WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«24 ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И МАТЕМАТИКА В.А. МАТВЕЕВ СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ УТОЧНЁННОГО ПО КОНУСУ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ В работе изучается ...»

24

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И МАТЕМАТИКА

В.А. МАТВЕЕВ

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ УТОЧНЁННОГО ПО КОНУСУ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

В работе изучается многокритериальная задача. В качестве её решения рассматриваются оптимальные

по многогранному конусу исходы, определённые неотрицательной матрицей. Такое решение можно уточнять, рассматривая последовательность конусов, определённых степенями исходной матрицы. Предельная матрица определяет выпуклый конус, в данном случае это будет полупространство. Оптимальные решения по этому предельному конусу (полупространству) будем называть уточнённым по конусу оптимальным решением многокритериальной задачи. Указаны условия существования такого уточнённого решения и сформулированы условия, при которых уточнение выделяет единственный исход.

1. Оптимальность по конусу в многокритериальной задаче Рассматривается задача принятия решения, результат в которой оценивается несколькими критериями. Используем терминологию и обозначения из [1, 2]. Моделью является многокритериальная задача. Это система X, f ( x). (1) Здесь имеется одно лицо, принимающее решение (ЛПР). Задано множество допустимых исходов x X Rn, среди которых ЛПР делает свой выбор. Выделен конечный набор желаемых свойств или критериев. В модели эти свойства описаны функциями: каждая функция представляет одно свойство.

Обычно информацию о всех критериях объединяют в одну, векторную функцию выигрыша f: X Rm, m1. Значения этой функции каждому исходу ставят в соответствие количественную оценку для выделенных свойств f(x) = (f1(x),…, fm(x)). Не уменьшая общности, считаем, что критерии fi(x), i = 1,…,m, являются позитивными. Тогда, на содержательном уровне, цель ЛПР состоит в выборе такого исхода, что доставляет, возможно большие значения одновременно всем компонентам векторной функции выигрыша f(x).

Достаточно общий подход к определению оценочной структуры в (1) предлагают конусные отношения. В многокритериальных и игровых задачах с векторными выигрышами такой подход представлен в [3, 4]. Будем рассматривать выпуклый, острый, многогранный (полиэдральный) пространственный конус К [1, с.42]. Конус порождает в векторном пространстве отношение порядка (векторную упорядоченность) k по правилу f k g f g K. (2) m Такой конус К называют конусом доминирования в R, m 1.

Часто рассматривается многогранный конус, который можно задать матрицей, именно, K = { f Rm | Af 0m }. (3) Здесь представлена система m однородных неравенств и 0m – нулевой вектор в Rm.

Зафиксирована A – квадратная матрица порядка m. Будем считать, что матрица А = ( aij ), i, j 1,..., m является неотрицательной, т.е. aij 0. Кроме того, полагаем, что матрица А является невырожденной и, в специально оговорённых случаях, неразложимой [5, c.352].

Определение 1. Исход x* X называется оптимальным по конусу К в задаче векторной оптимизации (1), если x X, вектор x - x* K. Если выполнено включение, m R K то оптимальное решение x* X будем называть максимальным по конусу K.

Утверждение 1. Пусть в многокритериальной задаче (1) множество допустимых исходов X Rn компактно, векторная функция выигрыша f: X Rm непрерывна, конус доминирования K является выпуклым, острым, многогранным пространственным в Rm.

Тогда в (1) существует исход, оптимальный по конусу K.

Доказательство следует из существования гиперплоскости в Rm, разделяющей компактное множество X и соответствующий конус К.

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И МАТЕМАТИКА

–  –  –

В многокритериальной задаче (1) оптимальных по конусу решений может быть много. Рассмотрим схему, позволяющую уточнить решение или даже выделить единственный наилучший исход.

* Обозначим через К1 конус К из (3) и X 1 X - соответствующее множество оптимальных по этому конусу решений. Этот конус определён матрицей А. Обозначим через К2 и X 2 X конус и множество оптимальных по нему решений для матрицы А2.

* Аналогично для натурального n обозначим Кn и X n X конус и множество оптимальных по этому конусу решений, определённых матрицей Аn.

Утверждение 3. Пусть матрица А является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда для любого n натурального

a) матрица Аn является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической;

б) для соответствующих конусов имеет место включение К n K n 1 ;

в) для соответствующих множеств оптимальных по конусу решений имеет место * * включение X n X n 1.

ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ И МАТЕМАТИКА

Пункт а) следует из правила умножения неотрицательных матриц. Многогранный конус Кn определяется как решение однородной системы линейных неравенств Аn f 0m.

Многогранный конус Кn+1 определяется как решение для следствия последней системы, именно, Аn+1 f = AАn f 0m. Напомним, что элементы матрицы А неотрицательны. Поэтому имеет место включение конусов К n K n 1. Наконец, в) следует из утверждения 2.

Для матрицы А из утверждения 3 верны условия теоремы Фробениуса [5, с.355], именно, выполнено Утверждение 4. Пусть матрица А является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда существует предел последовательности матриц lim A n A0.

n Матрица А0 является положительной, вырожденной с рангом равным 1, все строки матрицы равны левому собственному вектору, относящемуся к максимальному собственному значению = 1 и сумма координат этого вектора равна 1.

Определение 2. Рассматривается многокритериальная задача (1) и многогранный конус К (3), определённый квадратной матрицей А порядка m. Считаем, что матрица А является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Пусть вектор m T ( 1, 2,..., m ), ai 1, i 0, является левым собственным вектором для собстi 1 венного значения = 1 матрицы А. Тогда исход x* arg max ( 1 f 1 ( x) 2 f 2 ( x )... m f m ( x )) xX будем называть уточнённым по конусу K оптимальным (максимальным) решением многокритериальной задачи (1).

Утверждение 5. Пусть в многокритериальной задаче (1) множество допустимых исходов X Rn компактно, векторная функция выигрыша f: X Rm непрерывна, квадратная матрица А порядка m является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда в задаче существует оптимальное решение, уточнённое по конусу K, и этот конус определяется матрицей A0, как это указано в утверждении 5.

Существование уточнённого решения следует их компактности множества допустимых исходов X и непрерывности функции

–  –  –

Уточнение оптимального по конусу решения позволяет в некоторых случаях выделить в задаче векторной оптимизации (1) единственный наилучший исход. Условия существования единственного уточнённого решения формулируются с использованием строгой вогнутости векторной функции цели [7, c.169].

Пусть множество допустимых исходов X Rn выпукло. Векторная функция векторного аргумента f: X Rm, m1, называется вогнутой (строго вогнутой) на множестве X, если каждая компонента этой функции является вогнутой (строго вогнутой) на этом множестве, т.е. для любых i = 1,…,m, x y X, выполнено неравенство 0,5( f i ( x) f i ( y )) f i (0,5( x y )) ( 0,5( f i ( x) f i ( y )) f i (0,5( x y )) ).

Утверждение 8. Пусть в задаче векторной оптимизации (1) векторная функция f: X Rm, m1, будет вогнутой на компактном множестве X Rn и найдётся, по крайней мере, одно j 1,..., m, что скалярная функция f j (x) будет строго вогнутой на этом множестве, многогранный конус K определён (3) квадратной матрицей А, которая является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Тогда в задаче существует единственный уточнённый по конусу исход.

Согласно определению 2 уточнённым по конусу оптимальным решением многокритериальной задачи (1) является исход x* arg max ( 1 f 1 ( x) 2 f 2 ( x )... m f m ( x )).

xX По теореме матрица A однозначно определяет левый собственный вектор, относящийся к максимальному собственному значению = 1. Это вектор m T ( 1, 2,..., m ), ai 1, i 0. Тогда функция i 1 1 f 1 ( x ) 2 f 2 ( x )... m f m ( x ) является строго вогнутой, т.к. такими же являются и функции f i ( x ), i 1,..., m. и, по крайней мере, одна из них строго вогнута. Тогда последняя линейная комбинация представляет строго вогнутую функцию. Наконец, строго вогнутая функция достигает максимального значения на компактном множестве в единственной точке [7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2002.

2. Розен В.В. Математические модели принятия решений в экономике. М.: Книжный дом «Университет», Высшая школа, 2002.

3. Вишнякова О.М. Оптимальность по конусу в многокритериальной задаче. // Труды Псковского Политехнического института. Псков: Изд-во ППИ, №8.1. - С.7–11.

4. Матвеев В.А. Оптимальность по конусу в игровой задаче с векторными выигрышами. // Труды Псковского Политехнического института. Псков: Изд-во ППИ, №8.1. - С.11 – 20.

5. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967.

6. Беллман P. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

7. Васильев Ф.П. Численные метода решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.



Похожие работы:

«КИСЛОРОДНО-ПЕПТИДНАЯ КОСМЕТИКА Антонио Мадзуко, биохимик и создатель марок O2Life и Dr.Mazzucco на протяжении 20 лет работает в фармацевтической промышленности и преподает биохимию в Болонском Университете Италии. Антонио, является главой под...»

«CHAMPION ACTIVE DEFENCE SAE 140 GL 1&3 Паспорт безопасности в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 (REACH) и внесенной в Регламент (EC) поправкой № 453/2010 Дата выпуска:30/11/2004 Дата пересмотра:18/10/201...»

«LXXI Московская олимпиада школьников по химии Заключительный этап теоретический тур 2015 год 9 класс 1. В газовой зажигалке находится 2,2 г жидкого пропана С 3 Н8. Сколько л воздуха (н.у.) требуется для полного сгорания в...»

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по физике составлена на основе Федерального компонента государственного стандарта и примерной программы основного общего образования по физике, в полном соответствии с Программой для общео...»

«Радиация и жизнь Радиационная безопасность Бадун Геннадий Александрович badunga@yandex.ru В чем опасность ионизирующего излучения? Под действием ионизирующего излучения происходит ионизация молекул, возбуждение молекул и образование ради...»

«Приложение 2 ОСНОВЫ ЯДЕРНОЙ ГЕОФИЗИКИ Программа дисциплины Автор (составитель) Федорин Михаил Альбертовия, ст. преп. НГУ. Рецензент: Куликов Вадим Михайлович, к. г.-м. н, доцент НГУ. I. Организационно-методический раздел 1.1. Название курса. Курс "Основы ядерной геофизики" относится к разделу математически...»

«КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ "КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ", ЧИТАЕМЫХ НА КАФЕДРЕ ХИМИИ ДЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ 080100.62 Лекция 1. ХИМИЧЕСКАЯ ЭВОЛЮЦИЯ МАТЕРИИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАКОНЫ ХИМИИ Естествознание – область наук о явлениях и законах природы....»

«Денисова Татьяна Александровна Состояние протонсодержащих групп в сорбентах на основе оксигидратных, гетерополиметаллатных и цианоферратных фаз Специальность 02.00.04 – физическая химия Автореферат диссертации н...»

«Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение школа-интернат основного общего образования г. Белебея муниципального района Белебеевский район РБ Рассмотрено СОГЛАСОВАНО УТВЕРЖДАЮ на заседании ШМО Заместитель директора по УВР Директор № протокола _/Сюсина И.Н. _/Салихова Р.К. "" 2014 г. "_" _ 2014 г. "...»

«Всероссийская олимпиада школьников по физике 2015–2016 уч. г. Муниципальный тур. 11 класс Решения и система оценивания Задача 1 Гоночный автомобиль движется по виражу – участку дороги, на котором реализован поворот с наклоном дорожного полотна,...»









 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.