WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |

«Міжнародна науково-практична інтернет-конференція «СУЧАСНІ ТЕНДЕНЦІЇ РОЗВИТКУ МАТЕМАТИКИ ТА ЇЇ ПРИКЛАДНІ АСПЕКТИ - 2012» 17 травня 2012 р. ДонНУЕТ Донецьк УДК 378:51 ББК 74.58+22 С 89 ...»

-- [ Страница 1 ] --

М ІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ЕКОНОМ ІКИ І ТОРГІВЛІ

імені МИХАЙЛА ТУГАН - БАРАНОВСЬКОГО

Кафедра вищої і прикладної математики

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра вищої математики та методики викладання математики

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМ АТИКИ І МЕХАНІКИ

Н АЦІОНАЛЬНОЇ АКАДЕМІЇ НАУК УКРАЇНИ

ТБІЛІСЬКИЙ ДЕРЖ АВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ІВАНЕ ДЖ АВАХІШ ВІЛІ Кафедра астрофізики Міжнародна науково-практична інтернет-конференція «СУЧАСНІ ТЕНДЕНЦІЇ

РОЗВИТКУ МАТЕМАТИКИ ТА ЇЇ ПРИКЛАДНІ

АСПЕКТИ - 2012»

17 травня 2012 р.

ДонНУЕТ Донецьк УДК 378:51 ББК 74.58+22 С 89

С 89 Сучасні тенденції розвитку математики та її прикладні аспекти-2012:

міжнародна науково-практична інтернет-конференція, 17 травня 2012р. - Донецьк:

ДонНУЕТ, 2012. Розглядаються основні тенденції розвитку сучасної математики в напрямах:

диференціальні рівняння і методи обчислень, застосування алгебри і аналізу, ймовірнісні методи, теоретична механіка.

Висвітлюється досвід застосування математики в економічних та інженерних дослідженнях і використання комп’ютерних технологій у навчальному процесі. Досвід викладачів різних вузів щодо удосконалення методики підвищення математичної культури спеціалістів різних галузей може бути корисним професіоналам, студентам, аспірантам.

ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ КОМІТЕТ КОНФЕРЕНЦІЇ

Голова оргкомітету конференції:

Садєков А.А. - д.е.н., професор, проректор з наукової роботи Донецького національного університету економіки і торгівлі

Заступники голови оргкомітету конференції:

Погребняк В.Г. - д.т.н., професор, проректор з науково-педагогічної роботи та міжнародних зв ’язків, завідувач кафедри екології і фізики;

Щ етініна О.К. - д.ф.-м.н., професор, завідувач кафедри вищої і прикладної математики ДонНУЕТ;

Члени організаційного комітету конференції:

Скафа О.І. - д.пед.н., професор, завідувач кафедри вищої математики і методики викладання математики ДонНУ ;

Ковалевський О.А. - д.ф.-м.н., професор, заступник директора з наукової роботи ІПММ НАНУ;

Шаташвили Н.Л. - д.ф.-м.н., професор, завідувач кафедри астрофізики Тбіліського державного університету імені Іване Джавахішвілі;

Горр Г.В. - д.ф.-м.н., професор, провідний науковий співробітник ІПММ НАНУ;

Узбек К.М. - д.філос.н., професор, завідувач кафедри українознавства ДонНУЕТ;

Шепеленко О.В. - д.е.н., професор, професор кафедри вищої і прикладної математики ДонНУЕТ;

Скрипник С.В. - к.ф.-м.н., доцент, доцент кафедри вищої і прикладної математики ДонНУЕТ.

Адреса Донецького національного університету економікиі торгівлі імені Михайла Туган-Барановського 83050, м. Донецьк, вул. Щорса, 31 Тел. 337-77-93

–  –  –

where the functions i, x 2,...,xn) i = 1,n have continuous derivatives on all variables in the area En c Rn.

Let the system (1) allows an invariant relation by Levi-Chivita’ definition [3]:

–  –  –

Let's consider a case when the equations (1) have (n - 4) first integrals and two invariant relations : (p(x1, x2, xn ) = 0, g (x1, x2, xn ) = 0 for which the equations

–  –  –

where pt (x1, x2,..., xn ) = ci ( i = 1, n - 4 ) - the first integrals of system.

In this case a sufficient condition for the integrability of system (1) has the form

–  –  –

J f (u) = I f (x, Vu)dx, Ga (u) =I a g (x, u )d x.

Jq Jq Theorem. Assume that there exists a sequence of open sets Q(k) of R n such that: a) for every k e N, Q(^) c Q (k+ ) c Q ; b) lim meas (Q \ Q(k)) = 0; c) for every k e N the

-1 k functions v and b are bounded in Q(k). Then there exist an increasing sequence (s^.} c N and functions f e F and a : Q ^ R, 0 a 1 in Q, such that the sequence {/s } rconverges to the functional J f + Ga.

This theorem is a consequence of the main results established in [9], [10].

We remark that the definition of the r-convergence of functionals defined on variable weighted Sobolev spaces was given in [8] and the corresponding theorems on the rcompactness for integral functionals were established in [8]-[10]. We emphasize that one of important elements in the proof of the mentioned r-compactness results, as well as in the [7], is the use of local characteristics of investigated functionals. Similar local characteristics in the nonweighted case were introduced for the first time by E.Ya. Khruslov in [4].

References

1. De Giorgi E. Su un tipo di convergenza variazionale / E. De Giorgi, T. Franzoni // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. - 1975. - 58, №6. - P. 842-850.

2. Dal Maso G. An introduction to T-convergence / G. Dal Maso. - Boston: Birkhauser, 1993. - 337 p.

3. Zhikov V.V. Questions of convergence, duality and averaging for functionals of the calculus of variations / V.V. Zhikov // Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. - 1983. - 47, №5. - P. 961-998.

4. Khruslov E.Ya. Asymptotic behavior of the solutions of the second boundary value problem in the case of the refinement of the boundary of the domain / E. Ya. Khruslov // Mat. Sb. - 1978. - 106, №4. - P. 604-621.

5. Kovalevskii A.A. Averaging of variable variational problems / A.A. Kovalevskii // Dokl.

Akad. Nauk Ukrain. SSR Ser. A. - 1988. - №8. - P. 6-9.

6. Kovalevskii A.A. On necessary and sufficient conditions of T-convergence of integral functionals with different domains of definition / A.A. Kovalevskii // Nelinejnye Granichnye Zadachi. - 1992. - 4. - P. 29-39.

7. Kovalevskii A.A. On the T-convergence of integral functionals defined on Sobolev weakly connected spaces / A.A. Kovalevskii // Ukrainian Math. J. - 1996. - 48, № 5. P. 683-698.

8. Kovalevsky A.A. On T-compactness of integral functionals with degenerate integrands / A.A. Kovalevsky, O.A. Rudakova // Nelinejnye Granichnye Zadachi. - 2005. - 15. P. 149-153.

9. Rudakova O.A. On the T-convergence of integral functionals defined on different weighted Sobolev spaces / O.A. Rudakova // Ukrainian Math. J. - 2009. - 61, № 1. P. 99-115.

10. Rudakova O.A. On T-compactness of a sequence of integral functionals whose values do not depend on gradients of functions / O.A. Rudakova // Tr. Inst. Prikl. Mat. Mekh.

NAS of Ukr. - 2010. - 21. - P. 188-193.

–  –  –

ABOUT EQUIVALENCE OF THE PROBABILITY MEASURES INDUCED

BYDECISIONS OF THE NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS IN

EUCLID SPACE, REVOLTED RANDOM FIELDS

In applied problems of science and technics often meet the linear and nonlinear differential equations with casual composed, describing behavior of systems in random environments. As is known decisions of such equations generates measures in indefinitely measured spaces.

An actual problem for the decision of the specified problems is the establishment of conditions of an absolute continuity and equivalence of measures, generated by the decisions of the studied differential equations, concerning the standard or well studied measures, and also calculation in an explicit form of corresponding density of RadonNykodim in terms of coefficients and characteristics of the differential equation or abstract transformation by means of which effectively solve concrete applied problems.

Problems of an absolute continuity and equivalence of measures were studied in works for various classes of nonlinear transformations and the nonlinear differential equations with Gaussian right part. The received results were applied to calculation of optimum estimations in problems of extrapolation and a filtration for the decision of the considered differential equations.

In offered work the researches begun in works specified above on absolute continuity and equivalence of measures, generated at their linear and nonlinear transformations or decisions o f the linear and nonlinear differential equations indignant b y G aussian random fields in E uclid space R n. The results received here generalize the results received in specified w orks and in som e cases show their validity at w ider assum ptions o n coefficients o f the considered equations.

In «-m easured E uclid space R n boundary problem s D irichlet and N eum ann for the elliptic differential equations w ith nonlinear com posed are considered.

The considered equations and transform ations are indignant w ith G aussian random fields in space R n. Sufficient conditions for equivalence o f m easures, are established generated by decisions o f the considered equations, and in an explicit form corresponding density o f R adon-N ykodim are calculated in term s o f coefficients o f the differential equations or transform ations. For recep tio n o f the basic results the results received earlier in w orks here w ill be used.

–  –  –

HARNAK INEQUALITY AND CONTINUITY OF SOLUTIONS TO QUASI­

LINEAR DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS WITH COEFFICIENTS

FROM KATO-TYPE CLASSES

–  –  –

w here 2 p n, c1, c2 are positive constants and f ( x ), f 2 ( x ), g 1 ( x ), g 2 ( x ), h ( x ) are nonnegative functions, satisfying conditions w hich w ill be specified below.

W e introduce the nonlinear Kato K p class by

–  –  –

where Br (x) = {z eQ :|z - x| rj. As one can easily see, for p = 2, K p reduces to the standard definition of the Kato class as defined in [1,25].

We will also need the class K of functions g e l } (Q) satisfying the condition

–  –  –

СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ З ВНУТРІШНЬОЮ

ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ

Сучасні асимптотичні методи розв’язування систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь (ССЗДР) є найбільш придатними для вирішення нагальних проблем інженерії, теоретичної та прикладної фізики і математики. Дослідження, що проводились для систем диференціальних рівнянь з диференціальною точкою звороту показали, що вони потребують більш детального вивчення [1-3].

Мета даної роботи побудувати рівномірно придатну асимптотику розв’язку ССЗДР для випадку внутрішньої диференціальної точки звороту.

Будемо досліджувати наступну систему диференціальних рівнянь:

є У '(х,є ) - А(х,є)У (х,є) = H (х ). (1)

–  –  –

Функція ф(х) має такі властивості:

1) ф( х ) є С ”[-І;І].

2) ф( х) монотонно спадає на заданому відрізку.

3) ф(х) 0; коли х є [— і ф(х ) 0; коли х є[0;/].

/;0] Для визначення “розширеної” вектор-функції у (х,(,є ) одержимо наступне "розширене” векторне рівняння:

–  –  –

В наше время существует множество программ математического характера, которые улучшают и ускоряют нашу работу во многих сферах жизни. Но если большинство программ придуманы только для какого -то четкого раздела математических вычислений, то уже созданы и такие, которые могут вычислять практически все математические задания. Одна из таких программ - Maple.

Универсальный математический пакет Maple по-прежнему один из самых популярных пакетов, как для математических исследований, так и для сложных расчетных проектов в других областях науки и техники.

Его преимущества - возможность решать огромный спектр математических задач как аналитически так и численно, простой язык, позволяющий создавать пользовательские программы и приложения, прекрасная двух - и трехмерная графика, полиграфическое начертание формул - дают возможность использовать пакет одновременно как инструмент для выполнения сложных проектов и как научный редактор.

Целью доклада является нахождение аналитических дифференциальных уравнений (ДУ), проверка ДУ на автономность с углубленным анализом решения с помощью контроля уровня выхода и получением приближенного полиномиального аналитического решения.

Нахождение аналитических решений. Для нахождения аналитических решений ДУ в Maple применяется команда dsolve(eq,var,options), где eq - дифференциальное уравнение, var - неизвестные функции, options - параметры. В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указание на метод решения, например опция mathod=dverk78 задает решение непрерывным методом Рунге Кутта порядка 7 или 8.

Вообще можно сказать, что численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:

classical - одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;

rkf45 - метод Рунге - Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фелбергом;

dverk78 - непрерывный метод Рунге-Кутта порядка 7 или 8;

gear - одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;

mgear - одна из трех версий многошагового эктраполяционного метода Г ира;

lsode - одна из восьми версий Ливенморского решателя жестких дифференциальных уравнений;

taylorseries - метод разложения в ряд Тейлора.

Проверка ДУ на автономность. Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений называются автономными, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной.

Для проверки уравнений (или систем) на автономность используется функция:

autonomous(des,vars,ivar). Если система автономна, то эта функция возвращает true, в противном случае false.

Контроль уровня вывода решения ДУ. Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью системной переменной infilevel(dsolve)=level.

Значение level=all дает обычный вывод решения без комментариев, уровень 1 зарезервирован для информации, которую может сообщить пользователь, уровень 2 или 3 дает более детальный вывод (включая сообщения об использованном алгоритме и технике решения) и, наконец, уровни 4 и 5 дают наиболее детальную информацию (если тиковая есть в дополнение к той информации, которую дает уровень 2 или 3).

Приближенное полиномиальное решение ДУ. Во многих случаях аналитические решения даже простых ДУ оказываются весьма сложными, например содержат специальные математические функции. При этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением. Наиболее распространенным приближенным решением в этом случае может быть полиномиальное решение, то есть замена реального решения полиномом той или иной степени. При этом порядок полинома задается значением системной переменной Order, а для получения такого решения функция dsolve должна иметь параметр series.

Нетрудно заметить, что точное аналитическое решение весьма сложно и содержит специальные функции Бесселя и гамма-функции. При порядке полинома 8 (он несколько меньше заданного максимального) решение практически совпадает с точным до значений t 2, а при максимальном заданном порядке 60 область совпадения расширяется до значений t 5,5. Затем приближенное решение резко отходит от точного.

Этот пример, с одной стороны, иллюстрирует хорошо известный факт быстрое нарастание погрешности полиномиального приближения за пределами области хорошего совпадения решений. С другой стороны, он показывает, что степень полинома более 60 (и даже выше) вовсе не так уж бесполезна, как это утверждается во многих статьях и книгах по полиномиальному приближению.

Точность полиномиальных вычислений Maple достаточно высока, чтобы обеспечить получение приближенных полиномиальных выражений со степенью порядка десятков и иногда даже сотен. Другое дело, что столь «длинный» полином не всегда удобен для аналитических расчетов, даже несмотря на его структурную простоту.

Maple существенно доработана по части решения (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка прежде всего направлена на получение верных решений как можно большего числа ДУ разных классов и систем с ДУ.

В данной работе были рассмотрены примеры проверки ДУ на автономность, контроль уровня вывода решения ДУ и полиномиальное решение ДУ с помощью Maple, что облегчает работу при решении ДУ.

Из всего вышеизложенного можно сделать однозначный вывод о том, что возможности математического пакета Maple намного больше, его мощности хватит для решения практически любых математических задач во всех областях наук.

Несомненными плюсами его использование являются: значительное сокращение затрат времени на поиск решения задач, обеспечение необходимой наглядности информации, возможность быстрой корректировки введенных данных, снижение возможности совершить ошибку в решении задач.

Литература

1. Савотченко С.Е. Методы решения математических задач в Maple / С.Е. Савотченко,

Т.Г. Кузьмичева. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://www.nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/educat/systemat/ savotchenko/6_ 1.asp.htm

2. Аладьев В.З. Основы программирования в Maple /В.З. Аладьев. - Таллинн, 2006. с. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http http://www.aladjev-maple.narod.ru/Maple.pdf

3. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов. М: Солон-Пресс, 2006. - 720 с.

4. Манзон Б. Maple 8 - надежность и применимость / Б. Манзон. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.exponenta.ru/educat/news/manzon/article1.asp

–  –  –

Далі, нехай С0,с^,С2,С3 0, і нехай Б :О х Я х Я^2 ^ Я і Аа :О х Яп’2 ^ Я, де а є А - функції Каратеодорі. Припускаємо, що для майже всіх х є О і для будь-яких 5 є Я, ', ' є Яп’2, ' Ф' ' виконуються нерівності

–  –  –

4. Boccardo L., Murat F., Puel J.-P. L estimate for some nonlinear elliptic partial differential equations and application to an existence result / L. Boccardo, F. Murat, J.P. Puel. // SIAM. J. Math. Anal. - 1992. - 23 - № 2. - P. 326-333.

5. Drabek P., Nicolosi F. Existence of bounded solutions for some degenerate quasilinear elliptic equations / P. Drabek, F. Nicolosi // Ann. Mat. Pura Appl. (4). - 1993. - 165. - P.

217-238.

6. Grenon N., Murat F., Porretta A. Existence and a priori estimate for elliptic problems with subquadratic gradient dependent terms / N. Grenon, F. Murat, A. Porretta // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser I. - 2006. - 342. - P. 23-28.

7. Voitovich M.V. Existence of bounded solutions for a class of nonlinear fourth-order equations / M.V. Voitovich // Differential Equations and Applications. - 2011. - 3 - № 2. - P. 247-266.

–  –  –

ФУНКЦИИ ГРИНА В ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ

ХИМИЧЕСКОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

Задачи, которые ставятся перед теоретической квантовой химией на современном этапе исследований, требуют решения дифференциальных уравнений.

Одним из методов решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями, который широко используется в квантовой механике, теории конденсированных сред и др. является метод функций Грина.

Общий вид функции Грина зависит от вида конкретной задачи и ее граничных условий, мы будем использовать следующее определение. Функцией Грина Г (х, х0) линейного оператора Ь, действующего на многообразии М в точке х0, является решение уравнения Ь Г (х,х 0) = 8 (* - х0), (1) где 8 - дельта-функция Дирака.

При переходе к конечномерным базисам дифференциальное уравнение Шредингера превращается в соответствующие матричные уравнения.

Например, уравнение метода самосогласованного поля в формализме матрицы плотности имеет следующий вид:

р Оу0 = у 0р 0, ( у 0)2 = !, (2) где Р 0 - матрица оператора Фока, У0-редуцированная матрица плотности невозмущенной задачи. Для определения поправки к матрице плотности У1, вызванной возмущением, необходимо решить следующее матричное уравнение:

Р 0у 0у 1+ у 1у0р0 - с (у 1) + уОс ( у 1)у 1= Н 1 - у 0Я 1уО, (3) где G (А) - оператор усредненного межэлектронного взаимодействия [1]. Операция А — 0А у 0 является операцией проектирования матрицы А на основное хартриу фоковское состояние, описываемое матрицей порядков связей - остаточных зарядов у 0.

Уравнение (3) есть линейное интегро-дифференциальное уравнение в конечномерном базисе. Для решения последнего можно использовать метод теории возмущений.

В конечномерном базисе это отвечает выбору матрицы возмущения в виде:

Н 1 = 8р18Ч (4) pq к где 8р и 8 к символы Кронекера. Н 1 - это конечномерный аналог дельта-функции 1 М Дирака. Решение уравнения (3) с возмущениями (4) - являются функции Грина, жк в квантовой химии называемые четырехмерной матрицей само- и взаимных поляризуемостей.

Функция Грина представляет собой функцию влияния и в рассматриваемой задаче ее конечномерным аналогом для уравнения Хартри-Фока являются ж м. к Физический смысл которых заключается в изменении электронной структуры незамещенной молекулы при точечном возмущении.

Как и в традиционном методе функций Грина, зная эту матрицу можно легко получить поправку к матрице плотности системы у 1 для любого возмущения:

у 1 = Н 'Л м. (5) „ Связь теории возмущений и метода функции Грина рассмотрена, например, в [2].

Наиболее простой пример использования функций Грина это полуэмпирические модели химической термодинамики. Так, при описании эффектов химического замещения на энтальпии образования органических соединений можно считать, что заместитель оказывает локальное воздействие на молекулу по месту своего присоединения. Тогда изменение энтальпии образовании ДДН при химическом замещении в положении 1линейно зависит от самополяризуемостей атом-атом, т.е.

от одного из матричных элементов функции Грина в конечномерном базисе:

ДАН = qiД a + 0, 5жш (Да)2. (6) Здесь Д а - параметр, характеризующий заместитель, независящий от положения заместителя и рассматриваемых свойств.

Отметим, что, зная функцию Грина можно получить поправки к матрице плотности не только первого порядка по малому параметру возмущения, но и более высокие. Используя конкретный вид матрицы возмущения и соответствующие формулы для поправок к энергии, легко получаются формулы для свойств второго порядка.

Например, для тензора электрических поляризуемостей в ж-электронном приближении имеем:

–  –  –

3. Высоцкий Ю.Б. Эффекты заместителей в химической термодинамике. Квантово­ химический подход / Ю.Б. Высоцкий, А.О. Васильев, Е.А. Беляева, Э.Г. Эйлазян. Донецк: ДонНУЭТ, 2009. - 196 с.

–  –  –

пар. 5) дає оцінку сталої Гельдера (u)(j), Q с QT Припустимо, що в циліндрі Q обмежений узагальнений розв’язок u(x, t) рівняння (1) змінюється в діапазоні 0 u о = osc{u, QR}. Є дві можливості: або R r о, або R r о. В першому випадку очевидно, що osc{u,QR} о R r, так що нерівність (7) виконується автоматично. В другому випадку покажемо, що функція u(x,t) не підходить в QR до свого максимуму в Q на визначену долю о,звідки буде випливати справедливість нерівності (7).

Отже, нехай R r о. Припустимо, що має місце нерівність

–  –  –

Використовуючи методику статті [3], можна встановити справедливість наступного твердження.

Лема 1. Нехай функція м(х, ї) є обмежений узагальнений розв’язок рівняння (1) в циліндрі ^ і нехай для нього виконуються умова (8).

Припустимо також, що функції a (x, t, и, p ) і a(x,t,и,p ) задовольняють умовам (2) - (5). Тоді існує таке число 5, яке залежить тільки від n,q, v,, l ju2, M, що для майже всіх t є ^t0 - R q,t0^

–  –  –

де N = j x є BR :и(^ *) (l - 5 )0 ^.

Зауваження 1. Якщо умова (8) немає місця, то необхідно взяти функцію и(x, t) = о - и(x, t) і довести для неї аналогічну лему.

Розглянемо тепер в циліндрі Q функцію щ (x, t) = 1+ ln------------. Оскільки о - и +Rr о R r, то при (x, t) є Q функція щ (x, t) 1. Крім того max^^x, t) 1+ ln— і множина N t, згідно (9), складає певну долю від BR при любому t є^t0 - R q, t0J.

Тому, якщо довести, що при любих (x, t) є QR функція щ (x, t) обмежена зверху яким-небудь числом Mj, що не залежить ні від о, ні від R, то одержимо оцінку (7) з 0 = 2e-(Ml-1).

Таким чином, щоб одержати оцінку (7), достатньо знайти оцінку зверху для функції щ (x, t) в QR. Така оцінка дається наступним твердженням.

Лема 2. Нехай функція и(x, t ) є обмежений узагальнений розв’язок рівняння (1) в циліндрі Q _1.

Припустимо, що функції a (x, t, и, p ) і a(x, t,и, p ) задовольняють r умовам (2) - (5). Тоді має місце оцінка vrai max |и0(x, t)| M x, де стала Mj, залежить QR тільки від n,q, v,, l ju2, M.

Доведення цієї леми практично не відрізняється від доведення аналогічного твердження для обмежених узагальнених розв’язків еліптичних рівнянь вищого порядку, доведеного І.В. Скрипником в статті [4]. При цьому використовуються якраз апріорі оцінки, одержані для параболічного випадку в статті [і].

Зауваження 2. Випадок q = 2 розглянутий в [2 ] (див. [2 ], глава V, пар. 10).

Література

1. Данилюк Г.І. Деякі апріорні оцінки обмежених узагальнених розв’язків нелінійних параболічних рівнянь / Г.І. Данилюк, І.М. Ковальов, Г.А. Кононихін // Зб. навчання матем. в техн. університеті: матеріали III міжнар. наук.-метод. конф. - Донецьк, 2009. - С. 210-218.

2. Ладыженская O.A. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / O.A. Ладыженская, В.А. Солонников, H.H. Уральцева. - М.: Наука, 1967. - 736 с.

3. Кружков С.Н. Aприорные оценки и некоторые свойства решений эллиптических и параболических уравнений / С.Н. Кружков // Матем. сб. - Т. 65: 4. - 1964. - С. 522-570.

4. Скрипник І.В. Про квазілінійні еліптичні рівняння вищого порядку з неперервними узагальненими розв’язками / І.В. Скрипник // Матем. сб. - К. - 1976. - С. 90-9З.

–  –  –

ОПТИМАЛЬНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ

СИСТЕМ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ

Одним из основных методов исследования задачи оптимальной стабилизации является метод динамического программирования Р. Беллмана [1]. Следует отметить, что построение функции Беллмана в общем случае представляет значительные трудности. В данной статье предложен подход к оптимальной стабилизации системы обыкновенных дифференциальных уравнений в критическом случае q пар чисто мнимых корней, использующий принцип сведения на центральном многообразии и явное построение функции Ляпунова для исходной системы. Предполагается, что допустимые управления с обратной связью являются непрерывно дифференцируемыми функциями, и что устойчивость замкнутой системы обеспечивается членами до третьего порядка включительно.

Задача оптимальной стабилизации. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений с управлением і = / [ х,и ),х є D,u є R m, y = h [ x ), y є R p, (1) где х - фазовый вектор, и - управление, у - выход, О - область в Я", 0 є О, /(0,0 )= 0, И(0) = 0. Предполагается, что функции / ( х,и ) и И(х) аналитичны в некоторой окрестности нуля. Введем класс допустимых правлений с обратной связью и с, состоящий из аналитических в некоторой окрестности нуля функций и = к (у )

–  –  –

с начальными условиями x(0) = x0 є D. Если решение x (t) не может быть продолжено на [0, +да) или если предел в (2) равен бесконечности, то полагаем

J (x0, к ) = +да. Будем рассматривать следующую задачу оптимальной стабилизации:

найти функцию к * є Uc такую, что

–  –  –

где щ,a 2 - положительные постоянные, зависящие от коэффициентов разложения в ряд Маклорена функции к (x).

Доказательство этой теоремы использует принцип сведения [5] и нормализующее преобразование переменных [4].

В результате получена оценка для функции Ляпунова системы (3) следующего вида:

–  –  –

Предположим, что м 10,й2 0, С іпіп{/г,і/[. Тогда матрица линейного приближения системы (6) имеет пару чисто мнимых собственных значений \ 2 =+і и два собственных значения с отрицательными вещественными частями Л 4 = |й2 ± -у/й2 + 4й| | / 2, а множество / принимает вид д

–  –  –

В данной работе исследована задача оптимальной стабилизации нелинейных систем в критическом случае q пар чисто мнимых корней. В качестве основного подхода использован принцип сведения с явным построением функции Ляпунова. В результате доказана асимптотическая оценка вида (5) с положительными константами а х, а 2, зависящими от коэффициентов разложения в ряд Маклорена функции обратной связи. В качестве примера рассмотрена механическая система с частичной диссипацией. Для такого примера решена задача оптимальной стабилизации в критическом случае пары чисто мнимых корней.

Литература

1. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения / И.Г. Малкин. - М.: Наука, 1966. - 533 с.

2. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовский. - М.: Физматгиз, 1959. - 212 с.

3. Зубов В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение / В.И. Зубов. - Л.:ЛГУ, 1957. - 263 с.

4. Молчанов A.M. Устойчивость в случае нейтральности линейного приближения / A.M. Молчанов // Докл. АН СССР. - 1961. - Т. 141. - № 1. - С. 24-27.

5. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем / Г.В. Каменков. M.: Наука, 1972. - 214 с.

–  –  –

НОВЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

ТВЕРДОГО ТЕЛА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Исследуя условия существования нового класса полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в магнитном поле с учетом Барнетта-Лондона.

Классическая задача о движении гиростата в поле силы тяжести [1] имеет многочисленные обобщения в динамике твердого тела [2]. Особый интерес представляет задача о движении гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона, поскольку уравнения движения допускают только два первых интеграла и к ним не применима теория Якоби интегрирования уравнений динамики [1].

Так как правые части уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона при определенных условиях аналогичны правым частям уравнений Кирхгофа, то оказалось возможным построение частных решений различных классов и уравнений движения гиростата в магнитном поле на основе свойств полиномиальных классов Горячева-Стеклова-Ковалевского и Докшевича.

В данном докладе начато изучение нового класса полиномиальных решений уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта БарнеттаЛондона. Отличие этого класса решений от решений классов Горячева-СтекловаКовалевского, Докшевича состоит в различных свойствах вспомогательных переменных от времени, что приводит к обращению различных типов эллиптических интегралов Лежандра.

Рассмотрим движение гиростата в магнитном поле с учетом эффекта БарнеттаЛондона. Эффект Барнетта-Лондона состоит в том, что первоначальные ненамагниченные и сверхпроводящие твердые тела при движении в магнитном поле намагничиваются вдоль оси вращения. Возникающая при вращении намагниченность линейно зависит от угловой скорости тела. Магнитный момент тела при взаимодействии с внешним магнитным полем будет стремиться к направлению вектора напряженности магнитного поля. При этом взаимодействие вызванной вращением тела намагниченности с внешним магнитным полем приводит к прецессии вектора кинетического момента тела вокруг вектора поля.

Уравнения движения гиростата в магнитном поле в векторной форме имеют вид АсЬ = (АсЬ + Л)хсо + В соху + у (1) х (Су —я), у = у хсо.

эти уравнения допускают два первых интеграла (АсЬ + Л) = к0, у •у = 1. (2) у

–  –  –

ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА В СЛУЧАЕ

ЛИНЕЙНОГО ИНВАРИАНТНОГО СООТНОШЕНИЯ

Рассм отрим диф ф еренциальны е уравнения движ ения заряж енного и нам агниченного гиростата в силовом поле, являю щ ем ся суперпозицией м агнитного, электрического и центрального нью тоновского поля в постановке

–  –  –

симметричная матрица третьего порядка, определяющая гироскопические силы;

С = (С ) - постоянная симметричная матрица третьего порядка, характеризующая потенциальные силы. Точка над переменными означает производную по времени /.

Уравнения (1), (2) имеют первые интегралы:

–  –  –

(1 = 0,3) - постоянные, подлежащие определению.

где Для задачи о движении тела в жидкости в полной мере решена только первая часть задачи интегрирования уравнений (1), (2), а именно, определены условия существования соотношения (4). Решение второй части данной задачи указано только в некоторых частных случаях: Л = 0 и Л = 0, ^ = 0. Для классической задачи о движении тяжелого твердого тела, уравнения которой получим из (1), (2) при Л = 0, В = 0, С = 0, аналог соотношения (4) (*1 = 0) изучен В. Гессом.

Геометрическое истолкование решения В. Гесса дано А.М. Ковалевым, Л.Н. Сретенский обобщил данное решение на случай Л Ф0, В = 0, С = 0.

Продифференцировав соотношение (4) в силу скалярных уравнений, вытекающих из векторных уравнений (1), (2) потребуем, чтобы полученное равенство после подстановки в него значения для * из (4) было тождеством при любых значениях переменных *2, х3, м, г2,м3. Таким образом, получим условия на параметры задачи и параметры §.

В данной статье остановимся на случае а13 Ф0. Непосредственные вычисления показывают, что интегралы энергии и момента количества движения из (3) независимы на соотношении (4). Поэтому вместо второго и третьего уравнений, вытекающих из (1), рассмотрим данные интегралы.

С помощью равенства (4) и полученных условий на параметры получим:

–  –  –

%= 2 22 2 (022Р1 + (о1 + 022 01 022)Р33), Р(') = (Q0 + ЙУ (')) 0 ^0Р(') 01 + 02 В зависимости от параметров задачи нахождение интегралов (7), (8) разбивается на ряд случаев. Отметим, что А(у1) - многочлен четвертой степени по у, его можно записать в виде А(^) = ^ (м2 + А ух + В )(м - м(1^)(^ -м (2^). Автором более подробно были рассмотрены случаи, когда уравнение А(^) = 0 имеет кратные корни (А 2 = 4В); решения выписаны в явном виде и приведены условия на параметры при которых эти решения существуют, указаны примеры их разрешимости. Для случая, когда уравнение А(м1) = 0 не имеет кратных корней (А 2 - 4В 0, А 2 - 4В 0) в явном виде выписать решение затруднительно, так как при интегрировании появляются эллиптические функции.

–  –  –

Как было отмечено ранее, в общем случае задачи о подсчете числа неизоморфных и неэквивалентных двухцветных O - и N - диаграмм фиксированного рода являются нерешенными. Однако они имеют непосредственную связь с подсчетом числа топологически неэквивалентных гладких функций (векторных полей) определенного класса на замкнутых ориентируемых и неориентируемых поверхностях соответствующего рода. Актуальным остается и вопрос о подсчете числа диаграмм из класса 3° ( 3 N), имеющих фиксированные числа белых и черных циклов.

Литература

1. Stoimenov A. Enumeration of chord diagrams and an upper bound for Vassiliev invariants / A. Stoimenov // Journal of Knot and its Ramifications. - 1998. - Vol. 7, №1.

- P. 93-114.

2. Gori R. Counting non-isomorphic chord diagrams / R. Gori, M. Marcus // Theoretical Computer Science. - 1998. - Vol. 204. - P. 55-73.

3. Кадубовський О. Топологічна еквівалентність функцій на орієнтованих поверхнях / О. Кадубовський // Укр. мат. жур. - 2006. - Т. 58. - №3. - С. 343-351.

4. Кадубовський О.А. Двокольорові O - i N - діаграми / О.А. Кадубовський, О.В. Сторожилова, Н.В. Сторожилова // Пошуки і знахідки. Серія: фізико -матем.

науки. - 2010. - Т. IV. - Вип. 1. - С. 41-50.

5. Vella A. Pattern avoidance in permutations: linear and cyclic orders // The electronic

journal of combinatorics. - 2003. - Vol. 9. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа:

http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v9i2r18

6. Кадубовський О.А. Двокольорові O - діаграми з одним чорним циклом /

О.А. Кадубовський, Ю.С. Саприкіна, С.Ю. Мазур // Пошуки і знахідки. Серія:

фізико-матем. науки. - 2010. - Т. IV. - Вип. 1. - С. 51-60.

7. Кадубовський О. Про один клас хордових діаграм максимального роду / О. Кадубовський // Вісник Київського університету. Серія: фізико -матем. науки. Вип. 1. - C. 17-27.

8. Callan D. Non-crossing Partitions under Rotation and Reflection / D. Callan, L. Smiley. Oct. 2005. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://arxiv.org/pdf/math/ 0510447v3.pdf

–  –  –

АТОМАРНІ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ ТА

МЕТОДИ ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕНЬ В КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ

Присутність в постановці крайової задачі двох різнорідних видів інформації геометричної та аналітичної (шукана функція и(х) всередині області СІ с= М повинна " задовольняти рівнянню А и = /, а на її границі 5 0 - умовам виду Ві и |50.= р (і = 1,...,т ), де 50,- - частки границі 5 0 (не обов’язково різні), які можуть і співпадати з 5 0, А і В - задані оператори, а /, (рі - задані функції) обумовлює розробку методів, що передбачає сумісну обробку даної інформації. Для 3D областей достатньо складного виду, при нетривіальному характері крайових умов основним засобом для розв’язування являються наближенні методи, найбільш поширеними з яких є методи сіткового типу (в тому числі метод скінчених елементів), проекційні та варіаційні методи. В усіх цих методах використовується один і той же конструктивний підхід: наближений розв’язок відшукується у вигляді N ик = Ск (рк(х) +^0(х), де (рк(х) - попередньо вибрані функції, х = (х1,...,хп).

к= В сіткових методах величина N вибирається рівним кількості внутрішніх та граничних вузлів сітки, а пошук коефіцієнтів Ск зводиться до розв’язання N алгебраїчних рівнянь з N невідомими. При реалізації багатьох типів проекційних та варіаційних методів виникає питання про вибір функцій, який би забезпечував необхідну якість задовольняння як диференціальному рівнянню, так і граничним умовам вихідної крайової задачі.

Останнім часом набуває поширення, так звані, безсіткові методи розв’язування крайових задач на основі використання радіальних базисних функцій [3], а також атомарних радіальних базисних функцій. Атомарними функціями багатьох змінних називають функції з скінченим носієм (вона обертається в нуль поза скінченої області, яка називається носієм функції) та є нескінчено диференційовним розв’язком функціонально-диференціального рівняння спеціального виду, наприклад, Lu(x) = M^u[a(x-%)\ds+juu(ax), де x = (xl,x 2,...,xn), = (,2,...,и);

dS

–  –  –

наближають х. Знаходження max означає, що відшукується той елемент K, який хєК найгірше наближається за допомогою елементів простору L^. Ставиться завдання знайти ^ (К) = min E (К, LN) по всім - N -вимірним підпросторам простору X і той простір L*^, для якого цей мінімум одержується. Величина dN (К ) носить назву N -поперечника за А.М. Колмогоровим, а простір L^ - екстремальним простором ( N -поперечник показує, наскільки добре в самому кращому випадку можна наблизити будь-яку функцію з заданого класу К за допомогою функцій виду N С Рк (х), які формують N -вимірний простір. Система функцій р *(х ), для яких к=1 N Ск^1 (x) є L^, і буде п редставляти ш укану систему. Д ля простір ф ункцій ви ду 2 k= виріш ення д ан о ї задачі використовуєм о атом арні функції, які розглядаєм о я к натуральним розш и ренн ям класу елем ентарних ф ункцій. Таке розш и ренн я стало необхідним в теперіш ній час, коли ш ироко п очали використовувати при проведені обчислю вальних експерим ентів для виріш ення п роблем м атем атичного м оделю вання ф ункції з скінченим носієм - ф інітні функції. Такі ф ункції баж ано застосовувати в числових м етодах, коли ф ункції я к і треба апроксим увати (наприклад, р о з в ’язок крайової задачі) м аю ть невідом у, але м ож ливо достатньо вели ку гладкість і де застосування м ногочленів ви сокої степені не еф ективне із-за їх не ф інітності. Ц ілком мож ливо, щ о атом арні ф ункц ії знайдуть застосування і в інш их областях м атематики, а не тільки в теорії наближ ень та числових методах. В ивчення атом арних ф ункцій почалося тільки з 1971 р., коли у країнськи м и м атем атикам и В.Л. Рвачовим та В.А. Рвачовим [5] була п обудован а най п ростіш а атом арна ф ункція u p (x ). Термін «атом арна ф ункція» з ’яви вся в 1975 р. в роботі [6 ]. Д ослідж ення цих ф ункцій є однією з важ ли ви х проблем, щ о витікаю ть з н еобхідності удосконалення конструктивних засобів м атем атики, перегляду того м атем атичного багажу, щ о був напрацьований до теперіш нього часу.

Л ітература

1. Рвачев В.Л. Теория приближ ения и атом арны е ф ункции / В.Л. Рвачев, В.А. Рвачев // М.: Знание. С ерия М атем атика, кібернетика, 1978. - № 3. - 63 с.

2. Рвачев В.Л. Н еклассические м етоды теории п риближ ений в краевы х задачах / В.Л. Рвачев, В.А. Р вачев // К.: Н аукова думка, 1979. - 194 с.

3. B uhm ann M.D. R adial B asis Function: Theory and Im plem entations / M.D. Buhm ann. Cam bridge, UK: C am bridge U niversity Press, 2004. - 259 p.

4. К олодяж ны й В.М. А том арны е функции. О бобщ ения на случай м н оги х перем енны х и перспективны е направления практических п рилож ен ий / В.М. К олодяж ны й, В.А. Р вачев // К ибернетика и систем ны й анализ. - 2007. - Т.43. - № 6. - С. 155-177.

5. Рвачев В.Л. Об одной ф инитной ф ункции / В.Л. Рвачев, В.А. Р вачев // Д А Н У С С Р, Сер. А. - 1971. - С. 705-707.

6. Рвачев В.Л. А том арны е ф ункции в м атем атической ф изике / В.Л. Рвачев,

В.А. Рвачев. - В. кн.: М атем атизация знаний и н аучно-технический прогресс. - К.:

Н аукова думка, 1975. - С. 54-62.

–  –  –

ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ БІЛІНІЙНИХ СПАРЮВАНЬ ТА СХЕМА

ЦИФРОВОГО ПІДПИСУ З ВИКОРИСТАННЯМ СПАРЮВАННЯ ТЕЙТА

К риптосистем и з ви кори станн ям еліптичних кривих є н овим поколінням криптосистем на основі важ ко -обчислю вальної задачі дискретного логариф му, де роль м ульти п лікативн ої групи скінченного поля зам іню ється групою точок еліптичної кривої над скінченним полем. В той час як розповсюдження таких систем набирало популярність, також інтересною розробкою являються криптографічні системи на основі білінійних відображень, де білінійні відображення на еліптичних кривих спарювання Вейля та Тейта - використовуються як корисний інструмент для вирішення криптографічних проблем. Однією з них була проблема створення асиметричних криптосистем на основі ідентифікаційних даних (identity based cryptosystems) з метою спрощення сертифікаційної системи.

Побудована схема підпису використовує властивість білінійності спарювання Тейта, в якості відкритого ключа користувачі повинні використовувати свої ідентифікуючі данні. Визначається спарювання Тейта в термінах дивізорів та обчислюється за допомогою алгоритму Міллера.

Білінійні спарювання та алгоритм Міллера.

Дивізори. Нехай E (K ) еліптична крива. Дивізор D є елементом абелевої групи (позначається Div(E)), визначається множиною точок E (K ), як сума вигляду D= !,(}'), де пр є Z. Сума всіх коефіцієнтів пр є його ступенем, deg(І)) = ^ ^ п р.

РєЕ РєЕ Носієм дивізора D називається множина точок при ненульових np ( supp(D) = {P є E | np Ф 0}). Оскільки кількість нулів і полюсів ненульової раціональної функції f над E скінченна, можна визначити дивізор функції f як d iv f) = ordP(f )(Р). Дивізор D є Div(E) називається головним, якщо він дорівнює PєE дивізору деякої раціональної функції f Так як ordP(f •g ) = ordP(f) + ordP(g), тому div(/' •g ) = di v (f) + divfe).

Відношення еквівалентності ~ на Div(/i ) вводиться наступним чином: 1\ ~ І)2, де D, D є Div(E), тоді і тільки тоді, коли D1 — D2 є головним дивізором (в канонічної формі записується через рівність Д = D2+div(f)). Головні дивізори характеризуються наступною властивістю: дивізор D = np (P) - головний тоді і РєЕ тільки тоді, коли 'У ' пр = 0 та ^ ' прР = О т, де О - нескінченно віддалена точка.

РєЕ РєЕ

–  –  –

СЛУЧАЙ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ

УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕАВТОНОМНОГО ГИРОСТАТА

В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Важность исследований движения системы связанных твердых тел обусловлена тем, что с помощью вращающихся в теле-носителе роторов можно добиться либо стабилизации движений механических объектов, либо решить задачу управления их движением. Наиболее общая модель такой системы рассмотрена П.В. Харламовым [1], который вывел уравнения движения системы связанных недеформируемых тел под действием заданного класса сил и моментов. В общем случае характер движения носимых тел позволяет изучать движения системы связанных твердых тел в рамках задачи о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом.

К настоящему времени в задаче о движении тяжелого неавтономного гиростата для случая, когда тело-носитель имеет неподвижную точку, рассмотрены равномерные вращения относительно вертикали, относительно наклонной оси, маятниковые вращения и другие движения.

Интерес представляют и результаты, которые получены в задаче о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в предположении переменности гиростатического момента [2].

Запишем уравнения движения гиростата с переменным гиростатическим моментом [1] x = x х a x - L(t)a + a x x(B v - A ( t )a) + vx(C V - s ), (1) Л = L (t), v = v хax, (2) где x = (x, X, X ) - момент количества движения гиростата, введенный в [1];

v = (vj, v2, v3) - единичный вектор, указывающий направление магнитного поля; L (t) функция, характеризующая взаимодействие тела-носителя и носимых тел; a = ( a^ ) <

–  –  –

У =У (а12Ъ^ а22С — 2(а1 Ъ^ а12С) ^ Х (а23У — 3 2)У 1 3 1 а1 У Таким образом, нахождение условий существования инвариантных соотношений (4) сводится к анализу решений уравнений (5) -(7) и уравнений (9).

Случай В = 0, С = 0 (г, ] = 1,3). Рассмотрим случай, когда уравнения (1),(2) описывают задачу о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием только силы тяжести.

Пусть уравнение (5) выполняется для любых значений переменных Л, у, х3.

Предполагая, что барицентрическая ось является главной, получим следующие условия на параметры задачи а = 0, а12 = а13 = а23 = 0, с = 0, в2 = в3 = 0. (10) Обозначая ап = а1 ( г = 1,3) из уравнений (6),(8) в силу равенств (10) найдем

–  –  –

(1),(2) от времени. Функцию Ь(() найдем из уравнения Ь(() = Л(/). Можно показать, что построенное решение удовлетворяет уравнению (7).

В работе изучены условия существования двух линейных инвариантных соотношений в задаче о движении гиростата под действием силы тяжести. Получено новое решение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом.

Литература

1. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел / П.В. Харламов // Механика твердого тела. - 1972. - Вып. 4. - С. 52-73.

2. Мазнев А.В. О трех инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил / А.В. Мазнев // Вгсник Одеського нац. ун-ту. Матем. і мех. - 2011. - Т.16. - Вип. 16. - С. 158-165.

–  –  –

ОСЦИЛЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ ТИПА ШТУРМА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С

БЛОЧНО-ТРЕУГОЛЬНЫМИ МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Для скалярных дифференциальных уравнений второго порядка и конечных систем с эрмитовыми коэффициентами на конечном и бесконечном интервалах осцилляционная теория Штурма и ее связь со спектральной теорией изучались в работах многих авторов. В работах авторов [1] - [3], наряду с полученными там новыми результатами, содержится обширная библиография по этому вопросу для самосопряженных задач.

В настоящей работе для дифференциальных уравнений второго порядка с блочно-треугольными матричными коэффициентами установлена связь между спектральными и осцилляционными свойствами задачи на конечном интервале.

Рассмотрим дифференциальное уравнение с матричными коэффициентами

–  –  –

а вес Ж ( х ) является блочно- диагональной матрицей.

Диагональные блоки Ркк (х), Vkk (х), Qkk (х ), Жкк (х ), к = 1, г - эрмитовы матрицы порядка тк 1 (в частности, при тк = 1 - вещественные скалярные

–  –  –

и обозначим через N 0 (Л) количество собственных значений ЛЛ Л оператора L0 с учетом их алгебраических кратностей.

Для матричного решения Ykk (х,Л) дифференциального уравнения (5) с эрмитовыми коэффициентами, несмотря на то, что эта матрица, вообще говоря, не является эрмитовой, в работах [1]-[3] доказано, что nulYk(x, Л) = D efY kk (х,Л), где для произвольной матрицы T в соответствии с общепринятыми обозначениями nulT = dim K e r T, D e fT = dim Co ker T.

При m 1 обозначим nulaY (х,Л) алгебраическую кратность нуля, как собственного значения матрицы Y (x, Л) при фиксированных x и Л. В частности, при m = 1 имеем nulaY (х,Л) = 1, если x является корнем скалярного уравнения Y (x, Л) = О, и nula Y (x, Л) = О, если x не является корнем этого уравнения.

Теорема 1. Пусть оператор L порожден дифференциальным выражением V [У] с матричными блочно-треугольными коэффициентами, удовлетворяющими перечисленным выше условиям, и краевыми условиями (3),(4) с матрицей C вида (9).

Пусть блоки Pkk (x) коэффициента при старшей производной P (x) и блоки Wkk (x) матричного веса W (x ) являются одновременно эрмитовыми положительными или отрицательными при каждом х є [О Z блоки Vkk (х) - эрмитовы. Тогда при Л є, ?],

–  –  –

Литература

1. Рофе-Бекетов Ф.С. О связи между спектральными и осциляционными свойствами матричной задачи Штурма-Лиувилля / Ф.С. Рофе-Бекетов, А.М. Хольки // Матем.

сб. - 1977. - 102. - №3. - С. 410-424.

2. Рофе-Бекетов Ф.С. Связь спектральных и осцилляционных свойств систем произвольного порядка / Ф.С. Рофе-Бекетов, А.М. Хольки // ДАН СССР. - 1981. С.551-555.

3. Rofe-Beketov F.S. Spectral analysis of differential Operators. Interplay between Spectral and Oscillatory properties / F.S. Rofe-Beketov, A.M. Kholkin. - World Scientific, New Jersey, London, Singapore, Beijing, Shanghai. - 2005. - 462 p.

–  –  –

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ

Пусть Яп - вещественное евклидово пространство размерности п 2 с евклидовой нормой | •|, В п = {х є К" :|х | 1}, f - непрерывная функция на В п.

Пусть е - некоторое семейство областей П таких, что П с В п и 0 еП. Обозначим через ^ функцию, непрерывную на П, гармоническую в П и совпадающую с f на ЭП.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть для всех П е Е выполняется равенство / п (0) = f (0). Верно ли, что f гармоническая в В п ? Если е достаточно велико, например, содержит все строго выпуклые области с гладкой границей, то ответ положительный (см. [1], теорема 2). В общем же случае ответ отрицательный.

Обозначим

–  –  –

многочлен степени /77 е N и [ 0 |. По теореме 1 из [5] функция |х |-п^т (х) удовлетворяет равенству (4) для всех Вуг е 0. Кроме того, при т 2 A (x) = P + )(x) ґ ? (n - 4) М - б ) Л, и значит, функция hm(x) є C m(Rn) не hm mS |x |4 | x |б у nfl является гармонической в B.

Вывод: в теореме 1 получена характеризация гармонических функций в открытом единичном шаре, содержащая значения сферических средних Пуассона лишь в одной точке шара.

Литература

1. Globevnik J. A characterization of harmonic functions / J. Globevnik, W. Rudin // Indag.

Math. - 1988. - Vol. 91. - P. 419-426.

2. Силенко В.Е. Характеризация гармонических и аналитических функций в единичном шаре / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А:

Природничі науки. - 2005. - Вип. 2. - С. 14-21.

3. Globevnik J. Zero integrals on circles and characterization of harmonic and analytic functions / J. Globevnik // Trans. Amer. Math. Soc. - 1990. - Vol. 317. - N°1 - P. 313-330.

4. Стейн И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс - М.: Мир, 1974. - 336 с.

5. Волчков В.В. Сферические средние на евклидовых пространствах / В.В. Волчков // Украинский математический журнал. - 1998. - Т. 50, №10. - С. 1310-1315.

–  –  –

ПРОБЛЕМА МОРЕРЫ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ

Классическая теорема Мореры характеризует голоморфные функции одной комплексной переменной в терминах интегральных условий.

Рассмотрим классический случай: С - комплексная плоскость, О = 180(2) и Т') и группа евклидовых движений, Р - компактное множество со спрямляемой жордановой границей Г = ЭР.

Будем говорить, что Г обладает свойством Мореры, если непрерывная функция / е С (С), удовлетворяющая

–  –  –

равна нулю тождественно. Классическая проблема Помпейю состоит в описании класса множеств, обладающих свойством Помпейю.

Легко видеть, что (как следует из стандартного процесса сглаживания) достаточно рассматривать функции / е С1(С). Тогда (если Г - кусочно гладкая) из формулы Грина

–  –  –

Литература

1. Zalcman L. Analyticity and the Pompeiu problem / L. Zalcman // Arch. Rational Mech.

Anal. - 1972. - Vol. 47. - P. 237-254.

2. Zalcman L. Offbeat integral geometry / L. Zalcman // Amer. Math. Monthly. - 1980. Vol. 87. - №3. - P. 161-175.

3. Berenstein C.A. Variations on the theorem of Morera /C.A. Berenstein, D.C. Chang, D. Pascuas, L. Zalcman // Contemporary Math. - 1992. - №137. - P. 63-78.

4. Volchcov V.V. Integral geometry and convolution equations / Volchcov V.V. Dordrecht. Boston. London: Kluwer Academic Publishers, 2003. - 454 p.

5. Smith J.D. Harmonic analysis of scalar and vector fields in Rn / J.D. Smith // Proc.

Camb. Phill. Soc. - 1972. - Vol. 72. - P. 403-416.

6. Berenstein C.A. Morera and mean-value type theorems in the hyperbolic disk / C.A. Berenstein, D. Pascuas // Israel. J. Math. - 1994. - Vol. 86. - P. 61-106.

7. Гленко В.Е. Теоремы типа Мореры на гиперболической плоскости / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А: Природничі науки. - 2008. - Вип. 2. С. 49-56.

8. Гленко В.Е. Характеризация гармонических и аналитических функций в единичном шаре / В.Е. Силенко // Вісник Донецького університету, сер. А:

Природничі науки. - 2005. - Вип. 2. - С. 14-21.

–  –  –

О РЕШЕНИИ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА АБЕЛЯ

Одномерные интегральные уравнения первого рода, обобщающие классическое интегральное уравнение Абеля и содержащие в ядрах гипергеометрическую функцию Гаусса, изучены многими авторами (см. обзор результатов и библиографию в [1, §§ 35.1, 39.1, 39.2]). Такие уравнения возникают при изучении краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типа с краевыми условиями, содержащими обобщенные дробные интегралы и производные [2]. В большинстве работ метод исследования уравнений типа Абеля с гипергеометрическими функциями в ядрах основывается на представлении интегральных операторов этих уравнений в виде композиции операторов дробного интегрирования Римана— Лиувилля со степенными весами и использовании известных свойств таких дробных интегралов. На этом пути были даны достаточные условия разрешимости рассматриваемых интегральных уравнений в некоторых классах функций и получены их решения в квадратурах.

Исследование необходимых и достаточных условий разрешимости вышеуказанных уравнений является более сложной задачей. Хорошо известен классический результат Тамаркина Я. о разрешимости интегрального уравнения Абеля в пространстве (а, Ь) суммируемых функций на конечном отрезке [а, Ь] действительной оси [1, теорема 2.1]. В [3] аналогичный результат был получен для многомерного интегрального уравнения типа Абеля по ограниченной пирамидальной области евклидова пространства специального вида. Интерес к исследованию таких уравнений вызван их приложениями в задачах исследования отражения волн от прямолинейной границы [4, с. 48], [5] и в задачах сверхзвукового обтекания пространственных углов [6] (см. также [1, §§ 25.1, 28.4]).

–  –  –

3. K ilbas A.A. O n integrable solution o f a m ultidim ensional A bel - type integral equation / A.A. K ilbas, M. Saigo, H. Takushim a // Fukuoka Univ. Sci. Rep. - 1995. - V. 25. - № 1.

- P. 1-9.

4. М ихлин С.Г. Л екции по линейны м интегральны м уравнениям / С.Г. М ихлин. - М.:

Ф изм атгиз, 1959. - 232 с.

5. П реображ енский Н.Г. А белева инверсия в ф изических задачах: И нверсия А беля и ее обобщ ения / Н.Г. П реображ енский. - Н овосибирск: И н -т теор. и прикл.

м еханики СО А Н СССР, 1978. - С. 6-24.

6. Ф едосов В.П. О некоторы х обобщ енны х уравнен иях А беля / В.П. Ф едосов. Н овосибирск: И н ститут теор. и прикл. м еханики СО А Н СССР, 1978. - 106 с.

7. Реш ение м ногом ерны х гип ергеом етри чески х и нтегральн ы х у р авн ен и й ти п а А беля / А.А. К илбас [и др.] // Докл. Н А Н Беларуси. - 1999. - Т. 43. - № 2. - C. 23-26.

8. Solvability o f som e A bel - type integral equations involving the G auss hypergeom etry function as kernels in the space o f sum m able functions / R.L. R aina [et al.] // A N Z IA M J.

- 2001. - Vol. 43, № 2. - P. 291-320.

9. К илбас А.А. Реш ение м н огом ерны х и нтегральн ы х уравн ен и й типа А беля с гипергеом етрической ф ункцией Г аусса в ядрах по п ирам идальной области / А.А. К илбас, О.В. С кором н ик // Т руды И н-та м атем атики / Н А Н Беларуси, И н -т м атематики. - М инск, 2009. - Т. 17. - № 1. - С. 71-78.

–  –  –

О ТРЕХ ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО

ВИДА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСТАТА

Рассм отрена задача о движ ении гиростата в м агнитном поле с учетом эф ф екта Б арн етта-Л он дон а. П редполагается, что ги ростатически й м ом ент зависит от времени.

Э та задача посвящ ена описанию движ ения нейтрального ф ерром агнетика (т.е.

первоначально не нам агниченного) в м агнитном поле, которы й п ри вращ ении становится нам агниченны м вдоль оси вращ ения. Д анны й эф ф ект назы ваю т эф ф ектом Б арнетта [1] и он характеризуется появлением м агнитного момента, зависящ его от угловой скорости. А налогичное явление им еет м есто и при вращ ении сверхпроводящ его твердого тела при бы стром вращ ении в м агнитном поле (эф ф ект Л ондона) [2]. М еханизм н ам агничивания в обоих случаях обусловлен различны м и причинами. П ри вы воде уравнен ий движ ения гиростата ги ростатический м ом ент м ож но полагать зависящ им от врем ени [3]. В таком предполож ении изучены условия сущ ествования некоторы х классов движ ения гиростата п од действием силы тяж ести и под действием п отенциальны х и ги роскопи чески х сил [4].

У равнение движ ения гиростата с перем енны м ги ростатически м м ом ентом в м агнитном поле с учетом эф ф екта Б ар н етта-Л о н д о н а

–  –  –

ПРОБЛЕМА ПОМПЕЙЮ И ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ

Проблема Помпейю, связанная с изучением функций по заданным их интегральным средним, и ее обобщения занимают важное место в интегральной геометрии и находят многочисленные применения в математике, в частности, в комплексном анализе, теории аппроксимаций, гармоническом анализе, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Задачи интегральной геометрии оказались весьма важными не только во многих направлениях современной математики, но и в конкретных приложениях, связанных с медицинской 1и 1 с » с» и с » /* /* с »

и сейсмической томографией, астрофизикой, акустикой, обработкой сигналов, электронной микроскопией и т.д. (см., например, [1]).

Интегральная геометрия рассматривает прежде всего интегральные преобразования, ставящие в соответствие функциям на многообразии X их интегралы по некоторому семейству подмногообразий М (см., например, [2]). Каким должно быть М, чтобы по значениям интегральных средних можно было восстановить саму функцию - этот вопрос приводит напрямую к проблеме Помпейю.

Проблема Помпейю в евклидовом случае может быть сформулирована следующим образом. Пусть Яп - вещественное евклидово пространство размерности п 2, Т50(п) - группа евклидовых движений Яп, Р ^ Яп - ограниченное множество положительной лебеговой меры.

Множество Р называется множеством со свойством Помпейю (или множеством Помпейю), если всякая непрерывная функция / : Яп ^ С, удовлетворяющая

–  –  –

где x gp ~ характеристическая функция множества gP, а Zgp(x ) = Zgp(~x) • Для множества P е Pomp ( Rn) преобразование Помпейю pf (g ) = j f =0 (x)d x gP ( g е ISO (n)) инъективно. В этом случае возникает задача построения конструкции обращения Рf, а для неинъективного Рf - задача об описании его ядра. Поскольку ядро Рf можно понимать как пространство решений системы уравнений в свертках (в общем случае бесконечной), эти задачи тесно связаны с теорией периодичности в среднем.

Впервые условие (1) для функций, непрерывных на вещественной евклидовой плоскости, рассмотрел румынский математик Д. Помпейю в 1929 г. Дальнейшие исследования были направлены, с одной стороны, на изучение отдельных представителей класса Pomp (Rn). Для многих конкретных случаев были получены результаты, с помощью которых можно определить, имеет ли множество P свойство Помпейю или нет.

Наиболее общее достаточное условие принадлежности множества классу P om p(Rn) было получено С.А. Вильямсом в [3]. Если P - непустое открытое ограниченное подмножество Rn с липшицевой границей и связным дополнением, P P om p^ ^, то cP является вещественно-аналитическим подмногообразием в Rn.

Rn Этот результат, в частности, показывает, что многие множества P с особенностями на границе (например, многогранники) принадлежат Pomp (Rn).

Более сложной является ситуация, когда cP является вещественно­ аналитической. Примером множества P е Pomp (Rn) для любого n 2 является эллипсоид, отличный от шара (см., например [4, с. 147]).

Несмотря на большое число проведенных исследований, обзор которых содержится, проблема Помпейю остается открытой даже для n = 2. Так, неизвестно, является ли круг единственной жордановой областью, не обладающей свойством Помпейю.

Проблема Помпейю тесно связана с формулами средних значений для некоторых дифференциальных уравнений. Одной из известных задач в этом направлении является изучение эквивалентности между гармоничностью и уравнениями средних значений. Ряд интересных результатов, связанных с этой задачей, получен Д. Дельсартом и Ф. Флатто, Л. Зальцманом, М.О. Ридом, Т. Рамсеем, В.В. Волчковым. Также имеется ряд работ, связанных с приложениями данной тематики к теории лакунарных рядов Фурье, к теории укладок в комбинаторной геометрии, к теории отображений, сохраняющих меру, к теории интерполяции целых функций. О.Д Трофименко были получены теоремы (критерии) о среднем для полианалитических функций для случая круга и правильного многоугольника.

Литература

1. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. - Новосибирск: Ин-т математики, 1999. - 702 с.

2. Гельфанд И.М. Избранные задачи интегральной геометрии / И.М. Гельфанд, С.Г. Гиндикин, М.И. Граев. - М.: Добросвет, 2000. - 208 с.

3. Williams S.A. Analyticity of the boundary for Lipshits domains without the Pompeiu property / S.A. Williams // Ind. Univ. Math. J. - 1981. - Vol. 30. - №3. - P. 357-369.

4. Volchcov V.V. Integral geometry and convolution equations / V.V. Volchcov. Dordrecht. Boston. London: Kluwer Academic Publishers, 2003. - 454 p.

–  –  –

О МЕРАХ ПОРОЖДЕННЫХ РЕШЕНИЯМИ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО

СЛУЧАЙНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

В работе устанавливаются достаточные условия, обеспечивающие абсолютную непрерывность и эквивалентность мер, порожденных в бесконечномерном гильбертовом пространстве решениями обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка со случайной правой частью Пусть ( 0,3, Р} фиксированное вероятностное пространство. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения п-го порядка, разрешенного относительно высшего порядка, со случайным возмущением, вида:

У{п) ^ ) = / { ^,у,у,..., у {п~1 ) + (*)• (1) ) Я О = Уо, У(*о) = Уо’- • “1) ( О = У ( \ 1 е Я,1 0 1 Т '(И Г 0 где ( г) является случайным процессом в Я с неограниченными траекториями, нулевым математическим ожиданием М ^ ( г ) = 0 конечным вторым моментом.

Распределение процесса ( г) сосредоточено в Ь2 -пространстве функций интегрируемых вместе со своим квадратом. В уравнении (1) предположим еще, что ( г) имеет, так называемое, гладкое распределение. Это означает: пусть (р& С (Ь2) любой гладкий функционал. Тогда, если существует непрерывная, ограниченная, суммируемая функция Л(г, х): [г0,Т ]х Я ^ Я такая, что для любой суммируемой И(г): Я ^ Я имеем

–  –  –

х Ы = ч, * М = V х(”41 М = 4'м |1 к,10 ! т

- 0е Решение этой задачи х (О порождает в пространстве Г2 распределение ц х. Мы ) убедимся, что в достаточно широких условиях эта мера будет эквивалентна мере ц, Ну'} В работе [2] аналогичный вопрос изучался для мер порожденных решениями уравнений первого порядка с гауссовской правой частью. Основная теорема работы [3] дает возможность рассмотрения этого вопроса и в нашем случае.

Приводим задачу к преобразованию пространства Г2 и к нему применяем теорему о преобразованиях гладких мер. Здесь Г2 гильбертово пространство п мерных вектор-функций на [о0, Т ] интегрируемых в квадрате по Лебеговой мере.

Доказывается следующая теорема:

Пусть для задачи Коши к уравнениям (1) и (4), справедливы условия (2) и (3).

Тогда [1Х ~ [1у и плотность Радона-Никодима можно выразить так

–  –  –

В случае п = 1 получим классический результат ([2]) Литература

1. Далецкий Ю.Л. Абсолютная непрерывность гладких мер / Ю.Л. Далецкий, Г.А. Сохадзе // Функциональный анализ и его приложения. - 1988. - Т. 22. - Вып. 2. - С. 77-78.

2. Шаташвили А.Д. О плотностях мер, соответствующих решениям стохастических дифференциальных уравнений, находящихся под воздействием гауссовских процессов / А.Д. Шаташвили // Труды ВЦ АН Груз ССР. - 1966. - VI. - С. 105-109.

3. Сохадзе Г.А. Про абсолютну неперервність гладких мір / Г.А. Сохадзе // Теорія ймовірностей та математична статистика. - 1994. - Вып. 2. - С. 68-79.

–  –  –

где суммирование ведется по всем весам I, удовлетворяющим определенному условию подчинения, обозначенному стрелками.

Правило ветвления, записанное в общем виде (1), позволяет выдвинуть гипотезу о возможной скрытой симметрии. Имеется ввиду то, что пространство Т может быть наделено структурой не только -модуля, но также структурой модуля над некоторой подгруппой Ли, промежуточной между G_i и Gn. Мы обозначаем эту группу Gn_y2.

Определение 1. Пусть Gn_y2 - стабилизатор ненулевого вектора (в случаях A или C ) и стабилизатор ненулевого изотропного (в случаях B или D ) вектора в пространстве стандартного представления группы Ли G.

Промежуточную подгруппу Dn_y2 можно определить как стабилизатор ненулевого изотропного вектора в пространстве стандартного представления группы Ли SO ( 2n).

Предложение 1. Группа Ли Dn_y2 не редуктивна.

Разложение Леви-Мальцева группы Ли D ^y2 описывается формулой:

–  –  –

^ ln-i + m ~ ( mn-itn-2);

где введены обозначения v = (a,c ) = max(a,c ), ju(a,c) = min(a,c ).

Пусть - конечномерный неприводимый Dn-модуль. Его сужение на подгруппу Dn_x вполне приводимо и содержит кратные точки спектра. Разделение изоморфных компонент (Dn -модуля _x) с помощью промежуточной подгруппы А -1/2 описанное в теореме 1, приводит к построению большого класса конечномерных (D-i^) -модулей которые являются факторами соответствующих фильтраций. Эти Dn_y2-модули вообще говоря не являются неприводимыми, но всегда неразложимы. Таким образом мы приходим к категории L представлений со старшим весом группы Ли Dn_y2, которую можно рассматривать как аналог категории неприводимых модулей для комплексных простых групп Ли.

–  –  –

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ГРАФЫ ПРИМАРНЫХ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП

Ранее [1] отмечалось, что уже существующее в теории групп понятие графа группы неудобно ввиду некоторых причин. Поэтому было предложено новое понятие «геометрического графа» группы, которое лишено недостатков графа группы. Кроме того, геометрический граф группы порождает геометрическое представление, которое является линейным представлением группы G. Следует отметить, что геометрическое представление также является новым объектом в теории групп и очень перспективным с точки зрения теории представлений.

Определение. Геометрический граф группы G (геометрическая реализация) граф группы G на сфере единичного радиуса в евклидовом пространстве R m наименьшей размерности (обозначим его V ), в котором евклидовы расстояния р (назовем их действительными) между элементами группы удовлетворяют соотношению р(gi,g j ) = р(gk, gi) р'(gi,g j ) = р'(gk,gi) k,l, (!) где р - расстояния (назовем их мнимыми) между элементами группы G, вычисленные по формуле

–  –  –

Рассмотренные примеры позволяют сформулировать следующую гипотезу.

Предложение 4. Геометрический граф циклической группы С 2к реализуется в

–  –  –

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ПРЕЦЕССИОННО-ИЗОКОНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ

ГИРОСТАТА В ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ

С пом ощ ью м етода годограф ов, основанного на уравнениях П.В. Х арлам ова [ 1], м ож ет бы ть п олучен а полная картина движ ения твердого тела во м ногих случаях интегрируем ости уравнен ий динамики.

И зоконические движ ения твердого тела характеризую тся сим м етричностью подвиж ного и неподвиж ного годограф ов вектора угловой скорости относительно касательной к ним плоскости. И зоконические движ ения в классической задаче о движ ении тяж елого твердого тела обнаруж ены в реш ени ях С теклова, Л агранж а, Ж уковского, Г есса-С ретен ского, Гриоли.

тч ~ и и В задаче о дви ж ен и и тяж елого твердого тела с неп одви ж ной точкой регулярны е прецессии относительно вертикали ги роскопа Л агранж а служ ат классическим прим ером прецессионного движ ения. Т еоретическое изучение прецессий несим м етричны х тел проводилось Г.Г. А ппельротом, Д. Гриоли и другим и авторам и [3 -5 ]. О бщ и й м етод исследования п рецессий в классической задаче и ее обобщ ениях впервы е бы л предлож ен в работах [4, 5].

В качестве ф изической м одели систем ы тверды х тел - гиростата с неподвиж ной точкой в поле потенциальны х и гироскопических сил - использована модель, которая описы вается диф ф еренциальны м и уравнен иям и К ирхгоф а-П уассон а.

В случае соверш ения гиростатом прецессионного движ ения относительно вертикали для угловой скорости гиростата со = {(Щ_, ^т) им еем разлож ение {я = ф&+ ц / \.

а = (0, 0, 1) Здесь ф, ц/ — скорости собственного вращ ения и прецессии гиростата;

–  –  –

е Фа.

Для регулярных прецессионно-изоконических движений выполняются соотношения е = а = (0,0,l), i// = ф = п = const. При этом подвижный и неподвижный годографы конгруэнтны и представляют собой окружности. Движение тела является периодическим с периодом 2 л /n.

Для полурегулярных прецессионно-изоконических движений первого типа:

цг = т (/// = m i), а Ф е подвижный годограф представляет собой плоскую кривую, полученную в результате пересечения плоскости и цилиндра:

С у — q(оз — — дО Q ®§m bgm) = 0, oy + 02 = Q m. Здесь C = aqeyj(Q — ), Q = cos 0q, q q q e3 q aq = «/1- a2 = sin#0, ^0 =Z(a, v ), b2 = 1+ c0.

y Анализ полурегулярных прецессионно-изоконических движений второго типа, для которых выполняется ф = п = const ( = n t), приводит к аналогичному ;p результату - подвижный годограф является плоской кривой, полученной в результате пересечения плоскости и конуса.

Виды подвижного аксоида вектора угловой скорости для полурегулярных прецессий первого и второго типов представлены на рис. 1.а и рис. 1.б соответственно.

–  –  –

В (2) введены обозначения - ( 1) = Ь + ^0 8т ^ ( 1), ^ ( 1) = Р 0 + 40 в т ^ ( 1).

Н а рис. 2 представлены характерны е виды подвиж ного аксоида вектора угловой скорости в зависим ости от изм енения парам етра ^.

40 = 10 =5 40 = 70 а) 40 б) в) Рисунок 2 - П одвиж ны й аксои д вектора у гловой скорости ги р о стата в случае прецессионно-изоконических дви ж ен и й общ его вида А налогичного вида п ространственная кривая из второго класса прецессионноизоконических движ ений общ его вида п одвиж ны й годограф вектора угловой скорости гиростата такж е является пространственной кривой.

Таким образом, в работе исследованы свойства подвижного и неподвижного годографов вектора угловой скорости гиростата в случае прецессионно-изоконических движений определенных типов. Сделан вывод о том, что в случае прецессионноизоконических движений следующ их видов - регулярная прецессия, полурегулярная прецессия первого типа, полурегулярная прецессия второго типа - годографы вектора угловой скорости представляют собой плоские линии. В случае прецессионноизоконических движений общего вида годографы являются пространственными кривыми.

Л итература

1. Х арлам ов П.В. К инем атическое истолкование движ ения тела, им ею щ его неподвиж ную точку / П.В. Х арлам ов // П рикл. М атем атика и механика. - 1964. Т. 28, вып. 3. - С. 502-507.

2. Горр Г.В. М етоды исследования движ ений твердого тела и их п рилож ение в классиф икации дви ж ен и й / Г.В. Г орр // М еханика твердого тела. - 1982. - Вып. 14.

- С. 54-74.

3. Горр Г.В. П рецессионны е движ ения в динам ике твердого тела и динам ике систем связанны х тверды х тел / Г.В. Горр // П рикл. м атем атика и м еханика. - 2003. - Т. 67, вып. 4. - С. 573-587.

4. Горр Г.В. П рецессионны е движ ения в динам ике твердого тела и в динам ике систем связанны х тверды х тел / Г.В. Горр, А.В. М азнев, Е.К. Щ етинина. - Д онецк: Д онН У, 2009. - 222 с.

5. Горр Г.В. И зоконические движ ения в динам ике твердого тела с неподвиж ной точкой / Г.В. Горр, Е.В. С аркисьянц, Е.К. У збек. - Д онецк: И н -т прикл. м атем атики и м еханики Н А Н У краины, 2001. - 30 с. - (П репринт / Н А Н У краины, И н -т прикл.

м атем атики и м еханики; 03.01).

---------------------------------------------------------------------------------------- H

МОДЕЛЮВАННЯ

ТЕХНІЧНИХ

СИСТЕМ

СЕКЦІЯ 2

–  –  –

SOCIAL NETWORK MODELS FOR ALGORITHMS TESTING

Social networks are now in the center of Web algorithms development efforts because of their central role in contemporary Web development. Main tasks are related to community structure recognition and understanding of the social role of different actors by link structure [1]. To test these algorithms effectiveness (how precise is the answer set to the information need) and efficiency (in time and memory usage), researchers need models of social networks which capture main statistical properties of real world networks with welldefined community structure. In the model case as opposed to a real network, the correct result of an algorithm is known, and the network size may vary widely, so different algorithms may be tested and compared in different conditions.

The list of main social network properties includes hierarchical community structure [2], Small World property [3], power law distribution of nodes degree [3], and self­ similarity [4]. For complex networks the models proposed explain power law nature of degree distribution. The most basic is Barabasi-Albert model of scale free network [5].

Other models presented in [3]. But these models have no communities, so they are not usable in the case of social networks. Recently some models were proposed with community structure [6-8], but these models have no small-world property.

In this paper a set of models for social networks is proposed. The models are based on Small World graph of Watts and Strogats [9], which is the simplest model for smallworld. By simulation of some link redirection processes, the models with community structure and small-world properties were generated. In addition, algorithm for community recognition in social networks is proposed, which differ from others by networks smallworld nature utilizing.

In a social network two nodes linked to the same node most probably linked too. To describe this phenomenon clustering coefficient was introduced [9]. Let a node neighbors N be a set of nodes linked to the node number i. Clustering coefficient (CC) of node i is a ratio of number of links in N to maximum number of links in a graph with size |N|. CC of a network is the clustering coefficient of nodes averaged over network. The small-world is a network with clustering coefficient significantly bigger than one in a random graph with the same size, but having a small average distance between nodes, approximately the same as that of a random graph.

The simplest model of small-world was proposed by Watts and Strogatz [9] and is called Small World graph. It is generated starting with a regular grid and redirecting part p of the links randomly. The grid has each node linked to its z neighbors (usually the grid is depicted as a ring). It has a big CC but also a big average distance. Ifp is small (~ 0.05..0.3), the graph has a small average distance but the CC is big. This is Small World graph. If p is close to 1, the graph becomes a random one.

However this graph has no community structure. From the link topology point of view, community is a sub graph which has a bigger density of inner community links than the density of between communities links [6].

Let us consider a set of M grids. By redirecting the pin fraction of links uniformly at random inside the grid and the p o t fraction of links between the grids, the extended Watts u and Strogats (EWS) model is created. There are exactly M communities in the model, the communities disappear with po t increasing. The small-world property of the model u disappears with p ou or p in increasing.

t To simulate other social network properties, it is useful to create EWS graph in reverse order, starting with random graph GR. Inversed to randomization, operation I (M ) on graph Gr starts with nodes labeling by M different community labels. With probability 1 - pin- po t each link is redirected to be a part of greed pattern inside a community. With u probability p in a link is redirected to by an inner community random link and with probability po t to be intercommunity random link. The result of I(M )O r is a EWS graph.

u The I (M ) operation preserves graph size, so it is defined by GR size.

In social networks there exists a hierarchy of communities such that each community consists of sub communities; a sub community has its sub communities, and so on till some level h. To generate a structured graph, lets introduce community collapsing operator C.

Graph C•G is obtained from G by communities collapsing to a single node. If a graph G consists of M communities, graph C•G has M nodes linked by the between community links of G (duplicated links in C G graph are redirected by following I -operation). Collapsed graph may be restored to previous form by C-1 operator. For this purpose the inner structure of communities is preserved for each node of collapsed graph, and, between-communities links are assigned to the restored community nodes randomly.

Let {M1,M2,..Mh} be a set integers equal to number of community on each level of hierarchy. To generate a small-world network with desired community hierarchy GHC it is

enough to do:

\C I(M 2)\.. \OI(M„)]-Or. (1) G hc= C -‘ +1 •I(Mi) An obtained graph is self-similar if Mk+1=wMk where u1 is the average branching, number in a hierarchal tree.

An algorithm for generating synthetic network with close to real social network properties was developed and tested. It may be used for farther researches both as a base for practical algorithms benchmarks and as a model for social processes simulations. The models proposed in this paper have significant advantage in comparison to previous [6, 7], because these are small-world networks with community structure The main disadvantages of the model are an absence of a power law distribution (PLD) of nodes degree and not exact simulation of the community size distribution. PLD may be simulated by redirecting random part of links with probability proportional to the degree of nodes (in contrast to absolutely random in the paper). It was shown [5] that this is enough to achieve a PLD. A variety of community sizes may be easily achieved by labeling the required number of nodes as community member. But these additions will increase the model's complexity and number of model parameters, which is better to avoid. In the proposed model there are only few parameters: network size, p ou p in and number of t, communities on each level of hierarchy.

References

1. Freeman L. The Development of Social Network Analysis / L. Freeman / Vancouver:

Empirical Pres, 2006. - 117 c.

2. Girvan M. Community structure in social and biological networks / M. Girvan, M.E.J. Newman // Proc. Natl. Acad. Sci. USA 99. - 2002. - P. 7821-7826.

3. Newman M.E.J. The structure and function of complex networks / M.E.J. Newman, SIAM Review 45. - 2003. - P. 167-256.

4. Song C. Self similarity of complex networks / C. Song, S. Havlin, H. Makse // Nature, 433. - 2005. - P. 392-395.

5. Barabasi A.L. Emergence of scaling in random networks / A.L. Barabasi, R. Albert // Science, 286. - 1999. - P. 509-512.

6. Newman M.E.J. Finding and evaluating community structure in networks / M.E.J. Newman, M. Girvan // Phys. Rev. E 69. № 026113. - 2004.

7. Lancichinetti A. Benchmark graphs for testing community detection algorithms / A. Lancichinetti, S. Fortunato, F. Radicchi // Phys. Rev. E 78. - №046110. - 2008.

8. Lancichinetti A. Detecting the overlapping and hierarchical community structure in complex networks / A. Lancichinetti, S. Fortunato, J. Kertesz. // New Journal of Physics 11. - №033015. - 2009.

9. Watts D.J. Collective dynamics of ‘small-world’ networks / D.J. Watts, S.H. Strogatz // Nature 393. - 1998. - P. 440-442.

10. Palla G. Uncovering the overlapping community structure of complex networks in nature and society /G. Palla, I. Derenyi, I. Farkas, T. Vicsek // Nature 435. - 2005. - P. 814.

–  –  –

THE METHOD OF IRREDUCIBLE GREEN FUNCTIONS IN THE THEORY OF

STRONGLY CORRELATED AND HYBRIDIZED ELECTRON SYSTEMS

The Irreducible Green Function (IGF) is defined such a way that it cannot be reduced to the lower-order ones by any kind of decoupling [1]. The general philosophy behind this definition is in separation and identification of elastic and inelastic scattering effects. The later ones are quite often underestimated, and both effects are mixed. However, as far as the right definition of quasi-particle damping is concerned, the separation of elastic and inelastic scattering processes is crucially important for many-body systems with complicated spectra and strong interaction. The specific method of introducing IGFs depends upon the form of the operators in the Green Function, type of the Hamiltonian and applied truncations.

To clarify the above-mentioned definition of IGF, let’s consider the retarded Green

Function in the form introduced by Zubarev [2]:

G (A,B ) =A ( t );B ( t ')=- iO (t- 1') [A ( t );B ( t ')] (1)

–  –  –

The IGF approach is especially suitable for the consideration of the systems were strong interactions can renormalize the energy spectrum and at the same time introduce the scattering effects. From a technical point of view the elastic renormalizations can exhibit a quite non-trivial structure. To obtain this structure correctly, one must construct the full IGF from the complete algebra of the relevant operators and develop a special procedure for higher-order IGF in accordance with a given algebra.

In the present work we apply the IGF method to the investigation of two-band

periodic Anderson model (PAM):

–  –  –

that describes two subsystems: non-interacting conducting d-electrons and strongly localized /-electrons [3]. The last term in the Hamiltonian presents the particle interchange (hybridization) between the subsystems. It should also be noted that substantial investigator’s attention initially was concentrated at the regime of symmetrical half-filled PAM, where the /-electron level is fixed at the negative half-value of the on-site electronic interaction (U ) and the average numbers of conduction and localized electrons per site are equal to one. Such an arrangement is especially attractive for studies due to its particle-hole symmetry that leads to zero chemical potential and temperature independent band filling, substantially reducing the complexity of the numerical calculations. In some other publications the non-half-filled PAM was considered in the approximations U ^ 0 or U ^ «, that neglect or oversimplify the influence of the electronic interaction.

In the some previous publications [4,5] as well as in the present work we performed a systematic analysis of the evolution of the energy spectrum and thermodynamic properties with the change of band-filling for the regular or modified PAM with finite electron interaction and self-adjusting electron redistribution over d- and /-states. Based on the advanced approximation that takes into account inter-orbital resonance broadening and band shifting corrections we have shown that the applied approach leads to improved, compared to Hubbard I approximation, high-energy behavior of the solution and appearance of four spectral density moments and four- or five-subbands in the density of states. With the strengthening of the onsite interelectron interaction, the two upper /-like subbands are shifting into high-energy region, while with the /-band width increase, the energy spectrum converges from four or five subbands into three- or one-band DOS. The variation of bandfilling leads to the redistribution o f the w eights betw een subbands in the sym m etrical case, w hile for the asym m etrical m odel it can provoke the change in spectrum structure betw een four- and five-subbands. The three peaks observed in the experim ental data for the specific h eat w ere show n to be connected to the m axim um s o f the tem perature derivatives o f the interaction, kinetic and m ixing term s o f the H am iltonian and to the charge and spin fluctuations. It w as found that interm ediate m axim um form ed b y m ixing term can drift and overlap w ith low - or high-tem perature peaks as hybridization strength and/or other m odel param eters change. The finding explains the controversy existing in publications about the association o f K ondo tem perature and singlet form ation w ith various peaks in specific heat.

R eferences

1. K uzem sky A.L. Rivista del N uovo Cimento / A.L. Kuzemsky. 2002. - V.25. - №«1. - P. 1-99.

2. Z ubarev D.N. Usp. Fiz. / D.N. Zubarev. - N auk 1960. - V.71. - P. 71.

3. Luo H.-G. W ang Specific heat o f the periodic A n derson m odel at finite U / H.-G. Luo, S.-J. W ang // Phys. Rev. - 2000. - B 62. - P. 1485.

4. B ernhard B.H., A guiar C., K ogoutiouk I., C oqblin B. // J. M agn. and M agn. M at., V. 310. - 2007. - P. e76-e78.

5. K ogoutiouk I. The investigation o f the band-filling and pressure effects in the tw o -b an d periodic A nderson m odel / I. K ogoutiouk, H. Terletska // P hysica B, 378-380. - 2006. P. 696-697.

<

–  –  –

O bservations suggest that there are strongly separated scales both in tim e and space in the solar atm osphere. Loops at different tem peratures exist in the sam e general reg io n and m ay be c o -lo c ate d to w ithin their m easured diam eters. The large line shifts, or high velocities (50, 100 km /s, or even 200, 300km /s), are m ost com m on at transition reg io n tem peratures T 5 105K, and seldom appear at 1 M K. C ool loops in active regions show tem poral variability. C haracteristic tim es for the changes m ay vary. Flow s are found w ith in loops. The tim e variable em ission over a full range in tem peratures in a volum e filled w ith transient loops points to a close connection betw een regions o f various T structures, at least in the range 104K, 5 105K. R ecently developed th eo ry [1]: the form ation and heating o f coronal structures m ay be sim ultaneous and directed flow s m ay be the carriers o f energy - in addition to the m agnetic field, the plasm a flow s are also accorded a place o f honor. B oth o f these fields have origins in the sub-atm ospheric reg io n and w ill jo in tly participate in the creation o f a rich variety o f coronal structures. M agneto-fluid equations

–  –  –

where v / n / T - is the fluid velocity / density / temperature, b = eB / mic, m is the proton mass, r radial distance is normalized to R0 - solar radius, v - a viscosity coefficient (taken to be local), in the code modified local Bremsstrahlung Radiation accounts for ER and EH = 0 and a is the normalized collisionless skin-depth.

For approximated numerical solutions the finite-difference (or grid) method was used. The equal-step spatial grid is introduced and the terms of the equations are approximated by flux transport method; the central-difference-analogs are used such that approximation errors are quadratic. Difference-scheme is explicit, i.e. for each time­ moment the equation parameter is calculated for previous time-moment at grid points with given discrete values. The explicit scheme is of two-stage by time and the calculation is performed according to well-known Lax-Wendroff scheme which assumes the use of parameter-values found at half-step by time (tk+1/2 = tk+ t/ 2 ) for the calculation of fullstep (by time) (tk+1= tk+ t) corresponding values. E.g. for 2-dimensional spatial grid the

following pattern was used:

–  –  –

Picture 2 C onclusions from num erical experim ents: P rim ary plasm a flow s are capable o f therm alizing during interaction w ith p rim ary m agnetic fields (that are curved) to form the hot coronal structure. Tw o distinct eras are distinguishable in the life o f a h o t closed structure - a fast era o f the form ation (plus p rim ary heating), and a relatively calm era in w hich the hot structure persists in a state o f quasi-equilibrium. Param eters o f the ho t closed structure (in quasi-equilibrium ) are fully determ ined b y the characteristics o f the p rim ary flow and the am bient m agnetic fields; the greater the p rim ary flow initial velocity and initial m agnetic field B 0, the hotter is the coronal base. For the sam e prim ary flow s the m axim um heating is achieved at som e height independent o f B 0 (in agreem ent w ith observations). The greater the resistivity, the shorter is the life-tim e o f the quasi-equilibrium structure. The form ation tim e o f the hot closed structure is strictly dependent o n the m agnitudes o f p rim ary flow and prim ary m agnetic field, as w ell as their initial tim e dependence (life-tim e).

R eferences

1. M ahajan S.M. Form ation and prim ary heating o f the solar coronal structures / S.M. M ahajan, R. M iklaszevski, K.I. N ik o l’skaya, N.L. Shatashvili / Phys. Plasm as. P. 1340.

<

–  –  –

ПОХИБКА ВИМІРЮВАНЬ ПРИ ДОСЛІДЖЕННІ ЯКОСТІ ТОВАРІВ

О сновою всього природознавства є спостереж ення і експеримент.

С постереж ення дозволяє отрим ати п ерви н ну інф орм ацію по дослідж уваном у о б ’єкту або явищ а. Е ксперим ент м етод вивчення об'єкта, коли дослідник активно і цілеспрям овано впливає на нього ш ляхом створення ш тучних ум ов або використовує природні умови, н еобхідні для виявлення відповідних властивостей.

Д остоїнствам и експерим енту порівняно зі спостереж енням реального яви щ а або о б ’єкта є:

1. М ож ливість вивчення в «чистом у вигляді», без впливу побічних ф акторів, затем ню ю чих основний процес;

2. В експерим ентальних ум овах м ож н а отрим ати результат ш видш е і точно;

3. П ри експерим енті м ож н а п роводити випробування стільки разів, скільки це необхідно.

Результат експ ерим ен ту або вим ірю вання завж ди м істить д еяку погріш ність.

Я кщ о похибка мала, то нею м ож на знехтувати. О д н ак при ц ьом у нем инуче виникаю ть два питання: по-перш е, щ о розум іти під м алою похибкою, і, по-друге, я к оц ін ити величину похибки. Тобто, і результати експ ерим ен ту потребую ть певного теоретичном у осмисленні.

М етою будь-якого експ ерим ен ту є визначення якісн ої та кількісн ої зв 'язку м іж д ослідж уван им и парам етрам и, або оцінка чисельного значення якого-небудь параметра.

В деяких ви падках вид залеж н ості між зм інним и вели чин ам и відом ий за результатам и теоретичн их дослідж ень. Я к правило, ф орм ули, які вираж аю ть ці залеж ності, м істять деякі постійні, значення яких і необхідно ви значити з досвіду.

Інш им типом завдання є визначення невідом ої ф ункціонального з в ’язку м іж зм інним и величинам и на основі даних експерим енту. Такі залеж н ості називаю ть емпіричними. О днозначно ви значити н евідом у ф ункціональну залеж ність між зм інним и нем ож ливо навіть в том у випадку, якщ о б результати експерим енту не м али помилок. Тим більш е не варто цього очікувати, м аю чи результати експерим енту, щ о м істять різн і пом и лки вимірю вання. Т ом у слід чітко розуміти, щ о метою м атем атичної обробки результатів експ ерим ен ту є не знаходж ення істинного характеру залеж ності м іж зм ін н им и або аб солю тної величини константи, а представлення результатів спостереж ень в вигляді н айбільш простої ф орм ули з оцінкою м ож ли вої п охибки її використання.

Під вим ірю ванням розум ію ть порівняння вим ірю ваної вели чин и з інш ою величиною, прийнятої за одиницю виміру.

Розрізняю ть два ти п и вим ірю вань: прям і і непрямі. П ри п рям ом у ви м ірі вим ірю вана величина порівню ється безпосередньо зі своєю одиницею заходи.

Н априклад, вим ірю вання м ікром етром лінійного розм іру, пром іж ку ч асу за допом огою годинникових м еханізм ів, тем п ератури терм ом етром, сили стр у м у ам перм етром і т.п. Значення вим ірю ваної в ели ч и н и відраховується при ц ьом у за відповідною ш калою приладу.

П ри неп рям ом у вим ірі вим ірю вана величина визначається (обчислю ється) за результатам и вим ірю вань інш их величин, які п о в ’язані з вим ірю ваною величиною п евн ої ф ункціональної залеж ністю. Н априклад, вим ірю вання ш видкості з пройденого ш ляху і ви траченом у часу, вим ірю вання щ ільності тіла з вим ірю вання м аси і о б ’єму, тем ператури при різанні по електроруш ійн ої сили, величини сили по пруж ним деф орм аціям і т.п.

П ри ви м ірю ван ні будь-якої ф ізичної величини проводять п еревірку і устан овку відповідного приладу, спостереж ення їх показань і відлік. П ри ц ьо м у н іколи істинного зн аченн я ви м ірю ван ої величини не отримати. Ц е поясню ється тим, щ о вимірю вальні засоби засновані н а п евн о м у м етоді вимірю вання, точність якого кінцева. П ри ви готовлен н і п риладу задається клас точності. Й ого похибка визначається точністю поділок ш кали приладу.

Крім п риладової п охибки на результат вим ірю вання впливає щ е ряд об'єктивних і с у б ’єктивних причин, як і обум овлю ю ть появу пом и лки ви м ірю ван ня різниці м іж результатом вим ірю вання та істинним значенням вим ірю ваної величини.

П ом илка ви м іру зазвичай невідом а, я к невідом о й істинне значення ви м ірю ван ої величини. В иняток становлять вим ірю вання відом их вели чин при визначенні точн ості вим ірю вальних приладів або їх тарування. Т ом у однією з найваж ливіш их задач м атем атичної обробки результатів експерим енту і є оцінка істинного значення вим ірю ваної величини за дани м и експ ерим ен ту з м ож ливо м енш ою помилкою.

Крім приладової п охибки вим ірю вання (визначається м етодом вим ірю вання) існую ть і інші, які м ож н а розділити на три типи:

1. С истем атичні п охибки обум овлю ю ться постійно д ію чи м и факторами.

Н априклад, вплив нагрівання тіл на їх подовж ення, знос різального леза і т.п.

С истем атичні пом и лки виявляю ть при відп овідній тарування приладів і том у вон и м ож уть бути враховані при обробці результатів вимірю вань.

2. В ипадкові пом илки м істять у своїй основі багато різн и х причин, кож на з яких не п роявляє себе чітко. В ип адкову п ом и лку м ож на р о згл яд ати як сум арний еф ект дії багатьох факторів. Т ом у випадкові пом и лки при багаторазових вим ірах виходять різн им и як за величиною, так і по знаку. Їх нем ож ливо врахувати як систематичні, але м ож на врахувати їх вплив на оц ін ку істинного значення вим ірю ваної величини. А наліз випадкових п ом и лок є найваж ливіш им розділом м атем атичної обробки експерим ентальних даних.

3. Грубі пом илки (промахи) з ’являю ться внаслідок неправильного відліку по ш калі, н еп равильн ої записи, н евірної устан овки ум ов експерим енту і т.п. В они легко виявляю ться при п овторном у проведенні дослідів.

–  –  –

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ АНАЛІЗУ

ТА ОЦІНКА ЇХ ЯКОСТІ Н а кож н ом у з етапів кількісного аналізу м ож уть бути доп ущ ені і, я к правило, допускаю ться похибки, тому, чим м енш е число етапів м ає аналіз, тим точніш е його результати. П охибкою вим ірю вання називаю ть відхилення результату вим ірю вань хі від істинного значення вим ірю ваної величини. П охибки результатів кількісного аналізу поділяю ть на грубі (промахи), систем атичні і випадкові. Н а їх основі проводять оцінку якості отрим аних результатів аналізу. П арам етрам и якості є їх правильність, точність, відтворю ваність і надійність. Результат аналізу вваж ається правильним, якщ о у нього н ем ає грубої і систем атичної похибки, а якщ о, крім того, випадкова п охибка зведена до мінімум у, то точним, відп овідни м істинного. Д ля отримання точних результатів вимірювання кількісні визначення повторюють кілька разів (зазвичай непарне).

Грубими похибками (промахами) називаються ті, які призводять до різкого відмінності результату повторного вимірювання від інших. Причинами промахів є грубі оперативні помилки аналітика (наприклад, втрата частини осаду при його фільтруванні або зважуванні, неправильне обчислення або запис результату).

Промахи виявляють серед серії результатів повторних вимірювань, як правило, за допомогою Q -критерію. Для його розрахунку результати вибудовують в ряд по зростанню: х, х2, х3,...хи І5хи. Сумнівним зазвичай є перший або останній результат в _ цьому ряду.

Q -критерій обчислюють як відношення узятої за абсолютною величиною різниці сумнівного результату і найближчого до нього в ряду до різниці останнього і першого в ряду. Різниця хи— називають розмахом варіювання.

х1 Випадкові похибки - це ті, які ведуть до незначних відхилень результатів повторних вимірювань від істинного значення з причин, виникнення яких з'ясувати і врахувати неможливо (наприклад коливання напруги в електромережі, настрій аналітика і т.п.). Випадкові похибки викликають розкид результатів повторних визначень, проведених в ідентичних умовах. Розкид визначає відтворюваність результатів, тобто отримання однакових або близьких результатів при повторних визначеннях. Кількісною характеристикою відтворюваності є стандартне відхилення Б, яке знаходять методами математичної статистики. Для невеликого числа вимірів (малої вибірки) при п = 1 —. 10 Виборною називають сукупність результатів повторних вимірювань. Самі результати називають варіантами вибірки. Сукупність результатів нескінченно великого числа вимірювань (у титруванні п = 30) називають генеральною вибіркою.

Стандартне відхилення Б показує, на яку в середньому величину відхиляються результати п вимірювань від середнього результату х або істинного.

Квадрат величини стандартного відхилення Б2 називають дисперсією результатів вимірювання. Вона показує середньоквадратичне відхилення результатів повторних вимірювань від середнього х або істинного значення.

У відсотках відтворюваність оцінюють по величині відносного стандартного відхилення: зазвичай вважають при Б = 1...5% відтворюваність результатів вимірювання доброю, при Б = 5...10% - задовільною, при Б = 10...15% - поганий, хоча ця шкала відтворюваності умовна і залежить від методу аналізу.

Відповідно до теорії похибок (помилок) відома величина Б дозволяє стверджувати, що в 68 випадках з 100 випадкова похибка 1Б, в 95 з 100 2 Б, а в 99 з 100 3Б. Відношення числа випадків, в яких відбувається деяка подія, до загальної кількості розглянутих випадків називається довірчою ймовірністю (статистичної надійністю) Р. Для вищевказаного Р становить: 0,68 (68%), 0,95 (95%), 0,99 (99%).

Зазвичай при оцінці експериментальних даних приймають Р = 95%. Користуючись знайденим значенням Б як критерієм, можна виявити промахи (коли Q -критерій близький до Q табл.) за умови, а також оцінити надійність отриманого одиничного або середнього результату аналізу. Під її оцінкою розуміють знаходження довірчих меж результату аналізу, тобто меж інтервалу значень навколо одиничного або середнього результату, усередині якого з заданою при розрахунках довірчою ймовірністю можна очікувати знаходження істинного значення результату. Інтервал, обмежений цими кордонами називається довірчим, де коефіцієнт розподілу Стьюдента, табульований при заданому Р і ступеня свободи К = п — Таблиця зі 1.

значенням ц, р наводиться в аналітичних довідниках. Дані цієї таблиці свідчать про те, що чим менше п і більше Р, тим більше Ц, р, а, отже, ширше довірчий інтервал і менше надійність результату аналізу. Величина Ік, р особливо різко падає при збільшенні п до п'яти паралельних вимірювань. Подальше збільшення п веде до менш інтенсивного зменшення ц, р і звуження довірчого інтервалу. Наприклад, при Р = 95% і двох, п’яти і десяти паралельних вимірах коефіцієнт Стьюдента відповідно дорівнює 12,71; 2,78; 2,26, а довірчий інтервал х^. складає 9Б,2,5Б,1,6Б. Тому для отримання надійних результатів необхідно робити не менше п’яти повторних вимірів.

При поданні (записи) кінцевого результату аналізу довірчий інтервал показують двома числами х^, р, вказуючи обов'язково п і Р, при яких він обчислений.

–  –  –

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОГЛОЩЕНИЯ СВЕТА В ДВУМЕРНО­

ПЕРИОДИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ КУБИЧЕСКОЙ СИММЕТРИИ

В [1,2] исследована структура внутрикристаллического поля в полубесконечных кристаллах с равновесными гранями. Показано, что наличие поверхности неизбежно приводит не только к появлению поверхностных волн, но и к изменению законов дисперсии «объемных» светоэкситонов. Следует ожидать, что полученные методом действующего поля диэлектрические проницаемости монокристаллов и постоянные поглощения для кристаллов с «резкой» границей должны отличаться для образцов с различными поверхностными гранями и конечно от таковых для бесконечных кристаллов. Цель работы - получить в микротеории постоянные поглощения для двумерно -периодических кристаллов кубической симметрии (с равновесными гранями на поверхности), в которые входит тензор поля П, зависящий от структуры поверхности кристалла.

В методе действующего поля, обобщенного на двумерно -периодические кристаллы, рассчитаем средние дипольные моменты отдельных структурных элементов (СЭ) кристалла на их волновых функциях, определенных в [3] и в результате получим:

(1)

–  –  –

ОЦІНКА ВПЛИВУ ВИКИДУ ШКІДЛИВИХ РЕЧОВИН В АТМОСФЕРУ НА

КІЛЬКІСТЬ ХВОРИХ ОНКОЛОГІЧНИМИ ЗАХВОРЮВАННЯМИ В

ДОНЕЦЬКІЙ ОБЛАСТІ О дним з головних підходів до інновацій в охороні зд о р о в ’я є м едична економетрія. М едико-економ ічний аналіз забезпечує правильне розум іння існую чих проблем, п оставлених цілей та варіантів їх досягнення.

М ета дослідж ення полягає у виявленні залеж ності м іж ви ки дам и ш кідливих речовин в атм осф еру і кількістю хворих на р ак в Д онецькій області.

О б ’єктом м едичної економ етрії є систем а економ ічних і соціальних відносин, п о в ’язаних з м едичним обслуговуванням населення. Її предм ет - аналіз економ ічних аспектів зазначених відносин, у то м у ч и сл і ф акторів, щ о впливаю ть на здоров'я.

М едична економ етрія передбачає ш ироке використання соціально-економ ічних показників ц ін ності підв и щ ення якості та тривалості ж иття. Д ля забезпечення повноти та надій н ості розрахунків з одного боку допускається використання гіпотетичних припущ ень та інтуїтивного розум іння. В той ж е час до точн ості багатьох оцінок пред’являють підвищені вимоги у зв’язку з необхідністю охорони здоров’я.

Отже, розглянувши динаміку онкологічних захворювань в Донецькій області за період 1991-2010 рр., можна зазначити що кількість хворих з кожним роком невпинно зростала. Так у 1991 р. хворих було 1376, а вже в 2010 р. - 2277.

Одним з основних і чільних факторів, що впливають на підвищення рівня онкологічних захворювань даного регіону, є промислові викиди шкідливих речовин в атмосферу. У зв’язку з розвитком промисловості збільшується викид відходів підприємств в повітря, ґрунт і воду.

Була проведена оцінка динаміки обсягів викидів за двадцятирічний період в районах Донецької області, вивчена динаміка основних показників захворюваності та смертності населення за досліджуваний період, виявлена можлива залежність стану здоров'я населення від несприятливих екологічних факторів. Були вивчені обсяги викидів, в атмосферу із стаціонарних джерел, обсяги викидів пересувними джерелами та викиди діоксиду вуглецю за період з 1991 по 2010 р. З отриманих даних ми бачимо, що обсяги викидів забруднюючих речовин з кожним роком знижувалися.

Згідно мети нашого дослідження зробимо кореляційно -регресійний аналіз даних. Наступним кроком буде розрахування параметрів рівняння лінійної регресії у = а + Ьх, і оцінка параметрів за методом найменших квадратів. Наша економетрична модель має вид: у = 2828,04 — 0,556х.

Оцінивши нашу модель ми можемо зробити висновок, що є тіснота зв’язку явищ, які ми досліджуємо, результативний чинник на 50% пояснюється фактором о, у середньому значення відхиляються від фактичних на 9,17%, при збільшенні викидів забруднюючих речовин в атмосферу на 1% кількість хворих збільшується на 0,63%.

Зробивши оцінку якості моделі у цілому ми стверджуємо, що наша модель придатна для прогнозів та є статистично значимою, тому що Рфакт.

Стаття не повністю відображає проблему яку ми досліджуємо, тому що даний фактор тобто викиди забруднюючих речовин і діоксиду вуглецю в атмосферне повітря пояснюють кількість хворих на онкологічні захворювання не в повній мірі, тому треба врахувати інші фактори такі як:

1. Спадкова схильність до хвороби;

2. Сонячна радіація та іонізуюче випромінювання;

3. Мутація вірусних інфекцій та захворювань.

До цих факторів також слід додати те, що з кожним роком рівень розвитку промисловості зростає. Але слід зазначити, що багато підприємств шукають шляхи по зменшенню кількості викидів шкідливих речовин.

Література

1. Тихомиров Н.П. Эконометрика: учебник / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. - 2-е изд., стереотип. - М.: Экзамен, 2007. - 512 с.

2. Офіційний сайт центру медичної статистики Міністерства охорони здоров’я України. Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://medstat.gov.ua/ukr/main.html

3. Офіційний сайт головного управління статистики у Донецькій області. Електронний ресурс]. - Режим доступу: http://www.donetskstat.gov.ua/

–  –  –

О РАЗВИТИИ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ГЕОЭКОЛОГИИ

П ри реш ени и ряда практи чески важ ны х п роблем п рогноза и сниж ения ри ска возникновения аном альны х экзоген н ы х и эн доген ны х процессов встает необходим ость исследования и реш ения простран ствен н ы х задач м ехани ки деф орм ированного твердого тела для сред различной реологии. К онтактная задача о и и 1 и 1 и и взаим одействии м атериала слож ной реологии с деф орм ируем ой рельеф н ой основой слож ной геом етрии возникает при м оделирован ии оползней, грязевого вулканизма, боковой и дон ной эрозии, процессов, связанны х с п рогн озом сейсм ичности в предгорны х и прибреж ны х районах. С лож ность прогнозирования этих явлени й связана с больш им ком плексом ф изических, м еханических, реологически х ф акторов, тесно переплетаю щ ихся с геом етрическим и парам етрам и лан дш аф тов территории.

Д ля м оделирования указан н ы х явлени й м огут бы ть поставлен ы и р еш ен ы контактны е задачи п ри разны х услови ях взаим одействия в зоне контакта. О писанная система рассматривается как блочная структура механики деформируемого твердого тела.

У казанная структура м ож ет бы ть услож нена введением внутренних неоднородностей (трещ ины, вклю чения, пустоты ). Е сли принять, что в пределах каж дого элем ента структуры ф изико-м еханические свойства не м еняю тся, для реш ения контактной задачи м огут п рим еняться диф ф еренциальны й и интегральны й м етоды ф акторизации. С их помощ ью оказы вается возм ож ны м сф орм ировать и свести к интегральны м уравнениям контактны е задачи для контактирую щ их деф орм ируем ы х тел практически лю бой конф игурации и свойств.

Д ля такой структуры построены общ ие п редставления реш ений, вы веден ы интегральны е уравнения, осущ ествлена их регуляризация, устан овлен ы способы их дискретизации. Н аличие представления общ их реш ени й п озволяет анализировать в аналитическом виде качественное поведение различны х полей в блоках системы.

Также разви т один из приближ енны х м етодов реш ени я интегральны х уравнений, позволяю щ и й строить пригодны е для инж енерной п рактики реш ения некоторы х трехм ерны х краевы х задач.

С ледует отметить, что теория блочны х структур и диф ф еренциальны й м етод ф акторизации успеш но прим еняю тся для сред, обладаю щ их постоянны м и свойствами. Расш ирить возм ож ности их п рим енения для сред с п ерем енны м и и нелинейны м и свойствам и удалось введением блочного элем ента и созданием на его основе м етода блочного элемента. Г лавная особенность м етода блочного элем ента состоит в точном удовлетворен ии ди ф ф еренциальном у уравнению и на этой основе правильном представлении волнового процесса, что не доступно другим методам, как численны м (м етод конечного элем ента, м етод граничного элемента), так и разработанны м в ди ф ф ерен ц иальн ом у и интегральном у м етодам ф акторизации.

Блочны й элем ент им еет носитель, вне которого он р авен нулю, носителем м ож ет являться лю бая область - ограниченная, п олуограниченная или неограниченная, с границами, уход ящ им и в бесконечность. Н осителям и блочного элем ента м огут бы ть как вы пуклы е области, так и м ногосвязны е. Блочны е элем енты строятся по определенном у алгоритм у однотипно для систем диф ф еренциальны х уравнен ий в частн ы х производны х лю бого конечного порядка. О ни и м ею т представление в форме интеграла по границе области носителя. Д иф ф еренциальны е уравнения соответствую щ их краевы х задач м огут им еть лю бой п оряд ок производны х, и не привязаны к наличию у н их ф ункционалов - интегралов энергии.

Блочны й элем ент, порож денны й блочной структурой, вводится сеткой, разбиваю щ ей область задания краевой задачи на блоки, настолько плотной, чтобы в и нтересую щ ей зоне этой области коэф ф ициенты диф ф еренциального уравнения м ож но было считать постоянны м и. В нутри каж дого блока диф ф еренциальны м м етодом ф акторизации получается интегральное п редставление реш ения блочного элемента.

В процессе построения контактны х задач для блочно структурированны х материалов такж е бы л дан анализ свойств систем псевдо-ди ф ф ерен ц иальн ы х и интегральны х уравнений. В частности, было вы явлено, что главны е операторы псевдо-диф ф еренциальны х уравнен ий совпадаю т с соответствую щ им и операторам и граничны х задач для полупространства. Это обстоятельство значительно облегчает как исследование и сведение псевдо-ди ф ф ерен ц иальн ы х уравн ен и й к интегральны м уравнениям и их системам, так и прим енение больш ого ар сен ал а м етодов их изучения.

Л итература

1. Бабеш ко В.А. О п рилож ен иях теории блочны х структур в науках о Земле, сейсм ологии, строительстве, м атериаловедении / В.А. Бабеш ко, О.В. Е вдоким ова, О.М. Бабешко, М.В. Зарецкая, А.В. Павлова, А.С. Мухин, В.В. Лозовой, А.Г. Федоренко // Э кологический вестн и к научн ы х центров Ч ЭС, 2008. - № 4. - ^ 27-34.

2. Бабеш ко В.А. Д и ф ф ерен ц иальн ы й м етод ф акторизации для блочной структуры / В.А. Бабеш ко, О.В. Е вдоким ова, О.М. Бабеш ко, М.В. Зарецкая, А.В. П авлова // ДАН. - 2009. - Т.424. - № 1. - С 36-39.

3. Е вдоким ова О.В. О п олуограниченны х блочны х элем ентах / О.В. Е вдоким ова, М.В. Зарецкая, А.В. Павлова, О.М. Бабешко, В.В. Лозовой, В.А. Бабешко, А.Г. Федоренко // Э кологический вестн и к научн ы х центров Ч ЭС. - 2009. - № 4. - С 14-19.

–  –  –

КАРТОГРАФІЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОЛОГІЧНОМУ УПРАВЛІННІ

В останній час актуальність геологічного вивчення міських територій обумовлена інтенсифікацією будівництва, коригуванням регламентую чої містобудівельної докум ентації у відп овідності до сучасних екологічних вимог, необхідністю оцінки р и зику п рояву н ебезпечних п риродних та п риродно-техногенних яви щ або процесів.

О цінка зм ін гідрогеологічного середовищ а є принципово важ ливою, оскільки економ ічний зби ток від небезпечних процесів, ви кли кани х цією зміною, величезний.

О цінка існую чої природн о-техн оген ної ситуац ії та прогноз зм ін и гідрогеологічних ум ов практично н ем ож ливий без детальн ої гідрогеологічної ви вчен ості території.

Н айбільш достовірно оцінити стан п ідзем них водних ресурсів м ож ливо на основі чисельних постійно дію чих м атем атичних детерм інован их геоф ільтраційних моделей. С творення м атем атичн и х м оделей небезпечних о б ’єктів та п рилягаю чих територій дозволяє з одного боку врахувати всі природно -техногенні ф актори, щ о мають вплив на об’єкт, а з іншого боку оцінити вплив о б ’єкта на прилягаю чу територію.

О трим анні в наслідок м оделю вання результати не завж ди наочно відображ аю ть існую чу гідрогеологічної обстан овку (іноді катастроф ічну).

Розвиток кількісних м етодів у науках про Землю дуж е ш видко показав, щ о головне обм еж ення багатьох м атем атичних м оделей п о в ’язане з їх недостатньою просторовою диф еренційованістю. Б уд ь-яки й п оказн и к або рівняння, як і отрим ані для д еякої тери торії (ареалу, району), щ е не даю ть уявлення для зм ін и цього показника ч и рівняння від одного м ісця до інш ого в м еж ах д ан ої області або району. П роте саме в цьом у п олягає сутність просторового аналізу о б ’єкта. С лід не ли ш е отрим ати матем атичну м одель, а й навчитися її картограф ічно подавати, відображ аю чи зм ін и м атем атичних залеж н остей м іж о б 'єк та м и від одного м ісця до інш ого, п р и в 'язу ю ч и їх до елем ентарних (або характерних) одиниць територіального поділу.

У м атем атико-картограф ічн ом у м оделю ванні, поряд із конструю ванням порівняно простих м оделей (найпростіш им и є ізолін ії карти, картограми, картодіаграм и тощ о), часто застосовую ть більш складні, які потребую ть багатьох перетворень м атем атичн и х залеж ностей в картограф ічну ф орму т а навпаки.

М атематико-картографічне моделювання використовує властивості математичних та картографічних моделей в процесі аналізу-синтезу складної просторово-часової інформації. Картографічна компонента продовжує та розвиває математичну модель. Вона перетворює вихідну (початкову) інформацію у відповідності до мети та завдань дослідження. Картографічне подання математичних розрахунків дає змогу візуалізувати їх результати у вигляді, оптимальному для дослідження, позбавляє від помилок та прорахунків, дає уявлення про точність математичного моделювання та його географічну вірогідність. Сполучене використання картографічних та математичних моделей збагатило обидва ці види моделювання.

Д остатньо важ ливим ф актором, щ о значною мірою ви значає детальність дослідж ення і м етод р о зв ’язання даної проблеми, є уявленн я про призначення результатів аналізу. О цінка вихідних дани х - най важ ли віш ий етап аналітичного процесу. С аме в ц ей м ом ен т ви значається принципова м ож ли вість реалізації обраних методів аналізу і одерж аних результатів заявлен ої якості. Тип даних і парам етрів, доступних для п роведення дослідж ення, значною м ірою ви зн ач ає як досяж ну точність, так і специф іку м етоду, яки й буде використаний.

П ередкартограф ічне м оделю вання м ає бути більш глибоко впровадж ене в геоінф орм аційне м оделю вання, п ерш очерговим завданням якого є створення інф орм аційної бази для картограф ічного м оделю вання В икористання загальнонаукових принципів м оделю ван н я дозволило ввести карту до ш ирокого класу моделей, розш ирити, доп овни ти та скоригувати картограф ічні м етоди, співставляю чи їх із загальнонауковим и м етодам и моделю вання. У загальном у потоці м оделю ван н я набувається м ож ливість ф орм ування н ових його різновидів, сукупних з інш ими, наприклад, картограф ічном атем атичного на основі запозичення м етодології м атем атичного м оделю вання тощ о.

Ц ей вид м оделю вання дає зм о гу аналізувати та впорядковувати знання про властивості реальн и х о б 'єк тів дійсності, визначати н айсуттєвіш і власти вості з теоретичної точки зору, будувати картограф ічні моделі, які відтворю ю ть ці властивості, аналізувати та п орівню вати ідеальні м оделі з реальн и м и о б ’єктам и та явищ ам и, виділяти н орм альні та аном альні чинники, співставляю чи ідеальні карти з реальним и об'єктам и, створю вати та ро зви вати р ізн ом анітні теоретичн і побудови, уточн ю вати та вд оскон алю вати теоретико-картограф ічн у м одель ш ляхом послідовних наближ ень до м ети дослідж ення та о б ’єкта моделю вання.

Застосування картограф ічного м оделю вання в п рактиці екологічного м оніторингу та екологічного управління дає зм огу дійсно по н о вом у подивитись н а проблему, ком плексно її проаналізувати та зроби ти ви сококваліф іковані ви сн овки та прогнози, попередити н адзвичайні екологічні си туац ії антропогенного походж ення.

Л ітература

1. Б ерлян т А.М. И спользование карт в науках о Земле / А.М. Б ерлян т // И тоги н ауки и техники. Сер. К артограф ия. - М.: В И Н И Т И, 1986. - Т. 12. - 176 с.

2. Гош овськи й С.В. Е кологічна безпека техноприродних систем у з в ’язку з катастроф ічним розвитком геологічних процесів / С.В. Гош овський, Г.І. Рудько, Б.М. П реснер. - К.: Н ічлава, 2002. - 624 с.

3. К ачинський А.Б. С тійкість екосистем та п роблем а норм ування в екологічній безпеці У країн и / А.Б. К ачинський, О.Г. Н аконечний. - К.:Н ІД С, 1996. - 52 с.

–  –  –

МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ АЕРУВАННЯ ЖИРОВИХ МАС У

ПЛАСТИФІКАТОРІ ВВ-ПМЛ Н ам и розглянуто, яки м чин ом відбувається процес аерування у пластиф ікаторі В В -П М Л [1], а саме розбивання великої повітрян ої бульбаш ки, затян утої у ж и р о ву м асу ш неко-лопатевою міш алкою, на бульбаш ки м енш ого радіуса (рис. 1).

Н а перш ом у етапі нам и побудовано ф еном енологічну м одель п роцесу аерування ж и рової маси. Ж ир п отрапляє на виробництво у твердоподібн ом у стані, п ричом у його тем пература знаходиться у м еж ах від 5°С до 20°С.

=

–  –  –

Формула (4) представляє собою математичну модель процесу аерування у лопатевому змішувачі пластифікатора ВВ -ПМЛ, який визначається константою швидкості змішування к і граничною (рівноважною) дисперсією концентрації повітряної компоненти у жировій масі а Параметри математичної моделі к і г2 залежать від режиму роботи і р конструктивних особливостей змішувача і визначаються експериментально на етапі ідентифікації параметрів і перевірки адекватності математичної моделі. Для ідентифікації і перевірки математичної моделі (4) було поставлено серію паралельних дослідів з перемішування жирових мас у двовалковому шнеко-лопатевому змішувачі пластифікатора ВВ-ПМЛ.

З отриманих даних можна зробити висновок, що найбільш інтенсивно відбувається процес аерування протягом перших двох хвилин, коли дисперсія концентрації повітряної компоненти зменшується на 75 - 80 % Протягом наступних.

двох хвилин розподілення повітряної компоненти відбувається менш інтенсивно і значення дисперсії зменшується на 10 - 20 % Починаючи з п’ятої хвилини.

ефективність аерування значно зменшується і становить 1,1 - 0,5 % для маргарину та починаючи з восьмої хвилини - 1,3 - 3,4 % для кондитерського жиру.

Література

1. Пат. №82011 МПК (2006) B01F 7/02 A21C 1/00 A23P 1/10 A23G 1/10.

Пластифікатор / В.І. Литвин. [та інш.]; заявник і власник ТОВ «Фірма ВІ-ВАЛТД».- № а 2006 10227; заявл. 25.09.06; опубл. 25.02.08, Бюл. №2.- 6 с.

–  –  –

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАВНОКАНАЛЬНОЙ

МНОГОУГЛОВОЙ ЭКСТРУЗИИ КРИСТАЛЛИЗУЮЩИХСЯ ПОЛИМЕРОВ



Pages:   || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 7 |
Похожие работы:

«Презентация проекта автомобиля-вездехода с квантовым дивгателем (КвД) Применение новых космических технологий в автомобильном транспорте F Рис 1. Вездеход с толкающим квантовым двигателем (КвД) без трансмиссии и привода на колеса 1 – толкающий квантовый двигатель...»

«Загороднюк Роман Александрович КОГЕРЕНТНОЕ РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОНА В СОСТАВНЫХ СТРУКТУРАХ 01.04.07 – физика конденсированного состояния Диссертации на соискания ученой степени кандидата физико-математических наук Научный руководитель: доктор физико-математических наук Блажевич С.В. Белгород 2016 СОДЕРЖАНИ...»

«OPENGOST.RU www.OpenGost.ru Портал нормативных документов info@opengost.ru ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИИ И МОНИТОРИНГУ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ (РОСГИДРОМЕТ) РД РУКОВОДЯЩИЙ ДОКУМЕНТ 52.24.406-2006 МАССОВАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ СУЛЬФАТОВ В ВОДАХ. МЕТОДИ...»

«Мурадова Айтан Галандар кызы ПОЛУЧЕНИЕ НАНОЧАСТИЦ ОКСИДОВ ЖЕЛЕЗА C ЗАДАННЫМ РАЗМЕРОМ ДЛЯ ТЕРМОРЕГУЛИРУЮЩИХ ПОКРЫТИЙ И МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ 02.00.11 – Коллоидная химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной ст...»

«Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2016. № 1(12). C. 55-65. ISSN 2079-6641 DOI: 10.18454/2079-6641-2016-12-1-55-65 ФИЗИКА УДК 551.594 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПРОЯВЛЕНИЕ ГЕОАКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ ЛИТОСФЕРЫ В. И. Уваров, E. И. Малкин, Д. В....»

«Межрегиональная олимпиада школьников "Будущие исследователи – будущее науки" – 2017 г. Заочный тур. Пенза. Математика 7 класс 1. Найти значение выражения 0.2(5a 7b) 2.1(a 4b) + 2(3b 2a ) при a = 0.5, b = 0.5. 2( x 1) 2 2. Решит...»

«Фазовые превращения и прочность кристаллов Программа устных и стендовых докладов VI Международной конференции, посвященной памяти академика Г.В. Курдюмова Черноголовка, 2010 Научный Совет РАН по физике конденсированных сред Министерство образования и науки РФ Межгосударственный координационный сов...»

«НАУЧНОЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ИЗДАНИЕ "CETERIS PARIBUS" №3/2016 ISSN 2411-717Х 5. Виноградова М.Г., Виноградов А.Н. Космогония для начинающих. Germany. Palmarium Academic Publishing. 2015. 84 с.6. Сапрыкин Ф.Я., Кулачкова А.Ф. Геохимия и металлогения горючих ископаемых....»

«Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 1 (2013 6) 83-94 ~~~ УДК 665.7.032 : 662.613.128 Влияние минеральных веществ на реакционную способность бурого угля при паровой газификации в усло...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Владимирский государственный университет C.И. АБРАХИН А.В. ДУХАНОВ СИСТЕМНОЕ И ПРИКЛАДНОЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ Конспект лекций Владимир 2010 УДК 004.9...»

«S e MR ISSN 1813-3304 СИБИРСКИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИЗВЕСТИЯ Siberian Electronic Mathematical Reports http://semr.math.nsc.ru Том 4, Стр. 292–295 (2007) УДК 519.172.2 MSC 05С15 СОВЕРШЕННЫЕ 2-РАСКРАСКИ 12-МЕРНОГО КУБА, ДОСТИГАЮЩИЕ Г...»

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ВАРИАНТ 1 1. Зависимость издержек производства от объема q выпускаемой продукции 40 0,03. Определите средние и предельные задается формулой 15. издержки при объеме выпускаемой продукции  А) 44,5; 12,45, Б) 33,25;19,75, В) 26,1;32,56.2. Приведем данные о продажах фирмы...»

«Тренировочная работа по МАТЕМАТИКЕ 10 класс 11 февраля 2016 года Вариант МА00309 (профильный уровень) Выполнена: ФИО_ класс Инструкция по выполнению работы На выполнение работы по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут). Работа состоит из двух частей, включающих в себя 19 заданий. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровн...»

«We regre.t that ^ome of the pages in the microfiche copy of this report may not be up to the proper legibility standards,even though the best possible copy was used for preparing the master fiche ~-2 /о 3U^0COSTS' / ФЭИ-896 ФИЗИКО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ В...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева О. А. Федорова СУПРАМОЛЕКУЛЯРНАЯ ХИМИЯ Утверждено Редакционным советом университета в качестве уч...»

«ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ ИФВЭ ОЭФ 78-133 Ф.Бинон, К.Брикмаи, ШБ.Бушнин, М.Гуанэр, В.А.Давыдов, Д. Т. Джайянти, СВ.Донсков, Ж.Дюфурно, А.В.Инякин, ВЛ.Качанов, Д.Б.Какауридзе, А.В.Кулик, Ж.П.Ланье, А.А.Леднев, Ю.В.Михайлов, Ж.П.Пенье, Ю.Д. ПРОКОШКИН. Р.Роозен, С.А.Садовский, В"А.Сенько, Д.Сийо, М.Спигель, А.В.Старцев...»

«Perfection Varnish Лаки Высококачественный полиуретановый яхтенный лак.ОПИСАНИЕ ПРОДУКЦИИ Лак с предельно высокими характеристиками, сочетающий стойкость к химическому воздействию и износоус...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ОБЩАЯ ХИМИЯ Программа, методические указания и контрольные задания по общей химии ПЕНЗА 2011 Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Пензенский государственный у...»

«Math-Net.Ru Общероссийский математический портал А. П. Михайлов, А. П. Петров, Н. А. Маревцева, И. В. Третьякова, Развитие модели распространения информации в социуме, Матем. моделирование, 2014, том 26, номер 3, 65–74 Использование Общеросси...»

«ЗАДАЧИ ПО ОРГАНИЧЕСКОЙ ХИМИИ С РЕШЕНИЯМИ 5-е издание (электронное) Допущено советом по химии УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности 011000 — "Химия" Москва БИНОМ. Лаборатория знаний УДК 547 ББК 24.2я73 З-...»

«ОПЫТ ОПТИМАЛЬНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ВОДНО-ХИМИЧЕСКОГО РЕЖИМА ОТОПИТЕЛЬНЫХ КОТЕЛЬНЫХ МАЛОЙ И СРЕДНЕЙ МОЩНОСТИ О.В.Жаднов, заместитель главного инженера, 000 "Нижегородтеплогаз",г. Нижний Новгород (окончание, начало в № 5, 2007) Комплексонатная водоподготовка. В настоящее время в нашей стране методы антинакипной и антикоррозионной обра...»

«УДК 339.372.6 + 338.516.54 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА РОЗНИЧНЫХ ЦЕН C КОРРЕКЦИЕЙ ПРОГНОЗА СПРОСА НА ТОВАРЫ О.В. Логиновский, А.В. Баль В процессе развития любой розничной сети происходит дифференциация и увеличение а...»

















 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.