных данных.

Среди всех конфигурации струны выделенное место а т и м ш т конфигурации, которым отвечает конечное число вон в олежтре вспомогательно! задачи. С точки зрения гамильтоновой л и н и я », ям отвечают вполне интегрируемые конечномерные системы. Секторы о конечным числом 8он играют такую же роль, как подпространства с конечным числом частиц в теории свободного поля.

Важное преимущество предлагаемого подхода состоит в том, что по клаосичесхоЁ алгебре можно строить квантование, не содержащее аномалий и сохраняющее пуаякаре-инвармввтность в 4-мерном пространстве-времени • В данной работе рассматривается модификация процедуры построения переменных действие-угол, описанной в работе'2', отличие заключается в использовании новых лорвнц-ннваривнтных дяииш рассеяния. Показано, как можно найти лоренц-инваржантный спектр.

Описанный выбор переменных позволил дать геометрическую интерпретацию топологического заряда струны, что является одним из основных результатов.

Мы также рассматриваем задачу о нахождении в ковариантном виде редуцированной скобки Пуассона. Для перехода к конечнозонной конфигурации, которой отвечает гамильтонова система с конечным числом степеней свободы, скобку необходимо модифицировать. Наиболее просто эта процедура' выполняется в терминах данных рассеяния, на которые мы накладываем связи и затем переопределяем скобку Цуассона по Дираку. Важно то, что можно перейти от данных рассеяния к определяющим их векторным величинам. Таким образом, скобка Дирака вычисляется в явно ковариантном виде, что может служить основой для описания струнной динамики в терминах простых геометрических объектов.

В работе кратко описывается разделение динамических переменных на внешние и внутренние, формулируется спектральная задача и приводится построение переменных действие-угол. Ссылки на формулы работ' ' м ы будем снабжать латинскими цифрами 1,11,Ш.

I. ВНИПНИЕ И ВНУТРЕННИЕ ПЕРШЕННЫЕ

Мы рассматриваем классическую открытую струну в 4-мерном пространстве-времени. Форма струны задается 2-параметрическим четырехвектором х (б, х. ), причем t играет роль времени при описании эволюции, а параметр б определяет пространственную протяженность струны. Допустимы такие конфигурации струны, для которых различные точки, отвечающие одному значению времени х, разделены пространственноподобным интервалом [ х ^ б. т ) - х^Сб'.т )] 2 о, причем мы используем стандартные граничные условия: производные х (б, х ) по б на концах струны равны нулю.

Лагранжева динамика задается действием Намбу-Гото, которое представляет собой площадь мировой поверхности струны:

?2 Г2 1 / • S=, -] d6 J dTV(xx') - (i )(x' ).

где штржюм обозначена производная во б, точкой - врожаводвая во т, а *' - коеффициент раамерноотж обратной масон, нагажена* стружн. Параметр б будем считать жвмешпжшжоя от 0 доп.

Дкя перехода к гамжльтовову формализму введен канонические имжульон х'СбХхх') - х а (в)(х') 2 р ( б ) * 1 2к*' V(xx') 2 - Сх 2 (х' 2 ) У- 8х к (б) Инвариантность действия относительно иерепараметрмапии эволюционной поверхности приводит к функциональной зависжмооти чеохжх переменннх, так что свраваддивн соотномежжя

- о,

- о, пржчбм в otxj гранжчввх уодовжж ховцн отрувн двжжутож оо о ю ростьв омта. Канонжчвохжж гамжжьтояжан тождаотвавхо ранит жуяв сшйю/7/,$ожь ж, ооглаово теоржж Джрака джваюпеохкх ожотам оо гаижжьтовжаза жграе* врожэвольвая лшажвая ГГ-*ЯНРП!1Ч овюаж. Вибор конкретного вжда гамкжьтожвава »квжвадежт#н выбору параметржаацвж вволщгонно! воверхноЬтж.

ЧтоОв не вагромождать формул, мн будем опускать жоаффпщавт 2ттвс', xotopet легко может бнть вооогановлен же ооооражажжж равмаржоотж.

Для дальнежвего жможевжя удобно вережтж от жабора жоорджнат ж жмдульоов х другжм вереманввм. Продолжжм коорджнатн х (б) ж живухьон р у (б) четным образом жа [0, 2п], а ватам варжодх на вою действительную ось ж введем вектор

• j p (e)de, jp четная чаоть которого совпадает о х ^ б ), а четная чар» врожвводной - о живульоом р (б). Четарехввктор Q^(6), еаданквй на [О, 2и], волжоотью овределяет ховфатурахрю отружн (т.е. ооответотвущке хоордкватв ж жмпульон), а обе первичное овяаж переходят в связь 0/(б)2 - О, Скобка Цуасоона допускает периодическое продолжение, согласованное с граничными условиями, причем

- g ^(Д(б - б') + Д(б + б')), где д(б) = б'(б) - периодическая 8-функция.

Нам необходимо разделить описывающие струну переменные на "внешние", отвечающие движению струны как целого, и "внутренние", связанные с представляющими физический интерес1 степенями свободы. Эта процедура подробно описана в работах^ ' ', мы приведем лишь основные идеи построения.

Генераторы группы Пуанкаре находятся стандартным образом с помощью теоремы Нетер и имеют следующий вид:

о V- о ге [ 6)p (6) V JV v " Усредненную координату струны мы выберем согласно следующему рецепту:

так что X оказывается канонически сопряженной полному импульсу:

М-v (V Удобство такого определения усредненной координаты заключается в следующем.

Определив с помощью псевдовектора Даули-Любанского И- ™ 2 uvp6 тензор спина можго показать, что полный момент представляется в виде суммы двух слагаемых - орбитального момента, зависящего только от "внешних" переменных Р„ и X v, и спинового:

Прж этом зехвор сзпша ооашоотью ввражаетоя черее вектор

- yб) которых траисашдояяонпмржаятея ж опховвает "вяутреяяже" отвоевж свобода. К обоухдевя» овохств "шехяях" яерекеяянх мк еще* вернемся. Перехода х опжсанжю "вщуурммшс" o t t o t i t t свобода, дам тетраду, связанную о волом шцгяьоом ярояктй на поперечине х о м ю ж т н тегржда ужобхо юеотн оботнне векторнве обояпченжя, ппржнер:





Внутренав отепвнж свобода будем опжонмть вектором

–  –  –

Можно noxasan, что проехцп iJ*) вв полеречние комаохеятя рада явхявтоя 2п-перходкчеокхж фуювщямж б, поэтому вектор удовлетворяет условие j 2(6)d6 - о.

о Схедует опютхть, что вроведехяое p u x u e x i e вереимявх хе явххетоя: вполяе уховттворвмхыпн. Ветрудао убедатьол, что оаобXX Цуаоооха между хомпокеятамк усредаеххох хоордаяатя хеяулевне»

что характерно для охотем о вяутреяххмк отеоехлюх овобода. Отлжчян от хуля также охобхх {^(в), Х^.}. Прячжжа этого в том, что яевоемохво одаоввячко рваделхть отепехх овобода хелохалмого объекта, хаджи, в чаотвоотх яжляетоя стружа, ха вкевжхе ж реянхе* не ходрввви доложсяве, пвреояределхвщ\ 8// В работ*/ soxataxo, хах мохяо поотроят» яхволвтхвхуо коорту;

где символы Крнстофедя, описывающие перенос тетрады в пространстве импульсов. Скобки Пуассона с координатой z имеют следующий вид:

tV Р Л" °- (V sijl" °- W» zv}"°Платой за "хорошие" свойства является нековариантность г„: построенная с помощью символов Кристофедя координата не является четырехвектором.

Таким образом, "внешними11 переменными мы будем считать набор ведчин z и импульсов Р^. Мы не станем детально рассматривать их свойства, для нас важно то, что описываемая процедура приводит к "внутренним" и "внешним" переменным, независимым относительно скобки Цуассона. Скобки z^ и Р у с компонентами введенного ранее вектора а (б) нулевые.

Для проекции на нулевую компоненту тетрады а°(б) это не так:

- O t {z v, а°(б)} - ~ д ( б - п ), однако с физической точки зрения а°(б) малоинтересна, и мы выберем калибровку, делающую ее константой. Для упрощения вычислений соответствующую связь удобно наложить после ограничения симплектической формы на конечнозонный оектор. Последовательность событий в данном случае не играет роди, так как калибровочное условие и отвечающая ему связь находятся в слабой утляж^п с уравнениями ксзечнозонности.

Скобки Пуассона внутренних переменных имеют вид

- б').

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА

Для построения удобных с точки зрения описания гамильтоновой динамики переменных мы применим метод вспомогательной спектральной задачи^', развитый для струны в работах^ '. В нашем случае это задача рассеяния на периодическом потенциале, которой отвечает матричная система первого порядка — ТО, z) = 1|ба(бЖ, z ), (I) где б - матрицы Паули, (б, z) - двухкомпонентный спинор, a z спектральный параметр, принимающий комплексные значения. Компоненты вектора 2(6), непосредственно задающего конфигурацию струны, играют роль потенциалов. Отвечающий уравнению (I) дифференциальный оператор задает отображение, переводящее пространство исходных гамильтоновых переменных в пространство спектральных данных с индуцированной на нем скобкой Пуассона.

Накладывая связи на спектральные данные, можно провести последовательную редукцию степеней свободы, при этом секторы, отвечающие конечному числу зон спектральной задачи, будут играть такую же роль, как секторы с конечным числом частиц в теории свободного HOJIS/2'°'. Условия, выделяющие конечнозонные секторы, являются ограничениями на форму "потенциала" 3(6), т.е. непосредственно определяют допустимые конфигурации струны в соответствующих секторах.

Множеством спектральных данных являются особенности квазипериодических решений спектральной задачи (функций Блоха), удовлетворяющих условию Y±(fl + 2a, z) - e ± i p ( z ) ± (6, z).

Предполагается, что решения определенным образом нормированы (мы еще вернемся к этому позже). Величину р(г) по аналогии о уравнением Щрёдингера называют квавиимпульсом. функции Блоха являются собственными векторами матрицы монодромии или оператора трансляции на период ш P.exp[| f p[i| отвечающие собственным значениям e * i P( z ). два независимых решения задачи (I) связаны инволюцией: если Ч(б, z) - решение, то ~ z) = i6 2 w*(e, z)-также решение.

Особенности блоховских функций определяются аналнтичесишв свойствами матричных элементов, поэтом/ мы могли бы ввести изложение, не обращаясь к исследованию решений ± (б, в) задачи (I).

Удобно, тем не менее, не отказываться от рассмотрения функций Блоха, это позволит ввести естественную для метода спектральной задачи терминологию.

Прежде всего, перечислим основные свойотва матрицы монодромин, доказательство которых приведено в работе'10'. матричные элементы можно представить в виде т * + 2 п Ы - T O ( Z ) + 1бт(а, б), причем T 0 (z), ?(в, б) - целые вещественные функции в. Матрица монодромии унитарна при произвольных комплексных z и уннмодулярна, что можно записать как T2(z) + * 2 (z, б) - 1.

Уравнения движения имеют ™*д T(z, б) - -zf(6) х *(z, 6).

do Относительно пространственных поворотов $(в, б) ведет себя как вектор, T Q (z) лоренц-инвариантен. Функции Блоха определяются условием нормировки в некоторой точке б о. Чтобы отразить эту зависимость, введем обозначением (б, б о, г ), мы используем нормировку * 1 V б о» г ) — *!•„• б 0, •). 1, при которой соответствующие выражения для собственных векторов матрицы монодромии принимают вид

z) W V -

где T(z) =y\z, б), T ± (z, б) = ^ ( z, б) ± iT 2 (z, б), причем T0(z) =ooep(z).

Можно показать, что особенности функций Блоха 4б,бо,г) при б такие же, как особенности ^ б о, б о, « ) в точках нормировки.

Ими являются простые полюса и алгебраические точки ветвления 2-го порядка. Как нетрудно видеть из выражений для функция Бяоха, точками ветвления являются корни нечетной кратности A Q уравнения т 2 («, 6) | в - А п - о, причем /\п не зависят от б, а вследствие вещественной аналитичности f(z, б) каждой точке Х п соответствует комплексно сопряженная точка ветвления Л*. Мы всегда будем снабжать такую пару точек разрезом.

Полюса решения У + (б, б 0, z) находятся в точках являющихся корнями T_(z, б о ) :

о|«у1(бо);

Отметим, что функция ( Т 2 ^, б ) ) 1 ' 2 двулистна, при этом функция Блоха Y + (6, 6Q, «) имеет полюс только на том листе, где Vе» e o | i e Ylo Переменные А п и -у^б) образуют набор спектральных данных задачи(I) Функции Блоха, отвечающие произвольной конфигурации струны, имеют бесконечно много полюсов и точек ветвления. При деформации струны, что отвечает изменению "потенциала11 а (б), положения особенностей меняются. Существуют выделенные конфигурации, спектр которых состоит из конечного чиола точек Х,,^ h*, у1(б) и бесконечного числа точек вырожденного спектра r k, таких что f(rk,c)*0, которые могут лежать на действительной, либо на мнимой оси. Такие конфигурации мы будем называть коиечнозонннми, причем числом зон (во аналогии о уравнением Щрёдингера) будем называть число разрезов в комплексной плоскости между точками ветвления Х„ ж %* Полюса функций Блоха у 1 (б) принято зазывать дополнительным спектром задачи (I), а точки ветвления \ - основным спектром.

Между точками основного и дополнительного спектров имеется взаимно однозначное соответствие, которое состоит в следующем. Bapiируя "потенциал" «(б),можно "возмущать" конечнозонные конфигурации, при этом любая точка вырожденного спектра может расщепиться на пару комплексно сопряженных точек основного спектра Л*» * и одну точку дополнительного спектра у к (б), которая при изменении б от 0 до 2гс проходит по замкнутому контуру вокруг появившегося разреза. Аналогично при вырождении любой зоны сливаются вместе две точки основного спектра и одна точка дополнительного.

Таким обравом, 1-зонная конфигурация содержит ы полюсов и 2Н точек ветвления функций Блоха.

Удобно ввделить из f(z, б) целую функцию ц(г), которая имеет нуди в точках вырожденного спектра:

Т(«, б) - 4(z)t(a, б ), так что для N-зонной конфигурации t(z, б) является полиномом степени N:

S U, б) - t o (6)* N + t., N 1 Условием нормировки t^(6) = I устраняется произвол в определении вектора t(e, б), который полностью характеризует положение особенностей функций Блоха, причем 6) " °» * 2 ( А п» б) " 0# Точки внрожденного спектра rfc удовлетворяют уравнению einp(rk)« = 0. Можно показать, что квазиимпульс в конечнозонном секторе зависит только от переменных Хп, поэтому вырожденный спектр конечнозонной конфигурации полностью определяется невырожденным.

3. ЛОРЕВД-ИЕВАРИАНТШЙ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПЕКТР

С помощью данных рассеяния "у^б), Х п в работах^ •*' были построены переменные действие-угол для конечнозонннх конфигураций струны. Оказалось возможным провести последовательное квантование, не нарушающее алгебры Пуанкаре в 4-мерном пространстве-вреОпределенным недостатком проведенного рассмотрения является отсутствие ковариантности описания на промежуточных этапах анализа динамики, затрудняющее построение необходимых переменных.

Причина этого в том, что степени свободы, связанные со спином струны, не отделены надлежащим образом от степеней свободы, содержащихся в данных рассеяния. Чтобы провести такое разделение, мы перейдем в систему отсчета, связанную со спином, и в ней выполним построение переменных действие-угол.

Снмплектичбская структура в новой системе будет отличаться от исходной. Это нетрудно понять, если учесть, что такая замена системы координат эквивалентна введению связанной со спином триады с последующим проектированием динамических векторов на компоненты триады. Однако скобки Пуассона между компонентами спина отличны от нуля, поэтому будут отличны от нуля и скобки между компонентами триады. В этом заключается существенное отличие динамической системы отсчета, связанной со спином, от оиотем, образующие орты которых находятся в инволюции.

Нашей целью является отыскание лоренц-инвариантного спуктра, который станет исходным для построения переменных действие-угод* Для этого не понадобится строить триаду явно, мы поступим следующим образом. Рассмотрим вектор T(t, б) т t( Z, б) - pCp^Z, б)) - i[t(z, б) X р], где р - единичный вектор в направлении спина. Действительная ж мнимая части вектора х взаимно ортогональнн и ортогональны вектору спина s. Чтобы выяснить свойства вектора f, перейдем в систему отсчета, связанную со спином, так что JL (о, о, 1). (2) В этой системе T(z, б) - (t^z, 6) - it2(a, б ), it.,(z, б) + t 2 ( e, б ), о).

- xjz, б)(1, i, о), (3) где T_(Z, б) =t 1 (z, б) -it 2 (z, б) есть минус-проекция вектора t(z, б) на оси связанной системы. Величину x_(z, б) естественно выбрать в качестве нового генератора дополнительного спектра по аналогии с тем, как в предыдущих работаг 2' использовались корни у±(б) полинома t_(z, б) в не связанной со спином системе отсчета.

Новым дополнительным спектром будем называть корни Г* (б) полинома t_(z, б ) :

l

Заметим, что такой выбор сразу обеспечивает лоренц-инваржантность переменных Г±(в). В самом деле, из (3) следует, что на корнях полинома t_(z, б) зануляются все компоненты вектора 3(г,б).

Поэтому, если положить z= Г ± (б) в скобке вектора * со спином {s ±, x^z, б)} - - i j k Vs» 6)»

получим {s±f губ)} - о.

Это показывает, что переменные ^(б) могут быть использованы для лоренц-инвариантного описания динамики.

–  –  –

Нашей целью является построение переменных типа действиеугол. В отличие от проведенного ранее рассмотрения в качестве исходных динамических величин мы будем использовать введенные согласно (4) переменные инвариантного спектра Г 1 (б).

Для удобства дальнейшего изложения введем проектор П ^ на комплексное направление, выделяющее вектор х, z б) n z б) V» • kmV ' « где ^to "б кш " Рк Р ш " i e k m n V а р - введенный согласно (2) единичный вектор в направлении спина. П. представляет собою проектор на направление, задаваемое комплексным вектором е + = (i, i, 0) в связанной со спином системе отсчета, причем для любого вектора t справедливо разложение t- + 5(р?), 3 - (?.)*. (1, -i, о).

2 " Нас будет интересовать сектор с конечным числом зон, т.е. такие конфигурации струны, которым отвечает конечное число полюсов и точек ветвления функций Блоха задачи (I). Условия, выделяющие к-зонный сектор, представляют собой связи, накладываемые на спектральные данные. Скобка Пуассона в конечнозонном секторе определяется в результате редукции степеней свободы по Дираку. После этого в конечнозонном секторе скобку ( Г ^ б ), Г^б)} можно найти следующим образом.

Из t(z, б) с помощью представления (5) выделяется часть, не зависящая от спина явно, т.е. t m (z, б ), и находится {i^Cz, б ), t.(x, б)}. Затем используются общие свойства проекторов П ^, позволяющие эффективно учесть свойства симметрии при вычислении {x 1 (z, с ), т.(х, б)}. И, наконец, последним этапом является исследование поведения скобки {х 1 (и, б ), т.(х, б)} в точках дополнительного спектра.

Редукция степеней свободы по Дираку и вычисление скобки (tjU, б ), t, (х, б)} представляют самостоятельный интерес и в то же время технически достаточно громоздки, поэтому мы рассмотрим их в приложении.

Здесь приведем только результат, опуская зависимость всех векторов от параметров б:

–  –  –

Пользуясь (14) ж учжтнвая (8)-(13), можно прямым вычислением убеджтьоя в том, что для любых динамических переменных А и В выполняется замечательное соотношение т.е. пару проекторов П ^ можно "вытащить" за скобку Пуассона.

Полагая в (15) А = В и учитывая, что скобка антисимметрична по индекса*:, в то время как произведение проехторов в силу (10) симметрично, находим Применим полученные тождества для вычисления {^(z,в), тЛж,б) Действуя проекторами на выражение (7) для скобки (t a (*), tb(r)} с учетом свойств (9)-(Ы), приходим к Если сравнить последнее соотношение со скобкой {!(.), t j } - 2 t J Z Y n - 5 [ i r [ l ( « ) к S(An)3

–  –  –

откуда сразу следует (rye), tye)} - о. (18) Переменные Г^б) лоренц-инваржантного дополнительного спектра обладают столь же простыми симпдехтическими свойствами, как и переменные неинвариантного спегтра Yi^6)» жсполь8овавшжеся в работах^'^. Из набора переменных (Pi(6), A n ) мы построим переменные типа действие-угол.

5. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ-УГОЛ. СПЕКТР МАСС

Построение переменных типа действие-угол фактически повторяет процедуру, проведенную в работе' '. Ми приведем только основные идеи построения, отсылая за подробностями к работе' '.

На римановой поверхности рода g = и - I, определяемой уравнением у = t (z), выберем базис из 2g циклов а ^ ь со следующими индексами пересечений:

а. о а. " О, Ь. о Ь. = О, а. о 1), « ^ ц » *-»3 * 1»2»»*«g»

Циклы a t для удобства выбираются в виде кривых, охватывающих разрезы, проведенные через комплексно-сопряженные точки основного спектра и ориентированные против часовой стрелки. Один разрез остается без своего цикла (g = N-1).

Рассмотрим базис голоморфных абелевых дифференциалов

–  –  –

вычисляется способом, указанным в приложении. Вид правой части (21) подсказывает, как выбрать переменные действия:

(22) При этом все Ф к (б) и Г п вещественны и {Ф к (б), I }= Sj^. Построенные переменные действия совпадают с переменными, использовавшимися в работе'2', угловые переменные все лоренц-инвариантнн.

В работе' ' была установлена связь между элементами патрицы периодов AJQBH изменением угловых переменных на [0, 2п~\:

Фк(2тг) - Ф к (о) - -2nvk - -4ittAj]H-1M, (23) где м - масса струны.

Чтобы выразить функционал массы через переменные действия, вводится мероморфный дифференциал третьего рода с простыми полюсами в точках «= 0 на обоих листах римановой поверхности:

–  –  –

поэтому 1-форма dp(e)/e является дифференциалом 3-го рода с простыми полюсами в точках в = 0, и ее можно разложить в сумму дифференциалов ы к ( • ), шо{«):

–  –  –

Так как переменные действия не изменились, выражение (25) для функционала массы совпадает с (28.11). Величины v k и v 0 имеют нулевые скобки со всеми динамическими переменными.

Отметим, что не вое координаты я-эонного подпространства входят в набор Ф к (б), 1 П. Оставшиеся переменные присутствуют в любой конечнозонной конфигурации и непосредственно связаны с ориентацией струны. Их можно задать с помощью единичного вектора в направлении спина р = Ъ/(&) ', величины типа действия 1 0 = = (s^) ', которую можно стандартным образом построить из мероморфного диффереш]дала ш 0 ( z ), и соответствующей "угловой" переменней

-1 Гк(б) Ф ((6) к

-i У Г ui Ы, (27) О О iJ

- J О которая, однако, по своим свойствам существенно отличается от к1 остальных углов. Очевидно, она не является канонически сопряженной к 1 0, так как лоренц-инвариантна по построению и, как нетрудно убедиться, комплексна и имеет ненулевые скобки с Ф к (б) и 1„.

Удобно пойти другим путем и свести оставшиеся степени свободы к простой динамической системе, состоящей из вектора спина и ортогонального ему единичного вектора. Вектор п, удовлетворяющий соотношениям п = I и (nis) = 0, содержит степень свободы, отвечающей вращениям относительно направления спина. В нашей реализации он станет зависящим от параметра б, a v o превратится в число оборотов вектора п(б) вокруг направления спина при изменении б от О до 2тт. Следует отметить, однако, что независимыми динамическими переменными является набор из компонент спина S и вектора п{б 0 ), заданного в одной точке б 0.

Кратко опишем процедуру построения такого вектора. Рассмотрим

m'(6) - --^ вхр[1Ф0(б)].

Описываемые этим вектором степени свободы независимы от тех, которые определяются переменными действие-угол. В этом можно убедиться, вычислив скобки Пуассона с т'(б). Мы не станем останавливаться на этом. Вычисление скобок с переменными действия не встречает затруднений и может быть сделано с помощью формул, приведенных в приложении. Скобки с угловыми переменными имеют следующий вид?

^'Причина такой выделенности Ф о (б) в мероморфности ш о (г), приводящей к дополнительным полюсным вкладам при вычислениях с у ш в скобках Пуассона.

(фо(в),

–  –  –

n откуда находим, что{т'(б), I n } = 0,{т'(б), Фк(б)} = 0.

Сопряженный спину вектор т(б) получается из т'(б) умножением на нормировочный множитель |т'(б)|~. Входящий в него вектор S'* имеет нулевые скобки с переменными действие-угол, в чем нетрудно убедиться, делая комплексное сопряжение скобок с m'(6) и учитывая, что I k и Ф к (б) вещественны.

Поэтому нормировочный множитель не дает вклада в скобки Пуассона, и мы приходим к следующим соотношениям для нормированного вектора т(б):

|т(б)| 2 - 1, (m(e)s) - о,

- о.

В силу тождества для проекторов (16) ( ш ^ б ), пц (б)} = 0.

Построенный вектор ш(б) обладает такими же симплектическими свойствами, как сопряженный спину вектор, введенный в работе'1'.

Существенное отличие его в том, что он комплексный. Нетрудно, однако, построить действительный вектор, обладающий теми же свойствами, например Н(б) - V2Re[S(6)], причем п 2 = I.

Соответствующие скобки находятся взятием действительной части в скобках для вектора 5(6) с учетом вещественности Ф к (б) и 1 П :

(п(б), Фк(б)} - о, {п(б), 1 П } - о. (29) Скобки между компонентами вектора п(б) ненулевые. Это утверждение справедливо для любого единичного вектора, ортогонального спину. Действительно, скобка {п.(б), п.(б)} должна быть антисимметрична по индексам i, j и ортогональна п(б), что можно записать как

- 1Jknk(6)f(6), где f(6)- некоторая динамическая переменная. Вычисляя скобку с тождественно равным нулю скалярным произведением (ns), получаем f(6) = 0. Этим устанавливается полная аналогия с описывающими струну переменными, введенными в работе' '.

–  –  –

Введенные лоренц-инвариантные угловые переменные позволяют указать на геометрический смысл величины v o. Как уже говорилось, в разложении контура c i, проходимого Г^(б) при изменении б от 0 до 2тт, участвуют только а-пиклы, поэтому справедливо разложение <

–  –  –

где т_ o (6) - коэффициент при старшей степени x(z, б ). Для А из (24)" находим Выражение в последнем интеграла можно преобразовать. Для этого подействуем проектором П ^ на обе части уравнения движения (32) и рассмотрим коэффициент при z. Учитывая, ч т о % направлен вдоль спина, с помощью тождеств для проекторов (9), (12)

–  –  –

можно выразить x N _ 1 (б) как фунгашонал вектора q(6)« непосредственно задающего конфигурацию струны. Нетрудно убедиться, что коэффициент при ж? в разложении матрицы монодромо представляет собой вектор, ортогональная спину часть которого совпадает с ортогональной спину частью tN_.,(6), так что можно записать:

–  –  –

Q(6) • q(6) + - — х J q' 4S Z о относительно направления спина. Нетрудно проверить, что такое определение задает трансляционно-инвариантный функционал, при этом не зависящее от б слагаемое "следит" за положением оси, связанной с вектором спина.

Подведем итоги данной работы. С помощью развитого в цабот а х /1,2/ KQipojja вспомогательной спектральной задачи для струны Намбу-Гвто мы повторили построение переменных действие-у^ол. Отличив от проведенного ранее рассмотрения заключается в использовании лоревпгинвариантиого спектра вспомогательной задачи. Полученное описание динамики во многих чертах повторяет результаты предыдущих работ, а выражение для функционала массы - наиболее интересной величины с точки зрения квантовой теории - совпадает с (28.П).

Использование лоренц-инвариантных спектральных данных позволило эффективно отделить степени свободы, непосредственно связанные со спином струны. При этом естественным образом возникает сопряженный спину вектор. Переход в связанную со спином систему отсчета позволил установить интерпретацию топологического заряда v o как числа оборотов некоторого динамического вектора относительно направления спина, причем отвечающий v o функционал можно задать непосредственно через определяющий конфигурацию вектор 3(6).

Найден набор инволютивных динамических векторов (17). Исходя из этого, можно предположить, что отвечающая струне динамическая система допускает описание в терминах простых геометрических объектов. Основой для их поиска, с вашей точки эрения, должна служить скобка {t±(.zf б ), t,(xt 6)} f выражение для которой найдено в явно ковариантяом виде. Несмотря на то, что редукция степеней овободы наиболее просто выполняется в терминах данных расоеяния, можно восстановить ковариантность описания на последующих этапах анализа, когда мы имеем дело о конечнозонной конфигурацией. Эта технически довольно сложная процедура описана в приложении.

Приложение

СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА РЕДУЦИРОВАННОГО ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

Мы будем рассматривать случай конечного числа зон, т.е. такие конфигурации струны, для которых спектр задачи (I) содержит лишь конечное число невырожденных точек. Ограничение на конечнозонный сектор производится наложением связей на спектральные данные и переопределением скобки Пуассона по Дираку^ '. Редукция степеней свободы и вычисление {t.(z, б), tj(x, б)} мы проведем в терминах, использовавшихся в работах /1-3/, спектральных данных (Ап, Исходными являются соотношения einp(An) - о, T_(fk(6), б) - О, n 2 6) - -V^ C-ylcC6). б) - -вшр(у к (б)), которые выполнены в сильном смысле, и найденные в работе^2' скобки Цуассона:

–  –  –

где T o (z) и T(z, 6) определены согласно а + 2 п (8). T O ( Z ) + i6T(a, в).

Редукция проводится отдельно для каждой степени свободы, отвечающей паре точек ^ ( б ), л п. При этом возникают точки вырожденного спектра, которые могут лежать либо на действительной, либо на мнимой оси комплексной плоскости.

Рассмотрим сначала случай, когда две комплексно сопряженные точки основного спектра А к,А* и соответствующая им точка дополнительного спектра у к (б) сливаются в одну точку на действительной оси. В качестве соответствующей связи удобно выбрать ТС, (б) - в1прСу к (б))*о, (* означает слабое равенство), а в качестве калибровки к ней можно взять

–  –  –

Вычислим скобки переменных основного и дополнительного спектров со связью %^ (мы опускаем зависимость от параметра 6, штрихами обозначена производная по z ) :

–  –  –

Последние выражения обращаются в нуль на поверхности связей, поэтому скобки Дирака {/у^6)» Vj^ 6 ^*»(Vi^ 6 ^» * п }*»{ Л п* *ml* с о в ~ падают с соответствующими н^рдду?imj^TmHHVWT скобками• Кроме переменных "Yi ( 6 * H *n в спектральные данные входят масса и спин струны.

Функционал массы является генератором трансляции по параметру б, поэтому его скобка с %ъ является связью:

{м,Хь(б)} и м остается генератором трансляций по б относительно скобки Дирака. Нетрудно убедиться в том, что скобки спина со связями слабо обращаются в нуль, поэтому спин также остается генератором вращений после переопределения скобки.

Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда вырождению спектра отвечает слияние точек на мнимой оси. Отличие от рассмотренного случая заключается в том, что при слиянии двух точек А к, Х к сливаются также комплексно-сопряженные точки Xj\ t * В качестве связи и калибровки можно выбрать соответственно %2«5) | Для следующего шага редукции воспользуемся тем, что скобки T Q ( Z ) со связями гс 1 c ' (в обращаются в нудь на поверхности связей, поэтому исходное выражение (9.II) справедливо относительно редуцированной скобки. Следовательно, при фиксации следующей степени свободы мы можем формально провести те же самые рассуждения и т.д. Таким образом, редукция на конечнозонный сектор выполняется последовательно для каждой степени свобода, которой отвечают пары переменных основного и дополнительного спектров.

Перейдем к вычислению {t ± («), t.(x)}. Найти скобку непосредственно из представления матрицы монодромни в виде упорядоченного интеграла не удается, мы поступим следующим образом: выразим компоненты вектора (в)через переменные основного и дополнительного спектров, скобки которых вычисляются, а затем с помощью этого представления найдем {t i (z) t tj(x)} покомпонентно. Начнем с выражений для компонент вектора %{%).

Как уже говорилось, вектор ljj-(o, б) направлен вдоль вектора спина, так что можно записать Отсюда (мы опускаем зависимость \ к о т параметра б).

Полином t 3 (s) можно построить по его значениям в точках дополнительного спектра, где согласно (I7.I)

–  –  –

Остальные компоненты получаются джвеЯвшш хоможвацжямж t_«), t + («), t 3 (e).

Переждем к скобкам Пуаосова. Полагая в дрвведевво! равее формуле (9.П)«-у к ждв эг»Лп в учвтнвая, что t 3 ( Yk ) " -* 2 ( "Yk ) ) 1 / 2 »

нвтрудво важтж скобка между перемвннши основного ж доиожнжтельного олежтров. В чаотности,

–  –  –

Црж вгаолеяжях компожевт { t t ( s ), t ^ x ) } жспольвуются дредомштшж (П.2), (П.З). Црж иом вомшжаог оуммы вжда где P d ) - полном.

В п ж о л т вх можжо оооообом, ужманвш vd/. (at малгаетод • «ом, что пооледжее •щиитшт* ражжо отмме т е г о в ж полюоах ажалжяяеохов фрвкпмш P(x) f(x) x - a)(x - Ъ)...(х - о) П (x - Эта сумма равна интегралу по бесконечно большому контуру минус сумма вычетов в точках z - а, ъ,...о (например, см. вычисление (21.11)). Аналогично вычисляются суммы по дополнительному спектру Г ± (б).

Теперь мы имеем все для вычисления скобки {t.(8),t,.(x)}.Используя представление (П.1), получаем {t_(z)f t^Cx)}". Суммы по основному спектру вычислить в явном виде не удается, так как выражение для Y n не удается представить в виде суммы вычетов, и описанная техника нахождения сумм неприменима. Мы не будем приводить выражения для скобок между отдельными компонентами (tjCz), t (x)}, они без труда могут быть получены из (7).

Скобку {t + (z) t t+(x)} можно получить из {t_(z), t_(x)} формальным "комплексным сопряжением", заключающимся в замене индексов "-" -* "+".

Следует заметить, что исходя из представлений (П.2), (П.З) величин t_(z), t^(x) через переменные дополнительного спектра у к, мы с необходимостью выбираем нековариантный путь вычисления. Но окончательный результат {tjL(a), t.(x)} должен иметь тензорную структуру, поэтому естественно ожидать, что отдельные компоненты скобки можно привести к виду, не содержащему"у^ явно.

Однако при практическом вычислении {t_(n), t.(x)} возникают трудности, источник которых состоит в наличии в знаменателе(П.З) множителя П ^ - ^ ). Вычисления необходимо вести так, чтобы ytв выражении для t,(x) не образовывали скобку с Х п, иначе в знаменателе возникнэт комбинация п С^ -Yj ^п ("Yi ""Yk^ * С о о т в е т с т в 7 | Я в к полюс в точке z =у^ не является простым, и вычислить сумму по дополнительному спектру не удается.

Чтобы обойти эту трудность, сгруппируем в скобке (_(«),^(х)} члены, содержащие дополнительный спектр явно, следующим образом:

–  –  –

(П.7) где аи воспользовались представлением (П. 2). Первая охобка в пр#во! чаотх (П.7) внчхоляется согласно (П.6). Для вычисления вто* pot охобхх воотушк оледущш образом. С помощью цредотавженжя (П.1), похожа хм о в формуле (П. б), ивтодго

–  –  –

что дает вовмоххооть хажтх вторую охобху в внрвхених (П.7). В

•том случае вое воанихаювхе оуммн во ук берутся описанным выше опоообом. Скобка *_(•) о первым слагаемым в представления (П.З) для « 3 (х) тике находится о номомью (П.8). В итоге получаем Хахвм хе обраеом вычхоляетоя {t^C»), t^(x)}* Соотвеютвущая члежов хемяого олохвео, но в прхвцкпе повторяет ррр операцжю, проводхмую для {*_(•)» t 3 ( x ) }. Скобка ( t + ( « ), tj(x)} получаетоя "хомплехохш оопряхевжем" ra{t_(i), t 3 ( x ) } о вомощнв тех хе раооужденхх, хоторве хопольвовалхоь прх выводе Оолучеввы! набор охобох является полный. Польауяоь (П.ЗХ мок* но хахтх окобкх между воемя компонентам {^(s), t,(x)}. Эахлючхтельнвж етап — схвметрхзадкя полученных внрахенхк с целью обьеднхенхя хх в единую тензорную отрухтуру. В итоге приходим х реаультату (7).

Список литературы

1. Пронько Г.П. - Препринт ИФВЭ 85-27. Серпухов, 1985.

2. Пронько Г.П. - Препринт Ш В Э 85-28, Серпухов, 1985.

3. Пронько Г.П. - Препринт Ш В Э 85-152, Серпухов, 1985.

4. Захаров В.Е., Фаддеев Л.Д. // функциональный анализ и его приложения. 1971. Т.5. * 4. С.18-27.

5. Дубровин Б.А., Матвеев В.Б., Новиков С П. // УМН. 1976. Т.31.

JH. С.55-136.

6. Иге А.Р. // Вестник ЛГУ. 1976. Т.7. №2. С.39-46.

7. Дирак П.A.M. Лекции по квантовой механике. - М.: Мир, 1968.

8. Пронько Г.П., Разумов А.В. // ТМФ. 1983. Т.56. Ш, C.I92-205.

9. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

10. Пронько Г.П. // ТМФ, 1983. Т.57. №2. С.203-216.

11. Дубровин Б.А. // УМН. 1981. Т.36. Ш. С.23-27.

Рукопись поступила 23 марта 1988 года.

Е.Б.Бердежков, Г.П.Цроаьхо.

ГВМНЬТОВОВа Х Ш Ш КОвеЧВ080ЮШХ Редактор Н.В.Вжм». Техпчеокк! редактор 1.П.Тшпша.

Корректор Т.Д.Галшна.

Подшоано к печати 4.05.88. Т-09593. Формат 60x90/16.

Офсепая печать. Шч.х. 2,00. Уч.-хвд.д. 1,97. Тжраж 270.

3axai 4S7. Индекс 3622. Цена 29 код.

Инстжтут ^эхкх вшохкх внвргжЁ, 142284, Серпухов Юсковоко! обл.

29 коп. Шдвкс 3622 ПРЕПРИНТ 88-86, И Ф В Э, 1988



Похожие работы:

«МАТЕМАТИКА. 5—9 КЛАССЫ. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА к линии учебников Г. К. Муравина, К. С. Муравина, О. В. Муравиной Рабочая программа по математике разработана на основе Федерального государственного образовате...»

«С И Б И Р С К О Е О ТД Е Л Е Н И Е РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ Г ЕОЛО Г И Я И ГЕ О Ф И З И К А Геология и геофизика, 2010, т. 51, № 4, с. 516—524 ГЕОХИМИЯ УГЛЕВОДОРОДОВ УДК 550.4: 552.578.3 (571.1) ТЕРПАНОВЫЕ И СТЕРАНОВЫЕ УГЛЕВОДОРОДЫ В У...»

«WOLF VITALTECH 10W40 Паспорт безопасности в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 (REACH) и внесенной в Регламент (EC) поправкой № 453/2010 Дата выпуска: Дата пересмотра:18/08/2016Отменяет:8/03/2016 Версия: 8.0 РАЗДЕЛ 1: Идентификация химической продукции и...»

«УДК 66.048.37+66.015.23 М. И. Фарахов, А. Г. Лаптев ЭНЕРГОЭФФЕКТИВНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ РАЗДЕЛЕНИЯ И ОЧИСТКИ ВЕЩЕСТВ В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ Ключевые слова: колонное оборудование, сепарационное оборудование, насадки, математическ...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Направленность программы – естественнонаучная Профиль – за страницами учебников Вид деятельности – предметная область физики Программа по форме организации групповая, Срок реализации программы – 1 год. Кол-во обучающихся в группе – 8-...»

«2 Химия Украины, СНГ, мира – http://ukrchem.dp.ua/ №14 (332) 16 31 июля 2013 г. ISSN 1606-7304 КАК ОПУБЛИКОВАТЬ РЕКЛАМУ В ЖУРНАЛЕ “ХИМИЯ УКРАИНЫ” ПОЛНОЦВЕТНУЮ НА ОБЛОЖКЕ Стоимость ОДНОГО объявления, грн. НДС не облагается высота/ширина (мм),...»

«Панов Николай Андреевич Множественная филаментация мощных фемтосекундных лазерных импульсов Специальность: 01.04.21 – лазерная физика Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Москва – 2009 Работа выполнена на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета Московского уни...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2014 Т. 6 № 2 С. 189202 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ УДК: 519.7 Эффективный ранг задачи оценивания элемента функционального пространства по измерению с...»

«1 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ДАЛЬНЕВОСТОЧНОЕ ОТДЕЛЕНИЕ Ордена Трудового Красного Знамени Институт вулканологии СТРУКТУРА ГИДРОТЕРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Ответственные редакторы кандидат геолого-мине...»

«РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК В.А.Ацюковский Материализм и релятивизм Критика методологии современной теоретической физики К 100-летию выхода в свет книги В.И.Ленина "Материализм и эмпириокритицизм" Москва 2009 г. УДК 530.12 Ацюковский В.А...»

«ПАТОЛОГIЯ ОРИГІНАЛЬНІ ДОСЛІДЖЕННЯ УДК: 618.2/3:611-013.86 Т.Д. Задорожная, В.В. Подольский, О.И. Ещенко, Т.Н. Арчакова, С.М. Килихевич, О.И. Парницкая, Ю.В. Давыдова, А.А. Гребиниченко, Е.А. Пасечник Морфо...»

«Кафедра неорганической химии представляет на повышенную академическую стипендию студентов, занимающихся научной работой, имеющих публикации и выступления на научных конференциях. (01.03.2013). Примечание 5 курс 1 Кури...»








 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.