WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«XLIII Всероссийская математическая олимпиада школьников 10 класс 10.1. В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом ...»

XLIII Всероссийская математическая олимпиада школьников

10 класс

10.1. В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель

уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться

ровно в 15 раз? (Н. Агаханов, И. Богданов)

Ответ. Да, могло.

Решение. В качестве примера подходит произведение

1 · 1 · 1 · 1 · 48. После указанной операции получается

(2) · (2) · (2) · (2) · 45 = 720 = 15 · 48.

Замечание. Приведённый пример единственный. Укажем, как его придумать. Предположим, что четыре из сомножителей равнялись 1, а пятый a. Их произведение было равно a, а после уменьшения превратилось в (2)4 (a3) = 16a48.

Значит, при 16a48 = 15a условие соблюдается. Решая это уравнение, получаем a = 48.

Комментарий. Только верный ответ 0 баллов.

Предъявлен набор чисел, удовлетворяющий условию 7 баллов.

Во в целом правильном решении из-за арифметической ошибки получен в качестве ответа набор 1, 1, 1, 1, a, где значение a ошибочно 5 баллов.

10.2. Окружность с центром в точке I вписана в четырёхугольник ABCD. Лучи BA и CD пересекаются в точке P, а лучи AD и BC пересекаются в точке Q. Известно, что точка P лежит на окружности, описанной около треугольника AIC. Докажите, что точка Q тоже лежит на окружности. (А. Кузнецов) Решение. Так как четырёхугольник AICP вписанный, то P CI = 180 P AI = BAI; иначе говоря, DCI = = BAI (см. рис. 4). Центр I вписанной окружности четырёхугольника лежит на биссектрисах его углов, поэтому DCI = = BCI и DAI = BAI. Отсюда следует, что DAI = BCI, а значит, QAI = BCI = 180 QCI.

Из полученного равенства вытекает, что четырёхугольник AICQ вписанный. Тем самым, точка Q лежит на окружности (проходящей через точки A, I и C).

Комментарий. Доказано только, что DAI = DCI = = BAI = BCI или что BAD = BCD 3 балла.

Региональный этап, 2016–2017 учебный год. Первый день XLIII Всероссийская математическая олимпиада школьников коробки остальных групп. Тогда через 43 хода в каждой коробке P A каждой группы будет по 44 + 42 · 1 = 86 камней, то есть во всех коробках будет поровну камней.

Осталось доказать, что за меньшее число ходов требуеD I B <

–  –  –



Похожие работы:

«Пояснительная записка Рабочая программа для 10 11 классов составлена в соответствии с федеральным компонентом государственного стандарта основного общего образования по физике. Рабочая программа по физике для 10-11 классов разработа...»

«Беркович Лев Мейлихович ФАКТОРИЗАЦИЯ И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: МЕТОДЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ 01.01.02 дифференциальные уравнения Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук Москва 2003 Работа выполнена в Самарском государственном университете Официальные оппоненты: доктор физико-математи...»

«Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии № 70, 2015 УДК: 629.735.33 В. В. Красновольский, П. Н. Соляник Вихревой след за летательным аппаратом, условия формирования и структура Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского "ХАИ" Рассмотре...»

«ОСНОВЫ ПРОЦЕССА Получение серебряного покрытия химическим способом основано на открытой Либихом в 1835 году реакции восстановления Ag+ альдегидом. Рассмотрим процесс серебрения при погружении. Осуществляют его главным образом из растворов, содержащих к...»

«КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2014 Т. 6 № 5 С. 719–745 АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ЖИВЫХ СИСТЕМ УДК: 519.7 Неполные системы линейных уравнений с ограничениями на переменные И. Г. Минкевич ФГБУН "Институт биохимии и физиологии микроорганизмо...»

«ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ 1. Богданов, Константин Юрьевич (д-р биол. наук, биофизик).Физик в гостях у биолога / К. Ю. Богданов. [2-е изд.]. Москва : Издательство МЦНМО, 2015. 239, [1] с. : ил. ; 20 см. (Библиотечка Квант ; Вып. 133) (Приложение к ж...»

«Изготовление оптического делителя для "смартлинк соединения". Никитин В.С., Семёнов Э.И., Солостин А.В., Шаров В.Г., Чайка С.В. ИЗГОТОВЛЕНИЕ ОПТИЧЕСКОГО ДЕЛИТЕЛЯ ДЛЯ "СМАРТЛИНК СОЕДИНЕНИЯ" С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ SLAИ FDM-ТЕХНОЛОГИЙ В.С. Никитин 1, Э.И. Семёнов 2, А.В. Солости...»

«Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского Межфакультетская магистратура Математические модели, методы и программное обеспечение современных компьютерных техноло...»

«Периодический характер тока самоорганизации в оксигидратной среде Вестник Томского государственного университета. Химия. 2016. № 1 (3). С. 45–59 УДК 546.837+621.3.015 DOI: 10.17223/24135542/3/5 Ю.И. Сух...»

«Математика, физика и философия теоремы Пифагора Первое открытие Тимофея Ильича Гуденко В возрасте 4-х лет, Мытищи, Росси, 1.09.2015 Рассказ "Круглые качели" Открытие относится к области телесных и бестелесных систем Мироздания,...»

















 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.