WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«ИФВЭ 94-110 ОУНК С В. Иванов, M.IO. Поздссв ПОРОГИ ПОПЕРЕЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ СГРУППИРОВАННОГО ПУЧКА В ПРОТОННОМ СИНХРОТРОНЕ Протвино 1994 ' Hi 9 / УПК 62I.3S4.G3-1 ...»

ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

ИФВЭ 94-110

ОУНК

С В. Иванов, M.IO. Поздссв

ПОРОГИ ПОПЕРЕЧНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ

СГРУППИРОВАННОГО ПУЧКА

В ПРОТОННОМ СИНХРОТРОНЕ

Протвино 1994

' Hi 9 /

УПК 62I.3S4.G3-1 M-24

Аннотация

Иванов СП., Иоздсе» M.IO. Пороги поперечной неустойчивости сгруппированного пучка н протонном синхротроне : Препринт ИФВЭ 91-110. - Протвино, 1094. - 29 с, 4 рис., бпблиогр.: 9.

Проведён обзор теории поперечных когерентных неустойчнвостсн связанных колебании сгустков на. модах типа ''голова-хпост". Особое внимание уделено расчёту порогов возникновения неустойчивости, вызываемой узкополоспымп резонаторами. Учтено влияние систем коррекции хроматмчности и кубической нелинейности магнитного поля. Приведены формулы п графики, удобные для практических расчетов. Установлены допуски на предельные значения поперечных и.мпедаисон связи паразитных колсбаьчй типа Е\пр в ускоряющих резона/горах УПК.

Abstract V S.V., Pozdeev V.Yu. Thresholds of Bunched-Beam Transverse Instability in a Proton Synchrotron : I1IEP Preprint 91-110. - Protvino, 1994. - p. 29, figs. 4, refs.: 9.

The paper contains an overview of theory of transverse coupled-bunch coherent instabilities at i lie ;'head-tail" modes. Special attention is paid to threshold calculations, the instability being caused by narrow-band resonators. Effect of chromaticity and cubic-nonlinearity correctors of the magnetic field is taken into account. Л set of formulae and graphs suitable for practical calculations is presented. The tolerable; values of transver&e coupling impedances at parasitic higher-order A,'ttir-inodes of the UKK accelerating cavities arc estimated.



Институт физики-высоких энергий, 1994.

Введение Большинство принципиальных положений классической теории поперечных когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка — структура собственных мод "голова-хвост", влияние хроматичностп бетатронных колебаний, инкременты неустойчивостей для сгустков без разброса частот колебаний — установлены достаточно давно [1],[2]. По существу, обе упомянутые статьи отражают современное состояние вопроса и до сих пор широко цитируются.

Тем не менее, в существующей литературе проблема расчёта пороговых характеристик поперечной неустойчивости рассмотрена на уровне, не позволяющем принимать обоснованные инженерные решения.

Перед авторами настоящей работы стояли конкретные технические задачи — оценка порогов поперечной неустойчивости сгустков в УНК [3] и решение вопроса о необходимости подавления паразитных аксиальнонесимметричных видов колебаний ускоряющих резонаторов УНК с помощьюспециальной системы демпфирования; анализ различных режимов совместной работы систем коррекции хроматичности и октупольнои нелинейности магнитного поля с точки зрения обеспечения поперечной устойчивости пучка. (В последнем случае важным фактором, подлежащим учёту, является режим с большой отрицательной хроматичностью горизонтальных бетатронных колебаний, используемый в системе медленного вывода пучка УНК.) Работа состоит из трёх частей, В первой содержится последовательное изложение теории неустойчивости, обсуждение её основных предположений, границ их применимости и возможных направлений для дальнейших обобщений. Приводится формулировка дисперсионного уравнения неустойчивости в виде задачи на собственные значения для бесконечной системы линейных алгебраических уравнений в терминах гармоник дипольного момента пучка. Эту часть работы следует рассматривать как обзор. Авторы считают споим долгом упомянуть о существенном вкладе в понимание вопроса, внесенном многочисленными обсуждениями физики неустойчивостей пучка с В.И. Балбсковым.





Во второй части работы проводится расчёт порогов неустойчивости для узкополосных резонансных элементов в одномодовом приближении.

В методическом плане во многом повторяется аргументация работы [4].

Итоговые формулы упрощены до уровня инженерных оценок.

В т р е т ь е й части работы приведены выражения для поперечных (дипольных) пмпедансов связи замкнутых резонаторов. В качестве приложения к общей теории рассмотрены Е-колсбания обобщённо цилиндрических и круглых резонаторов. Установлены требования к системе подавления высших паразитных аксиально-несимметричных видов колебаний ускоряющих резонаторов УНК.

1. Основная система уравненийИсходные положения

Сгруппированный пучок заряженных частиц, движущийся в синхротроне, является сложной динамической системой.

Для неё характерно присутствие нескольких источников продольной дисперсии:

а) собственно группировка пучка, б) локальность размещения ускоряющих станций, в) сосредоточенный характер пмпедансов нсоднородностей вакуумной камеры и, наконец, г) магнитная структура кольца.

Исследовать устойчивость такой системы в общем случае не удаётся.

Для получения замкнутых результатов, представляющих практический интерес, необходимы упрощения.

Так, теория поперечных, когерентных неустойчивостей сгруппированного пучка на модах "голова-хпост" индивидуальных колебаний сгустков игнорирует три последние неоднородности среды, рассматривая их в усреднённом но орбите, сглаженном приближении. Такой подход не вызывает особых возражений до тех пор, пока синхротронные колебания и неустойчивости пучка остаются медленными в масштабе периода обращения частиц по орбите, который, по сути, рассматривается как физически бесконечно малый временной интервал.

По этой причине динамика частиц описывается исключительно в терминах средних по орбите характеристик синхротрона — частот бетатронных и спнхротронных колебаний и их разбросов, средних значений амплитудных функций, коэффициента расширения орбит, хроматнчности поперечных колебаний, диагональных элементов матрицы импеданса вакуумной камеры и др.

Пусть х, z — горизонтальное и вертикальное отклонения от равновесной орбиты, $ — азимут в сопровождающей пучок системе координат [д = 0 — wst, где 0 — обобщённый азимут синхротрона, ш5 — угловая скорость равновесной частицы, t — время). Начало отсчёта D = О совместим с равновесной частицей рассматриваемого сгустка.

Для определённости условимся рассматривать горизонтальные бетатронные колебания. Результаты распространяются на вертикальное направление перестановкой индексов х — z и наоборот.

»

Рассмотрим шестимерное фазовое пространство переменных (у,у1 = dy/dt), у = 1?,ж,2. Пусть движение частицы является интегрируемым.

Тогда удобно перейти от (у, у') к переменным угол-действие (ipy;Jy), в которых уравнения невозмущённого движения имеют простои вид

–  –  –

ЛГ Фактические пределы интегрирования определяются границами сгустка.

Для анализа устойчивости системы требуется установить связь между когерентным возмущением пучка и полем на орбите. Такая связь осуществляется по двум каналам — через электродинамические свойства вакуумной камеры и поперечнз'ю передаточную функцию (восприимчивость) пучка. Они обсуждаются ниже.

Поперечный импеданс связи

В настоящей работе предметом изучения являются запаздывающие электромагнитные поля, описывающие отклик окружающей среды — вакуумной камеры ускорителя — на возбуждение потоком заряженных часгпц. Локальные кулонооскне поля, переносимые вместе с пучком, рассматривать не будем.

Здесь допустима физическая аналогия с полем излучения пространстнешю ограниченной системы зарядов на далёких расстояниях.

Там, как известно, это поле хорошо описывается в днпольном приближении:

систему зарядов представляет лишь её электрический днпольный момент.

В нашем случае размером области источника является малый поперечный размер пучка а'. Расстояние от источника поля до точки наблюдения по порядку величины совпадает с характерным поперечным размером вакуумной камеры Ь'. Поскольку реально а' -С 6', то в качестве источника запаздывающего отклоняющего поля в камере ускорителя можно также рассматривать лишь поперечный днпольный электрический момент пучка Представим момент D(-fl,t) и возбуждаемз'ю им поперечную компоненту S(i?,:i;,2,A) напряженности отклоняющей силы Лоренца в виде суммы бегущих по азимуту волн (Д.($7),,(..(.',.г, Q)J е г ^ ~ г. Здесь к — целое (иолиовое) число, Q — частота преобразования Фурье-Лапласа в сопровождающей системе. В лабораторной системе частоте П соответствует круговая частота и — kus + Q.

В силу линейности уравнений Максвелла существует линейная связь между поперечным отклоняющим полем и его источником. В низшем, дшгольном приближении она записывается в виде : ft., со,.

Е Е4Й^ + $ ) ) % ( ( 1 - % + 0) +... (з) f

Здесь RQ --• средний радиус орбиты; ft — приведённая скорость частиц;

3r(0,t) обозначает составляющую силы Лоренца 5 r (??,x,2,^), усредненную по поперечному распределению пучка. Величина Z[xkt(u) есть элемент матрицы днпольных поперечных пмпедансов связи. Здесь и далее частотная зависимость импеданса приведена к лабораторной системе.

В полном объёме связь (3) между пучком и полем обычно не рассматривается. Используются дпа естественных предположения.

1. Матричный (/•/.;') характер импеданса объясняется пространственной неоднородностью вакуумной камеры в направлении 0. (Матрица импеданса азнмуталыю симметричной камеры всегда имеет диагональный вид.) Пока изменение поперечного импульса частиц за оборот невелико, локализованный по азимуту характер полей, действующих на пучок при пролёте через сосредоточенные структуры, можно не учитывать. В таком случае пучок мало отличается от стационарного, и Dff.k. ({к - к')шК + 9.) ~ Dj, t (Q) 6 t,t S 0 Im П. (4) Wjf где (5;.д.' — символ Кронекора. Это равенство подтверждается последующими расчётами (смотри формулы (15), (20)). Систематический эффект, не исчезающий при усреднении за оборот, связан со взаимодействием рес1^ ~ зонансных волн (3[;{п),Sk(x,z,U)j. Их частота в сопровождающей системе близка к частоте бстатроиных колебаний, п ~ ± w J i r. Поэтому для медленных в масштабе In/uig нсустойчнвостсй пучка в матрице имподансов существенны только сё диагональные элементы Z^: (ui), обозначаемые далее просто Z[.(u).

2. Матричный (ху) характер импеданса связан с (возможной) анизотропией вакуумной камеры в плоскости сё поперечного сечения. В результате возможно возникновение связи между когерентными бстатроннымп колебаниями пучка в направлениях.г, z. Она отсутствует в аксиальносимметричных структурах типа ускоряющих резонаторов УНК, когда Z[xv)(uj) = Z, H,5,,,, (5) y = x,z.

Далее исследуем только этот случай. При необходимости результаты несложно обобщить.

Эти два предположения приводят к обычному определению поперечного импеданса связи,

–  –  –

Передаточная функция пучка Она является мерой отклика пучка на внешнее электромагнитное поле.

Под влиянием компоненты Sx{fl,x,z,t) силы Лоренца возникает нестационарная добавка ^F^'\j^^^,Jj.,-ilix,J:,ip:,i.) к исходному распределению частиц F(l7i?,»7i,»7r). Её временная эволюция описывается линеаризованным по возмущению уравнением Власова. Входящие в него функции 1 = 1 п /(V !/) А /'"/ + - ) циклических переменных фу раскладываются в ряды Фурье Е^ у= _со $туъ11ПуУу, где ту есть мультппольный индекс направления у= 0,x,z. Далее в расчётах используется несколько предположений.

1. Ожидается медленное (и масштабе поперечного размера пучка а') изменение отклоняющей силы в поперечном направлении. Поэтом}' нестационарная добавка к гамильтониану движения записывается в виде

–  –  –

где {(Зх) ~ RQU}S/COX(Q) - среднее по орбите значение амплитудной функции х-направления.

Х В силу предположения (8) добавка АН^ \ а с нею неоднородность линеаризованного уравнения Власова и A F ^ приобретают ограниченный поперечный мультипольный состав: AF^mt ~ АН$т ~ fmz,±i $тл,оn Появление 5,?i,,o, конечном счете, означает, что отклоняющая сила, действующая в направлении г, не будет приводить к электрической дипольной поляризации сгустка в направлении х и наоборот. Дцпольные передаточные функции пучка, образующие тензор его поперечной восприимчивости, оказываются диагональными по индексам (ху), y = x,z.

В силу присутствия fiTOll±i возможен учёт лишь дипольных когерентных колебаний на фазовой плоскости (ж, а:'). Этого вполне достаточно, поскольку из общих соображений понятно, что вследствие предположения (7) о слабой зависимости поперечной силы от величины отклонения от орбиты должно доминировать именно дипольное когерентное поперечное движение пучка — его колебания как целого.

3. Принимается во внимание хроматический набег фазы бетатронных колебаний. Для этого в нестационарном возмущении (7) при переходе от переменных (х,х') к (фх^х) вносится поправка в циклическую часть зависимости х = X(JX,\JJX): она записывается в виде х = x(Jx,ipx + 6ipx), где

-г- = "х ( Л, • • •), —г-- = 6шх{и). (9) (II til/ Первое из этих уравнений повторяет (1), а второе связано с линейной частью хроматического сдвига частоты бетатронных колебаний:

–  –  –

используемая в (7).

Хроматический набег фазы бетатронных колебаний является принципиальным фактором, отвечающим за возможность развития поперечных нсустойчшюстей одиночного сгустка, взаимодействующего с широкополосным импедансом. Первым на него обратили внимание в работе [5].

4. Учитывается слабая связь между степенями свободы x,z некогерентного поперечного движения. Её причиной является кубическая и другие высшие нелинейности магнитного поля, приводящие к нелинейности бетатронных колебаний,

–  –  –

где есть разброс бетатронных частот, \6их\ шдО).

8UJX(JX,JZ)

В рамках этих предположений с помощью уравнения Власова устанавливается вид передаточной функции "напряжённость отклоняющей силы — дипольный электрический момент сгустка":

–  –  –

Здесь Е — полная энергия частиц, J ^ — средний по орбите ток ;-го сгустка, -dj — координата его центра; Дисперсионные интегралы YJ^, записываются в виде ряда по мультнпольным колебаниям:

–  –  –

Система уравнений Уравнения (6), (15) и (18) составляют искомую систему. В замкнутом виде сё можно записать в одном из трёх представлений — в терминах неизвестных Dxj., D^k либо Si;fc. Первый вариант удобен для исследования межегустковых мод колебаний в пучке с неодинаковыми или пропущенными сгустками [6]. Последние два различаются непринципиально. Их удобно использовать для изучения неустойчнвостей азимутально- симметричного сгруппированного пучка. Далее ограничимся только этим случаем. Он наиболее прост для анализа. В то нее время имеются основания предполагать, что пучок с пропущенными сгустками будет заведомо более устойчивым [G].

Пусть пучок составлен из 1 М q одинаковых равноудалённых сгустков. (Здесь q — кратность ускорения, отношение q/M - целое число.) Подставим уравнение (15) в (18). Проведём суммирование по сгусткам с учётом

–  –  –

Внешне система уравнении (21) почти не отличается от её аналога для продольных неустойчивостеи пучка [4],[6].

Дисперсионное уравнение когерентных колебаний имеет вид где АДП) - одно из собственных значений задачи (21), С = (п,...) - обобщённый индекс. Разрешив это уравнение относительно Q, можно найти когерентную частоту для С-ой моды колебаний пучка. Неустойчивостям отвечают решения с положительной мнимой частью п.

D принципе, расчёт порогов неустойчивости можно провести методом обобщённых пороговых диаграмм [6]. Суть его сводится к графическому анализу семейства пороговых кривых — образов линии (Im 9, — +0, —со ReQ сю) при многозначном отображении Х(п). Пучок устойчив, если эти кривые не пересекают интервал (1,со) вещественной оси комплексной плоскости (А).

Однако задача исследования устойчивости достаточно сложна. Решить её в такой общей постановке не удаётся. Необходимы дальнейшие упрощения.

–  –  –

не перекрываются, и в первом приближении каждую из них можно рассматривать нмашгеимо. Поэтому и сумме по тх = ± 1 оставляем только одно слагаемое для определенности с тх — 1. (До тех пор, пока нарушено резонансное условие (21). рассмотрение моды С не даёт новой информации об устойчивости пучка.) Индексу т# продольного мулътиполя позволим пробегать разные полые значения (положительные, отрицательные), включая монопольную моду то — 0, характеризующую поперечное смещение жесткого (целого) сгустка.

2. Рассмотрим сгустки со слабой нелинейностью. Этот слзгчай представляет основной практический интерес. Положим

–  –  –

на пороге неустойчпиости ! Ju) Q.iJ — -fO) в сумме по т$ долттшруст одно рочонансноо слагаемск? с л/,; — т\г Будем учитывать только его (приближение разделённых продольных мультнполей — мод "голопа-хвост" ццдипидуальных ко.чеСчшиа сгустка).

3. Пусть продольное'•'поперечное распределения частиц незиипсимы

–  –  –

Дисперсионное уравнение На основании левой части неравенства (25) можно вообще проигнорировать нелинейность продольного движения, приняв Совместно с приближением (27) это позволяет полностью разделить продольную п поперечные координаты в дисперсионном уравнении (23).

В результате оно приводится к простому виду:

1 = Л; У,(П) Сг(Й). (29) Здесь F x (fi) обозначает чисто поперечный дисперсионный интеграл

–  –  –

Собственное значение Сг(^) имеет физический смысл эффективного импеданса поперечной неустойчивости для моды = (n m 3: =l,rn i =O,?n^,7 t ) когерентных колебаний пучка. Индекс г характеризует способ радиальной (вдоль направления JQ на продольной фазовой плоскости (#,$')) реализации колебания мулътиполя т^, его так называемую радиальную моду.

Для иллюстрации обычно рассматривается не очень реалистичная функция Fe{J$) = 6(Jo — Jw), где 5(...) обозначает дельта-функцию.

(Это распределение типа "пустой" сгусток, либо при J$Q = 0 — типа "точечный" сгусток.) Тогда матрица AZ оказывается вырожденной, и (33) /=-00 где Акк - |Лпе,*-х,/ч+г,(0)(»7л})| • Моды с г ф 1 не возбуждаются. Это и понятно, поскольку в сгустке с продольным распределением Fo{Jo) = 6[Jd — Jm) физически возможна только одна, сингулярная радиальная мода колебаний мультпполя Запись эффективного импеданса неустойчивости (33) в виде суммы диагональных элементов (следа) матрицы AZ является общепринятой оценкой. Обычно она интерпретируется как "взвешенная сумма импеданса со спектром мощности возмущения пучка" [1],[2]. Однако применимость столь прямолинейного подхода к расчету ( Г (П) для произвольных -FJ(J",J) далеко не очевидна. В общем случае требуется решение спектральной задачи (31).

Для дальнейшего обсуждения перепишем дисперсионное уравнение (29) в более удобном виде УХ(П) = Л,/Сг(П). (34) В случае достаточно широкополосных (в масштабе частоты us) импедансов в правой части (34) с хорошей точностью можно заменить неизвестную пока когерентную частоту п её "нулевым" приближенном (26).

Это уравнение можно исследовать стандартным методом пороговых диаграмм [4]. Суть его заключается в графо-аналитнческом анализе пороговой кривой — образа линии

Re ft ~ шх (0) + m,5CJ,?(0), Im П -* +0

при конформном отображении Yx(u). Пороговая диаграмма имеет односторонний характер. В силу принятого соглашения тх = 1 пороговая кривая лежит только в правой полуплоскости комплексной плоскости (Y), либо на отрезке оси 1тУ вблизи начала координат.

Безусловно устойчивы моды колебаний из левой полуплоскости комплексной плоскости (У"),

–  –  –

in правой полуплоскости (Y). Они могут оказаться и одной из двух областей — устойчивых,лмбо неустойчивых параметров. Границей между ними и является пороговая кривая. Устойчивому состоянию пучка (затухание Ландау) соответствует внешняя окрестность пороговой кривой.

Форма и размер области устойчивости зависят от вида поперечной функции распределения и характера нелинейности колебаний. В практических целях сё принято аппроксимировать полукругом радиуса fo*its/|6w*|, где Ь„ 0 — числовой параметр, и+ — эффективный разброс бетатронных частот в сгустке.

С учётом изложенного и неравенства J?* 0, (22) критерий устойчивости пучка приобретает вид (37)

–  –  –

Узкополосные резонаторы Применим полученные результаты к узкополосному резонансному элементу с собственной частотой щ и полосой пропускания Ди5 удовлетворяющей ограничению Mws, (39) где Mus — частота следования сгустков, - обобщённый индекс собг ственного колебания резонатора.

В этом случае в полосе пропускания резонансного элемента одновременно оказывается не более двух гармоник поперечного отклонения пучка, принадлежащих моде п относительного движения его сгустков. Их номера суть

–  –  –

где /it2 - целые числа. Они обладают тем свойством, что (40) (Оба равенства выполнены с точностью до полосы пропускания Ашя.) Теперь (31) превращается в простую задачу на собственные значения для матрицы размерности 2 х 2. Её решения известны:

–  –  –

В этом случае требуется.использование критерия устойчивости в его общем виде (37), (38).

Можно ешё более упростить ишачу, предположив, что резонатор достаточно далеко отстроен от полуиелых гармоник частоты следования сгустков, Ч-9ШЛ.',Д / = 1,2,... (45) Тогда в его полосе окажется только одна (к\ ^ —^v/^V либо к-? ^ —i*'s/u).s) гармоника моды п. Отсюда = Аккгк(Ыв + П), к = *,,,. (46) Учтем, что Aict 0 и J\c 2к(и) 0 для частот и 0. Поскольку

-Zlk.[—u), то из (4G), (36) и Лг 0 (22) видно, что неустойчивость возможна только для пространственных гармоник с к = /- ^ —u.'j./u:s. Это гj аналог хорошо известного факта из теории поперечных ноустончшюстсн ]1есг|)упш1ровашюго пупка: нестабильными являются только медленные волны когерентного бстатронного движения. Их угловые скорости распространения суть u/k ~ us - Wr(0)/|fc2|j. О ш/к UJS.

Позже увидим, что поперечная проводимость узкополосного резонатора записывается в виде где Rq - поперечное сопротивление связи г-ой моды колебании резонатора. Реальная часть проводимости практически постоянна при изменении частоты и вблизи резонанса, и ~ ±w f. Поэтому цри изменении индекса к-2 точка i?j;/(i(fi), и])едставляющая резонатор на пороговой диаграмме согласно (34). движется почти параллельно мнимой оси в правой полуплоскости комплексной плоскости (У). Расстояние от этой линии до оса- 1т У равно (^/(..-i/.,/.,/^). Оно слабо изменяется из-за наличия множителя --1^..,. Как и в случае продольных неустойчпвостсп пучка [4], достаточное условно устойчивости можно сформулировать, вводя максимальный размер Л л области неустойчивых параметров вдоль оси Re У",

–  –  –

Л / 1Т1Л''/ТЛГ\ Т\\\ 1Г\\

–  –  –

Для резонаторов с Д^'с и'.ч неравенство (4S) является также необходимым условием устойчивости. В этом случае всегда найдётся мода п. возбуждающая резонатор почти на его собственной частоте и потому находящаяся на пороге неустойчивости.

Величину Ах гораздо проще оцепить чем эффективный рпдиус fr,u/s/|W,|, (3S) локализации области неустойчивости на пороговой диаграмме. Для этого не требуется трудоемкое интегрирование в смысле главного значения. В то же время понятно, что нарушение условия (45) для узкополосных паразитных резонаторов крайне маловероятно.

В силу узкополосностп резонатора, второго из резонансных условий (40) и неравенства ш$ Cu,\r, выполненного для протонных синхротронов, имеем & — — (wc 4- aix)/ujs. Подставим это значение в Аьгк2 и получим оценку, превращающую Лл.3л.г в продольный формфактор сгустка AJj ~ 0, (50) к, = uJui + Xz/v- (51) Наиболее неблагоприятен случаи то = 0, к* = 0, когда под знаком интегрирования в (50) оказывается |/о,о(^)| 2 = 1. Тогда с учётом нормировки (28) имеем Л") = 1. Понятно, что этой ситуации наверняка можно избежать уже за счёт правильного выбора знака хроматпчности: Xxh) 0Чтобы учесть возможность возбуждения колебаний разной мультппольностп то, вводим огибающую Л^ семейства продольных фop^rфaIторов сгустка Л, = max ( Л ^ ). (52) I'll) Величина Ац зависит только от внешних параметров задачи; F#(Ji).

В результате сделанных выше предположений приходим к окончательной оценке допустимой величины поперечного сопротивления связи узкополосного резонатора:

Остаётся установить свойства формфакторов Л,?, Л х.

–  –  –

Для анализа поведения продольных формфакторов в области больших аргументов воспользуемся тригонометрической асимптотикой функций Бесселя. Подставим её в (50) и заменим cos 2 (...) на 1/2. После интегрирования получим

–  –  –

Вторые строки уравнений (GO), (G2) относятся только к распределению вида (54) с параметром а$.

Максимумы А# для \то\ — 0-12 показаны на рис.1 звёздочками. Они приходятся на координату (при \УЩ\ ^ 3) (63) п имеют величину max (Л?"*) * с 2 / К |. (G4) Числовые параметры с\^ зависят от формы сгустка. Установить их аналитически не удаётся. Они определялись численно путём расчёта (методом наименьших квадратов) лучшего приближения для \тщ)\ = 5-12 и распределения (54). Результат слабо зависит от параметра а#. Ниже приведены значения с ^ я д ) в нескольких характерных точках а0 = 0 1/4 1/2 3/4 1;

ci = 2,5 2,4 2,1 1,9 1,8;

с 2 = 0,26 0,28 0,29 0,30 0,30.

Обратим внимание на особенность "высокочастотного" возбуждения поперечных колебаний сгустка в области |fc»A$o| 5. Формфакторы мод \тц\ & j\Ai?o|/ci имеют обшую асимптотику (61) и крайне незначительно отличаются друг от друга. Эти моды практически одновременно оказываются на пороге неустойчивости. В этом случае при переходе через порог картина возмущения сгустка должна быстро приобретать сложный вид: она является суперпозицией всех мультипольных колебаний с | т # | ^ |&,Д$о|/с1. (Оговоримся, что эти моды имеют разные когерентные частоты и потому возбуждаются независимо.) Огибающая Ао (52) почти всюду совпадает с формфактором Л# монопольной моды т$ = 0, которая представляет наибольшую опасность. (Исключение составляет небольшой участок |&*Д#о| — 3-5, где доминирует \то\ = 1.) Исходя из формул (59) и (61), с достаточной для практических целей точностью можем полагать (65) На рис.2 пунктиром построены графики зависимости Л^ мультиполей \пц\ = 0, 1, 2. (Именно они определяют величину огибающей Ац.) Распределение (54) с щ = 1/2. Сплошными линиями показаны параболическая (кривая А) и гиперболическая (кривая В) асимптотики, взятые из правой части уравнения (65). Видно, что за исключением небольшого участка |A:*Ai?o| ^ 2-3 они весьма точно воспроизводят поведение Л^, Как и ранее на рис.1, звёздочками показаны максимумы А#' для \тц\ = 0-12.

Соединяющая их гипербола (кривая С) задана параметрически уравнениями (63), (64).

<

–  –  –

Поперечный формфактор Введём нормированные на единицу функции' распределения частиц сгустка по двум поперечным направлениям (66) Учтём кубическую нелинейность магнитного поля, которая приводит к разбросу частот бстатронных колебаний

–  –  –

Величина коэффициентов при Jx н J7"- контролируется СИСТОЛОЙ октуполыюн коррекции.

Несложно рассчитать поперечный формфактор Лз: в двух частных случаях. Так, при dux/djz = 0 получим

–  –  –

(70) (71)

–  –  –

В этих формулах JXQ, J.Q обозначают величину действия Jx, J. на (эффективной) границе сгустка. 8ихх, 8шх: имеют смысл парциальных разбросов бетатронных частот в сгустке. Их знак может быть любым. Вторые строки формул (69), (71) относятся только к поперечным распределениям Fx{Jx), FZ{JZ) знда (54) с параметрами ах и а: соответственно.

Анализ выражения (49) после подстановки в него (67) показывает, что величина Ах не изменяется при одновременной смене знака нелинейности колебаний в направлениях х и z. Поэтому, приняв во внимание известные частные значения Л х, приведённые в формулах (68)—(71), без потери общности можем записать выражение (72) где Точками обозначена зависимость с^ от формы совместного распределения F,g{Jt,J:).

Удобство представления (72) заключается в том, что С3 ~ 1 и крайне слабо зависит от отношения 8ихх/8ихг. Так, предположим для простоты, что Fct(Jx,Jt) является произведением функции FX(JX) и F-(J.) вида (54) с параметрами ах и a r. На рис.3 показан график зависимости c;j(ctgp, a x, a. ) для нескольких значений параметра а = а 1 ) Г. По оси абсцисс отложена неременная V3/71") г Д е Ч3 е с т ь полярный угол из правой полуплоскости плоскости (6uJxx,8ux2), \p\ 7г/2. (Далее кривые продолжаются периодически по ip с периодом тт.) Видно, что функция Сз принимает значения в диапазоне 0,80-1,05. А в случае а = 1/2 этот диапазон вовсе

-0.6 -0.4 -0.2 0.0

–  –  –

Разумеется, Л г является нижней оценкой радиуса локализации пороговой кривойfctws/|5w+| Ая из общего критерия устойчивости (3S). Часто оказывается, что btus/\8u)t\ = Л г, п в этом качестве (73) можно использовать также в (38).

3. Импеданс замкнутого резонатора Резонатор произвольной формы Рассмотрим пустой замкнутый резонатор, ограничивающий объём V, который соединяется с вакуумной камерой ускорителя. Обозначим г = (#oO,x-,z), где Ro - средний радиус орбиты. Пусть по возмущённому l ги пучку распространяется волна дипольного момента Dx-tke ~ *. С ней связаньх волны стороннего тока и заряда, возбуждающие резонатор. Их

–  –  –

^Т% () Здесь ^ у (7?ов,о;) есть у-составляющая напряжённости силы Лоренца, усреднённая по поперечному сечению пучка с весом #(;»:, г). Она возбуждаотся источниками (74)-(76) и записывается через поля в резонаторе

–  –  –

шс Р — (^,0,0) - приведённая скорость частиц; го = 120тт Ом - волновое сопротивление свободного пространства. Выразим Я через rotE с помощью урапнешш Максвелла. Выделим из (78) fc-yio азимутальную гармонику. При этом в интеграле по dQ осуществим интегрирование по частям и учтём идеальное граничное условие EXi! = 0 на внутренней поверхности (вертикальных) торцевых стенок резонатора вблизи траектории пучка. В итоге получим с(3 дЕв-к(г,г,ш) to-~kui Sy]k(x, z,u) = — ^ '- + — - — Е9ф, z,u), у = ж, z. v79) s Пусть {E^',H^}(r) - полный ортогональный iinGoj) собственных решений однородных уравнений Максвелла для резонатора, шя - собственное значение круговой частоты, s ~ обобщённый индекс. Неизвестное поле вынужденных колебаний резонатора ищется методом вариации постоянных в виде рядов [7]

–  –  –

с коэффициентами разложения = |eW|2rf1 (82) w 2^i ' где W,; - запасённая энергия ^-ой моды колебаний, с - скорость света.

Существует подмножество я = я' собственных решений, для которых и? = 0. Они описывают кулоновекпе потенциальные поля, возбуждаемые волной (76) пространственного заряда. Эти поля не проявляют резонансного характера. Ими можно пренебречь вблизи резонансов собственных колебаний резонатора, представляющих основную опасность. Поэтому далее понимаем под {Е^\Н^} только (неполный) набор собственных соленоидальных функций с ия -ф 0. В практически интересных случаях их возбуждение слабо зависит от детален поперечного распределения тока j.

Именно по этой причине не возникают сложности, скажем, при использовании приближения бесконечно тонкого пучка.

Омические потери в стенках резонатора приводят к затуханию электромагнитных полей и сдвигу полюсов ас(а;) в нижнюю полуплоскость комплексной плоскости ш в точки и = ±\fuJf-^Au^ — г'Дшс, где Дые есть полуширина полосы резонанса моды ;. С учётом этого вместо (81) запишем Здесь Р ? обозначает мощность омических потерь в стенках, ) (84) где Щ ' — тангенциальная составляющая магнитного поля у внутренней поверхности S резонатора; Tls = TIS(OJ) — активная часть поверхностного импеданса стенок резонатора; а и // • их проводимость и абсолютная — магнитная проницаемость; 6s(u) — глубина скин-слоя на частоте а. Добротность Q,^ ~ а»?/(2Да;)Г) моды ; собственных колебаний есть

–  –  –

Структура сторонних токов (74)-(7б) такова, что объёмный интеграл возбуждения удаётся выразить через напряженность S^\RQQ,X^Z)UJ) СИЛЫ Лоренца, действующей на частицу, пролетающую через резонатор, со стороны ^-oii моды ого собственных колебаний,

–  –  –

В результате поперечный импеданс связи приводится к виду r Величины 7v^ (w) имеют физический смысл (днпольных) поперечных с()П])отнвлсний связи с размерностью Ом/м.

Поперечный импеданс связп зависит от частоты и/ и волнового числа к.

Связь и = и(к) устанавливается динамикой пучка. Это его дисперсионное уравнение. Оно позволяет выразить Z)! (и) как функцию, скажем, только переменной и/.

Подстановка и = kus означала бы, что рассматриваются точно синхронные с пучком волны дпполыюго момента и отклоняющей силы, которые стационарны в сопровождающей системе координат. Такое приближение имеет два последствия.

Во-первых, отсутствует поперечный конвекционный ток (75), }х — 0.

Из-за этого не возбуждаются Я-тппы собственных колебаний резонатора.

Во-вторых, общ-лястся второе слагаемое формулы (79). Это означает, что при пролёте частицы через замкнутый резонатор интегральный отклоняющий эффект со стороны поперечного электрического поля компенсируется противоположным по направлению отклоняющим действием поперечного магнитного поля. Существенно влияние только поперечного градиента продольного электрического поля.

Последнее утверждение составляет содержание известной теоремы ГЬшофского-Вснцеля [8]. Однако её применение D контексте циклических ускорителей (скажем, для установления связп между продольным и поперечным импедансом вакузгмной камеры) возможно далеко не всегда.

Допстинтельно, согласно (26) в "нулевом" приближении по интенсивности дисперсионное уравнение когерентных поперечных колебаний пучка имеет вид ui a kus + тхь:х -f т,цщ (89) с и$ С и)х. Иными словами, при анализе поперечных неустойчивостей интерес представляют не синхронные, а резонансные полны дипольного момента пучка и отклоняющей силы Лоренца. Они имеют частоту ~ mxu)x в сопровождающей системе. По этой причине в сопротивлении связи.Е-типов собственных колебаний появляется множитель (1-е) 2 с параметром е 'v т г а/ г /а/ о |е| % urx/qajs. Сила резонансов Я-тнпов колебаний оказывается пропорциональной е2. В небольших ускорителях е может не быть малым параметром задачи. (Например, в синхротроне У-70 верхняя граница \е\ & 0,3.) В условиях же УНК |е| & 0,003, и возбуждение Я-типов колебаний можно не учитывать. Поэтому далее рассматриваются только собственные колебания iS-тнпа, хотя для общности условие и = ки$ заранее не используется.

Продольно-однородный резонатор В качестве приложения к общей теории рассмотрим продольнооднородный цилиндрический резонатор.

Пусть его объём V расположен на одной осп с вакуумной камерой:

–  –  –

где S есть односвязное поперечное сечение резонатора с границей — контуром С; А© — азимутальный размер резонатора, L = BQAQ — его длина.

Как известно [7], поля Е-тппъ колебаний в объёме выражаются через продольное электрическое поле

–  –  –

где Гр - продольное волновое число, р = 0,1,2,...; q = (b,p); ; и Ь - обобщённые индексы. Функция ь есть собственное решение первой краевой задачи для поперечного уравнения Гельмгольца. Собственное значение г1 этой задачи определяет поперечное волновое число иь п собственную частоту wc, (Ч/с) - vl + (Г,/Яо) • (92) Восстановив Н^ из (91), проведём интегрирование в (82), (84). Подставив результат в (85), получим

–  –  –

Для бесконечно узкого зазора |Tp,t|2 = SPQ.

В определении поперечного шунтового сопротивления возможен произвол, приводящий к перераспределению сомножителей между R[yx^ и [7]д-|2Соглашение (96) удобно для теоретических расчётов. От него несложно отказаться.

Второе слагаемое в круглых скобках формулы (95) конкретизирует оценку введённого ранее параметра е для ^/-колебании. В условиях УНК это слагаемое можно опустить ввиду его малости.

К р у г л ы й цилиндрический резонатор

–  –  –

что позволяет завершить расчёт величины поперечного шунтового сопротивления (96) в прносевой области. (В формуле (3.11) обзора [9] приведено его неточное значение.) Существенны только колебания серии Еупр. Каждое из них может иметь две взаимно ортогональных поляризации, такие, что когерентные колебания частиц в направлениях х и z возбуждаются независимо. Это ясно по соображениям симметрии.

В окрестности резонанса колебания с-ой собственной моды Е-ппдл колебаний с учётом неравенства |е| • 1, выполненного в УНК, существенны только азимутальные гармоники с к с^ ±w c /u; s. Подставив последнее равенство в пролётные факторы Трк, определим поперечное сопротивление связи как Л, = Л х х ) В результате убеждаемся, что в рамках сделанных предположений поперечный импеданс связи (87) представляется в виде откуда действительно следует представление (47).

В первой ступени УНК устанавливаются Лг = 8 х 2 = 16 медных резонаторов с параметрами L = 0,5 м; VQ = 0,577 лг; а~х = 1,7-10~8 Ом-м;

ft = 1. На рис.4 показаны величины сопротивлений связи 7?с паразитных колебаний в пересчёте на один резонатор. Рассмотрена серия Е\пр с р = 0,...,6 и п = 1,...,6.

На том же рисунке приведены допустимые значения импедансов. Они рассчитаны по формулам (53) для распределений (54) с параметрами со1|Г = 1/2. Средний по орбите ток пучка J o = 1,4 А; коэффициент расширения орбит а — 4,95-10~4; бетатронная частота a»x/a;s = 55,7; разброс бетатронных частот 6LJXX/WS = 5иг:/ш3 = 0,5-10~2. Среднее по орбите значение амплитудной функции фх) = 93,5 м (для справки, (/?.) = 98,2 м).

–  –  –

Кривая А соответствует режиму инжекцпи с энергией Е = G5 ГэВ, продольным полуразмером сгустка qbi.-Q^j-K ~ 0,54 и рабочей хроматичностыо Хх — + 3.

Кривая В показывает пороговые величины импедансов для рабочего значения хроматичности хх — + 3 на плато Е = 600 ГэВ с /Д??о/7г = 0,38.

Кривая С соответствует режиму с большой отрицательной хроматпчноетью Хг. ~ —30, использ}'емой в работе системы медленного вывода пучка.

Из представленных здесь результатов следует, что требуется подавление, по меньшей мере, девяти низших аксиально-несимметричных мод ускоряющих резонаторов УНК с помощью специальной системы демпфирования.

–  –  –

[2] Zotter В., Sachcrer F. Transverse Instabilities of Relativistic Particle Beams in Accelerators and Storage Rings. In: CAS Proceed., CERN 77-13. Geneva, 1977, pp. 175-218.

[3] Ускорительно-накопительный комплекс па энергию ЯООО ГэВ (Физическое обоснование). - Препринт ИФВЭ 93-27 (ОУНК). Протвино, 1993.

[ 1 Балбекои В.И., Иванов С В. Пороги продольной, неустойчивости сгруппированного пучка в протонных синхротронах. // АЭ. 1986. Т. GO, вып. 1. С. 45-51; препринт ИФВЭ 84-211. Серпухов, 1984.

[о] Pellegrini С. On a New Instability in Electron-Positron Storage Rings (The Head-Tail Effect). // II Nuovo Cimciito. 19G9. vol. G4A, No 2, pp. 447-473.

[G] Балбсков В.И., Иванов С В. Продольная неустойчивость аэимутально-иесгшметричпого пучка о синхротроне: Препринт ИФВЭ 89-125.

Серпухов, 1989.

–  –  –

[S] Panofsky W.K.H., Won/el VV.A. Some Coii.sideraf.ions Concerning the Transverse Deflection of Charged Particles in Radio-Frequency Fields. // Review of Scientific Instruments. 1956, vol.27, p. 967.

[9] Куренной С.С. Взаимодействие пучка с вакуумной камерой ускорителд. Методы вычислении импеданса связи: Препринт ИФВЭ 91-158.

Протвино. 1991.

–  –  –

С В. Иванов, М.Ю. Поздесв.

Пороги поперечной неустойчивости сгруппированного пучка в протонном синхротроне.

Орчгипал-макет подготовлен с помощью системы ШдХ.

Редактор Н.В.Ежела

–  –  –

Институт физики высоких энергий, 142284, Протышо Московской обл.

ПР ЕПР ИНТ 94-110, И Ф В Э, 1994



Похожие работы:

«Пахомов Максим Александрович ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ПРИСТЕННЫХ И СТРУЙНЫХ ГАЗОКАПЕЛЬНЫХ ПОТОКАХ 01.04.14 – Теплофизика и теоретическая теплотехника АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора...»

«Рабочая программа курса "Химия" для 11 класса "Общая химия" (базовый уровень) Учебник: Габриелян О.С. Химия. 11 класс: учебн. для общеобразоват. учреждений / О.С. Габриелян, Г.Г. Лысова. – 6-е изд. стереотип. – М.: Дрофа Количество часов в неделю: по программе: 1часа по учебному плану школы: 1 часа...»

«АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА ЧЕЛЯБИНСКА УПРАВЛЕНИЕ ПО ДЕЛАМ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА ЧЕЛЯБИНСКА ул. Володарского, д. 14, г. Челябинск 454080 тел/факс: (8-351) 266-54-40, E-mail: edu@cheladmin.ru 'iS-QBjbSSS' № [Начальникам РУО, На № от дир...»

«I. Аннотация Предмет "Микология" по выбору рассчитан на студентов университета, обучающихся по направлению "Лесное дело". Соответствующий этой программе практический курс знакомит студентов с важнейшими представителями грибных царств, их значением и ролью в прир...»

«Приложение №4 к Условиям открытия и обслуживания расчетного счета Перечень тарифов и услуг, оказываемых клиентам подразделений ПАО Сбербанк на территории Амурской области, Хабаровского края, Еврейской автономной области (действуют с 01.04.2017) Стоимость услуги1 Наименование услуги...»

«Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Харківська національна академія міського господарства Кафедра прикладної математики і інформаційних технологій Інформатика і основи комп’ютерного моделювання. Модуль 1. Біогра...»

«Попик Александр Юрьевич ДИНАМИКА СПЕКТРОВ ЛАЗЕРНО-ИНДУЦИРОВАННОЙ ФЛУОРЕСЦЕНЦИИ ХЛОРОФИЛЛА-а ФИТОПЛАНКТОНА В УСЛОВИЯХ МЕНЯЮЩИХСЯ ПАРАМЕТРОВ ВНЕШНЕЙ СРЕДЫ Специальность 01.04.21 – Лазерная физика; АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Владивосток 2015 Работа выполнена в...»

«CH3 O N Общая химия Классификация и номенклатура неорганических соединений МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Геолого-геофизический факультет Кафедра общей химии ФЕН Общая...»

«МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА УГОЛЬНЫЙ ПЛАСТ В КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫХ ПАКЕТАХ ABAQUS, ANSYS, MSC.MARC А.А. Наседкина, А.В. Наседкин, д.ф.-м.н., проф. Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия Моделирование гидроимпульсного воздействия на угольный пласт математически представляет собой с...»

«В.И. Пржиленский (Ставрополь, Россия) ФИЛОСОФИЯ ФИЛОЛОГИИ: ИСТИНА И ИСКУССТВО В ФИЛОСОФИИ М. ХАЙДЕГГЕРА Хайдеггер утверждает, что истина доступна мыслителям и поэтам. Не экспериментальная наука и не научная философия – этот новоевропейский вариант метафизики – могут судить об истине. Лишь свободная от метафизического...»

«Лобанов Игорь Евгеньевич МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ИСКУССТВЕННОЙ ТУРБУЛИЗАЦИИ ПОТОКА В ПЛОСКИХ КАНАЛАХ С ТУРБУЛИЗАТОРАМИ НА ОБЕИХ СТОРОНАХ Адрес статьи: www.gramota.net/materials/1/2010/7/18.html Статья опубликована в авторской редакции и отражает точку з...»

«УДК 662.749.2 ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ВЫХОДА ХИМИЧЕСКИХ ПРОДУКТОВ КОКСОВАНИЯ ИЗ КОНЦЕНТРАТОВ УГЛЕЙ КУЗНЕЦКОГО БАССЕЙНА ОТ ИХ ЭЛЕМЕНТНОГО СОСТАВА Е.В. Васильева, Т.Г. Черкасова, С.П. Субботин, А.В. Неведров, А.В. Папин Приведены методика и...»

«Кулеш Никита Александрович МАГНИТНАЯ АНИЗОТРОПИЯ И МАГНИТОУПРУГИЕ ЭФФЕКТЫ АМОРФНЫХ ПЛЕНОК С РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ И ПЛЕНОЧНЫХ СТРУКТУР НА ИХ ОСНОВЕ 01.04.11 – Физика магнитных явлений АВТОРЕФЕРАТ диссертации на...»

«УДК 66.097.3:66.094.1-546.172.6 НИЗКОТЕМПЕРАТУРНАЯ КАТАЛИТИЧЕСКАЯ СЕЛЕКТИВНАЯ ОЧИСТКА ОТХОДЯЩИХ ГАЗОВ ОТ ОКСИДОВ АЗОТА В.Н. Ефремов, к.т.н., доцент* Т.И. Мугенов, студент, ПТЭ-14, III курс**, Е.З. Голосман, д.х.н., профессор* *ООО "НИАП-КАТАЛИЗАТОР",...»








 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.